三角恒等变换专题复习
三角恒等变换专题(蛮全的)
三角恒等变换专题复习一．要点精讲1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； S αβ±（）简记： βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； C αβ±（）简记： tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
()T αβ±简记：2．二倍角公式αααcos sin 22sin =； 2S α简记ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 2C α简记22tan tan 21tan ααα=-。
（242k k πππααπ≠+≠+且）2T α简记二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，2α是4α的两倍， 3α是32α的两倍，3α是6α的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。
因此，要理解“二倍角”的含义，即当=2αβ时，α就是β的二倍角。
凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。
3．半角公式2cos 12sinαα-±=2c o s12c o s αα+±=αααc o s1c o s 12t a n +-±=【.2α±公式前的号，取决于所在的象限，注意讨论】（αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=）4. （1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos2αα+=。
（αα2cos 1sin22-= αα2c o s 1c o s 22+=）（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中（3）万能公式5．三角函数式的化简、求值、证明（1）三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
三角恒等变换专题复习
三角恒等变换专题复习一、 两角和与差的三角函数公式：⑴ sin()_____________________αβ±= ⑵ cos()____________________αβ±=⑶ tan()_____________αβ±=练习：1、sin15______o=；1tan15______1tan15o o+=- 1tan 751tan 75+-＝ 2、sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A.－21B.21C.－23 D.23（一）特殊技巧 （1）平方相加①ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______． ②已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-_______． (2)表示分子①求值0000tan35tan 25tan 25+⋅②求(1tan 22)(1tan 23)_______o o++=。
③求(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)_______o o o o++++= （二）知值求值，知值求角①设1sin()9αβ-=-，cos 2α=13，且0＜α＜2π，0＜β＜2π，求cos （α+β）②已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(4π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．③已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈π,π43βα、，53)sin(-=+βα，13124πsin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-β，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πcos α的值④若sinA=55，sinB=1010，且A ，B 均为钝角，求A+B 的值。
⑤已知tan α ，tan β 是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个根，且0＜α ＜2π，π23π<<β，求α ＋β 的值二、二倍角公式；⑴ sin 2__________θ=__________= ①已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ）②若，且，则=（ ）③已知),2,23(ππα∈化简ααsin 1sin 1-++2cos 2α-__________=④已知cos 23θ=44sin cos θθ+的值为（）A ．1813 B ．1811 C ．97 D ．1-⑵ cos 2__________α= __________= __________= __________= 降次公式： 2cos _______α=， 2sin _________α= ①求证：cos4θ-4cos2θ+3=8sin 4θ.②已知sin 2α=35,cos 2α= -45,则角α终边所在的象限是③证明，1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++④已知1cos sin 21cos sin x xx x-+=-++，则x tan 的值为 ⑤函数221tan 21tan 2x y x-=+的最小正周期是__________=（3）tan 2____________θ=①在△ABC 中，cos A =35,tan B =2，求tan(2A +2B )的值。
三角恒等变换专题总结复习
三角恒等变换【知识分析】1、本章网络结构2、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。
（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如是的半角，是的倍角等。
（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。
（4）求值的类型：①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。
②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。
③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。
（5）灵活运用角和公式的变形，如：，等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。
（6）合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式。
，其中．（7）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。
（8）三角恒等变换方法观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）① “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，如α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β), 2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·,= (α－)－(－β)等.②“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦），③“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。
三角恒等变换复习
cos cos 1 [cos( ) cos( )]
2
sin sin 1 [cos( ) cos( )]
2
(2)和差化积公式
sin sin 2sin cos
2
2
sin sin 2cos sin
2
2
cos cos 2cos cos
函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换
技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）
[典例]
已知函数 f(x)＝2cos2x＋4
3sin
x 2cos
x 2·cos x.
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求函数 f(x)在区间 －π6，π4上的值域．
[解]
(1)f(x)＝2cos2x＋4
用已知角表示．
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan( )
tan tan . 1 tan tan
tan( ) tan tan .
1 tan tan
2、辅助角公式
asin x bcosx
a
a2 b2 (
sin x a2 b2
这个公式
有什么作 用？
b cos x)
a2 b2
a2 b2 (cos sin x sin cos x)
即
3 sin A cos A 1 ,
三角恒等变换专题复习带答案
