第二章 章末复习
初二期末复习：第二章 中国的自然环境
图2-17
中国年降水量分布
二、中国的气候 3.气候类型 400mm
温带大陆性气候 高原高山气候 温带季风气候 亚热带季风气候 热带季风气候
图2-21 中国主要气候类型分布
二、中国的气候
36页
东南季风
西南季风
三、中国的河流
• 长江的源流概况
46页
唐古拉山
湖北宜昌
东 海
ห้องสมุดไป่ตู้
江西湖口
三、中国的河流
• 黄河的源流概况
49页
内蒙古河口
巴颜喀拉山
汾河
渭河
河南旧孟津
同桌互背
• 课堂提问
期末复习 第二章 中国的自然环境
一、中国的地形
22页
一、中国的地形
23页
二、中国的气候
冬季气温南北温差大
28页
夏季全国普遍高温
1.气温分布
0℃
图2-14 中国1月平均气温
图2-15
中国7月平均气温
二、中国的气候
2.降水分布
31页
地区分布：由东南沿海向西北内陆减少。 季节分配：降水夏秋多，冬春少。 800mm
2024_2025学年高中数学第二章统计章末复习检测卷课时作业含解析新人教A版必修3
章末复习检测卷(二) 统计(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是() A．500名学生是总体B．每个被抽查的学生是样本C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生是样本容量解析：答案：2．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(元)与居民人均消费水平y(元)统计调查，y与x具有相关关系，线性回来方程为y＝0.66x＋1562，若某城市居民人均消费水平为7675元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为()A．83% B．72%C．67% D．66%解析：将y＝7675代入回来方程，可计算得x≈9262，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7675÷9262≈0.83，即约为83%.答案： A3．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论：①这组数据的众数是3.②这组数据的众数与中位数的数值不等．③这组数据的中位数与平均数的数值相等．④这组数据的平均数与众数的数值相等．其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析： 由题意知，众数与中位数都是3，平均数为4.只有①正确，故选A. 答案： A4．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回来方程可能是( ) A ．y ＝－10x ＋200 B ．y ＝10x ＋200 C ．y ＝－10x －200D ．y ＝10x －200解析： ∵商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关， ∴b <0，解除B ，D.又∵x ＝0时，y >0，∴故选A. 答案： A5．“互联网＋”时代，全民阅读的内涵已然多元化，提倡读书成为一种生活方式．某校为了解中学学生的阅读状况，从该校1 600名高一学生中，采纳分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行调查．若抽到的男生比女生多10人，则该校高一男生共有( )A ．760人B ．840人C ．860人D ．940人解析： 本题考查分层抽样．设所抽取的男生、女生分别有x 人、y 人，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝200，x －y ＝10解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝105，y ＝95所以该校高一男生共有105200×1 600＝840(人)，故选B.答案： B6．(2024·山东日照一中期中考试)对某商店四月内每天的顾客人数进行统计，所得数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53解析： 由茎叶图，可知中位数为45＋472＝46，众数为45，极差为68－12＝56.答案： A7．为探讨某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，全部志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的依次分别编号为第一组，其次组，…，第五组．如图是依据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与其次组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．1B ．8C ．12D ．18解析： 由图知，样本总数为N ＝200.16＋0.24＝50.设第三组中有疗效的人数为x ，则6＋x50＝0.36，解得x ＝12.答案： C8．假如在一次试验中，测得(x ，y )的四组数值分别是A (1,3)，B (2,3.8)，C (3,5.2)，D (4,6)，则y 与x 之间的回来直线方程是( )A ．y ＝x ＋1.9B ．y ＝1.04x ＋1.9C ．y ＝0.95x ＋1.04D ．y ＝1.05x －0.9解析： x ＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，y ＝14(3＋3.8＋5.2＋6)＝4.5.因为回来方程过点(x ，y )，代入验证知，应选B.答案： B9．若样本数据x 1，x 2，…，x 2 018的标准差为3，则数据4x 1－1,4x 2－1，…，4x 2 018－1的方差为( )A ．11B ．12C ．143D ．144解析： 本题考查数据方差的求解．因为样本数据x 1，x 2，…，x 2 018的标准差为3，所以方差为9，所以数据4x 1－1,4x 2－1，…，4x 2 018－1的方差为42×9＝144，故选D.答案： D10．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经验的人数，所得数据的茎叶图如下图所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )解析： 借助已知茎叶图得出各小组的频数，再由频率＝频数样本容量求出各小组的频率，进一步求出频率组距并得出答案．法一：由题意知样本容量为20，组距为5. 列表如下：分组频数频率 频率组距 [0,5) 1 120 0.01 [5,10) 1 120 0.01 [10,15) 4 15 0.04 [15,20) 2 110 0.02 [20,25) 4 15 0.04 [25,30) 3 320 0.03 [30,35)33200.03[35,40] 2 110 0.02 合计201视察各选择项的频率分布直方图知选A.法二：由茎叶图知落在区间[0,5)与[5,10)上的频数相等，故频率、频率组距也分别相等．比较四个选项知A 正确，故选A.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．有A ，B ，C 三种零件，分别为a 个、300个、200个，采纳分层抽样法抽取一个容量为45的样本，A 种零件被抽取20个，则a ＝________.解析： 依据题意得45a ＋300＋200＝20a ，解得a ＝400.答案： 40012．如图是依据某中学为地震灾区捐款的状况而制作的统计图，已知该校共有学生3 000人，由统计图可得该校共捐款________元．解析： 由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人，由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、 10元，所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝37 770(元)．答案： 37 77013．某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影竞赛，9位评委为某参赛作品给出的分数的茎叶图如图，记分员去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发觉有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应当是________．解析： 平均分为91分，∴总分应为637分．由于须要去掉一个最高分和一个最低分，故须要分类探讨：①若x ≤4，则89＋89＋92＋93＋92＋91＋90＋x ＝637，∴x ＝1；②若x >4，则89＋89＋92＋93＋92＋91＋94＝640≠637，不符合题意．故填1. 答案： 114．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________．解析： 平均命中率y ＝15×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，而x ＝3，∑i ＝15x i y i ＝7.6，∑i ＝15x2i ＝55，由公式得b ∧＝0.01，a ∧＝y －b ∧x ＝0.5－0.01×3＝0.47，∴y ∧＝0.01x ＋0.47.令x ＝6，得y∧＝0.53.答案： 0.5 0.53三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知一组数据按从小到大的依次排列为－1,0,4，x,7,14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．解析： 由于数据－1,0,4，x,7,14的中位数为5，所以4＋x2＝5，x ＝6.设这组数据的平均数为x ，方差为s 2，由题意得 x ＝16×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，s 2＝16×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝743. 16．(本小题满分12分)为了让学生了解更多有关“一带一路”的信息，某中学实行了一次“丝绸之路学问竞赛”，共有800名学生参与了这次竞赛．为了解本次竞赛成果状况，从中抽取了部分学生的成果(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你依据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：分组频数频率60.5～70.50.1670.5～80.51080.5～90.5180.3690.5～100.5合计(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将全部学生的成果随机地编号为000,001,002，…，799，试写出其次组第一名学生成果的编号；(2)填充频率分布表中的空格(将答案干脆填在表格内)，并作出频率分布直方图；(3)若成果在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约有多少名？解析：(1)依据系统抽样法则，要从总体中抽取50个样本，需将总体分为50组，则每组的学生数为800÷50＝16，故其次组第一名学生成果的编号为016.(2)频率分布表如下表所示，频率分布直方图如图所示．分组频数频率60.5～70.580.1670.5～80.5100.2080.5～90.5180.3690.5～100.5140.28合计50 1(3)在被抽到的学生成果中在85.5～95.5分的个数是9＋7＝16，占样本的比例是1650＝0.32，即获得二等奖的概率约为32%，所以获得二等奖的学生约有800×32%＝256(名)．17．(本小题满分12分)为了让学生了解环保学问，增加环保意识，某中学实行了一次环保学问竞赛，共有900名学生参与了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成果状况，从中抽取了部分学生的成果(得分为正整数，满分为100分)进行统计．请你依据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图(下图)，解答下列问题：组号 分组 频数 频率 1 [50,60) 4 0.08 2 [60,70) 8 0.16 3 [70,80) 10 0.20 4 [80,90) 16 0.32 5 [90,100]合计(1)填充频率分布表中的空格；(2)不详细计算频率组距，补全频率分布直方图；(3)估计这900名学生竞赛的平均成果(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)． 解析： (1)40.08＝50，即样本容量为50.第5组的频数为50－4－8－10－16＝12， 从而第5组的频率为1250＝0.24.又各小组频率之和为1，所以频率分布表中的四个空格应分别填12,0.24,50,1.(2)依据小长方形的高与频数成正比，设第一个小长方形的高为h 1，其次个小长方形的高为h 2，第五个小长方形的高为h 5.由等量关系得h 1h 2＝12，h 1h 5＝13，补全的频率分布直方图如图所示．(3)50名学生竞赛的平均成果为x ＝4×55＋8×65＋10×75＋16×85＋12×9550＝79.8≈80(分)．利用样本估计总体的思想可得这900名学生竞赛的平均成果约为80分．18．(本小题满分14分)某部门为了了解用电量y (单位：千瓦时)与气温x (单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，因某天统计的用电量数据丢失，用t 表示，如下表：(1)(2)若用电量与气温之间具有较好的线性相关关系，回来直线方程为y ∧＝－2x ＋b ∧，且预料气温为－4 ℃时，用电量为2t 千瓦时．求t ，b 的值．解析： (1)x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，s ＝14[(18－10)2＋(13－10)2＋(10－10)2＋(－1－10)2]＝1942. (2)y ＝14(24＋t ＋38＋64)＝t ＋1264，∴t ＋1264＝－2×10＋b ，即4b －t ＝206.①又2t ＝－2×(－4)＋b ，即2t －b ＝8.② 由①②得，t ＝34，b ＝60.。
新教材高考数学第二章直线和圆的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册
