菱形专题培优训练
部编数学八年级下册菱形的判定专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优含答案
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题18.3菱形的判定专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•杜尔伯特县期中）菱形的周长为12，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）A．2B．3C．1D．【分析】根据已知可得较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长，根据周长可求得菱形的边长从而较短的对角线也就求得了．【解答】解：由已知得，较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长＝12÷4＝3，故选：B．2．（2022春•南岗区校级期中）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝9和BD＝6，那么菱形ABCD 的面积为（ ）A．4B．30C．54D．27【分析】直接根据菱形面积等于两条对角线的长度乘积的一半进行计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的面积＝BD•AC＝×6×9＝27，故选：D．3．（2022春•墨玉县期末）如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（ ）A．20B．40C．28D．24【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．【解答】解：菱形的面积为6×8÷2＝24，故选：D．4．（2022春•南召县期末）四边形具有不稳定性，小明将一个菱形ABCD转动，使它形状改变，当转动到使∠B＝60°时（如图），测得AC＝2；当转动到使∠B＝120°时，AC的值为（ ）A．2B．C．D．【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得菱形的边长为2，再根据菱形的性质以及勾股定理解答即可．【解答】解：因为菱形ABCD，∠B＝60°时，测得AC＝2，所以△ABC是等边三角形，所以菱形的边长为2，当转动到使∠B＝120°时，如图所示：因为AC⊥BD，∠ABC＝120°，所以∠ABO＝60°，所以∠OAB＝30°，所以，所以，所以AC＝2AO＝．故选：B．5．（2022春•博兴县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AB＝5，DE＝4，则在下列结论中正确的是（ ）A．DB＝5B．AE＝4C．BE＝2D．OA＝3【分析】根据菱形的性质可知AB＝AD，AO＝OC，OD＝OB，由于DE⊥AB于点E，所以在Rt△AED中，利用勾股定理可以求出AE，进而求出BE、BD，再在Rt△AOB中求出OA即可作出判断．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AO＝OC，OD＝OB，∵AB＝5，∴AD＝5，∵DE⊥AB于点E，DE＝4在Rt△AED中，根据勾股定理得，AE＝＝3，故B错误；∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，故C正确；在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BD＝，故A错误；∴OB＝BD＝，在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝，故D错误．故选：C．6．（2022春•承德县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（ ）A．（0，﹣8）B．（0，﹣5）C．（﹣5，0）D．（0，﹣6）【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵A（12，13），∴OD＝12，AD＝13，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝13，在Rt△ODC中，OC＝，∴C（0，﹣5）．故选：B．7．（2022春•丰泽区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为（ ）A．10B．4C．D．6【分析】由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再求出BD＝4，则OB＝2，然后由菱形面积求出AC＝6，则OA＝3，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∴OB＝2，∵菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AC×4＝12，∴AC＝6，∴OA＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，故选：C．8．（2022秋•合川区校级月考）如图，在菱形ABCD中，M．N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC 交于点O，连接BC若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（ ）A．28°B．52°C．62°D．72°【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，再由ASA可得△AMO≌△CNO，得AO＝CO，然后证BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故选：C．9．（2022秋•胶州市校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④，其中正确的结论有（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】根据菱形的性质和∠A＝60°，可知△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BFD＝∠DEB＝90°，∠GDB＝∠GBD＝30°，即可判断①选项；根据SSS可证△CDG ≌△CBG，根据全等三角形的性质可得∠DGC＝∠BGC＝60°，再根据含30°角的直角三角形的性质可判断②选项；根据△GBC为直角三角形，可知CG＞BC，进一步可知CG≠BD，即可判断③选项；根据勾股定理可得DE＝AB，再根据三角形面积的求法即可判断④选项．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∵∠A＝60°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形，∴∠ADB＝∠ABD＝60°，∠CDB＝∠CBD＝60°，∵E，F分别是AB，AD的中点，∴∠BFD＝∠DEB＝90°，∴∠GDB＝∠GBD＝30°，∴∠GDC＝∠GBC＝90°，DG＝BG，∴∠BGD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故①选项正确；在△CDG和△CBG中，，∴△CDG≌△CBG（SSS），∴∠DGC＝∠BGC＝60°，∴∠GCD＝30°，∴CG＝2GD，∵DG＝BG，∴CG＝DG+BG，故②选项正确；∵△GBC为直角三角形，∴CG＞BC，∴CG≠BD，∴△BDF与△CGB不全等，故③选项错误；∵BE＝AB，BD＝AB，∠DEB＝90°，根据勾股定理，得DE＝AB，＝＝，∴S△ABD故④选项正确，故正确的有①②④，故选：B．10．（2022春•新抚区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠B＝120°，AB＝，则PE﹣PF的值为（ ）A．2B．3C．4D．6【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质和勾股定理得OA＝3，则AC＝6，再由含30°角的直角三角形的性质得PF＝CP，则PE﹣PF＝（AP﹣CP）＝AC，即可得出答案．【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AB＝2，∴∠BAD＝∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∠DAC＝∠DCA＝∠BAD＝×60°＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，在Rt△AOD中，OD＝AD＝×＝，∴OA＝＝＝3，∴AC＝2OA＝2×3＝6，Rt△APE中，∠DAC＝30°，∴PE＝AP，在Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，∴PF＝CP，∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC＝×6＝3，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•牡丹区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝24，AB＝13，则菱形ABCD 的面积是 120 ．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝5，∴BD＝2OB＝10，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×24×10＝120，故答案为：120．12．（2022秋•东明县校级月考）已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm，那么这个菱形的周长为 52cm ，面积为 120cm2 ．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，AC＝24cm，BD＝10cm，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD＝5（cm），∴S＝AC•BD＝×24×10＝120（cm2），∠AOB＝90°，菱形ABCD∴AB＝＝＝13（cm），∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×13＝52（cm），故答案为：52cm，120cm2．13．（2022春•杭州期中）如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠BAD＝40°，则∠ODE的度数为 20° ．【分析】根据菱形的性质得出∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，求出DE⊥AD，根据垂直的定义求出∠ADE＝90°，∠DEB＝90°，求出∠ADO，∠ODE的度数，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出OD＝OE，求出∠ODE＝∠OED即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，∴∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，∴∠DOA＝90°，∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ADO＝20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵DO＝BO，∴OE＝BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝20°，故答案为：20°．14．（2022春•吴中区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，E，F分别是边AB和CD 上的点，EF⊥CD于点F，则线段EF的长度为 ．【分析】连接AC，BD，根据菱形的性质和等边三角形的性质得出AC，进而得出BD，利用菱形的面积解答即可．【解答】解：连接AC，BD，相交于O，∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠A＝120°，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，BO＝，∴BD＝2，∴菱形ABCD的面积＝，∴EF＝，故答案为：．15．（2022春•集美区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，点E，F分别是边AB，AD 上的动点，且AE+AF＝a，则△CEF面积的最小值为 ．【分析】由在边长为a的菱形ABCD中，易得△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，继而证得△ACE ≌△DCF，继而证得△CEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点B或点A时，CE的值最大，当CE ⊥AB，即E为AB的中点时，EF的值最小，△CEF面积的最小值最小．【解答】解：连接AC、CE、CF，如图所示：∵四边形ABCD是边长为a的菱形，∠B＝60°，∴△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，∴AB＝BC＝CD＝AC＝AD，∠CAE＝∠ACB＝∠ACD＝∠CDF＝60°，∵AE+AF＝a，∴AE＝a﹣AF＝AD﹣AF＝DE，在△ACE和△DCF中，，∴△ACE≌△DCF（SAS），∴∠ACE＝∠DCF，∴∠ACE+∠ACF＝∠DCF+∠ACF，∴∠ECF＝∠ACD＝60°，∴△CEF是正三角形，∴EF＝CE＝CF，当动点E运动到点B或点A时，CE的最大值为a，当CE⊥AB，即E为BD的中点时，CE的最小值为a，∵EF＝CE，∴EF的最小值为a，∴△CEF面积的最小值为：，故答案为：．16．（2022•温江区校级自主招生）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为 6.5 ．【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD＝13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE＝6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO＝GF即可得出答案．【解答】解：连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，在Rt△AOD中，AD＝＝13，又∵E是边AD的中点，∴OE＝AD＝6.5，∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，∴四边形EFOG为矩形，∴FG＝OE＝6.5．故答案为：6.5．17．（2022春•南岗区校级期中）如图，在边长为5的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、点F分别在AD、CD上，且∠EBF＝60°，连接EF，若AE＝2，则EF的长度为 ．【分析】连接BD，过E点作EH⊥AB于H点，如图，先根据菱形的性质得到AB＝AD＝5，AB∥CD，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD＝AB，∠ABD＝60°，再证明∠ABE＝∠DBF，∠FDB＝∠EAB，则可判断△BDF≌△BAE，所以BF＝BE，于是可证明△BEF为等边三角形得到EF＝BE，接着利用含30度角的直角三角形三边的关系得到AH＝1，EH＝，然后利用勾股定理计算出BE，从而得到EF的长．【解答】解：连接BD，过E点作EH⊥AB于H点，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝5，AB∥CD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB，∠ABD＝60°，∵∠EBF＝60°，∴∠ABD﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，即∠ABE＝∠DBF，∵CD∥AB，∴∠FDB＝∠ABD＝60°，∴∠FDB＝∠EAB，在△BDF和△BAE中，，∴△BDF≌△BAE（ASA），∴BF＝BE，而∠EBF＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴EF＝BE，在Rt△AEH中，∵∠A＝60°，∴AH＝AE＝1，∴EH＝AH＝，在Rt△BEH中，∵EH＝，BH＝BA﹣AH＝5﹣1＝4，∴BE＝＝，∴EF＝BE＝．故答案为：．18．