高中北师大版数学选修4-4教案：1.4直线和圆的极坐标方程
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 直线和圆锥曲线的参数方程》2
直线的参数方程黄煜芳一、教材分析本节课节选自《高中数学北师大版选修4-4》第二章第二节直线的参数方程二、学情分析学生上节课刚学了参数方程的概念以及参数方程与普通方程的互化，接受程度良好，印象还比较清晰，有助于本节课的学习但学生对于平面向量的相关知识已经淡忘，所以课前需要简单的复习一下三、教学目标1 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用；2通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想；3 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．四、教学重点直线的参数方程及参数的几何意义五、教学难点参数的几何意义六、教学方法与手段引导探究式教学，多媒体课件辅助教学七、教学过程（一）知识回顾教师提出问题：1.共线向量的条件是什么？→→→→→→=⇔≠a b a a b λ)0(// 2.直线方程的有几种形式？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。
【设计意图】引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线的参数方程做好准备．（二）探索新知1直线的参数方程问题1：已知直线上一点M 0（1,2）,倾斜角为6π，求直线的方程 问题2：如何建立的参数方程？问题3：如何建立经过点M 0,0,倾斜角为⎪⎭⎫ ⎝⎛≠2παα的直线的参数方程 【设计意图】有特殊到一般推导出直线的参数方程有助于学生更好理解【师生活动】（1）回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >；当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <；当M 与O 重合时，0t =；【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．（2）类比分析：问题1：类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？问题2：把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l 上的定点0M 为原点，与直线l 平行且方向向上l 的倾斜角不为0时或向右（l 的倾斜角为0时）的单位向量e 确定直线l 的正方向，同时在直线l 上确定进行度量的单位长度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．（3）选取参数问题1：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线l 上点M 运动就等价于向量0M M 变化，但无论向量怎样变化，都有0M M te =．因此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程．【设计意图】明确参数．问题2：如何确定直线l 的单位方向向量e ？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出(cos ,sin )e αα=，从而明确直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定．当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．（4） 等价转化，深入探究问题：如果点0M ,M 的坐标分别为00(,)(,)x y x y 、，怎样用参数t 表示,x y ？教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：因为(cos ,sin )e αα=，（[0,)απ∈），00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--，0//M M e 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =，即 00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=，即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+．因此，经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． 牛刀小试：1.若直线l 经过点（x 0 , y 0）且倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？2. 设直线l 经过点M 0(1,5)、倾斜角为π3,求直线l 的参数方程.3. 已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．求：( 1) 直线l 过哪个定点；（2）直线l 的倾斜角.【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程2 参数的几何意义思考探究：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数t 的系数有何数量关系？③参数t 的几何意义是什么？总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量；②系数的平方和为1；③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．（三）简单运用，培养能力例1.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)． 点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义． 【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，以及在标准形式下参数t 的几何意义⎪⎩⎪⎨⎧--=+=,221222t x t y 2y x =,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：解法一：由210x y y x +-=⎧⎨=⎩，得210(*)x x +-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由韦达定理得：121211x x x x +=-⋅=-，．AB ∴===由（*）解得12x x ==12y y ∴==．所以A B ，．则MA MB ⋅=2===．解法二、因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为34π，所以它的参数方程是31cos 432sin 4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），即1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）．把它代入抛物线的方程，得220t +-=，解得1t =，2t = 由参数t的几何意义得：12AB t t =-=122MA MB t t ⋅==．在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会利用参数解决有关线段长度问题的方法，对比总结，查漏补缺，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力． （四）归纳总结，提升认识先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结．教师在学生总结的基础上再进行概括．变式训练：在平面直角坐标系O 中，已知直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,221222t x ty t 参 直线与椭圆1222=+y x 相交于A ，B 两点，点M （1,2）在直线上，求:（1）线段AB 的长；（2）点M 到A 、B 两点的距离之和．1．知识方面本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．2．数学思想方法方面在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想．【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力．（五）布置作业，巩固提高1 书面作业：教材P39—1；课后练习：三维设计P34~352 思考题：若直线l 的参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00 （b a ,为常数，t 为参数），请思考参数t 的意义．【设计意图】使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提供思考的空间．八、板书设计九、教案设计说明本节课研究了直线的参数方程，并进行了简单的应用．本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在教学过程中渗透运动与变化、数形结合、类比、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实．本节课选择直线的参数方程的参数是比较困难的，这是因为从确定直线的几何条件较难联想到“距离”．因此在教学中除了复习预备知识以外，还复习了数轴．联系数轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数轴，这样直线上任意一点就可以用坐标t 表示，因此可以选择坐标t 为直线参数方程中的参数．从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标t 与坐标00,x y 及倾斜角 之间关系的问题．这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理解了参数的几何意义．在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式．在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念．本节课恰当地利用多媒体辅助教学，增强了教学中的直观性．。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 直线和圆锥曲线的参数方程》53
直线的参数方程（1）教学设计一、教学目标：知识与技能：（1）了解直线参数方程的条件及参数t 的几何含义（2）会使用t 的几何意义解简单的题目。
（3）体会什么条件下使用直线的参数方程。
过程与方法：（1）利用翻转课堂形式自学直线的参数方程，课堂上应用主要联系应用。
（2）使用生活中的汽车行驶来发现t 的集合含义。
（3）课堂上由学生讨论解决问题。
情感、态度与价值观：（1） 培养学生自学的能力，并体会自主学习的快乐。
（2） 体会观察、探索、查错的过程，培养解决问题的方向和信心。
二 教学重点：直线参数方程中t 的几何含义教学难点：利用t 的几何含义解决问题三、教学方法：启发、诱导发现教学四 教学过程：课前导学：（1）利用多媒体的优势建立高速公路实景，对引入t 的几何含义有决定性的作用。
学生可以在实景中体会直线上的任意一点与一个实数一一对应关系。
（2）视频有助于学生反复观看，对学生的学习有很好的作用。
课堂教学：例1 引入：同学们，昨天我们在家里通过视频学习了直线的参数方程，那么直线的参数方程怎么写呢？ T 有没有几何含义？是什么呢？（|t |=|PM |－1,2到A ，B 两点的距离之积（我们用普通方程可以解吗？让同学说出思路，指出麻烦之处，关键是由MA,MB 引起PMt )1(的，什么里面可以有MA,MB 联想到参数方程）问题1 ：怎么把直线普通方程写成参数方程（学生活动）主要是由斜率找到倾斜角 解: 的参数方程为:问题2：怎么表达两个曲线相交（学生活动）把它代入＝2中,得t 2+√2t −2=0 问题3：你要什么？（距离的积）小结例题1中的三个问题。
