与三角形有关的角测试题及答案 (1)
人教版四年级数学下册第五单元《三角形》测试题(含答案)
人教版四年级数学下册第五单元《三角形》测试题（含答案）一、单选题1.三角形内角的度数相等，三角形内角是（）度。
A. 30B. 60C. 90D. 1502.张叔叔不小心把一块三角形的玻璃摔成了三块，他想到玻璃店买一块一样大的玻璃，他应带第（）块去。
A. 1B. 2C. 3D. 以上任意一块都行3.一个三角形如果有两条边一样长，下面描述不正确的是（）A. 一定有两个角相等B. 一定是等腰三角形C. 一定是锐角三角形D. 有可能是等边三角形4.若一个三角形的三条边长的比是1：1：1，则这是一个（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形二、判断题5.三角形越大，它的内角和就越大。
（）6.任意一个三角形，至少有两个角是锐角。
（）7.等边三角形一定是等腰三角形。
（）8.如果一个三角形每两个内角之差都等于0，这个三角形一定是等边三角形。
（）三、填空题9.三角形的三个角∠A、∠B、∠C之和为180°，∠C=________°10.一个等腰三角形的顶角是72°，它的一个底角是________°．11.一根绳子长48厘米．（1）如果用这根绳子围成一个底为12厘米的等腰三角形，这个三角形的腰是________厘米?（2）如果用这根绳子围成一个等边三角形，这个三角形的边长是________厘米?四、解答题12.求下面角的度数．=________13.一个等腰三角形的周长是30厘米，如果三角形的腰长是8厘米，那么这个三角形的底边长是多少厘米？五、应用题14.等腰三角形有一个角是70°，它的另外两个角是多少度？参考答案一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】解：180°÷（1+2+3）=180°÷6=30°，所以最大的内角是：3×30°=90°。
故答案为：C。
【分析】三角形的内角和是180°，先计算出每份的度数，再求出最大的内角的度数即可。
最新人教版初中数学八年级数学上册第一单元《三角形》测试题(含答案解析)(1)
一、选择题1．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合DFB ∠的度数为（ ）A ．145︒B ．155︒C ．165︒D ．175︒2．将一副三角板和一张对边平行的纸条按图中方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1∠的度数是（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°3．如图，AD 是ABC 的外角CAE ∠的平分线，35B ∠=︒，60=︒∠DAC ，则ACD∠的度数为（ ）A ．25︒B ．85︒C ．60︒D ．95︒ 4．如果一个三角形的三边长分别为5,8,a ．那么a 的值可能是（ ）A ．2B ．9C ．13D ．155．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，D 为BC 边上的一点，点E 在AC 边上，ADE AED ∠=∠，若10CDE ∠=︒，则BAD ∠的度数为（ ）A ．20°B ．15°C ．10°D ．30° 6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A ．1，2，3B ．1，3，5C ．2，3，4D ．2，6，107．在ABC 中，若B 与C ∠互余，则ABC 是（ ）三角形A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形8．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（ ）A ．4cm, 5cm,9cmB ．4cm, 5cm, 6cmC ．5cm,12cm,6cmD ．4cm,2cm,2cm9．在ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ） A ．必有一个内角等于30° B ．必有一个内角等于45° C ．必有一个内角等于60°D ．必有一个内角等于90°10．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝47°，则∠β的度数是（ ）A ．43°B ．47°C ．30°D ．60° 11．内角和与外角和相等的多边形是（ ） A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形12．下列说法正确的个数为（ ）①过两点有且只有一条直线；②两点之间，线段最短；③若ax ay =，则x y =；④若A 、B 、C 三点共线且AB BC =，则B 为AC 中点；⑤各边相等的多边形是正多边形． A ．①②④B ．①②③C ．①④⑤D ．②④⑤二、填空题13．如图1，ABC 纸片面积为24，G 为ABC 纸片的重心，D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <）连结CG ，DG ，并将纸片剪去GDC ，则剩下纸片（如图2）的面积为__________．14．如图，,AE AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且6B 3︒∠=，6C 7︒∠=则DAE ∠的度数为__．15．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在F 处，折痕为BC ，FBD ∠的角平分线为BE ，将FBD ∠沿BF 折叠使BE ，BD 均落在FBC ∠的内部，且BE 交CF 于点M ，BD 交CF 于点N ，若BN 平分CBM ∠，则ABC ∠的度数为_________．16．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G ＝_____．17．如图，在一个四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，且∠ABC=80°，∠BCD=70°，则∠AED=_________．18．AD 为ABC 的中线，AE 为ABC 的高，ABD △的面积为14，7,2AE CE ==则DE 的长为_________．19．如图，在△ABC 中，∠A=64°，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；…；∠A n-1BC 与∠A n-1CD 的平分线相交于点A n ，要使∠A n 的度数为整数，则n 的值最大为______．20．如图，ABC 面积为1，第一次操作：分别延长,,AB BC CA 至点111,,A B C 使111,,A B AB B C BC C A CA ===顺次结111,,A B C ，得到111A B C △，第二次操作：分别延长111111,,A B B C C A 至点222A B C ，使211121112111,,A B A B B C B C C A C A ===，顺次连结222,,A B C ，得到222A B C △…，按此规律，则333A B C △的面积为_______．三、解答题21．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点P ，根据下列条件，求BPC ∠的度数．（1）若40ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则BPC ∠=______； （2）若110ABC ACB ∠+∠=︒，则BPC ∠=______； （3）若90A ∠=︒，则BPC ∠=______；（4）从以上的计算中，你能发现已知A ∠，求BPC ∠的公式是：BPC ∠=______（提示：用A ∠表示）．22．如图1，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE ⊥BC 于点E ． （1）若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE 的度数； （2）若∠C ＞∠B ，试说明∠DAE=12(∠C-∠B)； （3）如图2，若将点A 在AD 上移动到A′处，A′E ⊥BC 于点E ．此时∠DAE 变成∠DA′E ，请直接回答：（2）中的结论还正确吗？23．如图①，ABC 中，BD 平分ABC ∠，且与ABC 的外角ACE ∠的角平分线交于点D ．（1）若75ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，求D ∠的度数；（2）若把A ∠截去，得到四边形MNCB ，如图②，猜想D ∠、M ∠、N ∠的关系，并说明理由．24．如图，已知BP 是△ABC 的外角∠ABD 的平分线，延长CA 交BP 于点P ．射线CE 平分∠ACB 交BP 于点E ．（1）若∠BAC=80°，求∠PEC 的度数；（2）若∠P=20°，分析∠BAC 与∠ACB 的度数之差是否为定值？（3）过点C 作CF ⊥CE 交直线BP 于点F ．设∠BAC=α，求∠BFC 的度数（用含α的式子表示）．25．若a ，b ，c 是ABC 的三边的长，化简|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c+a ﹣b|． 26．如图ABC 中，45B ∠=︒，70ACB ∠=︒，AD 是ABC 的角平分线，F 是AD 上一点EF AD ⊥，交AC 于E ，交BC 的延长线于G ．求G ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据三角形的内角和定理可求45E ∠=︒，利用补角的定义可求120FBE ∠=︒，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出DFB ∠的度数 【详解】 解：在DEC ∆中∵90C ∠=︒，45CDE ∠=︒ ∴45E ∠=︒ 又∵60ABC ∠=︒ ∴120FBE ∠=︒ 由三角形的外角性质得DFB E FBE ∠=∠+∠ 45120=︒+︒165=︒故选：C 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，互为补角的定义及三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角性质2．B解析：B 【分析】延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：如图，由平行线的性质可得∠2=30°， ∠1=∠3-∠2=45°-30°=15°． 故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．3．D解析：D 【分析】根据角平分线的定义可得∠DAC ＝∠DAE ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠D ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】 解：∵AD 是∠CAE 的平分线，60=︒∠DAC ， ∴∠DAC ＝∠DAE ＝60°， 又∵35B ∠=︒由三角形的外角性质得，∠D ＝∠DAE−∠B ＝60°−35°＝25°， ∴在△ACD 中，∠ACD ＝180°−∠DAC －∠D ＝180°−60°−25°＝95°． 故选：D ． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．4．B解析：B 【分析】根据三角形三边关系得出a 的取值范围，即可得出答案． 【详解】 解：8-5＜a ＜8+5 3＜a ＜13， 故a 的值可能是9， 故选：B ． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握知识点是解题关键．5．A解析：A 【分析】先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EDC ，再根据∠B=∠C ，∠ADE=∠AED 即可得出结论． 【详解】解：∵∠ADC 是△ABD 的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD ，∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠B+∠BAD-∠CDE ∵∠AED 是△CDE 的外角， ∴∠AED=∠C+∠EDC ， ∵∠ADE=∠AED ，∴∠B+∠BAD-∠CDE=∠C+∠EDC ， ∵∠B=∠C ， ∴∠BAD=2∠EDC ， ∵10CDE ∠=︒ ∴∠BAD=20°； 故选：A 【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．6．C解析：C 【分析】根据三角形三边关系逐一进行判断即可． 【详解】A 、1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意；B 、1+3=4＜5，不能构成三角形，故不符合题意；C 、2+3=5>4，可以构成三角形，故符合题意；D 、2+6=8＜10，不能构成三角形，故不符合题意， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，比较简单，熟记三边关系定理是解决本题的关键．7．B解析：B 【分析】由B 与C ∠互余，结合180A B C ∠+∠+∠=︒，求解A ∠，从而可得答案． 【详解】 解：B 与C ∠互余，90B C ∴∠+∠=︒， 180A B C ∠+∠+∠=︒， 90A ∴∠=︒，ABC ∴是直角三角形，故A 、C 、D 不符合题意，B 符合题意， 故选：B ． 【点睛】本题考查的是两个角互余的概念，三角形的内角和定理的应用，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解题的关键．8．B解析：B 【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，知： A 中，4+5=9，排除； B 中，4+5＞6，满足； C 中，5+6＜12，排除；D中，2+2=4，排除．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．9．D解析：D【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠C=∠A+∠B代入求出∠C即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴必有一个内角等于90°，故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．10．A解析：A【分析】延长BC交刻度尺的一边于D点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求角转化到Rt△CDE中，利用内角和定理求解．【详解】如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，∵AB∥DE，∴∠β＝∠EDC，又∵∠CED＝∠α＝47°，∠ECD＝90°，∴∠β＝∠EDC＝90°﹣∠CED＝90°﹣47°＝43°．故选：A．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．11．C解析：C 【分析】设这个多边形为n 边形，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形为n 边形，由题意得 （n-2）180°=360°， 解得n=4，所以这个多边形是四边形． 故选：C 【点睛】本题考查多边形的内角和公式，多边形的外角和360°，熟知两个定理是解题关键．12．A解析：A 【分析】根据直线的性质、两点间的距离、等式的性质、线段中点定义、多边形的定义依次判断． 【详解】①过两点有且只有一条直线，故①正确； ②两点之间，线段最短，故②正确；③若ax ay =，当0a =时，x 不一定等于y ，故③错误；④若A ，B ，C 三点共线且AB BC =，则B 为AC 中点，故④正确； ⑤各角都相等且各边相等的多边形是正多边形，故⑤错误． ∴正确的有①②④， 故选：A ． 【点睛】此题考查理解能力，正确掌握直线的性质、两点间的距离、等式的性质、线段中点定义、正多边形的定义是解题的关键．二、填空题13．18【分析】连接BG 根据重心的性质得到△BGC 的面积再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积故可求解【详解】连接BG ∵G 为纸片的重心∴S △BGC=S △ABC=8∵D 为边上的一个四等分点（）∴S △解析：18 【分析】连接BG ，根据重心的性质得到△BGC 的面积，再根据D 点是BC 的四等分点得到△GDC 的面积，故可求解． 【详解】连接BG ，∵G 为ABC 纸片的重心，∴S △BGC =13S △ABC =8 ∵D 为BC 边上的一个四等分点（BD CD <） ∴S △DGC =34S △BGC =6 ∴剪去GDC ，则剩下纸片的面积为24-6=18故答案为：18．【点睛】此题主要考查重心的性质，解题的关键是熟知重心的性质及面积的换算关系．14．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠CAD=34°进而得出∠CAE 的度数进而得出答案【详解】解：∵且∴∵平分∴∵是的高∴∴∴∴故答案为：20°【点睛】此题考查三角形的角平分线中线解析：20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出68BAC ︒∠=，∠CAD =34°，进而得出∠CAE 的度数，进而得出答案．【详解】解：∵180B BAC C ︒∠+∠+∠=，且6B 3︒∠=，6C 7︒∠=，∴180180367668BAC B C ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=，∵AD 平分BAC ∠，∴11683422CAD BAC ︒︒∠=∠=⨯=， ∵AE 是ABC ∆的高， ∴90AEC ︒∠=，∴90C CAE ︒∠+∠=，∴90907614CAE C ︒︒︒︒∠=-∠=-=，∴341420DAE CAD CAE ︒︒︒∠=∠-∠=-=，故答案为：20°．【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定义．15．5°【分析】根据角平分线的定义可得再根据折叠的性质可得再根据平分可得进而可得【详解】解：∵的角平分线为∴又∵与关于对称∴∵与关于对称∴又∵平分∴又∵为折痕∴∵∴又∵∴∴又∵∴故答案为：675°【点睛 解析：5°．【分析】根据角平分线的定义可得1FBE ∠=∠，再根据折叠的性质可得1MBF FBE ∠=∠=∠，NBF FBD ∠=∠，CBA CBF ∠=∠， 再根据BN 平分CBM ∠可得CBN NBM ∠=∠，进而可得318067.58ABC ∠=⨯=． 【详解】解：∵FBD ∠的角平分线为BE ，∴1FBE ∠=∠， 又∵BM 与BE 关于BF 对称，∴1MBF FBE ∠=∠=∠， ∵BN 与BD 关于BF 对称，∴NBF FBD ∠=∠FBE EBD =∠+∠11=∠+∠21=∠，又∵BN 平分CBM ∠，∴CBN NBM ∠=∠，又∵BC 为折痕，∴CBA CBF ∠=∠CBN NBF =∠+∠21NBM =∠+∠，∵NBM NBF MBF ∠=∠-∠211=∠=∠1=∠，∴31CBA ∠=∠，又∵180CBA CBF FBD ∠+∠+∠=，∴3112121180∠+∠+∠+∠=，∴81180∠=，又∵31ABC ∠=∠，∴318067.58ABC ∠=⨯=， 故答案为：67.5°．【点睛】 本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平角的定义，解题的关键是理解题意，找到31808ABC ∠=⨯． 16．540°【分析】连接GD 根据多边形的内角和定理可求解∠A+∠B+∠C+∠CDG+∠DGA ＝540°再利用三角形的内角和定理结合对顶角的性质可求得∠FGD+∠EDG ＝∠E+∠F 进而可求解【详解】解：连解析：540°【分析】连接GD ，根据多边形的内角和定理可求解∠A+∠B+∠C+∠CDG+∠DGA ＝540°，再利用三角形的内角和定理结合对顶角的性质可求得∠FGD+∠EDG ＝∠E+∠F ，进而可求解．【详解】解：连接GD ，∠A+∠B+∠C+∠CDG+∠DGA ＝（5﹣2）×180°＝540°，∵∠1+∠FGD+∠EDG ＝180°，∠2+∠E+∠F ＝180°，∠1＝∠2，∴∠FGD+∠EDG ＝∠E+∠F ，∴∠A+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F+∠FGA ＝540°，故答案为540°．【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，三角形的内角和定理，掌握相关定理是解题的关键． 17．75°【分析】先根据四边形的内角和求出∠BAD+∠CDA 然后再根据角平分线的定义求得∠EAD+∠EDA 最后根据三角的内角和定理求解即可【详解】解：∵在四边形ABCD 中∠ABC=80°∠BCD=70°解析：75°．【分析】先根据四边形的内角和求出∠BAD+∠CDA ，然后再根据角平分线的定义求得∠EAD+∠EDA,最后根据三角的内角和定理求解即可．【详解】解：∵在四边形ABCD 中，∠ABC=80°，∠BCD=70°∴∠BAD+∠CDA=360°-80°-70°=210°∵∠EAD=12∠BAD ，∠EDA=12∠CAD ∴∠EAD+∠EDA=12（∠BAD+∠CDA ）=105° ∴∠AED=180°-（∠EAD+∠EDA ）=180°-105°=75°．故答案为75°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和、四边形的内角和以及角平分线的相关知识，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．18．2或6【分析】利用面积法求出BD 即可求得CD 再分AE 在内部和外部求出DE 即可【详解】解：为的高△ABD 的面积为14AE=7∴∵为的中线∴CD=BD=4当AE 在内部时∵CE=2∴DE=CD-CE=2当解析：2或6【分析】利用面积法求出BD ，即可求得CD ，再分AE 在ABC 内部和外部，求出DE 即可．【详解】解：AE 为ABC 的高，△ABD 的面积为14，AE=7，1142∴⋅⋅=BD AE ， ∴2828=4,B 7D ==AE ∵AD 为ABC 的中线， ∴CD=BD=4，当AE 在ABC 内部时∵CE=2，∴DE=CD-CE=2，当AE 在ABC 外部时∵CE=2，∴DE=CD+CE=6，故答案为：2或6【点睛】本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．19．6【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠A ＝2∠A1同理可得∠A1＝2∠A2即∠A＝22∠A2因此找出规律【详解】由三角形的外角性质得∠ACD＝∠A＋∠ABC∠A1CD＝∠A解析：6【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，因此找出规律．【详解】由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC＝12∠ABC，∠A1CD＝12∠ACD，∴∠A1＋∠A1BC＝12（∠A＋∠ABC）＝12∠A＋∠A1BC，∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，而∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，∠ACD＝∠ABC＋∠A，∴∠A＝2∠A1，∴∠A1＝12∠A，同理可得∠A1＝2∠A2，∴∠A2＝14∠A，∴∠A＝2n∠A n，∴∠A n＝（12）n∠A＝642n，∵∠A n的度数为整数，∴n＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的12是解题的关键． 20．343【分析】先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积再根据两三角形的倍数关系求解即可【详解】△ABC 与△A1BB1底相等（AB ＝A1B ）高为1：2（BB1＝2BC ）故面积比为1：2∵解析：343【分析】先根据已知条件求出△A 1B 1C 1及△A 2B 2C 2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．