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，点E在边BC上（不与端点重合），AE交BD于点F，以EF为边向外作等边△EFG，连接CF，BG，现给出以下结论：①∠EAB＝30°；②△ABF≌△CBF；③直线AB与直线DC的距离是9；④BF+BG＝BE．其中正确的是 ②③④ （写出所有正确结论的序号）．【分析】连接AC，先证明△ABD和△CBD都是等边三角形，再证明△ADC≌△ABC，则∠CAD＝∠CAB ＝30°，假设∠EAB＝30°，则∠EAB＝∠CAB，所以点E与点C重合，这与已知条件相矛盾，所以∠EAB≠30°，可判断①错误；由AB＝CB，∠ABF＝∠CBF，BF＝BF根据全等三角形的判定定理“SAS”可证明△ABF≌△CBF，可判断②正确；作DI⊥AB于点I，则∠AID＝90°，所以∠ADI＝30°，则AI＝×6＝3，可根据勾股定理求得DI＝9，可判断③正确；在BC上截取BH＝BF，连接FH，则△BFH是等边三角形，而△EFG是等边三角形，可证明△BFG≌△HFE，得BG＝HE，所以BF+BG＝BH+HE＝BE，可判断④正确．【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AB＝6，∴AD＝AB＝CD＝CB＝6，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAB＝∠DCB＝180°﹣∠ABC＝60°，∴△ABD和△CBD都是等边三角形，∴∠ABF＝∠CBF＝60°，在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝30°，假设∠EAB＝30°，则∠EAB＝∠CAB，∴AE与AC重合，点E与点C重合，与已知条件相矛盾，∴假设不成立，即∠EAB≠30°，故①错误；在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），故②正确；作DI⊥AB于点I，则∠AID＝90°，∵∠DAI＝60°，∴∠ADI＝30°，∴AI＝AD＝×6＝3，∴DI＝＝＝9，∴直线AB与直线DC的距离是9，故③正确；在BC上截取BH＝BF，连接FH，则△BFH是等边三角形，∵△EFG是等边三角形，∴FB＝FH，FG＝FE，∠BFH＝∠GFE＝60°，∴∠BFG＝∠HFE＝60°﹣∠GFH，在△BFG和△HFE中，，∴△BFG≌△HFE（SAS），∴BG＝HE，∴BF+BG＝BH+HE＝BE，故④正确，故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022秋•薛城区月考）如图，已知A，F，C，D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥ED，且AB＝ED．（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）如果四边形EFBC是菱形，已知EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，求AF的长度．【分析】（1）根据SAS即可证明△ABC≌△DEF；（2）解直角三角形求出DF、OE、OF的长，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．（2）解：如图，连接EB交AD于O．在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，EF＝3，DE＝4，∴DF＝＝＝5，∵四边形EFBC是菱形，∴OF＝OC，BE⊥CF，∴EO＝＝＝，∴OF＝OC＝＝＝，∴CF＝2OF＝，∴AF＝CD＝DF﹣FC＝5﹣＝．20．（2022春•姑苏区校级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；（2）欲求菱形ABCD的面积，求得AC、BD的长度即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：由（1）知，四边形BECD是平行四边形，则BD∥CE．∵∠E＝60°，∴∠ABD＝60°．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∴△ABD是等边三角形．∴AB＝BD＝8．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝4．∴OA＝＝＝4．∴AC＝8．∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×8×8＝32．21．（2022•雨花区校级开学）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的面积．【分析】（1）由菱形ABCD的四条边相等、对角相等的性质知AB＝AD，∠B＝∠D；然后根据已知条件“AE⊥BC，AF⊥CD”知∠AEB＝∠AFD；最后由全等三角形的判定定理AAS证明△ABE≌△ADF；（2）由全等三角形△ABE≌△ADF的对应边相等知BE＝DF，然后根据菱形的四条边相等求得AB＝CD，设AB＝CD＝x，已知CF＝2，则BE＝DF＝x﹣2，利用勾股定理即可求出菱形的边长，进而可以求菱形的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS）；（2）解：设菱形的边长为x，∵AB＝CD＝x，CF＝2，∴DF＝x﹣2，∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF＝x﹣2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即42+（x﹣2）2＝x2，解得x＝5，∴菱形的边长是5，∴菱形的面积＝BC•AE＝5×4＝20．22．（2022春•南浔区期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边AB、BC的中点，连结DE、EF、DF．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）若AD＝10，EF＝8，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CD＝AB＝BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接AC，BD交于O，根据三角形中位线定理得到AC＝16，根据菱形的性质得到AO＝AC＝8，AC⊥BD，根据勾股定理得到OB＝＝6，根据菱形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，AD＝CD＝AB＝BC，∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴AE＝AB，CF＝BC，∴AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）解：连接AC，BD交于O，∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∵EF＝8，∴AC＝16，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝AC＝8，AC⊥BD，∴OB＝＝6，∴BD＝12，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×16×12＝96．23．（2022春•重庆期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E是对角线BD上一点．（1）如图1，若E是线段BD的中点，且AB＝6，求AE的长度；（2）如图2，F是线段AB延长线上一点，且DE＝BF，连接AE，EF．求证：AE＝EF．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，证明△ABD是等边三角形，根据E是线段BD 的中点，进而可以解决问题；（2）作EG∥AB交AD于点G，先证明△DGE是等边三角形，得DG＝DE＝GE，再证明△AGE≌△EBF，得AE＝EF．【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB＝∠C＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝6，∵E是线段BD的中点，∴BE＝DE＝3，∴AE＝BE＝3；（2）证明：如图2，作EG∥AB交AD于点G，∵△DAB是等边三角形，∴∠GDE＝60°，∠DGE＝∠DAB＝60°，∠DEG＝∠DBA＝60°，∴△DGE是等边三角形，∴DG＝DE＝GE，∵BF＝DE，∴GE＝BF，∵AD＝BD，∴AD﹣DG＝BD﹣DE，∴AG＝EB，∵∠AGE＝180°﹣∠DGE＝120°，∠EBF＝180°﹣∠DBA＝120°，∴∠AGE＝∠EBF，在△AGE和△EBF中，，∴△AGE≌△EBF（SAS），∴AE＝EF．24．（2022春•抚远市期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随点P位置的变化而变化，连接CE．（1）如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，求证：BD＝CE+PD；（2）如图②、图③，请分别写出线段BD，CE，PD之间的数量关系，不需证明．【分析】（1）先判断出∠BAP＝∠CAE，进而判断出△BAP≌△CAE，得出BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，再判断出∠CAH+∠ACH＝90°，即可得出结论；（2）同（1）的方法即得出结论；【解答】（1）证明：如图1，连接AC，延长CE交AD于H，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∠CAH＝60°，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∵∠BAC＝∠PAE，∴∠BAP＝∠CAE，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP+PD，∴BD＝CE+PD；（2）解：如图2，BD＝CE+PD，连接AC，AC与BD交于点O，∴△ABC，△ACD为等边三角形，在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，又∵∠BAP＝∠BAC+∠CAP＝60°+∠CAP，∠CAE＝∠EAP+∠CAP＝60°+∠CAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP+PD，∴BD＝CE+PD；如图3，BD＝CE﹣PD，连接AC，AC与BD交于点O，∴△ABC，△ACD为等边三角形，在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，又∵∠BAP＝∠BAD+∠DAP＝120°+∠DAP，∠CAE＝∠CAD+∠DAP+∠PAE＝120°+∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP﹣PD，∴BD＝CE﹣PD．。
人教版八年级数学下册 18.2.2.2菱形的判定 培优训练(含答案)
人教版八年级数学下册18.2.2.2 菱形的判定培优训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1．下列命题中，正确的是( )A．有一个角是60°的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．有两边相等的平行四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形2．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，AB＝13，AC＝24，DB＝10，则四边形ABCD是() A．一般的平行四边形B．长方形C．菱形D．形状不能确定3. 如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( )①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A、①③B、②③C、③④D、①②③4. 如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )A．AC⊥BD B．AB＝ADC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有()C．AC＝BD D．∠1＝∠26. 如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A．AC⊥BD B．AB＝ADC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD7. 如图，将▱ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是() A．AF＝EF B．AB＝EFC．AE＝AF D．AF＝BE8. 四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是( )A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形9．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为()A．52 cm B．40 cmC．39 cm D．26 cm10. 如图，分别以Rt△ABC的斜边AB和直角边AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠BAC＝30°.给出以下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG; ④FH＝14BD.其中正确的结论是()二．填空题（共8小题，3*8=24）11.如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________．12. 如图在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，则四边形OCED 的形状是_________．13. 如图,在长方形ABCD中,AB=12,AD=14,E为AB的中点,点F,G分别在CD,AD上,若CF=4,且△EFG 为等腰直角三角形,则EF的长为_________．14. 如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为_________．15．下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是__________(填序号)．16. 把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若BF=4，FC=2，17. 如图,把长方形纸片ABCD折叠,使其对角顶点C与A重合.若长方形的长BC为8,宽AB为4,则折痕EF的长度为_________．18. 在菱形ABCD中，AE为BC边上的高，若AB=5，AE=4，则线段CE的长为．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2 cm，求平行四边形ABCD的周长为.20．(6分) 如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF.求证：四边形BEDF是菱形；21．(6分) 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D分别作DE∥AC、DF∥AB，分别交AB、AC于点E、F.求证：四边形AEDF是菱形．22．(6分) 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.求证：四边形AEDF是菱形．23．(6分) 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．24．(8分) 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．25．(8分) 如图，将一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再折叠一次，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.求证：(1)∠ABE＝30°；(2)四边形BFB′E为菱形．参考答案1-5DCACC 6-10 CCCAC11. AB=AD或AC⊥BD12. 菱形13.10 214.315. ①③⑤16. 6017.2 518. 2或819. 解：如图．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AD＝DC，四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8.20. 