学生活动练一练：在平面直角坐标系中，已知直线：（为参数），曲线的方程为设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值 解：）将代入②式，得，点M 的直角坐标为（0，3）．设这个方程的两个实数根分别为t 1，t 2，则t 1t 2=-3 =3∴ t 1＜0， t 2＜0则由参数t 的几何意义即得（注意引导学生分析t 1＜0， t 2＜0） 挑战一下（合作探究）21(222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即为参数）21t t B A 、对应的参数分别为、设2,22121-=-=+t t t t 则2||||||||||2121==⋅=⋅t t t t MB MA在平面直角坐标系中，已知点，曲线C 的参数方程为为参数设直线L 与曲线C 交于A,B 两个不同的点，求的值 本题的难点：（1）在于圆是参数方程，直线是普通方程，如何选取方程形式是关键（2）如何表达解：曲线的普通方程为①， 直线的参数方程为（为参数）②， 把②代入①得，得，， 又∵，，且与异号， ∴回顾：为什么直线写参数方程，圆写普通方程？本题中为什么|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2 |例题1中求AB 的长度。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系》2
课题：圆的极坐标方程（第1课时）授课老师：张秀红授课班级:高二（6）班●教学目的：通过类比直角坐标系下求曲线的方程的过程，探讨圆的极坐标方程。
本课题通过课本例题及习题归类学习，让学生经历由简单到复杂的过程，增强解决圆的极坐标方程的能力。
●教学重点与难点：重点：如何根据条件列出圆的极坐标方程,比较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方程。
难点：如何寻找条件列出圆的极坐标方程●教学过程：一尝试自学1、直角坐标与极坐标的互化2、圆心为M（a,0）,半径为a（a>0）的圆的直角坐标方程为。
3、上述1中如何推导圆的直角坐标方程（方法步骤）4、求曲线方程的步骤（求轨迹方程的步骤）二、主干讲解类型一：圆心在极点的圆例1：求圆心在极点、半径为r 的圆的极坐标方程。
类型二：圆心在极轴上且过极点的圆例2：求圆心坐标为Ca,0 （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？类型三：圆心在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa 处且过极点的圆 求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？三、局部训练1、求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程2、求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛23,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？3、求圆心在⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π,半径为1的圆的极坐标方程四、效果反馈1、，圆θρcos 2=圆心极坐标是 半径是 θρsin 4=的圆心极坐标是 半径是 两圆的圆心距是2、求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程3、求圆心在A ()π,3、半径为3的圆的极坐标方程 圆的方程是为半径的为圆心，、以极坐标系中的点1)1,1(4A )4cos(2πθρ-=、A )4sin(2πθρ-=、B )1cos(2-=θρ、C )1sin(2-=θρ、D5、已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半6．求下列圆的圆心的极坐标：（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπρ-=7、求极坐标方程分别是1=ρ与θρcos 2-=的两个圆的公共弦所在的极坐标方程。
北师大版数学选修4-4教案：1.4直线和圆的极坐标方程
第四课时 直线和圆的极坐标方程一、教学目的：知识目标：掌握极坐标方程的意义能力目标：能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解三、教学模式：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：问题情境1、直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标也有同样作用？2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程； 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？学生回顾1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义3、求曲线方程的步骤（二）、讲解新课：1、引例：以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。
因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。
2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
4、求直线和圆的极坐标方程例1、【课本P13页例5】求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。
教师分析：设动点的极坐标抓住几何图形特征建立关系式。
学生练习。
变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。
答案：cos 1ρθ=-例2、【课本P13页例6】求经过点A(2,0)、倾斜角为6π的直线的极坐标方程。
分析：设动点的极坐标，在三角形OAM 中利用正弦定理可解。
学生练习。
反思归纳：以上题目均为求直线的极坐标方程，方法是设动点的极坐标，抓住几何图形特征建立ρ与θ的关系式。
例3、【课本P14页例8】求圆心在（a,0）(a>0)、半径为a 的圆的极坐标方程学生练习，准对问题讲评。
变式训练：求圆心在)2,3(πA 且过极点的圆A 的极坐标方程。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 直线和圆锥曲线的参数方程》7
直线的参数方程（第一课时）一、学情分析选择直线的参数方程的参数比较困难，究其原因，是从确定直线的几何条件较难联想到“距离”，更难联想到利用向量选择参数。
为此，我们可以熟悉的知识出发，联系数轴上点的坐标的几何意义，以平面直角坐标系中直线l 上的定点0M 为原点，原坐标系的单位长度为单位长度，规定一个方向为正方向，那么直线l 就成了数轴。
这时，直线l 上任一点就可以由其坐标t 唯一确定。
因此，可以选择坐标t 为直线方程中的参数。
从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标t 与坐标00,y x 及倾斜角α之间关系的问题。
由此再进一步联系向量法就比较自然了。
本节课的教学任务是联系数轴、向量等知识，求出直线的参数方程，并进行简单应用，让学生体会直线参数方程在解决问题中的作用。
二、教学重点和难点重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程。
难点：通过向量法，建立参数t （数轴上的点的坐标）与点在直角坐标系中的坐标y x ,之间的联系。
三、教学流程：回顾数轴概念，理解数轴上点的坐标的几何意义↓理解平面直角坐标系中任意一条直线均可以作为数轴↓确定直线为数轴时，点的坐标为直线参数方程的参数↓利用平面向量共线定理建立联系，得出直线的参数方程↓例1，↓l 满足怎样的几何条件？目的：引导学生利用共线向量定理问题4如何确定直线l 上的单位方向向量？目的：利用三角函数的定义来解决直线上的单位向量问题5如果点0M ,M 的坐标分别为),(),,00y x y x （，怎样将y x ,用参数t 表示出来？目的：利用两个向量相等当且仅当横坐标等于横坐标，纵坐标等于纵坐标，建立,与t 的函数关系。
问题6对于第36页例1，在学习直线参数方程前你会怎样求解？利用直线参数方程求解有什么好处？目的：让学生用参数方程解题比普通方程具有优越性。
问题7你认为第36页“探究”中的问题该怎样回答？目的：让学生进一步探究与参数t 的几何意义有关的线段长问题。
高二数学 4-4第一章坐标系全部教案
表示方法？（3）、坐标不唯一是由谁引起的？（4）、不同的极坐标是否可以写出统一
表达式。约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。
变式训练 ：在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2 ）C（3， ）D（5， 4 ）E（3， 5 ）F（4， ）G（6， 5 ）
2
3
6
3
例 2 在极坐标系中，
特别强调：由极径的意义可知 ≥0;当极角 的取值范围是[0,2 )时,平面上的 点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极 径 =0,极角是任意角. 3、负极径的规定：在极坐标系中，极径 允许取负值，极角 也可以去任意的正角 或负角，当 ＜0 时，点 M （，）位于极角终边的反向延长线上，且 OM= 。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
（二）、平面直角坐标轴中的伸缩变换
1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变 x 轴或 y 轴的单位长度，将会对图形
产生影响。
2、探究：(1)在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标 x
π 3
<0，解得 k=-1,
= 3
-2 =- 5 , 点 A 的坐标为（5，- 5 ）.
3
3
变式训练：1、若 ABC的的三个顶点为 A(5, 5 ), B(8, 5 ),C(3, 7 ),判断三角形的形状.
2
6
6
答案：正三角形。2、若 A、B 两点的极坐标为 (1,1), (2 ,2 ) 求 AB 的长以及 AOB 的 面积。（O 为极点）
高中数学选修4-4北师大版 直线和圆的极坐标方程学案 Word版
2.3 直线和圆的极坐标方程2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程1．能在极坐标系中，求直线或圆的极坐标方程．2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化． 3．了解圆锥曲线统一的极坐标方程．1．直线和圆的极坐标方程 (1)极坐标方程与曲线．在极坐标系中，曲线可以用含有ρ，θ这两个变量的方程φ(ρ，θ)＝0来表示．如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下关系：①曲线C 上的每个点的极坐标中__________满足方程φ(ρ，θ)＝0； ②极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的__都在曲线C 上． 那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的__________，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的____．(2)直线的极坐标方程．直线l 经过极点，倾斜角为α，则直线l 的极坐标方程是__________． (3)圆的极坐标方程．①圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是______；②圆心在(a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程是________．【做一做1－1】在极坐标系中，过点M ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，且平行于极轴的直线的极坐标方程是__________．【做一做1－2】在极坐标系中，圆心在点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2(a ＞0)处，且过极点的圆的极坐标方程是( )．A ．ρ＝2a cos θB ．ρ＝2a sin θ(0≤θ≤π)C ．ρ＝a tan θD ．ρ＝2a tan θ(0≤θ≤π) 2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化根据点的直角坐标与极坐标互化关系式，曲线方程两种形式的互化可以顺利完成． 点的直角坐标与极坐标互化关系如下：(1)点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ ；(2)点M 的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式：⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝ ，tan θ＝ x ≠0 .【做一做2－1】极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线【做一做2－2】直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4化为极坐标方程为__________． 