ZC(统1讲)统计热力学

３．费米子与玻色子
奇数倍的粒子称为费米子。如电子、 2 质子、中子等粒子，自旋均为 ，它们均为费米子。 2
费米子：自旋为
全同费米子体系的波函数反对称 ：
1 (q1 ) 1 (q2 )
1 A (q1, q2 ,, qN ) N ! j (q1 ) j (q2 )
1 (qN ) i (qN ) j ( qN ) k (qN )
如果用El (l 1, 2, )表示孤立系统的各本征能级，gl 是它的 简并度，则总微观态为： gl (微正则分布量子表达式)
l
1 l
F测 l Fl
l
（2）封闭体系（正则）
封闭体系是恒温系统，具有确定（N，V，T），它相当于一 个和大热源接触而达到平衡的系统。系统和大热源构成一个 复合的孤立系统。假设系统和热源作用很弱。
如果我们把这个区域内的每一个微观态看成这个体系的 一个思维复本，那么，这个区域含有参与态数目多个思维复 本。它们能量相同，却处于不同的微观态。由这些思维复本 体系构成一个大体系，即体系的体系，称为系综。
5、宏观态与微观态的关系
对宏观体系的某一宏观量进行测量，在这段宏观短微观 长的测量时间里，体系已经历了大量微观态上的变化 。测 量值应是所有参与测量的微观态（参与态）对应微观量值的 统计平均值，即：系综平均。
(q1 , q2 , q3 ,
q f ; p1 , p2 , p3 ,
pf )
对于非定域(量子)体系，相空间是f=Nr维的,因此是f维 相空间的一个相点对应一个微观态，
q1q2 q3
qf
若依然采用2f维相空间法,则一个相格对应一个微观态， 相格大小由不确定关系给出：
q1
q f p1
p f h f hNr
若考虑粒子的自旋量子数为s,则每个相格对应2s+1个量子态。 则还应乘以这个因子。
4. 系综
d
ny

( E)
系综

nx
2 2 2 (n n n x y z) 2 2mL
2
2
( )d
所有参与态
两球面之间红色区域内的任意一个相点 (n x , n y , n z )， 代表体系的一个微观态，体系的能量总为 ，( d 代表能量涨 落）。因此，此区域内所有微观态就是对应宏观态（能量为 ） 的所有可能参与态。
(0)
Es kBT
r =
e
s
(0)
Es
Z
1 Es s e , Z
称Z e
s
Es
为配分函数
F测 s Fs
s
(对微观态求和)
如果以El (l 1, 2, 1 l gl e El , Z )表示系统的各个能级，gl 表示能级El的 Z gl e El
3. 体系的宏观态
（1） 定义：孤立系统经过足够长时间弛豫后，必定会 自发地到达一种宏观上的平衡状态，此时测量各宏观物理量 有确定值，称为体系的一个宏观态。 （2）简并度： 平衡只是热动意义上的平衡，测量某宏观 量（比如能量Ｅ）的过程时，有许许多多的微观态参与了测 量。这些参与态的总数目为该宏观态的简并度，也称为简并 函数，记着：
i (q1 ) i (q2 )
k (q1 ) k (q2 )
玻色子：自旋为 的整数倍的粒子称为玻色子。如介子、
光子的自旋分别为O或 ，它们均为玻色子。
全同玻色子体系的波函数对称
S (q1 , q2 ,
, qN )
n !
l 1 l
k
N!
P (q ) (q )
i 1 j 2 P
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
光电信息学院 李小飞
第 二部分：统计物理
第一讲：统计热力学
引入：
１.近独立粒子体系
由N个粒子体系构成的体系，若粒子间的相互 作用可忽略，称近独立粒子体系
N ˆ (q , q , , q , , q , , q , t ) 2 U (q , t ) W (q , q ) H 1 2 i j N i i j 2 i i 1 i j N
1 2
1
2
1 2
l
l
l
a1 a2
al
定域（经典）体系：粒子可区分，一个占据数分布，随意 交换两个粒子，会产生一个新的微观态。因此一个分布+一组 粒子编号对应一个微观态
3、N粒子体系的微观态（量子数法）：
定域（经典）体系：设单粒子自由度为r，则N体系自由 度为: f=Nr。定域体系能量含有2f个自变量，张开一个2f维 的相空间（Γ），一个相点对应体系一个微观态。
系统+热源=孤立系统
E Er E(0) , E E(0)
r =(0)

