§2.4 差商与Newton插值公式

an f [ x0 ,, xn ]
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源自文库
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第二章 插值法
构造差商表
一阶 二阶 n阶
x0 , f ( x0 )
x1 , f ( x1 ) f [ x0 , x1 ]
x2 , f ( x2 ) f [ x1 , x2 ]
1414
第二章 插值法
利用差商表的最外一行，构造Newton插值多项式
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , , xn ]( x x0 )( x xn1 )
且有如下递推形式
N n ( x ) N n1 ( x ) f [ x0 ,, xn ]( x x0 )( x xn1 )
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第二章 插值法
牛顿插值公式推导二：
设x是[a，b]上一点，由一阶差商定义得 f ( x ) f ( x0 ) f [ x , x0 ] x x0
得
f ( x ) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
本讲主要内容: ●差商的定义及性质 ●Newton插值多项式的构造
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第二章 插值法
承袭性：
Nn1 ( x) Nn ( x) qn1 ( x) P n1
{ x0 , x1 , xn }
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第二章 插值法 一阶 二阶 n阶
x0 , f ( x0 )
差 商 表
x1 , f ( x1 )
f [ x0 , x1 ]
x2 , f ( x2 ) f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] 例如：f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x1 一般的,可定义区间[xi, xi+1 ,…, xi+n]上的n阶差商为
f [ xi ,..., xi n 2 , xi n ] f [ xi , xi 1 ,..., xi n1 ] f [ xi , xi 1 ,..., xi n ] x i n x i n 1
{ x0 , x1 , xn1 }
且 Nn ( xi ) Nn1 ( xi ) f ( xi ) ,
i 0， 1,n
为实数
qn1 ( x) an1 ( x x0 )( x xn )
同样 Nn ( x ) Nn1 ( x ) qn ( x )
qn ( x) an ( x x0 )( x xn1 )
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8 8
第二章 插值法
性质1 差商可以表示为函数值的线性组合，即
f ( xk ) f [ x0 , x1 , , xn ] k 0( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
f [ x0 , x1 , x2 ]
…
… xn , f ( xn ) f [ xn1 , xn ] f [ xn2 , xn1 , xn ] …
f [ x0 , , xn ]
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第四节
差商与Newton插值公式
1
第二章 插值法
Lagrange插值多项式：
优点: 具有严格的规律性,便于记忆. 缺点 : 不具有承袭性 ,即每当增加一个节点时 ,不仅 要增加求和的项数,而且以前的各项也必须重新计算. 为了克服这一缺点 , 本讲将建立具有承袭性的插值 公式—Newton插值公式.
称为函数f (x)在x0、x1 、xk 点的二阶差商.
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第二章 插值法
一般地，k-1阶差商的差商
f [ x0 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1 ,, xk ] x k x k 1
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第二章 插值法
2.4.2 牛顿插值公式 N n ( x) a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )( x xn1 )
a0 f ( x0 )
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第二章 插值法
性质3 若f(x)在[a,b]上存在n阶导数, 且节点x0 , x1 ,…,
xn∈[a,b] ,则至少存在一点 [a, b] 满足下式
f ( n ) ( ) f [ x0 , x1 ,, xn ] n!
f ( x 3 ) f ( x0 ) 1 1 a3 a a 1 2 x x x3 x2 x x 3 0 3 1

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第二章 插值法

Nn ( x) a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )( x xn1 )
而且有：
N n ( x0 ) a0 f ( x0 ) N ( x ) a a ( x x ) f ( x ) 0 1 1 0 1 n 1 N n ( x2 ) a0 a1 ( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )( x2 x1 ) f ( x2 ) N n ( xn ) a0 a1 ( xn x0 ) an ( xn x0 )( xn xn1 ) f ( xn )
n
它表明差商与节点的排列次序无关，即 f[x0 , x1 , x2 , ..., xn]= f[x1 , x0 , x2 , ..., xn]=… = f[x1 , x2 , ..., xn , x0 ] 称之为差商的对称性（也称为对称性质）。
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第二章 插值法
这样： a f ( x ) 0 0
f ( x1 ) f ( x0 ) a1 x1 x0 1 f ( x2 ) f ( x0 ) a2 a1 x2 x1 x2 x0
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第二章 插值法
f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 ,, xn ]( x x0 )( x xn1 ) f [ x, x0 ,, xn ]( x x0 )( x xn )
5 5
第二章 插值法
2.4.1 差商及其基本性质 定义1 称
f ( x0 ) f ( x1 ) f [ x0 , x1 ] x0 x1
为 f (x)在x0、x1点的一阶差商. 一阶差商的差商
f [ x0 , xk ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , xk ] xk x1
an , k n 推论：若f ( x ) P ( x ), f [ x0 ,, xk ] 0, k n
n
例1 f (x)=－6x8+7x5－10, 求f [1,2, …,9]及f [1,2, …,10]. 解 f [1,2, …,9]=-6, f [1,2, …,10]=0.
称为f (x)在x0 , x1 , …, xk点的 k阶差商 一般f(xi) 称为f(x) 在xi点的零阶差商，记作f[xi]。
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第二章 插值法
f[xi,xj,xk]是指
f[xi , xk]- f[xi , xj] f[xi , xj , xk]= xk- xj
9 9
第二章 插值法
性质2 由性质1立刻得到
f [ x0 , x1 ,, xn ] f [ x1 , x2 ,, xn1 , x0 , xn ]
f [ x1 ,, xn1 , xn ] f [ x1 ,, xn1 , x0 ] x n x0 f [ x1 ,, xn1 , xn ] f [ x0 , x1 ,, xn1 ] x n x0
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第二章 插值法
f ( x ) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
f [ x , x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x , x0 , x1 ]( x x1 )
f [ x, x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x, x0 , x1 , x2 ]( x x2 )
同理，由二阶差商定义 f [ x , x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x , x0 , x1 ] x x1 得 f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x, x0 , x1 ]( x x1 )
如此继续下去，可得一系列等式
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f ( x1 ) f ( x0 ) a1 f [ x0 , x1 ] x1 x0
1 f ( x 2 ) f ( x0 ) a2 a1 x 2 x1 x 2 x0
英1642-1727 1 f [ x2 , x0 ] f [ x1 , x0 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x 2 x1
f [ x, x0 ,, xn1 ] f [ x0 , x1 ,, xn ] f [ x, x0 ,, xn ]( x xn )
依次把后式代入前式，最后得 f ( x ) f ( x0 ) f [ x , x0 ]( x x0 )
f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x , x0 , x1 ]( x x0 )( x x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x , x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )( x x2 )
…
… xn , f ( xn ) f [ xn1 , xn ] f [ xn2 , xn1 , xn ] …

f [ x0 , , xn ]
计算原则： 任意一个k(k>=1)阶差商的数值等于一个分式的值， 分子为该数左侧的数减去左上侧的数之差，分母为同 行最左侧的插值节点值减去这一行往上数第k个插值 节点值之差。