§2.4 差商与Newton插值公式

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计算方法 Newton插值

或者表示成
f[x0 , x1..., xn]
n k0
f(xk ) , ω(xk )
其中ω(xk
)
n
(xk
i0
xi)
ik
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi ) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。
这种求解差商的方法的优点是直接使用公式，缺点是计算量较大。
计算方法 (Numerical Analysis)
第2次 Newton 插值
1. 牛顿插值多项式的概念 2. 差商及其性质 3. 牛顿插值多项式的系数与误差余项的导出 4. 利用牛顿插值多项式近似求解的例子
牛顿插值多项式的概念
§3 均差与牛顿插值多项式
拉格朗日插值多项式的优点与缺点
➢ 优点：结构对称，使用方便。
无x n ,将出现在系数中（3.12）
其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数。
它满足以下的递推公式：
Nn(x) Nn1(x) an(x x0 )(x x1) …(x xn1)
➢ 牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式p(x)的另一种表示形式,
➢ 与Lagrange多项式相比 • 它克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点, • 节省乘除法运算次数, • 在Newton插值多项式中用到的差商等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系.
a2
f( x2 ) f( x0 ) a1( x2 x0 ) ( x2 x 0 ) ( x2 x1)
f[x0, x 2 ] f[x0, x1] ( x2 x1)
f[x0, x 2 ] f[x1, x0 ] ( x2 x1)
f[x1, x 0, x 2 ]

多项式的插值多项式与Newton插值知识点

多项式的插值多项式与Newton插值知识点多项式的插值多项式是数值分析中的一个重要概念，它用于将给定的一组数据点拟合为一个多项式函数。

在多项式的插值问题中，给定n + 1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，其中xi不相等，yi可以是任意实数，要求找到一个n次多项式P(x)，使得P(xi) = yi，i = 0, 1, ..., n。

插值多项式的目的是通过已知的数据点，找到一个多项式函数，从而能够在这些数据点上精确地插值。

Newton插值是一种常用的插值方法，它采用了差商的概念。

差商是一种用于表示多项式系数的方法，通过递推关系可以快速计算出插值多项式的系数。

为了使用Newton插值，首先需要计算出差商表。

差商表的第一列是给定的数据点的纵坐标值，第二列是相邻数据点的差商，第三列是相邻差商的差商，以此类推。

差商表的对角线上的元素即为插值多项式的系数。

插值多项式的计算过程可以通过以下步骤来完成：1. 根据给定的数据点，构建差商表。

2. 根据差商表的对角线上的元素，计算插值多项式的系数。

3. 根据插值多项式的系数，构建插值多项式。

在实际应用中，多项式的插值多项式可以用于数据的拟合和插值计算。

通过插值多项式，我们可以通过已知数据点推断出未知数据点的值，从而实现对数据的预测和估计。

总结起来，多项式的插值多项式与Newton插值是数值分析中常用的方法。

它们通过利用已知的数据点，构建插值多项式来拟合数据，从而实现数据的预测和插值计算。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题和数据特点选择适合的插值方法，并利用插值多项式进行数据的分析和处理。

Newton插值算法

Newton 插值的算法实现Lagrange 插值公式结构紧凑，便于理论分析。

利用插值基函数也容易到插值多项式的值。

Lagrange 插值公式的缺点是，当插值节点增加，或其位置变化时，全部插值基函数均要随之变化，从而整个插值公式的结构也发生变化，这在实际计算中是非常不利的。

下面引入的Newton 插值公式可以克服这个缺点。

1、问题描述当n=1时，由点斜式直线方程知，过两点00(,())x f x 和11(,())x f x 的直线方程为1010010()()()()().f x f x N x f x x x x x −=+−−若记 100110()()[,],f x f x f x x x x −=−则可把1()N x 写成10010()()[,]().N x f x f x x x x =+−显然，1()N x 就是一次Lagrange 插值多项式1()L x 。

由于1()y N x =表示通过两点00(,())x f x 和11(,())x f x 的直线，因此一次插值亦称为线性插值。

当n=2时，进而记120121*********[,][,]()()[,],[,,]f x x f x x f x f x f x x f x x x x x x x −−==−−类似地，构造不超过二次的多项式2001001201()()[,]()[,,]()().N x f x f x x x x f x x x x x x x =+−+−−容易检验，这样的2()N x 满足插值条件200211222()(),()(),()().N x f x N x f x N x f x ===因此，2()N x 就是二次Lagrange 插值多项式2()L x 。

