3函数的值域和单调性证明 解析版
函数的单调性与最值讲义
函数的单调性与最值【知识要点】1．函数的单调性(1)单调函数的概念自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的概念若是函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．〔3〕判定函数单调性的方式①依照概念；①依照图象；①利用函数的增减性；①利用导数；①复合函数单调性判定方式。
2．函数的最值求函数最值的方式：①假设函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，经常使用配方式；①利用函数的单调性求最值：先判定函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ①全然不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时经常使用此法。
【温习回忆】一次函数(0)y kx b k =+≠具有以下性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有以下性质：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2ba-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2ba-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题:①如以下图为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么转变规律?这反映了相应的函数值的哪些转变规律?①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？①如何明白得图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？①概念：一样地，设函数f(x)的概念域为I ，若是关于概念域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数. 简称为：步伐一致增函数.几何意义：增函数的从左向右看, 图象是 的。
三角函数的图象与性质(解析版)
三角函数的图象与性质一、 考情分析1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质.二、 知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无[微点提醒] 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.三、 经典例题考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cosx ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8.规律方法 1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解. 考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________. 【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3， 即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【解析】 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ， 解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.规律方法 1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.规律方法 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( ) A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称 (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称， 所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33， 所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称.(2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ).又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9.规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可. 2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可. [方法技巧]1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.4.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.5.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.6.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .四、 课时作业1．（2021·宝鸡中学高一期中）函数π()tan 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．πππ2π,()2623k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ5π,()212212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．π5ππ,π()1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z D ．π2ππ,π()63k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 【答案】C 【解析】()π2232k x k k Z ππππ-<-<+∈得：5212212k k x ππππ-<<+，所以函数π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5ππ,π()1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z . 2．（2021·陕西省西安中学高一期中）设函数12sin y x =-，则函数的最大值及取到最大值时的x 取值集合分别为（ ） A ．3，|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．1，3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．3，3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．1，|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由于22sin 2,22sin 2,112sin 3x x x -≤≤-≤-≤-≤-≤， 所以当32,2x k k Z ππ=+∈时，函数12sin y x =-有最大值为3. 3．（2021·吉林省高三其他（文））下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( ) A ．1y x=B ．y tanx =C ．x x y e e -=-D ．2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间， 对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意； 对于C 选项，令()x x f x e e -=-知()x x f x e e --=-， 所以()()0f x f x +-=所以()x x f x e e -=-为奇函数， 又x y e =在定义内单调递增，所以x y e -=-单调递增， 所以函数x x y e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数.4．（2021·武功县普集高级中学高一月考）函数y =）A ．()2,266k k k Z ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦π-π+∈ B ．()22,333k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈ D ．()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由2cos 10x +≥得：2222,33k x k k πππ-≤≤π+∈Z . 所以函数2cos 1y x =+的定义域是()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈.5．（2021·武功县普集高级中学高一月考）函数sin y x x =的部分图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】:因为sin y x x =，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故可以排除B ，D.又因为函数()f x 在()0,π上函数值为正，故排除C.6．（2019·呼玛县高级中学高一月考）若函数()sin()(0,0,)2πωϕωϕ=+>><f x A x A 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin(2)6f x x π=+ B ．()cos(2)6f x x π=+ C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()sin(2)3f x x π=+【答案】D【解析】由函数的部分图像可知1A =，22T π=，故T π=，所以2ππω=即2ω=.由函数图像的对称轴为12x π=，所以22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 因2πϕ<，故3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选D . 7．（2019·呼玛县高级中学高一月考）设cos 12a π=，41sin6b π=，7cos 4c π=，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A 【解析】4155b sinsin 6sin sin cos 66663ππππππ⎛⎫==+=== ⎪⎝⎭,7c cos cos 44ππ== 因为3412πππ>>，且y cos 0,2x π=在（，）是单调递减函数，所以a c b >>，故选A8．（2019·延安市第一中学高三月考（理））已知函数()sin()(0)2f x x πωφωϕ=+><，图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线12x π=-对称D ．关于直线12x π=对称 【答案】B【解析】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=． 设将()f x 的图像向左平移3π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()2sin 23g x x πφ⎛⎫=++⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故()01g =±， 所以2sin 13πφ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，2,32k k Z ππφπ+=+∈，所以,6k k Z πφπ=-∈， 因2πφ<，所以6πφ=-．又()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，故对称轴为直线,23k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k π-=π∈Z ，故,212k x k Z ππ=+∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以A 错误，D 正确．9．（2021·河北省故城县高级中学高一期中）关于函数sin(),2y x π=+在以下说法中正确的是（ ）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数 C ．[,0]π-上是减函数 D ．[,]-ππ上是减函数【答案】B【解析】sin()cos 2y x x π=+=，它在[0,]π上是减函数．10．（2021·上海高一课时练习）下列命题中正确的是（ ） A ．cos y x =在第一象限和第四象限内是减函数 B ．sin y x =在第一象限和第三象限内是增函数C ．cos y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 D ．sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】D【解析】对于cos y x =，该函数的单调递减区间为：[]2,2,k k k Z πππ+∈，故A 错，C 错. 对于sin y x =，该函数的单调递增区间为：2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错，D 对.11．（2021·陕西省西安中学高三其他（理））关于函数()2sin sin 222x x f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有下述四个结论： ①函数()f x 的图象把圆221x y +=的面积两等分 ②()f x 是周期为π的函数③函数()f x 在区间(,)-∞+∞上有3个零点④函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【解析】f （x ）＝2sin2x sin （2π+2x ）﹣x ＝2sin 2x cos 2x﹣x ＝sin x ﹣x ， 对于①，因为f （﹣x ）＝sin （﹣x ）﹣（﹣x ）＝﹣sin x +x ＝﹣f （x ），所以函数f （x ）为奇函数，关于原点对称，且过圆心，而圆x 2+y 2＝1也是关于原点对称，所以①正确；对于②，因为f （x +π）＝sin （x +π）﹣（x +π）＝﹣sin x ﹣x ﹣π≠f （x ），所以f （x ）的周期不是π，即②错误；对于③，因为()'f x ＝cos x ﹣1≤0，所以f （x ）单调递减，所以f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上至多有1个零点， 即③错误； 对于④，()'fx ＝cos x ﹣1≤0，所以f （x ）单调递减，即④正确．12．（2021·山西省高三其他（文））已知()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象关于直线524x π=对称，把()f x 的图象向左平移4π个单位后所得的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】因为()f x 的图象向左平移4π个单位后所得的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 所以()f x 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 又()f x 的图象既关于直线524x π=对称， 设()f x 的最小正周期为T ，则()()2153244k T k N ππ+-=∈， 即()21284k k N ππω+⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭，所以()84k k N ω=+∈，取0k =，得4ω=，13．（2021·上海高二课时练习）设直线的斜率(,1][1,)k ∈-∞-⋃+∞，则该直线的倾斜角α满足（ ）. A ．44ππα-B ．42ππα<或324ππα< C ．04πα或34παπ<D ．04πα或34παπ【答案】B【解析】因为tan k α=， 所以当1k ≤-时，324ππα<≤， 当1k时，42ππα≤<，即直线的倾斜角α满足42ππα<或324ππα<， 14．（2021·调兵山市第一高级中学高一月考）方程10sin x x =的根的个数是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】分别作函数,10sin y x y x ==图象，如图，由图可得交点个数为7，所以方程10sin x x =的根的个数是715．（2021·福建省高三其他（文））图数()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)(],00,x ππ∈-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题知：()()11cos cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 为奇函数，故排除B ，D. 又因为02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故排除C.16．（2021·上海高一期中）函数sin cos y x x =⋅的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1 B ．π，12C ．2π，1D ．2π，12【答案】B【解析】1sin cos =sin 22y x x x =⋅， 函数sin cos y x x =⋅的最小正周期22T ππ==， 1sin 21x -≤≤，∴111sin 2222x -≤≤， ∴函数sin cos y x x =⋅的最大值为12. 17．（2021·山西省高三其他（文））对于函数()()1122f x sinx cosx sinx cosx =+--.