高中数学(北师大版)选修4-4 同步教学第二讲 参数方程 2.2
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第二讲 2.2 2.2.2 双曲线的参数方程
1．已知动点 M 和定点 A(5,0)，B(－5,0)．
x2 y2 － ＝1 (1)若||MA|－|MB||＝8，则 M 的轨迹方程是__________________ ； 16 9 x 2 y2 － ＝1(x＜0) (2)若|MA|－|MB|＝8，则 M 的轨迹方程是____________________ ； 16 2 9 2 栏 x y 目 － ＝1(x＞0) (3)若|MB|－|MA|＝8，则 M 的轨迹方程是____________________ ． 链 16 9
2 2
x＝2sec α， ∴参数方程为 (α 为参数)． y＝2tan α
变式 训练
x＝ 3tan θ， 1．已知双曲线的参数方程为 (θ 为参数)， y＝sec θ
则它的两条渐近线所成的锐角是________．
栏 目 链 接
答案：60°
题型2
第二讲 参数方程
2.2 圆锥曲线的参数方程
2.2.2 双曲线的参数方程
栏 目 链 接
1.理解双曲线参数方程的概念。
2.能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。
3.掌握参数方程化为普通方程的 几种基本方法。
栏 栏 目 目 链 链 接 接
4.利用双曲线的参数方程求确定最值和轨迹问题。
栏 目 链 接
栏 目 链 接
变式 训练
2．已知定点 A(0,4)和双曲线 x2－4y2＝16 上的动点 B， 点 P 分有向线段 AB 的比为 1∶3，则利用双曲线的参数方 程可求得点 P 的轨迹普通方程是_______________．
栏 目 链 接
答案：x2－4(y－3)2＝1
x2 y2 － ＝1 的参数方程为________. 16 9
2.2 圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
观察2
圆 心 为 O1 ( a , b )、 半 径 为 r的 圆 可 以 看 作 由 圆 心 为 原 点 O 、 半 径 为 r的 圆 平 移 得 到 , 设 圆 O1上 任 意 一 点 P ( x , y ) 是 圆 O 上 的 点 P1 ( x1 , y1 ) 平 移 得 到 的 , 由平移公式,有 x x1 a y y1 b
y
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值，
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1， 用参数方程表示为 x 3 cos y 2 sin 由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ） （1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2
=14+4 sinθ +6cosθ=14+2
sin(θ +ψ). 13
(其中tan ψ =3/2)
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ，最小值为14- 2 13 。 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
2 sin（θ +
2
） 4 。
4 )
∴ x+y的最大值为5+ 2 ，最小值为5 3 cos 2 sin 1 2
2
一段抛物线； （ 3） x y 4 , 双曲线；
高中数学 第二章 参数方程 2.4 平摆线和渐开线名师课件 北师大版选修4-4
则基圆的面积为 .
解析:由题意知基圆的半径为3,所以S=πr2=9π. 答案:9π
12345
5 已知圆 C 的参数方程是
������ ������
= =
1 + 6cos������, -2 + 6sin������
(������为参数),
直线������对应的普通方程是������ − ������ − 6 2 = 0.
B.
������ ������
= =
-4cos������, -4sin������
(������为参数)
C.
������ ������
= =
4(������-sin������), 4(1-cos������)
(������为参数)
D.
������ ������
= =
4(1-sin������), 4(������-cos������)
(������为参数)
答案:C
12345
3面积为81π的圆的平摆线的参数方程为
.
解析:因为 S=81π,所以 r=9.
所以圆的平摆线的参数方程为
������ ������
= =
99((���1���--csoins������������)),(������为参数).
答案:
������ ������
解:由题意知,y=1-cos t=1,所以 cos t=0,
∵当0t≤1=t<π2 2时π,,∴x=t1π2=−π2
, ������2 sin
=π2 =32ππ2. − 1, ������
=
1 − cos
π 2
=
1.