证明：连接BD，交AC于O.∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形；21. 证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠EDA＝∠BAD，∴四边形AEDF 是菱形．22. 证明：(方法不唯一)由折叠性质知：AE ＝DE ，AF ＝DF ， ∴∠DAE ＝∠EDA ，∠ADF ＝∠FAD ， ∵∠DAE ＝∠FAD ，∴∠DAE ＝∠ADF ，∠DAF ＝∠EDA ， ∴DF ∥AE ，DE ∥AF ， ∴四边形AEDF 是平行四边形， ∵AE ＝DE ，∴四边形AEDF 是菱形23. (1)证明：∵在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，BD ＝8，∴AO ＝12AC＝3，BO ＝12BD ＝4，∵AB ＝5，且32＋42＝52， ∴AO 2＋BO 2＝AB 2，∴△AOB 是直角三角形，且∠AOB ＝90°， ∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形． (2)解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴BC ＝AB ＝5，∵S △ABC ＝12AC·BO ＝12BC·AH ，∴12×6×4＝12×5×AH ，解得：AH ＝245.24. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝90°， AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CF ，AB ＝CD ，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF(HL)(2)解：当AC ⊥EF 时，四边形AECF 是菱形，理由如下： ∵△ABE ≌△CDF ，∴BE ＝DF ， ∵BC ＝AD ，∴CE ＝AF ， ∵CE ∥AF ，∴四边形AECF 是平行四边形， 又∵AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是菱形∴∠AEB＝∠A′EB.∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，∴∠A′EB＝∠FEB′.∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°，∴∠ABE＝30°(2)∵沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，∴BE＝B′E，BF＝B′F.∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠FEB′＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF，∴BE＝B′E＝B′F＝BF，∴四边形BFB′E为菱形。
人教版 八年级数学下册 18.2.2 菱形 培优练习(含答案)
人教版 八年级数学下册 18.2.2 菱形 培优练习（含答案）一、单选题（共有9道小题）1.如图，下列哪个条件能使□ABCD 成为菱形的（ ）①AC ⊥BD ②AB ∥CD ③AB=BC ④AB=CDA. ①③B.②③C.③④D.①②③ 2.下列命题中，正确的是（ ） A ．梯形的对角线相等 B ．菱形的对角线不相等 C ．矩形的对角线不能互相垂直 D ．平行四边形的对角线可以互相垂直3.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A ．20B ．24C ．40D ．484.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线互相分5.以下四个命题正确的是（ ） A. 任意三点可以确定一个圆 B. 菱形对角线相等C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D. 平行四边形的四条边相等6.平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，下列条件中能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ）①ABC=90°②AC ⊥BD ③AB=BC④AC 平分∠BAD⑤AO=DOA.②③④B.①②③C.③④⑤D.①②⑤A BCD O ABCD7.如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA8.如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤A BCDEFP FEDCBA9.如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，点E 在AB 上，点F 在CD 上，点G 、H 在对角线AC 上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）A.25B. 35C.5D.6 二、填空题（共有7道小题）10.木工做菱形窗框时总要保持四条边框一样长，道理是_______________________ ． 11.顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个 ，其面积为 ．12.如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是 ，面积是 。
1.1菱形的性质和判定培优(一)
菱形培优训练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2011•聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2考点：菱形的性质．分析：设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．解答：解：设菱形的对角线分别为8x和6x，已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，即可知（4x）2+（3x）2=25，解得x=1，故菱形的对角线分别为8cm和6cm，所以菱形的面积=×8×6=24cm2，故选B．点评：本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．2．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．专题：综合题．分析：先判断出△ABD、BDC是等边三角形，然后根据等边三角形的三心（重心、内心、垂心）合一的性质，结合菱形对角线平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行各项的判断．解答：解：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；④S△ABD=AB•DE=AB•（BE）=AB•AB=AB2，即④正确．综上可得①②④正确，共3个．故选C．3．（2010•陕西）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（）A．16 B．8C．4D．1考点：菱形的性质．分析：根据菱形的对角线互相垂直平分，即菱形被对角线平分成四个全等的直角三角形，根据勾股定理，即可求解．解答：解：设两对角线长分别是：a，b．则（a）2+（b）2=22．则a2+b2=16．故选A．点评：本题主要考查了菱形的性质：菱形被两个对角线平分成四个全等的直角三角形．4．（2001•嘉兴）菱形的边长为4cm，一个内角为30°，这个菱形的面积为（）A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2考点：菱形的性质；含30度角的直角三角形．分析：根据直角三角形的性质：30度所对的直角边等于斜边的一半，可得出菱形的高为2cm．然后可求出菱形面积．解答：解：由30°锐角所对的直角边等于斜边的一半，可得30°所对菱形的高为2cm，则这个菱形的面积为4×2=8cm2．故选D．点评：此题主要考查菱形的面积求法，综合运用了直角三角形的性质．5．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）考点：菱形的性质；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：此题可过P作PE⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则M、N两点坐标便不难求出．解答：解：过P作PE⊥OM，∵顶点P的坐标是（3，4），∴OE=3，PE=4，∴OP==5，∴点M的坐标为（5，0），∵5+3=8，∴点N的坐标为（8，4）．故选A．点评：此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和点P的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口．6．（2008•丽水）如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A′．若四边形ADA′E是菱形，则下列说法正确的是（）A．D E是△ABC的中位线B．A A′是BC边上的中线C．A A′是BC边上的高D．A A′是△ABC的角平分线考点：菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．分析：根据菱形的性质：对角线互相垂直的平分进行判断即可．解答：解：∵四边形ADA'E是菱形，则根据菱形的对角线平分一组对角，∴AA'是△ABC的角平分线，故D正确；而B、C不正确；DE不一定是△ABC的中位线，A也不正确．故选D．点评：本题考查了菱形的性质：对角线平分一组对角．7．（2010•安顺）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）A．1B．2C．D．考点：菱形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据题意可知，AC=2BC，∠B=90°，所以根据勾股定理可知AC2=AB2+BC2，即（2BC）2=32+BC2，从而可求得BC的长．解答：解：∵AC=2BC，∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2，∴（2BC）2=32+BC2，∴BC=．故选D．点评：此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．二．填空题（共9小题）8．（2012•鄂尔多斯）如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是．考点：菱形的性质．分析：作出图形，确定当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长最大，设菱形的边长为x，表示出AB，然后利用勾股定理列式进行计算求出x，再根据菱形的四条边都相等解答．解答：解：如图，菱形的周长最大，设菱形的边长AC=x，则AB=4﹣x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即x2=（4﹣x）2+12，解得x=，所以，菱形的最大周长=×4=．故答案为：．点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，确定出菱形的周长最大时的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．9．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（2+2，2）．考点：菱形的性质；坐标与图形性质；特殊角的三角函数值．分析：过C作CE⊥OA，根据“∠AOC=45°，OC=2”可以求出CE、OE的长，点B的坐标便不难求出．解答：解：过C作CE⊥OA于E，∵∠AOC=45°，OC=2，∴OE=OCcos45°=，CE=OCsin45°=2，∴点B的坐标为（2+2，2）．10．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值是．考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质．专题：动点型．分析：过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB，根据已知得到PA=2EP，根据勾股定理可求得PE，PA的值，从而可得到PE+PB的最小值．解答：解：当点P在AB的中垂线上时，PE+PB有最小值．过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB．∵∠B=120°∴∠CAB=30°∴PA=2EP∵AB=2，E是AB的中点∴AE=1在Rt△APE中，PA2﹣PE2=1∴PE=，PA=∴PE+PB=PE+PA=．故答案为．点评：本题考查的是中垂线，菱形的邻角互补．勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使PE+PB成为最小值．11．（2005•黑龙江）已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为或．考点：菱形的性质．专题：分类讨论．分析：根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论．解答：解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，∵AD=AB，DP=BP，∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角△ABM中，∠BAM=30°，∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3，∴PM==，∴AP=AM+PM=4；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点MAP=AM﹣PM=2；当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．AP的长为4或2．故答案为4或2．点评：本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键．12．（2011•内江）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD 的边至少满足AB=CD条件时，四边形EFGH是菱形．考点：菱形的判定；三角形中位线定理．分析：首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB，EF=AB，HG∥AB，HG=AB，可得四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB=CD后，证明EF=EH即可．解答：解：需添加条件AB=CD．∵E，F是AD，DB中点，∴EF∥AB，EF=AB，∵H，G是AC，BC中点，∴HG∥AB，HG=AB，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵E，H是AD，AC中点，∴EH=CD，∵AB=CD，∴EF=EH，∴四边形EFGH是菱形．故答案为：AB=CD．点评：此题主要考查了三角形中位线定理与菱性的判定方法，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．13．（2009•绥化）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60度．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1，为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1．考点：菱形的性质．专题：规律型．分析：根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长．解答：解：连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．AC⊥DB，∵∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB=AD=1，∴BM=，∴AM==，∴AC=，同理可得AC1=3=（）2，AC2=3=（）3，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1故答案为（）n﹣1．点评：此题主要考查菱形的性质以及学生探索规律的能力．14．