【详解】△ABC 与△A 1BB 1底相等（AB ＝A 1B ），高为1：2（BB 1＝2BC ），故面积比为1：2， ∵△ABC 面积为1，∴112A BB S =△，同理可得11112C B C A C A S S ==△△, ∴1112317A B C S =⨯+=△；同理可证222111749A B C A B C S S ==△△，所以333749343A B C S =⨯=△，故答案为：343．【点睛】本题考查了图形面积的规律探究，准确找到每变化一次之后图形面积的变化规律是解决问题的关键．三、解答题21．（1）130°；（2）125°；（3）135°；（4）1902A ︒+∠． 【分析】（1）依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；（2）依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；（3）依据∠A=90°，可得∠ABC+∠ACB 的度数，依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；（4）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB 的度数，依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC=90°+12∠A ．【详解】解：如下图所示，（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=20°+30°=50°，∴△BCP 中，∠P=180°-50°=130°，故答案为：130°；（2）∵∠ABC+∠ACB=110°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=12×110°=55°， ∴△BCP 中，∠P=180°-55°=125°，故答案为：125°；（3）∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=12×90°=45°， ∴△BCP 中，∠P=180°-45°=135°，故答案为：135°；（4）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ， ∴124(180)2A ∠+∠=⨯︒-∠， ∴△BCP 中，11180(180)9022P A A =︒-⨯︒-∠=︒+∠∠． 故答案为：1902A ︒+∠． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．22．（1）∠DAE=15°；（2）见解析；（3）正确．【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据角平分线的定义求得∠BAD 的度数，在△ABE 中，利用直角三角形的性质求出∠BAE 的度数，从而可得∠DAE 的度数． （2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B 和∠C 表示出∠A′DE ，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=12(∠C-∠B)． 【详解】（1）∵∠C=80°，∠B=40°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-40°-80°=60°，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30°， ∵AE ⊥BC ，∴∠AEC=90°，∴∠BAE=50°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =20°；（2）理由：∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12(180°-∠B-∠C)= 90°-12∠B-12∠C ， ∵AE ⊥BC ，∴∠AEC=90°，∴∠BAE=90°-∠B ，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°-∠B) -(90°-12∠B-12∠C ) =12∠C-12∠B =12(∠C-∠B)； （3）（2）中的结论仍正确．∵∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+12∠BAC=∠B+12(180°-∠B-∠C) = 90°+12∠B-12∠C ； 在△DA′E 中，∠DA′E=180°-∠A′ED -∠A′DE=180°-90°-(90°+12∠B-12∠C) =12(∠C-∠B)． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．23．（1）30D ∠=︒；（2）()11802D M N ∠=∠+∠-︒，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线定义，先求出∠D 、∠A 的等式，推出∠A=2∠D ，最后代入求出即可；（2）根据（1）中的结论即可得到结论．【详解】解：ACE A ABC ∠=∠+∠，ACD ECD A ABD DBE ∴∠+∠=∠+∠+∠，DCE D DBC ∠=∠+∠，又∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACE ∠，ABD DBE ∴∠=∠，ACD ECD ∠=∠，()2A DCE DBC ∴∠=∠-∠，D DCE DBC ∠=∠-∠，2A D ∴∠=∠，75ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，60A ∴∠=︒，30D ∴∠=︒；（2）()11802D M N ∠=∠+∠-︒； 理由：延长BM 、CN 交于点A ，则180A BMN CNM ∠=∠+∠-︒，由（1）知，12D A ∠=∠， ()11802D M N ∴∠=∠+∠-︒．【点睛】此题考查三角形内角和定理以及角平分线的定义的综合运用，解此题的关键是求出∠A=2∠D ．24．（1）140°；（2）是定值；（3）∠BFC=90°12-α 【分析】（1）首先证明∠CEB 12=∠CAB ，求出∠CEB 即可解决问题． （2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（3）利用是菱形内角和定理以及（1）中结论解决问题即可．【详解】由题意，可以假设∠ACE=∠ECB=x ，∠ABP=∠PBD=y ．（1）由三角形的外角的性质可知：2y BAC 2x y CEB x =∠+⎧⎨=∠+⎩， 可得∠CEB 12=∠CAB=40°， ∴∠PEC=180°-40°=140°；（2）由三角形的外角的性质可知，∠BAC=∠P+y ，y=∠P+2x ， ∴∠BAC=2∠P+2x ，∴∠BAC -∠ACB=∠BAC-2x=2∠P=40°，∴∠BAC -∠ACB=40°，是定值；（3）∵CF ⊥CE ，∴∠ECF=90°，由（1）得：∠CEB 12=∠CAB ， ∴∠BFC=90°-∠CEB=90°12-∠CAB=90°12-α． 【点评】 本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．25．3c+a ﹣b ．【分析】根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．【详解】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a ﹣b ﹣c ＜0，b ﹣c ﹣a ＜0，c+a ﹣b ＞0．∴|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c+a ﹣b|＝b+c ﹣a+c+a ﹣b+c+a ﹣b＝3c+a ﹣b ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系、绝对值的性质、整式加减的应用，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．26．12.5【分析】根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得出∠ADC的度数，再根据垂直定义以及三角形的内角和即可得出∠G的度数．【详解】解：∵∠B＝45°，∠ACB＝70°，AD是ABC的角平分线，∴∠BAC＝2∠CAD＝65°，∴∠ADC＝180°﹣70°﹣32.5°＝77.5°，∵EF⊥AD，∴∠G＝180°﹣90°﹣77.5°＝12.5°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，难度适中．。
《11-2与三角形有关的角(第1课时)》测试与评价
《11.2与三角形有关的角（第1课时）》测试与评价本课时的主要内容是三角形的内角和定理．以下题目分为三个水平等级：水平1（用★☆☆表示）：运用基本知识、基本技能就能解决的题目；水平2（用★★☆表示）：灵活运用基本知识、基本技能，并要具备一定的运算能力和推理能力才能解决的题目；水平3（用★★★表示）：综合运用基本知识、基本技能、方法技巧，并要具备一定的运算能力和推理能力才能解决的题目．一、选择题．1．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=65°，则∠C=（）．A．65°B．55°C．45°D．75°考查目的：本题考查三角形的内角和的有关计算．水平等级：★☆☆解析：因为三角形的内角和为180°，所以∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－65°=55°，故选B．答案：B．2．在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B等于（）．A．50°B．75°C．100°D．125°考查目的：本题考查三角形的内角和的有关计算．水平等级：★☆☆解析：由于∠B比∠C大25°，所以可将∠C表示为∠B－25°，然后利用三角形的内角和定理∠A+∠B+∠C=180°，列出关于∠B的方程，即55°+∠B+∠B－25°=180°，解得∠B=75°，故选B．答案：B．3．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）.（第3题）A ．85°B ．80°C ．75°D ． 70°考查目的：本题考查三角形的内角和以及角平分线的有关计算．水平等级：★☆☆解析：在△ABC 中先由三角形的内角和定理求出∠C =60°，然后由三角形的角平分线的定义求出∠DBC =35°，最后在△BDC 中利用内角和定理求出∠BDC=85°，故选A ．答案：A ．二、填空题．4. 在△ABC 中，∠A :∠B :∠C =1:2:3，则∠C = ，△ABC 是 三角形. 考查目的：本题考查三角形的内角和的有关计算以及直角三角形的定义．水平等级：★☆☆解析：本题可由条件设∠A =x °，∠B =2x °，∠C =3x °，然后根据三角形的内角和定理列方程x +2x +3x=180，解得x =30，从而求出∠C =3x °=90°，所以△ABC 是直角三角形．答案：90°，直角．5. 若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于．考查目的：本题考查三角形的内角和定理．水平等级：★☆☆解析：根据三角形的内角和等于180°，可以求出另一个锐角为70°．答案：70°．6. 如图，在△ABC 中，∠B =46°，∠C =54°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE ∥AB ，交AC 于E ，则∠ADE 的大小是 ．（第6题）B考查目的：本题考查三角形的内角和定理以及角平分线、平行线的性质等．水平等级：★★☆解析：先由三角形的内角和定理求出∠BAC =80°，再由角平分线的定义求出∠BAD = 40°，最后再由DE ∥AB 的条件，得到∠ADE=∠BAD=40°．答案：40°．三、解答题．7. 如图，在△ABC 中，∠BAC =80°，∠C =60°，高AD 和角平分线BE 交于F ，求 ∠AFB .考查目的：本题考查三角形的内角和、高线、角平分线的有关计算．水平等级：★★☆(第7题)解析：本题可先在△ABC中由三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，然后利用角平分线的条件求出∠ABF，在△ADC中求出∠DAC，进一步求出∠BAD，最后在△BAF 中利用内角和定理求出∠AFB．解：∵△ABC中，∠BAC=80°，∠C=60°，∴∠ABC=40°．又BE平分∠ABC，∴∠ABF=20°．∵在△ADC中，AD是高，∠C=60°，∴∠DAC=180°－90°－60°=30°．∴∠BAD=∠BAC－∠DAC =80°－30°=50°．∴△ABF中，∠AFB=180°－∠ABF－∠BAD=180°－20°－50°=110°．。
8年级数学上册第11章三角形测试题及答案人教版
8年级数学上册第11章三角形测试题一、填空题1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，则∠C=°.2.小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是：，，(单位：cm).3.如果等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是.4.三角形的一边为5cm，一边为7cm，则第三边的取值范围是.5.△ABC中，若∠A=35°，∠B=65°，则∠C=;若∠A=120°，∠B=2∠C，则∠C=.6.三角形三个内角中，最多有个直角，最多有个钝角，最多有个锐角，至少有个锐角.7.三角形按角的不同分类，可分为三角形，三角形和三角形.8.一个三角形三个内角度数的比是2：3：4，那么这个三角形是三角形.9.在△ABC中，∠A﹣∠B=36°，∠C=2∠B，则∠A=，∠B=，∠C=.10.若△ABC中，∠A+∠B=∠C，则此三角形是三角形.11.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1：2，则这个等腰三角形的顶角为.12.已知△ABC为等腰三角形，①当它的两个边长分别为8cm和3cm时，它的周长为;②如果它的一边长为4cm，一边的长为6cm，则周长为.二、判断题.13.有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形. (判断对错)14.一个等腰三角形的顶角是80°，它的两个底角都是60°.(判断对错)15.两个内角和是90°的三角形是直角三角形. (判断对错)16.一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角. (判断对错)17.在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于90°.(判断对错)18.一个三角形，已知两个内角分别是85°和25°，这个三角形一定是钝角三角形. (判断对错)三、选择题19.如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.钝角或直角三角形20.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角D.三角形的内角都大于60°21.已知△ABC中，∠A=2(∠B+∠C)，则∠A的度数为( )A.100°B.120°C.140°D.160°22.已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形23.等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为( )A.10cm或6cmB.10cmC.6cmD.8cm或6cm24.在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( )A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm25.已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形( )A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60°C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形26.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B= ∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个27.已知三角形的三边分别为2，a，4，那么a的取值范围是( )A.128.在△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则此三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形四、解答题29.如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件.(1)给出下列四个条件：①AD=CE②AE=CD③∠BAC=∠BCA④∠ADB=∠CEB请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明;你选出的条件是.证明：30.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF.(1)图中有几对全等的三角形请一一列出;(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明.31.如图所示，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE.32.如图，BF⊥AC，CE⊥AB，BE=CF，BF、CE交于点D，求证：AD平分∠BAC.33.如图，已知∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：CE=CB.34.如图，∠BDA=∠CEA，AE=AD.求证：AB=AC.8年级数学上册第11章三角形测试题人教版参考答案一、填空题1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，则∠C=70 °.【考点】三角形内角和定理.【分析】由三角形的内角和定理直接列式计算，即可解决问题.【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠A=40°，∠B=∠C，∴∠C=(180°﹣40°)÷2=70°，故答案为70.【点评】该题主要考查了三角形的内角和定理及其应用问题;灵活运用是解题的关键.2.小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是： 6 ，11 ，16 (单位：cm).【考点】三角形三边关系.【分析】首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断.【解答】解：每三根组合，有5，6，11;5，6，16;11，16，5;11，6，16四种情况.根据三角形的三边关系，得其中只有11，6，16能组成三角形.【点评】此题要特别注意看是否符合三角形的三边关系.3.如果等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是100°.【考点】等腰三角形的性质.【分析】等腰三角形的两个底角相等，根据三角形的内角和即可解决问题.【解答】解：180°﹣40°×2=100°，答：顶角是100°.故答案为：100°【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和的应用，解答此题的关键：根据三角形的内角和、等腰三角形的两底角和顶角三个量之间的关系进行解答即可.4.三角形的一边为5cm，一边为7cm，则第三边的取值范围是2cm【考点】三角形三边关系.【分析】设第三边长为xcm，再由三角形三边关系即可得出结论.【解答】解：设第三边长为xcm，∵三角形的一边为5cm，一边为7cm，∴7﹣5故答案为：2cm【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键.5.△ABC中，若∠A=35°，∠B=65°，则∠C=80°;若∠A=120°，∠B=2∠C，则∠C=20°.【考点】三角形内角和定理.【分析】根据三角形内角和定理，求得∠C的度数和∠B+∠C=60°，进而得出∠C的度数.【解答】解：∵△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，∴∠C=180°﹣35°﹣65°=80°;∵∠A=120°，∴∠B+∠C=60°，又∵∠B=2∠C，∴∠C=20°.故答案为：80°，20°.【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°.6.三角形三个内角中，最多有 1 个直角，最多有 1 个钝角，最多有3 个锐角，至少有 2 个锐角.【考点】三角形内角和定理.【分析】依据三角形的内角和是180度，假设一个三角形中可以有多于1个的钝角或直角，则会得出违背三角形内角和是180度的结论，假设不成立，从而可以得出一个三角形中最多有1个钝角或直角，如果一个三角形中只有1个锐角，也就是出现2个或3个直角，再加上第三个角，那么三角形的内角和就大于180°，也不符合三角形内角和是180°.【解答】解：因为三角形的内角和等于180°，所以在三角形内角中，最多有1个直角;最多有1个钝角，最多有3个锐角，至少有2个锐角.故答案为：1，1，3，2【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度.7.三角形按角的不同分类，可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形.【考点】三角形.【分析】根据三角形的分类方法进行填空即可.【解答】解：三角形按角的不同分类，可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形.故答案为：锐角;直角;钝角.【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形分类一种是按边分类，一种是按角分类.8.一个三角形三个内角度数的比是2：3：4，那么这个三角形是锐角三角形.【考点】三角形内角和定理.【专题】计算题.【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状.【解答】解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为2k°，3k°，4k°.则2k°+3k°+4k°=180°，解得k°=20°，∴2k°=40°，3k°=60°，4k°=80°，所以这个三角形是锐角三角形.故答案是：锐角.【点评】本题主要考查了内角和定理.解答此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算.9.在△ABC中，∠A﹣∠B=36°，∠C=2∠B，则∠A=72°，∠B= 36°，∠C=72°.【考点】三角形内角和定理.【分析】根据三角形的内角和定理可得出∠A+∠B+∠C=180°，再与∠A﹣∠B=36°，∠C=2∠B，联立列出方程组，即可求得答案.【解答】解：由题意得，解得，故答案为72°，36°，72°.【点评】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是利用三角形内角和定理和已知条件列方程组求解计算.10.若△ABC中，∠A+∠B=∠C，则此三角形是直角三角形.【考点】三角形内角和定理.【分析】由三角形内角和定理和直角三角形的判定可知.【解答】解：∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，∴∠C=90°，∴此三角形是直角三角形.【点评】本题考查了三角形内角和定理.三角形的内角和是180°.11.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1：2，则这个等腰三角形的顶角为36°或90°.【考点】等腰三角形的性质;三角形内角和定理.【分析】先可求出两角，然后分两种情况：顶角与底角的度数比是1：2或底角与顶角的度数比是1：2.根据三角形的内角和定理就可求解.【解答】解：当顶角与底角的度数比是1：2时，则等腰三角形的顶角是180°× =36°;当底角与顶角的度数比是1：2时，则等腰三角形的顶角是180°×=90°.即该等腰三角形的顶角为36°或90°.故填36°或90°.【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理;若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键.12.