二次插值的几何解释是，用通过三点00(,())x f x ，11(,())x f x ，22(,())x f x 的抛物线2()y N x =来近似所考察的曲线()y f x =，因此这类插值亦称为抛物线插值。

差商与牛顿基本插值公式

同理可证 ak f x0 , x1,, xk k 0,1,2,, n
可以得到 n 次牛顿插值多项式为
N n x f x0 f x0 , x1 x x0 f x0 , x1 , x2 x x0 x x1 f x0 , x1 , , xn x x0 x x1 x xn 1
定义 f x 在点 x0 , x1 ,, xm 处的 m 阶差商为
f x0 , x1 ,, xm
f x1 ,, xm x0 , x1 ,, xm1 xm x0

j 0
m
x
j
x0 x j x j 1 x j x j 1 x j xm
n 次牛顿插值多项式为
Nn x a0 a1 x x0 a2 x x0 x x1 an x x0 x x1 x xn1
定义零阶差商为
f xi f xi
定义 f x 在点 xi , x j 处的一阶差商为
f xj
通过上式可以发现差商具有对称性，即任意调换节点的次序，不会影响差商的值，例如
f x0 , x1, x2 f x1, x2 , x0 f x1, x0 , x2
通过满足插值条件 Nn xi f xi
i 0,1,2,, n ，有
return;
已知函数表
x
x
用线性插值得
100 10
121 11
144 12
169 13
115 N1 115 10.7143
用抛物线插值得
115 N 2 115 10.7228

牛顿插值

§4 Newton’s Interpolation
注：
由唯一性可知 Nn(x) ≡ Ln(x)，只是算法不同，表达，只是算法不同，形式不同，故其余项也相同，形式不同，故其余项也相同，即
f ( n +1) (ξ x ) ωn +1 ( x ) f [ x, x0 , ... , xn ]ωn +1 ( x ) = ( n + 1) !
+ f [ x , x0 , ... , xn ]( x − x0 )...( x − xn−1 )( x − xn )
Nn(x)—n次多次项式，满足：项式，满足： Nn(xi)= f(xi)
ai = f [ x0, …, xi ]
Nn(x) ≡ Ln(x)，??? ，
Rn(x)—插值余项，插值余项，插值余项满足R ，满足 n(xi)=0， i=0,…,n
差分计算可通过构造差分表得到
xk f ( xk ) =fk ∆fk x0 f0 x1 f1 x2 f2 x3 f3 x4 f4
增加
1
t
t(t-1)/2! t(t-1)(t-2)/3!
∆2 fk
2
∆3 fk ∆4 fk
3 4
∆f0 ∆f1 ∆f2 ∆f3 ∆f4
∆2 f0 ∆3 f0 ∆4 f0 ∆5 f0 ∆ f1 ∆ f1 ∆ f1 ∆ f2 ∆ f2
f ( k ) (ξ ) f [ x 0 , ... , x k ] = , ξ ∈ ( x min , x max ) k!
实际计算过程为
f (x0) f (x1) f (x2) … f (xn−1) − f (xn) f [x0, x1] f [x1, x2] …… …… f [xn−1, xn] − f [xn, xn+1]

计算方法-第2章-插值法均差与牛顿插值公式

f1 f0 x1 x0
f2 f0 f1 f0
x2 x0
x1 x0
x2 x1
依次可得到 a3, a4 , , an 。为写出系数的一般表达式，
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现引入差商（均差）定义。
一、差商(均差)
定义2. 设f (x)在互异的节点 xi 处的函数值为 fi ,i 0,1,, n 称
4 15 13
4
7 12 -1
-3.5
-1.25 12
2.3.2 牛顿插值公式
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13
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Rn(x)
f (x) Nn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!

n 1
(
x)
f [x, x0 , x1 ,, xn ]n1(x)
我们称 Nn(x) 为牛顿(Newton)均差插值多项式。
f [x1 , x2 ]
二阶差商
f [x0 , x1 , x2 ]
三阶差商
f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f (x4 )
f [x1 , x2 , x3 ] f [x2 , x3 , x4 ]
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二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值无法比的.
但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点.

