2018年秋九年级数学上册第21章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法作业本课件新版新人教版2018
九年级数学上第21章一元二次方程21.2解一元二次方程目标一一元二次方程根的判别式新新人教38
A．1，3，1
B．1，3，－1
C．－1，－3，－1 D．－1，3，1
9．【教材P17习题T4变式】不解方程，判断下列方程根 的情况： (1)16y2＋9＝24y； 解：方程化为16y2－24y＋9＝0， Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0， ∴此方程有两个相等的实数根．
(2)5(x2＋1)－7x＝0；
5．【2020·安徽】下列方程中，有两个相等实数根 的是( A ) A．x2＋1＝2x B．x2＋1＝0 C．x2－2x＝3 D．x2－2x＝0
6．【2020·潍坊】关于x的一元二次方程x2＋(k－3)x＋1－ k＝0的根的情况，下列说法正确的是( A ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【点拨】计算根的判别式得Δ＝(k－1)2＋4>0.∴方 程有两个不相等的实数根．故选A.
解：若 a 为等腰三角形 ABC 的底边长，则 b，c 为 等腰三角形 ABC 的两腰长，所以方程有两个相等
的实数根，所以 Δ＝0，即 k＝32.所以方程为 x2－4x ＋4＝0，解得 x1＝x2＝2.
即 b＝c＝2，不符合三角形三边关系，故舍去． 若 a 为等腰三角形 ABC 的一腰长，由题意知 4 是方程的一 个根，所以 42－(2k＋1)×4＋4k－12＝0，解得 k＝52.所以方 程为 x2－6x＋8＝0，解得 x1＝2，x2＝4，符合题意．所以△ ABC 的周长为 2＋4＋4＝10.
谢谢观赏
You made my day!
证明：因为 Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×4k－12＝4k2－ 12k＋9＝(2k－3)2≥0，所以无论 k 取何值，这个方程 总有实数根．
(2) 若 等 腰 三 角 形 ABC 的 一 边 长 a ＝ 4 ， 另 两 边长b，c恰好是这个方程的两个根，求 △ABC的周长．
(名师整理)数学九年级上册第21章《21.2解一元二次方程》优秀教案
x1×x2 = - c a
学法指导 学生随笔
1.如果-5 是方程 5x2+bx-10=0 的一个根，求方程的另一个根及 b 的值； 2. 设 x1、x2 是方程 2x2-6x＋3=0 两个根，利用根与系数的关系，
3.求下列各式的值：（1）x 1 2 x 2 +x 1 x 2 2
(2)( x1-x 2 ) 2
（）
A．x2﹣7x﹣8=0
B．x2﹣7x+8=0
C．x2+7x+8=0
D．x2+7x﹣8=0
3．以 2 和 4 为根的一元二次方程是（ ）
A．x2+6x+8=0
B．x2﹣6x+8=0
C．x2+6x﹣8=0
D．x2﹣6x﹣8=0
二．填空题
4．若关于 x 的一元二次方程的两个根 x1，x2 满足 x1+x2=3，x1x2=2，
情感态度与价值观：培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现
标 规律的积极性，激励学生勇于探索的精
教学重点 1.一元二次方程的根与系数关系。
教学难点 1.对根与系数关系的理解和应用
教法学法 教 学 反 思讲练Leabharlann 合教学内容一、复习引入
复习根与系数的关系 x1 +x2 = - b a
二 、探究新知
(3)(x 1 -2)(x 2 -2)
(4) 1 + 1 x12 x22
(5)︱x 1 -x 2 ︱
例题讲解例 1:
（1） 以 2、3 为根的一元二次方程是
。
（2）以 x 、x 为根的一元二次方程是
。
1
2
（3）不解方程 3x 2 -5x=5,求作一新方程，使它的两根分别是已知 1 方程两根的相反数。
九年级上册数学21.2 解一元二次方程公式法
21．2.2公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋14＝0；(3)x2－x＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x2－x＋14＝0，a＝1，b＝－1，c＝14.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A．a>2 B．a<2C．a<2且a≠1 D．a<－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况已知：关于x 的方程2x 2＋kx －1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．证明：Δ＝k 2－4×2×(－1)＝k 2＋8，无论k 取何值，k 2≥0，所以k 2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x 2＋kx －1＝0有两个不相等的实数根．方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2”，他的说法对吗？请说明理由．解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x ，则另一个正方形的边长是(10－x )，由题可得，x 2＋(10－x )2＝48.化简得x 2－10x ＋26＝0.因为b 2－4ac ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．