∴������
2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
3 5 3 5 4 2
（）如何写出直线的参数方程？ 1 l
①
（）如何求出交点 ，B所对应的参数1，t 2 ? 2 A t
二、新课讲授
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角， 求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 ) sin 要注意: 把它变成y y0 ( x x0 ) x 0, y0 都是常 cos y y0 x x0 进一步整理，得： 数,t才是参 sin cos 数 y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数） y y0 t sin
(*)
由韦达定理得：1 x2 1，x1 x2 1 x
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ，y2 由(*)解得：x1 ，x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , )，B( , ) 2 2 2 2
C. 45
0
D.135
0
一、课题引入
我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y y0 k ( x x0 )
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
y kx b
x y 1 a b
一般式: Ax B x1
tan
三、例题讲解 例1 已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 2交于 例1.
选修4-4 第二讲 参数方程 复习课
反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求 法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决. (2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆 心的直线、圆心到直线的距离等.
跟踪训练 3 已知曲线 C：x42＋y92＝1，直线 l：yx＝＝22－＋2t，t (t 为参数). (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
解答
(2)直线
l
的参数方程是xy＝ ＝ttcsions
α， α
(t 为参数)，l 与圆 C 交于 A，B 两点，
|AB|＝ 10，求 l 的斜率.
解答
解 方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝
α(ρ∈R).
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方 程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.
(3)椭圆 中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的参数方程 为(4)_双__曲__xy线_＝ ＝__ab_csio_ns_φ_φ_，___(_φ__为__参_.数) 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b2x2－a2y2＝a2b2(a>0，b>0)的参 数方程为____xy_＝ ＝__ab_st_aen_c_φφ_，____(φ__为__参__数. )
解
曲线
C
的参数方程为xy＝＝23csions
θ， θ
(θ 为参数).
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
解答
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最
大值与最小值.
解 曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为 d＝ 55|4cos θ＋3sin θ－6|，
高二数学选修4-4：第二讲 一 曲线的参数方程 1.参数方程的概念
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求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设 M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画 图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之 间的关系． (2)选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是 曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显，容易列出 方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运 动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选 旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的 倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数． (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等， 建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
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求曲线的参数方程
[例 2] 如图，△ABP 是等腰直角三角形， ∠B 是直角，腰长为 a，顶点 B，A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的 参数方程．
[思路点拨] 解决此类问题关键是参数的选取．本例中由 于 A，B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数， 或以角为参数，此时不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
则其对应的参数 t 的值为________．
解析：由 t＋1t＝2，解得 t＝1. 答案：1