（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（﹣5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标（8，0）或（，0）．考点：菱形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定．分析：由在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE 的长，然后分别从①当OP=OE时，②当OE=PE时，③当OP=EP时去分析求解即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×12=6，OD=BD=×16=8，∴在Rt△AOD中，AD==10，∵E为AD中点，∴OE=AD=×10=5，①当OP=OE时，P点坐标（﹣5，0）和（5，0）；②当OE=PE时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8，0）；③如图，当OP=EP时，过点E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分线PF，交OE于点F，交x轴于点P，∴EK∥OA，∴EK：OA=ED：AD=1：2，∴EK=OA=3，∴OK==4，∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，∴△POF∽△EOK，∴OP：OE=OF：OK，即OP：5=：4，解得：OP=，∴P点坐标为（，0）．∴其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0）或（，0）．故答案为：（8，0）或（，0）．点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．15．（2012•佳木斯）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．专题：综合题．分析：（1）根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，所以CE=CF，然后等边对等角的性质可得∠F=∠CEF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠F=30°，从而得到∠CBE=∠F，根据等角对等边的性质即可证明；（2）图2，过点E作EG∥BC，交AB于点G，根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ACB=60°，再求出△AGE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AG=AE，从而可以求出BG=CE，再根据等角的补角相等求出∠BGE=∠ECF=120°，然后利用“边角边”证明△BGE和△ECF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；图3，证明思路与方法与图2完全相同．解答：证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；（2）图2：BE=EF．…（1分）图3：BE=EF．…（1分）图2证明如下：过点E作EG∥BC，交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，…（1分）又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，…（1分）∴AG=AE，∴BG=CE，…（1分）又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=120°，∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）∴BE=EF；…（1分）图3证明如下：过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，…（1分）又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，…（1分）∴AG=AE，∴BG=CE，…（1分）又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴△BGE≌△ECF（SAS），…（2分）∴BE=EF．…（1分）点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键．。
中考数学总复习《菱形》专项提升训练(带答案)
中考数学总复习《菱形》专项提升训练（带答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1. 如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O .第1题图(1)若四边形ABCD为平行四边形，______________(请添加一个条件)，则四边形ABCD为菱形；【判定依据】________________________；(2)若AB＝BC，AD＝CD，______________(请添加一个条件)，则四边形ABCD为菱形；【判定依据】________________________．2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知∠ABC＝60°，AB＝2.第2题图(1)BC＝________，AO＝________，OC＝________，BO＝________；(2)∠BCD＝________，∠ABD＝________，∠BAO＝________；(3)菱形ABCD的周长为________，面积为________．知识逐点过考点1 菱形的性质及面积边对边平行，四条边①________角对角②________对角线对角线互相③________，并且每一条对角线④________一组对角(人教独有)对称性既是轴对称图形又是中心对称图形，有⑤______条对称轴，对称轴为两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点面积公式S＝ah＝12mn【温馨提示】菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形考点2 菱形的判定1.有一组⑥________的平行四边形是菱形(定义)；边2．⑦________相等的四边形是菱形对角线对角线互相垂直且平分的四边形是菱形真题演练命题点与菱形性质有关的计算1. 菱形的边长为5，则它的周长为________．2. 如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠F AD，∠BAD为锐角．(1)求证：AD⊥BF；(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数．第2题图拓展训练3. 如图，在边长为5的菱形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接BD，DE，DF，EF，若BD＝8，则△DEF的面积为________．第3题图教材原题到重难考法与菱形有关的证明与计算例如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠DEF＝∠DFE.例题图变式题1. 变菱形中所含的三角形顶角为特殊角，满足120°角含60°角的半角模型如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，BC 上，且∠A ＝∠EDF ＝60°.若AE ＋CF ＝6，求菱形ABCD 的面积．第1题图2. 连接对角线，探究线段间的数量关系如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，AB ＝4，AE ＝BF ，∠A ＝60°，连接BD ，DE ，DF ，EF ，EF 与BD 相交于点G . (1)求证：△AED ≌△BFD ； (2)若BF ＝1，求GFGE的值．第2题图基础过关1.如图，在菱形ABCD 中，连接AC ，BD ，若∠1＝20°，则∠2的度数为( ) A. 20° B. 60° C. 70° D. 80°第1题图2. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()A. 1B. 2C. 3D. 4第2题图3. 如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(－2，5)，则点C的坐标是()A. (5，－2)B. (2，－5)C. (2，5)D. (－2，－5)第3题图4. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接OE.若AC ＝6，BD＝8，则OE＝()A. 2B. 52 C.3 D. 4第4题图5. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：__________，使四边形ABCD成为菱形．第5题图6. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为__________．7. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为__________．第7题图8. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD之比是3∶4，那么sin ∠BAC＝__________．第8题图9. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为点B，D，若AB ＝6 cm，则EF＝________cm.第9题图10. 如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.(1)求证：AE∥BF；(2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形．第10题图综合提升11. 如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF.若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE 的面积为________.第11题图新考法推荐12.(注重教材定理的证明)思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 定理证明(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图①)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD 中，对角线BD ⊥AC ，垂足为点O .求证：▱ABCD 是菱形． 知识应用(2)如图②，在▱ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AD ＝5，AC ＝8，BD ＝6. ①求证：▱ABCD 是菱形；②延长BC 至点E ，连接OE 交CD 于点F ，若∠E ＝12 ∠ACD ，求OFEF的值．图① 图② 第12题图参考答案1. (1)AC ⊥BD (答案不唯一)【判定依据】对角线互相垂直的平行四边形是菱形； (2)AB ＝AD (答案不唯一)【判定依据】四条边都相等的四边形是菱形． 2. (1)2，1，1，3 ；(2)120°，30°，60°；(3)8，23 .知识逐点过①相等 ②相等 ③垂直且平分 ④平分 ⑤两 ⑥邻边相等 ⑦四条边真题演练1. 20 【解析】∵菱形的四条边都相等，且边长为5，∴菱形的周长为20.2. (1)证明：∵四边形ABCD ，ADEF 都是菱形 ∴AB ＝AD ＝AF ∴△ABF 是等腰三角形 又∵∠BAD ＝∠F AD ∴AD ⊥BF ；(3分)(2)解：∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB ＝BC ，AB ∥CD 由(1)知AB ＝AD ＝AF ∴AB ＝AF ＝BF ∴△ABF 是等边三角形 ∴∠BAF ＝60°，(5分) ∵∠BAD ＝∠F AD ∴∠BAD ＝30° 又∵AB ∥CD∴∠ADC ＋∠BAD ＝180°∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝150°.(7分)3. 9 【解析】如解图，连接AC 交BD 于点O ，记EF 交BD 于点G ，∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，且AO ＝CO ，BO ＝DO ＝12 BD ＝4，在Rt △ABO 中，AB ＝5，BO ＝4，∴AO＝3，∴AC ＝6，∵E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∴EF ＝3，GO ＝12 BO ＝2，∵DO ＝4，∴DG ＝6，∴S △DEF ＝12 EF ·DG ＝12×3×6＝9.第3题解图教材原题到重难考法例 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形 ∴∠A ＝∠C ，AB ＝CB ，AD ＝CD ∵BE ＝BF ∴AE ＝CF在△ADE 和△CDF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ∠A ＝∠C AE ＝CF∴△ADE ≌△CDF (SAS)； (2)由(1)知△ADE ≌△CDF ∴DE ＝DF ∴∠DEF ＝∠DFE . 1. 解：如解图，连接BD∵四边形ABCD 为菱形，∠A ＝60° ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA∴△ABD 和△BCD 均为等边三角形 ∴CD ＝BD ，∠C ＝∠DBE ＝∠BDC ＝60° ∵∠EDF ＝60°∴∠EDB ＋∠BDF ＝∠BDF ＋∠FDC ＝60° ∴∠EDB ＝∠FDC ∴△DBE ≌△DCF ∴BE ＝CF ∵AE ＋CF ＝6∴AE ＋BE ＝6＝AB ∴S 菱形ABCD ＝2S △ABD ＝2×34AB 2＝183 .第1题解图2. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠A ＝∠C 又∵∠A ＝60° ∴∠C ＝60°∴△ABD 和△BCD 是等边三角形 ∴∠A ＝∠DBF ＝60°，AD ＝BD . 在△AED 和△BFD 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BF ∠A ＝∠DBF AD ＝BD∴△AED ≌△BFD (SAS)；(2)解：如解图，过点E 作EM ∥AD 交BD 于点M第2题解图由(1)知△ABD 为等边三角形 ∴∠A ＝∠ABD ＝60° ∵EM ∥AD∴∠BEM ＝∠A ＝∠ABD ＝60° ∴△BEM 为等边三角形 ∵AB ＝4，BF ＝1∴EM ＝BE ＝AB －AE ＝AB －BF ＝3 ∵EM ∥AD ，BF ∥AD∴BF ∥EM∴△BGF ∽△MGE∴GF GE ＝BF ME ＝13.基础过关1. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，AB ∥CD ，∴∠1＝∠ACD ，∠ACD ＋∠2＝90°.∵∠1＝20°，∴∠2＝90°－20°＝70°.2. B 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝4，∴AB ∥CD ，CE ∥FD ，CD ＝AB ＝4.∵将线段AB 水平向右平移得到线段EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴四边形ECDF 为平行四边形．当CD ＝CE ＝4时，四边形ECDF 为菱形，此时a ＝BE ＝BC －CE ＝6－4＝2.3. B 【解析】∵四边形ABCD 是菱形且对角线交点与坐标原点O 重合，∴OA ＝OC ，且点A 与点C 关于原点对称．∵点A (－2，5)，∴点C 的坐标是(2，－5).4. B 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OB ＝OD ，OA ＝OC .∵BD ＝8，AC ＝6，∴OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝OB 2＋OC 2 ＝42＋32 ＝5.在Rt △OBC 中，∵∠BOC ＝90°，点E 是BC 的中点，∴OE ＝12 BC ＝52. 5. AD ∥BC (或AB ＝CD 或OB ＝OD 或∠ADB ＝∠CBD 等) 【解析】 当添加AD ∥BC 时，∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；当添加AB ＝CD 时，∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；当添加OB ＝OD 时，∵AD ＝BC ，AC ⊥BD ，∴Rt △ADO ≌Rt △CBO (HL)，∴AO ＝CO ，DO ＝BO ，∴四边形ABCD 是菱形；当添加∠ADB ＝∠CBD 时，∴AD ∥BC ，∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形.6. 