有下列说法：①()f x 的值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值；③函数()f x 的最小正周期是π；④当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时,()0f x >.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为()()1122cosx sinx cosx f x sinx cosx sinx cosx sinx sinx cosx≥⎧=+--=⎨<⎩，，，作出函数()f x 的图象，如图所示：所以，()f x 的值城为22⎡-⎢⎣⎦，①错误； 函数()f x 的最小正周期是2π，③错误； 当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值，②正确；当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，④正确. 18．（多选题）（2021·海南省海南中学高三月考）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0,0A ω>>）在1x =处取得最大值，且最小正周期为2，则下列说法正确的有( ). A ．函数()1f x -是奇函数B ．函数()1f x +是偶函数C ．函数()2f x +在[]0,1上单调递增D ．函数()3f x +是周期函数【答案】BCD【解析】因为()()sin f x A x =+ωϕ在1x =处取得最大值， 所以有2()2k k Z πωϕπ+=+∈，又因为()()sin f x A x =+ωϕ的最小正周期为2， 所以有22,0πωωπω=>∴=，因此()()sin sin 2cos 2f x A x A x k A x πωϕπππ⎛⎫=+=+-=- ⎪⎝⎭.选项A ：设()()1cos[(1)]cos g x f x A x A x ππ=-=--=， 因为()cos[()]cos ()g x A x A x g x ππ-=-==， 所以()()1g x f x =-是偶函数，故本选项说法不正确； 选项B ：设()()1cos[(1)]cos h x f x A x A x ππ=+=-+= 因为()cos[()]cos ()h x A x A x h x ππ-=-==， 所以()()1h x f x =+是偶函数，故本选项说法正确；选项C ：设()()2cos[(2)]cos m x f x A x A x ππ=+=-+=-，因为[]0,1x ∈，所以[]0,x ππ∈，又因为0A >，所以函数()()2m x f x =+在[]0,1上单调递增，故本选项说法正确；选项D ：设()()3cos[(3)]cos n x f x A x A x ππ=+=-+=， 函数()n x 最小正周期为：22ππ=，所以本选项说法正确.19．（2021·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．2π为()f x 的一个周期B ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称 C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x π+的一个零点为3π【答案】AD【解析】根据函数()6f x cos x π⎛⎫=+⎪⎝⎭知最小正周期为2π，A 正确.当43x π=时，443cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由余弦函数的对称性知，B 错误；函数()6f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误； ()76f x cos x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，73cos cos 03632f πππππ⎛⎫⎛⎫∴+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.20．（2021·山东省高一期中）将函数()2sin 2f x x x =+12π个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f xB ．()g x 是奇函数C ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()g x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】CD【解析】函数2()sin 2sin 22sin(2)3f x x x x x x π=+=+，把函数图象向左平移12π个单位，得到2sin[2()]2sin(2)2cos 21232y x x x πππ=++=+=， 再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到()2cos g x x =． ①故()f x 函数的最大值为2，故选项A 错误． ②函数()2cos g x x =为偶函数，故选项B 错误． ③当6x π=-时，2sin 20663f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故选项C 正确．④由于()2cos g x x =，在[]2,2k k πππ+，()k Z ∈上单调递减，故函数()g x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．故选项D 正确．21．（2021·上海高一期中）函数()tan 6f x x π=的单调递增区间为________【答案】(63,63)k k -+，k ∈Z 【解析】由622x k k πππππ-+<<+，k Z ∈，解得6363k x k -<<+，k Z ∈，故函数的单调增区间为()63,63k k -+，k Z ∈，22．（2021·河北省故城县高级中学高一期中）已知函数()sin()f x x π=-，()cos()g x x π=+，有以下结论：①函数()()y f x g x =的最小正周期为π； ②函数()()y f x g x =的最大值为2；③将函数()y f x =的图象向右平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象； ④将函数()y f x =的图象向左平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象.其中正确结论的序号是____________. 【答案】①④【解析】()sin()sin f x x x π=-=-，()cos()cos g x x x π=+=-. 因为1()()(sin )(cos )sin cos sin 22y f x g x x x x x x ==-⋅-=⋅=， 所以1()()sin 22y f x g x x ==的最小正周期为：22ππ=，故结论①正确； 因为1()()sin 22y f x g x x ==的最大值为12，所以结论②不正确；因为函数()y f x =的图象向右平移2π个单位后得到函数的解析式为： ()sin()cos 22y f x x x ππ=-=--=，所以结论③不正确；因为函数()y f x =的图象向左平移2π个单位后得到函数的解析式为： ()sin()cos ()22y f x x x g x ππ=+=-+=-=，所以结论④正确.23．（2021·宝鸡中学高一期中）函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，其中0A >，0>ω，π||2ϕ<.（1）求函数()y f x =解析式；（2）求[0,π]x ∈时，函数()y f x =的值域； （3）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递减区间.【解析】（1）根据函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象，其中0A >，0>ω，π||2ϕ<， ∵40A B A B +=⎧⎨-+=⎩，∴22A B =⎧⎨=⎩；∵12π5ππ44126T ω=⋅=-，∴2ω=， 再根据π46f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得ππ22π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，∴π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，∵π||2ϕ<，∴π6ϕ=，∴函数()y f x =的解析式为π()2sin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （2）∵[]0,πx ∈，∴ππ13π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 2[1,1]6x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ∴函数()y f x =的值域为[]0,4； （3）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度， 得到函数πππ()2sin 222sin 22463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，对于函数π()2sin 223g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，k ∈Z ， 求得5π11πππ1212k x k +≤≤+，k ∈Z ， 故函数()g x 的单调减区间为5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .24．（2021·山西省平遥中学校高一月考）已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）求函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域和取得最大值时相应的x 的值.【解析】（1）()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin cos x x x =-)sin 21cos 2x x =-+sin 2x x =2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴22T ππ==. 由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ∴单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵46x ππ-≤≤，∴22633x πππ-≤+≤. ∴1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即12sin 223x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.∴函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2- 且当232x ππ+=，即12x π=时，()max 2f x =. 25．（2021·武功县普集高级中学高一月考）在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式；(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 【解析】（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． (2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2； 当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．。
专题3.3 函数的单调性(基础)(解析版).
专题3.3函数的单调性知识点一增函数与减函数的定义前提条件设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I 条件∀x 1，x 2∈D ，x 1<x 2都有f (x 1)<f (x 2)都有f (x 1)>f (x 2)图示结论f (x )在区间D 上单调递增f (x )在区间D 上单调递减特殊情况当函数f (x )在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当函数f (x )在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数知识点二函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．知识点三函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论称M 是函数y ＝f (x )的最大值称M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标知识点四求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )．(2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则y max ＝f (a )，y min ＝f(b )．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．函数单调性的判断与证明(1)取值并规定大小：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2；(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)或f (x 2)－f (x 1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式；(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)或f (x 2)－f (x 1)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论．(4)结论：根据定义确定单调性．【例1】用单调性定义判断函数21()2x f x x +=-在区间(2,)+∞上的单调性，并求()f x 在区间[3，6]上的最值．【解答】解：设122x x <<，则122112*********()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x ++--=-=----，122x x <<，210x x ∴->，120x ->，220x ->，2112125()()()0(2)(2)x x f x f x x x -∴-=>--，即12()()f x f x >∴函数()f x 在区间(2,)+∞上是减函数．∴函数()f x 在区间[3，6]上是减函数．()f x ∴的最大值为f （3）7=，()f x 的最小值为f （6）134=．【变式训练1】已知函数2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-．用定义法证明：函数()f x 在(0,2)上单调递增；【解答】证明：任取1220x x >>>，则1212121222221212()(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=----，因为1220x x >>>，所以2212121240,40,40,0x x x x x x ->->+>->，所以12()()0f x f x ->，所以()f x 在(0,2)上单调递增；【变式训练2】已知函数1()(0)xf x ax a ax-=+>（1）利用函数单调性的定义，判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；【解答】解：函数111()(0)x f x ax ax a ax ax a-=+=+->，∴任取1x 、2(0,)x ∈+∞，且12x x <，2121212121212()(1)1111()()()()x x a x x f x f x ax ax ax a ax a ax x --∴-=+--+-=；又120x x <<，0a >；120x x ∴-<，当1210x x a<<<时，21210a x x -<，12()()f x f x ∴>，()f x 是减函数；当121x x a<<时，21210a x x ->，12()()f x f x ∴<，()f x 是增函数；∴函数()f x 在1(0,)a上是减函数，在1(a，)+∞上是增函数；【变式训练3】利用定义判断函数()f x x =+在区间(,)-∞+∞上的单调性．【解答】解：()f x x =+(,)-∞+∞上，可以设12x x <可得1212()()(f x f x x x -=+=12()x x -+-221212()()(1x x x x =-+-+12(x x =-，10x >20x +>又12x x <，120x x -<，12()(10x x ∴-+<，12()()f x f x ∴<，()f x ∴在区间(,)-∞+∞上为增函数，同故函数()f x x =+在区间(,)-∞+∞上为增函数求函数的单调区间求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．(2)利用函数的图象提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”号【例2】函数1()f x x=的单调减区间是()A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞D ．(,0)-∞和(0,)+∞【解答】解：根据题意，函数1()f x x =，其定义域为{|0}x x ≠其导数21()f x x'=-，分析可得：当0x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0x <时，()0f x '<，即函数()f x 在(,0)-∞上为减函数；综合可得：函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞；故选：D ．【变式训练1】函数221x y x -=+的单调递增区间是(,1)-∞-和(1,)-+∞．【解答】解：函数224211x y x x -==-++，可得函数221x y x -=+的增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞．故答案为：(,1)-∞-和(1,)-+∞．