已知△ABC为等腰三角形，①当它的两个边长分别为8cm和3cm时，它的周长为19cm ;②如果它的一边长为4cm，一边的长为6cm，则周长为14cm 或16cm .【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.【分析】题目给出等腰三角形有两条边长，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.【解答】解：①当腰长为8cm时，三边是8cm，8cm，3cm，符合三角形的三边关系，此时周长是19cm;当腰长为3cm时，三角形的三边是8cm，3cm，3cm，因为3+3<8，应舍去.②当腰长为4cm时，三角形的三边是4cm，4cm，6cm，符合三角形的三边关系，此时周长是14cm;当腰长为6cm时，三角形的三边是6cm，6cm，4cm，符合三角形的三边关系，此时周长是16cm.故答案为：19cm，14cm或16cm.【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.二、判断题.13.有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形. √(判断对错)【考点】三角形.【分析】根据三角形的分类：有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形;进行解答即可.【解答】解：根据钝角三角形的定义可知：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形;所以“有一个角是钝角的三角形是钝角三角形”的说法是正确的.故答案为：√.【点评】此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形;有一个角是钝角的三角形是钝角三角形;有一个角是直角的三角形是直角三角形.14.一个等腰三角形的顶角是80°，它的两个底角都是60°.×(判断对错)【考点】等腰三角形的性质.【分析】三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等，先用“180°﹣80°”求出两个底角的度数和，然后除以2进行解答即可.【解答】解：(180°﹣80°)÷2，=100°÷2，=50°;它的一个底角度数是50°;故错，故答案为：×【点评】此题考查等腰三角形的性质，解答此题的关键：根据三角形的内角和、等腰三角形的两底角和顶角三个量之间的关系进行解答即可.15.两个内角和是90°的三角形是直角三角形. 对(判断对错)【考点】三角形.【分析】根据三角形内角和为180°可得两个内角和是90°的三角形，第三个角是90°，是直角三角形.【解答】解：两个内角和是90°的三角形是直角三角形，说法正确;故答案为：对.【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形内角和为180°.16.一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角. 正确(判断对错)【考点】三角形.【分析】这个结论正确，可以利用反证法证明.【解答】解：一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角.理由：假如一个三角形有两个钝角或两个直角，那么这个三角形的内角和大于180°，这与三角形内角和为180°矛盾，所以假设不成立，所以一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角.故答案为正确.【点评】本题考查三角形，三角形的内角和、反证法等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理，属于中考常考题型.17.在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于90°.正确(判断对错)【考点】三角形.【分析】这个结论是正确的，可以用反证法证明.【解答】解：这个结论是正确的.假如两个锐角之和小于等于90，那么第三个角是90°或钝角，这个三角形是钝角三角形，与已知条件矛盾，所以假设不成立，故在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于90°.【点评】本题考查三角形内角和定理，反证法等知识，解题的关键是学会利用反证法证明，属于中考常考题型.18.一个三角形，已知两个内角分别是85°和25°，这个三角形一定是钝角三角形. 错(判断对错)【考点】三角形内角和定理.【分析】根据三角形内角和定理，求得第三个内角，进而判定三角形的形状.【解答】解：∵一个三角形的两个内角分别是85°和25°，∴第三个内角为70°，∴这个三角形一定是锐角三角形.故答案为：错【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：三角形内角和是180°.三、选择题19.如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.钝角或直角三角形【考点】三角形内角和定理.【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可.【解答】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k=180°，解得k=20°，所以，最大的角为4×20°=80°，所以，三角形是锐角三角形.故选A.【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便.20.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角D.三角形的内角都大于60°【考点】三角形内角和定理.【专题】探究型.【分析】根据三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可.【解答】解：A、直角三角形中有两个锐角，故本选项错误;B、等边三角形的三个角都是锐角，故本选项错误;C、三角形的内角中最多有一个直角，故本选项正确;D、若三角形的内角都大于60°，则三个内角的和大于180°，这样的三角形不存在，故本选项错误.故选C.【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°.21.已知△ABC中，∠A=2(∠B+∠C)，则∠A的度数为( )A.100°B.120°C.140°D.160°【考点】三角形内角和定理.【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件即可得到∠A的方程，从而求解.【解答】解：∵∠A=2(∠B+∠C)，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+ ∠A=180°，∠A=120°.故选B.【点评】此题考查了三角形的内角和定理.22.已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形【考点】三角形内角和定理.【分析】设三角形三个内角分别为∠A、∠B、∠C，且∠A﹣∠B=∠C，则∠B+∠C=∠A，根据三角形内角和定理得到∠A+∠B+∠C=180°，于是可计算出∠A=90°，由此可判断三角形为直角三角形.【解答】解：设三角形三个内角分别为∠A、∠B、∠C，且∠A﹣∠B=∠C，则∠B+∠C=∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠A=180°，∴∠A=90°，∴这个三角形为直角三角形.故选C.【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°.利用三角形内角和可直接根据两已知角求第三个角或依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角，也可在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.23.等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为( )A.10cm或6cmB.10cmC.6cmD.8cm或6cm【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.【分析】根据绝对值的性质求出AC的长即可.【解答】解：∵|AC﹣BC|=2cm，∴AC﹣BC=2cm或﹣AC+BC=2cm，∵BC=8cm，∴AC=(2+8)cm或AC=(8﹣2)cm，即10cm或6cm.故选A【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知“等腰三角形的两腰相等”是解答此题的关键.24.在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( )A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm【考点】三角形三边关系.【分析】易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可.【解答】解：设第三边为c，则9+4>c>9﹣4，即13>c>5.只有9符合要求.故选C.【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和.25.已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形( )A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60°C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形【考点】三角形内角和定理.【分析】由三角形内角和定理知.【解答】解：∵∠B+∠C+∠A=180°，∠B+∠C=3∠A，∴∠B+∠C+∠A=4∠A=180°，∴∠A=45°.故选A.【点评】本题利用了三角形内角和为180°求解.26.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B= ∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】三角形内角和定理.【分析】根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，再根据已知的条件逐个求出∠C的度数，即可得出答案.【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，∴①正确;②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C= ×180°=90°，∴△ABC是直角三角形，∴②正确;③∵∠A=90°﹣∠B，∴∠A+∠B=90°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，∴③正确;④∵∠A=∠B= ∠C，∴∠C=2∠A=2∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠A+2∠A=180°，∴∠A=45°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，∴④正确;故选D.【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出每种情况的∠C的度数是解此题的关键，题目比较好，难度适中.27.已知三角形的三边分别为2，a，4，那么a的取值范围是( )A.1【考点】三角形三边关系.【专题】应用题.【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解.【解答】解：由于在三角形中任意两边之和大于第三边，∴a<2+4=6，任意两边之差小于第三边，∴a>4﹣2=2，∴2故选B.【点评】本题考查了构成三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，难度适中.28.在△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则此三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【考点】三角形内角和定理.【分析】用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可.【解答】解：∵∠A= ∠B= ∠C，∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+2∠A+3∠A=180°，解得∠A=30°，所以，∠B=2×30°=60°，∠C=3×30°=90°，所以，此三角形是直角三角形.故选B.【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并用∠A列出方程是解题的关键.四、解答题29.如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件.(1)给出下列四个条件：①AD=CE②AE=CD③∠BAC=∠BCA④∠ADB=∠CEB请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明;你选出的条件是②.证明：【考点】全等三角形的判定.【分析】要证明△ADB≌△CEB，两三角形中已知的条件有BD=BE，有一个公共角，那么根据三角形的判定公理和推论，我们可看出①不符合条件，没有SSA 的判定条件，因此不正确.②AE=CD，可得出AB=BC，这样就构成了SAS，因此可得出全等的结论.③构成了全等三角形判定中的AAS，因此可得出三角形全等的结论.④构成了全等三角形判定中的ASA，因此可得出三角形全等的结论.【解答】解：选择②，证明：∵AE=CD，BE=BD，∴AB=CB，又∵∠ABD=∠CBE，BE=BD∴△ADB≌△CEB(SAS).故答案为：②【点评】本题考查了全等三角形的判定公理及推论.注意SSA和AAA是不能得出三角形全等的结论的.30.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF.(1)图中有几对全等的三角形请一一列出;(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明.【考点】直角三角形全等的判定.【专题】证明题;开放型.【分析】本题考查三角形的全等知识.第(1)小题是根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果，要求考虑问题要全面.第(2)个问题具有一定的开放性，选择证明不同的结论，判定方法会有不同，这里根据HL(斜边直角边定理)来判断两个直角三角形全等.【解答】解：(1)3对.分别是：△ABD≌△ACD;△ADE≌△ADF;△BDE≌△CDF.(2)△BDE≌△CDF.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.又D是BC的中点，∴BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴△BDE≌△C DF(HL).【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证.31.如图所示，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE.【考点】全等三角形的判定与性质.【分析】已知∠1=∠2，∠DAC是公共角，从而可推出∠DAE=∠BAC，已知AB=AD，AC=AE，从而可以利用SAS来判定△ABC≌△ADE.【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE(SAS).【点评】此题主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有：SSS，SAS，AAS，HL等，做题时注意灵活运用.32.如图，BF⊥AC，CE⊥AB，BE=CF，BF、CE交于点D，求证：AD平分∠BAC.【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】证明题.【分析】先由条件可以得出△BED≌△CFD就有DE=DF，就可以得出结论.【解答】证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD(AAS)，∴DE=DF.∵DF⊥AC，DE⊥AB，∴AD平分∠BAC.【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.33.如图，已知∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：CE=CB.【考点】等腰三角形的判定与性质;平行线的性质.【专题】证明题.【分析】根据平行线的性质可以得到∠A=∠CEB，则∠CEB=∠B，根据等角对等边即可证得.【解答】证明：∵CE∥DA，∴∠A=∠CEB，∵∠A=∠B，∴∠CEB=∠B，∴CE=CB.【点评】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定定理，理解定理是关键.34.如图，∠BDA=∠CEA，AE=AD.求证：AB=AC.【考点】全等三角形的判定与性质.【专题】证明题.【分析】由已知条件加上公共角相等，利用ASA得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形对应边相等即可得证.【解答】证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE(ASA)，∴AB=AC.【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.。
直角三角形的边角关系习题集含答案
第一章回顾与思考1、等腰三角形的一腰长为cm 6，底边长为cm 36，则其底角为（ ） A 030 B 060 C 090 D 01202、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为 （ ）A 090 B 060 C 075 D01053、如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53c o s =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）．（A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）5164、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为4502cm ，则对角线所用的竹条至少需（ ）． （A ）cm 230 （B ）30cm （C ）60cm （D ）cm 260 5、如果α是锐角，且135cos sin 22=︒+α，那么=α º． 6、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米． 7、如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =______.8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的有为 米（用含α的三角比表示）．9、在Rt ABC ∆中∠A＜∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将ACM ∆沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于 度．10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为︒55，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.11、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到，A ︒=∠30AC = 40米，αPoyx34ABCDE︒555.8m10mBC = 25米，请你求出这块花圃的面积.12、如图，在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为︒30的方向飞行，半小时后到达C 处，这时气球上的人发现，在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角是︒15，求热气球升空点A 与着火点B 的距离．13、如图，一勘测人员从B 点出发，沿坡角为︒15的坡面以5千米/时的速度行至D 点，用了12分钟，然后沿坡角为︒20的坡面以3千米/时的速度到达山顶A 点，用了10分钟.求山高（即AC 的长度）及A 、B 两点的水平距离（即BC 的长度）（精确到0.01千米）.14、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。
(好题)初中数学七年级数学下册第四单元《三角形》测试(答案解析)(1)