牛顿插值公式

f(x0)=-56, f [x0, x1] = 40, f [x0, x1, x2] = –13, f [x0, x1, x2, x3] = 2 , f [x0, x1, x2, x3, x4] = 0
N4(x) = –56 + 40(x + 2) –13(x + 2)(x + 1) + 2(x + 2)(x + 1) x
一阶差商 f [ x j , x j1]
f ( x j1) f ( x j ) x j1 x j
f ( x j ) f ( x j1) x j x j1 x j1 x j
( j = 0,1,…,n-1 )
二阶差商
f [x j , x j1, x j2 ]
f [x j1, x j2 ] f [x j , x j1] xj2 xj
函数值的计算: N4(x) = –56 + (x + 2) [40–(x + 1) [13 +2 x]]
f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1](x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ](x x0 )(x x1 ) f [ x0 , x1, , xn ](x x0 )(x x1 ) ( x xn1 ) f [ x0 , x1, , xn , x](x x0 )(x x1 ) ( x xn )
a0 a1( x1 x0 )
f ( x1 )
a0 a1( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )(x2 x1 ) f ( x2 )
解下三角方程组过程中引入符号
f [ x0 , x1 ]
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
f [ x1 , x2 ]

数值分析牛顿插值法

m fim m!hm
f [x0 , x1 ,
, xk ]
k f0 k!hk
k fk k!hk
华长生制作
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1.Newton向前(差分)插值公式
如果节点 x0 , x1 , , xn是等距节点 ,即
xk
x0
k h, k
0,1,
,n,h
b
a n
Newton插值基本公式为
n
Nn(x) f0 f [x0 , x1 , , xk ]k (x) k 1
fk fk 1 fk k 0,1, ,n 1 为f (x)在 xk 处的一阶向前差分
fk fk fk1 k 1,2, ,n 为f (x)在 xk 处的一阶向后差分
2 fk fk 1 fk 为f (x)在 xk 处的二阶向前差分
2 fk fk fk 1 为f (x)在 xk 处的二阶向后差分
x1 f ( x1 )
f [ x0 , x1 ] f [x1 , x2 ]
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f (x4 )
二阶差商
f [x0 , x1 , x2 ] f [x1 , x2 , x3 ] f [x2 , x3 , x4 ]
若将x xi ,(i 0,1, , n)视为一个节点 ,则
f [x0 , x1 ,
, xk , x]
f [ x0 , x1 ,
, xk ] f [x0 , x1 , xk x
, xk 1 , x]
f [x0 , x1 , , xk 1 , x] f [x0 , x1 , , xk ] f [x0 , x1 , , xk , x]( x xk )

牛顿插值公式

k f ( x1 ) k!hk

k f ( x0 ) k!hk
k f ( x1 ) k f ( x0 )

k!hk
(k 1)h
(k 1)h

k ( f ( x1 ) f ( x0 )) (k 1)!hk1

k 1 f ( x0 ) (k 1)! hk 1
.
n
Rn( x) f [x, x0 , x1, , xn ]( x xi ) --- 牛顿插值余项 i0
乘除法次数大约为: 1 n2 3 n 较L-插值法减少了3-4倍. 22
5 重节点差商
定义5 (重节点差商)
则定义
记
f[
类似的有
x0
,
x0
]

x
lim
(1 0
)

x
0
f[
若 lim x0(1) x0
x0
,
x(1) 0
]

f ( x0(1) ) f ( x0
x0(1) x0
lim f ( x0(1) )
x0(1) x0
x0(1)
)
f (x x0
f
0
( x0 ) )
f
(
,
x
0
)
（1）f [x0, x1,
, xn, x, x]
lim
x(1) x
f [x0, x1,
m!
f
x0 , x1,
,
xm
m f ( x0 ) m!hm
5.2 牛顿向前插值，向后插值公式
1、公式
a
x0
x1
x2
xn1 xn b

牛顿插值法

x2-x1
依次递推可得到a3, …, an. 为写出系数 ak的一般表达式,
➢差商(均差)定义
2.3.2 均差及其性质
1、差商（均差）的定义
称
f [x0 , xk ] =
f ( xk ) - f ( x0 ) xk - x0
为 f ( x关) 于点 x的0 ,一xk阶差商。
称
f [ x0 , x1, xk ] =
-
f ( x1)
-பைடு நூலகம்
f ( x0 )
( x1 - x0 )( xk - x1) ( x0 - x1)( xk - x1)
=
f (x0 )
+
f (x1)
+
f (xk )
(x0 - x1)( x0 - xk ) (x1 - x0 )( x1 - xk ) (xk - x0 )( xk - x1)
一般有
f [ x0 , x1,, xk ] =
注：差商与节点的排列次序无关——差商的对称性
f[x0,x1,…,xn]= f[x1,x0,x2,…,xn]=… = f[x1, …, xn ,x0]
因此 f [ x0 , x1,, xk ] = f [ x1, xk-1, x0 , xk ] = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x1, x2 ,, xk-1, x0 ] xk - x0 = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x0 , x1, x2 ,, xk-1] xk - x0
=
f[x0,x2] - f[x0,x1]
x2 - x1
= f[x0,x1,x2] ;
P2(x)=f(x0) + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)