24 【解析】 根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半可得，该菱形的面积为12×6×8＝24.7. 10 【解析】 ∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC .∵∠B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∵AB ＝10，∴AC ＝AB ＝10.8. 45【解析】 由题意可设AC ＝6x ，BD ＝8x ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO＝3x ，OB ＝4x ，∴AB ＝AO 2＋BO 2 ＝5x .在Rt △BAO 中，sin ∠BAC ＝BO AB ＝4x 5x ＝45. 9. 23 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵∠DAB ＝60°，∴∠EAB ＝∠DCF ＝30°，∠ADC ＝120°，∴∠FDA ＝∠F AD ＝30°，∴AF ＝DF ，AB ＝CD .∵BE ⊥AB ，DF ⊥CD ，∴∠ABE ＝∠CDF ＝90°，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF (ASA)，∴BE ＝DF .∴BE ＝AF ，在Rt △ABE 中，设BE ＝AF ＝x ，则AE ＝2x ，即x 2＋62＝(2x )2，解得x ＝23 ，∴EF ＝AE －AF ＝23 .10. 证明：(1)∵AD ＝BC∴AD ＋DC ＝BC ＋DC即AC ＝BD .在△AEC 和△BFD 中⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BDAE ＝BFCE ＝DF∴△AEC ≌△BFD (SSS)∴∠A ＝∠B∴AE ∥BF ；(2)方法一：由(1)知，∠A ＝∠B在△ADE 和△BCF 中⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BF∠A ＝∠B ，AD ＝BC∴△ADE ≌△BCF (SAS)∴DE ＝CF .又∵EC ＝DF∴四边形DECF 是平行四边形．∵DF ＝FC∴四边形DECF 是菱形．方法二：由(1)知，△AEC ≌△BFD∴∠ECA ＝∠FDB∴EC ∥DF .又∵EC ＝DF∴四边形DECF 是平行四边形．∵DF ＝FC∴四边形DECF 是菱形．11. 24 【解析】∵CF ∥BE ，∴∠BEO ＝∠CFO .∵BC 的垂直平分线EO 交AD 于点E ，∴BO ＝CO ，∠BOE ＝∠COF ＝90°，∴△BOE ≌△COF (AAS)，∴BE ＝CF ，OE ＝OF ，∴四边形BFCE 为平行四边形．∵EF ⊥BC ，∴▱BFCE 为菱形．∵在▱ABCD 中，AD ＝8，∴BC ＝8，∴OC ＝12BC ＝4.∵CE ＝5，∴在Rt △EOC 中，OE ＝EC 2－OC 2 ＝52－42 ＝3，∴S 菱形BFCE ＝12 BC ·EF ＝12 BC ·2EO ＝12×8×2×3＝24. 12. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AO ＝CO ，BO ＝DO .∵AC ⊥BD ，垂足为点O∴AC 与BD 相互垂直平分∴AB ＝AD∴▱ABCD 是菱形；(2)①证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，且AC ＝8，BD ＝6∴AO ＝4，DO ＝3.∵AD ＝5∴AD 2＝AO 2＋DO 2∴△AOD 是直角三角形且∠AOD ＝90°∴AC ⊥BD .又∵四边形ABCD 为平行四边形∴▱ABCD 为菱形；②解：如解图，过点O 作OG ∥BC 交CD 于点G .由题意及(2)①易知菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，BO ＝3，CO ＝4，BC ＝5，CA 平分∠BCD∴∠BCO ＝∠OCD ＝12∠BCD . ∵∠E ＝12 ∠ACD ＝12∠OCD ，∠BCO ＝∠E ＋∠COE ∴∠BCO ＝2∠E∴∠COE ＝∠E∴CE ＝OC ＝4.∵OG ∥BC ，O 为BD 的中点 ∴OG 为△BDC 的中位线∴OG ＝12 BC ＝52，△OFG ∽△EFC ∴OGEC ＝OFEF∴524 ＝OFEF∴OFEF ＝58 .第12题解图。
八下特殊四边形-菱形提优训练
八下菱形提优训练1、如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于M ，O ，N ，连接AN ，CM ，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于E ，F ，连接EF ，则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断（ ）A ． 甲正确，乙错误B ． 乙正确，甲错误C ． 甲、乙均正确D ． 甲、乙均错误2、如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件 ____________,使ABCD 成为菱形.（只需添加一个即可）3、如图，菱形ABCD 中，AB ＝4，o60B ∠=,,AE BC AF CD ⊥⊥,垂足分别为E,F,连接EF,则的△AEF 的面积是 .4、如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C ，则k 的值为 ．5、如图，将菱形纸片ABCD 折迭，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF 。
若菱形ABCD 的边长为2 cm ， ∠A=120︒，则EF= cm 。
6、如图，分别以直角△ABC 的斜边AB ，直角边AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，F 为AB 的中点，DE 与AB 交于点G ，EF 与AC 交于点H ，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：①EF ⊥AC ；②四边形ADFE 为菱形；③AD=4AG ；④FH=BD其中正确结论的为 （请将所有正确的序号都填上）．7、（2013•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=．8、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为．9、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．10、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．11、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．12、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．13、某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．14、如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠B=∠EAF=600.求证：BE+DF=AB.15、如图，在□ ABCD 中，分别为边的中点，连接．（1）求证：．（2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．16、如图，已知正比例函数y=2x 和反比例函数的图象交于点A （m ，﹣2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围；（3）若双曲线上点C （2，n ）沿OA 方向平移个单位长度得到点B ，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论．F E DCBA。
中考数学复习《菱形》专项提升训练(附答案)
中考数学复习《菱形》专项提升训练(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.菱形不具备的性质是( )A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OC3.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为( )A.28°B.52°C.62°D.72°4.菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：15.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC 的长等于（）A.63米B.6米C.33米D.3米6.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD 的周长为36，则OH的长等于( )A.4.5B.5C.6D.97.任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示.若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是( )A.△EGH为等腰三角形B.△EHF为等腰三角形C.四边形EGFH为菱形D.△EGF为等边三角形8.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( )①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.A.①③B.②③C.③④D.①②③9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN 分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF，则可以得到四边形AEDF的形状( )A.仅仅只是平行四边形B.是矩形C.是菱形D.无法判断10.已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图1；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图2；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图3；如此反复操作下去，则第2 024个图形中直角三角形的个数有( )A.4 048个B.4 046个C.2 024个D.2 023个二、填空题11.如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为菱形(只需添加一个即可)12.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__________(填序号).13.如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是.14.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是________cm2.15.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B ﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2025米停下，则这个微型机器人停在点.16.如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的顶点D(3，2)，点P对角线OC上的一个动点，已知A(-1，0)，则AP+BP的最小值是__________.三、解答题17.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．18.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.19.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：四边形BFCE是平行四边形;(2)若AD＝10，DC＝3，∠EBD＝60°，则当BE＝______时，四边形BFCE是菱形.20.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F.(1)求证：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长.21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N.(1)请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；(2)过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求△BDE的周长.22.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH. 求证：∠DHO＝∠DCO.23.(1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,▱ABCD将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图1 图224.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6.(1)实践操作：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.①作∠ABC的角平分线交AC于点D.②作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE、DF.(2)推理计算：四边形BFDE的面积为.参考答案1.D.2.B3.C4.B.5.A.6.A.7.D.8.A9.C10.A.11.答案为：OA＝OC.12.答案为：菱形．13.答案为：(－5，4).14.答案为：16.15.答案为：B.16.答案为：2 5.17.证明；(1)∵△ABC≌△ABD∴∠ABC＝∠ABD∵CE∥BD∴∠CEB＝∠DBE∴∠CEB＝∠CBE．(2)∵△ABC≌△ABD∴BC＝BD∵∠CEB＝∠CBE∴CE＝CB∴CE＝BD∵CE∥BD∴四边形CEDB是平行四边形∵BC＝BD∴四边形CEDB是菱形．18.证明：(1)∵DE∥AC，∠ADE＝∠DAF，同理∠DAE＝∠FDA ∵AD＝DA∴△ADE≌△DAF∴AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴∠DAF＝∠FDA.∴AF＝DF.∴平行四边形AEDF为菱形.19.证明：(1)∵AB＝DC∴AB＋BC＝DC＋BC∴AC＝DB.在△AEC和△DFB中AC＝DB，∠A＝∠D，AE＝DF∴△AEC≌△DFB(SAS)∴EC＝BF，∠ACE＝∠DBF.∴EC∥BF∴四边形BFCE是平行四边形.(2)4.当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE∵AD＝10，AB＝CD＝3∴BC＝10﹣3﹣3＝4∵∠EBD＝60°∴BE＝BC＝4∴当BE＝4时，四边形BFCE是菱形.20.(1)证明：∵DE＝OC，DE∥AC∴四边形OCED是平行四边形∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD∴∠COD＝90°∴平行四边形OCED是矩形.∴OE＝CD.(2)解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°∴AC＝AB＝4∴在矩形OCED中，CE＝OD＝2 3∴在△ACE中，AE＝27.21.解：(1)∵四边形ABCD是菱形∴AD∥BC，AO＝OC∴OM＝ON.(2)∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AD＝BC＝AB＝6∴BO＝2 5∴BD＝2OB＝4 5∵DE∥AC，AD∥CE∴四边形ACED是平行四边形∴DE＝AC＝8∴△BDE的周长是：BD＋DE＋BE＝BD＋AC＋(BC＋CE)＝45＋8＋(6＋6)＝20＋4 5. 即△BDE的周长是20＋ 5.22.证明：∵四边形ABCD是菱形∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB于H∴∠DHB＝90°.在Rt△DHB中，OH＝OB∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD∴∠OBH＝∠ODC.∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°∴∠DHO＝∠DCO.23.解：(1)C.=15,AE⊥BC,∴AE=3.(2)①证明:∵AD=BC=5,S▱ABCD如图,∵EF=4,∴在Rt△AEF中,AF=5.∴AF=AD=5.又△AEF经平移得到△DE'F'∴AF∥DF',AF=DF'∴四边形AFF'D是平行四边形.又AF=AD,∴四边形AFF'D是菱形.②如图,连接AF',DF.在Rt△DE'F中,∵E'F=E'E-EF=5-4=1,DE'=3,∴DF=10.在Rt△AEF'中,∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9,AE=3,∴AF'=310. ∴四边形AFF'D的两条对角线长分别为10,310.24.解：(1)如图，DE、DF为所作；(2)∵∠C=90°，∠A=30°∴∠ABC=60°，AB=2BC=12∵BD为∠ABC的角平分线∴∠DBC=∠EBD=30°∵EF垂直平分BD∴FB=FD，EB=ED∴∠FDB=∠DBC=30°，∠EDB=∠EBD=30°∴DE∥BF，BE∥DF∴四边形BEDF为平行四边形而FB=FD∴四边形BEDF为菱形在Rt△ADE中，DE=AE而AE=AB﹣BE∴12﹣BE=BE，解得BE=8在Rt△BDC中，CD=BC=2∴四边形BFDE的面积=×8×2=8.。