探究点二：公式法解一元二次方程【类型一】用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程： (1)2x 2＋x －6＝0；(2)x 2＋4x ＝2；(3)5x 2－4x ＋12＝0；(4)4x 2＋4x ＋10＝1－8x .解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a ，b ，c 的值，并计算b 2－4ac 的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解．解：(1)这里a ＝2，b ＝1，c ＝－6，b2－4ac ＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－1±492×2＝－1±74，即原方程的解是x 1＝－2，x 2＝32.(2)将方程化为一般形式，得x 2＋4x －2＝0.∵b 2－4ac ＝24，∴x ＝－4±242＝－2± 6.∴原方程的解是x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(3)∵b 2－4ac ＝－224<0，∴原方程没有实数根．(4)整理，得4x 2＋12x ＋9＝0.∵b 2－4ac ＝0，∴x 1＝x 2＝－32.方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x 2－10x ＋21＝0的解，则第三边的长为( )A ．7B ．3C ．7或3D ．无法确定解析：解一元二次方程x 2－10x ＋21＝0，得x 1＝3，x 2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x ＜8.所以第三边的长x ＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0.。
九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法作业_1
第十八页，共十九页。
内容 总结 (nèiróng)
No 第二十一章 一元二次方程(fāngchéng)。解：x1＝0，x2＝3。解：x1＝x2＝－2。解：x1＝－5，x2＝1。7．请
选择你认为适当的方法解下列方程(fāngchéng)．。10．若一元二次方程(fāngchéng)式x2－8x－3×11＝0的两根为a， b，。x2－4x－5＝0。解：x1＝0，x2＝4。∴x1＝－a，x2＝－b.。(4)用因式分解法解方程(fāngchéng)x2－kx－16＝0 时，得到的两根均为整数，。2
问题：
(1)方程x2－3x＋2＝0的两个根是( ) C A．x1＝－1，x2＝1 B．x1＝x2＝－1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝x2＝2
第十六页，共十九页。
(2)(2019·通辽)一个菱形的边长是方程(fāngchéng)x2－8x＋15＝0的一个根，
其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( )
解：直接开平方法，x1＝1＋ 3 ，x2＝1－ 3 解：公式法，x1＝－12 ，x2＝1
(2)x2＝2x＋4；
(4)3(2x－5)＝2x(2x－5).
解：配方法，x1＝1＋ 5 ，x2＝1－ 5
解：因式分解法，x1＝52，共十九页。
8．方程(fāngchéng)3x(x＋1)＝3x＋3的解为(D ) A．x＝1 B．x＝－1 C．x1＝0，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－1
第十二页，共十九页。
九年级数学人教版第二十一章一元二次方程21.2.3公式法解方程(同步课本图文结合详解)
x-6.8
九年级数学上册第21章一元二次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.由配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0得求根公式：
x b b2 4ac 2a
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
x b b2 4ac (a≠0, b2-4ac≥0) 2a
否则原方程无解. 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
九年级数学上册第21章一元二次方程
1.（无锡·中考）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数 根，则a满足（ ） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 【解析】选A.当a-5=0时，有实数解x= 1 ，此时a=5;当
x2 2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3 )2 - 4×1×3=0,x 2来自3 210
23 2
3,
即：x1= x2= 3
九年级数学上册第21章一元二次方程
2、解方程：（x-2)(1-3x)=6． 【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
4
a 5 0 时，应满足 b2 4ac 16 4(a 5) 0 ，解得a≥1，综上所
述a≥1.
九年级数学上册第21章一元二次方程
2.（烟台·中考）方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2， 则 (x1-1)(x2-1)=______. 【解析】由求根公式可得方程x2-2x-1=0的两个实数根 为 x1 1 2 ，x2 1 2 ，所以
2
2
（4）配方、用直接开平方法解方程.