【变式训练2】函数2|21|y x x =-++的单调递增区间为[1-，1]和[1+，)+∞．【解答】解：画出函数2|21|y x x =-++图象如图，2210x x -++=，可得11x =-，21x =+由图知函数的增区间为[11]和[1+)+∞，故答案为：[1，1]和[1)+∞．【变式训练3】下列函数中，在(2,)+∞上单调递增的是()A ．()|3|f x x =-B ．1()f x x x=+C ．3()2f x x x=+D ．3,3()23,3xx x f x x +<⎧=⎨-⎩ 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数3,3()|3|3,3x x f x x x x -⎧=-=⎨-<⎩ ，在(2,3)上单调递减，在[3，)+∞上单调递增，故A 错误；对于B ，函数1()f x x x=+，是勾型函数，在(2,)+∞上单调递增，故B 正确；对于C ，3()2f x x x =+，是二次函数，在(2,)+∞上单调递增，故C 正确；对于D ，函数3,3()23,3x x x f x x +<⎧=⎨-⎩在(,3)-∞和[3，)+∞上单调递增，故D 错误；故选：BC ．【变式训练4】已知函数()||2f x x x x =-的单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞．【解答】解：0x 时，2()2f x x x =-，对称轴1x =，开口向上，在(1,)+∞递增，0x <时，2()2f x x x =--，对称轴1x =-，开口向下，在(,1)-∞-递增，∴函数的递增区间是：(,1)-∞-和(1,)+∞，故答案为：(,1)-∞-和(1,)+∞．函数单调性的应用【例3】已知函数()f x 在R 上单调递减，若(4)()f a f a +- ，则实数a 的取值范围是()A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．(2,)-+∞D ．(,2)-∞-【解答】解：函数()f x 在R 上单调递减，(4)()f a f a +- ，所以4a a +- ，解得2a - ，即实数a 的取值范围是(-∞，2]-．故选：B ．【变式训练1】已知函数()y f x =在(0,)+∞上是减函数，若f （a ）(32)f a <-，那么a 的取值范围是()A ．0a >B ．1a <C ．01a <<D ．213a <<【解答】解：函数()y f x =在(0,)+∞上是减函数且f （a ）(32)f a <-，032a a ∴<-<，解得213a <<，故选：D ．【变式训练2】已知()f x 是定义在[1-，1]上的减函数，且(23)(2)f a f a -<-，则实数a 的取值范围是()A ．(1，2]B ．(1，3]C ．(1，4]D ．(1,)+∞【解答】解：因为()f x 是定义在[1-，1]上的减函数，且(23)(2)f a f a -<-，所以1211231232a a a a ----⎧⎪⎨->-⎪⎩ ，解得12a < ．故选：A ．【变式训练3】已知函数()f x 是定义域为R 的递减函数，且(4)()0f x f x -+=，则不等式2(3)(1)0f x x f x ++-<的解集为()A ．(4,0)-B ．(-∞，4)(0-⋃，)+∞C ．(5,1)-D ．(-∞，5)(1-⋃，)+∞【解答】解：因为(4)()0f x f x -+=，所以(4)()f x f x -=-，(1)(5)f x f x -=--，因为2(3)(1)0f x x f x ++-<，即2(3)(1)f x x f x +<--，即2(3)(5)f x x f x +<-，因为函数()f x 是定义域为R 的递减函数，所以235x x x +>-，解得5x <-或1x >．故选：D ．图象法求函数的最值(值域)图象法求函数最值的一般步骤【例4】设函数2()2||1(33)f x x x x =--- ，（1）画出这个函数的图象；（2）指出函数()f x 的单调区间，并说明在各个单调区间上()f x 是增函数还是减函数；（3）求函数的值域．【解答】解：（1）当0x 时，22()21(1)2f x x x x =--=--，当0x <时，22()21(1)2f x x x x =+-=+-，根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．（2）函数()f x 的单调区间为[3-，1)-，[1-，0)，[0，1)，[1，3]．()f x 在区间[3-，1)-和[0，1)上为减函数，在[1-，0)，[1，3]上为增函数．（3）当0x 时，函数2()(1)2f x x =--的最小值为2-，最大值为f （3）2=；当0x <时，函数2()(1)2f x x =+-的最小值为2-，最大值为(3)2f -=．故函数()f x 的值域为[2-，2]．【变式训练1】已知定义在[5-，5]上的函数()f x 的图象如图所示．（1）写出()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(1,2)a a -上单调递减，求a的取值范围．【解答】解：（1）由图象可知：()f x 的单调递增区间为[5-，2]-和[1，5]，单调递减区间为[2-，1]；（2）函数()f x 的单调递减区间为[2-，1]，∴122112a a a a--⎧⎪⎨⎪-<⎩ ，解得112a -< ，a ∴的取值范围为(1-，12．利用函数的单调性求函数的最值(1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )．(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．【例5】函数1()1f x x =-在区间[2，6]上的最大值和最小值分别是()A ．15，1B ．1，15C ．17，1D ．1，17【解答】解：根据题意，函数11y x =-在区间[2，6]上单调递减，所以当2x =时，()f x 取最大值f （2）1=，当6x =时，()f x 取最小值f （6）15=，故选：B ．【变式训练1】对于任意的实数x ，已知函数2,1()2,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ，则()f x 的最大值是()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：函数2,1()2,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩的图象如下所示：由函数图象可知，当1x =时，函数取得最大值()max f x f =（1）1=．故选：C ．【变式训练2】函数|||3|y x x =--的最大值为()A ．2B ．4C ．3D ．1【解答】解：①若0x <，)|||3|(3)3fx x x x x =--=---=-；②03x ，()|||3|(3)23f x x x x x x =--=--=-，3()3f x ∴- ；③3x >，()|||3|(3)3f x x x x x =--=--=，综上3()3f x - ，故选：C ．【变式训练3】设函数2()2xf x x =-在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则(M m +=)A ．4B ．6C ．10D ．24【解答】解：因为2(2)44()222x f x x x -+==+--，所以()f x 在[3，4]上是减函数．所以m f =（4）4=，M f =（3）6=．所以6410M m +=+=．故选：C ．【例6】已知函数21()1x f x x +=+．（1）用定义法证明()f x 在(1,)-+∞上是增函数；（2）求该函数在区间[2，6]上的最大值与最小值．【解答】解：（1）证明：函数211()211x f x x x +==-++．(1,)x ∈-+∞，设121x x -<<，则2121121211()?()11(1)(1)x x f x f x x x x x -=-=++++，121x x -<<，210x x ∴->，110x +>，210x +>，21()()0f x f x ∴->，即21()()f x f x >．故()f x 在(1,)-+∞上是增函数；（2）根据（1）可知()f x 在区间(1,)-+∞上是增函数；∴函数在区间[2，6]上是增函数；可得()f x 的最小值为f （2）53=，最大值为f （6）137=．【变式训练1】已知函数()1x f x x =+．（1）用定义法证明()f x 在区间(1,)-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[2，5]上的最值，并说明取最值时的x 值．【解答】（1）证明：任取121x x -<<，则1212121212()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=++++，121x x -<<，110x ∴+>，210x +>，120x x -<，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，()f x ∴在区间(1,)-+∞上单调递增．（2）由（1）可知()f x 在区间[2，5]上单调递增，∴当2x =时，()f x 取得最小值为f （2）23=，当5x =时，()f x 取得最大值为f （5）56=．分类讨论求二次函数的最值(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．(2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养．【例7】已知函数2()2(1)3f x x a x =--++．①若函数()f x 在区间(-∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是[2，)+∞；②若函数()f x 的单调递增区间是(-∞，3]，则实数a 的值为．【解答】解：函数的对称轴为(1)x a =-+，①由题意可得(1)3a -+ ，则4a - ，所以实数a 的范围为(-∞，4]-；②由题意可得(1)3a -+=，则24a =-故答案为：(-∞，4]-；4-．【变式训练1】若函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(-∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是(-∞，4]-．【解答】解：由于函数2()2(1)3f x x a x =--++的对称轴方程为1x a =--，又由函数在区间(-∞，3]上单调递增，故有13a -- ，求得4a - ，故答案为：(-∞，4]-．【变式训练2】已知函数2()23f x x ax =-+在区间[2，8]上单调递增，则实数a 的取值范围是(-∞，2]．【解答】解：函数2()23f x x ax =-+在区间[2，8]上单调递增，可得2a ．即(a ∈-∞，2]．故答案为：(-∞，2]．【变式训练3】已知2()2(2)5f x x a x =+-+在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是2a - ．【解答】】解：函数22(2)5y x a x =+-+的对称轴为：2x a =-，函数22(2)5y x a x =+-+在区间(4,)+∞上是增函数，24a ∴- ，解得2a - ，故答案为：2a - ．1．函数()|2|f x x =-的单调递增区间为()A ．[2，)+∞B ．[2-，)+∞C ．[0，)+∞D ．(,)-∞+∞【解答】解：当2x 时，()2f x x =-为增函数，此时函数单调递增区间为[2，)+∞，当2x <时，()2f x x =-+为减函数，此时函数单调递减区间为(,2)-∞，故选：A ．二．多选题（共1小题）2．函数2()1x af x x -=+在区间(,)b +∞上单调递增，则下列说法正确的是()A ．2a >-B ．1b >-C ．1b - D ．2a <-【解答】解：根据题意，22(1)22()2111x a x a af x x x x -+--+===-+++，可以由函数2ay x+=-的图象向左平移一个单位，向上平移2个单位得到，若函数2()1x af x x -=+在区间(,)b +∞上单调递增，必有(2)0a -+<且1b - ，解可得：2a >-且1b - ，故选：AC ．三．填空题（共5小题）3．函数(1)(5)y x x =-+在区间(0,)+∞上的单调性是单调递增．（填写“单调递增”或“单调递减”)【解答】解：根据题意，函数2(1)(5)45y x x x x =-+=+-，是开口向上的二次函数，其对称轴为2x =-，在区间(0,)+∞上，单调递增，故答案为：单调递增．4．若函数2()21f x ax x =+-在区间(,6)-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是1[6-，0]．【解答】解：根据题意，函数2()21f x ax x =+-在区间(,6)-∞上单调递增，当0a =时，()21f x x =-，符合题意，当0a ≠时，()f x 为二次函数，其对称轴为1x a =-，必有160a a ⎧-⎪⎨⎪<⎩ ，解可得106a -< ，即a 的取值范围为1[6-，0]；故答案为：1[6-，0]．5．()f x =的单调减区间为[1-，1]．【解答】解：()f x =[3-，1]，函数()f x =()f x =223u x x =--+复合而成的，2243(1)7u x x x =--+=-++在(,2)-∞-上递增，在(1,)-+∞上递减，且()f x =在[3-，1]递增，()f x ∴=(,1)-∞-上递增，在(1,)-+∞上递减，∴函数()f x =[1-，1]，故答案为：[1-，1]．6．已知函数()y f x =是开口向上的二次函数，且(1)(1)f x f x -=+、(0)3f =．若()f x 的最小值为2，则函数的解析式为2()23f x x x =-+．【解答】解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)3f =，可得3c =，(1)(1)f x f x +=-，∴二次函数()f x 的对称轴1x =，即12ba-=，由()f x 的最小值为2可得二次函数()f x 的图象经过点(1,2)，可得2a b c ++=，解得1a =，2b =-，故得()f x 的解析式为：2()23f x x x =-+．故答案为：2()23f x x x =-+．7．若函数2()21f x x mx =+-在区间[1，2]上是单调函数，则实数m 的取值范围是(-∞，8)(4)--+∞．【解答】解：对称轴4m x =-，函数2()21f x x mx =+-在区间[1，2]上是单调函数，则对称轴不在区间内，则14m -或者24m- ；即8m - 或4m - ，实数m 的取值范围是(-∞，8)(4)--+∞．故答案为：(-∞，8)(4)--+∞．四．解答题（共7小题）8．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x - 的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．【解答】解：（1）由题意211x ax --+ ，变形2311011x a x a x x --++=++ ，这等价于(31)(1)0x a x -++ 且10x +≠，解得1x <-或13a x - ，所以103a -=，解得1a =．（2）由（1）得21()1x f x x -=+，任取1x ，2[0x ∈，)+∞，且12x x <，则210x x ->，那么212121*********()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x ----=-=++++，210x x ->，12(1)(1)0x x ++>，21()()0f x f x ∴->，∴函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．9．已知函数4()1f x x x =++．（1）求()y f x =在(1,)-+∞上的最小值，并求此时x 的值；（2）设()()2g x f x x =--，由定义证明：函数()y g x =在区间(,1)-∞-上是严格减函数．【解答】（1）解：因为1x >-，所以10x +>，所以44()111311f x x x x x =+=++--=++ ，当且仅当411x x +=+，即1x =时等号成立，所以()y f x =在(1,)-+∞上的最小值为3，此时1x =．（2）证明：44()2211g x x x x x =+--=-++，任取121x x <<-，211212124()44()()11(1)(1)x x g x g x x x x x --=-=++++，由121x x <<-，可得110x +<，210x +<，210x x ->，所以12()()0g x g x ->，即12()()g x g x >，所以函数()y g x =在区间(,1)-∞-上是严格减函数．10．已知函数2()2||21f x x a x a ax =---+，a R ∈．（Ⅰ）求当1a =时，函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有2个零点，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，22243,1()2|1|211,1x x x f x x x x x x ⎧-+=---+=⎨-<⎩，所以函数()f x 在(1,2)，(,0)-∞上单调递减，函数()f x 在(0,1)，(2,)+∞上单调递增．（Ⅱ）当x a 时，22()421f x x ax a =-++，当x a <时，22()21f x x a =-+，①当0a =时，2()1f x x =+没有零点，不符合题意；②当0a >时，()f x的草图如下：若函数()f x 有两个零点，则2(0)(2)120f f a a ==-=或f （a ）210a =-<，解得22a =或1a >．③当0a <时，()f x 的草图如下：若函数()f x 有两个零点，则f （a ）210a =-<，解得1a <-，综上所述，a 的取值范围为：(-∞，1)(1-⋃，2){}2+∞．11．已知()()xf x x a x a=≠-．（1）若0a >且()f x 在(2,)+∞内单调递减，求a 的取值范围．