菱形培优拓展提高例题练习题
菱形的性质与判定知识归纳1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．例题讲解1. 例1：已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．例2：如图2所示，在菱形ABCD 中，对角线AC=10，BD=24，AE ⊥BC 于E ，则AE 的长是（ ） A ．12060240..131313B C D ．8例3：如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBAFEDCBA例4：如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒例5：已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？课堂练习1.依次连结菱形四条边的中点所构成的四边形是（ ）A ．菱形B ．矩形C ．一般平行四边形D ．一般四边形2. 菱形ABCD 的对角线交于O ，AO =1，且∠ABC ∶∠BAD =1∶2，则下列结论：①．∠ABC =600；②．AC =2；③．BD =4；④．S ABCD =23；⑤菱形ABCD 的周长是8，其中正确的有（ ）A ．①②③④⑤B ．①②④⑤C ．②③④⑤D ．①②③⑤3. 如图3所示，在菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC•上的一个动点，求PE+PB 的最小值．图3E DP C F BA ABCDO4. 如图所示，在菱形ABCD 中，已知E 是BC 上一点，且AE=AB ，∠EAD=2∠BAE ，• 求证：BE=AF ．5. 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA6. 如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置，连结'MD MC MM ，，。
第十三讲 菱形性质与判定培优辅导含答案
第十三讲菱形性质与判定培优辅导一、知识梳理1、菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还具有自己独特的性质①菱形既是_____图形（两条对称轴分别是），也是_______对称图形；②菱形的四条边 ______ ；③菱形的对角线，并且每一条对角线平分；菱形的面积S菱形=底边长×高=_________________ 。
注意：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于____________。
3、菱形的判定：①一组邻边相等的______ 是菱形；②四条边______的是菱形；③对角线的平行四边形是菱形．二、经典例题《菱形的性质与应用》【例1】如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．【变式题组】如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF ＝2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由；(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．《菱形的 判定与应用》【例2】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于E ．(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．【例3】已知如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于M ，EF ⊥BC 于F ．求证：四边形AEFM 是菱形．【例4】如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB ＋PE 的最小值是，求AB 的值．三、【综合提升】【例5】、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF ＝BD ，连接BF ．3（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．②当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由．【变式题组】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.培优升级检测一、选择题1、若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形较短的一条对角线为（）A ．9cmB ．8cmC ．7cmD ．6c m2、过矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC ，交BC 边于点E ，交AD 边于点F ，分别连接A E 、C F ．若A B ＝，∠D C F ＝30°，则E F 的长为（ ）A ．2B ．3C ．D ．3、如图，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD上的任意一点，则PK +QK 的最小值为（ ）A ．1B ．C ．2D ．+1二、填空题4、菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为 ，面积为 ．5、菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8cm ，则此菱形的高等于_ _.6、已知□ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添 ，使□ABCD 成为一个菱形．7、如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC=10，BD=24，AE ⊥BC 于E ，则AE 的长是 ．8、如图已知菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C∠的度数 ．9、如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF ；②△DEF 是等边三角形；③△BEF 是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF ，其中结论正确的个数是 ．7题图 8题图 9题图 10题图 11题图10、如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC于F ，则EF 的最小值为 ．11、如图将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值 ，菱形周长的最大值是 ．12、如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 ．F ED C BA13、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．．14、已如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2022cm时停下，则它停的位置是.12题图 13题图 14题图 15题图15、如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形A2B2C2D2的周长是20 ；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是．三、解答题16、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC ＝60°，求AE的长．17、如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，点P在BC边上以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动．（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．第十三讲菱形性质与判定培优辅导答案二、知识梳理1、菱形的定义：__有一组邻边相等_的平行四边形叫做菱形．2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它不仅具有四边形和平行四边形的_一切性质____，还具有自己独特的性质。
菱形中的中点问题专题培优
菱形中的中点问题专题培优
导论
菱形是一个独特的四边形，其特点是所有边长度相等，并且对角线互相垂直。
菱形中的中点问题是一个经典的几何问题，主要研究菱形的对角线所构成的线段与菱形边中点的关系。
研究内容
1. 菱形的性质：介绍菱形的定义和基本性质，包括边的关系、角度的关系以及对角线的性质。
2. 菱形中的中点：研究菱形对角线所构成的线段与菱形边中点的关系，探讨它们之间的几何关系及数学性质。
3. 中点到对角线的距离：研究菱形边中点到相对对角线的距离问题，分析距离的变化规律和数学表达方式。
4. 典型例题分析：通过对一些经典例题的分析，加深对菱形中的中点问题的理解和应用能力。
研究意义
菱形中的中点问题在几何学中具有重要的应用价值。
它能够帮助我们深入理解菱形的结构特点，进一步探索菱形的性质和变化规
律。
同时，通过研究菱形中的中点问题，我们可以培养抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力，提高数学解决问题的能力。
研究方法
在研究菱形中的中点问题时，可以运用几何推理、向量法、坐标法等方法进行分析和求解。
通过绘制几何图形和运用相关数学知识，我们可以得出一些结论和定理，并进行证明。
结论
菱形中的中点问题是一个深入研究菱形性质和几何关系的重要课题。
通过学习和研究这个问题，我们可以加深对菱形的认识，提高解决几何问题的能力。
在解题过程中，我们可以灵活运用不同的几何方法，结合数学知识，得出准确的结果。
同时，菱形中的中点问题也有助于培养我们的数学思维能力和创造力。
专题5-4菱形的判定专项提升训练(重难点培优)--2023-2024学年八年级(0002)
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题5.4菱形的判定专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•浑南区期中）在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（）A．两条对角线相等B．两条对角线互相垂直平分C．两条对角线互相垂直D．两条对角线相等且互相垂直2．（2022春•通榆县期末）▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添如一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD3．（2022春•青龙县期末）如图，以O为圆心，OA长为半径画弧别交OM、ON于A、B两点，再分别以为A、B为圆心，以OA长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接AC、BC，则四边形OACB一定是（）A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形4．（2021春•路北区期末）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形5．（2021•罗湖区三模）如图，四边形ABCD内有一点E，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，若∠C＝100°，则∠BAD的大小是（）A．25°B．50°C．60°D．80°6．（2022•南京模拟）如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（）A．仅甲正确B．仅乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误7．（2022秋•岳麓区校级月考）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请问下列条件中不能使▱ABCD为菱形的是（）A．∠1＝∠2B．DE＝DF C．∠3＝∠4D．AD＝CD8．（2021秋•莱西市期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（）A．点D在∠BAC的平分线上B．AB＝ACC．∠A＝90°D．点D为BC的中点9．（2022•景德镇模拟）相同的菱形叠放在一起，可得到更多菱形．如图，2个相同的菱形叠放在一起，可得到3个菱形，若将3个相同的菱形叠放在一起，最多可得到菱形的个数为（）A．6B．7C．8D．910．（2022春•南岗区校级期中）如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，CD＝2OB，E为CD延长线上一点，使得DE＝CD，连结BE，分别交AC、AD于点F、G，连结OG，AE，则下列结论：①∠ABC＝120°；②；③四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022•营口）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED 是菱形，这个条件可以是．（写出一个即可）12．（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）13．（2022•丰台区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF．只需添加一个条件即可证明四边形EFCB是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．14．（2022•佳木斯模拟）如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．15．（2022春•夏邑县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝时，平行四边形CDEB为菱形．16．（2022•夏津县二模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG 为菱形．则其中正确的结论的序号是．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022秋•霞浦县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，CE∥AB，CD ∥BE．求证：四边形CDBE是菱形．18．（2022•长治二模）如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB∥CD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，且AE⊥AC，．求证：四边形ABCD是菱形．19．（2022秋•崂山区期末）已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF ∥BC，交BE的延长线与F，连接CF．（1）求证：AF＝BD；（2）当△ABC满足时，四边形ADCF是菱形，并说明理由．20．（2022秋•嘉定区月考）如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线于F点．（1）求证：DE＝EF；（2）如果BC＝2AB，求证：四边形ABDF是菱形．21．（2022秋•鄄城县期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s的速度向点D运动．（1）若点E，F同时运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形？22．（2022•南京模拟）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．23．（2022•南京模拟）如图，正方形ABCD，点E，F是对角线AC上的两点，∠EBF＝45°，连接BE，BF，△ABE和△GBE关于直线BE对称．点G在BD上，连接FG．（1）求∠FBC的度数；（2）如备用图，延长BF交CD于点H，连接HG．①求证：四边形GHCF是菱形；②求的值．。