三角恒等变换专题复习教学目标：1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 απαπ±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式；2、理解同角三角函数的基本关系式：；3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题; 教学重难点：可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题 基础知识一、同角的三大关系：① 倒数关系 tan α•cot α=1 ② 商数关系 sin cos αα= tan α ； cos sin αα= cot α ③ 平方关系 22sin cos 1αα+=温馨提示：1求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形速解;来源:学+科+网2利用上述公式求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号;二、诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限用诱导公式化简,一般先把角化成,2k z α+∈的形式,然后利用诱导公式的口诀化简如果前面的角是90度的奇数倍,就是 “奇”,是90度的偶数倍,就是“偶”；符号看象限是,把α看作是锐角,判断角2k πα+在第几象限,在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”,就加在前面;用诱导公式计算时,一般是先将负角变成正角,再将正角变成区间0(0,360)的角,再变到区间00(0,180)的角,再变到区间00(0,90)的角计算;三、和角与差角公式 ：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=变 用 tan α±tan β=tan α±β1 tan αtan β四、二倍角公式：sin 2α= 2sin cos αα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-五、注意这些公式的来弄去脉这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=推导出来;六、注意公式的顺用、逆用、变用;如：逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=± 1sin cos sin 22ααα=变用22cos 1cos 2αα+=22cos 1sin 2αα-= 21cos 4cos 22αα+= 七、合一变形辅助角公式把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式;()22sin cos αααϕA +B =A +B +,其中tan ϕB=A． 八、万能公式ααα2tan 1tan 22sin += ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=九、用αsin ,αcos 表示2tanααααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=十、积化和差与和差化积积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.和差化积 2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=- 2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+ 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=-十一、方法总结1、三角恒等变换方法观察角、名、式→三变变角、变名、变式1 “变角”主要指把未知的角向已知的角转化,是变换的主线,如α=α+β－β=α－β+β, 2α=α+β+ α－β, 2α=β+α－β－α,α+β=2·错误! , 错误! = α－错误!－错误!－β等.2“变名”指的是切化弦正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αααααα==, 3“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等; 2、恒等式的证明方法灵活多样①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子. ③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或" 错误! =1";④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.例题精讲例1 已知α为第四象限角,化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-解：1因为α为第四象限角所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=例2 已知360270<<α,化简α2cos 21212121++ 解：360270<<α,02cos,0cos <>∴αα所以原式2111cos211cos 22222αα++=+21cos cos cos 222ααα+===- 例3 tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°=0020cos 40sin 220sin +=0sin(6040)2sin 40cos 20-+00003340sin 403cos 20223cos 20+=== 例4 05天津已知727sin()2425παα-==,求sin α及tan()3πα+．解：解法一：由题设条件,应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=,即57cos sin =-αα ①由题设条件,应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α,54cos -=α因此,43tan -=α,由两角和的正切公式11325483343344331433tan 313tan )3tan(-=+-=+-=-+=+ααπα 解法二：由题设条件,应用二倍角余弦公式得αα2sin 212cos 257-==, 解得 259sin 2=α,即53sin ±=α 由1027)4sin(=-πα可得57cos sin =-αα由于0cos 57sin >+=αα,且057sin cos <-=αα,故α在第二象限于是53sin =α,从而5457sin cos -=-=αα 以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力,可从已知角和所求角的内在联系均含α进行转换得到．2、在求三角函数值时,必须灵活应用公式,注意隐含条件的使用,以防出现多解或漏解的情形． 例 5 已知,,A B C 为锐角ABC ∆的三个内角,两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+,(sin cos ,q A A =-1sin )A +,若p 与q 是共线向量.1求A 的大小；2求函数232sin cos()2C By B -=+取最大值时,B 的大小. 解：122// 2(1)(1+)- p q sinA sinA sin A cos A ∴-=22220 120cos A cos A cos A ∴+=∴+= 1cos 2A 2∴=-0<2A<π,002A 120 A=60∴=∴200A=60 B+C=120∴ 2013y=2sin B+cos(602B)1cos 2B+cos 2B sin 2B 22-=-+31 =sin 2B cos 2B+1=sin(2B )1226π--+ , 2B B 623πππ-=当时，即=． 小结：三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意例6 设关于x 的方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在0, 2π内有相异二解α、β.1求α的取值范围; 2求tan α＋β的值. 解: 1∵sinx ＋3cosx ＝221sinx ＋23cosx ＝2 sinx ＋3π, ∴方程化为sinx ＋3π＝－2a.∵方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在0, 2π内有相异二解, ∴sinx ＋3π≠sin 3π＝23 .又sinx ＋3π≠±1 ∵当等于23和±1时仅有一解, ∴|－2a |<1 . 且－2a≠23. 即|a |<2且a ≠－3.∴ a 的取值范围是－2, －3∪－3, 2.2 ∵α、 β是方程的相异解, ∴sin α＋3cos α＋a ＝0 ①. sin β＋3cos β＋a ＝0 ②. ①－②得sin α－ sin β＋3 cos α－ cos β＝0. ∴ 2sin2βα-cos2βα+－23sin2βα+sin2βα-＝0, 又sin2βα+≠0, ∴tan2βα+＝33.∴tan α＋β＝2tan22tan22βαβα+-+＝3.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别,这里不能忘记0, 2π这一条件. 例7 已知函数()x x m x f cos sin 2-=在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递减,试求实数m 的取值范围．解：已知条件实际上给出了一个在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上恒成立的不等式． 任取∈21,x x ⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,且21x x <,则不等式()()21x f x f >恒成立,即>-11cos sin 2x x m 22cos sin 2x x m -恒成立．化简得()()2112sin 2cos cos x x x x m ->- 由2021π<<<x x 可知：0cos cos 12<-x x ,所以()1221cos cos sin 2x x x x m --<上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<20cos cos sin 21221πx x x x m . 由于()2sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin4cos cos sin 22121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 2sin2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 221212121x x x x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2tan2tan 2tan 2tan 122121x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=且当2021π<<<x x 时,42,2021π<<x x ,所以 12tan ,2tan 021<<x x , 从而 02tan 12tan 12tan 2tan 2tan 2tan1212121>⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x , 有 22tan2tan 2tan 2tan 122121>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x , 故 m 的取值范围为]2,(-∞.基础精练1．已知α是锐角,且sin 错误!＝错误!,则sin 错误!的值等于A.错误! B ．－错误! C.错误! D ．－错误!2．若－2π＜α＜－错误!,则 错误!的值是A ．sin 错误!B ．cos 错误!C ．－sin 错误!D ．－cos 错误!3.错误!·错误!等于A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα4.已知角α在第一象限且cosα＝错误!,则错误!等于A.错误!B.错误!C.错误!D.－错误!5.定义运算错误!＝ad －bc.若cosα＝错误!,错误!＝错误!,0<β<α<错误!,则β等于A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!6.