(0)
1 (0) Const=c.
r =(0)
对于体系中能量为Es的任一微观态s ，在总体系上有 r (Er ) 个微观态与之对应，所以处于这个态上的概率为：
r ( E (0) Es ) (0) s c ( E Es ) r (0)
F测 l Fl
l
即：对体系力学量Ｆ测量时，体系处于微观态（l）时 对应微观量Ｆ的值是Fl ,很明显它是Ｎ个单粒子f值之和：
Fl fi ,l
i
N
* 对态积分…
F测 l Fl Fl l
l l
F ( q, p ) ( q, p, t ) d
问题：参与概率 ，如何求？
由于 N
N (0) , Es
E (0) , 可以将 ln r ( N (0) N , E (0) Es )
展开为N、Es的幂级数：
ln r ( N (0) N , E (0) Es ) ln r ( N (0) , E (0) ) ln r ln r + ( N ) ( Es ) N r N r E ( 0 ) Er Er E ( 0 ) ln r ( N (0) , E (0) ) N Es ln r , kT N r N r E ( 0 ) ln r 1 Er Er E ( 0 ) kT
l
简并度，则系统处于能级El的概率为： (正则分布)
F测 l Fl
l
(对能级求和)
（3）开放体系（巨正则）
开放系统的粒子数不具有确定值，它和源不仅可以交换能量 还可能交换粒子， 由于源很大，交换能量和粒子不会改变源的温度和化学势， 达到平衡后系统将和源具有相同的温度和化学势，因此开放 系统具有确定的体积V、温度T 和化学势μ。（V，T， μ ）
1 4 3 1 L ( ) r 8 3 6
2m
3
1 V 3/2 3/2 ( ) (2m) 2 3 6
1 V 3/2 3/2 ( ) (2m) 2 3 6
算简并度：
d ( ) 1 V 3/2 1/2 ( ) (2m) 2 3 d 4 2 V 3/2 1/2 3 (2m) h 1 V 3/2 1/2 ( )d (2 m ) d 2 3 4
非定域（量子）体系：粒子不可分辨，确定占据各单粒子
态的粒子数，构成一个占据数分布，对应一个微观态。
如用
1 , 2 ,
, l ,
表示单粒子各态的能量，
a1 , a2 ,
, al ,
标记各能级上粒子的占据数，它们构成一个
占据数分布， 用 {al }表示，对应体系的一个微观态。 量子态编号 能量 态函数 态占据数
由于Es
E(0) , 可以将ln r (E(0) Es )展开为Es的幂级数：
(0)
ln r ( E
Es )
ln r ln r ( E ) ( Es ) Er Er E ( 0 )
(0)
ln r ( E (0) ) r Es Es ln r ( E ) k BT
统计物理学的第一要务…
二. 微正则、正则和巨正则系综
1. 三种体系
（1）孤立体系（无能量，无粒子交换）微正则系综 （2）封闭体系（有能量，无粒子交换）正则系综 （3）开放体系（有能量，有粒子交换）巨正则系综
（1）孤立体系（等概率原理，微正则）
等概率原理（统计物理基本原理）
（玻耳兹曼，1870s； 条件：孤立+平衡）
系统+源=孤立系统
E Er E (0) Const, E N N r N (0) Const, N E (0) N (0)
E Er E (0) Const, E N N r N (0) Const, N
E (0) N (0)
当系统处于粒子数为N、能量为Es的微观状态s 上时：
因此，对于开放系统，其处于粒子数为N、能量为Es的 微观状态s 上的概率为：
Ns
1

e
N Es
,

s
称为巨配分函数， e N E (巨正则分布)
N 0 s
e
N Es Es
称为吉布斯因子 称为玻尔兹曼因子
e
处于粒子数为Nl、能量为El的能级l上的概率为：
l e
Nl El
l
1

l
e
Nl El
,
e
Nl El
F测 l Fl
l
****小结****
F测 l Fl
l
（1）孤立体系（无能量，无粒子交换，微正则）