Newton插值

例4.2.1 计算 (−2, 17), (0, 1), (1, 2), (2, 19)的一至三阶差商。 i 0 xi −2 f (xi) f [xi −1, xi] f [xi −2, xi −1, xi] f [xi −3, xi −2, xi −1, xi] 17
1 2 3
解
0 1 2
1 2 19
其中，
n 次Newton插值公式
N n ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1, x2 ] ... ( x x0 )( x x1 )...( x xn1 ) f [ x0 , x1 ,..., xn ]
给定n+1个插值点(xi, f (xi)), i = 0, 1, 2,…, n, xi 互异，
f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f [ x, x0 ],
类似地，由二阶至 n 阶差商的定义得
( x x0 ) x0 )( x x1 ) (x ...... ( x x0 )...( x xn1 ) f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] ( x x1 ) f [ x, x0 , x1 ], f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] ( x x2 ) f [ x, x0 , x1 , x2 ], ...... f [ x, x0 ,..., xn1 ] f [ x0 , x1 ,..., xn ] ( x xn ) f [ x, x0 ,..., xn ],
二次Newton插值公式为
N 2 ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )

差商公式推导牛顿插值公式

差商公式推导牛顿插值公式
设有n+1个数据点(x0,y0),(x1,y1),...,(xn,yn)，要求通过
这些数据点构造一个n次多项式P(x)，用于近似原函数的插值。

牛顿插值公式的一般形式为：
P(x)=f[x0]+f[x0,x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)+...+f [x0,x1,...,xn](xx0)(xx1)...(xxn1)
其中f[x0]代表差商，f[x0,x1]代表二阶差商，以此类推。

1.一阶差商的计算：
f[xi]=(yiy0)/(xix0)
2.二阶差商的计算：
f[xi,xi+1]=(f[xi+1]f[xi])/(xi+1xi)
3.三阶及更高阶差商的计算：
f[xi,xi+1,...,xi+k]=(f[xi+1,xi+2,...,xi+k]f[xi,xi+1,...,xi
+k1])/(xi+kxi)
4.将差商代入牛顿插值公式中，得到：
P(x)=f[x0]+f[x0,x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)+...+f [x0,x1,...,xn](xx0)(xx1)...(xxn1)
这样就得到了n次牛顿插值公式。

总结起来，差商公式的推导过程就是根据给定的数据点，计算不同阶次的差商，然后将差商代入牛顿插值公式中得到n次多项式。

通过这个多项式，我们可以在给定的数据点间进行插值，从而近似原函数的数值。

§2.4 差商与Newton插值公式 (2)

f [ x, x0 ,, xn1 ] f [ x0 , x1 ,, xn ] f [ x, x0 ,, xn ]( x xn )
依次把后式代入前式，最后得 f ( x ) f ( x0 ) f [ x , x0 ]( x x0 )
f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x , x0 , x1 ]( x x0 )( x x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x , x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )( x x2 )
© §4 2009, Henan Polytechnic University 差商与Newton插值公式
2 2
第二章插值法
承袭性：
Nn1 ( x) Nn ( x) qn1 ( x) P n1
{ x0 , x1 , xn }
{ x0 , x1 , xn1 }
且 Nn ( xi ) Nn1 ( xi ) f ( xi ) ,
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1111
第二章插值法一阶二阶 n阶
x0 , f ( x0 )
差商表
x1 , f ( x1 )
f [ x0 , x1 ]
x2 , f ( x2 ) f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ]
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差商与牛顿插值多项式