已知tanα和tan 错误!－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根,则a 、b 、c 的关系是A.b ＝a ＋cB.2b ＝a ＋cC.c ＝b ＋aD.c ＝ab7.设a ＝错误!sin56°－cos56°,b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°,c ＝错误!,d ＝错误!cos80°－2cos 250°＋1,则a,b,c,d 的大小关系为A.a ＞b ＞d ＞cB.b ＞a ＞d ＞cC.d ＞a ＞b ＞cD.c ＞a ＞d ＞b8．函数y ＝错误!sin2x ＋sin 2x,x ∈R 的值域是A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!9.若锐角α、β满足1＋错误!tanα1＋错误!tanβ＝4,则α＋β＝ .10.设α是第二象限的角,tanα＝－错误!,且sin 错误!<cos 错误!,则cos 错误!＝ .11.已知sin-4πx=135,0<x<4π,求)4cos(2cos x x +π的值;12.若),0(,πβα∈,31tan ,507cos -=-=βα,求α+2β;拓展提高1、设函数fx ＝sin 错误!－错误!－2cos 2错误!＋11求fx 的最小正周期.2若函数y ＝gx 与y ＝fx 的图像关于直线x ＝1对称,求当x ∈0,错误!时y ＝gx 的最大值2.已知向量a ＝cosα,sinα,b ＝cosβ,sinβ,|a －b|＝错误!1求cosα－β的值；2若0<α<错误!,－错误!<β<0,且sinβ＝－错误!,求sinα.3、求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos α+β=αβsin sin .基础精练参考答案4．C 解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝2×cosα＋sinα＝2×错误!＋错误!＝错误!. 5.D 解析依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin α－β＝错误!.∵0<β<α<错误!,∴cosα－β＝错误!. 又∵cosα＝错误!,∴sinα＝错误!.sinβ＝sinα－α－β＝sinα·cosα－β－cosα·sinα－β ＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!,∴β＝错误!.6.C 解析tan tan()4,tan tan(),4b a c a πααπαα⎧+-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴tan 错误!＝tan 错误!－α＋α＝错误!＝1,∴－错误!＝1－错误!,∴－b ＝a －c,∴c ＝a ＋b.7.B 解析a ＝sin56°－45°＝sin11°,b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin52°－40°＝sin12°,c ＝错误!＝cos81°＝sin9°,d ＝错误!2cos 240°－2sin 240°＝cos80°＝sin10°∴b ＞a ＞d ＞c.8.C 解析y ＝错误!sin2x ＋sin 2x ＝错误!sin2x －错误!cos2x ＋错误!＝错误!sin 错误!＋错误!,故选择C. 9. 错误!解析由1＋错误!tanα1＋错误!tanβ＝4,可得错误!＝错误!,即tanα＋β＝错误!. 又α＋β∈0,π,∴α＋β＝错误!.10. －错误!解析：∵α是第二象限的角,∴错误!可能在第一或第三象限,又sin 错误!<cos 错误!,∴错误!为第三象限的角, ∴cos 错误!<0.∵tanα＝－错误!,∴cosα＝－错误!,∴cos 错误!＝－ 错误!＝－错误!.12.解析∵),0(,πβα∈,507cos -=α∴),0,33(71tan -∈-=α),0,33(31tan -∈-=β∴),65(,ππβα∈,α+2β)3,25(ππ∈,又tan2β=43tan 1tan 22-=-ββ,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα,来源:Zxxk ∴α+2β=411π拓展提高参考答案1、解析 1fx ＝sin 错误!cos 错误!－cos 错误!sin 错误!－cos 错误!x ＝错误!sin 错误!x －错误!cos 错误!x＝错误!sin 错误!x －错误!,故fx 的最小正周期为T ＝错误!＝82法一：在y ＝g x 的图象上任取一点 x,gx,它关于x ＝1的对称点2－x,gx.由题设条件,点2－x ,gx 在y ＝fx 的图象上,从而gx ＝f2－x ＝错误!sin 错误!2－x －错误! ＝错误!sin 错误!－错误!x －错误!＝错误!cos 错误!x ＋错误!,当0≤x≤错误!时, 错误!≤错误!x ＋错误!≤错误!,因此y ＝gx 在区间0,错误!上的最大值为gx max ＝错误!cos 错误!＝错误!.法二：因区间0,错误!关于x ＝1的对称区间为错误!,2,且y ＝gx 与y ＝fx 的图象关于x ＝1对称,故y ＝gx 在0,错误!上的最大值为y ＝fx 在错误!,2上的最大值,由1知fx ＝错误!sin 错误!x －错误!, 当错误!≤x ≤2时,－错误!≤错误!x －错误!≤错误!,因此y ＝gx 在0,错误!上的最大值为gx max ＝错误!sin 错误!＝错误!.2、解析1∵a ＝cos α,sinα,b ＝cosβ,sinβ, ∴a －b ＝cosα－cosβ,sinα－sinβ. ∵|a －b|＝错误!,∴错误!＝错误!, 即2－2cosα－β＝错误!,∴cosα－β＝错误!.2∵0<α<错误!,－错误!<β<0,∴0<α－β<π,∵cosα－β＝错误!,∴sinα－β＝错误! ∵sin β＝－错误!,∴cosβ＝错误!,∴sinα＝sinα－β＋β＝sinα－βcosβ＋cosα－βsinβ＝错误!·错误!＋错误!·－错误!＝错误!。
三角恒等变换(复习)
三角恒等变换（复习）【学习目标】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的推导，并了解公式间的联系2.掌握三角恒等变换的方法；3.会利用三角恒等变换解决三角函数问题。
【重点、难点】灵活的运用三角公式进行三角恒等变换解决三角函数问题。
【知识梳理】1、sin() =sin()=__________________cos()cos()_________________tan()tan()__________________sin 2=cos2==__________2、公式变形：tan tan tan 1 tan tan 。
3、常值变换：如1sin 2 x cos2 x ； 1tan ； 1 sin cos 0等，42(sin x cos x) 2 1 2sin x cos x 1 2sin 2x4、巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2() () ， 2() () ，2，2 222等），5、辅助角公式： a sin x b cosx a2b(2 sin( x ) 其中φ角所在的象限a b 的符号确定，φ角的值由tan b确定)由,a6、三角函数次数的降升：降幂公式：cos21cos2， sin 2 1 cos 2；22升幂公式： 1 cos 22cos2， 1cos 22sin 2。
【课前自测】1、 cos150 cos30 0sin15 0 sin 300 _____sin83 0cos230cos830sin 230_____2、tan200 tan4003 tan 200 tan400 ____1 tan150____3、 1 tan154、下列各式中，值为1的是2A sin15 cos15B cos 2 sin 2Ctan 22.5 D 1 cos3012121 tan2 22.525、已知tan3，则2sin coscos2____4【例题讲解】例 1、已知 sin12,cos()4 , 和 均为锐角，求 cos135变式、 已知 0，且 cos( ) 1， sin(2)2，求2293cos( ) .例 2、 ( 1) ．函数 f ( x)sin x 3 cos x 的最大值 ，最小值 。
三角恒等变换专题复习
三角恒等变换专题复习一、 两角和与差的三角函数公式：⑴ sin()_____________________αβ±= ⑵ cos()____________________αβ±=⑶ tan()_____________αβ±=1、sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A.－21 B.21 C.－23 D.23 2、sin15______o =；1tan15______1tan15o o+=- 1tan 751tan 75+- ＝ 3．在△ABC 中，如果4sin A ＋2cos B ＝1，2sin B ＋4cos A ＝33，求sin C 的值． 例1、若sinA=55，sinB=1010，且A ，B 均为钝角，求A+B 的值。
1、已知sin 2α=35,cos 2α= -45,则角α终边所在的象限是例2、求值0000tan35tan 25tan 25+⋅1、求(1tan 22)(1tan 23)_______o o ++=。
2、求(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)_______o o o o ++++=3．已知tan α ，tan β 是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个根，且0＜α ＜2π，π23π<<β，求α ＋β 的值．4．已知：tan α ＋tan β ＝2，tan(α ＋β )＝4，tan α ＜tan β ．求tan α 、tan β ．5、一元二次方程mx 2+(2m -3)x +m -2=0的两根为tan α,tan β，则tan(α+β)的最小值为______. 6是否存在锐角α和β,使得(1)322πβα=+;(2)32tan 2tan -=⋅βα同时成立,若存在,求出α、β的值,若不存在,说明理由．例3． 设1sin()9αβ-=-，cos 2α=13，且0＜α＜2π，0＜β＜2π，求cos （α+β） 1、已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(4π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值． 2、已知1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，(0,)2πα∈ ，(,)2παβπ+∈求β的值． 3．已知⎪⎭⎫⎝⎛∈π,π43βα、，53)sin(-=+βα，13124πsin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-β，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πcos α的值为多少？ 4．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.5．若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。