一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20 2．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．22D ．10 3．如果a 、b 、c 分别是三角形的三条边，那么化简a c b b c a -+++-的结果是（ ） A ．2c - B ．2b C ．22a c - D ．b c - 4．如图，ABD △与AEC 都是等边三角形，AB AC ≠．下列结论中，①BE CD =；②60BOD ∠=︒；③BDO CEO ∠=∠．其中正确的有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA 6．如图，∠ACD 是△ABC 的一个外角，过点D 作直线，分别交AC 和AB 于点E ，H ．则下列结论中错误的是（ ）A ．∠HEC ＞∠BB ．∠B ＋∠ACB ＝180°－∠AC ．∠B ＋∠ACB ＜180°D ．∠B ＞∠ACD7．如图，已知AB =AD ，AC =AE ，若要判定△ABC ≌△ADE ，则下列添加的条件中正确的是（ ）A ．∠1=∠DACB ．∠B =∠DC ．∠1=∠2D ．∠C =∠E 8．如图，△ABC 和△AED 共顶点A ，AD ＝AC ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E ． BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，甲说：“一定有△ABC ≌△AED ．”乙说：“△ABM ≌△AEN ．”那么（ ）A ．甲、乙都对B ．甲、乙都不对C ．甲对、乙不对D ．甲不对、乙对 9．已知线段8,6AB cm AC cm ==，下面有四个说法： ①线段BC 长可能为2cm ；②线段BC 长可能为14cm ；③线段BC 长不可能为5cm ；④线段BC 长可能为9cm ．所有正确说法的序号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 10．如图，在ABC 和AEF 中，EAC BAF ∠=∠，EA BA =，添加下面的条件：①EAF BAC ∠=∠；②E B ∠=∠；③AF AC =；④EF BC =，其中可以得到ABC AEF ≌△△的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 11．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A ．2cm ，3cm ，6cmB ．3cm ，4cm ，8cmC ．5cm ，6cm ，10cmD ．5cm ，6cm ，11cm 12．如图，AD 平分∠BAC ，AB=AC ，连接BD ，CD 并延长，分别交AC ，AB 于点F ，E ，则图中全等三角形共有（ ） A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 二、填空题13．如图，在四边形ABCD 中，AC BC ⊥于点C ，且AC 平分BAD ∠，若ADC 的面积为210cm ，则ABD △的面积为________2cm ．14．将一副直角三角板如图放置，使含角30的三角板的直角边和含45︒角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则图中β∠的度数是____．15．如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD 、CE 的中点，若AEF 的面积为23cm ，则ABC 的面积是______2cm ．16．如果三角形的三边长分别为5，8，a ，那么a 的取值范围为__．17．等腰三角形的底边长为6cm ，一腰上的中线把三角形分成的两部分周长之差为4cm ，则这个等腰三角形周长为_____cm ．18．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，OF ⊥OE 于点O ，若∠AOD ＝70°，则∠AOF ＝______度．19．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A ,B 两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A ,B ,C 为顶点的三角形的面积为2，则满足条件的点C 有______个．20．如图，BP 是ABC 中ABC ∠的平分线，CP 是ACB ∠的外角的平分线，如果20,ABP ∠=︒50ACP ∠=︒，则A ∠=____________．三、解答题21．如图，AC 与BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =．（1）求证：//AB CD ；（2）直线EF 过点O ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，试判断OE 与OF 是否相等，并说明理由．22．如图，已知在ABC 中，AC BC AD ==，CDE B ∠=∠，求证：ADE BCD △≌△．23．如图，在△ABC 中，∠ACB =70 °，∠B =65°，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ． （1）求证：AE =CE ．（2）求证：△AEF ≌△CEB ．24．如图，,,,AC BC DC EC AC BC DC EC ⊥⊥==，求证：（1）ACE BCD ∆≅∆；（2）AE BD ⊥．25．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．（1）在图1中计算格点三角形ABC 的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）ABC 是格点三角形．①在图2中画出一个与ABC 全等且有一条公共边BC 的格点三角形；②在图3中画出一个与ABC 全等且有一个公共点A 的格点三角形．26．如图，Rt ABC 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =．（1）求证：Rt ABC Rt DEF ≌；（2）若1GF =，求线段HC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△ABE的面积相等，可得S△ABE+S△CDF=S△ACD，即可得出答案．【详解】∵∠BED=∠CFD=∠BAC，∠BED=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF，∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，在△ABE和△CAF中，ABE CAFAB ACBAE FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△CAF（ASA），∴S△ABE=S△ACF，∴阴影部分的面积为S△ABE+S△CDF=S△ACD，∵S△ABC=30，BD=12DC，∴S△ACD=20，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．B解析：B【分析】根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90︒，进而得出∆CEB≅∆ADC，就可以得出BE=DC，进而求出DE的值．【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90︒，∴∠EBC+∠BCE=90︒，∵∠BCE+∠ACD=90︒，∴∠EBC=∠DCA，在∆CEB和∆ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC，∴∆CEB≅∆ADC(AAS)，∴BE=DC=1，CE=AD=3，∴DE=EC-CD=3-1=2，故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．3．B解析：B【分析】根据三角形的三边关系可得a b c +>，b c a +>，从而得出0a c b -+>，0b c a +->，然后根据绝对值的性质化简即可．【详解】解：∵a 、b 、c 分别是三角形的三条边，∴a b c +>，b c a +>，∴0a c b -+>，0b c a +->， ∴a c b b c a -+++-=a c b b c a -+++-=2b故选B ．【点睛】此题考查的是三角形三边关系的应用和化简绝对值，掌握三角形的三边关系和绝对值的性质是解题关键．4．C解析：C【分析】利用SAS 证明△DAC ≌△BAE ，利用三角形内角和定理计算∠BOD 的大小即可.【详解】∵ABD △与AEC 都是等边三角形，∴AD=AB ，AC=AE ，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠CAB =∠EAC+∠CAB ，∴∠DAC =∠BAE ，∴△DAC ≌△BAE ，∴BE=CD ，∴结论①正确；∵△DAC ≌△BAE ，∴∠ADC =∠ABE ，∴∠BOD=180°-(∠BDO+∠DBO)，∵∠BDO+∠DBO=60°-∠ADC +60°+∠ABE=120°，∴∠BOD=180°-120°=60°，∴结论②正确；无法证明BDO CEO ∠=∠，∴结论③错误；故选C.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的证明和性质，三角形内角和定理， 熟练运用等边三角形的性质证明三角形的全等是解题的关键.5．A解析：A【分析】利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.【详解】∵PM OA ⊥，PN OB ⊥，∴90PMO PNO ∠=∠=．∵OM ON =，OP OP =，∴()HL ≌PMO PNO △△， ∴POA POB ∠=∠，故选：A ．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.6．D解析：D【分析】三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的一个内角，根据以上定理逐个判断即可．【详解】解：A 、∵∠HEC ＞∠AHD ，∠AHD ＞∠B ，∴∠HEC ＞∠B ，故本选项不符合题意；B 、∵∠B+∠ACB+∠A=180°，∴∠B+∠ACB=180°-∠A ，故本选项不符合题意；C 、∵∠B+∠ACB+∠A=180°，∴∠B+∠ACB ＜180°，故本选项不符合题意；D 、∠B ＜∠ACD ，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据题目中给出的条件AB AD =，AC AE =，根据全等三角形的判定定理判定即可．【详解】解：AB AD =，AC AE =，则可通过12∠=∠，得到BAC DAE ∠=∠，利用SAS 证明△ABC ≌△ADE ，故选：C ．【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ．8．A解析：A【分析】利用AAS 判定△ABC ≌△AED ，则可得到AB=AE ，再利用ASA 判定△ABM ≌△AEN ．【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠MAC ＝∠2+∠MAC ，∴∠BAC ＝∠EAD ，在△BAC 和△EAD 中，B E BAC EAD AC AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BAC ≌△EAD ，∴甲说的正确；∵△BAC ≌△EAD （AAS ），∴AB=AE ，在△BAM 和△EAN 中，12B E AB AE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△BAM ≌△EAN （ASA ），∴乙说的正确；故选A ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，根据题目的特点，补充适当条件，活用判定定理是解题的关键．9．C解析：C【分析】直接利用当A ，B ，C 在一条直线上，以及当A ，B ，C 不在一条直线上，分别分析得出答案．【详解】解：∵线段AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，∴如图1，A ，B ，C 在一条直线上，∴BC ＝AB−AC ＝8−6＝2（cm ），故①正确；如图2，当A ，B ，C 在一条直线上，∴BC ＝AB ＋AC ＝8＋6＝14（cm ），故②正确；如图3，当A ，B ，C 不在一条直线上，8−6＜BC ＜8＋6，故线段BC 可能为5或9，故③错误，④正确．故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，正确分类讨论是解题关键．10．B解析：B【分析】根据EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠，经推到得EAF BAC ∠=∠；再结合全等三角形判定的性质分析，即可得到答案．【详解】∵EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠ ∴EAF BAC ∠=∠E B ∠=∠，即E B EAF BAC EA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC AEF ≌△△()ASA ，故②符合题意；AF AC =，即AF AC EAF BAC EA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC AEF ≌△△()SAS ，故③符合题意；①和④不构成三角形全等的条件，故错误；故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．11．C解析：C【分析】根据三角形三边关系解答．【详解】A 、∵2+3<6，∴以此三条线段不能组成三角形；B 、3+4<8，∴以此三条线段不能组成三角形；C 、∵5+6>10，∴以此三条线段能组成三角形；D 、∵5+6=11，∴以此三条线段不能组成三角形；故选：C ．【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边．12．C解析：C【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．【详解】解：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠， 在ABD ∆与ACD ∆中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACD SAS ∴∆≅∆，BD CD ∴=，B C ∠=∠，ADB ADC ∠=∠，又EDB FDC ∠=∠，ADE ADF ∴∠=∠，AED AFD ，BDE CDF ∆≅∆，∆≅∆ABF ACE ．AED AFD ，ABD ACD ∆≅∆，BDE CDF ∆≅∆，∆≅∆ABF ACE ，共4对． 故选：C ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟悉相关判定定理是解题的关键．二、填空题13．20【分析】延长BC 和AD 相交于点M 根据已知得出△ABC ≌△AMC 得出BC=CM 从而得出再根据等高的三角形的面积得出继而得出答案【详解】解：延长BC 和AD 相交于点M ∵AC ⊥BC ∴∠ACB=∠ACM=解析：20【分析】延长BC 和AD 相交于点M ，根据已知得出△ABC ≌△AMC ，得出BC=CM ，从而得出2=BDM CDM S S ，再根据等高的三角形的面积得出==ACD ABD BDM CDM S S AD S S DM，继而得出答案．【详解】解：延长BC 和AD 相交于点M ，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB=∠ACM=90°，∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠MAC ，∵AC=AC ，∴△ABC ≌△AMC ，∴BC=CM ，∴2=BDM CDM SS ， ∵ADC 与DCM △同高， ∴=ACD CDM S AD S DM∵ABD △与AMC 同高，∴=ABD BDM S AD S DM ∴=ACD ABD BDM CDM S S S S ∵ADC 的面积为210cm ， ∴102=ABD CDM CDMS S S ； ∴220cm =ABD S故答案为：20．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，以及三角形的面积，得出2=BDM CDM SS 是解题的关键． 14．【分析】根据三角板的特点计算即可；【详解】解：如图所示由题可知∴∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和外角定理准确计算是解题的关键解析：75【分析】根据三角板的特点计算即可；【详解】解：如图所示，由题可知，60A ∠=︒，45C ∠=︒，∴30ABD ∠=︒，∴30CBE ∠=︒，∴453075β∠=︒+︒=︒．故答案是75．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和外角定理，准确计算是解题的关键．15．12【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可【详解】∵F 是CE 的中点∴∵E 是BD 的中点∴∴∴△ABC 的面积=故答案为：12【点睛】本题考查了三角形的面积主要利用了三角形的中线解析：12【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【详解】∵ F 是CE 的中点，23AEF S cm ∆=∴ 226ACE AEF S S cm ∆∆== ，∵ E 是BD 的中点，∴ ADE ABE S S ∆∆= ，CDE BCE S S ∆∆= ， ∴12ACE ABC S S ∆∆= ， ∴△ABC 的面积=212cm ．故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．16．3<a<13【分析】根据三角形的三边关系解答【详解】由题意得：8-5<a<8+5∴3<a<13故答案为：3<a<13【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边解析：3<a<13【分析】根据三角形的三边关系解答．【详解】由题意得：8-5<a<8+5，∴3<a<13，故答案为：3<a<13．【点睛】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边．17．26【分析】首先设腰长为xcm 等腰三角形底边长为6cm 一腰上的中线将其周长分成两部分的差为4cm 可得x ﹣6＝4或6﹣x ＝4继而可求得答案【详解】解：设腰长为xcm 根据题意得：x ﹣6＝4或6﹣x ＝4解解析：26【分析】首先设腰长为xcm ，等腰三角形底边长为6cm ，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为4cm ，可得x ﹣6＝4或6﹣x ＝4，继而可求得答案．【详解】解：设腰长为xcm ，根据题意得：x ﹣6＝4或6﹣x ＝4，解得：x ＝10或x ＝2（舍去），∴这个等腰三角形的周长为10+10+6＝26cm ．故答案为：26．【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解三角形中线的意义是关键.18．145【分析】由已知角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小从而得到∠AOF 的值【详解】解：∵∵OE 平分∠AOC ∴∵OF ⊥OE 于点O ∴∠EOF ＝90°∴∠AOF ＝∠AOE+∠EOF ＝55解析：145【分析】由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小，从而得到∠AOF 的值．【详解】解：∵70180110AOD AOC AOD ∠=︒∴∠=︒-∠=︒，,∵OE 平分∠AOC ，∴1552AOE AOC ∠=∠=︒, ∵OF ⊥OE 于点O ，∴∠EOF ＝90°，∴∠AOF ＝∠AOE+∠EOF ＝55°+90°=145°，故答案为145．【点睛】本题考查邻补角、角平分线和垂直以及角度的运算等知识，根据有关性质和定义灵活计算是解题关键．19．4【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点总共有16个点可以依次尝试一遍【详解】根据题意遍历网络中的所有点发现符合条件的点C点如下图：故答案为：4【点睛】本题考查在格点中找寻符合要求的点此类题型我们需要解析：4【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍．【详解】根据题意，遍历网络中的所有点，发现符合条件的点C点如下图：故答案为：4．【点睛】本题考查在格点中找寻符合要求的点，此类题型，我们需要大胆尝试．20．60°【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和可求出∠A的度数【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线CP是∠ACB的外角的平分线∴∠ABC=2∠ABP∠ACM=2解析：60°【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数．【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABC=2∠ABP，∠ACM=2∠ACP，又∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠ABC=2×20°=40°，∠ACM=2×50°=100°，∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握“一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）OE=OF，证明见解析．【分析】（1）利用SAS 证明△AOB ≌△COD ，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠D ，再根据平行线的判定定理可证得结论；（2）利用ASA 证明AOE COF ∆∆≌，根据全等三角形对应边相等可证得结论．【详解】解：（1）由题可知，在△AOB 与△COD 中，AO OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB COD SAS ∆∆≌，B D ∴∠=∠，//AB CD ∴；（2）OE=OF ，理由如下：由（1）可知：AOB COD ∆≅∆，∴∠A=∠C ，在△AOE 于△COF 中，A C AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AOE COF ASA ∴∆∆≌，OE OF ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定．掌握全等三角形的判定定理，并能灵活运用是解题关键．22．见解析．【分析】证明ADE BCD ∠=∠，为三角形的全等提供条件即可．【详解】证明：ADE CDE B BCD ∠+∠=∠+∠，CDE B ∠=∠，ADE BCD ∴∠=∠，AC BC =，A B ∴∠=∠，在ADE 和BCD △中A B AD BCADE BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ADE ∴≌BCD △(ASA) ．【点睛】本题考查了ASA 证明三角形的全等，抓住题目的特点，补充全等需要的条件是解题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据已知条件得到∠EAC =45 °，再根据等腰三角形的性质和垂直即可得解； （2）由于AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，所以∠BAD =∠ECB =90°- ∠B ，根据已知条件证明即可；【详解】（1）∠ACB =70 °，∠B =65°，得∠EAC =45 °，又CE ⊥AB ，得∠ECA =45 °，所以AE =CE ；（2）由于AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，所以∠BAD =∠ECB =90°- ∠B ，在△AEF 和△CEB 中，AEC BEC AE ECBAD ECB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， 所以△AEF ≌△CEB ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的性质分析证明是解题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据垂直得到90ACB DCE ∠=∠=︒，求出DCB ECA ∠=∠，即可得到结果； （2）设AC 交BD 于N ，AE 交BD 于O ，根据全等三角形的性质得到A B ∠=∠，再根据已知条件转换即可；【详解】证明：()1AC BC ⊥，DC EC ⊥，90ACB DCE ∴∠=∠=︒，ACB ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠，∴∠=∠DCB ECA ，在DCB ∆和ECA ∆中，AC BC DCB ECA CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCB ECA SAS ∴∆≅∆；()2如图，设AC 交BD 于N ，AE 交BD 于O ，∆≅∆DCB ECA ，A B ∴∠=∠，∠=∠AND BNC ，90∠+∠=︒B BNC ，90∴∠+∠=︒A AND ，90∴∠=︒AON ，AE BD ∴⊥．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确证明是解题的关键． 25．（1）6；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）用割补法求解即可；（2）根据“SSS”画图即可；（3）根据“SSS”画图即可；【详解】解：（1）5×3-12×3×3-12×2×2-12×5×1=6， 故答案为：6；（2）①如图，'A BC 即为所求，②如图，''AB C即为所求，【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键．26．（1）见详解；（2）1【分析】（1）先证明AC=DF，再根据HL证明Rt ABC Rt DEF≌；（2）先证明∠AFG=∠DCH，从而证明∆AFG≅∆DCH，进而即可求解．【详解】（1）∵AF CD=，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在Rt ABC与Rt DEF△中，∵AC DF AB DE=⎧⎨=⎩，∴Rt ABC≅Rt DEF△（HL）；（2）∵Rt ABC≅Rt DEF△，∴∠A=∠D，∠EFD=∠BCA，∵∠AFG=180°-∠EFD，∠DCH=180°-∠BCA，∴∠AFG=∠DCH，又∵AF CD=，∴∆AFG≅∆DCH，∴HC=GF =1．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL和ASA证明三角形全等，是解题的关键．。
人教版八年级数学上册第11章 三角形 章末复习测试题(一)及答案