（2）在（1）的条件下，函数2()23g x x x m =-+++，[x a ∈，2]a +的图象都在直线5y =上方，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）任取1x ，2(2,)x ∈+∞，且12x x <，则1221121212()()()()()x x a x x f x f x x a x a x a x a --=-=----，()f x 在(2,)+∞内单调递减，12()()0f x f x ∴->，又0a >，210x x ->，12()()0x a x a ∴-->在(2,)+∞上恒成立，2a ∴ ，a ∴的取值范围为：(0，2]；（2）函数2()23g x x x m =-+++，[x a ∈，2]a +的图象都在直线5y =上方，2235x x m ∴-+++>在[x a ∈，2]a +上恒成立，即222m x x >-+在[x a ∈，2]a +上恒成立，又(0a ∈，2]，∴当2a =时，4x =时，函数222y x x =-+取最大值，最大值为10，10m ∴>，∴实数m 的取值范围为：(10,)+∞．12．已知函数23,[1,2]()3,(2,5].x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩（1）在图1给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调区间，并指出单调性；（3）写出函数()f x的最大值和最小值．【解答】解：（1）图象如图所示：（2）由图象可知，函数()f x 在[1-，0])和(2，5]上单调递增，在[0，2)上单调递减，（3）由图象可知，函数的最大值为3，最小值为1-．13．已知函数2()3||f x x x x a =+-，其中0a >（Ⅰ）当2a =时，写出函数()f x 的减区间．（Ⅱ）若函数()f x 在区间(,)m n 上既有最大值又有最小值，求m ，n 的取值范围（用a 表示）．【解答】解：（Ⅰ）当2a =时，2246,2()26,2x x x f x x x x ⎧-=⎨-+<⎩ ，即22394(,244()392(),222x x f x x x ⎧--⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩ ，所以函数()f x 的递减区间是3(,2)2；（Ⅱ）2243,()23,x ax x af x x ax x a ⎧-=⎨-+<⎩，即2222394(),816()392(),48a a x x a f x a a x x a⎧--⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩，（图象如下）要使函数()f x 在区间(,)m n 内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x a =处取得，最大值在34x a =处取得；而f （a ）2a =，在区间(,)a -∞内，函数值为2a 时12x a =，所以1324a m a < ；又239()48f a a =，而在区间(,)a +∞内函数值为298a时，38x a +=，所以38a n +<．（注：若答案写成3,4m a n a <>，至少扣5分）14．已知函数2()f x x=，([2,6])x ∈．（1）用定义法证明()f x 是减函数．（2）求函数()f x 的最大值和最小值．【解答】（1）证明：设任意实数1[2x ∈，6]，2[2x ∈，6]，且12x x <，210x x ∴->，120x x >，212112122()22()()0x x f x f x x x x x -∴-=-=>，即21()()f x f x >，故函数()f x 是定义域上的减函数．（2）解：由（1）知()f x 是定义域上的减函数，()max f x f ∴=（2）1=，()min f x f =（6）13=．。
三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)
三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。
（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。
正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。
理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。
第5讲 函数及其性质之3-函数单调性及值域
变式训练 3
函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切 x>0，y>0 都有 ＝f(x)－f(y)，当 x>1 时，有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的单调性并加以证明． (3)若 f(4)＝2，求 f(x)在[1,16]上的值域．
x fy
函数的单调性与不等式
[难点正本
疑点清源]
1．函数的单调性是局部性质 函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个 子区间上的单调性， 是局部的特征． 在某个区间上单调， 在整个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数 的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等 函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函 数、对数函数、指数函数等；
(14 分)函数 f(x)对任意的 m、n∈R，都有 f(m＋n)＝f(m)＋ f(n)－1，并且 x>0 时，恒有 f(x)>1. (1)求证：f(x)在 R 上是增函数； (2)若 f(3)＝4，解不等式 f(a2＋a－5)<2.
一、抽象函数的单调性与最值
例1. 已知定义在R上的函数y=f(x)满足, f(0)≠0 , 且当 x>0时，f(x)>1,且对任意的a,b∈R, f(a+b)= f(a) · f(b). (1)求f(0)的值； (2)判断f(x)的单调性.
图象 描述
下降的 自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是
要点梳理
(2)单调区间的定义
忆一忆知识要点
若函数 f(x)在区间 I 上是 增函数或 减函数，则称函数 f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间 I 叫做 y＝f(x)的单 调区间．
高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数
高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数一、函数的单调性：1、定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间上的增函数，当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间上的减函数。
如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 称为函数f(x)的单调区间。
()()()()121200f x f x x x -><→-增减 任意x 1,x 2∈D 2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2 2）作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()()()0112≠x f x f x f ，并变形，（4）判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()12x f x f 与1的大小， 4）根据定义作出结论。
有时也根据导数。
()()()()//,0D 0D x D f x f x f x f x ∈>⇒<⇒在上递增，在上递减。
（注：逆命题不成立）3、常见函数的单调性：（1） 一次函数y=kx+b （k ≠0） 1）当k>0时，f(x)在R 上是增函数。
2）当k<0时，f(x)在R 上是减函数。
（2） 二次函数y=ax 2+bx+c 1）当a>o 时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－a b 2）上是减函数，在[－ab 2，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－a b 2）上是增函数，在[－ab 2，＋∞）是减函数。
（3） 反比例函数y=()0≠k xk 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
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第20讲-三角函数的图象与性质(解析版)
第20讲-三角函数的图象与性质一、 考情分析1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质.二、 知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无[微点提醒] 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.三、 经典例题考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cosx ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8.规律方法 1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解. 考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________. 【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3， 即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【解析】 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ， 解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.规律方法 1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.规律方法 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( ) A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称 (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称， 所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33， 所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称.(2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ).又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9.规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可. 2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可. [方法技巧]1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.4.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.5.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.6.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .四、 课时作业1．（2020·宝鸡中学高一期中）函数π()tan 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．πππ2π,()2623k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ5π,()212212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．π5ππ,π()1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z D ．π2ππ,π()63k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 【答案】C 【解析】()π2232k x k k Z ππππ-<-<+∈得：5212212k k x ππππ-<<+，所以函数π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5ππ,π()1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z . 2．（2020·陕西省西安中学高一期中）设函数12sin y x =-，则函数的最大值及取到最大值时的x 取值集合分别为（ ） A ．3，|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．1，3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．3，3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．1，|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由于22sin 2,22sin 2,112sin 3x x x -≤≤-≤-≤-≤-≤， 所以当32,2x k k Z ππ=+∈时，函数12sin y x =-有最大值为3. 3．（2020·吉林省高三其他（文））下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( ) A ．1y x=B ．y tanx =C ．x x y e e -=-D ．2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间， 对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意；对于C 选项，令()x xf x e e -=-知()x x f x e e --=-，所以()()0f x f x +-=所以()x xf x e e -=-为奇函数，又x y e =在定义内单调递增，所以xy e -=-单调递增， 所以函数xxy e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数.4．（2020·武功县普集高级中学高一月考）函数y =的定义域是（ ）A ．()2,266k k k Z ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦π-π+∈ B ．()22,333k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈ D ．()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由2cos 10x +≥得：2222,33k x k k πππ-≤≤π+∈Z . 所以函数2cos 1y x =+的定义域是()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈. 5．（2020·武功县普集高级中学高一月考）函数sin y x x =的部分图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】:因为sin y x x =，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故可以排除B ，D.又因为函数()f x 在()0,π上函数值为正，故排除C.6．（2019·呼玛县高级中学高一月考）若函数()sin()(0,0,)2πωϕωϕ=+>><f x A x A 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin(2)6f x x π=+B ．()cos(2)6f x x π=+ C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()sin(2)3f x x π=+【答案】D【解析】由函数的部分图像可知1A =，22T π=，故T π=，所以2ππω=即2ω=.由函数图像的对称轴为12x π=，所以22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，因2πϕ<，故3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选D . 7．（2019·呼玛县高级中学高一月考）设cos 12a π=，41sin6b π=，7cos 4c π=，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A 【解析】4155b sinsin 6sin sin cos 66663ππππππ⎛⎫==+=== ⎪⎝⎭,7c cos cos 44ππ== 因为3412πππ>>，且y cos 0,2x π=在（，）是单调递减函数，所以a c b >>，故选A 8．（2019·延安市第一中学高三月考（理））已知函数()sin()(0)2f x x πωφωϕ=+><，图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线12x π=-对称D ．关于直线12x π=对称【答案】B【解析】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=． 设将()f x 的图像向左平移3π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()2sin 23g x x πφ⎛⎫=++⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故()01g =±， 所以2sin 13πφ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，2,32k k Z ππφπ+=+∈，所以,6k k Z πφπ=-∈， 因2πφ<，所以6πφ=-．