3．圆锥曲线统一的极坐标方程圆锥曲线统一的极坐标方程是ρ＝________， 当0＜e ＜1时，它表示____； 当e ＝1时，它表示______；当e ＞1时，它表示______．【做一做3】把极坐标方程ρ＝42－cos θ化为直角坐标方程．1．求曲线的极坐标方程的步骤剖析：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上的任意一点；(2)由曲线上的点所满足的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式f (ρ，θ)＝0；(3)将列出的关系式f (ρ，θ)＝0进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程；(4)证明所得的方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．2．直角坐标与极坐标互化时的注意事项剖析：(1)两组公式是在三个条件规定下得到的；(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但一般约定只在规定范围内求值； (3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端．答案：1．(1)①至少有一组(ρ，θ) ②点 极坐标方程 曲线 (2)θ＝α(ρ∈R ) (3)①ρ＝r ②ρ＝2a cos θ【做一做1－1】ρsin θ＝2(ρ≥0) 如图，设P (ρ，θ)(ρ≥0)为所求直线上任意一点，在Rt △OMP 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2(ρ≥0)，即ρsin θ＝2(ρ≥0)． 【做一做1－2】B 如图所示，圆与射线OP 的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫2a ，π2，在圆上任取一点M (ρ，θ)，连接OM 和MP ，则有OM ⊥MP ，在Rt △MOP 中，由Rt △MOP 的边角关系可得ρ＝2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2a sin θ(0≤θ≤π)． 2．(1)ρcos θ ρsin θ (2)x 2＋y 2yx【做一做2－1】D ∵cos θ＝22，∴ρcos θ＝22ρ.两边平方，得x 2＝12(x 2＋y 2)，即y ＝±x .又∵ρ≥0，∴ρcos θ＝x ≥0. ∴y ＝±x (x ≥0)表示两条射线．【做一做2－2】ρ＝4sin θ x 2＋(y －2)2＝4可化为x 2＋y 2＝4y ，把x ＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4ρsin θ，化简得ρ＝4sin θ. 3．ep1－e cos θ椭圆 抛物线 双曲线 【做一做3】解：由ρ＝42－cos θ变形得2ρ－ρcos θ＝4，把ρ＝x 2＋y 2，x ＝ρcosθ代入，平方，得4x 2＋4y 2＝x 2＋8x ＋16，即3x 2－8x ＋4y 2－16＝0.题型一 求直线的极坐标方程【例1】设P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 过P 点且倾斜角为3π4，求直线l 的极坐标方程．分析：设M (ρ，θ)(ρ≥0)是直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，构造三角形求OM .反思：在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：设M (ρ，θ)为直线上任意一点，极点为O ，连接OM ，构造出含有OM 的三角形，再找出我们需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程．也可以先求出直角坐标方程，再化为极坐标方程．题型二 求圆的极坐标方程【例2】求以C (4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．反思：在极坐标系中，求圆的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的关系，将它用坐标表示并化简，得到ρ和θ的关系，即为所求极坐标方程．题型三 极坐标方程和直角坐标方程的互化【例3】将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化．(1)x 2＋y 2＝4；(2)(x －1)2＋(y ＋2)2＝4；(3)ρ＝3c O s θ；(4)ρ＝c O s ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. 反思：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上点的位置的方法，都是研究平面图形的重要工具．在进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，除了正确使用互化公式外，还要注意变形的等价性．题型四 圆锥曲线的极坐标方程【例4】平面直角坐标系中，有一定点F (2,0)和一条定直线l ：x ＝－2.求与定点F 的距离和定直线l 的距离的比等于常数12的点的轨迹的极坐标方程．分析：用待定系数法求极坐标方程．反思：求圆锥曲线的极坐标方程，关键是建立极坐标系，明确P 的几何意义，求出e 和P ，圆锥曲线的极坐标方程就求出来了．答案：【例1】解：如图所示，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，连接OM ，OP ，该直线交Ox 于点A ，则有|OM |＝ρ，|OP |＝2，∠MOP ＝|θ－π4|，∠OPM ＝π2，所以|OM |cos ∠MOP ＝|OP |，即ρcos ⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π4＝2，即ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，显然点P 也在这条直线上． 故所求直线的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2. 【例2】解：如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A ，在圆上任取一点P (ρ，θ)，连接OP ，PA ，在Rt △OPA 中，|OA |＝8，|OP |＝ρ，∠AOP ＝θ，∴|OA |·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圆C 的极坐标方程．【例3】解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝4得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4，即ρ2＝4.(2)将(x －1)2＋(y ＋2)2＝4展开得x 2－2x ＋y 2＋4y ＝－1.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2－2x ＋y 2＋4y ＝－1，得(ρcos θ)2－2ρcos θ＋(ρsin θ)2＋4ρsin θ＝－1.化简，得ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋1＝0.(3)因为ρ＝3cos θ，所以ρ2＝3ρcos θ，即x 2＋y 2＝3x .(4)由ρ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θsin π4 ＝22cos θ＋22sin θ. 整理，得ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ， 即x 2＋y 2＝22x ＋22y . 即x 2－22x ＋y 2－22y ＝0. 【例4】解：过定点F 作定直线l 的垂线，垂足为K ，以F 为极点，FK 的反向延长线Fx 为极轴，建立极坐极系．由题意，设所求极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ，∵定点F (2,0)，定直线l ：x ＝－2，∴p 为F 点到直线l 的距离，为2－(－2)＝4.又常数12＝e ，∴所求点的轨迹的极坐标方程为ρ＝ep 1－e cos θ＝12×41－12cos θ，即ρ＝42－cos θ.1极坐标方程为ρ＝2cos θ的圆的半径是( )． A ．1 B ．2 C ．12D ．3 2过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )． A ．ρc O s θ＝2 B ．ρsin θ＝2 C ．ρc O s θ＝1 D ．ρsin θ＝13已知一条直线的极坐标方程为πsin 42ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则极点到该直线的距离是__________．4从原点O 引直线交直线2x ＋4y －1＝0于点M ，P 为射线OM 上一点，已知|OP |·|OM |＝1.求P 点的轨迹的极坐标方程．答案：1．A ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x .化简，得(x －1)2＋y 2＝1.∴半径为1. 2．A 如图所示，设M (ρ，θ)为直线上除A (2,0)外的任意一点，连接OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，所以有|OM |cos θ＝|OA |，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.3．22 ∵ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ρsin θcos π4＋ρcos θsin π4 ＝22ρsin θ＋22ρcos θ＝22， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即x ＋y ＝1.则极点到该直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22.4．解：以O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，直线2x ＋4y －1＝0的方程可化为2ρcos θ＋4ρsin θ－1＝0，设M (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝θ0，ρ0·ρ＝1，知⎩⎪⎨⎪⎧θ0＝θ，ρ0＝1ρ.代入2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0，得2×1ρcos θ＋4×1ρsin θ－1＝0，整理，得ρ＝2cos θ＋4sin θ.所以P 点的轨迹的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ.。
高中数学圆锥曲线统一的极坐标方程直线和圆的极坐标方程备课资料北师大版选修4_4
2.3 直线和圆的极坐标方程2. 4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程教学建议1.通过例题分析,使学生掌握曲线的直角坐标方程和极坐标方程的转化技巧.2.借助于易错辨析使学生明确求解极坐标问题时应注意的事项.3.直角坐标系内曲线和极坐标系内曲线的区别(1)在直角坐标系内,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只看作一个方程).但在极坐标系内,虽然一个方程只能与一条曲线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应.例如方程ρ1=1和ρ2=-1表示的是同一个圆,所以曲线和它的方程不是一一对应的.(2)在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ,设点P的一个极坐标为,那么点P适合方程ρ=θ,从而是曲线上的一个点,但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内,某一个点P在某一曲线C上,当且仅当点P的极坐标中至少有一个适合曲线C的方程.备选习题1.已知A,B两点的极坐标分别为,求|AB|和△AOB的面积.(其中O点为极点)解:在△AOB中,A,B两点的极坐标可写为,∴OA,OB的长度分别为3,5,夹角为∠AOB=π-π.∴|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA||OB|cos∠AOB=34+15.∴|AB|=.S△AOB=·|OA|·|OB|sin∠AOB=×3×5×sinπ=.2.在△ABC中,AB=6,AC=4,当∠A变化时,求∠A的平分线与BC的垂直平分线的交点P的轨迹.提示:由于本题中涉及变化的角度问题,因此可用建立极坐标系的方法求解,求解时列式的关键是点P在BC的垂直平分线上.解:如图,以A为极点,射线AB为极轴建立极坐标系,设P(ρ,θ),则|AP|=ρ.∵AP为∠BAC的平分线,∴∠BAP=∠PAC=θ.∵|AB|=6,|AC|=4,由余弦定理知|PC|2=|AP|2+|AC|2-2|AP|·|AC|cosθ=ρ2+42-8ρcosθ,|PB|2=|AP|2+|AB|2-2|AP|·|AB|cosθ=ρ2+62-12ρcosθ.∵P在线段BC的垂直平分线上,∴|PB|=|PC|.∴ρ2+16-8ρcosθ=ρ2+36-12ρcosθ.∴ρcosθ=5.。