八年级数学下册菱形培优专题练习
同步练习2图同步练习1图B八年级数学下册菱形培优专题练习考点1：菱形对角线问题例1、如图，已知菱形ABCD 对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，于点E ，则BC AE ⊥AE 的长是（ ）A 、B 、3552C 、D 、524548【同步练习】1、如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AD 边中点，OE 的长等于4，则菱形ABCD 的周长为（ ）A 、16B 、20C 、24D 、322、如图，四边形ABCD 是菱形，，对角线AC ，BD 相交于点O ，于︒=∠50DAB AB DH ⊥H ，连接OH ，则度。
______=∠DHO 考点2：菱形最值问题例2、如图，在周长为12的菱形ABCD 中，，，若P 为对角线BD 上一动1=AE 2=AF 点，则的最小值为（ ）FP EP +A 、1B 、2C、3D 、4例2图B同步练习2图例3图同步练习1图同步练习2图【同步练习】1、如图，在菱形ABCD 中，，，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一2=AB ︒=∠60BAD 个动点，则的最小值为（ ）PB PE +A 、1B 、C 、2D 、35例3、如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是 .【同步练习】1、如图，将两张长为8，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值12，那么菱形周长的最大值是 .2、如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 面积的最大值是（ ）A 、15B 、16C 、19D 、20考点3：菱形与直角坐标系问题同步练习1图同步练习2图同步练习3图例4、如图，正方形ABCD 的边长为10，点A 的坐标为（0， 8），点B 在x 轴上，若反比例函数（）的图象过点C ，则该反比例函数的表达式为（ ）x ky =0≠k A 、 B 、x y 6=x y 12-=C 、D 、xy 10=xy 10-=【同步练习】1、如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A （3，0），B （ 2，0），顶点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标为（ ）A 、（ 3，4）B 、（ 4，5）C 、（ 5，5）D 、（ 5，4）2、在平面直角坐标系中，菱形OABC 的OC 边落在x 轴上，，.若︒=∠60AOOC 360=OA 菱形OABC 内部（边界及顶点除外）的一格点P （x ，y ）满足：，就称格点P y x y x 909022-=-为“好点”，则菱形OABC 内部“好点”的个数为（ ）（注：所谓“格点”，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点。
菱形经典题型(培优提高)
菱形的性质与判定知识归纳1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．例题讲解例1：已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA例2：如图2所示，在菱形ABCD 中，对角线AC=10，BD=24，AE ⊥BC 于E ，则AE 的长是（ ） A ．12060240..131313B C D ．8例3：如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA例4：如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CFBA例5：已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE课堂练习1. 已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是2. 依次连结菱形四条边的中点所构成的四边形是（ ）A ．菱形B ．矩形C ．一般平行四边形D ．一般四边形 3. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．4. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为________．5. 菱形ABCD 的对角线交于O ，AO =1，且∠ABC ∶∠BAD =1∶2，∠ABO =300，则下列结论：①．∠ABC =600；②．AC =2；③．BD =4；④．S ABCD =23；⑤菱形ABCD 的周长是8，其中正确的有（ ）A ．①②③④⑤B ．①②④⑤C ．②③④⑤D ．①②③⑤AB CDO6. 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA7. 如图所示，在菱形ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，E ，F 为垂足，AE=ED ，求∠EBF 的度数．8. 如图3所示，在菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC•上的一个动点，则PE+PB 的最小值是________．9. 如图所示，在菱形ABCD 中，已知E 是BC 上一点，且AE=AB，∠EAD=2∠BAE ，• 求证：BE=AF ．10. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A11. 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA12. 如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形；⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA课下练习1. 如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。
人教版八年级数学下册18.2.2.2菱形的判定培优训练(含答案)
人教版八年级数学下册菱形的判断培优训练一、选择题（共 10 小题， 3*10=30 ）1．以下命题中，正确的选项是()A ．有一个角是60°的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．有两边相等的平行四边形是菱形D．四条边相等的四边形是菱形2．如图，在 ?ABCD 中， AC ，BD 交于点 O，AB ＝13， AC ＝24， DB＝ 10，则四边形ABCD 是 () A ．一般的平行四边形B．长方形C．菱形 D ．形状不可以确立3. 如图，以下条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为 ()①AC ⊥ BD ；②∠ BAD=90°；③ AB=BC ；④ AC=BD ．A 、①③B 、②③C、③④D、①②③4.如图，四边形 ABCD 的两条对角线订交于点 O，且相互均分．增添以下条件，仍不可以判断四边形ABCD 为菱形的是 ()A ．AC ⊥BD B．AB ＝ADC． AC ＝ BD D．∠ ABD ＝∠ CBD5. 如图，在 ?ABCD 中，对角线AC ，BD 订交于点O，增添以下条件不可以判断 ? ABCD 是菱形的只有()C．AC＝BD D．∠ 1＝∠ 26.如图，四边形 ABCD 的两条对角线订交于点 O，且相互均分，增添以下条件，仍不可以判断四边形ABCD 为菱形的是 ()A ．AC ⊥BD B．AB ＝ADC． AC ＝ BD D ．∠ ABD ＝∠ CBD7. 如图，将?ABCD 沿 AE 翻折，使点 B 恰巧落在 AD 上的点 F 处，则以下结论不必定建立的是()A ．AF＝EF B．AB ＝EFC．AE＝AF D．AF ＝BE8. 四边形的四边长按序为a、b、 c、 d，且 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad ，则此四边形必定是()A.平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形9．如图，四边形ABCD 的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC ＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为()A ． 52 cmB ．40 cmC． 39 cm D ．26 cm10.如图，分别以 Rt△ABC 的斜边 AB 和直角边 AC 为边向△ABC 外作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE ， F 为 AB 的中点， DE 与 AB 交于点 G，EF 与 AC 交于点 H，∠ BAC ＝ 30°给.出以下结论：1二．填空题（共 8 小题， 3*8=24 ）11.如图，假如要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要增添一个条件，那么你增添的条件是_________．12.如图在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 订交于点 O，且 DE ∥AC ， CE∥ BD ，则四边形 OCED 的形状是 _________．13. 如图 ,在长方形 ABCD 中,AB=12,AD=14,E为AB的中点,点F,G分别在CD,AD上,若CF=4,且△EFG 为等腰直角三角形,则 EF 的长为 _________．14. 如图 ,在周长为 12 的菱形 ABCD 中 ,AE=1,AF=2, 若 P 为对角线BD 上一动点 ,则 EP+FP 的最小值为_________．15．以下命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线相互垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线均分一组对角的平行四边形是菱形．此中正确的选项是__________( 填序号 )．16.把一张矩形纸片 ABCD 按如图方式折叠，使极点 B 和极点 D 重合，折痕为 EF．若 BF=4 ，FC=2 ，17.如图 ,把长方形纸片 ABCD 折叠 ,使其对角极点 C 与 A 重合 .若长方形的长 BC 为 8,宽 AB 为 4,则折痕 EF 的长度为 _________．18. 在菱形 ABCD 中， AE 为 BC 边上的高，若AB=5 ， AE=4 ，则线段CE 的长为．三．解答题（共 7 小题，46 分）19．(6 分 )如图，在平行四边形ABCD 中， AC 均分∠ DAB ，AB ＝ 2 cm，求平行四边形ABCD 的周长为 .20． (6 分 ) 如图， E， F 是菱形 ABCD 对角线上的两点，且AE ＝ CF.求证：四边形BEDF 是菱形；21． (6 分 ) 如图，在△ABC 中， AD 均分∠ BAC ，过点 D 分别作 DE∥ AC 、 DF ∥AB ，分别交 AB 、 AC 于点 E、 F.求证：四边形 AEDF 是菱形．22． (6 分 ) 如图，在△ABC 中， AD 均分∠ BAC ，将△ABC 折叠，使点 A 与点 D 重合，睁开后折痕分别交AB ， AC 于点 E， F，连结 DE，DF.求证：四边形AEDF 是菱形．23． (6 分 ) 如图，在 ?ABCD 中，对角线AC ， BD 订交于点O，AB ＝ 5， AC ＝ 6， BD ＝ 8.(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(2)过点 A 作 AH ⊥BC 于点 H，求 AH 的长．24． (8 分 ) 如图，在矩形ABCD 中， E， F 分别是 BC ， AD 边上的点，且AE ＝ CF.(1)求证：△ABE ≌△ CDF；(2)当 AC⊥ EF 时，四边形 AECF 是菱形吗？请说明原因．25． (8 分 ) 如图，将一张矩形纸片ABCD 进行折叠，详细操作以下：第一步：先对折，使AD 与 BC 重合，获得折痕MN ，睁开；第二步：再折叠一次，使点 A 落在 MN 上的点 A′处，并使折痕经过点B，获得折痕BE，同时，获得线段 BA′， EA′，睁开，如图①；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点 B 落在 AD 上的点B′处，获得折痕EF，同时获得线段B′F，睁开，如图②.求证： (1) ∠ ABE ＝30°； (2)四边形 BFB′E为菱形．参照答案1-5DCACC6-10 CCCAC11.AB=AD 或 AC ⊥BD12.菱形13.10214.315.①③⑤16.6017.2518.2 或 819.解：如图．∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠ 1＝∠ 4，∠ 2＝∠ 3，∵ AC 均分∠ DAB ，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＝∠ 3，∴ AD ＝DC，四边形 ABCD 为菱形，∴四边形 ABCD 的周长＝ 4×2＝ 8.20.证明：连结 BD ，交 AC 于 O.∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝ OC，OB＝ OD ， AC ⊥BD ，∵ AE ＝ CF，∴ OE＝ OF，∴四边形 BEDF 是平行四边形，∵ EF⊥ BD ，∴四边形 BEDF 是菱形；21.证明：∵DE∥AC ，DF∥AB ，∴四边形 AEDF 是平行四边形．∵ AD 均分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ CAD.∵DE ∥ AC ，∴∠ EDA ＝∠ CAD ，∴∠ EDA ＝∠ BAD ，∴四边形AEDF 是菱形．22.证明： (方法不独一 )由折叠性质知： AE ＝ DE，AF ＝ DF，∴∠ DAE ＝∠ EDA ，∠ ADF ＝∠ FAD ，∵∠ DAE ＝∠ FAD ，∴∠ DAE ＝∠ ADF ，∠ DAF ＝∠ EDA ，∴DF∥AE，DE∥AF ，∴四边形 AEDF 是平行四边形，∵ AE ＝ DE，∴四边形 AEDF 是菱形1 23. (1) 证明：∵在 ?ABCD 中，对角线AC ， BD 订交于点O， AB ＝ 5，AC ＝ 6， BD ＝8，∴ AO ＝2AC1＝ 3， BO＝2BD ＝ 4，∵AB ＝ 5，且 32＋ 42＝ 52，∴AO 2＋BO2＝AB 2，∴△ AOB 是直角三角形，且∠ AOB ＝ 90°，∴ AC ⊥ BD ，∴四边形 ABCD 是菱形．(2)解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴BC＝AB ＝ 5，1111∵ S△ABC＝2AC· BO＝2BC· AH，∴2× 6×4＝2× 5× AH，解得： AH ＝24 5.24.解： (1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ B ＝∠ D ＝ 90°，AB ＝ CD， AD ＝BC ， AD ∥ BC，AE ＝ CF，在 Rt△ABE 和 Rt△CDF 中，AB ＝CD ，∴Rt△ABE ≌ Rt △CDF(HL)(2)解：当 AC ⊥ EF 时，四边形 AECF 是菱形，原因以下：∵△ ABE ≌△ CDF ，∴ BE ＝ DF，∵BC＝AD ，∴ CE＝AF ，∵CE∥ AF，∴四边形AECF 是平行四边形，又∵ AC ⊥ EF，∴四边形AECF 是菱形∴∠ AEB ＝∠ A′EB.∵第三步折叠，点 B 落在 AD 上的点 B′处，获得折痕EF，同时获得线段B′F，∴∠ A′EB＝∠ FEB′.∵∠ AEB ＋∠ A′EB＋∠ FEB′＝ 180°，∴∠ AEB ＝∠ A′EB＝∠ FEB′＝ 60°，∴∠ ABE ＝30°(2) ∵沿 EA′所在的直线折叠，点 B 落在 AD 上的点 B′处，∴BE ＝ B′E， BF＝B′F.∵AD ∥ BC，∴∠ BFE ＝∠ FEB′＝60°，∴△ BEF 是等边三角形，∴ BE ＝ BF，∴ BE ＝ B′E＝ B′F＝BF，∴四边形 BFB′E为菱形。
