高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性与周期性练习 文

第三节函数的奇偶性与周期性
【最新考纲】 1.了解函数奇偶性的含义；会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性与周期性.2.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
1．函数的奇偶性
(1)周期函数.
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期.
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )
(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )
(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．( )
答案：(1)×(2)×(3)√(4)√
2．已知f(x)＝ax 2
＋bx 是定义在[a －1，2a]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13
C.12 D ．－12
解析：依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.
答案：B
3．(2015·福建卷)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e x
C ．y ＝cos x
D ．y ＝e x
－e －x
解析：对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；对于C ，满足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；对于D ，∵f(－x)＝e －x
－e x
＝－(e x
－e －x
)＝－f(x)，∴y ＝e x
－e －x
为奇函数．
答案：D
4．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋52，且f (1)＝2，则f (2 016)＝
________．
解析：∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52， ∴f (x ＋5)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52＋52 ＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋52＝f (x ) ∴f (x )是以5为周期的周期函数． ∴f (2 016)＝f (403×5＋1)＝f (1)＝2. 答案：2
5．(2014·课标全国Ⅱ卷)偶函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)． 又f(x)的图象关于直线x ＝2对称， ∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3. 答案：3
一点注意
分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．
两个结论
1．若f (x )定义域不关于原点对称，则f (x )不具有奇偶性． 2．若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f （x ）或f (x ＋a )＝－1
f （x ）
(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期．
两个性质
1．若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. 2．若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x )． 三种方法
判断函数的奇偶性，一般有三种方法：1.定义法；2.图象法；3.性质法．
一、选择题
1．(2015·北京卷)下列函数中为偶函数的( ) A ．y ＝x 2
sin x B ．y ＝x 2
cos x C ．y ＝|ln x| D ．y ＝2－x
解析：因为y ＝x 2
是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；C 选项中函数的定义域为(0，＋∞)，故为非奇非偶函数；D 选项为
指数函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，是非奇非偶函数．
答案：B
2．函数y ＝log 21＋x
1－x
的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝－x 对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称 解析：由1＋x
1－x ＞0得－1＜x ＜1，
即函数定义域为(－1，1)，
又f(－x)＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x
1－x ＝－f(x)，
∴函数y ＝log 21＋x
1－x 为奇函数．
答案：A
3．(2016·河北衡水中学二模)关于函数f(x)＝log 3(－x)和g(x)＝3－x
，下列说法中正确的是( )
A ．都是奇函数
B ．都是偶函数
C ．函数f(x)的值域为R
D ．函数g (x )的值域为R
解析：函数f (x )＝log 3(－x )和g (x )＝3－x
＝(13)x 既不是偶函数也不是奇函数；f (x )的值
域为R ，g (x )的值域为(0，＋∞)．
答案：C
4．(2016·河北五校联考)设f(x)是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，
f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧4x 2
－2，－2≤x ≤0x ，0＜x ＜1，则f (52)＝( )
A ．0
B ．1 C.1
2 D ．－1
解析：因为f (x )是周期为3的周期函数，所以
f (5
2)＝f (－12＋3)＝f (－12)＝4×(－12
)2－2＝－1.
答案：D
5．(2016·石家庄一模)已知偶函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x ，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log 2x ，则f(－π
3
)＋f(4)＝( )
A ．－3＋2
B ．1
C ．3 D.3＋2
解析：因为f(－π3)＝f(π3)＝2sin π3＝3，f(4)＝log 24＝2，所以f(－π
3)＋f(4)＝3
＋2.
答案：D
6．(2014·山东卷)对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a －x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )
A ．f(x)＝x
B ．f(x)＝x 2
C ．f(x)＝tan x
D ．f(x)＝cos (x ＋1)
解析：由f(x)＝f(2a －x)知f(x)的图象关于x ＝a 对称，且a≠0，A ，C 中两函数图象无对称轴，B 中函数图象的对称轴只有x ＝0，而D 中当a ＝k π－1(k∈Z)时，x ＝a 都是y ＝cos(x ＋1)的图象的对称轴．
答案：D
二、填空题
7．函数f(x)＝（x ＋1）（x ＋a ）
x 3
为奇函数，则a ＝________． 解析：由题意知，g(x)＝(x ＋1)(x ＋a)为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－1
8．(2016·杭州七校联考)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝x 2
，若对于任意x∈R，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________．
解析：∵由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.
∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1. 答案：1
三、解答题
10．设f(x)是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .
(1)判定f (x )的奇偶性；
(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式． 解：(1)∵f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (－x )＝f (2＋x )．
又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．
∴f (x )是偶函数．
(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；
进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，
f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.
故f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－x ，x ∈[－1，0），x ，x ∈[0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].
11．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由f(x ＋2)＝－f(x)得，
f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝－f(x ＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函数与f(x ＋2)＝－f(x)，得： f[(x －1)＋2]＝－f(x －1)＝f[－(x －1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x ，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示．
当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×2×1＝
4.。