北师大高中数学选修4-4课件：第1讲第2节第3课时直线的极坐标方程
•第三课时直线的极坐标方程i ［学习目标］i 卜1.熟练掌握直线的极坐标方程的求法，并能I I够进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.I > 2.通过比较，体会极坐标在解决个别问题中］［的优越性，提高分析问题、解决问题的灵活I 性.I ［学法指要］］• 1.利用化极坐标方程为直角坐标方程解题（• 2.着殘和身寸经白勺祓巫棕方理.（张皆）预习学案启动思维我国自主研制的“神舟七号”载人航天飞船成功发射，并按预定方案返回地球.它的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点和远地点距离地面分别为n km和加km（常数m>n>0）,且地球半径为£ km.你能写出“神舟七号”运行的椭圆轨道的极坐标方程吗?走进教材自主练习1・极坐标方程0= 1且0=号表示（）A•点C・直线B・射线D・圆JT解析：由P=\，0=2知，其表示圆心在极点，半径为1的圆上的一点儿如图所示.•答案：A7T2.过极点倾斜角为§的直线的极坐标方程可以为（）717TA. 0=〒B. 0=寸，p三04兀7T 4兀C. &=丁，p三0D. 0=寸和0=了, “207T 7?解析：过极点且倾斜角为3的直线的极坐标方程为&= 57T 4或0=亍+兀=尹，卩三0,故选D・•答案：DTT3. ________ 极坐标系中，p$0,过点(1,0)倾斜角为㊁的射线的极坐标方程为 .解析：由题意知，其图形为厂----/ 、7T71故其极坐标为pcos 0=1 0<6><z・答案：pcos 3=714.求：⑴过彳2,刖且平行于极轴的直线;（2）过彳3,申且和极轴成乎的直线.解析：（1）如图所示，在直线/上任意取点M（p，6＞）, / 、VA 2,玄，\ "7-兀••• IMHI = 2sin》=辺・在RtAOMH中，I MH\ = \0M\sin3.即psin3=\[29、刖且平行于极轴的直线方程为ps問卡.( \ rr(2)如图所示，A 3, ,\ 3)7T即 1041 = 3, ZAOB=j.3兀由已知ZMBx=二,乂 ZOMA= ZMBx —0=^—3.在△MQ4中，根据正弦定理，ZOAB= 3兀 兀_ 5兀ZOAM=TI — 571771可 得〃(sin&+cos 〃)=斗^+扌.… 3兀氏且和极轴成才的直线为p(sin0+cos0) =得…sin 〒—0 ・7兀・sin 12 4'7t . 71 …7—si 詐+樂 •sin 12 (3兀 将sin 才一0展开,化简上面的方程,、 711课堂讲义典例导航•(l)psin^=l；•(2)〃(cos0+sin0)—4=O；•［思路点拨］(1)根据极坐标方程形式选择公式•⑵适当变形•［解题过程］利用极坐标和直角坐标互化公式求解：•〃cos0 = x z psin0 = y.•(l)psin0= l^>y= 1 z表示的是一条直线・•(2)〃(cos0 + sin。
直线和圆的极坐标方程 -高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案
2．3直线和圆的极坐标方程对应学生用书P9][自主学习]1．曲线的极坐标方程(1)意义：在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：①曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0；②极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．(2)求极坐标方程的步骤：求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：①建立适当的极坐标系；②在曲线上任取一点M(ρ，θ)；③根据曲线上的点所满足的条件写出等式；④用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程．通常第⑤步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可．2．常见直线和圆的极坐标方程[合作探究]1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程有何异同？提示：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，这里要求至少有一组满足极坐标方程．有些表示形式可能不满足方程．例如，对极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝⎛⎭⎫π4，π4可以表示为⎝⎛⎭⎫π4，π4＋2π或⎝⎛⎭⎫π4，π4－2π等多种形式，其中只有⎝⎛⎭⎫π4，π4的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程．2．在极坐标系中，θ＝－π4与tan θ＝－1表示同一条直线吗？提示：表示同一条直线．3．在极坐标系中，ρ＝1或ρ＝－1表示同一个圆吗？ 提示：表示同一个圆．对应学生用书P9]射线或直线的极坐标方程[例1] 求：(1)过点A ⎝⎭⎫2，π4平行于极轴的直线的极坐标方程． (2)过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3且和极轴成3π4角的直线的极坐标方程． [思路点拨] 本例主要考查直线的极坐标方程以及正弦定理等三角、平面几何知识，同时亦考查了数形结合思想，解答此题需要先设待求直线上任一点M (ρ，θ)，寻找到ρ，θ满足的几何等式，建立关于ρ，θ的方程，再化简即可．[精解详析] (1)法一：如图在直线l 上任取一点M (ρ，θ)，在△OAM 中|OA |＝2，|OM |＝ρ， ∠OAM ＝π－π4⎝⎛⎭⎫或π4， ∠OMA ＝θ(或π－θ)． 在△OAM 中，由正弦定理得2sin θ＝ρsin π4， ∴ρsin θ＝ 2.点A ⎝⎛⎭⎫2，π4也满足上述方程．因此过点A ⎝⎛⎭⎫2，π4平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsin θ＝ 2. 法二：如图，在直线l 上任取一点M (ρ，θ)，过M 作MH ⊥极轴于H 点．∵A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4， ∴|MH |＝2·sin π4＝ 2.在直角三角形MHO 中， |MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝2， 点A ⎝⎛⎭⎫2，π4也满足此方程． ∴过点A ⎝⎛⎭⎫2，π4平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsin θ＝ 2. (2)如图，设M (ρ，θ)为直线l 上一点．已知A ⎝⎛⎭⎫3，π3，故|OA |＝3. ∠AOB ＝π3，又已知∠MBx ＝3π4，∴∠OAB ＝3π4－π3＝5π12.又∠OMA ＝π－⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝π4＋θ，在△MOA 中，根据正弦定理得3sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝ρsin 5π12，又sin5π12＝sin 7π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝6＋24， 将sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ展开化简代入可得 ρ(sin θ＋cos θ)＝332＋32，又点A ⎝⎛⎭⎫3，π3也满足上述方程， 所以过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3且和极轴成3π4角的直线的极坐标方程为：ρ(sin θ＋cos θ)＝332＋32.在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般思路：在直线上设M (ρ，θ)为任意一点，连接OM ；构造出含OM 的三角形，再利用正弦定理求OM ，即把OM 用θ表示，即为直线的极坐标方程．若将本例(2)中点A 变为(2,0)，3π4变为π6，则直线的极坐标方程如何？解：设M (ρ，θ)为直线上除A 点以外的任意一点， 连接OM ，则在△AOM 中，∠AOM ＝θ，∠AMO ＝π6－θ，∠OAM ＝π－π6，OM ＝ρ，由正弦定理可得|OA |sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝|OM |sin ⎝⎛⎭⎫π－π6.∴ρsin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ. ∴ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ.∴ρsin π6cos θ－ρcos π6sin θ＝1.化简得：ρcos θ－3ρsin θ＝2. 经检验点(2,0)的坐标适合上述方程， 所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－3sin θ)＝2，其中，0≤θ<π6(ρ≥0)和7π6≤θ<2π(ρ≥0).[例2] 求圆心在A ⎝⎭⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝⎛⎭⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上．[思路点拨] 本题考查圆的极坐标方程及解三角形的知识，解答此题需要先设圆上任意一点M (ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简即可．[精解详析] 由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA ，在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝⎛⎭⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ.经验证，点O (0,0)，A ⎝⎛⎭⎫4，3π2的坐标满足上式．所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2， ∴点⎝⎛⎭⎫－2，sin 5π6在此圆上．在极坐标系中，求圆的极坐标方程的一般思路：在圆上设M (ρ，θ)为任意一点，连接OM ，构造出含OM 的三角形，再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM ，即把OM 用θ表示，从而得到圆的极坐标方程．1．求半径为1，圆心在点C ⎝⎛⎭⎫3，π4的圆的极坐标方程． 解：设圆C 上的任意一点为M (ρ，θ)，且O ，C ，M 三点不共线，不妨设如图所示情况，在△OCM 中，由余弦定理得：|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |cos ∠COM ＝|CM |2，∴ρ2＋9－6ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1. 即ρ2－6ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋8＝0， 经检验知，当O ，C ，M 三点共线时的点M 的坐标也适合上式．当θ<π4时，也满足该式，所以半径为1，圆心在C ⎝⎛⎭⎫3，π4的圆的极坐标方程为ρ2－6ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋8＝0.[例3][思路点拨] 本题考查极坐标系的建立、曲线的极坐标方程的一般求法及解三角形知识，解答此题需要按求曲线极坐标方程的五个步骤进行即可．[精解详析] 设直角三角形的斜边为OD ，它的长度是2r ，以O 为极点，OD 所在射线为极轴，建立极坐标系，如图所示．设P (ρ，θ)为轨迹上的一点， 则OP ＝ρ，∠xOP ＝θ. 在直角三角形ODP 中，OP ＝OD ·cos θ. ∵OP ＝ρ，OD ＝2r ， ∴ρ＝2r cos θ(ρ≠0，ρ≠2r )． 这就是所求轨迹的方程．在极坐标系中求动点的轨迹的极坐标方程的方法与在直角坐标系中求动点的轨迹的直角坐标方程的方法和思路类似，只不过建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现ρ，θ的联系，找出这样的三角形成了解题的关键．