人教版八年级数学上册第十一章三角形单元测试题一．选择题1．在如图中，正确画出AC边上高的是（）A．B．C．D．2．多边形的边数每增加一条，它的内角和增加（）A．120°B．180°C．270°D．360°3．如图，∠A＝70°，∠2＝130°，则∠1＝（）A．130°B．120°C．140°D．110°4．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，BE、CF相交于D，则∠CDE的度数是（）A．110°B．70°C．80°D．75°5．如图，△ABC中，∠C＝80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（）A．360°B．260°C．180°D．140°6．△ABC的三边长是a、b、c，且a＞b＞c，若b＝8，c＝3，则a的取值范围是（）A．3＜a＜8 B．5＜a＜11 C．8＜a＜11 D．6＜a＜107．点P是△ABC内任意一点，则∠BPC与∠A的大小关系是（）A．∠BPC＜∠A B．∠BPC＞∠A C．∠BPC＝∠A D．无法确定8．如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为（）A．40°B．20°C．18°D．38°9．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A、B 间的距离不可能是（）米．A．20 B．10 C．15 D．510．如图，在△ABC中，∠B＝48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∠AEC等于（）A．56°B．66°C．76°D．无法确定11．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4等于（）A．180°B．360°C．240°D．540°12．如图，∠MAN＝100°，点B、C是射线AM、AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小（）A．40°B．50°C．80°D．随点B、C的移动而变化二．填空题13．若一个三角形的三个内角比为2：3：5，则此三角形为角三角形．14．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的性．15．如图，在△ABC中，∠A＝40°，有一块直角三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，若直角顶点D在三角形外部，则∠ABD+∠ACD的度数是度．16．在△ABC中，AB＝14，AC＝12，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为．17．如图所示，已知四边形ABCD，∠a、∠β分别是∠BAD、∠BCD的邻补角，且∠B+∠ADC＝140°，则∠a+∠β＝．18．如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；∠A2BC和∠A2CD的平分线交于点A3，则∠A3＝．三．解答题19．如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC于E，若∠ADE＝80°，∠EAC＝20°，求∠B的度数．20．已知△ABC，（1）如图1，若D点是△ABC内任一点、求证：∠D＝∠A+∠ABD+∠ACD．（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式．（不需要证明）（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论．21．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．22．如图，已知△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E是线段AD（除去端点A、D）上一动点，EF⊥BC于点F．（1）若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C的度数．（2）当E在AD上移动时，∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系：并说明理由．23．如图，在△ABC中，内角平分线BP和外角平分线CP相交于点P，根据下列条件求∠P的度数．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠P＝，若∠ABC+∠ACB＝110°，则∠P＝；（2）若∠BAC＝90°，则∠P＝；（3）从以上的计算中，你能发现∠P与∠BAC的关系是；（4）证明第（3）题中你所猜想的结论．参考答案一．选择题1．解：画出AC边上高就是过B作AC的垂线，故选：C．2．解：n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，可以得到增加一条边时，边数变为n+1，则内角和是（n﹣1）•180°，因而内角和增加：（n﹣1）•180°﹣（n﹣2）•180°＝180°．故选：B．3．解：如图，∵∠2＝130°，∵∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣130°＝50°，∴∠1＝∠A+∠3＝70°+50°＝120°．故选：B．4．解：∵BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，∴∠CBE＝∠ABC＝40°，∠FCB＝∠ACB＝30°，∴∠CDE＝∠CBE+∠FCB＝70°．故选：B．5．解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，即∠1+∠2＝∠C+（∠C+∠3+∠4）＝80°+180°＝260°．故选：B．6．解：∵a＞b＞c，b＝8，c＝3，∴根据三角形的三边关系，得8＜a＜11．故选：C．7．解：连接BP并延长交AC于D，连接CP，∠BPC＞∠BDC，∠BDC＞∠A，因而∠BPC＞∠A．故∠BPC与∠A的大小关系是∠BPC＞∠A．故选：B．8．解：∵△ABC中已知∠B＝36°，∠C＝76，∴∠BAC＝68°．∴∠BAD＝∠DAC＝34°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，∴∠DAE＝20°．故选：B．9．解：根据三角形的三边关系定理得：15﹣10＜AB＜15+10，即：5＜AB＜25，∴AB的值在5和25之间，A、B间的距离不可能是5米．故选：D．10．解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠ACF，∵∠DAC＝∠B+∠2，∠ACF＝∠B+∠1∴∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠2）+（∠B+∠1）＝（∠B+∠B+∠1+∠2），∵∠B＝48°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF＝114°∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC+∠ACF）＝66°．故选：B．11．解：∵∠1+∠2+∠5＝360°，∠3+∠6+∠4＝360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°，又∵∠5+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝720°﹣180°＝540°．故选：D．12．解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，∴∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，∵∠MBC＝2∠CBE＝∠A+∠ACB，∠CBE＝∠D+∠DCB，∴2∠CBE＝∠D+∠DCB，∴∠MBC＝2∠D+∠ACB，∴2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，∴∠A＝2∠D，∵∠A＝100°，∴∠D＝50°．故选：B．二．填空题（共6小题）13．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B：∠C：∠A＝2：3：5，∴∠A＝×180°＝90°，∴△ABC是直角三角形，故答案为：直．14．解：三角形的支架很牢固，这是利用了三角形的稳定性，故答案为：稳定．15．解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°在△BCD中，∠D+∠BCD+∠CBD＝180°∴∠BCD+∠CBD＝180°﹣∠D在△DEF中，∠D+∠E+∠F＝180°∴∠E+∠F＝180°﹣∠D∴∠CBD+∠BCD＝∠E+∠F＝90°∴∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD＝140°+90°＝230°．故答案为：230．16．解：∵AD为中线，∴BD＝DC，∴（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB+BD+AD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC＝2，故答案为：2．17．解：∵∠B+∠D+∠DAB+∠BCD＝360°，∠B+∠ADC＝140°，∴∠DAB+∠BCD＝360°﹣140°＝220°，∵∠a+∠β+∠DAB+∠BCD＝360°，∴∠a+∠β＝360°﹣220°＝140°．故答案为：140°．18．解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A，∴∠A1＝×64°＝32°，∵∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，∴∠A3＝∠A2＝∠A＝×64°＝8°．故答案为：8°．三．解答题（共5小题）19．解：∵AE⊥BC，∠EAC＝20°，∴∠C＝70°，∴∠BAC+∠B＝110°．∵∠ADE＝∠B+∠BAD＝（∠BAC+∠B）+∠B，∴∠B＝50°．20．解：（1）证明：延长BD交AC于点E．∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC＝∠2+∠CED，∵∠CED是△ABE的外角，∴∠CED＝∠A+∠1．∴∠BDC＝∠A+∠1+∠2．即∠D＝∠A+∠ABD+∠ACD．（2）∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+∠DCB，即∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝180°+180°＝360°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠D+∠DBC+∠DCB＝180°，∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD＝360°．（3）证明：令BD、AC交于点E，∵∠AED是△ABE的外角，∴∠AED＝∠1+∠A，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED＝∠D+∠2．∴∠A+∠1＝∠D+∠2即∠D+∠ACD＝∠A+∠ABD．21．证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．22．解：（1）∵EF⊥BC，∠DEF＝10°，∴∠EDF＝80°，∵∠B＝40°∴∠BAD＝∠EDF﹣∠B＝80°﹣40°＝40，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝80°，∴∠C＝180°﹣40°﹣80°＝60°；（2）∵EF⊥BC，∴∠EDF＝90°﹣∠DEF，∵∠EDF＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝90°﹣∠DEF﹣∠B，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝180°﹣2∠DEF﹣2∠B，∴∠B+180°﹣2∠DEF﹣2∠B+∠C＝180°，∴∠C﹣∠B＝2∠DEF．23．（1）解：∵∠ACB＝80°，∴∠ACD＝180°﹣80°＝100°，∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，∴∠PBC＝∠ABC＝×50°＝25°，∠PCD＝∠ACD＝×100°＝50°，在△PCD中，∠PBC+∠P＝∠PCD，即25°+∠P＝50°，解得∠P＝25°；∵∠ABC+∠ACB＝110°，∴∠A＝180°﹣110°＝70°，∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，根据三角形的外角性质，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，∴∠A+∠ABC＝2（∠PBC+∠P）＝2∠PBC+2∠P，∴∠A＝2∠P，∠P＝∠A＝×70°＝35°；（2）解：∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，根据三角形的外角性质，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，∴∠BAC+∠ABC＝2（∠PBC+∠P）＝2∠PBC+2∠P，∴∠BAC＝2∠P，∠P＝∠BAC，∵∠BAC＝90°，∴∠P＝45°；（3）由计算可知，∠P＝∠A；（4）证明：∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，根据三角形的外角性质，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，∴∠BAC+∠ABC＝2（∠PBC+∠P）＝2∠PBC+2∠P，∴∠BAC＝2∠P，∠P＝∠BAC．故答案为：（1）25°，35°；（2）45°；（3）∠P＝∠A．。
八年级数学：三角形测试题(含解析)
八年级数学：三角形测试题（含解析）一、选择题（共16小题）1．如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10°B．20°C．30°D．80°2．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°3．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A 等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°4．在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形5．如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（）A．20°B．30°C．70°D．80°6．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°7．如图，图中∠1的大小等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°8．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为（）A．110°B．80°C．70°D．60°9．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°10．如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40°B．60°C．80°D．100°11．如图，点C在AB的延长线上，∠A=35°，∠DBC=110°，则∠D的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．95°12．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140°B．160°C．170°D．150°13．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（）A．30°B．60°C．90°D．120°14．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A．120°B．90°C．60°D．30°15．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A．85°B．80°C．75°D．70°16．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°二、填空题（共13小题）17．如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是．18．如图，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是．19．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是度．20．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．21．△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是°．22．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．23．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．24．在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B= 度．25．如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α=．26．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．27．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD= °．28．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= 度．29．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．三、解答题（共1小题）30．（1）三角形内角和等于．（2）请证明以上命题．三角形参考答案与试题解析一、选择题（共16小题）1．如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10°B．20°C．30°D．80°【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．【解答】解：∵∠1=100°，∠C=70°，∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．故选C．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．2．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°【考点】三角形的外角性质．【分析】利用直角三角形的性质求得∠2=60°；则由三角形外角的性质知∠2=∠1+45°=60°，所以易求∠1=15°；然后由邻补角的性质来求∠α的度数．【解答】解：如图，∵∠2=90°﹣30°=60°，∴∠1=∠2﹣45°=15°，∴∠α=180°﹣∠1=165°．故选A．【点评】本题考查了三角形的外角性质．解题时，注意利用题干中隐含的已知条件：∠1+α=180°．3．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A 等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B，从而求出∠A的度数．【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B，∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣40°=80°．故选：C．【点评】本题主要考查三角形外角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系．4．在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状．【解答】解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，比较简单，求出∠C的度数是解题的关键．5．如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（）A．20°B．30°C．70°D．80°【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：a，b相交所成的锐角=100°﹣70°=30°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．6．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°【考点】三角形的外角性质．【专题】探究型．【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．故选A．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．7．如图，图中∠1的大小等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠1=130°﹣60°=70°．故选D．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．8．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为（）A．110°B．80°C．70°D．60°【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得：∠CAD=∠B+∠C=40°+30°=70°．故选C．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．9．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．故选B．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．10．如图，△ABC中，∠A=40°，点D为延长线上一点，且∠CBD=120°，则∠C=（）A．40°B．60°C．80°D．100°【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠C=∠CBD﹣∠A=120°﹣40°=80°．故选C．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．11．如图，点C在AB的延长线上，∠A=35°，∠DBC=110°，则∠D的度数是（）A．65°B．70°C．75°D．95°【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠D=∠DBC﹣∠A=110°﹣35=75°．故选C．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．12．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140°B．160°C．170°D．150°【考点】直角三角形的性质．【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．【解答】解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，∴∠COA=90°﹣20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°．故选：B．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，得出∠COA的度数是解题关键．13．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】直角三角形的性质．【专题】常规题型．【分析】根据直角三角形两锐角互余解答．【解答】解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，所以，∠1+∠2=90°．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．14．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A．120°B．90°C．60°D．30°【考点】直角三角形的性质．【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．15．