又()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，故对称轴为直线,23k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k π-=π∈Z ，故,212k x k Z ππ=+∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以A 错误，D 正确．9．（2020·河北省故城县高级中学高一期中）关于函数sin(),2y x π=+在以下说法中正确的是（ ）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数 C ．[,0]π-上是减函数 D ．[,]-ππ上是减函数【答案】B【解析】sin()cos 2y x x π=+=，它在[0,]π上是减函数．10．（2020·上海高一课时练习）下列命题中正确的是（ ） A ．cos y x =在第一象限和第四象限内是减函数 B ．sin y x =在第一象限和第三象限内是增函数 C ．cos y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 D ．sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】D【解析】对于cos y x =，该函数的单调递减区间为：[]2,2,k k k Z πππ+∈，故A 错，C 错. 对于sin y x =，该函数的单调递增区间为：2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错，D 对.11．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））关于函数()2sinsin 222x x f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有下述四个结论： ①函数()f x 的图象把圆221x y +=的面积两等分②()f x 是周期为π的函数③函数()f x 在区间(,)-∞+∞上有3个零点④函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【解析】f （x ）＝2sin2x sin （2π+2x ）﹣x ＝2sin 2x cos 2x﹣x ＝sin x ﹣x ， 对于①，因为f （﹣x ）＝sin （﹣x ）﹣（﹣x ）＝﹣sin x +x ＝﹣f （x ），所以函数f （x ）为奇函数，关于原点对称，且过圆心，而圆x 2+y 2＝1也是关于原点对称，所以①正确；对于②，因为f （x +π）＝sin （x +π）﹣（x +π）＝﹣sin x ﹣x ﹣π≠f （x ），所以f （x ）的周期不是π，即②错误；对于③，因为()'f x ＝cos x ﹣1≤0，所以f （x ）单调递减，所以f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上至多有1个零点， 即③错误； 对于④，()'fx ＝cos x ﹣1≤0，所以f （x ）单调递减，即④正确．12．（2020·山西省高三其他（文））已知()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象关于直线524x π=对称，把()f x 的图象向左平移4π个单位后所得的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】因为()f x 的图象向左平移4π个单位后所得的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 所以()f x 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 又()f x 的图象既关于直线524x π=对称， 设()f x 的最小正周期为T ，则()()2153244k T k N ππ+-=∈， 即()21284k k N ππω+⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭，所以()84k k N ω=+∈，取0k =，得4ω=，13．（2020·上海高二课时练习）设直线的斜率(,1][1,)k ∈-∞-⋃+∞，则该直线的倾斜角α满足（ ）. A ．44ππα- B ．42ππα<或324ππα< C ．04πα或34παπ< D ．04πα或34παπ【答案】B【解析】因为tan k α=， 所以当1k ≤-时，324ππα<≤， 当1k时，42ππα≤<，即直线的倾斜角α满足42ππα<或324ππα<， 14．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）方程10sin x x =的根的个数是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】分别作函数,10sin y x y x ==图象，如图，由图可得交点个数为7，所以方程10sin x x =的根的个数是715．（2020·福建省高三其他（文））图数()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)(],00,x ππ∈-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题知：()()11cos cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 为奇函数，故排除B ，D. 又因为02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故排除C.16．（2020·上海高一期中）函数sin cos y x x =⋅的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1 B ．π，12C ．2π，1D ．2π，12【答案】B【解析】1sin cos =sin 22y x x x =⋅， 函数sin cos y x x =⋅的最小正周期22T ππ==， 1sin 21x -≤≤，∴111sin 2222x -≤≤，∴函数sin cos y x x =⋅的最大值为12. 17．（2020·山西省高三其他（文））对于函数()()1122f x sinx cosx sinx cosx =+--.有下列说法：①()f x 的值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值；③函数()f x 的最小正周期是π；④当且仅当()222x k kk Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时,()0f x >.其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为()()1122cosx sinx cosx f x sinx cosx sinx cosx sinx sinx cosx≥⎧=+--=⎨<⎩，，，作出函数()f x 的图象，如图所示：所以，()f x 的值城为21,2⎡-⎢⎣⎦，①错误； 函数()f x 的最小正周期是2π，③错误； 当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值，②正确；当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，④正确. 18．（多选题）（2020·海南省海南中学高三月考）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0,0A ω>>）在1x =处取得最大值，且最小正周期为2，则下列说法正确的有( ). A ．函数()1f x -是奇函数B ．函数()1f x +是偶函数C ．函数()2f x +在[]0,1上单调递增D ．函数()3f x +是周期函数【答案】BCD【解析】因为()()sin f x A x =+ωϕ在1x =处取得最大值， 所以有2()2k k Z πωϕπ+=+∈，又因为()()sin f x A x =+ωϕ的最小正周期为2， 所以有22,0πωωπω=>∴=，因此()()sin sin 2cos 2f x A x A x k A x πωϕπππ⎛⎫=+=+-=- ⎪⎝⎭.选项A ：设()()1cos[(1)]cos g x f x A x A x ππ=-=--=， 因为()cos[()]cos ()g x A x A x g x ππ-=-==， 所以()()1g x f x =-是偶函数，故本选项说法不正确； 选项B ：设()()1cos[(1)]cos h x f x A x A x ππ=+=-+= 因为()cos[()]cos ()h x A x A x h x ππ-=-==， 所以()()1h x f x =+是偶函数，故本选项说法正确；选项C ：设()()2cos[(2)]cos m x f x A x A x ππ=+=-+=-，因为[]0,1x ∈，所以[]0,x ππ∈，又因为0A >，所以函数()()2m x f x =+在[]0,1上单调递增，故本选项说法正确；选项D ：设()()3cos[(3)]cos n x f x A x A x ππ=+=-+=， 函数()n x 最小正周期为：22ππ=，所以本选项说法正确.19．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．2π为()f x 的一个周期B ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称 C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x π+的一个零点为3π【答案】AD【解析】根据函数()6f x cos x π⎛⎫=+⎪⎝⎭知最小正周期为2π，A 正确.当43x π=时，443cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由余弦函数的对称性知，B 错误；函数()6f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误； ()76f x cos x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，73cos cos 03632f πππππ⎛⎫⎛⎫∴+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.20．（2020·山东省高一期中）将函数()2sin 2f x x x =+12π个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f xB ．()g x 是奇函数C ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()g x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】CD【解析】函数2()sin 2sin 22sin(2)3f x x x x x x π=++=+，把函数图象向左平移12π个单位，得到2sin[2()]2sin(2)2cos 21232y x x x πππ=++=+=， 再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到()2cos g x x =． ①故()f x 函数的最大值为2，故选项A 错误． ②函数()2cos g x x =为偶函数，故选项B 错误． ③当6x π=-时，2sin 20663f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故选项C 正确．④由于()2cos g x x =，在[]2,2k k πππ+，()k Z ∈上单调递减，故函数()g x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．故选项D 正确．21．（2020·上海高一期中）函数()tan 6f x x π=的单调递增区间为________【答案】(63,63)k k -+，k ∈Z 【解析】由622x k k πππππ-+<<+，k Z ∈，解得6363k x k -<<+，k Z ∈，故函数的单调增区间为()63,63k k -+，k Z ∈，22．（2020·河北省故城县高级中学高一期中）已知函数()sin()f x x π=-，()cos()g x x π=+，有以下结论： ①函数()()y f x g x =的最小正周期为π； ②函数()()y f x g x =的最大值为2；③将函数()y f x =的图象向右平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象； ④将函数()y f x =的图象向左平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象.其中正确结论的序号是____________. 【答案】①④【解析】()sin()sin f x x x π=-=-，()cos()cos g x x x π=+=-. 因为1()()(sin )(cos )sin cos sin 22y f x g x x x x x x ==-⋅-=⋅=， 所以1()()sin 22y f x g x x ==的最小正周期为：22ππ=，故结论①正确； 因为1()()sin 22y f x g x x ==的最大值为12，所以结论②不正确；因为函数()y f x =的图象向右平移2π个单位后得到函数的解析式为： ()sin()cos 22y f x x x ππ=-=--=，所以结论③不正确；因为函数()y f x =的图象向左平移2π个单位后得到函数的解析式为： ()sin()cos ()22y f x x x g x ππ=+=-+=-=，所以结论④正确.23．（2020·宝鸡中学高一期中）函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，其中0A >，0>ω，π||2ϕ<.（1）求函数()y f x =解析式；（2）求[0,π]x ∈时，函数()y f x =的值域； （3）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递减区间.【解析】（1）根据函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象，其中0A >，0>ω，π||2ϕ<， ∵40A B A B +=⎧⎨-+=⎩，∴22A B =⎧⎨=⎩；∵12π5ππ44126T ω=⋅=-，∴2ω=， 再根据π46f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得ππ22π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，∴π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，∵π||2ϕ<，∴π6ϕ=，∴函数()y f x =的解析式为π()2sin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （2）∵[]0,πx ∈，∴ππ13π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 2[1,1]6x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ∴函数()y f x =的值域为[]0,4； （3）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度， 得到函数πππ()2sin 222sin 22463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，对于函数π()2sin 223g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，k ∈Z ， 求得5π11πππ1212k x k +≤≤+，k ∈Z ， 故函数()g x 的单调减区间为5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .24．（2020·山西省平遥中学校高一月考）已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）求函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域和取得最大值时相应的x 的值.【解析】（1）()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22sin cos x x x =-)sin 21cos2x x =-+sin 22x x =+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴22T ππ==. 由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ∴单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵46x ππ-≤≤，∴22633x πππ-≤+≤. ∴1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即12sin 223x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.∴函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2- 且当232x ππ+=，即12x π=时，()max 2f x =.25．（2020·武功县普集高级中学高一月考）在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式；(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 【解析】（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． (2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2； 当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．。
函数的单调性与值域
[解]
(1)解法一：(定义法)．设x1<x2，由f(x)为增函数，得
f(x1)－f(x2)<0，所以x13－ax1－x23＋ax2<0，即
(x1－x2)(x12＋x22＋x1x2－a)<0.