2．O 为已知圆O ′外的定点，点M 在圆O ′上，以OM 为边作正三角形OMN ，当点M 在圆O ′上移动时，求点N 的轨迹方程(O ，M ，N 按逆时针方向排列)．解：以O 为极点，以O 和已知圆圆心O ′所在射线为极轴，建立极坐标系，如图，设 |OO ′|＝ρ0，圆的半径为r ，由余弦定理得圆O ′(ρ1，θ1)的极坐标方程为ρ21－2ρ0ρ1cos θ1＋ρ20－r 2＝0.设N (ρ，θ)，M (ρ2，θ2)， ∵点M 在圆O ′上，∴ρ22－2ρ0ρ2cos θ2＋ρ20－r 2＝0.①∵△OMN 为正三角形， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝ρ2，θ＝θ2＋π3，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝ρ，θ2＝θ－π3.代入①得ρ2－2ρ0ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋ρ20－r 2＝0， 这就是点N 的轨迹方程．本课时常考查直线或圆的极坐标方程的求解，同时考查平面几何及解三角形知识．[考题印证](安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R ) 和ρcos θ＝1[命题立意] 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，圆的方程及其切线的求解．考查学生知识的转化能力、运算求解能力和转化应用意识．[自主尝试] 由ρ＝2cos θ可得x 2＋y 2＝2x ⇒(x －1)2＋y 2＝1，所以圆的圆心为(1,0)，半径为1，与x 轴垂直的圆的切线方程分别是x ＝0，x ＝2，在以原点为极点的极坐标系中，与之对应的方程是θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.[答案] B对应学生用书P11]一、选择题1．极坐标方程ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线D ．圆解析：选D ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝cos π4cos θ＋sin π4sin θ＝22cos θ＋22sin θ，∴ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，即x 2＋y 2＝22x ＋22y . 化简整理，得⎝⎛⎭⎫x －242＋⎝⎛⎭⎫y －242＝14，表示圆. 2．(江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选A 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2.3．圆ρ＝2a sin θ关于极轴对称的圆的方程为( ) A ．ρ＝2a cos θB ．ρ＝－2a cos θC ．ρ＝－2a sin θD ．ρ＝2a sin θ解析：选C 法一：根据对称规律，把⎩⎪⎨⎪⎧θ′＝－θ，ρ′＝ρ代入原方程，可得原方程表示的曲线关于极轴对称的曲线方程． ∴ρ＝2a sin θ关于极轴对称的曲线方程为ρ′＝2a sin(－θ)． 即ρ＝－2a sin θ.法二：因为圆ρ＝2a sin θ的圆心是⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ， 该圆关于极轴对称的圆的圆心应为⎝⎛⎭⎫a ，3π2，半径仍为a ， 其方程应为：ρ＝2a cos ⎝⎛⎭⎫θ－3π2. 即ρ＝－2a sin θ.4．过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( ) A ．ρcos θ＝2 B ．ρsin θ＝2 C ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1解析：选A 如图所示，设M (ρ，θ)为直线上除A (2,0)外的任意一点，连接OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，所以有|OM |cos θ＝|OA |，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.二、填空题5．以C (4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程为________． 解析：如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A ，在圆上任取一点P (ρ，θ)，连接OP ，P A ，在Rt △OP A 中，|OA |＝8， |OP |＝ρ，∠AOP ＝θ，∴|OA |·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圆C 的极坐标方程． 答案：ρ＝8cos θ6．点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2对称点的坐标是________．解析：利用图形法，如图在极坐标中画出点M ，它关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝⎛⎭⎫2，π6. 答案：⎝⎛⎭⎫2，π6或⎝⎛⎭⎫－2，7π67．(北京高考)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 解析：由题意知，点⎝⎛⎭⎫2，π6的直角坐标是(3，1)，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程是y ＝2，所以所求的点到直线的距离为1.答案：18．(天津高考)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________．解析：由于圆和直线的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4y 和y ＝a ，它们相交于A ，B 两点，△AOB 为等边三角形，所以不妨取直线OB 的方程为y ＝3x ，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4y ，y ＝3x ，消去y ，得x 2＝3x ，解得x ＝3或x ＝0，所以y ＝3x ＝3，即a ＝3.答案：3 三、解答题9．从原点O 引直线交直线2x ＋4y －1＝0于点M ，P 为射线OM 上一点，已知|OP |·|OM |＝1.求P 点的轨迹的极坐标方程．解：以O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，直线2x ＋4y －1＝0的方程可化为2ρcos θ＋4ρsin θ－1＝0，设M (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝θ0，ρ0·ρ＝1，知⎩⎪⎨⎪⎧θ0＝θ，ρ0＝1ρ.代入2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0，得2×1ρcos θ＋4×1ρsin θ－1＝0，整理，得ρ＝2cos θ＋4sin θ.所以P 点的轨迹的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ.10．在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫3，π6，半径为1，Q 点在圆周上运动，O 为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足OQ QP ＝23，求动点P 的轨迹方程．解：(1)设Q (ρ，θ)为圆C 上任意一点，如图，在△OCQ 中，|OC |＝3，|OQ |＝ρ，|CQ |＝1，∠COQ ＝⎪⎪⎪⎪θ－π6，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，化简整理，得ρ2－6ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋8＝0为圆C 的轨迹方程． (2)设Q (ρ1，θ1)，则有ρ21－6·ρ1cos ⎝⎛⎭⎫θ1－π6＋8＝0. ① 设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝25ρ，又θ1＝θ，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝25ρ，θ1＝θ，代入①得425ρ2－6·25ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋8＝0， 整理得ρ2－15ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋50＝0. 这就是P 点的轨迹方程．11．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.。
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§直线与圆的极坐标方程一、教学目标1、理解直线与圆的极坐标方程的本质特点2、掌握求直线与圆的极坐标方程的方法3、类比直角坐标系中求曲线方程的方法，求极坐标系中曲线的方程二、教学重点与难点重点:求直线与圆的极坐标方程难点：掌握求直线与圆的极坐标方程的方法三、教材分析本节内容是北师大版选修4-4第二章第三节的内容，在学习了极坐标的概念，点的极坐标与直角坐标的互化以后安排的求直线与圆的极坐标方程，本节内容有承上启下的作用，是点的极坐标方程的延伸，求圆锥曲线统一的极坐标方程的基础，是高考的考点之一四、学情分析学生在必修的学习中，已经有了在直角坐标系中求曲线方程的基础，理解了求曲线方程的方法，又在前两节学习极坐标系的概念及点的极坐标与直角坐标的互化的基础上，学习直线与圆的极坐标方程是容易理解的五、教学方法启发引导与自主探究相结合（学生讲解展示答案教师指导总结）六、教学过程1、复习回顾（1）一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程(,)0f x y 的实数解建立了如下关系：① 曲线C 上的点的坐标都是方程的解，② 以方程(,)0f x y =的解为坐标的点都在曲线上，那么把这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（2） 在直角坐标系中，求曲线方程的步骤：① 设点的坐标② 建立等量关系③ 化简得到方程(,)0f x y =（3）点的极坐标2、新知探究曲线的极坐标方程的定义：一般地，如果极坐标系中的曲线C 与方程(,)0f ρθ=之间建立了如下关系： ①曲线C 上的任意一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程(,)0f ρθ= ②满足方程(,)0f ρθ=的C 点都在曲线上，那么方程(,)0f ρθ=叫做曲线C 的极坐标方程3、实例分析例1、求从极点出发，倾斜角为4π解：画出倾斜角4π的直线与射线，就是直线的极坐标方程，这就是所求射线的点是射线上任意一点，则设404)0)(,(πθρθρ=≥≥M M .3223A 12）且和极轴平行的直线，（）过点（；）并与极轴垂直的直线，（）过点（坐标方程、求适合下列条件的极例ππB ；）并与极轴垂直的直线，（画出过点分析：π3A )1(.,3cos 3)cos(3A ),(线极坐标方程这就是所求直，即在直角三角形中上任意一点，）并与极轴垂直的直线，（是过点设-==-θρθπρπθρM 等量关系用三角函数的定义建立转化在直角三角形中利，）且和极轴平行的直线，（画出过点）类比（32)1(2πB 的直线的极坐标方程；）、倾斜角为，（、求经过点例6023πA.),(602方程系，化简得所求直线的定理建立等量关，在三角形中利用正弦设直线上任意点的直线的极坐标方程，）、倾斜角为，（分析：画出经过点θρπM A 的圆的极坐标方程）、半径为）（，、求圆心在（例a 0a 0a 4>分析：画出圆心在a,0半径为a 的圆，设圆上任意一点的极坐标),(θρM ，在直角三角形中利用三角函数的定义建立等量关系。
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课题：极坐标和参数方程教学目标1、通过近五年的高考题，发现全国卷的命题规律和特点，举一反三。
教学重点参数方程与普通方程的互化；一般要求是把参数方程化成普通方程，较高要求是利用设参求曲线的轨迹方程或研究某些最值问题；极坐标与直角坐标的互化。
教学难点研究极坐标方程、直角坐标方程和参数方程的互化以及求解相关最值问题教学过程一、考试说明对本节的要求1、坐标系（1）理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况（2）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标系和直角坐标的互化（3）能在极坐标系中给出简单图形的方程。
