11.2—与三角形有关的角(难)

10. 如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论： ①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°．其中正确 的结论是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ①②③④
11. 两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（ ） A. ∠1与∠2 B. ∠2与∠3 C. ∠1与∠3 D. 三个角都相等
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11.2—与三角形有关的角（难）
(考试时间60分钟；满分0分)
选择题 (共11小题，共 分)
1. 如图，∠A=120°，且∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6，则∠BDE=（ ） A. 60° B. 70° C. 80° D. 不能确定，具体由三角形的形状确定 2. 如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1， ∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于 点A5，则∠A5的度数为（ ） A. 19.2° B. 8° C. 6° D. 3°
2
探究四：如图3，∠A=α，∠ABC、∠ACB三等分线分别交于点O1、O2，四条等分线构成两个角∠BO1C， ∠BO2C，则∠BO2C+∠BO1C= ．
探究五：如图4，∠A=α，∠ABC、∠ACB四等分线分别交于点O1、O2、O3，六条等分线构成三个角 ∠BO3C，∠BO2C，∠BO1C，则∠BO3C+∠BO2C+∠BO1C= ．
25. （Ⅰ）（1）问题引入 如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC= 示）； （2）拓展研究 如图②，∠CBO=1 ∠ABC，∠BCO= 1 ∠ACB，∠A=α，试求∠BOC的度数
3 3
（用α表
（用α表示）
（3）归纳猜想 若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=1 ∠ABC，∠BCO= 1
14. 在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB交AB于E，D 在AC上，且∠CBD=20°，则∠CED的度数是 ．
15. 如图，已知两块三角板如图摆放，点B和点C分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点M在 另一块三角板的边上，且∠BAC=40°，∠E=60°，∠F=45°，则∠ABE+∠EMF+∠FCA= 度．
24. 已知，在△ABC中，∠A=∠C，点F和E分别为射线CA和射线BC上一点，连接BF和FE，且∠BFE=∠FEB． （1）如图1，当点F在线段AC上时，若∠FBE=2∠ABF，则∠EFC与∠FBE的数量关系为 （2）如图2，当点F在CA延长线上时，探究∠EFC与∠FBA的数量关系，并说明理由． （3）如图3在（2）的条件下，过C作CH⊥AB于点H，CN平分∠BCH，CN交AB于N，由N作NM⊥NC交 CF于M，若∠BFE=5∠FBA，MN∥FB时，求∠ABC的度数． ．
填空题 (共8小题，共 分)
12. 如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的 角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是 ∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为 ．
13. 如图，在第1个△ABA1中，∠B=40°，∠BAA1=∠BA1A，在A1B上取 一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中， ∠A1CA2=∠A1 A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3 个△A2DA3中，∠A2DA3=∠A2 A3D；…，按此做法进行下去，第3个三 角形中以A3为顶点的内角的度数为 ． ； 第n个三角形中以An为顶点的内角的度数为
3. 如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的 反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°
4. 如图，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC=120°，则∠A=（ ） A. 60° B. 120° C. 110° D. 40°
2
其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
8. 如图，△ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相较于点P，若∠BPC=25°，则 ∠CAP=（ ） A. 45° B. 50° C. 55° D. 65°
9. 如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为 （ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
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其中正确的结论有
（填序号）
18. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BD平分∠CBE，则∠ADB= 度．
19. 如图，AD是△ABC的外角平分线，∠B=30°，∠DAE=65°，则∠ACD等于 度．
解答题 (共21小题，共 分)
20. 如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，则∠BEC= °，则∠BEC= 【探究】 （1）如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=a°，则∠BEC= 理由； （3）如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明 理由． ； （2）如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明 ． ；若∠A=a
16. 在△ABC中，∠A=70°，若点O为三角形三边上的高所在直线的交点，点O不与B、C重合，则∠BOC的度数 是 ．
17. 如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角 ∠ABC、外角∠ACF．以下结论： ①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC； ⑤∠BDC= 1 ∠BAC．
n n
∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC=
（用α表示）．
26. （1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置．试写出∠A与∠1+∠2之间 的关系，并说明理由； （2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部点A′的位置，如图②所示．此时∠A与∠1、 ∠2之间存在什么样的关系？直接写出 直接写出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的关系 ． ． （3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置，如图③所示．
22. 如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交 于点E． （1）∠E= °； （2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F． ①依题意在图1中补全图形； ②求∠AFC的度数； （3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=1 ∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在
n n
∠ACB，∠A=α，则∠BOC= （Ⅱ）类比探索 （1）特例思考
（用α表示）．
如图③，∠CBO=1 ∠DBC，∠BCO=1 ∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用α表示）．
3 3
（2）一般猜想 若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO= 1 ∠DBC，∠BCO= 1
探究六：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O1、O2、…、On-1，（2n2））等分线构成（n-1）个角∠BOn-1C…∠BO3C，∠BO2C，∠BO1C，则∠BOn-1C+… ∠BO3C+∠BO2C+∠BO1C= 28. 已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列 问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系 别相交于M、N，利用（1）的结论，试求∠P的度数； （3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系？并说 明理由． ； （2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分 ．
2
2 ∴∠O1BC+∠O1CB=1 （∠ABC+∠ACB）=1 （180°-α） 2 2 ∴∠BO1C=180°-1 （180°-α）=90°+1 α． 2 2
探究二：如图3，∠A=α，∠ABC、∠ACB三等分线分别交于点O1、O2，求∠BO2C的度数． 解：由题意可得∠O2BC=2 ∠ABC，∠O2CB=2 ∠ACB
27. 数学问题：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O1、O2、…、On-1，求 ∠BOn-1C的度数？
问题探究：我们从较为简单的情形入手． 探究一：如图2，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于点O1，求∠BO1C的度数？
解：由题意可得∠O1BC=1 ∠ABC，∠O1CB=1 ∠ACB
21. 已知△ABC，D为△ABC所在平面上一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD． （1）若D点是△ABC中BC边上一点，如图1所示，判断∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结 论． （2）若D点是△ABC中AB边上一点，如图2所示，判断∠BDC、∠BPC、∠A之间存在怎样的等量关系？并证 明你的结论． （3）若D点是△ABC外任一点，如图3所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结 论． （4）若D点是△ABC内一点，如图4所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论， 不需要证明）
3 3 ∴∠O2BC+∠O2CB=2 （∠ABC+∠ACB）=2 （180°-α） 3 3 ∴∠BO2C=180°-2 （180°-α）=60°+2 α． 3 3