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A．85°B．80°C．75°D．70°【考点】三角形内角和定理．【分析】先根据∠A=50°，∠ABC=70°得出∠C的度数，再由BD平分∠ABC求出∠ABD的度数，再根据三角形的外角等于和它不相邻的内角的和解答．【解答】解：∵∠ABC=70°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=70°×=35°，∴∠BDC=50°+35°=85°，故选：A．【点评】本题考查的是三角形的外角和内角的关系，熟知三角形的外角等于和它不相邻的内角的和是解题的关键．16．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90°B．100°C．130°D．180°【考点】三角形内角和定理．【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1，∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°，∴∠1+∠2=150°﹣∠3，∵∠3=50°，∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题（共13小题）17．如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是56°．【考点】三角形内角和定理．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠1+∠2的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵△BOC中，∠BOC=118°，∴∠1+∠2=180°﹣118°=62°．∵BO和CO是△ABC的角平分线，∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×62°=124°，在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB=124°，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．故答案为：56°．【点评】本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理，即三角形的内角和是180°．18．如图，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是30°．【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，a，b相交所成的锐角的度数是100°﹣70°=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．19．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是60 度．【考点】三角形的外角性质．【分析】由∠A=80°，∠B=40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD=∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．【解答】解：∵∠ACD=∠B+∠A，而∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=80°+40°=120°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=60°，故答案为60【点评】本题考查了三角形的外角定理，关键是根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和．20．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是75°．【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】根据含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，得出平行线，再利用平行线的性质和对顶角相等得出∠2=45°，再利用三角形的外角性质解答即可．【解答】解：如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB∥CD，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°，故答案为：75°．【点评】此题考查三角形外角性质，关键是利用平行线性质和对顶角相等得出∠2的度数．21．△ABC中，已知∠A=60°，∠B=80°，则∠C的外角的度数是140 °．【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵∠A=60°，∠B=80°，∴∠C的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°．故答案为：140．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．22．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= 25°．【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】由∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，可求得∠ACE的度数，又由三角形外角的性质，可得∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F，继而求得答案．【解答】解：∵AB=AC，∠A=90°，∴∠ACB=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∠E=30°，∴∠F=90°﹣∠E=60°，∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°，∴∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．故答案为：25°．【点评】本题考查三角形外角的性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．23．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75 度．【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．【专题】计算题．【分析】根据三角形三内角之和等于180°求解．【解答】解：如图．∵∠3=60°，∠4=45°，∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．故答案为：75．【点评】考查三角形内角之和等于180°．24．在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B= 60 度．【考点】三角形内角和定理．【分析】先整理得到∠A+∠C=2∠B，再利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．【解答】解：∵∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，∴∠A+∠C=2∠B，又∵∠A+∠C+∠B=180°，∴3∠B=180°，∴∠B=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出∠A+∠C=2∠B是解题的关键．25．如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α=75°．【考点】三角形的外角性质．【分析】首先根据三角板度数可得：∠ACB=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠1=45°，∴∠2=90°﹣45°=45°，∴∠α=45°+30°=75°，故答案为：75°．【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．26．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．【考点】三角形内角和定理．【专题】新定义．【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．【解答】解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．27．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD= 80 °．【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACD=∠A+∠B=30°+50°=80°．故答案为：80．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质是解题的关键．28．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2= 70 度．【考点】三角形内角和定理；多边形内角与外角．【专题】几何图形问题．【分析】分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．【解答】解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，即∠1+∠2=70°．故答案为：70°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．29．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A 1，由于∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…，以此类推可知∠A2013=∠A=°．【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CA=∠ACD，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，即∠ACD=∠A1+∠ABC，∴∠A1=（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC=∠ACD，∴∠A=∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1=∠A，∴∠A1=m°，∵∠A1=∠A，∠A2=∠A1=∠A，…以此类推∠A2013=∠A=°．故答案为：．【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并能找出规律．三、解答题（共1小题）30．（1）三角形内角和等于180°．（2）请证明以上命题．【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】（1）直接根据三角形内角和定理得出结论即可；（2）画出△ABC，过点C作CF∥AB，再根据平行线的性质得出∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，再通过等量代换即可得出结论．【解答】解：（1）三角形内角和等于180°．故答案为：180°；（2）已知：如图所示的△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB，∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，∵∠1+∠2=∠BCF，∴∠B+∠1+∠2=180°，∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形内角和等于180°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．。
人教版初中数学八年级数学上册第一单元《三角形》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A ．1，2，4B ．5，6，11C ．3，3，3D ．4，8，122．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若'20ADB ∠=︒，则∠A 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°3．小李同学将10,12,16,22cm cm cm cm 的四根木棒首尾相接，组成一个凸四边形，若凸四边形对角线长为整数，则对角线最长为（ ） A ．25cmB ．27cmC ．28cmD ．31cm4．如图，AB 和CD 相交于点O ，A C ∠=∠，则下列结论中不正确的是（ ）．A ．B D ∠=∠ B ．1A D ∠=∠+∠C ．2D ∠>∠D ．C D ∠=∠5．下列说法正确的是（ ） A ．射线AB 和射线BA 是同一条射线 B ．连接两点的线段叫两点间的距离 C ．两点之间，直线最短D ．七边形的对角线一共有14条6．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（ ） A ．12 B ．10 C ．9 D ．6 7．如果一个三角形的三边长分别为5,8,a ．那么a 的值可能是（ ）A ．2B ．9C ．13D ．158．如图，,AD CE 分别是ABC 的中线与角平分线，若,40B ACB BAC ∠=∠∠=︒，则ACE ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．35︒C ．40︒D ．70︒ 9．正十边形每个外角等于（ ）A ．36°B ．72°C ．108°D ．150°10．如图，在ABC ∆中，80,BAC ∠=︒点D 在BC 边上，将ABD △沿AD 折叠，点B 恰好落在AC 边上的点'B 处，若'20B DC ∠=．则C ∠的度数为（ ）A ．20B ．25C ．35D ．4011．如图，小明从点A 出发沿直线前进9米到达点,B 向左转45后又沿直线前进9米到达点C ，再向左转45后沿直线前进9米到达点D ……照这样走下去，小明第一次回到出发点A 时所走的路程为（ ）A ．72米B ．80米C ．100米D ．64米 12．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题13．如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线14．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L 的取值范围是________15．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在F 处，折痕为BC ，FBD ∠的角平分线为BE ，将FBD ∠沿BF 折叠使BE ，BD 均落在FBC ∠的内部，且BE 交CF 于点M ，BD 交CF 于点N ，若BN 平分CBM ∠，则ABC ∠的度数为_________．16．已知等腰三角形的一边长等于11cm ，一边长等于5cm ，它的周长为______． 17．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°，则它是___________边形，从该多边形的一个顶点，可以引__________条对角线．18．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且76B ∠=︒，36C ∠=︒，则DAE ∠的度数为_________．19．如图，∠BAK ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＋∠E ＋∠F ＋∠MGN ＋∠H ＋∠K ＝________．20．一个三角形的三个内角度数之比为2:3:5，那这个三角形一定是三角形__________．三、解答题21．如图1，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE ⊥BC 于点E ． （1）若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE 的度数； （2）若∠C ＞∠B ，试说明∠DAE=12(∠C-∠B)； （3）如图2，若将点A 在AD 上移动到A′处，A′E ⊥BC 于点E ．此时∠DAE 变成∠DA′E ，请直接回答：（2）中的结论还正确吗？22．若a ，b ，c 是ABC 的三边的长，化简|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c+a ﹣b|． 23．如图，已知：点P 是ABC ∆内一点．（1）求证：BPC A ∠>∠；（2）若PB 平分ABC ∠，PC 平分ACB ∠，40A ︒∠=，求P ∠的度数． 24．已知：180,BDG EFG B DEF ∠+∠=︒∠=∠．（1）如图1，求证：//DE BC ．（2）如图2，当90A EFG ∠=∠=︒时，请直接写出与C ∠互余的角．25．如图，在BCD △中，D 为BC 上一点，12∠=∠，34∠=∠，60BAC ∠=︒，求DAC ∠，ADC ∠的度数．26．观察探究及应用． （1）如图，观察图形并填空：一个四边形有_______条对角线；一个五边形有_______条对角线；一个六边形有_______条对角线；（2）分析探究：由凸n边形的一个顶点出发，可作_______条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作_______条对角线；（3）结论：一个凸n边形有_______条对角线；（4）应用：一个凸十二边形有多少条对角线？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：A、1+2<4，不能构成三角形；B、5+6=11，不能构成三角形；C、3+3>3，能构成三角形；D、8+4=12，不能构成三角形．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于最大的数．2．C解析：C【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．【详解】∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵△CDB′是由△CDB 翻折得到， ∴∠CB′D ＝∠B ，∵∠CB′D ＝∠A ＋∠ADB′＝∠A ＋20°， ∴∠A ＋∠A ＋20°＝90°， 解得∠A ＝35°． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．B解析：B 【分析】根据三角形的三边的关系确定对角线的长度范围即可选择． 【详解】如图，设10AB cm =，12BC cm =，16CD cm =，22AD cm =． 根据三角形三边关系可知①101222AC AB BC cm <+=+=，162238AC AD CD cm <+=+=，故22AC cm <．②102232BD AB AD cm <+=+=，121628BD BC CD cm <+=+=，故28BD cm <．∵凸四边形对角线长为整数， ∴对角线最长为27cm ．故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的三边关系．熟知三角形两边之和大于第三边是解答本题的关键．4．D解析：D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可. 【详解】∵∠1=∠2，∠A=∠C ，∠1=∠A+∠D ，∠2=∠B+∠C ， ∴∠B=∠D ，∴选项A、B正确；∵∠2=∠A+∠D，∴2D∠>∠，∴选项C正确；没有条件说明C D∠=∠故选：D.【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键. 5．D解析：D【分析】根据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线对各小题分析判断即可得解．【详解】解：A、射线AB和射线BA是不同的射线，故本选项不符合题意；B、连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故本选项不符合题意；C、两点之间，线段最短，故本选项不符合题意；D 、七边形的对角线一共有7(73)142条，正确故选：D【点睛】本题考查了两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线的定义，多边形的对角线，熟练掌握概念是解题的关键．6．D解析：D【分析】要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数．【详解】图1没有共用部分，要6根小木棍，图2有共用部分，可以减少小木棍根数，仿照图2得到图3，要7根小木棍，同法搭建的图4，要9根小木棍，如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍，如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形， ∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根．故选：D 【点睛】此题考查的是组成图形的边的条数，解答此题需要灵活利用立体空间思维解答．7．B解析：B 【分析】根据三角形三边关系得出a 的取值范围，即可得出答案． 【详解】 解：8-5＜a ＜8+5 3＜a ＜13， 故a 的值可能是9， 故选：B ． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，掌握知识点是解题关键．8．B解析：B 【分析】由,40B ACB BAC ∠=∠∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解ACB ∠，结合三角形的角平分线的定义，从而可得答案． 【详解】 解：,B ACB ∠=∠40BAC ∠=︒，18040702B ACB ︒-︒∴∠=∠==︒， CE 是ABC 角平分线，1352ACE ACB ∴∠=∠=︒，故选：.B 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．9．A解析：A 【分析】根据正十边形的外角和等于360︒，每一个外角等于多边形的外角和除以边数，即可得解． 【详解】3601036︒÷=︒，∴正五边形的每个外角等于36︒， 故选：A ． 【点睛】本题考查了正多边形的外角和、边数、外角度数之间的关系，熟记正多边形以上三者之间的关系是解题的关键．10．D解析：D 【分析】由折叠的性质可求得'B AB D ∠=∠，利用三角形内角和及外角的性质列方程求解． 【详解】解：由题意可得'B AB D ∠=∠ ∵80,BAC ∠=︒ ∴∠B+∠C=100°又∵'='=20B AB D C B DC C ∠=∠+∠+∠∠， ∴∠C+20°+∠C=100° 解得：∠C=40° 故选：D ． 【点睛】本题考查三角形内角和及外角的性质，找准角之间的等量关系列出方程正确计算是解题关键．11．A解析：A 【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以9米即可． 【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进9米后向左转45度， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数n=360°÷45°=8，∴他第一次回到出发点A 时，一共走了8×9=72（m ）． 故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为360°；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键．12．D解析：D【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．【详解】解：根据题意，得：（n-2）×180=360×3，解得n=8．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．二、填空题13．11【分析】先根据题意求出多边形的边数再根据从n边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答【详解】设多边形的边数为n则有(n-2)•180＋360=2520解得：n=1414-3=11即从这个多解析：11【分析】先根据题意求出多边形的边数，再根据从n边形一个顶点出发共有（n-3）条对角线即可解答．