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2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a. 解：∵点 M(5,4)在曲线 C 上，∴45＝＝a1＋ t2，2t， 解得ta＝＝21，. ∴a 的值为 1.
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高中数学选修4-4-参数方程
参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1．参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x，y）＝0叫做普通方程．2．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．4．圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为___．例2.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是___．例3.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=___．当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程是=（θ为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为（t为参数），点P在直线上，且与点M0（-4，0）的距离为2，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中P点对应的t值为____．练习4.设a∈R，直线ax-y+2=0和圆（θ为参数）相切，则a的值为___。
高中数学第二章参数方程224双曲线的参数方程课件北师大版选修4
得(|F1P|·|F2P|)2＝[(secθ＋ 2)2＋tan2θ]·[(secθ－ 2)2＋tan2θ] ＝(sec2θ＋2 2secθ＋2＋tan2θ)·(sec2θ－2 2secθ＋2＋tan2θ) ＝(2sec2θ＋1)2－(2 2secθ)2 ＝4sec4θ－4sec2θ＋1＝(2sec2θ－1)2. 又|OP|2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1， 由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
第13页
题型三 抛物线参数方程的应用 例 3 由抛物线 y2＝2x 上各点作 y 轴的垂线段，求线段中点 的轨迹方程(参数形式)．
第14页
【解析】 ∵抛物线的方程为 y2＝2x， ∴可设抛物线上任一点坐标为(2t2，2t)，向 y 轴作垂线垂足 为(0，2t)． ∴它们的中点坐标为(t2，2t)． ∴中点的轨迹方程为yx＝＝2t2t，(t 为参数)． 轨迹为一条抛物线．
y＝sinθ
A．抛物线的一部分
B．抛物线
C．双曲线的一部分
D．双曲线
第21页
答案 A 解析 ∵x＝cos2θ＝1－sin2θ，y＝sinθ， ∴x＝1－y2，即 y2＝－x＋1(0≤x≤1)． 故曲线为抛物线的一部分．
第22页
3．方程 x＝ 3y2－1所表示的曲线的参数方程为________．
答案
| ab ＋abtanφ| | ab －abtanφ|
cosφ
则 d1·d2＝
b2＋a2
cosφ · b2＋（－a）2
＝a2a＋2b2b2(定值)．
第26页
第27页
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
高中数学第二章参数方程2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程课件北师大版选修4_4
圆 ， 则 圆 心 (1 ， 3 ) 到 直 线 x ＋ 3 y － 2 ＝ 0 的 距 离 为
|1＋ 3× 12＋
33－2 2|＝1，故直线和圆相切．
(2)设圆上的点 P(1＋cos θ， 3＋sin θ)(0≤θ<2π)．
|OP|＝ 1＋cos θ2＋ 3＋sin θ2＝ 当 θ＝43π时，|OP|min＝1.
的参数方程为xy＝＝23scions
φ， φ
(φ 为参数)，
设 P(x，y)是椭圆上在第一象限内的一点，
则 P 点的坐标是 P(3cos φ，2sin φ)，
内接矩形面积为
S＝4xy＝4×3cos φ·2sin φ＝12sin 2φ.
当 sin 2φ＝1，即 φ＝45°时，面积 S 有最大值 12，
这时 x＝3cos 45°＝322，y＝2sin 45°＝ 2.
故面积最大的内接矩形的长为 3 2，宽为 2 2，最大面积为
12.
与椭圆上的动点 M 有关的最值、定值、轨迹等 问题一般利用其参数方程求解．
2．在平面直角坐标系 xOy 中 ，设 P(x，y)是椭圆x32＋y2＝1 上一个动点，求 x＋y 的最大值． 解：椭圆方程x32＋y2＝1 的参数方程为xy＝＝sin3cθos θ， (θ 为参数)． 设椭圆上任一点 P( 3cos θ，sin θ)， 则 x＋y＝ 3cos θ＋sin θ＝2sinθ＋π3. ∵sinθ＋π3∈[－1,1]， ∴当 sinθ＋π3＝1 时，x＋y 取最大值 2.
x＝rcos α， OM＝OPcos α，MP＝OPsin α，即 y＝rsin α (α 为参
数)．这就是圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程．参数
α 的几何意义是 OP 与 x 轴正方向的夹角．
优质课一等奖选修4-4第二讲参数方程(圆锥曲线的参数方程)
如图,以原点为圆心,分别以a, b(a>b>0)为半径作两个圆,
点B是大圆半径OA与小圆的交点, 过点A作AN⊥Ox,垂足为N, 过点B作BM⊥AN,垂足为M, 设以Ox为始边，OA为终边的角为θ， 点M的坐标是(x, y)。
y
A BM O Nx
那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。
由于点A, B均在角θ的终边上，由三角函数的定义有:
x2 y2
例4 求椭圆 a2 b2 1(ab0)的内接 矩形的面积及周长的最大值。
解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是
A (aco ， sbsin )(0 ) 矩形面积和周长分别是S、L 2
S 4 |F | |A E | 4 A a co b ssi n 2 asbi2 n2 ab
S 平行 M四 A |O O 边 |B |O A 形 |sB 2 in cxoAscxoBssin2
a2s4 e2c c o 2 tsa2 nsi2 na22tana22a ba2b.