专题5.5 三角恒等变换(解析版)
专题5.5三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β；S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；4sin(2cos sin πααα±=±.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin αα2＋cos ；1－sin αα2－cos .（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin αsin α2±cos 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2（4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tanα2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50︒︒-︒︒等于（）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-︒【答案】C【解析】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900︒︒-︒︒=-︒︒-︒︒=-+=-=故选：C2．已知()5cos 2cos 22παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）A ．7-B ．7C ．1D ．1-【答案】D【解析】：因为()5cos 2cos 22παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα=，所以sin tan 2cos ααα==，又()1tan 3αβ+=，所以()()()12tan tan 3tan tan 111tan tan 123αβαβαβααβα-+-=+-===-⎡⎤⎣⎦+++⨯.故选：D3．已知,αβ均为锐角，且1sin 2sin ,cos cos 2αβαβ==，则()sin αβ-=（）A ．35B ．45C．3D ．23【答案】A【解析】：因为1sin 2sin ,cos cos 2αβαβ==，所有22221sin cos 4sin cos 14ααββ+=+=，则2153sin 44β=，又,αβ均为锐角，所以sin β=cos β=所以sin αα==所以()3sin sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-=.故选：A.4．已知()1sin 5αβ+=，()3sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【解析】()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αβαβαβαβαβαβ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪-=-=⎪⎩，解得2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-.故选：B5．已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则tan 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）ABC ．D ．±22【答案】D【解析】sin sin()13πθθ++=，则1sin sin cos 122θθθ++=，即3sin 122θθ+=，故1sin cos 223θθ+=，所以sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以tan 62πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭故选：D6．下面公式正确的是（）A ．3sin cos 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．2cos212cos θθ=-C ．3cos sin 2πθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．cos()sin 2πθθ-=【答案】D 【解析】对A ，3sin cos 2πθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错误；对B ，2cos 22cos 1θθ=-，故B 错误；对C ，3cos sin 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故C 错误；对D ，cos()sin 2πθθ-=，故D 正确；故选：D7．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值为（）A ．16B ．322C ．2213D ．1318【答案】B【解析】：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，所以()tan()tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫+=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()tan tan 41tan tan 4παββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭213542122154-==+⨯.故选：B 8．设1cos1022a =-，22tan131tan 13b =+，c =，则a ，b ，c 大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a<<【答案】C【解析】()1cos10cos 6010cos 70sin 202a =︒=︒+︒=︒=︒，2222sin132tan13cos132sin13cos13sin 26sin 131tan 131cos 13b ︒︒︒===︒︒=︒︒+︒+︒，sin 25c =，因为函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，故sin 20sin 25sin 26<<，即a c b <<.故选：C.9．已知sin()63πα+=-，则2cos(2)3πα-=（）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【答案】B 【解析】：因为sin()6πα+=2cos 2cos 263παππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣+⎭⎝⎦6cos 2πα⎪+⎛⎫=- ⎝⎭212n 6si πα⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎭⎣+⎝⎦21123⎡⎤⎛⎢⎥=--=- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：B 10．若11tan ,tan()72βαβ=+=，则tan =α（）A ．115B ．112C ．16D ．13【答案】D【解析】：因为11tan ,tan()72βαβ=+=，所以()()()11tan tan 127tan =tan 111tan tan 3127αββααββαββ-+-+-===⎡⎤⎣⎦+++⨯.故选：D.11．已知3cos 16παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C．3-D．3【答案】B【解析】：因为3cos 16παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即3cos cos sin sin 166ππααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即13cos sin 122ααα⎫-+=⎪⎪⎝⎭3sin 12αα-=1cos 123πααα⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以sin 2cos 2662πππαα⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 22cos 133ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦21213⎡⎤⎢⎥=--=⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：B 12．已知4sin 5α=，π5,π,cos ,213αββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，则()cos αβ-=（）A ．3365-B ．3365C ．6365D ．6365-【答案】A【解析】由4sin 5α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3cos 5α=-由5cos ,13ββ=-是第三象限角，可得12sin 13β=-则()3541233cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A13．若sin 25α=，()sin 10βα-=，且,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，3,2βππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是（）A ．54πB ．74πC ．54π或74πD ．54π或94π【答案】B【解析】,,2,242ππαπαπ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又∵sin 2,2,,,242πππααπα⎡⎤⎡⎤=∴∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴cos 25α==-.又∵35,,,224πππβπβα⎡⎤⎡⎤∈∴-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴()cos βα-==，于是()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦5105102⎛⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易得5,24αβπ⎡⎤+∈π⎢⎥⎣⎦，则74αβπ+=.故选：B.14．)sin20tan50=（）A ．12B ．2C D ．