(x+ p )2= p2 -q 24
九年级数学上册第21章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法21.2.4一元二次方
两边直接开平方, 得x-2=0, ∴x1=x2=2.
(4)移项, 得(2x-3)2-(3x-2)2=0,
因式分解, 得 [(2x-3)+(3x-2)][(2x-3)-(3x-2)]=0,
即 (5x-5)(-x-1)=0,
∴5x-5=0或-x-1=0, ∴x1=1, x2=-1.
锦囊妙计
选择适当的方法解一元二次方程
已知一元二次方程(含有待定字母)的一个根求 另一个根的方法
(1)根据一元二次方程的根与系数的关系列 二元一次方程组
求解；
(2)把已知根代入原方程, 求出待定字母的 值, 再解一元二次
方程或由根与系数的关系求 出它的另一个根.
题型三 利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值
例题 3
设 x1, x2 是方程 2x2- 6x-1=0 的两个根, 不解方程, 求下
第二十一章 一元二次
方程
*
因式分解法
一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章 一元二次方程
因式分解法
* 一元二次方程的根与系数的
关系
考场对接
考场对接
题型一 选取适当的方法解一元二次方程
例题1 选取适当的方法解方程： (1)9x2-4=0；(2)x2+4x+1=0；
(3)x2-4x+4=0；(4)(2x-3)2=(3x-2)2.
−
=- +2+ =- +2-2=- .
锦囊妙计
常用的代数式变形方法汇总
题型四 根的判别式和根与系数的关系的综合运用
例题4 已知关于x的一元二次方程x2+2(m+ 1)x+m2-1=0．
九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法(听课)课
21.2.3 因式分解法
解：(1)原方程可化为(x－5)2＝4， ∴x－5＝±2，∴x1＝7，x2＝3. (2)∵b2－4ac＝22－4×3×(－3)＝4＋36＝40，
－2± 40
－1＋ 10
－1－ 10
∴x＝ 2×3 ， ∴x1＝
3
，x2＝
3
.
(3)原方程可化为(x＋ 2)(x＋ 3)＝0，
∴x＋ 2＝0 或 x＋ 3＝0，∴x1＝－ 2，x2＝－ 3.
21.2.3 因式分解法
目标二 能选择合适的方法解一元二次方程
例 2 教材补充例题 选择合适的方法解一元二次方程：
(1)4(x－5)2＝16; (2)3x2＋2x－3＝0； (3)x2＋ 2x＝－ 3(x＋ 2)．
[解析] 根据方程的不同特点选取最简便的方法．(1)可以用直接开平方法； (2)可以用公式法；(3)可以用因式分解法．
21.2.3 因式分解法
【归纳总结】一元二次方程的解法选择： 1．选择顺序：直接开平方法——因式分解法——公式法(或配方 法)． 2．若方程为(mx＋n)2＝p(p≥0)型，则用直接开平方法． 3．若方程右边为0，而左边易于分解成两个一次因式的积，则可用 因式分解法． 4．若方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则可用配方法． 5．公式法和配方法可解任意的一元二次方程．
21.2.3 因式分解法
解：(1)因式分解，得 x(3x－5)＝0，于是得 x＝0 或 3x－5＝0， 5
所以 x1＝0，x2＝3. (2)因式分解，得(x－3)(x＋4)＝0，于是得 x－3＝0 或 x＋4＝0， 所以 x1＝3，x2＝－4.
21.2.3 因式分解法
(3)因式分解，得(x－5＋4)(x－5－4)＝0， 于是得 x－1＝0 或 x－9＝0，所以 x1＝1，x2＝9. (4)移项，得 16(2x－1)2－25(x－2)2＝0. 因式分解，得[4(2x－1)＋5(x－2)][4(2x－1)－5(x－2)]＝0， 所以 13x－14＝0 或 3x＋6＝0，
九年级数学上册第21章一元二次方程21.2一元二次方程解法复习
第十九页，共二十二页。
课外作业
如OC图=，55AcmO，=5蚂0c蚁m，甲以2cm/sA P O
B
的速度(sùdù)从A爬到0，蚂蚁
乙以3的面积为
Q
300cm2?