由此可见，平行四边形MA与O点B的M面在积双恒曲为线定上值的，位置无关
a x2 2-b y2 21(a0,b0)的 参 数 方 程 为 ：
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.
x2
y2
例3、已知椭圆 1 0 0 6 4 1 有一内接矩形ABCD，
求矩形ABCD的最大面积。
Yy
D
B2 A
A1 F1
C
O F2
B
B1
A2 XX
练习 已知A,B两点是椭圆
与坐标轴正
半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边
形OAPB的面积最大.
94
直线 l：x+2y-10=0的距离最小.
[学习资料]高中数学 2.2圆的参数方程及应用教案 北师大版选修4-4
![[学习资料]高中数学 2.2圆的参数方程及应用教案 北师大版选修4-4](https://img.taocdn.com/s3/m/5717dbf650e2524de5187e30.png)
第二课时 圆的参数方程及应用一、教学目标：知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
利用圆的几何性质求最值（数形结合）过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程：（一）、圆的参数方程探求1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。
)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。
说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。
（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？3、若如图取<PAX=θ，AP 的斜率为K ，并阅读课本P33页。
结论：4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。
（二）、应用举例例1、【课本P33页例3】已知两条曲线的参数方程⎩⎨⎧==θθsin 5cos 5:1y x C (θ为参数)和⎩⎨⎧+=+=00245sin 345cos 4:t y t x C (t 为参数) 为参数、指出参数方程)(sin 235cos 22ααα+=-=⎩⎨⎧y x（1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。
学生练习，教师准对问题讲评。
（二）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）例2、1、已知点P （x ，y ）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y 的最值，（3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。
解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为 由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ），（1） x2+y2 = (3+cos θ)2+(2+sin θ)2 =14+4 sin θ +6cos θsin(θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为。
坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)
y=sinθ
3
则x+y= 3 cosθ+sinθ=2sin(θ+ ) 3 当 . ，x+y取得最大值2。
6
练习：
x t 3 1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 y 3 t (参数t∈R)，圆C的参数方程为 x 2cos (参数θ ∈ y 2sin 2 ［0,2π )),则圆C的圆心到直线l的距离为_____. 2 2 2.已知圆C的参数方程为 x cos (α 为参数)，以原点 y 1 sin
则θ =_____. 【解析】直线为y=xtanθ，圆为(x-4)2+y2=4,作出图形, 相切时，易知倾斜角为 或 5 .
6 6
2 0
A(4,0)
x2 【例3】.已知点P为椭圆 y 2 1 在第一象限部分上的点， 3
则x+y的最大值等于_____.
x= 3 cosθ
2 解析:设椭圆 x y 2 1在第一象限部分上的点P
为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方 程为ρ sinθ =1,则直线l与圆C的交点的直角坐标为
(-1，1)，(1，1) ______________________.
• • • • •
1.极坐标的定义及ρ、θ的含义。 2.能写出、认出简单图像的极坐标方程。 3.极坐标与直角坐标的互化（重点是极化直）。 4.参数方程的定义。 5.能写出、认出简单图像的参数方程，及参数 的几何意义。 • 6.参数方程化普通方程。
坐标方程是_____. 【审题指导】先求圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程. 【自主解答】直线l：ρcosθ-2=0的普通方程为x=2, M(2,0),以OM为直径的圆的普通方程是(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x，化为极坐标方程为ρ=2cosθ.
2018版数学课堂讲义北师大版选修4-4课件：第二讲 参数方程2-1 2-2 精品
【反思感悟】 本题P到A、B两点的距离就是参数方程中t的
两个值，可以充分利用参数的几何意义.