章末复习一、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2. (2) 若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养． 例1 (1)已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－a ＋13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，C (2－2a ，1)，D (－a ，0)四点，若直线AB 与直线CD 平行，则a ＝________.答案 3解析 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a3，当2－2a ＝－a ，即a ＝2时，k AB ＝－23，CD 的斜率不存在．∴AB 和CD 不平行；当a ≠2时，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a.由k AB ＝k CD ，得－a 3＝12－a，即a 2－2a －3＝0.∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0＋13－3＝－19≠k AB ，∴AB 与CD 平行．当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13，k CD ＝1－04－1＝13，∴AB 与CD 重合．∴当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行．(2)若点A (4，－1)在直线l 1：ax －y ＋1＝0上，则l 1与l 2：2x －y －3＝0的位置关系是________． 答案 垂直解析 将点A (4，－1)的坐标代入ax －y ＋1＝0， 得a ＝－12，则12·l l k k ＝－12×2＝－1，∴l 1⊥l 2. 反思感悟 一般式方程下两直线的平行与垂直：已知两直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且C 1B 2－C 2B 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练1 (1)已知直线l 1：ax －3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 答案 －3(2)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，若l 1∥l 2，则m ＝________. 答案 －1解析 因为直线x ＋my ＋6＝0与(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m m －2＝0，2m ≠6m －2，解得m ＝－1.二、两直线的交点与距离问题1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养．例2 (1)若点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 的值为( )A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3答案 C解析 ∵点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，∴|1－a ＋1|2＝322，即|a －2|＝3，解得a ＝－1或a ＝5，∴实数a 的值为－1或5.(2)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解 设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 反思感悟跟踪训练2 (1)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为( ) A ．2 3 B. 2 C ．2 2 D.322答案 D解析 根据a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，可得a ＋b ＝－1，ab ＝－2， ∴a ＝1，b ＝－2或a ＝－2，b ＝1，∴|a －b |＝3， 故两条直线之间的距离d ＝|a －b |2＝32＝322.(2)已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，则这样的直线l 的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即直线l 过点(1,2)．设点Q (1,2)，因为|PQ |＝1－02＋2－42＝5＞2，所以满足条件的直线l 有2条．故选C.方法二 依题意，设经过直线l 1与l 2交点的直线l 的方程为2x ＋3y －8＋λ(x －2y ＋3)＝0(λ∈R )，即(2＋λ)x ＋(3－2λ)y ＋3λ－8＝0.由题意得|12－8λ＋3λ－8|2＋λ2＋3－2λ2＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或185，代入得直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0，故选C.三、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养． 例3 已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长． (1)证明 直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)， 由点斜式可知，直线恒过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交． (2)解 圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－64－3＝3，所以直线l 的斜率为－13，则2m ＝－13，所以m ＝－16.在Rt△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5. 所以|AB |＝2|AC |2－|PC |2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.反思感悟 直线与圆问题的类型(1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得．(2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解． 跟踪训练3 已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P (－2, 2)和原点O . (1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l 1，l 2都过点A (－1, 0)，若l 1，l 2被圆C 所截得的弦长相等，求此时直线l 1的方程．解 (1)由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C (a ，－a －2)． 由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a 2＋(－a －2)2， 解得a ＝－2.因为圆心C (－2,0)，半径r ＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4.(2)由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0， 设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，所以l 1：y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l 2：y ＝－1k(x ＋1)，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l 1，l 2的距离相等， 所以|－2k ＋k |k 2＋1＝|－2＋1|k 2＋1，解得k ＝±1， 所以直线l 1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0. 四、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． 2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养． 例4 已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．解 (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2,2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝－2－42＋2＋22＝213＝r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0，即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.反思感悟 两圆的公共弦问题(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练4 (1)已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ， B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________． 答案 x ＋y －3＝0解析 AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2. 又C 1(3,0)，C 2(0,3)， 所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0.(2)已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0. ①求证：两圆相交；②求两圆公共弦所在直线的方程．①证明 圆C 1的方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆C 2的方程可化为x 2＋(y －1)2＝5， ∴C 1(2，－1)，C 2(0,1)，两圆的半径均为5， ∵|C 1C 2|＝2－02＋－1－12＝22∈(0,25)，∴两圆相交．②解 将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程， (x 2＋y 2－4x ＋2y )－(x 2＋y 2－2y －4)＝0，即x －y －1＝0.1．(2019·天津改编)设a ∈R ，直线ax －y ＋2＝0和圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0相切，则a 的值为________． 答案 34解析 由已知条件可得圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(2,1)，半径为2，由直线和圆相切可得|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34. 2．(2017·北京改编)在平面直角坐标系中，点A 在圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0上，点P 的坐标为(1，0)，则||AP 的最小值为________． 答案 1解析 x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y －2)2＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.3．(2017·天津改编)已知点C 在直线l ：x ＝－1上，点F (1,0)，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A . 若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠FAC ＝120°， 所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3， 所以点C 的纵坐标为 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.4．(2019·江苏改编)如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径)．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA .规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C ，D 为垂足)，测得AB ＝10，AC ＝6，BD ＝12(单位：百米)．(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；(2)在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由． 解 (1)如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H .以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为BD ＝12，AC ＝6，所以OH ＝9，直线l 的方程为y ＝9，点A ，B 的纵坐标分别为3，－3. 因为AB 为圆O 的直径，AB ＝10， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25.从而A (4,3)，B (－4，－3)，直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为－43，直线PB 的方程为y ＝－43x －253.所以P (－13,9)，|PB |＝－13＋42＋9＋32＝15.所以道路PB 的长为15(百米)．(2)①若P 在D 处，取线段BD 上一点E (－4,0)，则EO ＝4<5， 所以P 选在D 处不满足规划要求．②若Q 在D 处，连接AD ，由(1)知D (－4,9)，又A (4,3)， 所以线段AD ：y ＝－34x ＋6(－4≤x ≤4)．在线段AD 上取点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，154，因为|OM |＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1542<32＋42＝5，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径． 因此Q 选在D 处也不满足规划要求． 综上，P 和Q 均不能选在D 处．。
人教版高中数学必修第一册 第二章 函数 章末复习课
反思与感悟 解析答案
跟踪训练1 x2＋2x＋a>0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.
解 方法一 设g(x)＝x2＋2x＋a，
g(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋(a－1)在[1，＋∞)上是增函数，
∴当x＝1时，g(x)min＝3＋a. 令3＋a>0，得a>－3. ∴当a∈(－3，＋∞)时，对于任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立.返回题探究重点难点 个个击破
类型一 二次函数图像和性质 例1 已知关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三个不相等的实数根，则实 数a的值是__1__. 解析 作函数y＝|x2－4x＋3|的图像，如图所示. 由图像知直线y＝1与y＝|x2－4x＋3|的图像有 三个交点， 则方程|x2－4x＋3|＝1有三个不相等的实数根， 因此a＝1.