12/11/2021
第二十页，共二十二页。
C
2021/12/11
第二十一页，共二十二页。
直接(zhíjiē)开平方法： 典型例题讲解
例1 (2x-1)2=1
左边是完全(wánquán)平方式，右边是非负
数
解: (2x-1)=±1
两边(liǎngbiān)直接开平 方
2x-1=1 或 2x-1= -1 降次－ 转化为一元一次方程
x1=1, x2=0
解一元一次方程
12/11/2021
第八页，共二十二页。
算出b 2-4ac的值，并 判断根的情况。
y=
(2)
121
3 代入求根公式x1•2 b
b2 4ac 2a
22
2
y = 1 2 3, 1 12/11/2021
y2= 1 3 2 第十三页，共二十二页。
四、因式分解 法 (yīn shìfēn jiě)
1.因式分解的方法有：
(1) 用提公因式法;(2)应用公式法；（3）十字相乘法。
（3）得到形如： x = a . 的一元一次方程。
x x （4）写出方程的解
=1 ?
=?
2
12/11/2021
第九页，共二十二页。
典型例题(lìtí)讲解
例 用配方法解下列(xiàliè)方程
x2+6x=7
解 ：x26x7
x26x979
x32 16
x34
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法教案新人教版(2021
2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版的全部内容。
21.2.2 公式法※教学目标※【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程．2。
能利用公式法求一元二次方程的解．【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．※教学过程※一、复习导入1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x，227x：提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么?（只对那种“平方式等于非负数"的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法,把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）（学生活动) 用配方法解方程:2x x．237总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结,老师点评）（1）先将已知方程化为一般形式； （2）二次项系数化为1； （3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式; （5）变形为2x np 的形式，如果0p ，就可以直接开平方求出方程的解，如果0p ，则一元二次方程无解．二、探索新知能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程200ax bx c a 的两根？移项，得2ax bxc ．二次项系数化为1,得2b cx xa a． 配方，得22222b b c b xx a aaa，即222424b b ac x aa ．此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？师生共同完善认知：(1）当b 2—4ac ＞0时，两边可直接开平方，得242b b ac x a，∴2142bb ac x a，2242bb ac x a;（2)当b 2—4ac =0时，有202b x a 。
九年级数学上册第21章21.2.1配方法第二课时
21.2.2 配方法 第二课时 配方法
第1页
新知 配方法
(1)配方法定义： 把一元二次方程左边化成一个完全平方式，
右边变成一个非负数，用直接开平方方法来求方程 解，这种方法称为配方法.
(2)用配方法解一元二次方程步骤： ①化：把二次项系数化为1(方程两边都除以 二次项系数)；②移项：把常数项移到方程右边；
第5页
举一反三 1. 填空： (1)x2＋6x＋( 9 )＝(x＋ 3 )2； (2)x2－8x＋( 16 )＝(x－ 4 )2； (3)x2－4x＋( 4 )＝(x－ 2 )2； (4)
第6页
2. 用配方法解一元二次方程x2－2x－3＝0时，方
程变形正确是( B) A. (x－1)2＝2
B. (x－1)2＝4
∴x1＝ 5 －2，x2＝－ 5 －2. (2)2x2＋1＝3x.
解：移项，得2x2－3x＝－1，整理，得
，配x方2 ，3得x6
∴x1＝1，x2＝
1 2
.
第8页
第2页
③配方：方程两边都加上一次项系数二分之一平方； ④变形：方程左边配方，右边合并同类项； ⑤开方： 依据平方根意义，方程两边开平方；⑥求解：解一元 一次方程；⑦定解：写出原方程解.
注意：(1)配方目标是为了降次，将一个一元二次方 程转化成两个一元一次方程.
(2)配方法关键一步是配方，即方程两边都加上一次 项系数二分之一平方，千万不要忘了在右边也加上一 次项系数二分之一平方.
第3页
例题精讲 【例】解以下方程： (1)x2＋6x＋5＝0；(2)2x2＋6x＋2＝0. 解 (1)移项，得x2＋6x＝－5， 配方，得x2＋6x＋32＝－5＋32， 即(x＋3)2＝4， 由此可得x＋3＝±2， ∴x1＝－1，x2＝－5.