3 x＝－ 3＋ 2 t， 2.已知直线 l： (t 为参数). y＝2＋1t 2 (1)分别求 t＝0，2，－2 时对应的点 M(x，y)； (2)求直线 l 的倾斜角； (3)求直线 l 上的点 M(－3 3，0)对应的参数 t，并说明 t 的几何意义.
x＝t， 得到参数方程 y＝2t＋1
t (t 为参数)；如果令 x＝2，可得到
t x＝ ， 参数方程 2 (t 为参数) y＝t＋1
这样的参数方程中的 t 不具有一定的几何意义，但是在 实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点 M 做匀 速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12，点 M 从 A 点(1，1)开始运动，求点 M 的轨迹的参数 方程.点 M (t 为参数).
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为
B1＋ A1＋
3 1 t ，1＋ t1， 2 1 2
3 1 t2，1＋ t2.以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4， 2 2
整理得到 t2＋( 3＋1)t－2＝0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
π 【例 2】 已知直线 l 经过点 P(1，1)，倾斜角α ＝6， (1)写出直线 l 的参数方程； (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、 B， 求点 P 到 A、 B 两点的距离之积.
3 x＝1＋ 2 t， 解 (1)直线的参数方程是 (t 是参数). y＝1＋1t 2
北师大版高中数学选修4-4第2讲：参数方程(教师版)
北师大版高中数学参数方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：()()x f ty g t=⎧⎨=⎩；反过来，对于t的每个允许值，由函数式()()x f ty g t=⎧⎨=⎩所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程()()x f ty g t=⎧⎨=⎩叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的()()x f ty g t=⎧⎨=⎩，就是参数方程．二.圆的参数方程点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：cos sin x r ty r t=⎧⎨=⎩(t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程为：cos sin x a r ty b r t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.三．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆参数方程．四．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为tan x asec y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)，且φ≠π2，φ≠3π2.这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线参数方程．五．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在x 轴正半轴上的抛物线参数方程．六.直线的参数方程1．过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t ＝0.2．若直线的参数方程为一般形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)， 可把它化为标准形式：00cos sin t x t x y y αα=+⎧⎨='+'⎩(t′为参数)．其中α是直线的倾斜角，tan α＝ba ，此时参数t′才有如前所说的几何意义．类型一.参数方程与普通方程的互化例1：指出参数方程3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2表示什么曲线解析：由3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)得x 2＋y 2＝9.又由0＜θ＜π2，得0＜x ＜3，0＜y ＜3，所以所求方程为x 2＋y 2＝9(0＜x ＜3且0＜y ＜3)． 这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)． 答案：这是一段圆弧(圆x 2＋y 2＝9位于第一象限的部分)．练习1：指出参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)．表示什么曲线解析：由参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)得(x －3)2＋(y －2)2＝152，由0≤θ＜2π知这是一个整圆弧．答案：一个整圆弧例2：设直线l 1的参数方程为1,13x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数),直线l 2的方程为y =3x +4,则l 1与l 2间的距离为______.解析：由条件知,l 1∥l 2,在l 1中令t=0,则得坐标为(1,1). 由点到直线距离公式得l 1与l 2距离为:5=练习2：若直线112,:2x t y l kt =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线l 2:,12x s y s =⎧⎨=-⎩(s 为参数)垂直,则k =______.解析：由l 1消去参数t 得,2,22k k y x =-++斜率为-.2k由l 2消去参数s 得,12y x =-,斜率为-2.∵两直线垂直,(2)()12k ∴-⋅-=-,得k =-1. 答案：-1类型二.曲线参数方程例3：已知点P (x , y )在曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上,则yx 的取值范围为______.解析：曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)是以(-2,0)为圆心,以1为半径的圆,设y k x =,求yx 的取值范围,即求当直线y =kx 与圆有公共点时k 的取值范围,如图22-60结合圆的几何性质可得33k -≤≤故填[33-答案：[,]33-练习1：已知点A (1,0),P 是曲线2cos ,1cos 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ∈R )上任一点,设P 到直线l :y =12-的距离为d ,则|PA|+d 的最小值是______.