【详解】设多边形的边数为n，则有(n-2)•180＋360=2520，解得：n=14，14-3=11，即从这个多边形的一个顶点出发共有11条对角线，故答案为11．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、多边形的对角线，得到多边形的边数是解本题的关键．14．10<L<16【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围再根据不等式的性质求出答案【详解】设第三边长为x∵有两条边分别为3和5∴5-3<x<5+3解得2<x<8∴2+3+5<x+3+5<8+3解析：10<L<16【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据不等式的性质求出答案．【详解】设第三边长为x ，∵有两条边分别为3和5，∴5-3<x<5+3,解得2<x<8，∴2+3+5<x+3+5<8+3+5，∵周长L=x+3+5,∴10<L<16,故答案为: 10<L<16．【点睛】此题考查三角形三边关系，不等式的性质，熟记三角形的三边关系确定出第三条边长是解题的关键．15．5°【分析】根据角平分线的定义可得再根据折叠的性质可得再根据平分可得进而可得【详解】解：∵的角平分线为∴又∵与关于对称∴∵与关于对称∴又∵平分∴又∵为折痕∴∵∴又∵∴∴又∵∴故答案为：675°【点睛解析：5°．【分析】根据角平分线的定义可得1FBE ∠=∠，再根据折叠的性质可得1MBF FBE ∠=∠=∠，NBF FBD ∠=∠，CBA CBF ∠=∠， 再根据BN 平分CBM ∠可得CBN NBM ∠=∠，进而可得318067.58ABC ∠=⨯=． 【详解】解：∵FBD ∠的角平分线为BE ，∴1FBE ∠=∠， 又∵BM 与BE 关于BF 对称，∴1MBF FBE ∠=∠=∠， ∵BN 与BD 关于BF 对称，∴NBF FBD ∠=∠FBE EBD =∠+∠11=∠+∠21=∠，又∵BN 平分CBM ∠，∴CBN NBM ∠=∠，又∵BC 为折痕，∴CBA CBF ∠=∠CBN NBF =∠+∠21NBM =∠+∠，∵NBM NBF MBF ∠=∠-∠211=∠=∠1=∠，∴31CBA ∠=∠，又∵180CBA CBF FBD ∠+∠+∠=，∴3112121180∠+∠+∠+∠=，∴81180∠=，又∵31ABC ∠=∠， ∴318067.58ABC ∠=⨯=， 故答案为：67.5°．【点睛】 本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平角的定义，解题的关键是理解题意，找到31808ABC ∠=⨯． 16．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为11和5而没有明确腰底分别是多少所以要进行讨论还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形【详解】分两种情况：当腰为11时11＋11>511-11<5所以能构成三解析：27cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为11和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】分两种情况：当腰为11时，11＋11>5，11-11<5，所以能构成三角形，周长是：11＋11＋5＝27cm ；当腰为5时，5＋5<11，所以不能构成三角形，故答案为：27cm ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．17．九六【分析】设边数为n 建立方程即可n 边形一个顶点引的对角线为(n-3)条【详解】解：设多边形的边数为n 则：解得：n=9对角线条数为n-3=6故答案为：9；6【点睛】本题考查多边形内角和与外角和关系以解析：九 六【分析】设边数为n ，建立方程即可，n 边形一个顶点引的对角线为(n-3)条．【详解】解：设多边形的边数为n,则：(2)1803603180n -•=⨯+解得：n=9对角线条数为n-3=6故答案为：9；6【点睛】本题考查多边形内角和与外角和关系，以及对角线的条数，属于基础题．18．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°∠CAD=54°进而得出∠DAE 的度数进而得出答案【详解】∵ADAE 分别是△ABC 的高和角平分线且∠B=76°∠C=36°∴∠B解析：20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE 的度数，进而得出答案．【详解】∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAC=180763668︒-︒-︒=︒，∠BAD=9076︒-︒=14°，∠CAD=9036︒-︒=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．故答案为：20°．【点睛】 本题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠BAD 和∠CAD 的度数是解题关键． 19．540°【分析】连接AGGD 先根据∠H+∠K=∠HGA+∠KAG ∠E+∠F=∠EDG+∠FGD 最后根据多边形的面积公式解答即可【详解】解：连接AGGD ∵∠H+∠K+∠HMK=180°∠HGA+∠KA解析：540°【分析】连接AG 、GD ，先根据∠H+∠K=∠HGA+∠KAG, ∠E+∠F=∠EDG+∠FGD,最后根据多边形的面积公式解答即可．【详解】解：连接AG 、GD ，∵∠H+∠K+∠HMK=180°，∠HGA+∠KAG +∠AMG=180°，∠HMK=∠AMG∴∠H+∠K=∠HGA+∠KAG ；同理：∠E+∠F=∠EDG+∠FGD∴∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠MGN＋∠H＋∠K=∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠EDG+∠FGD＋∠MGN＋∠HGA+∠KAG=五边形的内角和=（5-2）×180°=540°故答案为540°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和多边形内角和定理，根据题意正确作出辅助线成为解答本题的关键．20．直角【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°可求出三个内角分别是36°54°90°则这个三角形一定是直角三角形【详解】解：设三角分别为2x3x5解析：直角【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．【详解】解：设三角分别为2x，3x，5x，依题意得2x+3x+5x＝180°，解得x＝18°．故三个角的度数分别为36°，54°，90°．故答案为：直角．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．三、解答题21．（1）∠DAE=15°；（2）见解析；（3）正确．【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠BAD的度数，在△ABE中，利用直角三角形的性质求出∠BAE的度数，从而可得∠DAE的度数．（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=12(∠C-∠B)．【详解】（1）∵∠C=80°，∠B=40°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-40°-80°=60°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠BAE=50°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =20°；（2）理由：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12(180°-∠B-∠C)= 90°-12∠B-12∠C，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠BAE=90°-∠B，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°-∠B) -(90°-12∠B-12∠C )=12∠C-12∠B=12(∠C-∠B)；（3）（2）中的结论仍正确．∵∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+12∠BAC=∠B+12(180°-∠B-∠C) = 90°+12∠B-12∠C；在△DA′E中，∠DA′E=180°-∠A′ED-∠A′DE=180°-90°-(90°+12∠B-12∠C)=12(∠C-∠B)．【点睛】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．22．3c+a﹣b．【分析】根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．【详解】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c+a﹣b＞0．∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|＝b+c﹣a+c+a﹣b+c+a﹣b＝3c+a﹣b．【点睛】本题考查了三角形的三边关系、绝对值的性质、整式加减的应用，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）110°【分析】（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．（2）由三角形内角和定理求出∠ABC＋∠ACB＝140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．【详解】（1）延长BP交AC于D，如图所示：∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，∴∠BPC＞∠A；（2）在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°，∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，在△PBC中，∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=180°﹣12×140°=110°．【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义；熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．24．（1）证明见解析；（2）,,B ADE DEF ∠∠∠．【分析】（1）先根据角的和差、等量代换可得EFG ADG ∠=∠，再根据平行线的判定可得//EF AB ，然后根据平行线的性质可得ADE DEF ∠=∠，从而可得B ADE ∠=∠，最后根据平行线的判定即可得证；（2）根据直角三角形的两锐角互余、等量代换即可得．【详解】（1）180,180BDG EFG BDG ADG ∠+∠=︒∠+∠=︒，EFG ADG ∴∠=∠，//EF AB ∴，ADE DEF ∴∠=∠，B DEF ∠=∠，B ADE ∴∠=∠，//DE BC ∴；（2）90A ∠=︒，90B C ∴∠+∠=︒，B DEF ∠=∠，90DEF C ∴∠+∠=︒，由（1）可知，B ADE ∠=∠，90ADE C ∴∠+∠=︒，综上，与C ∠互余的角有,,B ADE DEF ∠∠∠．【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．25．∠DAC=20°，∠ADC=80°【分析】设∠1＝∠2＝x ，再用x 表示出∠3的度数，由三角形内角和定理得出∠2＋∠4的度数，进而可得出x 的值，由此得出结论．【详解】设∠1=∠2=x ，则∠3=∠4=2x ，∵∠BAC=60°，∴∠2+∠4=180°-60°=120°，即x+2x=120°，∴x=40°，即∠ADC=80°，∴∠DAC=∠BAC-∠1=60°-40°=20°．【点睛】本题考查的是三角形内角和外角的相关知识，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．26．（1）2；5；9；（2）(n-3)；n(n-3)；（3）(3)2n n-；（4）54【分析】（1）根据图形数出对角线条数即可；（2）根据所画图形可推导出凸n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，进而可得共可作n(n-3)条对角线；（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条(3)2n n-，即可解答；（4）把n=12代入（3）计算即可．【详解】解：（1）根据图形数出对角线条数，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9对角线；故答案为：2；5；9；（2）∵从凸4边形的一个顶点出发，可作1条对角线，从凸5边形的一个顶点出发，可作2条对角线，从凸6边形的一个顶点出发，可作3条对角线，从凸7边形的一个顶点出发，可作4条对角线，…∴从凸n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，若允许重复计数，共可作n(n-3)条对角线；故答案为：(n-3)；n(n-3)．（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条(3)2n n-，故答案为：(3)2n n-．（4）把n=12代入(3)2n n-计算得：1292⨯=54．故一个凸十二边形有54条对角线．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题关键是n边形从一个顶点出发的对角线有(n-3)条．。
(易错题精选)初中数学三角形基础测试题及解析(1)
（易错题精选）初中数学三角形基础测试题及解析(1)一、选择题1．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）A．23B．13C．4 D．32【答案】B【解析】【分析】如下图，作AD⊥BC，设半径为r，则在Rt△OBD中，OD=3－1，OB=r，BD=3，利用勾股定理可求得r.【详解】如图，过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3；∴OD=AD-OA=2；Rt△OBD中，根据勾股定理，得：22+BD OD13故答案为：B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.2．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A．32B．5 C．4 D．31【答案】B【解析】【分析】【详解】由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°，若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°－∠ACO－∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=32．同理可求得：AO=OC=3．在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1－OC=4，由勾股定理得：AD1=5．故选B．3．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．4 B．3 C．6 D．2【答案】B【解析】【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．【详解】解：AD是△ABC中∠BAC的平分线，∠EAD=∠FADDE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F ，∴DF=DE，又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4， 11742222AC ∴=⨯⨯+⨯⨯ ∴AC=3.故答案为：B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.4．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，且AD ＝AE ，连接DE 并延长交BC 的延长线于点F ，若DF ＝BD ，则∠A 的度数为（ ）A ．30B ．36C ．45D ．72【答案】B【解析】【分析】 由CA=CB ，可以设∠A=∠B=x ．想办法构建方程即可解决问题；【详解】解：∵CA=CB ，∴∠A=∠B ，设∠A=∠B=x ．∵DF=DB ，∴∠B=∠F=x ，∵AD=AE ，∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x ，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在AB 上的点E 处，已知BC=24，∠B=30°，则DE 的长是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】C【解析】【分析】 由折叠的性质可知；DC=DE ，∠DEA=∠C=90°，在Rt △BED 中，∠B=30°，故此BD=2ED ，从而得到BC=3BC ，于是可求得DE=8．【详解】解：由折叠的性质可知；DC=DE ，∠DEA=∠C=90°，∵∠BED+∠DEA=180°，∴∠BED=90°．又∵∠B=30°，∴BD=2DE ．∴BC=3ED=24．∴DE=8．故答案为8．【点睛】本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，根据题意得出BC=3DE 是解题的关键．6．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，以点B 为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA ，BC 于点M 、N ；再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ，则下列说法中不正确的是（）A ．BP 是∠ABC 的平分线B ．AD=BDC ．:1:3CBD ABD S S V V D ．CD=12BD【答案】C【解析】【分析】A 、由作法得BD 是∠ABC 的平分线，即可判定；B 、先根据三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，再由BP 是∠ABC 的平分线得出∠ABD ＝30°＝∠A,即可判定；C ，D 、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.【详解】解：由作法得BD 平分∠ABC ，所以A 选项的结论正确；∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝30°＝∠A ，∴AD ＝BD ，所以B 选项的结论正确；∵∠CBD ＝12∠ABC ＝30°， ∴BD ＝2CD ，所以D 选项的结论正确；∴AD ＝2CD ，∴S △ABD ＝2S △CBD ，所以C 选项的结论错误．故选：C ．【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内角和进行计算.7．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）A ．2B ．169C ．32D ．2【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH =，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG V ，∴CDG V 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ^^，EM GN =，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CD AD BC ====，∴4MN =，设EM GN x ==，则42EG FH x ==-，∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，即2114(42)22x x ?-，解得：121,4x x ==，∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=V ABE S ， ∵ABE △，BCF V ，CDG V ，DAH V 全等，∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ，∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF V ，CFG △，DGH V 也全等， ∴1(4=V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S ， 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．8．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】D【解析】 从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角，故选D ．9．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝5．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ）A 13B 5C ．22D ．4【答案】A【解析】 试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt △ABC 中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt △AOD 1中，OD 1=CD 1-OC=3，由勾股定理得：AD 1=13． 故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.10．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=︒==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）A ．55B ．45C ．35D ．25【答案】D【解析】【分析】先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】如图1，在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10，∴AC=55，连接BE ，∵BD 是圆的直径，∴∠BED=90°=∠CBA ，∵∠BAC=∠EDB ，∴△ABC ∽△DEB ，∴AB AC DE DB＝ ， ∴5355DB＝ ， ∴DB=35在Rt △ABD 中，AD=2225BD AB -= ，故选：D ．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．11．等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A ．25°B ．40°C ．25°或40°D ．50°【答案】C【解析】∵等腰三角形有一个是50°∴有两种可能①是三个角为50°、50°、80°；②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下： ①当三个角为50°、50°、80°时，根据图①，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=40°；②当三个角为50°、65°、65°，根据图②，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=25°故故选：C① ②点睛：本题主要考查三角形内角和定理：三角形内角和为180°.12．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，60CAB ∠=︒，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若4CE =，则AE 的值为（ ） A ．