第二章 函 数
章末复习课
学习目标
1.构建知识网络，理解其内在联系； 2.盘点重要技能，提炼操作要点； 3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力.
要点归纳
题型探究
达标检测
要点归纳
知识网络构建
主干梳理 点点落实
基本技能梳理 本章用到以下技能： (1)运算技能主要表现在求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇 偶性的证明和应用中大量的方程、不等式运算，以及式子的变形等. (2)图形处理技能包括识图能力和作图能力.识图主要体现在给出函数图像， 要能从中读出相关信息；作图能力体现在给出函数解析式或性质，能画出 相应图像. (3)推理技能主要体现在函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义， 依据这些定义去证明或判断具体的函数问题. 课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳推理； 还有一些类比：如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具体函数到 抽象函数等.
第二章 章末复习课简单的幂函数
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
3．函数奇偶性与单调性的差异
本 课 栏 目 开 关
函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研 究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是 函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质， 只有对函数定义域内的每一个 x 值， 都有 f(－x)＝－f(x)[或 f(－x)＝f(x)]，才能说 f(x)是奇函数(或偶函数)．
章末复习课
(2)解
本 课 栏 目 开 关
当 x≥0 时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当 x<0 时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2 －2，
即
x－12－20≤x≤3 f(x)＝ 2 x＋1 －2 －3≤x<0
根据二次函数的作图方法，可得函数图像如图．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
(3)解
函数 f(x)的单调区间为
[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
本 课 栏 目 开 关
f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数， 在[－1,0)，[1,3]上为增函数．
(4)解 当 x≥0 时， 函数 f(x)＝(x－1)2－2 的最小值为
章末复习课
题型四
本 课 栏 目 开 关
函数性质的综合运用
函数性质的研究包括函数的单调性、 奇偶性、 对称性， 从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有，其中函 数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调 性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶 性、对称性研究函数的图像是难点．
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
本 课 栏 目 开 关
画一画·知识网络、结构更完善
第二章期末复习
12．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水 面1米，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐 及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求 这里的水深是多少米？
1 A X
2
C X+1
B
13．如图，在一棵树上10m高的B处有两只猴 子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树20m处 的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D处直跃向 池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等， 则这颗树有多高（设树与地面垂直）?
A
2X
3
B
X
D
C
17．如图，在△ABC中，AB=26，BC=20， BC边上的中线AD=24，求AC.
26
24
26
10
10
18.已知等腰三角形的周长是16，底边上的高 是4，求三角形各边的长
A
X
4
C
B
8-X D
【知识点7】 最近问题 19.如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面 半径为7cm．在圆柱的下底面点处有一个蜘蛛， 它想吃到上底面上与点相对的点处的苍蝇，需 要爬行的最短路径是______ cm（结果用带根 π 号和 的式子表示）．
X 30-X 10 20
【知识点5】 利用割补法求面积
14．如图，小方格的面积都为1．四边形ABCD的顶 点都在格点上，求该四边形的周长和面积．
【知识点 6】勾股定理数学C的边长是6cm， 求△ABC的面积.
A
6
B
27
D
C
3
16.已知等边三角形的高为 3 ，则它的面积 为 。
A
6 6
C
10
E
X D 8-X X 图① 8
4
B
10．在上题中的Rt△ABC折叠，使点B与A 重合，折痕为DE（如图②），则CD的长为 （ ） A.1.50 B.1.75 C.1.95 D.以上都不对
高中物理第二章匀变速直线运动的研究章末复习讲座课件新人教必修1
5．竖直上抛运动的处理方法 (1)分段法：上升过程是加速度a＝－g，末速度v＝0的匀减速直线运动，下落过程是自由落体运动。 (2)整体法：将全过程看做是初速度为v0、加速度为－g的匀变速直线运动。其运动过程符合匀变速直线 运动规律，即匀变速直线运动的几个关系式可以直接应用。
三、竖直上抛运动 1．定义 只在重力作用下，给物体一个竖直向上的初速度v0，物体所做的运动称为竖直上抛运动。 2．运动性质 物体的初速度v0竖直向上，加速度为g竖直向下，所以竖直上抛运动是匀变速直线运动。 3．运动规律 取v0的方向为正方向，则a＝－g。 (1)速度公式：v＝v0－gt 1 2 (2)位移公式：x＝v0t－ gt 2 (3)位移速度关系式：v2－v2 0＝－2gx
A与t轴所围面积等于物体发生的位移，故汽车在0～1 s内和1～3 s内的位移分别为
x 2.5 m和5 m，A错；因平均速度 v ＝ t ，故两时间段内的平均速度均为2.5 m/s，B正确；0～1 s内速度变化 Δv1＝5 m/s，1～3 s内速度变化Δv2＝－5 m/s，C错；v－t图象的斜率等于加速度，故两时间段内的加速度 分别为5 m/s2和－2.5 m/s2，D错。
二、纸带问题的分析和处理方法 纸带的分析与计算是近几年高考中考查的热点，因此应该掌握有关纸带问题的处理方法。 1．判断物体的运动性质 (1)根据匀速直线运动的位移公式x＝vt知，若纸带上各相邻的点的间隔相等，则可判定物体做匀速直 线运动。 (2)由匀变速直线运动的推论Δx＝aT2知，若所打的纸带上在任意两个相邻且相等的时间内物体的位移 差相等，则说明物体做匀变速直线运动。
第二章 空间向量与立体几何章末复习课件(北师大版选修2-1)
→ → → → 1 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则MN＝ (a＋b＋c)． 2 → → → → → 1 又BD＝AD－AB＝b－a，∴MN·BD＝2(a＋b＋c)(b－a) 1 2 ＝2(b －a2＋c· b－c· a)． 又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，∴c· b＝0，c· a＝0. 又|b|＝|a|，∴b2＝a2，∴b2－a2＝0. → → ∴MN·BD＝0，∴MN⊥BD. 同理可证，MN⊥A1B，又 A1B∩BD＝B， ∴MN⊥平面 A1BD.
第二章章末归纳整合
专题一 空间向量的计算 空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是 平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积 运算，是用向量法求解立体几何问题的基础． → → → 【例 1】 沿着正四面体 O-ABC 的三条棱OA、OB、OC的方向 有大小等于 1，2 和 3 的三个力 f1，f2，f3.试求此三个力的合力 f 的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．
高考真题 1．(2011· 上海)设 A1，A2，A3，A4，A5 是空间中给定的 5 个不同 → → → → → 的点，则使MA1＋MA2＋MA3＋MA4＋MA5＝0 成立的点 M 的个 数为( )．
A．0 B．1 C．5 D．10
解析
从特例入手，不妨令 A1，A2，A3，A4，A5 五点共线，且
5．从近几年的高考试题来看，对本章内容的考查主要分两类： (1)以选择题、填空题的形式考查基本概念和性质，此类题难度 不大，用以解答有关简单的化简、计算、长度、夹角、垂直等 问题． (2)向量在空间中的应用，主要是通过向量的坐标表示，运用计 算的方法研究三维空间几何图形的性质与计算，此类问题一般 是中档题．
解
(1)∵PA⊥平面 ABCD，由 ABCD 是正方形知 AD⊥CD.