菱形专题培优训练
四边形--菱形专题培优训练一．选择题（共8小题）1．（2011?聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）分的面积是（）第2题第3题第6题=AB2 G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD 其中正确的结论有（）M、N的坐标分别是（）翻折，使点A落在边BC上，记为A′．若四边形ADA′E是菱形，则下列说法正确的是（）8．（2010?安顺）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）9．菱形的周长为20cm，两邻角的比为2：1，则较短的对角线的长为_________cm．10．（2012?鄂尔多斯）如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是_________．11．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为_________．12．（2003?温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．13．（2005?黑龙江）已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为_________．14．（2011?内江）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足_________条件时，四边形EFGH是菱形．三．解答题（共13小题）18．（2012?自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F 分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．19．（2010?鞍山）①如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论；②如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC，交CE的延长线与点F．求证：AB垂直平分DF．20．（2008?烟台）如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．22．（2010?遵义）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．（1）求证：CF=CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．25．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F 分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，猜一猜EF与GH 的位置关系，并证明你的结论．26．如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，若∠AED=2∠EAD，AC=6．求DE的长．。
特殊的直角菱形专题培优
特殊的直角菱形专题培优简介本文档介绍了特殊的直角菱形，并提供了专题培优的方法和策略。
特殊的直角菱形特殊的直角菱形是一种具有特殊形状的菱形。
它的特点是四个角中有一个直角。
相比于普通的菱形，特殊的直角菱形更加稳定和对称。
专题培优方法为了培优特殊的直角菱形，我们可以采取以下方法和策略：1. 理解菱形的特性：首先，我们需要深入理解菱形的性质，包括边长、对角线长度和角度之间的关系。
理解菱形的特性：首先，我们需要深入理解菱形的性质，包括边长、对角线长度和角度之间的关系。
2. 掌握求解方法：掌握计算特殊的直角菱形边长和对角线长度的方法，以便能够准确地求解问题。
掌握求解方法：掌握计算特殊的直角菱形边长和对角线长度的方法，以便能够准确地求解问题。
3. 练题：通过大量练题，加深对特殊的直角菱形的理解和掌握。
练习习题：通过大量练习习题，加深对特殊的直角菱形的理解和掌握。
4. 应用实践：将特殊的直角菱形应用到实际问题中，例如在建筑设计、地图绘制等领域中运用。
应用实践：将特殊的直角菱形应用到实际问题中，例如在建筑设计、地图绘制等领域中运用。
5. 相互交流：与同学、老师或其他菱形爱好者交流心得和经验，互相研究和提高。
相互交流：与同学、老师或其他菱形爱好者交流心得和经验，互相学习和提高。
结论通过深入理解特殊的直角菱形，并采取专题培优的方法和策略，我们可以更好地掌握和应用这一特殊形状。
希望本文档能够帮助读者在特殊的直角菱形方面取得更好的成绩和进步。
请注意：以上内容为简要介绍，具体细节请根据实际情况进行拓展和补充。
---以上为简要内容摘要，具体细节请根据实际需求进行扩展和描述。
(培优)菱形矩形正方形和梯形含答案
（培优）菱形、矩形、正方形和梯形含答案（培优）菱形、矩形、正方形和梯形菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容．例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF与GH互相垂直平分吗？分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可．解：∵FH`∥GE，FG∥EH，∴四边形FGEH为平行四边形，由题意知：△GEF≌△HFE．∴FG=FH，EG=EH．∴四边形GEHF为菱形．∴EF、GH互相垂直平分．练习11．如图1，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，?∠BAE=18°，则∠CEF=________．(1) (2) (3) 长为6，则菱形的面积为________．2．如图2，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边3．如图3，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC?恰是一个菱形，?则∠EAB=________．答案: 练习11．18° 2．363．连结BD交AC于点O，作EM⊥AC于点M．设正方形边长为a，则AC=BD=AE=2a 又∵AC∥BF，BO⊥AC，EM⊥AC，∴BO=EM=12BD=a． 221在Rt△AEM中，AE=2a，EM= ∴∠CAE=30°．则∠EAB=15°．2a． 2 例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，?如图，若折痕EF长为6，求另一边长．分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD中，已知AD=5，过对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F，BC于EF=6，求AB的长的问题．解：设AB=x，BE=y，连结AE．则AE=CE=5-y．在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+y2=（5-y）2．E，若25?x225?x2 得y=，AE=5-y=．10101125?x26 又在Rt△AOE中，AO=AC=，EO=EF=．2222 代入AE=AO+OE得，22225?x2225?x2262（）=（）+（）．1022 即x4+25x2-150=0．解之得，x2=5，x2=-30（舍去）∴x=5．练习21．如图4，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，?设折痕为EF，试确定重叠部分的△AEF的面积是__________．(4) (5)2．如图5所示，把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD将△BCD折成△BDF，DF?交AB于E，若已知AE=2cm，∠BDC=30°，求纸条的长和宽各是________．23．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，使AD=2，求AG．答案: 练习2 1．752cm． 162．纸条长为6cm，宽为23cm． 3．作GM⊥BD，垂足为M．由题意可知∠ADG=GDM，则△ADG≌△MDG．∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM．而BM=BD-DM=22-2=2（2-1），∴AG=BM=2（2-1）．例3 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM⊥EF，?垂足为M，AM=AB，则有EF=BE+DF，为什么？分析要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF．只要能说明△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可．理由：连结AE、AF．由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用，∴△ABE≌△AME．∴BE=ME．同理可得，△ADF≌△AMF．∴DF=MF．∴EF=ME+MF=BE+DF．3练习31．如图6，点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，?其边长分别为3cm和5cm，则△CDE的面积为________cm2．(6) （7）2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为________．3．如图，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10，并且P点到CD边的距离也等于10，求正方形ABCD的面积？答案: 练习31．6cm． 2．36．3．过P作EF⊥AB于F交DC于E．设PF=x，则EF=10+x，BF= 由PB=PF+BF．可得：10=x+ 故x=6．S正方形ABCD=16=256．例4 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠C=30°，求AD：BC的值．分析添加辅助线，使等腰梯形ABCD?的问题转化为平行四边形和等腰三角形的问题．解：过D作DF∥AB交BC于F，过D作DE⊥BC于E，则四边形ABFD为平行四边形．设AD=a，则AD=BF=a．∵BD平分∠ABC，∴AD=AB=DF=DC=a．在Rt△DEC中，∠C=30°，∵DE=22222221（10+x）． 212（x+10）． 4a3，EC=a． 224又∵EC=DF=3a， 233a+a=（1+3）a．22 ∴BC=BF+EF+EC=a+∴AD：BC=a：（1+3）a=（3-1）：2 练习41．用长为1、4、4、5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于_______．2．用一块面积为900cm2的等腰梯形彩纸做风筝，为牢固起见，?用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么梯形对角线至少需______cm．3．如图，一块直角梯形的钢板，两底长分别是4cm、?10cm，?且有一个内角为60°，问是否能将铁板任意翻转，使从一个直径为8.7cm的圆洞中穿过？答案: 练习41．63或10． 2．302．3．过D作DE⊥BC于E，则BE=4，EC=6，由∠C=60°，知CD=2EC=12，DE=3EC=63，由于BC>8.7，DE>8.7，故这两个方向不能穿过圆洞．过B作BF⊥CD，有CF=1BC=5． 2 得BF=53=75<75.69=8.7．故沿CD方向可穿过圆洞．例5 如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE?⊥BD，PE⊥AC，E、F分别是垂足，求PE+PF的长．分析连结PO，则PE、PF可分别看作是OD、OA边上的高，而OA=OD，故只需求出△AOP、△DOP的面积即可．解：连结OP．由矩形ABCD，AD=12，AB=5．∴AC=BD=2OA=2OB=13．∴OA=OD=6．5．而S矩形=12×5=60．5感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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菱形专题培优训练
一．选择题（共8小题）
1．（2011•聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2 2．（2012•恩施州）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影
部分的面积是（）
第2题第3题第6题A．B．2C．3D．
3．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；
④S△ABD =AB2其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2010•陕西）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（）
A．16B．8C．4D．1 5．（2001•嘉兴）菱形的边长为4cm，一个内角为30°，这个菱形的面积为（）
A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2 6．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）
A．M（5，0），N（8，
4）
B．M（4，0），N（8，
4）
C．M（5，0），N（7，
4）
D．M（4，0），N（7，
4）7．（2008•丽水）如图，在三角形ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A′．若四边形ADA′E是菱形，则下列说法正确的是（）A．D E是△ABC的中位线B．AA′是BC边上的中线
C．A A′是BC边上的高D．A A′是△ABC的角平分线
第7题第8题
8．（2010•安顺）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为（）
A．1B．2C．D．
二．填空题（共9小题）
9．菱形的周长为20 cm，两邻角的比为2：1，则较短的对角线的长为_________ cm．10．（2012•鄂尔多斯）如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成
为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是_________ ．
11．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OC=，则
点B的坐标为_________ ．
12．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________ ．
13．（2005•黑龙江）已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一
点，且PB=PD=2，那么AP的长为_________ ．
14．（2011•内江）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、
CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足_________ 条件时，四边形EFGH是菱形．
三．解答题（共13小题）
18．（2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
19．（2010•鞍山）①如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论；
②如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC，交CE
的延长线与点F．求证：AB垂直平分DF．
20．（2008•烟台）如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
22．（2010•遵义）如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．
（1）求证：CF=CH；
（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
25．如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论．
26．如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，若∠AED=2∠EAD，AC=6．求DE的长．。