九年级数学 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 用因式分解法解一元二次方程
12/10/2021
以上解方程 x10 4.9x 0
是如何使二次方程降为一次的方程？
的方法
x10 4.9x 0 ①
x 0 或 1 0 4.9x 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次， 这种解法叫做因式分解法．
12/10/2021
合作探究 达成目标
例:1 解下列方程:
(1)x(x-2)+x-2=0;
解：x(x 2) x 2 0,
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3 ,
4
4
解 : 移项,合并同类项,得：
x 2x 1 0.
4x2 1 0,
x 2 0,或x 1 0.
(2x 1)2x 1 0.
☞ 思考 1、请用配方法或公式法求方程①的解；
2、若将方程左边分解因式为：x(10-4.9x)=0，是否 有比学过的两种方法更简便的解法呢？
12/10/2021
1．会用因式分解法解某些简单数字 系数的一元二次方程．
2．进一步体会转化的思想，能选择 恰当的方法解一元二次方程．
12/10/2021
合作探究 达成目标
合作探究 达成目标
【小组讨论1】
运用因式分解法解一元二次方程时方程 两边如何处理 ？
右化零 左分解 两因式 各求解
12/10/2021
【针对训练1】
（2015重庆）一元二次方程x2－2x=0的根是( D ) A.x1=0，x2=－2 B. x1=1，x2=2
C. x1=1，x2=－2 D. x1=0，x2=2
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达标检测 反思目标
九年级数学上册21一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法第一课时用直接开平方解一元二次
1．方程x2－64＝0解是( D)
A．x＝8
B．x＝－8
C．x＝4
D．x1＝8 ，x2＝－8
2．方程3x2＋9＝0根为( D)
A．3
B．－3
C．±3
D．无实数根
3．(滨州)以下方程中，一定有实数解是( B)
A．x2＋1＝0
B．(2x＋1)2＝0
C．(2x＋1)2＋3＝0
D．( －a)2＝a
4．方程(x＋1)2＝9解是( C)
∵一元二次方程(x－3)2＝1两个解恰好分别是等腰△ABC底边长和腰长， ∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，此时不能组成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，4＋4＞2，此时能组成三角形， ∴△ABC周长为：2＋4＋4＝10.
第8页
12．当m为何值时，方程
是关于x一元二次方程？
第9页
13．已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求xx－ 2＋2yy2的值． 【解】 已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0， 变形得：(x2＋4x＋4)＋(y2－6y＋9)＝0， 即(x＋2)2＋(y－3)2＝0， 所以x＝－2，y＝3.
第10页
21.2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
1．利用直接开平方法解一元二次方程，其依据是__平__方__根__意义，即：假 如x2＝p(p＞0)，则x1＝____，x2＝_____．
2．形如(ax＋m)2＝n(n＞0)一元二次方程，也可利用直接开平方法求
解，即：先利用平方根意义把原方程转化为两个_____一__元__一__次__方ax程＋m＝
A．x＝1或x＝－1
B．x＝3或Байду номын сангаас＝－3
C．x1＝2或x2＝－4
人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程-21.2.2公式法教案
在课程总结时，我强调了理解和掌握一元二次方程的重要性，并鼓励学生们在课后继续思考和练习。从他们的反馈来看，大部分学生对今天的课程内容表示理解，但也有部分学生表示还需要进一步巩固。我计划在下一节课开始时，用一些简单的练习题来复习今天的知识点，确保学生们能够扎实掌握。
2.教学难点
-理解并运用求根公式中根的判别式，判断方程的根的性质；
-在解题过程中，对公式法解一元二次方程的步骤进行熟练操作；
-在应用一元二次方程解决实际问题时，如何将问题抽象成一元二次方程。
举例解释：
-难点一：学生对判别式的理解，包括何时方程有两个不同实数根、何时有两个相同实数根、何时无实数根；
-难点二：在应用求根公式解题时，学生可能会在计算过程中出现错误，如符号错误、计算次序错误等；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、求根公式、根的判别式以及在实际生活中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的方程。它在数学和生活中有着广泛的应用，能够帮助我们解决很多实际问题。
九年级数学人教版第二十一章一元二次方程21.2.4因式分解法解方程(同步课本图文结合详解)
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
九年级数学上册第21章一元二次方程
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0 ∴x1= -5,x2=5.