人教版物理八年级上册第二章章末复习习题课件
明音调的高低与物体振动的快慢有关；D中随着玻璃罩内空气越来越少，听到的
音乐声也越来越小，说明声音的传播需要介质。
2.（20-21 ·青岛市南区期末）在月球上漫步的航天员须借助无线电通 讯设备才能进行交谈，其原因是（ B ） A.月球上，航天员的声带无法振动发声 B.月球上是真空，不能传声 C.月球上只能传递超声波 D.月球上，声音传播速度快
9.噪声已成为影响人们生活、工作的一大公害。下列图片信息反应在传播过程中 减弱噪声的是（ B ）
解析： 射击时戴耳罩，是在人耳处减弱噪声，故A不符合题意；双层隔音玻璃，是
在传播过程中减弱噪声，故B符合题意；制止喧哗，是在声源处减弱噪声，故C 不符合题意；噪声检测仪可以检测噪声的等级，不能减弱噪声，故D不符合题意。
6.（20-21·潍坊高密期中）下列描述的现象与音调有关的是（ C ） A.抗疫一线的医护工作者穿着同样的防护服，但相互之间仍然能从声音 上 辨识对方 B.在图书室借阅图书时制止大声喧哗 C.瓶中装的水越多，木棒敲击时发出的声音越低沉 解D.析工：厂里的机器声响震耳欲聋
由于每个医护工作者发出声音的音色是不同的，所以可以根据音色来辨识对方， 与音调无关，故A错误；在图书室借阅图书时制止大声喧哗，属于在声源处减弱噪声， 与音调无关，故B错误；瓶中装的水越多，越难振动，发出的音调就越低，故C正确； 工厂里的机器声响震耳欲聋，指的是声音的响度大，与音调无关，故D错误。
10.对于下列四幅图片（图）的叙述正确的是（ C ）
解析： 题图甲中用力敲击鼓面时能听到鼓声，说明空气能够传播声音；题图乙
中改变尺子伸出桌边的长度，用相同的力敲打是为了研究音调与频率的关系； 题图丙中禁鸣是从声源处减弱噪声；题图丁中听众能根据音色分辨出不同乐器 的演奏。只有C正确。
人教版八年级物理上册第二章章末复习二声现象教学课件(46页)
6.下列操作中，能改变物体发出声音的音调的是（ D ) A.使劲拨动琴弦 B.在二胡的弓毛上涂一些松香 C.用力敲大鼓 D.转动小提琴的旋钮
7．公共场所“轻声说话”是一种文明行为，“轻声”是
指声音的（ C )
A．音色
B．音调
C．响度
D．频率
8.伦敦奥运会期间英国军方将配备一种远程声波安保设 备,该设备工作时可以产生高达150 dB的声音，尖锐的声 响会让人耳感到刺痛，既可用作高音喇叭，也可用作非 致命性武器驱散人群。关于该设备，下面说法正确的是 （C ) A.该设备产生的是次声波 B.该设备产生的声波传到人耳的传播的速度是1 500 m/s C.“150 dB” 反应了声音的声强级 D.“150 dB”是指人耳能听到的频率的最高值
15.如图M2-5所示,甲、乙两人利用回声测量河岸到峭壁 的距离。乙站在岸边，甲站在距峭壁较远处，甲、乙连 线与峭壁垂直，甲、乙间距50 m，现甲放一枪，乙测出 所听两次枪声的时间差为4 s，求河岸到峭壁的距离。 （设声音的传播速度为340 m/s）
解：两次枪声的时间差为4 s即为声音经由乙处再从峭壁 反射回到乙处的时间，这段时间内声波传播的总路程 s=vt=340 m/s×4 s=1 360 m，河岸到峭壁的距离s′=
s 1360m =680 m。 22
答：河岸到峭壁的距离为680 m。
重点4：噪声的危害与控制
重点分析：（1）噪声是根据人的感觉划分的，并未有 明显界限。判定声音是否属于噪声要把握两点：一是 从物理学的角度看发声体的振动有没有规则，二是从 环境保护的角度看听者是否需要。（2）噪声的控制从 三方面着手，即防止噪声产生、阻断噪声传播、防止 噪声进入耳朵。
实验设计隐含的物理方法是比较法和_____控__制__变__量法。 钢尺振动产生的声音通过__________传入人耳，引起 鼓膜__________，人便听到声音空。气 实验中当钢尺振伸动出桌面的部分超过 一定长度时，无论如何用力拨动也听 不到声音。原因是________________ __________________钢__尺__振__动__得__太__慢_。， 产生的是次声波，人耳无法听到
第二章整式的加减章末复习
第二章 整式的加减复习课一、知识框架⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧整式的加减运算法则：去括号法则：合并同类项：同类项：整式的加减次数：定义：多项式次数：系数：定义：单项式整式整式的加减 二、基础知识巩固1、单项式的定义： ；单项式的系数 ，单项式的次数2、多项式的定义 ；多项式的次数3、整式的定义：4、填表：5、如果y mx n -是关于x ，y 的一个单项式，且系数为3，次数为4，那么=m ，=n6、已知()132+-m y x m 是关于x ，y 的六次单项式，字母m 的值为7、（1）如果多项式1222-+-x b a m 是一个四次三项式，那么=m（2）请写出y x xy y x 3244821-+-的项 ， 并将其按x 的次数由大到小排列为8、已知多项式63313212+-+-+x xy y x m 是六次四项式，单项式223y x n 的次数与这个多项式的次数相同.求n m +的值.9、同类项的定义： ；10、如果213b a x +与y b a 237-是同类项，那么=x ；=y11、合并下列各式的同类项：（1）2251xy xy -; （2）222234234b a ab b a --++12、若52=-b a ，则多项式b a 36-的值是13、化简下列各式：（1）()()6323533----m m ； （2）()()y x y x 42332-+-；（3）()()222223223x y y x ---；（4）()()()22222234226b ab a b ab a b a +--++---14、一个三角形的第一条边长为()b a +2cm ，第二条边长比第一条边长()b a +cm ，第三条边比第二条边的2倍少b cm ，求这个三角形的周长。
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 章末复习课
学习目标 1.构建知识网络；2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆；3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．[知识网络][知识梳理]1．分数指数幂(1)mna＝a>0，m，n∈N*，且n>1.(2)-1mnmnaa＝：a>0，m，n∈N*，且n>1.2．根式的性质(1)(na)n＝a.(2)当n 为奇数时，na n ＝a ； 当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.3．指数幂的运算性质 (1)a r ·a s ＝a r ＋s ：a >0，r ，s ∈R .(2)(a r )s ＝a rs ：a >0，r ，s ∈R . (3)(ab )r ＝a r b r ：a >0，b >0，r ∈R . 4．指数式与对数式的互化式 log a N ＝b ⇔a b ＝N ：a >0，a ≠1，N >0. 5．对数的换底公式log a N ＝log m Nlog m a：a >0，且a ≠1，m >0，且m ≠1，N >0.推论：log log m n a a b b ＝： a >0，且a ≠1，m ，n >0，且m ≠1，n ≠1，b >0. 6．对数的四则运算法则 若a >0，a ≠1，M >0，N >0，则 (1) log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．类型一 指数、对数的运算提炼化简方向：根式化分数指数幂，异底化同底． 化简技巧：分与合．注意事项：变形过程中字母范围的变化．例1 化简：()29321)-⨯ ()5log 33333222log 2log log 825.9－＋－ 解 (1)原式2239533222(2)(10)10⨯÷－＝511312221010210⨯⨯⨯－－－＝＝(2)原式52log 333332log 4log log 859＝－＋－ 5log 939log (8)532⨯⨯＝４－ ＝log 39－9＝2－9＝－7.反思与感悟 指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．跟踪训练1 计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________． 答案 111解析 ∵log 32×log 2(log 327)＝log 32×log 23 ＝lg 2lg 3×lg 3lg 2＝1， ∴原式31234422231⨯⨯＝＋＋＝21＋4×27＋1＝111. 类型二 数的大小比较 例2 比较下列各组数的大小： (1)27,82；(2)log 20.4，log 30.4，log 40.4. 解 (1)∵82＝(23)2＝26，由指数函数y ＝2x 在R 上单调递增知26<27即82<27. (2)∵对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41＝0. 又幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数， ∴1log 0.42<1log 0.43<1log 0.44， 即log 20.4<log 30.4<log 40.4.反思与感悟数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．跟踪训练2比较下列各组数的大小：(1)log0.22，log0.049；(2)a1.2，a1.3；(3)0.213,0.233.解(1)∵log0.049＝lg 9lg 0.04＝lg 32lg 0.22＝2lg 32lg 0.2＝lg 3lg 0.2＝log0.23.又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.(2)∵函数y＝a x(a>0且a≠1)，当底数a大于1时在R上是增函数；当底数a小于1时在R 上是减函数，而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2<a1.3；当0<a<1时，有a1.2>a1.3.(3)∵y＝x3在R上是增函数，且0.21<0.23，∴0.213<0.233.类型三指数函数、对数函数、幂函数的综合应用例3已知函数f(x)＝lg 1＋2x＋a·4x3在x∈(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．解因为f(x)＝lg 1＋2x＋a·4x3在(－∞，1]上有意义，所以1＋2x ＋a ·4x >0在(－∞，1]上恒成立． 因为4x >0，所以a >－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈(－∞，1]． 由y ＝－⎝⎛⎭⎫14x与y ＝－⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上均为增函数，可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝－⎝⎛⎭⎫14＋12＝－34. 因为a >－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上恒成立， 所以a 应大于g (x )的最大值，即a >－34.故所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究． 跟踪训练3 函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]． ∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4. ∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4. 由log a 4＝－2，得a －2＝4，1214.2a -∴＝＝.1．化简2lg (lg a 100)2＋lg (lg a )为( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 B解析 2lg (lg a 100)2＋lg (lg a )＝2lg (100·lg a )2＋lg (lg a )＝2[lg 100＋lg (lg a )]2＋lg (lg a )＝2.2．函数13y x ＝的图象是( )答案 B解析 ∵0＜13＜1.∴在第一象限增且上凸，又13y x ＝为奇函数，过(1,1)，故选B.3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与函数()12log g x x ＝在区间(－∞,0)上的单调性为( )A ．都是增函数B ．都是减函数C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数 答案 D解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在x ∈(－∞，0)上为减函数，()12log g x x ＝为偶函数，x ∈(0，＋∞)时()12log g x x ＝为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数．