1【答案】D【解析】原式()()()()sin20sin 50cos502sin 20sin 50602sin 20sin 9020cos50cos50cos 9050++===-2sin 20cos 20sin 401sin 40sin 40===.故选：D.15．若1cos ,sin(),0722ππααβαβ=+=<<<<，则角β的值为（）A ．3πB ．512πC ．6πD ．4π【答案】A 【解析】∵0,022ππαβ<<<<，0αβπ∴<+<，由1cos 7α=，()sin αβ+=，得sin α=11cos()14αβ+=±，若11cos()14αβ+=，则sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+1110714=-<，与sin 0β>矛盾，故舍去，若11cos()14αβ+=-，则cos cos[()]βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++111147147=-⨯+⨯12=，又(0,)2πβ∈，3πβ∴=.故选：A.16．若7171212ππα<<，且7cos 268πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5cos 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．B ．CD ．14-【答案】A【解析】由27cos 212sin 6128ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得215sin 1216πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为7171212ππα<<，所以233122πππα<+<，所以sin 122πα⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以15sin 124πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以5cos cos sin 1221212ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A17．已知sin cos αα-=0απ≤≤，则sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A B ．34410-C ．D 【答案】D【解析】：因为sin cos αα-=()22sin cos αα-=⎝⎭，即222sin 2sin cos cos 5αααα-+=，即21sin 25α-=，所以3sin 25α=，又sin cos 45πααα⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，即2sin 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0απ≤≤，所以3444πππα-≤-≤，所以044ππα<-≤，即42ππα<≤，所以22παπ<≤，所以4cos 25α==-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin333πππααα⎛⎫-= ⎪⎝⎭23145252⎛⎫=⨯--⨯ ⎪⎝⎭故选：D18．若10,0,cos ,cos 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B ．C D ．【答案】C 【解析】cos cos cos cos sin sin 2442442442βππβππβππβαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0,022ππαβ<<-<<所以3,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,4242πβππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则122cos 233βα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C 19．已知π43cos sin 65αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（）A ．45-B ．45C ．5-D ．5【答案】A【解析】由πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ππ3πcos cossin sin sin sin 6623αααααα⎛⎫++=+=-=⎪⎝⎭，所以，π4cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，2πππ4cos cos πcos 3335ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.20．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos()α-=（）A ．10B ．10C ．10-D ．222110【答案】C【解析】因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．又2sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 45πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，cos()cos cos cos cos sin sin 44444410ππππππααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C.二、多选题21．对于函数()sin 22f x x x =，下列结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最小值为2-C ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称D ．()f x 在区间,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】AB【解析】()1sin 222(sin 2cos 2)2sin(2)223f x x x x x x π=+=+=+，22T ππ==，A 正确；最小值是2-，B 正确；(2sin()0633f πππ-=-+=，C 错误；(,26x ππ∈--时，22(,0)33x ππ+∈-，232x ππ+=-时，()f x 得最小值2-，因此函数不单调，D 错误，故选：AB ．22）A ．222cos2sin 1212ππ-B ．1tan151tan15+︒-︒C ．cos 75︒︒D ．cos15︒︒【答案】ABC【解析】A ：222cos 2sin 2cos 12126πππ-==B ：1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒=-︒-︒︒C ：cos 754sin15230︒︒=︒︒=︒=D ：cos152sin(3015)2sin15︒︒=︒-︒=︒.故选：ABC23．已知函数2()sin 222x x xf x =-，则下列结论正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．若()f x 在区间,2m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，则3m π≥【答案】BD【解析】：()21cos 1cos sin sin 222262x x x xf x x x π-⎛⎫=-=-=+- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2,π故A 不正确；因为2362πππ-+=-，所以直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；当02x π<<时，2+663x πππ<<，而函数sin y x =在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故C 不正确；当2x m π-≤≤时，++366x m πππ-≤≤，因为()f x 在区间,2m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，即11sin 622x π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，所以sin 16x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以+62m ππ≥，解得3m π≥，故D 正确.故选：BD.24．已知函数22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->的周期为π，当π[0]2x ∈，时，()f x 的（）A ．最小值为2-B ．最大值为2C ．零点为5π12D ．增区间为π06⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】BCD【解析】22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->2cos 2x xωω=+2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的周期为π，所以22ππω=，得1ω=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π[0]2x ∈，时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以12sin 226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小值为1-，最大值为2，所以A 错误，B 正确，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，得26x ππ+=，解得512x π=，所以()f x 的零点为5π12，所以C 正确，由2662x πππ≤+≤，得06x π≤≤，所以()f x 的增区间为π06⎡⎤⎢⎣⎦，，所以D 正确，故选：BCD25．关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题正确的是（）A ．若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()12f x f x =成立；B ．()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；C ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称；D ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．