由于 x1 －x2<0 ，得 x12 ＋ x22 ＋ x1x2 － a>0 ，即a<x12 ＋ x22 ＋ x1x2
①当函数y ＝f(x)用列表法给出时，函数的值域是指表格中
实数y的集合．
②当函数y＝f(x)由图象给出时，函数的值域是指图象在y轴
上的投影所覆盖的实数y的集合． ③当函数y ＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定 义域及其对应法则唯一确定． ④当函数由实际问题给出时，函数的值域还应考虑问题的 实际意义．
[解] (1)令 x＝y，得 f(1)＝0. 1 (2)由 f(6)＝1 及 f(x＋3)－f(x)<2. 得 f[x(x＋3)]<2f(6)． xx＋3 即 f[x(x＋3)]－f(6)<f(6)．亦即 f[ ]<f(6)． 6 因为 f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
x＋3>0. 1>0. ∴x xx＋3 <6. 6
f(x)在区间D上是减函数．
如果函数y＝f(x)在区间D上是 增函数或减函数 ， 那 么 就 说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性 做f(x)的单调区间． ，区间D叫
2．函数单调性的应用
(1)比较大小；
(3)解、证不等式； 3．证明函数单调性的方法
(2)求函数的值域或最值；
(4)作函数的图象．
[点评与警示] 用定义证明函数的单调性就是在定义域内
取任意两数x1，x2(x1<x2)，再证f(x1)－f(x2)<0或f(x1)－f(x2)>0.这
函数的单调性(解析版)
考点10 函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果当x ∈(a ，b)时，u ∈(m ，n)，且u ＝g(x)在区间(a ，b)上和y ＝f(u)在区间(m ，n)上同时具有单调性，则复合函数y ＝f(g(x))在区间(a ，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f(x)在D 上是增函数； f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0⇔f(x)在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a ，＋∞)，减区间为(－a ，0)和(0，a)． (3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反； (4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12. 故选B.3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13， 解得12≤x <23.故选D.4、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.【解析】 如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.5、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】 函数f （x ）＝21xx +在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下： 设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（.∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0. 又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0， 即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx +在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0． 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． f ′(x )＝1－kx 2．令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )． 故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 变式2、试讨论函数f(x)＝axx 2＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．【解析】 (方法1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21＋1－ax 2x 22＋1＝ax 1（x 22＋1）－ax 2（x 21＋1）（x 21＋1）（x 22＋1）＝a[x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2]（x 21＋1）（x 22＋1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵x 1＜x 2，x 2－x 1>0，又a>0，(x 21＋1)(x 22＋1)>0. ∴当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1<0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递增； 当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）>0，即f(x 1)－f(x 2)>0⇒f(x 1)>f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递减． ∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x<0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、 函数f(x)＝x ＋12x ＋1的单调减区间为________________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞【解析】 因为f(x)＝x ＋12x ＋1＝x ＋12＋122x ＋1＝12＋14⎝⎛⎭⎫x ＋12，且定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－12)，(－12，＋∞)．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间 例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x 2－2x －3；（2）212log (32)y x x =-+ 【解析】(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－12x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为（ ）A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,+∞D ．(),2-∞- 【答案】 D【解析】 根据复合函数的单调性判断．因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． 变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
函数的单调性与最值(含例题详细讲解)
函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地.设函数f (x )的定义域为I .区间D ⊆I .如果对于任意x 1.x 2∈D .且x 1<x 2.则 有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数.则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性.区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值 前提设函数y ＝f (x )的定义域为I .如果存在实数M 满足条件 ①对于任意x ∈I .都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I .使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I .都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I .使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值 M 为最小值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示.不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写.不能用并集 符号“∪”联结.也不能用“或”联结．2．两函数f (x ).g (x )在x ∈(a .b )上都是增(减)函数.则f (x )＋g (x )也为增(减)函数.但f (x )·g (x ).()1f x 等的单调性与其正负有关.切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中.在区间(0.＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2.＋∞).所以在(0.＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1.单调增区间为[1,4].f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8.答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减.即内外函数的单调性相同时.为增函数.不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的.或者f (x )的图像易作出.可由图像的直观性 判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性.再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像.再观察其最高点、最低点.求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数.再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形.使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值．(5)导数法：先求导.然后求出在给定区间上的极值.最后结合端点值.求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时.应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中.既是偶函数又在区间(0.＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C 2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________.最小值是________． 答案：15 110三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义.则210x +>.即12x >-.而5log y u =为()0,+∞ 上的增函数.当12x >-时.u ＝2x ＋1也为R 上的增函数.故原函数的单调增区间是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________． 解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知.该函数的单调增区间是(－∞.1]． 答案：(－∞.1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k .定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=.当k ＝12时.函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞.0)B ．(0.＋∞)C ．(－∞.－1)D ．(1.＋∞)解析：选C 由f (x )>12.得－1<x <1.由f (x )≤12.得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩.故()12f x 的单调递增区间为(－∞.－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二 函数单调性的判断[典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知.函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0.＋∞)内任取1x .2x .令12x x <.那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<.所以210x x ->.120x x >. 故当()12,,x x k ∈+∞时.()()12f x f x <.即函数在(),k +∞上单调递增．当()12,0,x x k ∈时.()()12f x f x >.即函数在()0,k 上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数.在关于原点对称的区间上具有相同的单调 性.故在(),k -∞-单调递增.在(),0k -上单调递减． 综上.函数f (x )在(),k -∞-和(),k +∞上单调递增.在(),0k -和()0,k 上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时.作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时.求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1.＋∞)上的单调性．解：任取x 1.x 2∈(1.＋∞).且x 1<x 2.则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----. 由于1<x 1<x 2.所以x 1－x 2<0.(x 1－1)(x 2－1)>0. 因此g (x 1)－g (x 2)<0.即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1.＋∞)上是增函数． 考点三 函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x .y ∈R .总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ).且当x >0时.f (x )<0.f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x .y ∈R .总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ).∴令x ＝y ＝0.得f (0)＝0. 再令y ＝－x .得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2.则x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵当x >0时.f (x )<0.而x 1－x 2>0.∴f (x 1－x 2)<0.即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数.∴f (x )在[－3,3]上也是减函数. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2.f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2.最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小 2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x.若x 1∈(1,2).x 2∈(2.＋∞).则( ) A ．f (x 1)<0.f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0.f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0.f (x 2)<0D ．f (x 1)>0.f (x 2)>0解析：选 B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1.＋∞)上为增函数.且f (2)＝0.∴当x 1∈(1,2)时.f (x 1)<f (2)＝0.当x 2∈(2.＋∞) 时.f (x 2)>f (2)＝0.即f (x 1)<0.f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像.如图所示.则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a2－4)>f (3a ).可得a 2－4<3a .整理得a 2－3a －4<0.即(a ＋1)(a －4)<0.解得－1<a <4.所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠.都有()()12120f x f x x x -<-成立.则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞.2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞.2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数.于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩.由此解得a ≤138. 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式.然后根据函数的单调性去掉“f ”.转化为具体的不等式(组).此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时.若自变量的值不在同一个单调区间内.要利用其函数性质.转化到同一个单调区间上进行比较.对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1.＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a .当a ≤1时f (x )在[1.＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1.＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.若f (2－a 2)>f (a ).则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞.－1)∪(2.＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞.－2)∪(1.＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数.由题得2－a 2>a .解得－2<a <1. 3．用min{a .b .c }表示a .b .c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x.x ＋2,10－x }(x ≥0).则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x.y 2＝x ＋2.y 3＝10－x 中的较小者.作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数.则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a .＋∞)上是减函数.对于g (x ).只有当a >0时.它有两个减区 间为(－∞.－1)和(－1.＋∞).故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可.则a的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x ).满足f (－x )＋f (x )＝0.x 1.x 2.x 3∈R .且x 1＋x 2>0.x 2＋x 3>0.x 3＋x 1>0.则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0.∴f (－x )＝－f (x )． 又∵x 1＋x 2>0.x 2＋x 3>0.x 3＋x 1>0.∴x 1>－x 2.x 2>－x 3.x 3>－x 1.又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2).f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3).f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1). ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)．∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数.则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数．答案：[0.32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0.32]．8．设0<x <1.则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x 1－x .当0<x <1时.x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4. 三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0.＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1.＋∞)上恒成立.求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0.＋∞)时.f (x )＝a －1x.设0<x 1<x 2.则x 1x 2>0.x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2).即f (x )在(0.＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x<2x 在(1.＋∞)上恒成立.设h (x )＝2x ＋1x.则a <h (x )在(1.＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2.x ∈(1.＋∞).∴2－1x2>0.∴h (x )在(1.＋∞)上单调递增．故a ≤h (1).即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞.3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a .若x ∈[－2,2]时.f (x )≥0恒成立.求a 的取值范围． 解：设f (x )的最小值为g (a ).则只需g (a )≥0. 由题意知.f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2.即a >4时.g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0.得a ≤73.又a >4.故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2].即－4≤a ≤4时.g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2. 又－4≤a ≤4.故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2.即a <－4时.g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7. 又a <－4.故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数.且f (1)＝1.若a .b ∈[－1,1].a ＋b ≠0时. 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性.并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立.求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1.x 2∈[－1,1].且x 1<x 2. 则－x 2∈[－1,1].∵f (x )为奇函数. ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-.x 1－x 2<0.∴f (x 1)－f (x 2)<0.即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增.∴112111121111xxxx⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x<－1.(3)∵f(1)＝1.f(x)在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上.f(x)≤1.问题转化为m2－2am＋1≥1.即m2－2am≥0.对a∈[－1,1]成立．下面来求m的取值范围．设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0.则g(a)＝0≥0.自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0.则g(a)为a的一次函数.若g(a)≥0.对a∈[－1,1]恒成立.必须g(－1)≥0. 且g(1)≥0.∴m≤－2.或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。