九年级数学上册第21章一元二次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)化方程为一般形式; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程; (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 2.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”， 鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
九年级数学上册第21章一元二次方程
跟踪训练
1.你能用分解因式法解下列方程吗？
(1)x2-4=0;
(2)(x+1)2-25=0.
【解析】(x+2)(x-2)=0, 【解析】[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0或x-2=0.
∴x+6=0或x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
4. (4x 2)2 x(2x 1)
5. 3x(x 2) 5(x 2)
3.x1 3; x2 2.
4.x11 2;x2
4. 7
5
5.x1
2; x2
. 3
九年级数学上册第21章一元二次方程
3.观察下列各式,也许你能发现些什么?
解方程 : x2 7x 6 0得x1 1, x2 6; 而x2 7x 6 (x 1)(x 6);
那么a 0或b 0
九年级数学上册 21.2解一元二次方程21.2.2公式法2_1-5
=
3 − 15 3
.
（2）4x2 − 6x = 0 解： a = 4 , b = − 6 , c = 0 .
b2 − 4ac = (−6)2 − 4 4 0 = 36.
− (−6)
x=
3ห้องสมุดไป่ตู้ = 6 6 ,
24
8
3
x1
=
0, x2
=
. 2
他病好下床后，没用真正的牛来酬谢众神，而用面团做成了一百头牛，放在祭坛上烧了，并念念有词地祷告说：“诸位神明，请接受我所许下的承诺吧。它梦见，身子长了整整半尺，自己在吞食梭鱼。 几个月过去了，一只猎鹰已能傲然飞翔，另一只却一直待在枝头纹丝不动。
2、求出b2-4ac的值， 注意：当 b2 − 4ac 0 时，方程无解。 −b b2 − 4ac
3、代入求根公式: x = 2a
4、写出方程的解： x1、x2
四、课堂练习
1.用公式法解下列方程： (1)3x2-6x-2=0 (2)4x2-6x=0 (3) x2+4x+8=4x=11 (4) x(2x-4) =5-8x
玛特迪夫
“真是的，到现在还没来收。 镜子又问：“你不再考虑一下了吗?”狗蛋再次摇了摇头。，猴子在它的果园里种了桃树，兔子在房前菜地里种上蔬菜，山猫则在屋后不远处挖了个鱼塘养鱼
例2 用公式法解下列方程:
(4) x2 +17 = 8x
−b b2 − 4ac x=
2a
解：方程可化为: x2 − 8x +17 = 0
a =1,b = −8,c =17
= b2 − 4ac = (−8)2 − 4117 = −40
∴方程无实数根。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
人教版初三数学上册知识点归纳
人教版初三数学上册知识点归纳第21章 一元二次方程21.1、一元二次方程一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠ 2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。
一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
21.2、解一元二次方程21.2.1、配方法配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
21.2.2、公式法判别式：b ×b-4ac判别式>0时，有两个不相等的实数根判别式=0时，有两个相等的实数根。
判别式<0时，无实数根。
求根公式：2b x a-±= 公式法：解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
21.2.3、因式分解法因式分解法：先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
1.2.4、一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a•= 21.3、实际问题与一元二次方程第22章 二次函数22.1、二次函数的图像和性质22.1.1、二次函数二次函数：形如2y ax bx c =++ （a,b,c 是常数，a 不等于0）的函数，叫做二次函数 22.1.2、二次函数2y ax =的图像和性质22.1.3、二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质22.1.4、二次函数2y ax bx c =++的图形和性质 对称轴：2b x a =-，顶点（2b a-，244ac b x a -=） 22.2、二次函数与一元二次方程22.3、实际问题与二次函数第23章 旋转23.1、图形的旋转图形的旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点o 转动一个角度，叫做图形的旋转。
数学九年级上册 21.2解一元二次方程 ——配方法解一元二次方程
2 4 24
即 (x-3)2 1 4 16
开平方得： x- 3 1
44
∴
x1 1,
x2
1 2
推导
议一议：结合上面例题的解答过程，说出解一元 二次方程的基本思路是什么？具体步骤是什么？
配方
通过 配成完全平方形式 来解一元二次方程的方法， 叫做配方法．
具体步骤： （1）二次项系数化为1； （2）移项； （3）配方（方程两边都加上一次项系数一半的平 方）； （4）开平方。
2 x 2 1 2 x _ _ 122_ _ 2 _ (x _ _ 6_ _ )2 ;
3 x 2 5 x _ _ _ 52_ _ 2_ ( x _ _ _ 52 _ _ ) 2 ;
4 x22 3x_ _ _ 13_ _ 2 (x_ _ １_ 3 _ _ )2.