⇒ f [x, x0 ,⋯, xn−1 ] = f [x0 , x1 ,⋯, xn ] + f [ x, x0 ,⋯, xn ]( x − xn ) (d )
f x x x ] x − xx f [ x,, x00]]= f [ x0 , x1 ] + f [x,, x00,,x11(]( x − 1 )1 ) (b) x
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 ) − f ( x0 ) f [ x0，x1 ] = + =1时当k =1时, ⇐ f [x0 , x1 ] = x0 − x1 x1 − x0 x1 − x0 利用(1)很容易得到。 (1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1) )可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到只证(1) f ( x1 ) − f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x1 ) （ =1时 = + 证明：）证明： 1）当k =1时, f [x0 , x1 ] = x1 − x0 x0 − x1 x1 − x0
f [x2 , x3 ] f [x1, x2 , x3 ] f [x3 , x4 ] f [x2 , x3 , x4 ]
⋮ ⋮ f [xk−1, xk ] f [xk−2 , xk−1, xk ]
f [x0 , x1, x2 , x3 ] f [x1, x2 , x3 , x4 ]
⋮ ⋱
f ( x4 )
f [x0 , x1 ,⋯, xk ] = ∑
k j =0
f (xj )
( x j − x0 )(x j − x1 )⋯( x j − x j−1 )(x j − x j+1 )⋯( x j − xk ) k k f (xj) f (x j ) =∑ k =∑ j =0 ′ Π ( x j − x i ) j = 0 ω k +1 ( x j )

研究生数值分析(15)---插商与牛顿(Newton)插值多项式

xk xi
为f(x)在 xi , x j , xk 处的二阶差商，记为 f [xi , x j , xk ]
即
f [xi , xj , xk ]
f [xj , xk ] f [xi , xj ] xk xi
一般地，称 m-1 阶差商的差商
f [x0 , x1,
, xm ] f [x1, x2 ,
f (k) (x) 之间有如下重要关系：
f (k ) ( )
f [x0 , x1, , xk ] k !
(min{x0, x1, , xk}, max{x0, x1, , xk})
有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商来表示牛顿差值多项式中的系数。
Nn(x) a0 a1(x x0) a2(x x0)(x x1) an(x x0) (x xn1)
试用牛顿线性插值与抛物线插值求 115 的近似值，并估计截断误差。
解：先构造差商表，取 x0 100, x1 121, x2 144, x3 169
x x 一阶差商二阶差7619
121 11
-0.00009411
0.043478
0.0000003138
144 12
-0.00007246
f (n1) ( ) (n 1)!
n1
(
x)
f [x0, x1,
, xn1]n1(x)
可知近似值 N1(115) 与 N2 (115) 的截断误差分别为
R1(115) 0.01125
R2(115) 0.0017
在实际计算中，特别是在函数f(x)的高阶导数比较复杂或 f(x) 的表达式没有给出时，由性质3，我们可以用差商表示的余项公式
例3中，若用此方法估计截断误差，则有

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称为函数f (x)在x0、x1 、xk 点的二阶差商.
© 2009, Henan Polytechnic University §4 差商与Newton插值公式
6 6
第二章插值法
一般地，k-1阶差商的差商
f [ x0 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1 ,, xk ] x k x k 1
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1010
第二章插值法
性质3 若f(x)在[a,b]上存在n阶导数, 且节点x0 , x1 ,…,
xn∈[a,b] ,则至少存在一点 [a, b] 满足下式
f ( n ) ( ) f [ x0 , x1 ,, xn ] n!
f ( x 3 ) f ( x0 ) 1 1 a3 a a 1 2 x x x3 x2 x x 3 0 3 1

© 2009, Henan Polytechnic University §4 差商与Newton插值公式
© 2009, Henan Polytechnic University §4 差商与Newton插值公式
1212
第二章插值法
2.4.2 牛顿插值公式 N n ( x) a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )( x xn1 )
a0 f ( x0 )
1616
第二章插值法
f ( x ) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
f [ x , x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x , x0 , x1 ]( x x1 )
f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ]( x x2 )
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第二章插值法
利用差商表的最外一行，构造Newton插值多项式
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , , xn ]( x x0 )( x xn1 )
且有如下递推形式
N n ( x ) N n1 ( x ) f [ x0 ,, xn ]( x x0 )( x xn1 )
f [ x0 , x1 , x2 ]
…
… xn , f ( xn ) f [ xn1 , xn ] f [ xn2 , xn1 , xn ] …
f [ x0 , , xn ]
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5 5
第二章插值法
2.4.1 差商及其基本性质定义1 称
f ( x0 ) f ( x1 ) f [ x0 , x1 ] x0 x1
为 f (x)在x0、x1点的一阶差商. 一阶差商的差商
f [ x0 , xk ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , xk ] xk x1
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8 8
第二章插值法
性质1 差商可以表示为函数值的线性组合，即
f ( xk ) f [ x0 , x1 , , xn ] k 0( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
…
… xn , f ( xn ) f [ xn1 , xn ] f [ xn2 , xn1 , xn ] …