4．已知322P －＝， Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是( ) A ．P ＜Q ＜R B ．Q ＜R ＜P C ．Q ＜P ＜R D ．R ＜Q ＜P答案 B解析 由函数y ＝x 3在R 上是增函数知，⎝⎛⎭⎫253＜⎝⎛⎭⎫123， 由函数y ＝2x 在R 上是增函数知，3332122()2－－＞＝， 所以P ＞R ＞Q .5．函数2111()2x y +＝的值域为( )A ．(－∞，1) B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎣⎡⎭⎫12，1 D.⎣⎡⎭⎫12，＋∞答案 C解析 因为x ∈R,0＜1x 2＋1≤1，所以2111()2x y +＝≥⎝⎛⎭⎫121＝12且2111()2x y +＝＜⎝⎛⎭⎫120＝1， 所以y ∈⎣⎡⎭⎫12，1.1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题． 2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．一、选择题1．函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0]∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1＜x ≤2，且x ≠0.即x ∈(－1,0)∪(0,2]．2．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝22x -B ．y ＝1－2xC ．y ＝x 2＋x ＋1 D ．y ＝311x +答案 A 解析 A 中，y ＝22x -＝⎝⎛⎭⎫22x的值域为(0，＋∞)． B 中，因为1－2x ≥0，所以2x ≤1，x ≤0， y ＝1－2x 的定义域是(－∞，0]，所以0＜2x ≤1，所以0≤1－2x ＜1， 所以y ＝1－2x 的值域是[0,1)．C 中，y ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. D 中，因为1x ＋1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y ＝31x ＋1的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．3．已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图象是( )答案 C解析 因为f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，所以f (x )＝2x ，所以y ＝f (1－x )＝21－x ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，其函数图象可由函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象向右平移1个单位长度得到，故选C. 4．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43 C.⎣⎡⎭⎫0，32 D.[1,2)答案 D解析 方法一 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x ≤1，即1≤x ＜2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D.方法二 f (x )＝|ln(2－x )|的图象如图．由图象可得，函数f (x )在区间[1,2)上为增函数，故选D.5．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |答案 C解析 A 项，y ＝1x 是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 为非奇非偶函数，故不正确；C ，D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C. 6．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称答案 D解析 ∵f (x )＝4x ＋12x ＝2x ＋12x ＝2x ＋2－x ，∴f (－x )＝2－x ＋2x ＝2x ＋2－x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．7．设f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ，b ＝f ，c ＝f (－2)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞b D ．c ＞b ＞a答案 C解析 因为1＝log 22＜log23＜log 22＝2,0＜log32＜log33＝1，所以log32＜log23＜2.因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以f (log32)＜f (log23)＜f (2)．因为f (x )是偶函数， 所以a ＝f ＝f (－log 23)＝f (log23)，b ＝f ＝f (－log 32)＝f (log32)，c ＝f (－2)＝f (2)． 所以c ＞a ＞b . 二、填空题8．已知a 12＝49(a ＞0)，则23log a ＝________.答案 4解析 ∵a 12＝49(a ＞0)，∴(a 12)2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2322，即a ＝⎝⎛⎭⎫234， ∴log 23a ＝log 23⎝⎛⎭⎫234＝4.9．若函数y ＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－8，－6]解析 令g (x )＝3x 2－ax ＋5，其对称轴为直线x ＝a 6.依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 6≤－1，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－6，a ＞－8.10．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，14解析 由图象可知，点A (x A,2)在函数y ＝x 的图象上，所以2＝x A ，x A ＝⎝⎛⎭⎫222＝12.点B (x B,2)在函数y ＝x 12的图象上，所以2＝x 12B ，x B ＝4.点C (4，y C )在函数y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图象上，所以y C ＝⎝⎛⎭⎫224＝14. 又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，14. 三、解答题11．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，求lg(ab )·⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值． 解 ∵lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，∴lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝12，∴(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝4－2＝2，∴lg(ab )·⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a ＋lg b )·(lg a －lg b )2 ＝2×2＝4.12．已知函数f (x )＝222x x a ＋＋ (－2≤x ≤2)． (1)写出函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值为64，求f (x )的最小值． 解 (1)令t ＝x 2＋2x ＋a ，则其对称轴x ＝－1， ∴t ＝x 2＋2x ＋a 在[－2，－1]上单调递减， 在[－1,2]上单调递增，又y ＝2t 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f (x )的增区间为[－1,2]，减区间为[－2，－1]． (2)由(1)知f (x )max ＝f (2)＝22222a ⨯＋＋＝28＋a . ∴28＋a ＝64＝26， ∴8＋a ＝6，a ＝－2，∴f (x )min ＝f (－1)＝2(－1)2＋2×(－1)－2＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243ax x －＋. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243x x －－＋， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.。
第二章 声现象+章末复习+课件+2024-2025学年物理人教版八年级上册
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3.声速 (1)定义:声音传播的距离和所用的时间之比叫作__声__速__。 (2)影响因素:声速的大小跟传播介质的_种__类___和__温__度__有关, 声音在不同介质中的传播速度__不__同__,15 ℃空气中的声速是 __3_4_0__m_/_s______。 (3) 通 常 情 况 下 , 声 音 在 __固__体__ 中 传 播 最 快 ,_液__体___ 中 次 之 , __气__体__中最慢。
第二章 声现象 章末复习
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一、 声音的产生与传播 1.声音的产生 (1)产生:声音是由物体的__振__动__产生的。 (2) 特 点 : 一 切 正 在 发 声 的 物 体 都 在 振 动 , 振 动 __停__止__, 发 声 也 __停__止__。 2.声音的传播 (1)传播形式:声音以波的形式传播,人们把它叫作__声__波__。 (2) 传 播 介 质 : 声 音 的 传 播 需 要 介 质 , 它 可 以 在 ___固__体____ 、 ___液__体____和____气__体___中传播,真空__不__能__传声。
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3.音色 (1)定义:声音的特色。 (2)影响因素:发声体的__材__料__、_结__构___及发声方式不同,音色 不同。
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三、声的利用 1.声与信息:使用灵敏的声学仪器接收__次__声__波__信息,可以确定 地震、台风、核爆炸发生的方位及强度。 2.声与能量:利用__超__声__波__产生的振动可以清洗物体、除去人 体内的结石。
新人教版高中数学必修第一册第二章章末复习课
D.(a－b)x<(a－b)y
当a≠0时，|a|>0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向 不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y， 故|a|x≥|a|y.
反思感悟
不等式及其性质的两个关注点 (1)作差法是比较两个实数大小的基本方法. (2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条 件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法.
例2 (1)若0<x<2，则x(2－x)的最大值是
√ 3
1
A.2 B.2 C.1 D.2
因为0<x<2， 所以 2－x>0，x(2－x)≤x＋22－x2＝1， 当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立.
所以x(2－x)的最大值为1.
(2)若 x>0，则 x＋2x＋2 1－32的最小值是__0___.
跟踪训练4 已知x>0，y>0，且 x＋2 1＋1y＝2，若x＋2y>m2－3m－1恒成立，则实
数m的取值范围是 A.m≤－1或m≥4
√C.－1<m<4
B.m≤－4或m≥1 D.－4<m<1
由x＋2 1＋1y＝2 得 2y＋x＋1＝2(x＋1)y，所以 x＋1＝2xy，所以 2y＝1＋1x， 所以 x＋2y＝x＋1x＋1≥2 x·1x＋1＝3，当且仅当 x＝1，y＝1 时，等号成立， 所以(x＋2y)min＝3， 所以x＋2y>m2－3m－1恒成立，可化为3>m2－3m－1，即m2－3m－ 4<0， 解得－1<m<4.