了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法。
（不做要求）2、参数方程（1）了解参数方程以及参数的意义；能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。
（2）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出他们的参数方程。
（不做要求）二、全国卷极坐标和参数方程的命题趋向根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及他们的位置关系的数据确立。
有些问题用极坐标系解决比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手简单，计算简便。
高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程和普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题、交点问题和位置关系的判定。
极坐标和参数方程在高考中的地位在全国卷1中以主观题形式出现，题序为第22题，分值为10分。
全国卷考情扫描2021年全国卷以椭圆和圆为背景，求解直角坐标点和取值范围的问题；2021年全国卷Ⅰ以圆为背景，考查参数方程与极坐标方程的互化及应用；2021年全国卷Ⅰ以直线与椭圆为背景，考查直角坐标方程与参数方程的互化以及距离的最值问题；2021年全国卷Ⅰ以直线与圆为背景，考查直角坐标方程与极坐标方程的互化以及三角形的面积的求解； 2021年全国卷Ⅰ以直线和圆为背景，考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化与应用.三、模拟练习题再现1、（2021年全国1）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为)0a (sin 1cos >⎩⎨⎧+==为参数，t ta y t a x ，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C（1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程（2）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 和2C 的公共点都在3C 上，求a2、（2021年全国1）在直角坐标系xOy 中，直线1C :x=2-,圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 直线和圆锥曲线的参数方程》9
直线的参数方程宿州学院附属实验中学罗风云一、教材分析数学就是一副“眼镜”,透过它能看清复杂问题的简单本质,而要把握数学本质,教师自己要先吃透．“直线的参数方程”是是高考二选一内容中的一部分本节课是“平面解析几何初步”和“圆锥曲线与方程”等知识的进一步延伸,同时也是研究直线与圆、直线与圆锥曲线的另一种思维角度本节内容是在认识了曲线的参数方程概念的基础上,进一步探究直线的参数方程,笔者认为这样编排的意图主要有两点：①从抽象到具体：从一般的曲线的参数方程概念到直线的参数方程；②本节提供学生深入理解参数思想的一个契机．因此笔者将本节课定位为：如何探究直线的参数方程,体会参数的思想,进一步体现参数方程的优势．二、学情分析授课对象是高二年级的学生，他们已经学完了高中数学的所有必修内容，具备了一定的向量基础知识，对于直线和圆锥曲线也有较系统的学习三、教学目标1知识与技能：掌握直线参数方程的标准形式并理解其参数的几何意义；会应用参数的几何意义求解有关距离、点的坐标等相关问题2过程与方法：在探索参数方程的过程中,体现了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学核心素养,通过例2,让学生利用直线方程的不同形式求解,从涉及知识点的数量、求解的运算量等角度引导学生进行比较,体验直线的参数方程在解答此类试题中的优越性,从而提升学生的数学运算素养3．情感、态度与价值观：在直线参数方程的推导过程中，培养学生逻辑思维的严谨性；在师生间平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情四、教学重点与难点经过上述分析，由此确定本节课的教学重点为分析直线的几何条件,选择适当的参数写出直线的参数方程教学难点为如何选择恰当的参数．突破难点的策略为从普通方程变换与平面向量变换两个角度出发进行探究．五、教法、学法分析当前,高中数学新课程标准进一步强调培养学生的数学核心素养,提出“用数学的眼光观察世界”、“用数学的思维分析世界”、“用数学的语言表达世界”．那么如何在高中数学课堂教学中,培养学生的数学核心素养呢？笔者认为,数学课堂教学须突出数学本质,教师应当设法引导学生主动参与知识的建构过程,将发现问题、分析问题、解决问题的思想方法和思想观念教给学生．本节课笔者以问题为载体,唤醒学生进行自主探究,注重学生探究能力与自主学习能力的培养,体现了“以生为本”的课改新理念六、教学过程（一）问题引导,新知探究上节课我们已经学过了曲线的参数方程的概念,今天我们将学习直线的参数方程首先来看一下问题：问题1：确定一条直线的几何条件是什么？两个定点;一个定点和直线的倾斜角问题2：已知一条直线过点,倾斜角为,求直线的普通方程直线的普通方程是．设计意图：通过回忆所学知识,为学生推导直线的参数方程做好准备．问题3：已知一条直线过点,倾斜角为,求直线的参数方程【视角一：普通方程变换】（师生共同探究）（1）当时,直线的普通方程是．即,也即,不妨设,整理得到：（为参数）．（2）当时,也满足上述的参数方程．综上所述,（为参数）为所求直线的参数方程．【视角二：平面向量变换】我们来看一下问题：思考1：数轴是怎样建立的？有三要素：原点,单位长度,正方向．思考2：数轴上点的坐标的几何意义是什么？你能利用平面向量的知识进行解释吗？几何意义：,图中有：．思考3：在问题2中直线过点,倾斜角为,如果把这个平面直角坐标系中的直线作为数轴,那么怎样选择原点、单位长度和方向呢？如图所示,可以这样选择：以为原点,单位长度为直线的方向向量中的单位向量的长度,方向选择向上．思考4：你能根据直线的倾斜角确定直线的一个单位方向向量吗？根据三角函数定义,由直线的倾斜角得到直线的一个单位方向向量为．思考5：你能根据直线的单位方向向量确定直线的参数方程吗？师：在直线上,任取一个点,则与具有什么位置关系？位置关系：共线，即．师：设,能否用表示出这种关系？,用坐标表示为：．设计意图：综合运用所学知识,获取直线的方向向量和单位方向向量之间的关系,培养学生探索精神,体会数形结合思想,为接下来学生推导直线的参数方程做好了充分的准备．师：由上面的分析过程,你能求出过定点且倾斜角为的直线的参数方程吗？,即．于是,,即,．因此,经过定点,倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）．（*）师（补充）：仅当参数方程形如上式,才代表直线的倾斜角．问题4：上述直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？参数的取值范围又是什么？,是常量,是变量；；【课堂小练习】1直线为参数的倾斜角是．设计意图：（识别）强调仅当参数方程形如（*）式,才代表直线的倾斜角．2直线的参数方程（为参数）,那么它的普通方程为．．设计意图：通过练习2,使得学生掌握直线的一般方程和参数方程之间的互化．变式拓展：同学们请观察直线（为参数）的图像,其中直线过定点,回答一下问题：（1）求点对应的参数与;（2）求点对应的参数与（3）联想它们之间的关系．如图所示,可以得出：点在点的上方,对应参数取对应距离是点在点下方 ,对应参数取对应距离是联想关系：到点的距离和参数有如下对应关系：在点上方的点对应,两点间的距离和的数值相等, 在点下方的点对应,两点间的距离等于的绝对值设计意图：由特殊到一般,有简单到复杂,符合学生学习规律问题5：根据表达式,你能证明刚才的结论吗？,因此,对于直线上任意一点,都有；当,,则直线的单位方向向量的纵坐标恒正,即的方向总是向上的．此时,若,则与同向,即方向向上；若,则与反向,则方向向下；若,,点与重合．师：上面分别从距离与方向两方面说明了参数的几何意义．但是同学们请注意：仅当直线的参数方程形如（*）式,参数才有上述几何意义．设计意图：把向量转化为坐标,获得了直线的参数方程,在此基础上分析直线参数方程的特点,体会参数的几何意义．（二）新知应用,巩固提升例1直线过点,且它的倾斜角是（1）写出直线的参数方程；（2）求直线与直线的交点坐标解:（1）直线的参数方程是（为参数）,即（为参数）（2）把直线的参数方程代入,得,即将代入直线的参数方程,得到交点坐标为设计意图：让学生理解并学会使用直线的参数方程,为例2的顺利解答做好铺垫．例2已知直线过点,且它的倾斜角是直线与抛物线交于两点求（1）；（2）；（3）线段中点的坐标解:直线的普通方程是,由,得．（#）由（#）解得,．所以．则（1）；（2）；（3）线段中点的坐标为思考：你能根据参数方程利用的几何意义求解此题吗？解:直线的参数方程是（为参数）,即（为参数）．把它代入抛物线的方程,得,知．由参数的几何意义得：（1）；（2）；（3）线段的中点对应的参数,则线段中点的坐标为．设计意图：对于此题,初学者往往习惯用普通方程求解,但是会发现计算很复杂,而用参数方程求解则要简单的多,加深学生对参数的几何意义的理解,进一步体会研究直线的参数方程的价值．总结提炼：已知过定点,倾斜角为的直线参数方程为,直线与曲线交于两点,且对应的参数分别为、,回顾直线参数方程的建立过程,回答以下问题：（1）曲线的弦的长是多少？（2）线段的中点对应的参数的值是多少？先由学生思考,讨论,最后师生共同得到：解：（1）、分别对应参数、,则,,,则（2）由直线参数方程的定义知、的坐标可写成以下形式：,,,则,即线段的中点M对应的参数为．注意：由探究过程可知仅当直线的参数方程形如（*）式,这两个结论才成立（四）课堂小结，布置作业设计意图: 引导学生从本节课探究的思路进行小结，不仅使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，而且对所用到的数学方法和涉及的数学思想也得以领会这样既可以使学生完善知识建构，又可以培养其能力【分层作业】设计意图：分层作业，让不同层次的学生各有所获，均能体会到学数学的成功感，又能恰当的提高学生的兴趣【板书设计】直线的参数方程1直线的参数方程例1 例22参数的几何意义。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 直线和圆锥曲线的参数方程》1
直线的参数方程濉溪县孙疃中学 张玉梅教学目标知识与技能：掌握直线的参数方程的标准形式并理解其参数的几何意义；会应用参数的几何意义解决与距离有关的问题过程与方法：通过参数方程的推导过程学会直线普通方程与参数方程之间互化方法；通过参数几何意义的讨论，树立数形结合的思想情感、态度与价值观：在直线参数方程的推导过程中，培养学生逻辑思维的严谨性；在师生间平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情教学重难点重点：直线的几何条件，选择适当的参数写出直线的参数方程难点：从直线的几何条件联系到向量法，并选择“有向线段的数量”为参数 教学过程知识回顾问题 1）在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？2）已知一条直线过点()3,2P ，倾斜角为O 45，你能画出这条直线并写出它的的普通方程？ yo x提问 我们能用第三个量把直线上的点的坐标x 与y 联系起来吗？新知讲解已知直线经过点()00,y x P ，倾斜角是α，它的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） 直线的参数方程中哪些是参数，哪些是常数？思考参数t 有怎样的几何意义呢？巩固练习例11）求过点（3，0），倾斜角为 20的直线的参数方程2）直线01=-+y x 的一个参数方程？例2 直线⎪⎩⎪⎨⎧=+=o o t y t x 20cos 20sin 3()为参数t 的倾斜角是（ ） A 020 B 070 C 0110 D 0160例3 已知直线l 过点()1,1P ,倾斜角6πα=1）写出直线的参数方程；2）设直线l 与圆122=+y x 相交于A ,B 两点，求PB PA ⋅的值思考 上例条件不变，求AB 的值xy课后小结 本节课你有何收获？ 课后作业 教材38P 5~2。
数学北师大版高中选修4-4直线的极坐标方程
1
sin( ) 1 sin( 1 )
练习: 求过点 P(2, 3 ) 的直线方程
,倾斜角为 6
五、课堂小结 求直线极坐标方程的步骤:
(1)画出草图 (2)设直线上任意点 M ( , ) (3)连接OM
(4)用三角函数关系求 f ( , ) 0
变式1:求过点(a,30°) (a≠0),且垂直于极轴的 直线的极坐标方程. 变式2:求过点(a,90°) (a≠0),且平行于极轴的 直线的极坐标方程. 变式3:求过点(a,30°) (a≠0),且平行于极轴的 直线的极坐标方程.