第3讲 函数的单调性和最值的处理途径(解析版)
第3讲 函数的单调性和最值的处理途径【高考地位】函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．方法一 定义法例1 已知函数()log (2)log (4)a a f x x a a x =-+-（0a >且1a ≠）. （1）当1a >时，写出函数()f x 的单调区间，并用定义法证明；（2）当01a <<时，若11()log 48a f x a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.【来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中数学试题【答案】（1）增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a ；证明见解析；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】（1）求得()f x 的定义域，运用复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求单调区间，再由单调性的定义证明；（2）由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得()f x 的最小值，解不等式112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得所求范围. 【详解】（1）由2040x a a x ->⎧⎨->⎩可得24a x a <<，则()f x 的定义域为()2,4a a ，()log (2)log (4)log (2)(4)a a a f x x a a x x a a x =-+-=--22log (3)a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦，当1a >时，()f x 的增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a .证明：设()22()3g x x a a =--+，()g x 的增区间为(),3a -∞，减区间为()3,a +∞，当1a >时，设1223a x x a <<<，可得()()12g x g x <，()()12log log []a a g x g x <⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，可得()f x 在()2,3a a 递增；设1234a x x a <<<，可得()()12g x g x >，()()12log log []a a g x g x >⎡⎤⎣⎦， 即()()12f x f x >，可得()f x 在()3,4a a 递减.（2）由01a <<，()2223x a a a --+≤，可得2()log 2a f x a ≥=，所以112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，即为211048a a --≤，解得102a <≤，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.例2 已知定义域为R 的函数12()12xxf x -=+. （1）试判断函数12()12xxf x -=+在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t ∈R ，不等式22(2)()0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 【来源】上海市金山区2021届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题 【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明()f x 在R 上的单调性；（2）首先利用定义证明()f x 的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉f ，转化为关于t 的一元二次不等式恒成立，分离t 转化为最值问题即可求解. 【详解】（1）函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.证明如下：任取12,x x ∈R ，且12x x <，122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以1222x x <，1120x +>，2120x +>，即12()()f x f x >，故函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.（2）因为1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，故12()12xxf x -=+为奇函数，所以222(2)()()f t t f t k f k t -<--=-， 由（1）知，函数()f x 在R 上单调递减，故222t t k t ->-，即2220t t k -->对于任意t ∈R 恒成立，所以222k t t <-，令()222g t t t =-，则()min k g t <，因为()22111222222g t t t t ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以()min 12g t =-，所以12k <-，即实数k 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤 1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <， 2.作差：计算()()12f x f x -， 3.定号：确定()()12f x f x -的正负， 4.得出结论：根据同增异减得出结论.【变式演练1】（多选）【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（） A ．22y x =-B ．2y x=C ．1||||y x x =+D ．2||x y x =【答案】AD 【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性. 【详解】A ，因为()()()2222f x x x f x -=--=-=，22y x =-是偶函数，在区间(0,1)上为增函数，符合题意； B ，因为()()22x x f x f x =--=--=，2y x=是奇函数，且在区间(0,1)上为减函数，不符合题意； C ，因为()()11||||||||f x x x f x x x -=-+=+=-，1||(0)||y x x x =+≠是偶函数，当(0,1)x ∈时，1y x x=+单调递减，不符合题意；D ，因为()()22||||x x f x f x x x -===-，2(0)||x y x x =≠是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数，符合题意. 故选：AD例3 定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >. 【解析】试题解析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）第一步，由()()0f m f n m n+>+得出031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ：∵11()023+-≠，031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， ∵03121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， 第二步，由奇偶性得出结论： ∵11()()23f f >--∵11()()23f f >. （2）第一步，取值、作差： 任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.第二步，判断符号： ∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∵21()()0f x f x ->，第三步，下结论：∵函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数. （3）4a >.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题. 【变式演练2】已知函数()21xf x x =+. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （3）若()f x 定义域为()1,1-，解不等式()()210f x f x -+<. 【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）1{|0}3x x <<【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x ，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。
三角函数的定义域值域与单调性
三角函数的定义域值域与单调性三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学以及其他许多领域中都有着广泛的应用。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义域、值域以及单调性是我们研究它们的重要方面。
本文将以一种合适的格式来论述三角函数的定义域、值域和单调性。
1. 正弦函数的定义域、值域与单调性三角函数正弦函数的定义域是实数集R，因为它可以接受任何实数作为自变量。
正弦函数的值域是闭区间[-1, 1]，也就是说，对于任意的x，-1 ≤ sin(x) ≤ 1。
正弦函数在区间[0, π]上是单调递增的，在区间[π, 2π]上是单调递减的。
2. 余弦函数的定义域、值域与单调性余弦函数的定义域也是实数集R。
与正弦函数不同的是，余弦函数的值域也是闭区间[-1, 1]，也就是说，-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
余弦函数在区间[0, π/2]上是单调递减的，在区间[π/2, π]上是单调递增的，在区间[π,3π/2]上是单调递减的，在区间[3π/2, 2π]上是单调递增的。
3. 正切函数的定义域、值域与单调性正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外，即x ≠ (2n + 1)π/2，其中n为整数。
正切函数的值域是全体实数，也就是对于任意的y，都存在一个实数x使得tan(x) = y。
正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，而在其他区间上是周期性的。
总结：正弦函数的定义域是实数集R，值域是闭区间[-1, 1]。
其在区间[0, π]上是单调递增的，而在区间[π, 2π]上是单调递减的。
余弦函数的定义域也是实数集R，值域同样是闭区间[-1, 1]。
其在区间[0, π/2]上是单调递减的，而在区间[π/2, π]上是单调递增的，以此类推。
正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外。
值域是全体实数。
正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，其余区间上是周期性的。
通过研究三角函数的定义域、值域以及单调性，我们能够更好地理解三角函数的性质与特点，在解决数学和实际问题中起到重要的作用。
第05讲-函数的单调性与最值(解析版)
第05讲-函数的单调性与最值一、考情分析借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．二、知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)上是增函数或是减函数，性，区间M称为单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[微点提醒]1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.3.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].三、 经典例题考点一 确定函数的单调性(区间)【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ．()()1212f x f x x x -->0B ．f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)C ．(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0D ．()()2121x x f x f x -->0【答案】B 【解析】试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此()()12120f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0，()()21210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的大小，因此f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)不正确【例1－2】（2020·诸城市教育科学研究院高一期末）函数2y x =-的单调递增区间为( ) A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．()0,∞+D ．(,)-∞+∞【答案】A 【分析】由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为y 轴,故可得出其单调增区间. 【详解】∵函数2y x =-, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为y 轴 ∴函数的单调增区间为(],0-∞.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.考点二 求函数的最值【例2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数()22231x f x x+=+，则()f x 的值域为（ ） A ．(],3-∞ B ．()2,3 C ．(]2,3 D ．[)3,+∞【答案】C 【分析】利用分子分离法化简()f x ，再根据不等式的性质求函数的值域. 【详解】()22222232(1)112111x x f x x x x+++===++++， 又22211110122311x x x +≥⇒<≤⇒<+≤++， ∴()f x 的值域为(]2,3，故选：C.【例2－2】（2020·民勤县第一中学高二期中（理））下列结论正确的是( )A ．当2x ≥时，1xx+的最小值为2 B ．当0x >时，2≥ C ．当02x <≤时，1x x-无最大值D ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ 【答案】B 【分析】结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可． 【详解】 对于A ，x +1x 在[2，+∞）上单调增，所以x =2时，1x x +的最小值为52，故A 错误；对于B ，当x ＞0时，2x x+≥，当且仅当x =1时，等号成立，故B 成立； 对于C ，1x x -在（0，2]上单调增，所以x =2时，1x x-取得最大值，故C 不成立；对于D ，当0＜x ＜1时，lgx ＜0，1lg x＜0，结论不成立；规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 考点三 函数单调性的应用【例3－1】（2020·安徽师范大学附属中学高三月考（理））若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,1]-∞ B ．(–],e ∞C ．(01]，D ．(0,]e【答案】B 【分析】分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数a 的取值范围. 【详解】作出32,1()3,1x e x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩的图象：当1x >时，()f x =x e a e a ->-，当1x ≤时，'2()363(2),f x x x x x =-+=--在(),0-∞上'()0,<f x 在 ()0,1上'()0,f x > 则()f x =323x x -+在(),0-∞上单调递减，在 ()0,1上单调递增，又(0)0f = ∴()0f x ≥，函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则0e a -≥， 即a e ≤，故选：B【例3－2】（2020·江苏省高一期末）函数()11xxe f x e -=+（e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ）. A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用分离常数的方法，将式子化简，可得()211x f x e =-++，根据单调性以及值域，可得结果. 【详解】因为()11211x x x x e e f x e e -+-==-++ 所以()211xf x e =-++， 可知y=x e 是递增的函数，所以2y=1x e +为递减的函数， 则()211x f x e =-++是递减的函数，且0,1x x e >>所以1112,012xxe e +><<+ 则21101x e -<-+<+，所以A 正确 故选：A【例3－3】（2019·会泽县第一中学校高二开学考试（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[- D．39[]16- 【答案】A 【解析】 不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()22x x x x --=-+≤-x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ．规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”. [思维升华]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式. [易错防范]1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f (x )在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.四、 课时作业1．（2020·湖南省茶陵三中高二开学考试）已知函数()([1,5])y f x x =∈-的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．[1,1]-B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[1,5]-【答案】B 【分析】根据递减区间的性质分析即可. 【详解】由图像可得,函数在[1,3]内单调递减.2．（2020·湖北省高一月考）下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．||y x = B ．1y x =-+ C ．23y x x =- D ．2y x=【答案】A 【分析】根据四个函数解析式，依次判断即可得解. 【详解】对于A ，||y x =在(),0-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增，所以A 正确； 对于B ，1y x =-+在R 内单调递减，所以在(0,)+∞内也单调递减，所以B 错误； 对于C ，23y x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以在(0,)+∞内单调递增错误，即C 错误； 对于D ，2y x=在在(0,)+∞内也单调递减，所以D 错误. 综上可知，A 为正确选项，故选：A.3．（2019·湖南省长郡中学高二期中）下列函数中，在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+【答案】A 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数性质可得3y x =-，1y x=，24y x =-+在0,1不是增函数，在区间0,1上，y x x ==是增函数. 【详解】()0,1x ∈时， y x x ==，所以y x =在0,1上是增函数；13,y x y x=-=在0,1上均是减函数； 24y x =-+是开口向下以0x =为对称轴的抛物线，所以24y x =-+在在0,1上是减函数，所以A 正确．故选：A4．（2019·江苏省高一月考）下列函数，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ） A ．y x =- B ．1y x=-C ．1y x =-D ．2yx x【答案】B 【分析】A 选项讲0x >的表达式写出易判断；B 选项注意改变单调性的两个因素：取倒数和加负号，易判断；C 选项一次函数看斜率正负，易判断；D 选项二次函数看对称轴，易判断。
函数的单调性与值域 - 解析版
函数单调性与值域【教学目标】一、函数单调性【知识点】 函数的单调性（1）函数单调性的定义：一般地，设函数()f x 的定义域为x ，如果对于定义域()f x −内的某个区间y 内的任意两个自变量()f x ，当y 时，都有()f x −（()f x ），那么就说()f x −−在区间x 上是增函数（减函数）。
如果一个函数在某个区间M 上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性. 其中，区间M 称为单调区间.增(减)函数定义中的y ，x 的三个特征：一是任意性；二是有大小，即()1xf x x =−−；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可。
（一）定义法证明函数单调性【知识点】用定义证明函数的单调性的步骤: 1.取数:任取1212x x D x x ∈<，，且； 2.作差: 12()()f x f x －；3.变形:通常是通分、因式分解和配方；4.定号:判断差12()()f x f x －的正负；5.结论:指出函数()f x 在给定的区间D 上的单调性.【例题讲解】★☆☆例题1．根据定义证明函数1y x x=+在区间1,)+∞（上单调递增。
证明：1212,(1,),,x x x x ∀∈+∞<且有12121212,(1,),1, 1.1,10x x x x x x x x ∈+∞>>>−>由得所以★☆☆练习1．已知函数[]()0,21f x x =−∈+（，x ，用定义证明()f x 在区间[]0,2上是增函数.由1202x x ≤≤＜ ，得()()21120110x x x x －＞，＋＋＞ ，所以()()120f x f x －＜ ，即()()12f x f x ＜ ， 故()f x 在区间[]0,2 上是增函数. 知识点要点总结：定义法证明函数单调性的步骤是比较固定的，需要注意的就是第3步变形过程中注意，变形的目的是化成一个能够判断正负的形式，结合12x x <能够判断正负。
知识专项清单——三角函数的图像和性质(解析版)
Part 2：核心知识整合——————<知识整合·易错警示>
知识整合 Zhi shi zheng he 1．三角函数的图象与性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义域 值域 奇偶性 最小正周期
单调性
R
[－1,1]
奇函数
2π
在[－π＋2kπ，π＋2kπ](k
2
2
∈Z)上递增．
在[π＋2kπ，3π＋2kπ](k∈
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为 3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为 4
C．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3
D．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4
[解析] f(x)＝2cos2x－(1－cos2x)＋2＝3cos2x＋1
＝3cos2x＋5，所以最小正周期为π，最大值为 4.