跟踪训练3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1；
七年级-人教版(2024新版)-数学-上册-【教学设计】初中数学-七年级上册-第二章--章末复习
章末复习 1．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算． 2．理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算．3．能运用有理数的运算解决简单的问题．有理数的混合运算．准确地掌握有理数混合运算的运算顺序和运算中的符号问题．复习导入请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！1．引入负数后，减法中哪些原来不能进行的运算可以进行了？2．有理数的加法与减法、乘法与除法各有什么关系？有理数的混合运算都能转化为加法与乘法运算吗？3．有理数有哪些运算律？结合例子说明运算律在有理数运算中的作用．【设计意图】以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望．要点复习考点一 有理数的运算 【例1】21133838⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】解：方法一：21133838⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21133838=-+- 教学目标 教学重点 教学难点 教学过程1638924242424=-+- 12=． 方法二：21133838⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21133838=-+- 21133388⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112=- 12=． 【例2】()2253139⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 【答案】解：方法一：()2253139⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 55939⎛⎫=⨯-- ⎪⎝⎭ 155999⎛⎫=⨯-- ⎪⎝⎭ 2099⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭20=-．方法二：()2253139⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 55939⎛⎫=⨯-- ⎪⎝⎭ 559939=-⨯-⨯ 155=--20=-．【例3】2222413233⎡⎤⎛⎫---⨯-÷⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 【答案】解：2222413233⎡⎤⎛⎫---⨯-÷⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 4411334⎛⎫=----⨯ ⎪⎝⎭ 81134⎛⎫=---⨯ ⎪⎝⎭213⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 213=-+ 13=-． 【归纳】在有理数的运算中，巧妙地运用运算技巧可以有效地简化一些具有特殊结构形式的计算题，具体技巧如下：（1）运用加法交换律和结合律将一些特殊的加数先结合在一起运算，例如，相反数、相同符号的数、分母相同或易通分的分数等．（2）运用乘法运算律将一些特殊的乘数先结合在一起运算，例如，互为倒数的两数或能约分的数等．【设计意图】通过例1，检测学生对有理数的加减法和有理数的加法运算律的理解，掌握有理数加法的一般步骤；通过例2，检测学生对有理数的乘法法则和乘法运算律的理解，并能准确进行计算；通过例3，检测学生对有理数的混合运算的理解，明确混合运算的运算顺序．【跟踪训练1】3777148128⎛⎫⎛⎫--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】解：3777148128⎛⎫⎛⎫--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 777848127⎛⎫⎛⎫=--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7878784787127=-⨯+⨯+⨯ 2213=-++ 13=-． 【跟踪训练2】()4946111320.24911235⎡⎤⎛⎫⎛⎫-÷⨯-⨯-⨯-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【答案】解：()4946111320.24911235⎡⎤⎛⎫⎛⎫-÷⨯-⨯-⨯-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 9461111814911655⎡⎤⎛⎫=÷⨯-⨯⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 9411814955⎛⎫=÷⨯--+ ⎪⎝⎭ 4481099=⨯⨯- 16=．考点二 科学记数法【例4】地球绕太阳每小时转动经过的路程大约为11万米，将11万用科学记数法表示为（ ）．A ．11×104B ．0.11×107C ．1.1×106D ．1.1×105【答案】D【解析】11万＝110 000，110 000共有6位整数，故10的指数为5，即110 000＝1.1×105．【归纳】如何应用科学记数法表示带计数单位的数？应用科学记数法表示带计数单位的数的关键是单位换算，并把换算后的数用科学记数法表示成a ×10n 的形式，a 应满足1≤a ＜10，n 应比原数的整数位数少1．【设计意图】以基础题目或常见题目为主，主要考查学生对科学记数法的掌握和运用，要求所有的同学熟练掌握．【跟踪训练3】用科学记数法表示－1 304 000，应记作______________．【答案】－1.304×106【跟踪训练4】水星和太阳的平均距离约为5 790万千米，用科学记数法表示为___________千米．【答案】5.79×107考点三近似数【例5】按要求用四舍五入法对0.050 19分别取近似值，其中错误的是（）．A．0.1（精确到0.1）B．0.05（精确到千分位）C．0.05（精确到百分位）D．0.050 2（精确到0.000 1）【答案】B【例6】由四舍五入法得到的近似数2.349×105精确到_________位，如果精确到万位，得到的结果是__________．【答案】百 2.3×105【归纳】（1）对带计数单位或用科学记数法表示的数，只看最后一位在哪一位上，即可确定其精确度．（2）求大数的近似数时，按要求先找到要求精确到的那一数位上的数字，再看下一位上的数字是否够5，最后按四舍五入法取近似数．【设计意图】通过确定较大数的精确度，让同学们对精确度的确定有一个明确的认识，同时结合科学记数法的训练，培养学生解决问题的能力．【跟踪训练5】下列用四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？（1）83.8；（2）0.302；（3）8.7万；（4）5×106；（5）9.0×107．【答案】解：（1）83.8精确到十分位；（2）0.302精确到千分位；（3）8.7万精确到千位；（4）5×106精确到百万位；（5）9.0×107精确到百万位．课堂小结板书设计一、有理数的运算二、科学记数法三、近似数课后任务完成教材P61~62复习题．教学反思_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________。
第二章 一元二次方程 word版习题-习题-章末复习(二)54
章末复习(二) 一元二次方程基础题知识点1 一元二次方程的概念及解 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．x 2＋2x －y ＝3 B.3x －1x 2＝23 C ．(3x 2－1)2－3＝0D.5x 2－8＝ 32．方程x 2－4x －7＝0必有一个解满足( ) A ．－1＜x ＜0 B ．－2＜x ＜－1 C ．0＜x ＜3 D ．3＜x ＜43．根据下表得知，方程x 2＋2x －10＝0的一个近似解为x ≈________．(结果精确到0.1)x … －4.1 －4.2 －4.3 －4.4 －4.5 －4.6 … y ＝x 2 ＋2x －10…－1.39－0.76－0.11******…4.已知x ＝－1是关于x 的方程－2x 2－ax ＋a 2＝0的一个根，求a 的值．知识点2 解一元二次方程5．用配方法解方程x 2＋10x ＋9＝0，配方后可得( ) A ．(x ＋5)2＝16 B ．(x ＋5)2＝1 C ．(x ＋10)2＝91 D ．(x ＋10)2＝1096．方程(x －5)(x ＋2)＝1的解为( ) A ．5 B ．－2C ．5和－2D ．以上结论都不对 7．用恰当的方法解下列一元二次方程： (1)x 2－10x ＋25＝7；(2)x 2－5x ＋2＝0；(3)(x＋2)(x－1)＝2－2x；(4)(2x＋3)2＝x2－6x＋9.知识点3一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系8．(滨州中考)一元二次方程4x2＋1＝4x的根的情况是( )A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根9．(荆门中考)已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x21＋x22＝4，则m的值为________．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－2 019＝0的两根，求(m＋1)(n＋1)的值．知识点4一元二次方程的应用11．要用一条长24 cm的铁丝围成一个斜边长是10 cm的直角三角形，则两直角边的长分别为( )A．4 cm，8 cm B．6 cm，8 cmC．4 cm，10 cm D．7 cm，7 cm12．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2013年用于绿化的投资是20万元，2015年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为________________．13．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图1)的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图2)，使整个挂图的面积是80平方分米，设金色纸边宽为x分米，可列方程为____________．14．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打________场比赛，比赛总场数用代数式表示为________．