【答案】ACD 【解析】()1cos 2cos cos 222cos 222f x x x x x x x x ⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭π2cos 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()()1222ππ2cos 2π2cos 233f x x x f x ⎡⎤⎛⎫=++=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭成立，故A 正确；对于B ，由ππ2π22π2π,3k x k k Z +≤+≤+∈，得：π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z ，即()f x 在区间π5π,36⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，故B 错误；对于C ，因为πππ2cos 2012123f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，故C 正确；对于D ，将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后得到7π7ππ3π2cos 22cos 22sin 2121232y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，其图象与2sin 2y x =的图象重合，故D 正确．故选：ACD 三、解答题26．求下列各式的值(1)cos54cos36sin54sin36⋅-⋅(2)sin7cos37cos(7)sin(37)⋅+-⋅-(3)ππcos sin 1212⋅(4)22ππsincos 88-【答案】(1)0；(2)12-；(3)14；(4)2-.【解析】(1)cos54cos36sin54sin36cos(5436)cos900⋅-⋅=+==.(2)sin7cos37cos(7)sin(37)sin7cos37cos7sin37⋅+-⋅-=⋅-⋅1sin(737)sin(30)2=-=-=-.(3)ππ1π1cossin 1212264⋅==.(4)22πππsin cos cos 8842-=-=-.27．已知3sin 5α=，其中2απ<<π.(1)求tan α；(2)若0,cos 2πββ<<=()sin αβ+的值.【答案】(1)34-(2)5-【解析】(1)由3sin 5α=可得4cos 5α=±，因为2απ<<π，故4cos 5α=-，进而sin 3tan cos 4ααα==-(2)π0,cos 2ββ<<=，故sin β==；()34sin =sin cos cos sin 55αβαβαβ++==28．已知角α为锐角，2πβαπ<-<，且满足1tan23=α，()sin 10βα-=(1)证明：04πα<<；(2)求β.【答案】(1)证明见解析(2)3.4πβ=【解析】(1)证明：因为1tan23α=，所以2122tan332tan 1tan 1441tan 129απαα⨯===<=--，因为α为锐角且函数tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以04πα<<(2)由22sin 3tan cos 4sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，结合角α为锐角，解得3sin 5α=，4cos 5α=，因为2πβαπ<-<，且()sin 10βα-=所以()cos βα-==()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=-+-⎣⎦3247225105102⎛=⨯-+⨯ ⎝⎭又5224πππαβπα<+<<+<，所以3.4πβ=29．已知α，β为锐角，π33sin 314α⎛⎫-=⎪⎝⎭，()11cos 14αβ+=-．(1)求cos α的值；(2)求角β．【答案】(1)17(2)π3【解析】(1)因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ336πα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭-，，又π33sin 314α⎛⎫-=⎪⎝⎭所以π13cos 314α⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以ππcos =cos +33αα⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππ1cos cos sin sin =33337αα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)因为α，β为锐角，所以0αβ<+<π，则()sin 0αβ+>，因为()11cos 14αβ+=-，所以()sin 14αβ+==．又α为锐角，1cos 7α=，所以sin α==，故()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦111714=+=因为β为锐角，所以π3β=．30．已知sincos22αα-=(1)求sin α的值；(2)若αβ，都是锐角，()3cos 5αβ+=，求sin β的值.【答案】(1)12【解析】(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a αααααα⎛⎫-=-+=-= ⎪⎝⎭，1sin 2a =.(2)因为αβ，都是锐角,所以0αβ<+<π，()4sin 5αβ+==，13sin cos 22a a =⇒=，()()()43sin cos c 0s 13si o 55n sin sin 221αβααβααββα-=-+=+-=+-=⨯⨯⎡⎤⎣⎦31．已知tan ,tan αβ是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值：(1)()tan αβ+(2)()()sin cos αβαβ+-；(3)()cos 22αβ+.【答案】(1)12-(2)54(3)35【解析】（1）由题意可知：57tan tan ,tan tan 33αβαβ+=-=-()5tan tan 13tan 71tan tan 213αβαβαβ-++===--+（2）()()5sin sin cos cos sin tan tan 537cos cos cos sin sin 1tan tan 413αβαβαβαβαβαβαβαβ-+++====-++-（3）()22222211cos ()sin ()1tan ()34cos 221cos ()sin ()1tan ()514αβαβαβαβαβαβαβ-+-+-++====++++++。
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换各种题型归纳分析三角恒等变换一、知识点：一）公式回顾：cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，简记为C(α±β)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，简记为S(α±β)sin2α=2sinαcosα，XXX为S2αcos2α=cos²α-sin²α，XXX为C2αtan2α=(α≠kπ/2且α≠kπ)简记为T2α2、二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍，3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。
因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。
凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。
二）公式的变式1±sin²α=(sinα±cosα)²cos²α=1/(1+tan²α)1-cos²α=2sin²αtan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)公式前的±号，取决于2合1公式所在的象限，注意讨论。
absinx+cosx=a+ba+b其中tanθ=b/a二、经典例题剖析：基础题型例1:已知sin2α=5π/13，0<α<π/2，求sin4α，cos4α，tan4α.例2:在△ABC中，cosA=4/5，tanB=2，求tan(2A+2B).题型二：公式的逆向运用例3:求下列各式的值：2tan15°1.化简下列各式：1) sin²22.5°cos²22.5°;2) (1-2sin²75°)/(21-tan15°);3) sin(3π/4)/[1-(tanπ/5)²].2.化简下列各式：1) sin⁴θ-cos⁴θ;2) -αcosα-(3α²/4).3.求值：1) cos(π/12)cos(π/6);2) cos36°cos72°.题型三：升降幂功能与平方功能的应用例3.化简下列各式：1) 1+sin40°;2) 1-sinα;3) 1+cos20°;4) 1-cosα.1) (cos²θ+sin²θ+2sinθcosθ-cos²θ)/(cos²θ+sin²θ-2sinθcosθ) = 2sinθ/(1-cos2θ);2) (cos²θ+sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ)/(cos²θ+sin²θ-2sinθcosθ) = 2cosθ/(1+cos2θ).3.已知sinx+cosx=3/2.x∈(0,π)，求sin2x和cos2x.2sinxcosx = sin2x。
高考一轮复习 三角恒等变换复习 知识点+例题+练习
1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos2αα+=。
（2）辅助角公式()sin cos sin a x bx x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
新高考数学复习三角恒等变换
1
10
10
=- 3 10 .
10
所以cos(β+α)=cos(β-α+2α)=cos(β-α)·cos 2α-sin(β-α)sin 2α
=
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×
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2
因为α∈
4
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2
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,
3 2
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5 4
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2
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7 4
.