3. 用配方法解下列方程
（ 1 ） 3x26x40;
（ 2） 4x26x30;
(3) 2x2 3x
归纳小结
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？
把方程配方为（x + n）2 = p （n，p 是常数，p≥0） 的形式，运用直接开平方法，降次求解．
（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些? ①将方程二次项系数化成 1； ②移项； ③配方（方程两边都加上一次项系数一半的平
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
（x + 3）2 = 5
x35
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x3 5 ，或 x35
解一次方程
x13 5， x23 5
九年级数学 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.2公式法1
解方程
3x2 1 x10 22
2x222x10
x2x60
x2 3x 1 0 4
3x26x20
4x2 6x0 x24x84x11
x(2x4)58x
12/10/2021
小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
由配方法解一般的一元二 次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)若 b2-4ac≥0 得
1、把方程化成一般形式, 并写出a，b，c的值。
2a
4 256 4 16 .
w3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
w4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
56
x ;x 1
2
5 12/10/2021
2.
w5.定根:写出原方 程的根.
跟踪练习 用公式法解下列方程： 1.2x2 +5x-3=0 2.(x-2)(3x-5)=0
3.4x2-3x+1=0
12/10/2021
例题1
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6.
b2-4ac= 12-4×2×(-6) = 49.
1 49 1 7
x=
= 22 = 4 .
即 x1= -2 , x2= 3 . 2
2、求出b2-4ac的值。
求根公式 : X=
3、代入求根公式 :
12/10/2021
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
独立
知识的升华
作业
祝你成功！
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21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
21.2.3 因式分解法
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
21.2.3 因式分解法
A 知识要点分类练
知识点 1 因式分解法的依据
1．解方程：2x(x－3)＝0. 解：因为 2x(x－3)＝0，
所以__x_(其__他__答_案__合_理__也__可_)__＝0 或__x_－__3___＝0，
21.2.3 因式分解法
6．小华在解一元二次方程 x2＝4x 时，只得出一个根是 x＝4， 则被他漏掉的一个根是 x＝____0____．
21.2.3 因式分解法
7．2017·德州 方程 3x(x－1)＝2(x－1)的根为_x_＝__23或__x_＝__1 ___．
【解析】移项，得 3x(x－1)－2(x－1)＝0，提公因式，得(3x－2)(x －1)＝0，解得 x＝23或 x＝1.
9．解方程 2(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( D )
A．直接开平方法
B．配方法
C．公式法
D．因式分解法
21.2.3 因式分解法
10．2016·青海 已知等腰三角形的腰和底边的长分别是一元
二次方程 x2－6x＋8＝0 的两根，则该三角形的周长为( B )
A．8
B．10
C．8 或 10
一个整体，设 x－1＝y，则原方程可化为 y2－5y＋4＝0，解得 y1＝1，
y2＝，x－1＝4，解
得 x＝5，所以原方程的解为 x1＝2，x2＝5.利用这种方法求得方程(2x ＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0 的解为( D )
A．x1＝1，x2＝3
21.2.3 因式分解法
3．我们解一元二次方程 3x2－6x＝0 时，可以运用因式分解法，
将此方程化为 3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：x＝0 或 x
－2＝0，从而得到原方程的解为 x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学
思想是( A )
A．转化思想
B．函数思想
C．数形结合思想
D．公理化思想
5．已知关于 x 的一元二次方程 3(x－1)(x－m)＝0 的两个根分 别是 1 和 2，则 m 的值是____2____．
【解析】∵3(x－1)(x－m)＝0， ∴x－1＝0 或 x－m＝0，∴x1＝1，x2＝m. ∵关于 x 的一元二次方程 3(x－1)(x－m)＝0 的两个根分别是 1 和 2， ∴m＝2.