设直线上任意点M(ρ ,θ ) 过极点的直线: 若极角为α ,则方程为 θ =α ,ρ ∈R
(4)据几何条件建立 , 的方程.
(5)化简检验.
练习
(1)求过点 (2, ) ,且垂直于极轴 的直线的极坐标方程. (2)求过点 (2, ) ,且平行于极轴cos 2 (2) sin 1
例题: 求经过点A(2,0),倾斜角为 30°的直线的极坐标方程. 分析:由图像分析知,采用正弦定理
(5)化简检验.
题型: 直线过极点时； 直线垂直与极轴时； 直线平行与极轴时； 直线的倾斜角为θ 时。
2、已知OH垂直直线l于H，o为极点， |OH|=d, ｘOH= ，求直线l的极坐 标方程。
解：在直线l任取一点M(ρ, θ)， 在RtOHM中，
l d O H M(ρ, θ) x
由 cos( ) d d 得： cos( )
变式: 求经过点A(a,0),倾斜角为 30°的直线的极坐标方程.
四、巩固练习:
1、书P 13
练习
推广到一般: 变式: 如图,设P( 1 ,1 ) ,直线 l 过点P 且与极轴所成的角为 求直线 l 的方程. M P 解:
2017-2018学年北师大版选修4-4 直线与圆的相关问题(第一课时) 教案
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
（3）直线方程
①点斜式： 直线斜率k，且过点
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
②斜截式： ，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别为 。
完成《极坐标习题二》
③一般式： （A，B不全为0）
注意： 各式的适用范围 特殊的方程如：
平行于x轴的直线： （b为常数）；平行于y轴的直线： （a为常数）；
3.直线 表示经过原点，倾斜角为 的直线，直线方程为： 。
4.点到直线的距离公式。
二、典型例题
例1.[2014·陕西卷15] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点 到直线ρsin ＝1的距离是________．【答案】1
例2.求点 到直线 的距离。
三、课堂小结
你今天主要学习了什么？都有哪些收获？
课堂检测内容
1.（15北京理科）在极坐标系中，点 到直线 的距离为．
2.求点 到直线 的距离。
课后作业布置
1.（15年广东理科）已知直线 的极坐标方程为 ，点 的极坐标为
，则点 到直线 的距离为
2、课本第17页练习2,4
预习内容布置
科目:高二数学授课时间：第12周星期四
单元（章节）课题
本节课题
2.4直线与圆的相关知识（第一课时）
三维目标
知识与技能：会将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，求点到直线的距离，
过程与方法：通过解决点到直线的距离问题，巩固极坐标方程转化为直角坐标方程；
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4坐标系与参数方程 极坐标系》63
学生活动
及设计意图
让学生感受身 边的数学，温 故知新，抓住 学生的探究欲 望
1 在平面直角坐标系中求曲线方程的根本步骤？
问题探究
2 在极坐标系中求曲线方程的根本步骤？ 射线 OB 的极坐标方程是什么？
3
学生思考、合 作探究
以问题教学的 方式抛砖引玉 进一步激发学 生的探究欲望
射线 OD 的极坐标方程是什么？ 直线 BD 的极坐标方程是什么？
学生合作探 究、处理
检测新知的 掌握情况，及 时反应信息
课后思考 课堂小结 结合学习目标进行小结
能力提高
为下一节知 识做准备
回忆知识点， 寻疑解惑
课题
直线的极坐标方程 教学设计〕 授课人：周春雨
教学目标 1. 掌握求曲线极坐标方程的根本步骤
2. 会求直线的极坐标方程并理解直线的极坐标方程不唯一 3 通过直线的极坐标方程的推导过程体验知识的生成，渗透数形结合思想
重点 难点
求直线的极坐标方程 如何能建立的关系
新课引入
PPT 展示我校主教学楼， 建立数学模型，引出新知
例题探究
例1. 求过点 A3,0，且垂直于极轴的直线 L 的极坐标方程 例 1 师生共
同探究，例 2
例 3 在极坐标系中，求经过 A2,0、倾斜角为 坐标方程
的直线 L 的极
例 3 学生合 作探究、板演
C、一条直线
B、两条射线D、一条射线Fra bibliotek能力检测
A、两条相交的直线
通过层层深入 的设置让每个 学生学到自己 的数学，提高 学生能力
高二数学北师大版选修4-4《圆的极坐标方程》教案
第121212星期星期星期二二二201620162016年年5月月月101010日日单元章节单元章节单元章节课题课题课题本节课题本节课题本节课题第二课时第二课时第二课时三维三维三维目标目标目标
石泉中学课时教案
科目:高二数学 教师:张艳琴授课时间：第12周星期二2016年5月10日
单元（章节）课题
本节课题
例1．求圆心在极点、半径为 的圆的极坐标方程。
例2. 求圆心在 、半径 为的圆的极坐标方程。
例3. 求圆心在 、半径1为的圆的极坐标方程。
三、课堂小结
你今天主要学习了什么？都有哪些收获？
课堂检测内容
1．课本 第14页 练习2
2．课本 第14页 练习3
课后作业布置
课本 第18页A组 4 （3）（4）
预习内容布置
难点：求曲线的极坐标方程的方法.
教 学 过 程
一、情境导入
复习：在极坐标系中，如何求曲线的方程？
（1）建立平面直角坐标系（对称、简洁）；
（2）设点（设动点、定点的坐标）；
（3）列式（寻找动点满足的条件）；
（4）坐标化（将条件用坐标表示）；
（5）化简、整理.
导入：在极坐标系中，如何圆的极坐标方程？
二、典型例题
2.3圆的极坐标方程（第二课时）
三维目标
知识与技能：能在极坐标中求圆的极坐标方程，掌握求极坐标方程的一般步骤；
过程与方法：通过求圆的极坐标方程，体会求曲线的极坐标方程的方法；
情感,态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
提炼的课题
圆的极坐标方程
教学重难点
重点：能在极坐标中求圆的极坐标方程；ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【北师大版】选修4-4数学：第2章《直线和圆的极坐标方程》学案(含答案)
2.3 直线和圆的极坐标方程2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程1．能在极坐标系中，求直线或圆的极坐标方程．2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化． 3．了解圆锥曲线统一的极坐标方程．1．直线和圆的极坐标方程 (1)极坐标方程与曲线．在极坐标系中，曲线可以用含有ρ，θ这两个变量的方程φ(ρ，θ)＝0来表示．如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下关系：①曲线C 上的每个点的极坐标中__________满足方程φ(ρ，θ)＝0； ②极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的__都在曲线C 上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的__________，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的____． (2)直线的极坐标方程．直线l 经过极点，倾斜角为α，则直线l 的极坐标方程是__________． (3)圆的极坐标方程．①圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是______；②圆心在(a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程是________．【做一做1－1】在极坐标系中，过点M ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，且平行于极轴的直线的极坐标方程是__________．【做一做1－2】在极坐标系中，圆心在点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2(a ＞0)处，且过极点的圆的极坐标方程是( )．A ．ρ＝2acos θB ．ρ＝2asin θ(0≤θ≤π)C ．ρ＝atan θD ．ρ＝2atan θ(0≤θ≤π) 2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化根据点的直角坐标与极坐标互化关系式，曲线方程两种形式的互化可以顺利完成． 点的直角坐标与极坐标互化关系如下：(1)点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y)的公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ ；(2)点M 的直角坐标(x ，y)化为极坐标(ρ，θ)的公式：⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝ ，tan θ＝【做一做2－1】极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线【做一做2－2】直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4化为极坐标方程为__________． 3．圆锥曲线统一的极坐标方程圆锥曲线统一的极坐标方程是ρ＝________， 当0＜e ＜1时，它表示____； 当e ＝1时，它表示______； 当e ＞1时，它表示______．【做一做3】把极坐标方程ρ＝42－cos θ化为直角坐标方程．1．求曲线的极坐标方程的步骤剖析：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上的任意一点；(2)由曲线上的点所满足的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式f(ρ，θ)＝0；(3)将列出的关系式f(ρ，θ)＝0进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程；(4)证明所得的方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．2．直角坐标与极坐标互化时的注意事项剖析：(1)两组公式是在三个条件规定下得到的；(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但一般约定只在规定范围内求值； (3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端． 答案：1．(1)①至少有一组(ρ，θ) ②点 极坐标方程 曲线 (2)θ＝α(ρ∈R) (3)①ρ＝r ②ρ＝2acos θ【做一做1－1】ρsin θ＝2(ρ≥0) 如图，设P(ρ，θ)(ρ≥0)为所求直线上任意一点， 在Rt △OMP 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2(ρ≥0)，即ρsin θ＝2(ρ≥0)． 【做一做1－2】B 如图所示，圆与射线OP 的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫2a ，π2，在圆上任取一点M(ρ，θ)，连接OM 和MP ，则有OM ⊥MP ，在Rt △MOP 中，由Rt △MOP 的边角关系可得ρ＝2acos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2asin θ(0≤θ≤π)． 2．(1)ρcos θ ρsin θ (2)x 2＋y 2y x【做一做2－1】D ∵cos θ＝22，∴ρcos θ＝22ρ. 两边平方，得x 2＝12(x 2＋y 2)，即y ＝±x.又∵ρ≥0，∴ρcos θ＝x≥0. ∴y ＝±x(x≥0)表示两条射线．【做一做2－2】ρ＝4sin θ x 2＋(y －2)2＝4可化为x 2＋y 2＝4y ，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4ρsin θ，化简得ρ＝4sin θ.3．ep1－ecos θ椭圆 抛物线 双曲线【做一做3】解：由ρ＝42－cos θ变形得2ρ－ρcos θ＝4，把ρ＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入，平方，得4x 2＋4y 2＝x 2＋8x ＋16，即3x 2－8x ＋4y 2－16＝0.题型一 求直线的极坐标方程【例1】设P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 过P 点且倾斜角为3π4，求直线l 的极坐标方程．分析：设M(ρ，θ)(ρ≥0)是直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，构造三角形求OM.反思：在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：设M(ρ，θ)为直线上任意一点，极点为O ，连接OM ，构造出含有OM 的三角形，再找出我们需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程．