解析：y 21cos 22cos ,θθ=+=消去22(02)x y y θ=≤≤得 其图像是一段抛物线弧,如图22-61,1(0,)2F 是它的焦点,l 是准线,d =|PF|,当A ,P ,F 三点共线时,||PA d +最小,其值是||2AF =例4：已知θ为参数,则点(3,2)到方程cossinxyθθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小值是______.解析：把cossinxyθθ=⎧⎨=⎩,化为普通方程为221,x y+=所以点(3,2)到方程cossinxyθθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小1.1.练习1：已知圆C的参数方程为cos1,sinxyθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则点P(4,4)与圆C上的点的最远距离是______.解析：由cos1,sinxyθθ=+⎧⎨=⎩得22(1)1x y-+=,则点P(4,4)与圆C上的点的最远距离是16=答案：6例5：已知双曲线方程为x2－y2＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．答案：设d1为点M到渐近线y＝x的距离，d2为点M到渐近线y＝－x的距离，因为点M在双曲线x2－y2＝1，则可设点M坐标为(secα，tanα)．d1＝|sec α－tan α|2，d2＝|sec α＋tan α|2，d1·d2＝|sec2α－tan2α|2＝12，故d1与d2的乘积是常数．练习1：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x＝a2⎝ ⎛⎭⎪⎫t＋1t，y＝b2⎝⎛⎭⎪⎫t－1t(t为参数，a＞0，b＞0)化为普通方程．解析：∵t＋1t＝2xa，t－1t＝2yb，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2＝4x 2a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝t 2＋1t 2－2＝4y 2b 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4＝4x 2a 2－4y 2b 2，即x 2a 2－y2b2＝1. 答案：x 2a 2－y2b 2＝1类型三.直线参数方程例6：曲线C 1:1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线C 2:1,2112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______.解析：C 1:221cos ,(1)1;sin x x y y θθ=+⎧⇒-+=⎨=⎩则圆心坐标为(1,0).21,2:112x t C y t⎧=-⎪⎪⇒⎨⎪=-⎪⎩10.x y ++=由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为d=2=,所以要求的最短距离为d -1=1.答案：1练习1：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10 D ．2 2解析：根据点到直线的距离公式可以得出结果. 答案：B类型四.曲线参数方程的应用例7：在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解析：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2.由此得，当cos⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.答案：(1)点P 在直线l 上． (2)最小值为 2.练习1：已知曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12（e t ＋e －t ）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ.当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？两曲线有何共同特征？答案：当θ为参数时，将原参数方程记为①， 将参数方程①化为 ⎩⎪⎨⎪⎧2x e t ＋e －t＝cos θ，2y e t－e－t ＝sin θ，平方相加消去θ，得x2⎝ ⎛⎭⎪⎫e t ＋e －t 22＋y2⎝ ⎛⎭⎪⎫e t －e －t 22＝1.②∵(e t ＋e －t )2＞(e t －e －t )2＞0， ∴方程②表示的曲线为椭圆． 当t 为参数时，将方程①化为⎩⎪⎨⎪⎧2x cos θ＝e t ＋e －t，2y sin θ＝e t －e －t.平方相减，消去t ，得x 2cos 2θ－y2sin 2θ＝1.③ ∴方程③表示的曲线为双曲线，即C 为双曲线．又在方程②中⎝ ⎛⎭⎪⎫e t ＋e －t22－⎝ ⎛⎭⎪⎫e t －e －t22＝1，则c ＝1，椭圆②的焦点为(－1，0)，(1，0)．因此椭圆和双曲线有共同的焦点．类型五.极坐标与参数方程的综合应用例8：(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 解析：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2y 2＝8x 得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－4，所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)． 答案：(2，－4)练习1：求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.解析：将极坐标方程转化成直角坐标方程:223cos ,3,x y x ρθ=+=可得即2239()24x y -+=,22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩可得23,x y -=所以圆心到直线的距离0,d ==即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为3.答案：31.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)答案：C 2.椭圆42cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的焦距为( )A.21 B ．221C.29D ．229答案：B3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t －e －t，y ＝e t ＋e －t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的下支 C ．双曲线的上支D ．圆答案：C 4.双曲线23tan sec x y θθ=+⎧⎨=⎩,(θφ为参数)的渐近线方程为答案：y ＝±13(x －2)5.