根据题意，可列出方程________________．整理，得______________．解这个方程，得______________．合乎实际意义的解为________．答：应邀请________支球队参赛．15．如图，小明将一根长为1.4米的竹条截为两段，并互相垂直固定，作为风筝的龙骨，制作成了一个面积为0.24米2的风筝，请你计算一下将竹条截成长度分别为多少的两段？中档题16．对于方程(x－1)(x－2)＝x－2，下面给出的说法不正确的是( )A．与方程x2＋4＝4x的解相同B．两边都除以x－2，得x－1＝1，可以解得x＝2C．方程有两个相等的实数根D．移项、分解因式，得(x－2)2＝0，可以解得x1＝x2＝217．用一条长为60 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( )A．240 B．225 C．60 D．3018．如果关于x的方程x2－ax＋a2－3＝0至少有一个正根，则实数a的取值范围是( )A．－2＜a＜2 B.3＜a≤2C．－3＜a≤2 D．－3≤a≤219．当m＝________时，关于x的方程(m－2)xm2－2＋2x－1＝0是一元二次方程．20．(台州中考)关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是________(填序号)．21．用恰当的方法解下列一元二次方程：(1)3x2－6x＋2＝0；(2)x2－2(x＋4)＝0；(3)x2－1＝4(x＋1)．22．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2－4x＋5m＝mx＋5与x2＋2x＋m－1＝0互为“友好方程”，求m的值．23．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？24．(梅州中考)已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．25．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2 cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2?综合题26．实验与操作：小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为4 cm的正方体．(1)如图1所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为 1 cm的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为________cm2；(2)如果在第(1)题打孔后，再在正面中心位置(如图2所示)从前到后打一个边长为1 cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为________cm2；(3)如果把(1)、(2)中的边长为1 cm的通孔均改为边长为a cm(a≠1)的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为118 cm2？如果能，求出a，如果不能，请说明理由．参考答案基础题1．D 2.B 3.－4.34.把x ＝－1代入－2x 2－ax ＋a 2＝0，得－2×(－1)2－(－1)a ＋a 2＝0， 整理，得a 2＋a －2＝0.解得a 1＝－2，a 2＝1.∴a 的值为－2或1. ** 6.D7.(1)(x －5)2＝7，x －5＝±7，∴x 1＝5＋7，x 2＝5－7.(2)a ＝1，b ＝－5，c ＝2，∵Δ＝25－8＝17＞0，∴x ＝5±172.∴x 1＝5＋172，x 2＝5－172.(3)(x ＋2)(x －1)＋2(x －1)＝0，(x －1)(x ＋4)＝0， ∴x －1＝0或x ＋4＝0.∴x 1＝1，x 2＝－4.(4)∵(2x ＋3)2＝(x －3)2，∴2x ＋3＝x －3或2x ＋3＝3－x.解得x 1＝－6，x 2＝0. ** 9.－1或－310.根据题意得m ＋n ＝2，mn ＝－2 019，原式＝mn ＋m ＋n ＋1＝－2 019＋2＋1＝－2 016.** 12.20(1＋x)2＝25 13.(2x ＋6)(2x ＋8)＝80 14.(x －1) x(x －1) x(x －1)＝28 x2－x ＝28 x1＝8，x2＝－7 x ＝8 815.设将竹条截成长度分别为x 米和(1.4－x)米的两段，根据题意得12x(1.4－x)＝0.24，解得x 1＝0.6，x 2＝0.8.当x 1＝0.6时，1－x ＝0.8；当x 2＝0.8时，1－x ＝0.6. 答：将竹条截成长度分别为0.6米和0.8米的两段． 中档题16．B 17.A 18.C 19.－2 20.①③21.(1)∵b 2－4ac ＝(－6)2－4×3×2＝12，∴x ＝6±122×3.∴x 1＝3＋33，x 2＝3－33.(2)x 2－2x －8＝0，x 2－2x ＝8，x 2－2x ＋1＝9，∴(x －1)2＝9.∴x －1＝±3.∴x 1＝－2，x 2＝4. (3)移项，得(x ＋1)(x －1)－4(x ＋1)＝0.分解因式，得(x ＋1)(x －1－4)＝0.∴x ＋1＝0或x －1－4＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5. **－4x ＋5m ＝mx ＋5，整理，得x2－(4＋m)x ＋5(m －1)＝0. 分解因式，得(x －5)[x －(m －1)]＝0.解得x 1＝5，x 2＝m －1. 当x ＝5时，25＋52＋m －1＝0，解得m ＝－24－5 2.∴m －1＝－25－52，此时方程x 2＋2x ＋m －1＝0为x 2＋2x －25－52＝0. 解得x 1＝5，x 2＝－5－ 2.∵－5－2≠－25－52，∴m ＝－24－52符合题意．当x ＝m －1时，(m －1)2＋2(m －1)＋m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－ 2.当m ＝1时，m －1＝0，此时方程x 2＋2x ＋m －1＝0为x 2＋2x ＝0.解得x 1＝－2，x 2＝0.∵－2≠5，∴m ＝1符合题意．当m ＝－2时，m －1＝－2－1，此时方程x 2＋2x ＋m －1＝0为x 2＋2x －2－1＝0.解得x 1＝1，x 2＝2－1.∵1≠5，∴m ＝－2符合题意．所以m 的值为－24－52或1或－ 2.23.(1)设每次降价的百分率为x ，由题意，得40×(1－x)2＝32.4.解得x 1＝10%，x 2＝190%(不符合题意，舍去)．答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%.(2)设每件商品应降价y 元，由题意，得(40－30－y)(y0.5×4＋48)＝512.解得y 1＝y 2＝2.答：每天要想获得512元的利润，每件应降价2元． 24.(1)∵b 2－4ac ＝22－4×1×(a －2)＝12－4a ＞0，解得a ＜3. ∴a 的取值范围是a ＜3.(2)设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 1＝－2，1·x 1＝a －2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，x 1＝－3.则a 的值是－1，该方程的另一根为－3.25.过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠QEB ＝90°.∵∠ABC ＝30°，∴QE ＝12QB.∴S △PQB ＝12PB ·QE.设经过t 秒后△PBQ 的面积等于4 cm 2，则PB ＝6－t ，QB ＝2t ，QE ＝t.根据题意，得12(6－t)·t ＝4，即t 2－6t ＋8＝0.解得t 1＝2，t 2＝4.当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意，舍去，所以t ＝2.答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4 cm 2. 综合题 26．(1)110 (2)118 (3)能使橡皮泥块的表面积为118 cm 2，理由：∵S 1＝96－2a 2＋4a ×4，S 2＝S 1－4a 2＋4×4a －4a 2，∴96－2a 2＋16a －8a 2＋16a ＝118.解得a 1＝115，a 2＝1.∵a ≠1，115＜4，∴当边长改为115cm 时，表面积为118 cm 2.。
第二章 有理数的运算章末复习(课件)人教版(2024)数学七年级上册
乘方
求 n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方. 负数的奇次幂是负数. 负数的偶次幂是正数. 正数的任何次幂都是正数. 0 的任何正整数次幂都是 0.
混合运算
先乘方，再乘除，最后加减； 同级运算，从左到右进行； 如有括号先做括号内的运算， 按小括号、中括号、大括号依次进行.
运算律
加法交换律：a + b = b + a 加法结合律：(a + b)+ c = a + (b + c) 乘法交换律：ab = ba 乘法结合律：(ab)c = a(bc) 分配律：a(b + c) = ab + ac
( 1 1 7 ) (12) 3 6 12
= -4-2 + 7
= 1；
（4）12032 + (1 1 )3 3 0.25 3 | ；
24
8
原式
=
1 27 4 1 3 | 8 3 48
= 1 9 1
28
=
45 8
；
（5）1
1 2
3
(
2 )2 3
1
1 2
(2)2
.
原式
=
3 3 4 1 1 4
5. 云南省矿产资源极为丰富，被誉为“有色金属王国”.
锂资源方面，滇中地区被中国科学院地球化学研究所探
明拥有氧化锂资源达 340 000 t. 340 000 用科学记数法可
以表示为（ C ）
A. 340×104
B. 34×105
C. 3.4×105
D. 0.34×106
6. 北京大兴国际机场被誉为“新世界七大奇迹之一”. 其旅客航站楼及停车楼是目前国内单体面积最大的绿 色建筑，每年可减少二氧化碳排放约 2.2 万吨. 2.2 万
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点评
立体几何的证明，我们要牢牢抓住“转化”这
一思想，线与线，线与面，面与面之间的垂直与平行 都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直 的判定定理、性质定理等．
变式训练 3 如图所示，在四棱锥 P —A B C D 中，底面 A B C D 是正方形，侧棱 P D ⊥底 面 A B C D ，P D = D C ，E 是 P C 的中点，过 E 点作 E F ⊥P B 交 P B 于点 F . 求证： (1)P A ∥平面 E D B ； (2)P B ⊥平面 E F D .