答案 7
4
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β; (Cα-β)
tan(α+β)= tan α tan β ; (Tα+β)
1 tan α tan β
tan(α-β)= tan α tan β . (Tα-β)
1 tan α tan β
2.二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α; (S2α)
2
,
2
,
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5 5
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2
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2α=-
1 sin2 2α =-Biblioteka 15 52
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2
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10
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专题五 三角函数与解三角形 高考 数学 5.2 三角恒等变换
三角恒等变换题型大全
三角恒等变换一、基础梳理1．两角和与差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝__________________. C (α＋β)：cos(α＋β)＝__________________. 2．两角和与差的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________. S (α－β)：sin(α－β)＝____________________________. 3．两角互余或互补(1)若α＋β＝________，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：π4－α与__________互余，π6＋α与________互余．(2)若α＋β＝________，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：π4＋α与______________互补，____________与23π－α互补．4．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________. 5．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝____________________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________.tan α·tan β＝______________________________________________________________. (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝______________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.tan αtan β＝______________________________________________________________. 6．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α2cos α2＝12sin α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1 ＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.7．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝__________，sin 2α2cos α＝__________； (2)(sin α±cos α)2＝__________；(3)sin 2α＝______________，cos 2α＝______________. 8．半角公式(1)S α2：sin α2＝____________________；(2)C α2：cos α2＝____________________________；(3)T α2：tan α2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)．9．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．二、例题精讲考点一 三角函数的化简求值例1 （1）o 15cos ；（2）oo o o 33sin 117sin 57sin 63cos +；（3）ββαβαβsin )sin(cos )cos(+++；（4）15tan 115tan 1-+.例2 （1）x x sin 23cos 21- （2）x x cos sin 3+例3 化简求值：(1)22cos 75sin 75cos75cos15++；(2)sin cos 12cos sin 3αααα+=-，则tan2α=_________。
三角恒等变换-高考数学复习
2
α＝ sin
π
（α＋ ）.
3
（
× ）
× ）
高中总复习·数学
2. sin 20°cos 10°－ cos 160°sin 10°＝（
）
解析： 原式＝ sin 20°cos 10°＋ cos 20°sin 10°＝ sin （20°＋
10°）＝ sin
1
30°＝ .
2
高中总复习·数学
3. 若
三角恒等变换
1. 经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.
2. 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公
式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
3. 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差
化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.
知识 逐点夯实
2
2
1+cos2
1−cos2
sin 2α＝
； cos 2α＝
2
2
2
2
；
；tan2α
.
（1）二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式
中α＝β的特殊情况；（2）二倍角是相对的，如： 是 的2
2
4
3
倍，3α是 的2倍.
2
高中总复习·数学
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角.
sin α cos β－ cos α sin β （S（α－β））；
（4） sin （α＋β）＝
sin α cos β＋ cos α sin β （S（α＋β））；
（5）tan（α－β）＝
三角恒等变换公式复习
三角恒等变换公式复习一、和差角公式：1、sin(α+β)=______________________________；2、sin(α−β)=___________________________；3、cos(α+β)=_____________________________ ；4、cos(α−β)=___________________________；5、tan(α+β)=_______________________；6、tan(α−β)=_____________________；公式的变形：tanα+tanβ=______________________；tanα－tanβ=____________________________辅助角公式：asinx+bcosx=_____________________________（其中辅助角∅满足：_______________________________________________）二、倍角公式：7、sin2α=___________；8~10、cos2α=______________=_______________=________________；11、tan2α=______________；（注意：“倍角”是相对的，2α是α的倍角，4α是2α的倍角，α是α2的倍角……，因此，倍角公式有很多种形式，如以下公式都是倍角公式：sinα=2sinα2cosα2，cos4α=cos22α－sin22α,tanα=2tanα21−tan2α2,……）公式的变形：sinαcosα=___________；1+sinα=_________；1－sinα=__________；升幂公式（升幂降角）：1+cos2α=________________；1－cos2α=_________________；降幂公式（降幂升角）：sin2α=________________；cos2α=__________________；三、半角公式、积化和差与和差化积公式（不要求记忆，明确其推导过程）：半角公式：sin2α2=_________ ，cos2α2=__________，tan2α2=_________=__________=____________ ；（也可写成：sin α2=______________，cosα2=_____________，tanα2=_________________）积化和差公式：和差化积公式：sinαcosβ=_________________________________；sinθ+sinФ=____________________；cosαsinβ=_________________________________；sinθ－sinФ=____________________；cosαcosβ=_________________________________；cosθ+cosФ=____________________；sinαsinβ=__________________________________；cosθ－cosФ=___________________；对于公式的使用，要能做到“正用”（从左到右）、“逆用”（从右到左）、“变形使用”；注意“角的变换”，即善于找题中所给出的角之间的关系，把“未知角”用“已知角”的和、差或倍数来表示。
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三角恒等变换专题复习教学目标：1、能利用单位圆中的三角函数线推导出απαπ±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式；2、理解同角三角函数的基本关系式： ；3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。
教学重难点：可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题 【基础知识】一、同角的三大关系：① 倒数关系 tan α•cot α=1 ② 商数关系 sin cos αα= tan α ； cos sin αα= cot α ③ 平方关系 22sin cos 1αα+=温馨提示： （1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。
[来源:学+科+网]（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号。
用诱导公式化简，一般先把角化成,2k z α+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角2k πα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）。
用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间0(0,360)的角，再变到区间00(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算。
三、和角与差角公式 ：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=mtan α±tan β=tan (α±β)(1μtan αtan β)四、二倍角公式：sin 2α= 2sin cos αα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=- 五、注意这些公式的来弄去脉这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m 推导出来。
六、注意公式的顺用、逆用、变用。