也可以先求出直角坐标方程，再化为极坐标方程．题型二 求圆的极坐标方程【例2】求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．反思：在极坐标系中，求圆的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的关系，将它用坐标表示并化简，得到ρ和θ的关系，即为所求极坐标方程．题型三 极坐标方程和直角坐标方程的互化【例3】将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化．(1)x 2＋y 2＝4；(2)(x －1)2＋(y ＋2)2＝4；(3)ρ＝3cOs θ；(4)ρ＝cOs ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. 反思：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上点的位置的方法，都是研究平面图形的重要工具．在进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，除了正确使用互化公式外，还要注意变形的等价性．题型四 圆锥曲线的极坐标方程【例4】平面直角坐标系中，有一定点F(2,0)和一条定直线l ：x ＝－2.求与定点F 的距离和定直线l 的距离的比等于常数12的点的轨迹的极坐标方程．分析：用待定系数法求极坐标方程．反思：求圆锥曲线的极坐标方程，关键是建立极坐标系，明确P 的几何意义，求出e 和P ，圆锥曲线的极坐标方程就求出来了．答案：【例1】解：如图所示，设M(ρ，θ)(ρ≥0)为直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，连接OM ，OP ，该直线交Ox 于点A ，则有|OM|＝ρ，|OP|＝2，∠MOP ＝|θ－π4|，∠OPM ＝π2，所以|OM|cos ∠MOP ＝|OP|，即ρcos ⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π4＝2，即ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，显然点P 也在这条直线上． 故所求直线的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2. 【例2】解：如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A ，在圆上任取一点P(ρ，θ)，连接OP ，PA ，在Rt △OPA 中，|OA|＝8，|OP|＝ρ，∠AO P ＝θ，∴|OA|·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圆C 的极坐标方程．【例3】解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝4得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4，即ρ2＝4.(2)将(x －1)2＋(y ＋2)2＝4展开得x 2－2x ＋y 2＋4y ＝－1.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2－2x ＋y 2＋4y＝－1，得(ρcos θ)2－2ρcos θ＋(ρsin θ)2＋4ρsin θ＝－1.化简，得ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋1＝0.(3)因为ρ＝3cos θ，所以ρ2＝3ρcos θ，即x 2＋y 2＝3x.(4)由ρ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θsin π4＝22cos θ＋22sin θ. 整理，得ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ， 即x 2＋y 2＝22x ＋22y. 即x 2－22x ＋y 2－22y ＝0. 【例4】解：过定点F 作定直线l 的垂线，垂足为K ，以F 为极点，FK 的反向延长线Fx 为极轴，建立极坐极系．由题意，设所求极坐标方程为ρ＝ep1－ecos θ，∵定点F(2,0)，定直线l ：x ＝－2，∴p 为F 点到直线l 的距离，为2－(－2)＝4.又常数12＝e ，∴所求点的轨迹的极坐标方程为ρ＝ep 1－ecos θ＝12×41－12cos θ，即ρ＝42－cos θ.1极坐标方程为ρ＝2cos θ的圆的半径是( )．A ．1B ．2C ．12D ．3 2过点A(2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )． A ．ρcOs θ＝2 B ．ρsin θ＝2 C ．ρcOs θ＝1 D ．ρsin θ＝1 3已知一条直线的极坐标方程为πsin 42ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则极点到该直线的距离是__________． 4从原点O 引直线交直线2x ＋4y －1＝0于点M ，P 为射线OM 上一点，已知|OP|·|OM |＝1.求P 点的轨迹的极坐标方程．答案：1．A ∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x.化简，得(x －1)2＋y 2＝1.∴半径为1. 2．A 如图所示，设M(ρ，θ)为直线上除A(2,0)外的任意一点，连接OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA|＝2，|OM|＝ρ，所以有|OM|cos θ＝|OA|，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2. 3．22 ∵ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ρsin θcos π4＋ρcos θsin π4 ＝22ρsin θ＋22ρcos θ＝22， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即x ＋y ＝1.则极点到该直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22.4．解：以O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，直线2x ＋4y －1＝0的方程可化为2ρcos θ＋4ρsinθ－1＝0，设M(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝θ0，ρ0·ρ＝1，知⎩⎪⎨⎪⎧θ0＝θ，ρ0＝1ρ.代入2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0，得2×1ρcos θ＋4×1ρsin θ－1＝0，整理，得ρ＝2cos θ＋4sinθ.所以P 点的轨迹的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ.。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系》6
圆的极坐标方程教学设计（泰和中学翁远珍）学习目标：1.会求圆心不同的圆的极坐标方程，能写出不同位置的圆的极坐标方程，已知圆的极坐标方程，能在极坐标系中画出圆的图形；2.体会圆的极坐标方程的推出过程；3.类比直角坐标系中求圆心不同的圆的方程，感受极坐标系中求曲线方程的方法；4.通过教学，使学生体会类比的思想，进一步认识数形结合的数学思想。
5.通过本节课的学习，体会这部分知识与高数学其它内容的联系，感受数学的整体性。
学习重点：圆的极坐标方程的求法与步骤学习难点：一般形式下圆的极坐标方程的推导学习过程：一、知识回顾1极坐标系的概念在面内取一个定点O，叫极点，从O点引一条射线O,叫做极轴，选定一个单位长度和角的正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系。
2极坐标曲线方程3求曲线极坐标方程的步骤与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是：（1）建系（2）设点（点与坐标的对应）（3）列式（方程与坐标的对应）（4）化简得方程fρ,θ=0（5）说明下结论4直线的极坐标方程及求法建立三角形，利用正弦定理或余弦定理列出长度ρ与角θ的关系式。
提问：如何求已知圆心和半径的圆的极坐标方程呢？二、新课：例1分别求满足下列条件的圆的极坐标方程（1）圆心在极点、半径为r（2）圆心在a,0 （a>0）且半径为a（3）圆心在（ a,π/2 ）（a>0）且半径为a设圆上的动点P 的坐标为(,)ρθ，（1）图1中，动点P 不论运动到什么位置，到极点的距离始终是a ，所以圆的极坐标方程是：a ρ=（2）图2中，设圆与极轴交于点A ，在直角三角形OPA 中，cos 2a ρθ=，即2cos a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程（3）图3中，设圆与垂直于极轴的直线交于点B ，则PBO θ∠=，在直角三角形PBO 中，sin 2PBO a ρ∠=，即2sin a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程三．课堂探究探究一变式探究：通过小组合作探究解决以下问题1求圆心在ρ0，θ0，半径为r 的圆的极坐标方程。
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第四课时 直线和圆的极坐标方程
一、教学目的：
知识目标：掌握极坐标方程的意义
能力目标：能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法
教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解
三、教学模式：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
问题情境
1、直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标也有同样作用？
2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程； 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？
学生回顾
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？
2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义
3、求曲线方程的步骤
（二）、讲解新课：
1、引例：以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径
为5的点都在这个圆上。
因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。
2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？
3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程
0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方
程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
4、求直线和圆的极坐标方程
例1、【课本P13页例5】求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。
教师分析：设动点的极坐标抓住几何图形特征建立关系式。
学生练习。
变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。
答案：cos 1ρθ=-
例2、【课本P13页例6】求经过点A(2,0)、倾斜角为6π的直线的极坐标方
程。
分析：设动点的极坐标，在三角形OAM 中利用正弦定理可解。
学生练习。
反思归纳：以上题目均为求直线的极坐标方程，方法是设动点的极坐标，抓住几何图形特征建立ρ与θ的关系式。
例3、【课本P14页例8】求圆心在（a,0）(a>0)、半径为a 的圆的极坐标方程
学生练习，准对问题讲评。
变式训练：求圆心在)2
,3(π
A 且过极点的圆A 的极坐标方程。
（三）、巩固与练习：课本P14页练习中2、3
（四）、小结：本节课学习了以下内容：1．如何求直线和圆的极坐标方程 。
2．极坐标系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的关系是一致的。
3、掌握求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤。
（五）、作业：课本P18页A 组 4、11 B 组中1
六、教学反思：。