例 1 如图所示，空间四边形 A B C D 中， E ，F 分别为 A B ，A D 的中点，G ， H 分别在 B C ，C D 上，且 B G ∶G C = D H ∶H C = 1∶2. 求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面； (2)G E 与 H F 的交点在直线 A C 上．
证明
证明 连接 C D 1、A D 1，
∵P 、Q 分别是 C C 1、C 1D 1 的中点， ∴P Q ∥C D 1，且 C D 1⊄平面 B P Q ， ∴C D 1∥平面 B P Q .
又 D 1Q = A B= 1，D 1Q ∥A B ， ∴四边形 A B Q D 1 是平行四边形， ∴A D 1∥B Q ，且 A D 1⊄ 平面 B P Q ， ∴A D 1∥平面 B P Q . 又 A D 1∩ C D 1= D 1，∴平面 A C D 1∥平面 B P Q ， ∵A C ⊂平面 A C D 1，∴A C ∥平面 B P Q .
∵A B C D - A 1B 1C 1D 1 为正方体， ∴A C ⊥B D . 又 C C 1⊥面 A B C D ， ∴A C 为 A C 1 在面 A B C D 上的射影． ∴A C 1⊥B D .
同理可证 A C 1⊥A 1B . ∴A C 1⊥平面 A 1B D . 同理可证 A C 1⊥平面 P M N . ∴平面 P M N ∥平面 A 1B D .
变式训练 1 正方体 A B C D - A 1B 1C 1D 1 中，对角线 A 1C 与平面 B D C 1 交于点 O ，A C 、B D 交于点 M ， 求证：C 1、O 、M 三点共线． 证明 如图，∵A A 1∥C C 1，
∴A A 1、C C 1 确定一个平面 A 1C ， 显然有 A 1C ⊂平面 A 1C ， 又∵A 1C ∩平面 B C 1D = O ， A C ∩B D = M ， ∴点 C 1、O 、M 三点在平面 A 1C 内，也在平面 B C 1D 内，从而 C 1、O 、M 三点都在这两个平面的交线上， 即 C 1、O 、M 三点共线．
点、直线、平面 之间的位置关系
判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行 直线与平面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平行 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 直线与平面之间的位置关系 直线与平面垂直则该直线与此平面垂直 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 直线与平面所成的角 ，90° ] 范围：[0°
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)； ④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l ⇒a⊥α)； ⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)； ⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒ l⊥γ)． (3)面面垂直的判定方法有： ①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为 90° )； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
2．垂直关系的转化是：
例 3 如图所示，在四棱锥 P — A B C D 中，侧面 P A D 是正三 角形，且与底面 A B C D 垂直， 底面 A B C D 是边长为 2 的菱形， ∠B A D = 60°，N 是 P B 的中点， 过 A ，D ，N 的平面交 P C 于 M ， E 为 A D 的中点．求证： (1)E N ∥平面 P D C ； (2)B C ⊥平面 P E B ； (3)平面 P B C ⊥平面 A D M N .
EG 面ABC HF 面ACD ⇒M ∈面 A B C 且 M ∈面 A C D
⇒M 在面 A B C 与面 A C D 的交线上 ⇒M ∈A C . ∴G E 与 H F 的交点在直线 A C 上． 点评 证明线共点、点共线、线共面问题，重要是应
用平面的基本性质，先证部分元素共点、共线、共面， 再利用公理 1,2,3 证明其他元素也具有这个性质，要 熟练地掌握这三个公理．
三、垂直问题 1．空间垂直关系的判定方法： (1)判定线线垂直的方法有： ① 计算所成的角为 90° (包括平面角和异面直线所 成的角 )； ②线面垂直的性质 (若 a⊥α，b⊂α，则 a⊥b)； ③ 面面垂直的定义：若两平面垂直，则两平面相 交形成的二面角的平面角为 90° . (2)判定线面垂直的方法有： ①线面垂直定义 (一般不易验证任意性 )； ②线面垂直的判定定理 (a⊥ b， a⊥ c， b⊂α， c⊂ α， b∩ c＝ M⇒ a⊥α )；
证明 (1)如图所示，连接 A C ，
A C 交 B D 于 O ，连接 E O . ∵底面 A B C D 是正方形， ∴点 O 是 A C 的中点．
(1)∵B G ∶G C = D H ∶H C ，
∴G H ∥B D ，又 E F ∥B D ，∴E F ∥G H ， ∴E 、F 、G 、H 四点共面．
(2)∵G ，H 不是 B C 、C D 的中点，∴E F ≠G H 又 E F ∥G H ， ∴E G 与 F H 不平行，则必相交，设交点为 M .
A1B1C1D1 中，M、N、P 分别是 C1C、B1C1、C1D1 的中点． 求证：(1)AP⊥MN； (2)平面 MNP∥平面 A1BD.
证明 (1)连接 B C 1、B 1C 、A P ， 则 B 1C ⊥B C 1， B C 1 是 A P 在面 BB 1C 1C 上的射影． ∴A P ⊥B 1C . 又 B 1C ∥M N ，∴AP ⊥M N . (2)方法一 连接 B 1D 1. ∵P 、N 分别是 D 1C 1、B 1C 1 的中点，∴P N ∥B 1D 1.
空间平行关系的相互转化 直线与直线平行 平面与平面平行 空间垂直关系的相互转化 直线与直线垂直 平面与平面垂直 直线与平面垂直 直线与平面平行
热点剖析
一、共点、共线、共面问题 1． 关于多点共线问题往往需证明这些点在某两个平面 的交线上． 2． 多线共点问题的证明往往让其他线都过某两条线的 交点． 3． 多点共面问题的证明往往让其他点在某三点或四点 确定的平面上． 4． 多线共面问题的证明往往让其他线在某两条直线确 定的平面内．
③判定定理的推论(若 a∥a′，b∥b′，a⊂α，b⊂α 且 a∩b＝A，a′⊂β，b′⊂β，且 a′∩b′＝A′， 则α∥β)； ④线面垂直性质定理(若 a⊥α，a⊥β，则 α∥β)； ⑤平面平行的性质(传递性：α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．
2．平行关系的转化是：
例2
如图所示，在正方体 ABCD－
又 B 1D 1∥B D ，∴P N ∥B D . 又 P N ⊄平面 A 1B D ，B D ⊂平面 A 1B D ， ∴P N ∥平面 A 1B D . 同理 M N ∥平面 A 1B D . 又 P N ∩M N = N ，∴平面 P M N ∥平面 A 1B D . 方法二 连接 A C 1，如图．
二、平行问题 1．空间平行关系的判定方法： (1)判定线线平行的方法． ①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合 反证法 )； ②利用平行公理 4； ③利用线面平行性质定理； ④利用线面垂直的性质定理(若 a⊥α，b⊥α，则 a∥ b)； ⑤利用面面平行性质定理(若α ∥β，α∩γ＝ a， β∩ γ＝ b，则 a∥ b)．
点、直线、平面 之间的位置关系
判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行 平面与平面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线平行 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 平面与平面之间的位置关系 平面与平面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直 二面角的平面角 二面角 范围：[0° ，180° ]
点评
(2) 的证明体现了证明面面平行的两种常用的
方法，解决此类问题关键是选择或添加适当的辅助线 (或面)，使问题得以转化． 证明两个平面平行常用的方法是利用判定定理转化为 证明线面平行，进而可转化为证明有关线线平行，或 者是“利用垂直于同一直线的两个平面平行”来证．
变式训练 2 如图所示，直四棱柱 A B C D - A 1B 1C 1D 1 的底面是梯形， A B ∥C D ，A D ⊥D C ，C D = 2， D D 1= A B = 1，P 、Q 分别是 C C 1、 C 1D 1 的中点． 求证：A C ∥平面 B P Q .
章末复习课
知识结构
点、直线、平面 之间的位置关系
平面的概念及其表示 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 平面 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 平面的性质公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线 定义：不同在任何一个平面内的两条直线 定义 直线与直线之异面直线异面直线所成的角 ，90° ] 间的位置关系 范围：0° 相交直A B C D 为边长为 2 的菱形，且∠B A D = 60°， 所以 B E ⊥A D . 又因为 P E ⊥A D ，P E ∩B E = E ， 所以 A D ⊥平面 P E B . 因为 A D ∥B C ，所以 B C ⊥平面 P E B . (3)由(2)知 A D ⊥P B . 又因为 P A = A B 且 N 为 P B 的中点， 所以 A N ⊥P B ，又 A D ∩A N = A ， 所以 P B ⊥平面 A D M N . 又 P B ⊂平面 P B C ，所以平面 P B C ⊥平面 A D M N .