(2015·惠州市高三第二次调研考试)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有________个． 答案：16．若直线3x +4y +m =0与圆1cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),没有公共点,则实数m 的取值范围是______.答案：(,0)(10,)-∞+∞7.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 答案：168.已知直线l :34120x y +-=与圆C :12cos ,22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数),试判断它们的公共点的个数.答案：圆的方程可化为22(1)(2)4,x y ++-=其圆心为C (-1,2),半径为2. 由于圆心到直线l 的距离72,5d ==< 故直线l 与圆C 的公共点个数为2.9.求直线2,,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)被双曲线x 2-y 2=1截得的弦长答案：把直线2,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)化为普通方程为y =+把它代入双曲线方程并整理得,2212130,x x -+=设直线交双曲线于1122(,),(,)A x y B x y 两点, 则1212136,,2x x x x +=⋅=则直线被双曲线截得的弦长||AB ==_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2，3) B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π2答案：B2．双曲线6sec x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)的两焦点坐标是( )A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0)答案：A3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2) D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)答案：C4.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线答案：C5.设O 是椭圆3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的中心，P 是椭圆上对应于α＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( )A.33B. 3C.332D.239答案：D6.将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是____________.答案：(x －1)2＋y 2＝47.点P(x ，y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为______，最小值为________． 答案： 5－ 58.在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB|＝________． 答案：2能力提升9.点(2，33)对应曲线4cos 6sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)中参数θ的值为( )A ．k π＋π6(k∈Z)B ．k π＋π3(k∈Z)C ．2k π＋π6(k∈Z)D ．2k π＋π3(k∈Z)答案：D10.椭圆x 29＋y24＝1的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的最小值为( )A.55B. 5C.655D ．0答案：A11．(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．答案：1412.在平面直角坐标系xOy 中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．答案：313.(2015·惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．解析：圆C 3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)表示的曲线是以点(3，1)为圆心，以3为半径的圆，将直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0的方程化为3x －y ＝0，圆心(3，1)到直线3x －y ＝0的距离: d ＝|3×3－1|（3）＋12＝1，故圆C 截直线所得弦长为232－12＝4 2.答案：4 214.(2014·辽宁卷)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．答案:(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x ，y)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.。
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|2＋6cos α＋6sin α－2| 6 26 π 6 26 d＝ ＝ 13 cosα－4∈0， . 13 13
数学
选修4-4
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第二讲 参数方程
考点二 双曲线参数方程的应用
双曲线参数方程的应用技巧 先设出双曲线上的点P的参数形式，利用斜率公式或点到直线的距离公式等转
示为某角θ的函数，运用三角知识求解．
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第二讲 参数方程
证明：如图所示， 设
a Pcos
α，btan
a α，Acos
θ，btan
θ. a B －cos
∵A，B 过原点 O，∴A，B 的坐标关于原点对称，于是有 btan α－tan θ btan α＋tan θ 从而 kPA· kPB＝ 1 1 · 1 1 acos α－cos θ acos α＋cos θ b2tan2 α－tan2 θ b2 ＝ 1 ＝a2为定值． 1 a2cos2 α－cos2 θ
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θ，－btan
θ，
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第二讲 参数方程
【变式 2】 在双曲线 x2－y2＝1 上求一点 P，使 P 到直线 y＝x 的距离为 2.