如：逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=±七、合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。
()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． 八、万能公式九、用αsin ，αcos 表示2tanα十、积化和差与和差化积积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.和差化积 2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=- 2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+ 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=-十一、方法总结1、三角恒等变换方法观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）（1） “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦cos tan ,cot cos sin ααααα==）， （3和合并等。
2、恒等式的证明方法灵活多样①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或" 左右=1";④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.【例题精讲】例1 已知α为第四象限角，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-解：（1）因为α为第四象限角所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+--()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin1cos -=---=--+-=例2 已知οο360270<<α，化简α2cos 21212121++ 解：οοΘ360270<<α，02cos,0cos <>∴αα所以原式=cos 2α===- 例3 tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°=0020cos 40sin 220sin + =0000sin(6040)2sin 40cos 20-+00000340sin 402022cos 20cos 20+===例4 （05天津）已知，求及．解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得，即①由题设条件，应用二倍角余弦公式得故②由①和②式得，因此，，由两角和的正切公式解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，解得，即由可得由于，且，故在第二象限于是，从而以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到．2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．例5 已知为锐角的三个内角，两向量，，若与是共线向量.（1）求的大小；（2）求函数取最大值时，的大小.解：（1），（2），．小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意例6 设关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解α、β.(1)求α的取值范围; (2)求tan(α＋β)的值.解: (1)∵sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)＝2 sin(x＋), ∴方程化为sin(x＋)＝－.∵方程sinx＋cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解, ∴sin(x＋)≠sin＝ .又sin(x＋)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解), ∴|－|<1 . 且－≠. 即|a|<2且a≠－.∴a的取值范围是(－2, －)∪(－, 2).(2) ∵α、β是方程的相异解, ∴sinα＋cosα＋a＝0 ①. sinβ＋cosβ＋a＝0 ②.①－②得(sinα－sinβ)＋( cosα－cosβ)＝0. ∴ 2sincos－2sinsin＝0, 又sin≠0, ∴tan＝.∴tan(α＋β)＝＝.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2π)这一条件.例7 已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围．解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式．任取，且，则不等式恒成立，即恒成立．化简得由可知：，所以上式恒成立的条件为：.由于且当时，，所以 ,从而 ,有 , 故的取值范围为.【基础精练】1．已知α是锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π的值等于( ) B ．－24D ．－1442．若－2π＜α＜－3π2，则 1－cos(α－π)2的值是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α2·cos 2αcos(90°＋α)等于 ( ) A.－sinα B.－cosα α α4.已知角α在第一象限且cosα＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)等于 ( )D.－255.定义运算⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc.若cosα＝17，⎪⎪⎪⎪sinα sinβcosα cosβ＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )6.已知tanα和tan(π4－α)是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 ( )＝a ＋c ＝a ＋c ＝b ＋a ＝ab7.设a ＝22(sin 56°－cos56°)，b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′，d ＝12(cos80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 ( )＞b ＞d ＞c ＞a ＞d ＞c ＞a ＞b ＞c ＞a ＞d ＞b8．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x ，x∈R 的值域是( )9.若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝ .10.设α是第二象限的角，tanα＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝ .11.已知sin(-4πx)=135，0<x<4π，求)4cos(2cos x x +π的值。
12.若),0(,πβα∈，31tan ,507cos -=-=βα，求α+2β。
【拓展提高】1、设函数f(x)＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1(1)求f(x)的最小正周期.(2)若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图像关于直线x ＝1对称，求当x∈[0，43]时y ＝g(x)的最大值2.已知向量a ＝(cosα，sin α)，b ＝(cosβ，sinβ)，|a －b|＝255(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sinβ＝－513，求sinα.3、求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .【基础精练参考答案】4．C 【解析】原式＝1＋2(cos2αco s π4＋sin2αsi n π4)cosα＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝2cos 2α＋2sinαcosαcosα＝2×(cosα＋sinα)＝2×(35＋45)＝145.【解析】依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin (α－β)＝3314.∵0<β<α<π2，∴cos(α－β)＝1314. 又∵cosα＝17，∴sinα＝437.sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32，∴β＝π3. 【解析】 ∴tan π4＝tan[(π4－α)＋α]＝－ba 1－ca ＝1，∴－b a ＝1－ca，∴－b ＝a －c ，∴c＝a ＋b.【解析】a ＝sin(56°－45°)＝sin11°，b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°，c ＝1－tan 240°30′1＋tan 240°30′＝cos81°＝sin9°，d ＝12(2cos 240°－2sin 240°)＝cos80°＝sin10° ∴b＞a ＞d ＞c.【解析】y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12，故选择C.9. π3【解析】由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.10. －55解析：∵α是第二象限的角，∴α2可能在第一或第三象限，又sin α2<cos α2，∴α2为第三象限的角， ∴cos α2<0.∵tanα＝－43，∴cosα＝－35，∴cos α2＝－1＋cosα2＝－55.12.【解析】∵),0(,πβα∈，507cos -=α∴),0,33(71tan -∈-=α),0,33(31tan -∈-=β ∴),65(,ππβα∈，α+2β)3,25(ππ∈,又tan2β=43tan 1tan 22-=-ββ,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα,[来源:]∴α+2β=411π【拓展提高参考答案】1、【解析】 (1)f(x)＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x＝3sin(π4x －π3)，故f(x)的最小正周期为T ＝2ππ4＝8(2)法一：在y ＝g(x)的图象上任取一点 (x ，g(x))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g(x)). 由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin[π4(2－x)－π3] ＝3sin[π2－π4x －π3]＝3cos(π4x ＋π3)，当0≤x≤43时， π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g(x)在区间[0，43]上的最大值为g(x)max ＝3cos π3＝32.法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于x ＝1对称，故y ＝g(x)在[0，43]上的最大值为y ＝f(x)在[23，2]上的最大值，由(1)知f(x)＝3sin(π4x －π3)，当23≤x≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6，因此y ＝g(x)在[0，43]上的最大值为g(x)max ＝3sin π6＝32. 2、【解析】(1)∵a＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)， ∴a－b ＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ). ∵|a－b|＝255，∴(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝255， 即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π，∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45 ∵sinβ＝－513，∴cosβ＝1213，∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45·1213＋35·(－513)＝3365。