当 k＝0 时，x＝π∈[0，π]，当 k＝1 时，x＝4π∈[0，π]，当 k＝2 时，x＝7π∈[0，π]，
9
9
9
所以 f(x)＝cos (3x ) 在[0，π]上零点的个数为 3. 6
Part 4：命题热点突破——————<经典例题·提升能力>
命题方向 1 三角函数的值域、最值问题
例 1 (1)若函数 f(x)＝ 3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于(π，0)中心对称，则函数 f(x)在[－π，
x
轴的上方，当
x∈
(
，
)
时，sin2x<0,2|x|sin2x<0，所以图象
2
在 x 轴的下方，排除 C，故选 D．
4．(2018·江苏卷，7)已知函数 y＝sin(2x＋φ) ( ) 的图象关于直线 x＝π对称，则φ的值是
考点03 值域(练习)(解析版)
考点3：值域【题组一 单调性】1.函数3y x =+的值域为 。
【答案】[3，)+∞【解析】由21)23y =+，(0)x 可得函数的值域为[3，)+∞．2.函数221()()2x x f x -+=的值域为 。
【答案】1[,)2+∞ 【解析】222(1)11x x x -+=--+；∴2211()22x x -+；()f x ∴的值域为1[,)2+∞． 3．函数443y x x =-+在区间[2,3]-上的最小值为 。
【答案】0【解析】344y x '=-，令0y '=，即3440x -=解得1x =当1x <时，0y '<当1x >时，0y '>∴1|0x y y ===极小值，而端点的函数值2|27x y =-=，3|72x y ==，得min 0y =．4．函数()()111f x x x =--的最大值是 。
【答案】43【解析】()()111f x x x =-- 22114=0+1313+24x x x ⎛⎤=∈ ⎥-⎝⎦⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故函数的最大值为：43. 5．函数f (x )＝1()3x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．【答案】3 【解析】13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与y=－log 2(x ＋2) 都是[-1，1]上的减函数，所以函数f (x )＝13x⎛⎫ ⎪⎝⎭－log 2(x ＋2) 在区间[-1，1]上的减函数，∴最大值为：f （-1）=3故答案为3．【题组二 换元法】1.函数111[0,)42x xy x =--∈+∞的值域为 。
【答案】5[,1]4-- 【解析】0x ，∴10()12x <，且2115[()]224x y =--， ∴11()22x =时，y 取最小值54-；1()12x =时，y 取最大值1-，∴原函数的值域为5[,1]4--． 2.函数1()421x x f x +=--，(x ∈-∞，2]的值域为 。
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函数的值域和单调性证明测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．已知y=f（x）在定义域[1，3]上为单调减函数，值域为[4，7]，若它存在反函数，则反函数在其定义域上（）
A．单调递减且最大值为7 B．单调递增且最大值为7
C．单调递减且最大值为3 D．单调递增且最大值为3
【解答】解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，且反函数的定义域就是原函数的值域，
反函数的值域就是原函数的定义域，
∴f﹣1（x）的值域是[1，3]，
故答案选C．
答案：C
2．下列说法中错误的是（）
A．若f（x）=x2﹣3，g（x）=，则g（x）定义域为{x|x≥或x≤﹣} B．若函数的定义域只含有一个元素，则该函数的值域也只含有一个元素C．函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线
D．y=的值域为[0，]
【解答】解：A、g（x）定义域满足f（x）≥0，∴x2﹣3≥0，解得x≥或x≤﹣，故A正确；
B、根据函数的定义，定义域只含有一个元素，则该函数的值域也只含有一个元素，故B正确；
C、函数y=2x，x∈N，x=0，1，2，3…，图象是一个一个的点组成的，不是连续的，故C错；
故选：C．
3．已知函数f（x）=（a2﹣3a+3）a x是指数函数，则当x∈[﹣1，2]时，此函数
的值域是（）
A．[﹣2，4]B．[，4] C．[﹣2，0）D．（﹣2，4]
【解答】解：∵函数f（x）=（a2﹣3a+3）a x是指数函数，
∴，
解得a=2．
∴y=2x．
则当x∈[﹣1，2]时，
∴2﹣1≤2x≤22，
此函数的值域是．
故选：B．
4．若函数y=2x的定义域是P={1，2，3}，则该函数的值域是（）A．{1，3}B．{1，2，3}C．{2，8}D．{2，4，8}
【解答】解：分别把的3个值1、2、3代入函数解析式得到函数的值分别为：2、4、8，
∴该函数的值域是{2、4、8}，
故选：D．
5．下列函数的值域是（0，+∞）的是（）
A．f（x）=log2x B．f（x）=x2﹣1 C．f（x）=x+1 D．f（x）=2x
【解答】解：∵f（x）=log2x，f（x）=x+1的值域均为R，∴A，C不对．
∵f（x）=x2﹣1的值域为[﹣1，+∞），∴B不对
∵f（x）=2x的值域为（0，+∞）∴D正确
故选：D．
6．已知函数f（x）=，则函数值域是（）
A．[﹣3，3]B．（﹣∞，3]C．[0，3]D．[0，+∞）
【解答】解：∵x2≥0，∴﹣x2≤0，
∴9﹣x2≤9，又9﹣x2≥0，
∴0≤≤3，
已知函数f（x）=，则函数值域是[0，3]．
故选：C．
7．函数y=﹣x2+4x﹣1，x∈[﹣1，3]，则函数的值域是（）
A．（﹣∞，3）B．[﹣6，2]C．[﹣6，3]D．[2，3]
【解答】解：y=﹣x2+4x﹣1=﹣（x﹣2）2+3（﹣1≤x≤3）
根据二次函数的开口向下，对称轴为x=2在定义域内
可知，当x=2时，函数取最大值3，
离对称轴较远的点，函数值较小，即当x=﹣1时，函数取最小值﹣6
∴函数y=﹣x2+4x﹣1，x∈[﹣1，3]，则函数的值域是[﹣6，3]
故选：C．
二．填空题（共2小题）
8．设f（x）=．
（1）判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，并按单调性定义证明．
（2）求f（x）的值域．
【解答】解：（1）函数f（x）在[0，+∞）上是单调减函数．理由如下：
∵函数f（x）==﹣1+在区间[0，+∞），
可以设0≤x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，x2+x1＞0，（1+x12）（1+x）＞0，
可得f（x1）﹣f（x2）=（﹣1+）﹣（﹣1+）=＞0，
∴f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）在[0，+∞）上是单调减函数．
得证．
=f（0）（2）由（1）知，函数f（x）在[0，+∞）上是单调减函数，则f（x）
最大值
==1，故f（x）的值域是（﹣∞，1]．
9．已知函数f（x）=（a≠0）．
（1）求f（x）的定义域与值域；
（2）讨论f（x）在（2，+∞）上单调性．
【解答】解：（1）2﹣x≠0；
∴x≠2；
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠2}；
f（x）==；
；
∴f（x）≠﹣a；
∴f（x）的值域为{f（x）|f（x）≠﹣a}；
（2）f（x）=；
①a=时，f（x）=﹣a，∴f（x）不具有单调性；
②a时，2a+1＞0，根据反比例函数的单调性知，f（x）在（2，+∞）上单调递增；
③a时，2a+1＜0，根据反比例函数的单调性知，f（x）在（2，+∞）上单调递减．
三．解答题（共1小题）
10．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1）
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）求该函数的值域；
（3）判断f（x）在R上的单调性，并证明．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）===﹣f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）∵f（x）=1﹣，
设t=a x，则t＞0，
，
∴该函数的值域为（﹣1，1），
（3）设x1＜x2，f（x）=1﹣，
则f（x1）﹣f（x2）==，
若a＞1，则，∴，0，＞0．
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R上是增函数．
若0＜a＜1，则同理可证明f（x）在R上是减函数．。