(4)4x2＋3x－2＝0.
解： (1)(x＋1)2＝2.25，x＋1＝±1.5， ∴x1＝0.5，x2＝－2.5. (2)x2＋2x＝288，(x＋1)2＝289，x＋1＝±17，∴x1＝16，x2＝－18.
21.2.3 因式分解法
(3) 3x2－5x＝0，x( 3x－5)＝0，x＝0 或 3x－5＝0，
3 ∴x－3＝0 或 5x－3＝0，∴x1＝3，x2＝5. (3)提公因式，得(x－2)(x＋1)＝0，∴x－2＝0 或 x＋1＝0， ∴x1＝2，x2＝－1.
21.2.3 因式分解法
(4)(2x－1)2－5＝0，(2x－1＋ 5)(2x－1－ 5)＝0，
∴2x－1＋ 5＝0 或 2x－1－ 5＝0，
21.2.3 因式分解法
8．运用因式分解法解下列方程：
(1)x(x－2)＝x；
(2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0；
(3)x(x－2)＋x－2＝0； (4)(2x－1)2－5＝0；
(5)16(x－1)2＝225.
21.2.3 因式分解法
解：(1)移项，得 x(x－2)－x＝0.提公因式，得 x(x－2－1)＝0. 解得 x1＝0，x2＝3. (2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0，(x－3)(x－3＋4x)＝0，(x－3)(5x－3)＝0，
21.2.3 因式分解法
知识点 2 用因式分解法解一元二次方程
4．2016·厦门 方程 x2－2x＝0 的根是( C )
A．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝2
B．x1＝x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2
【解析】x2－2x＝0，x(x－2)＝0，解得 x1＝0，x2＝2.
21.2.3 因式分解法
1－ 5
1＋ 5
∴x1＝ 2 ，x2＝ 2 .
(5)移项，得 16(x－1)2－225＝0，即[4(x－1)]2－152＝0，
∴[4(x－1)＋15][4(x－1)－15]＝0，∴4x＋11＝0 或 4x－19＝0，
11
19
∴x1＝－ 4 ，x2＝ 4 .
21.2.3 因式分解法
知识点 3 用合适的方法解一元二次方程
解得 x1＝____0____，x2＝____3____．
21.2.3 因式分解法
2．方程(x－2)(x＋3)＝0 的解是( D )
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3
D．x1＝2，x2＝－3
【解析】∵(x－2)(x＋3)＝0， ∴x－2＝0 或 x＋3＝0，
即 x1＝2，x2＝－3.故选 D.
B．x1＝－2，x2＝3
C．x1＝－3，x2＝－1
D．x1＝－2，x2＝－1
21.2.3 因式分解法
【解析】设 2x＋5＝y，则原方程可化为 y2－4y＋3＝0， 所以 y1＝1，y2＝3. 当 y＝1 时，2x＋5＝1，解得 x＝－2； 当 y＝3 时，2x＋5＝3，解得 x＝－1， 所以原方程的解为 x1＝－2，x2＝－1.
53 ∴x1＝0，x2＝ 3 .
(4)∵a＝4，b＝3，c＝－2，b2－4ac＝32－4×4×(－2)＝41>0，
－3± 41 －3± 41 ∴x＝ 2×4 ＝ 8 ，
－3＋ 41
－3－ 41
∴x1＝ 8 ，x2＝ 8 .
21.2.3 因式分解法
B 规律方法综合练
12．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0 时，我们可以将 x－1 看成
D．12
【解析】解 x2－6x＋8＝0，得 x1＝4，x2＝2， 由三角形的三边关系可得：该等腰三角形的腰长是 4，底边长是 2，所以该 三角形的周长是 4＋4＋2＝10.
21.2.3 因式分解法
11．用适当的方法解下列方程：
(1)2(x＋1)2＝4.5;
(2)x2＋2x－288＝0；
(3) 3x2＝5x;
21.2.3 因式分解法