f [ x0 , , xn ]
计算原则：任意一个k(k>=1)阶差商的数值等于一个分式的值，分子为该数左侧的数减去左上侧的数之差，分母为同行最左侧的插值节点值减去这一行往上数第k个插值节点值之差。
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第二章插值法
牛顿插值公式推导二：
设x是[a，b]上一点，由一阶差商定义得 f ( x ) f ( x0 ) f [ x , x0 ] x x0
得
f ( x ) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
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1717
第二章插值法
f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 ,, xn ]( x x0 )( x xn1 ) f [ x, x0 ,, xn ]( x x0 )( x xn )
f [ x, x0 ,, xn1 ] f [ x0 , x1 ,, xn ] f [ x, x0 ,, xn ]( x xn )
依次把后式代入前式，最后得 f ( x ) f ( x0 ) f [ x , x0 ]( x x0 )
f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x , x0 , x1 ]( x x0 )( x x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x , x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )( x x2 )
{ x0 , x1 , xn1 }
且 Nn ( xi ) Nn1 ( xi ) f ( xi ) ,
i 0， 1,n
为实数
qn1 ( x) an1 ( x x0 )( x xn )
同样 Nn ( x ) Nn1 ( x ) qn ( x )
qn ( x) an ( x x0 )( x xn1 )

an f [ x0 ,, xn ]
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第二章插值法
构造差商表
一阶二阶 n阶
x0 , f ( x0 )
x1 , f ( x1 ) f [ x0 , x1 ]
x2 , f ( x2 ) f [ x1 , x2 ]
an , k n 推论：若f ( x ) P ( x ), f [ x0 ,, xk ] 0, k n
n
例1 f (x)=－6x8+7x5－10, 求f [1,2, …,9]及f [1,2, …,10]. 解 f [1,2, …,9]=-6, f [1,2, …,10]=0.
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第二章插值法
这样： a f ( x ) 0 0
f ( x1 ) f ( x0 ) a1 x1 x0 1 f ( x2 ) f ( x0 ) a2 a1 x2 x1 x2 x0
同理，由二阶差商定义 f [ x , x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x , x0 , x1 ] x x1 得 f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ]( x x1 )
如此继续下去，可得一系列等式
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f ( x1 ) f ( x0 ) a1 f [ x0 , x1 ] x1 x0
1 f ( x 2 ) f ( x0 ) a2 a1 x 2 x1 x 2 x0
英1642-1727 1 f [ x2 , x0 ] f [ x1 , x0 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x 2 x1
称为f (x)在x0 , x1 , …, xk点的 k阶差商一般f(xi) 称为f(x) 在xi点的零阶差商，记作f[xi]。
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第二章插值法
f[xi,xj,xk]是指
f[xi , xk]- f[xi , xj] f[xi , xj , xk]= xk- xj
f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] 例如：f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x1 一般的,可定义区间[xi, xi+1 ,…, xi+n]上的n阶差商为
f [ xi ,..., xi n 2 , xi n ] f [ xi , xi 1 ,..., xi n1 ] f [ xi , xi 1 ,..., xi n ] x i n x i n 1
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第二章插值法一阶二阶 n阶
x0 , f ( x0 )
差商表
x1 , f ( x1 )
f [ x0 , x1 ]
x2 , f ( x2 ) f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ]
第四节
差商与Newton插值公式
1
第二章插有严格的规律性,便于记忆. 缺点 : 不具有承袭性 ,即每当增加一个节点时 ,不仅要增加求和的项数,而且以前的各项也必须重新计算. 为了克服这一缺点 , 本讲将建立具有承袭性的插值公式—Newton插值公式.

§2.4 差商与Newton插值公式

计算方法 Newton插值

多项式的插值多项式与Newton插值知识点

Newton插值算法

差商与牛顿基本插值公式

牛顿插值

计算方法-第2章-插值法均差与牛顿插值公式

牛顿插值公式

数值分析牛顿插值法

牛顿插值公式

牛顿插值法

Newton插值

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差商公式推导牛顿插值公式

§2.4 差商与Newton插值公式 (2)

差商与牛顿插值多项式

研究生数值分析(15)---插商与牛顿(Newton)插值多项式