解析：设 P
1 的坐标为cos
φ，tan
φ， 1 cos
由 P 到直线 x－y＝0 的距离为 2得
1 即cos
x＝2pt 2 2 (4)抛物线x ＝－2py(p>0)的参数方程为___________( y＝－2pt t为参数)，t∈(－∞，＋∞)．
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第二讲 参数方程
课堂深度拓展
考点一 椭圆参数方程的应用
x2 y2 【例题 1】 已知 A，B 分别是椭圆36＋ 9 ＝1 右顶点和上顶点，动点 C 在该椭圆 上运动，求△ABC 的重心 G 的轨迹的普通方程．
φ－tan 2
φ
＝ 2
sin φ ＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ| － φ cos φ
y x a2－b2＝1(a>0，b>0)
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第二讲 参数方程
x2 y2 注意：在双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的参数方程中，通常规定参数 φ 的范围为 φ π 3π ∈[0,2π)，且 φ≠2，φ≠ 2 .
数学
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第二讲 参数方程
要点三 抛物线的参数方程
2 x＝2pt y＝2pt (1) 抛物线 y2 ＝ 2px(p ＞ 0) 的参数方程为 ____________( t 是参数 ) ， t∈( － ∞ ，＋
化为三角函数问题，再用三角知识去处理．
数学
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第二讲 参数方程
x2 y2 【例题 2】 直线 AB 过双曲线a2－b2＝1 的中心 O，与双曲线交于 A，B 两点，P 是双曲线上的任意一点．求证：直线 PA，PB 的斜率的乘积为定值．
思维导引：利用双曲线的参数方程，将动点用参数形式表示，从而将x，y都表
acos φ x＝_________ bsin φ y＝_________
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ 为参数)
(φ 为参数)
数学
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第二讲 参数方程
要点二 双曲线的参数方程
普通方程 x y a2－b2＝1(a>0，b>0)
2 2 2 2
参数方程 a x＝ cos φ (φ 为参数) btan φ y＝_________ x＝btan φ (φ 为参数) a y＝ cos φ
θ,3sin θ)，点
数学
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第二讲 参数方程
【变式 1】 (2016· 江西高三九校联考)曲线 C 的极坐标方程为 3ρsin θ＋2ρcos θ＝2， 曲线
x＝1＋3cos C1 参数方程为： y＝2sin α
α
(α 为参数)．
(1)求曲线 C1 的普通方程； (2)若点 M 在曲线 C1 上运动，试求出 M 到曲线 C 的距离的取值范围．
∞)；
2 x＝－2pt y＝2pt (2) 抛物线 y2 ＝－ 2px(p>0) 的参数方程为 ___________( t 是参数 ) ， t∈( － ∞ ，＋
∞)；
x＝2pt 2 y ＝ 2 pt (3)抛物线x2＝2py(p>0)的参数方程为___________( t为参数)，t∈(－∞，＋∞)；
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第二讲 参数方程
x－1 3 ＝cos α， x＝1＋3cos α， 解析：(1)由 C1 的参数方程 得 y＝2sin α y ＝sin α， 2
平方消去 α 得曲
x－12 y2 线 C1 的普通方程为 9 ＋ 4 ＝1. (2)设 M(1＋3cos α，2sin α)，曲线 C 的直角坐标方程为 2x＋3y－2＝0，
思维导引：由已知求出 A，B 坐标，再设出 C 点坐标(6cos B，C 的坐标表示出 G 点的参数方程，消参后得普通方程． θ，3sin θ)，再用 A，
数学
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第二讲 参数方程
解析：由动点 C 在该椭圆上运动，故据此可设点 C 的坐标为(6cos G 的坐标为(x，y)，则由题意可知点 A(6,0)，B(0,3)． x＝6＋0＋6cos θ＝2＋2cos θ， 3 由重心坐标公式可知 0＋3＋3sin θ y＝ ＝1＋sin θ. 3 x－22 由此消去 θ 得到 4 ＋(y－1)2＝1 即为所求．
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• 2.2 圆锥曲线的参数方程
第二讲 参数方程
2.1 曲线的参数方程
2.1.1 参数方程的概念与圆的参数方程
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要点一 椭圆的参数方程
普通方程 x2 y2 a2＋b2＝1(a>b>0) y2 x2 a2＋b2＝1(a>b>0) 参数方程