6B ．2C ．43D ．8 【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB＝∠CAE＝30°，即可得出AE的长．【详解】由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠CBA＝30°，∴∠EAB＝∠CAE＝30°，∴CE＝12AE＝4，∴AE＝8．故选D．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．13．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若8ab ，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab＝12×8＝4，∴根据4×12ab＋（a﹣b）2＝52＝25，得4×4＋（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3（舍负），故选：C．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．14．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝12∠CGE．其中正确的结论是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE ，，正确． 故选B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．15．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标轴为()4,1, 点D 的坐标为()0,1， 则菱形ABCD 的周长等于（ ）A ．5B ．43C ．45D ．20【答案】C【解析】【分析】 如下图，先求得点A 的坐标，然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长，进而得出菱形ABCD 的周长.【详解】如下图，连接AC 、BD ，交于点E∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB又∵B ()4,1，D ()0,1∴E(2，1)∴A(2，0)∴AD=()()2220015-+-=∴菱形ABCD 的周长为：45故选：C【点睛】本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标，从而求得菱形周长.16．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（ ）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【答案】A【解析】【分析】 首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，∴FB=FC ，∴∠FBC=∠FCB=25°，∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，故选：A ．【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ．ABC ∆的周长为19，ACE ∆的周长为13，则AB 的长为（ ）A．3B．6C．12D．16【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】∵AB的垂直平分线交AB于点D，∴AE=BE，∵△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC的周长=AC+BC+AB=19，∴AB=△ABC的周长-△ACE的周长=19-13=6，故答案为：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(12，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为( )A．132B．312C．192D．7【答案】B【解析】如图，作点A关于OB的对称点点D，连接CD交OB于点P，此时PA＋PC最小，作DN⊥x 轴交于点N，∵B （3，3），∴OA =3，AB =3，∴OB =23，∴∠BOA =30°，∵在Rt △AMO 中，∠MOA =30°，AO =3，∴AM =1.5，∠OAM =60°，∴∠ADN =30°， ∵在Rt △AND 中，∠ADN =30°，AD =2AM =3，∴AN =1.5，DN =332， ∴CN =3－12－1.5=1， ∴CD 2=CN 2+DN 2=12+（332）2=314，∴CD =31. 故选B. 点睛：本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P 点的位置，然后结合特殊角30°以及勾股定理计算.19．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）．A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B20．如图，直线a b ∥，点A 、B 分别在直线a 、b 上，145∠︒＝，若点C 在直线b 上，105BAC ∠︒＝，且直线a 和b 的距离为3，则线段AC 的长度为（ ）A ．32B ．33C ．3D ．6【答案】D【解析】【分析】 过C 作CD ⊥直线a ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．【详解】过C作CD⊥直线a，∴∠ADC=90°．∵∠1=45°，∠BAC=105°，∴∠DAC=30°．∵CD=3，∴AC=2CD=6．故选D．【点睛】本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．。
初中数学三角形基础测试题附答案解析(1)
初中数学三角形基础测试题附答案解析(1)一、选择题1．如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD 于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1 B．34C．23D．12【答案】D【解析】【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．【详解】∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG=AC=3，GF=CF，∵AB=4，AC=3，∴BG=1，∵AE是△ABC中线，∴BE=CE，∴EF为△CBG的中位线，∴EF=12BG=12，故选：D．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．2．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）A．4B．5C．6D．9【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案.【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x ＜7+2，即5＜x ＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x ＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x ＜9，只有6符合不等式，故选C ．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键.3．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．85【答案】C【解析】【分析】 由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度．【详解】解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，∴∠B=90°， ∴22345AC =+=，由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ，∴CF=5-3=2，在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -，由勾股定理，得：2222(4)x x +=-， 解得：32x =； ∴32BE =． 故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE 的长度．4．如图，在▱ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（）A．33°B．34°C．35°D．36°【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．2, 2,5B．3,3C．3,4,8D．4,5,6【答案】D【解析】【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．【详解】根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．A、2+2=4＜5，此选项错误；B、3＜3，此选项错误；C、3+4＜8，此选项错误；D、4+5=9＞6，能组成三角形，此选项正确．故选：D．【点睛】此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．6．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（）A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=12∠ADC D．∠ADE=13∠ADC【答案】D【解析】【分析】【详解】设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以13x y，即∠ADE=13∠ADC．故答案选D．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，∴DM=12CD=4cm，OM=R-2,在RT△OMD中，OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm．故选B．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．8．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【答案】D【解析】从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角，故选D．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴2234，作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°【答案】A【解析】【分析】先根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角性质得∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，∠1＝∠3＋∠D，则2∠1＝2∠3＋∠A，利用等式的性质得到∠D＝12∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ACE＝∠A＋∠ABC，即∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，∴2∠1＝2∠3＋∠A，∵∠1＝∠3＋∠D，∴∠D＝12∠A＝12×30°＝15°．故选A．【点睛】点评：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．11．如图,AA',BB'表示两根长度相同的木条,若O 是AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B'为( )A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．11 cm【答案】B【解析】 解：由题意知：OA =OA ′，∠AOB =∠A ′OB ′，OB =OB ′，∴△AOB ≌△A ′OB ′，∴A ′B ′=AB =9cm ．故选B ．点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．12．如图，在ABC ∆中，90C =o ∠，30B ∠=o ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=o ；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ∆∆=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论.【详解】题干中作图方法是构造角平分线，①正确；∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线∴∠CAD=∠DAB=30°∴∠ADC=60°，②正确∵∠DAB=∠B=30°∴△ADB 是等腰三角形∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a在△ADB 中，DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ∆=⨯⨯=⨯，13(CD+DB)22BAC S AC a CD ∆=⨯⨯=⨯ ∴:1:3DAC ABC S S ∆∆=，④正确故选：D【点睛】本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.13．如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，∠A ＝90°，EG ∥BC ，且CG ⊥EG 于G ，下列结论：①∠CEG ＝2∠DCB ；②∠ADC ＝∠GCD ；③CA 平分∠BCG ；④∠DFB ＝12∠CGE ．其中正确的结论是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG ∥BC ，∴∠CEG=∠ACB ，又∵CD 是△ABC 的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB ，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD=∠BCD ，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG ∥BC ，且CG ⊥EG ，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE，，正确．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．14．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）A．三条边的比为2∶3∶4 B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2C．三条边的比为1∶1∶2D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．【详解】A、三条边的比为2：3：4，22+32≠42，故不能判断一个三角形是直角三角形；B、三条边满足关系a2=b2-c2，即a2+c2=b2，故能判断一个三角形是直角三角形；C、三条边的比为1：1：2，12+12=（2）2，故能判断一个三角形是直角三角形；D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，故能判断一个三角形是直角三角形．故选：A．【点睛】此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．15．如图，AD∥BC，∠C =30°，∠ADB:∠BDC= 1:2，则∠DBC的度数是( )A．30°B．36°C．45°D．50°【答案】D【分析】直接利用平行线的性质得出∠ADC=150°，∠ADB=∠DBC,进而得出∠ADB 的度数，即可得出答案.【详解】∵AD ∥BC,∠C=30°∴∠ADC=150°，∠ADB=∠DBC∵∠ADB:∠DBC=1:2∴∠ADB=13×150°=50°，故选D. 【点睛】熟练掌握平行线的性质是本题解题的关键.16．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D 5【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点，∴1 2.52DE AB ==， 故选：B ．本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．17．如图：AD AB ⊥，AE AC ⊥，AD AB =，AE AC =，连接BE 与DC 交于M ，则：①DAC BAE ∠=∠；②DAC BAE ∆∆≌；③DC BE ⊥；正确的有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】 利用垂直的定义得到90DAB EAC ∠=∠=︒，则ADC BAE ∠=∠，于是可对①进行判断；利用“SAS ”可证明DAC BAE ∆≅∆，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到ADC ABE ∠=∠，则根据三角形内角和和对顶角相等得到90DMB DAB ∠=∠=︒，于是可对③进行判断．【详解】解：AD AB ⊥Q ，AE AC ⊥，90DAB ∴∠=︒，90EAC ∠=︒，DAB BAC EAC BAC ∴∠+=∠+∠，即ADC BAE ∠=∠，所以①正确；在DAC ∆和BAE ∆中，DA AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAC BAE SAS ∴∆≅∆，所以②正确；ADC ABE ∴∠=∠，∵∠AFD=∠MFB ，90DMB DAB ∴∠=∠=︒，DC BE ∴⊥，所以③正确．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．18．如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定．．．是等腰三角形的为（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF【答案】A【解析】【分析】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK所以，是等腰三角形的有△CDK，△CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.故选：A【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.19．满足下列条件的两个三角形不一定全等的是()A．有一边相等的两个等边三角形B ．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形C ．周长相等的两个三角形D ．斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形【答案】C【解析】A.根据全等三角形的判定，可知有一边相等的两个等边三角形全等，故选项A 不符合；B.根据全等三角形的判定，可知有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等，故选项B 不符合；C.根据全等三角形的判定，可知周长相等的两个三角形不一定全等，故选项C 符合；D.根据全等三角形的判定，可知斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等，故选项B 不符合.故本题应选C.20．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=︒==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）A ．55B ．45C ．35D ．25【答案】D【解析】【分析】先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】如图1，在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10，∴AC=55，连接BE ，∵BD 是圆的直径，∴∠BED=90°=∠CBA ，∵∠BAC=∠EDB ，∴△ABC ∽△DEB ，∴AB AC DE DB＝，∴53DB ＝，∴DB=在Rt△ABD中，，故选：D．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．。
(完整版)与三角形有关的线段测试题及答案
与三角形有关的线段测试题一、选择题1、△ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．a ＋b=cB ．a ＋b>cC ．a ＋b<cD ．a 2＋b 2=c 22、以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，化简|a ＋b －c|－|b －a －c|的结果是（ ）A ．2aB ．－2bC ．2a ＋2bD ．2b －2c4、已知三角形的周长为15cm ，其中的两边长都等于第三边长的2倍，则这个三角形的最短边长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm5、如图，∠ACB>90°，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，△ABC 中BC 边上的高是（ ）A ．FCB ．BEC ．AD D ．AE6、三角形的三条高在（ ）A ．三角形内部B ．三角形外部C ．三角形的边上D ．三角形的内部、外部或与边重合7、如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）A ．三角形的稳定性B ．两点之间线段最短C ．两点确定一条直线D ．垂线段最短8、如图，△ABC中，∠C=90°，D、E为AC上的两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，则下列说法中不正确的是（）A．BC是△ABE边AE上的高B．BE是△ABD的中线C．BD是△EBC的角平分线D．∠ABE=∠EBD=∠DBC 9、下列判断正确的是（）（1）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线；（2）三角形的中线、角平分线都是线段；（3）一个三角形有三条角平分线和三条中线；（4）三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（3）（4）C．（3）（4）D．（2）（3）10、如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间线段最短B．矩形的对称性C．矩形的四个角都是直角D．三角形的稳定性二、填空题11、已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交的成的角中有一个角是50°，则∠BAC 等于________度．12、如图，在图（1）中，互不重叠的三角形共有4个，在图（2）中，互不重叠的三角形共有7个，在图（3）中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第（n）个图形中，互不重叠的三角形共有________个（用含n的代数式表示）．13、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影=________．二、解答题14、如图，△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，△ABD的周长比△BDC的周长大2，且BC 的边长是方程的解，求△ABC三边的长．15、已知△ABC的三边长为5，12，3x－4，周长为偶数，求整数x及周长．16、如图，草原上有4口油井，位于四边形ABCD的4个顶点，现在要建立一个维修站H，问H建在何处，才能使它到4口油井的距离之和最小？17、已知△ABC的周长为45cm，（1）若AB=AC=2BC，求BC的长；（2）若AB:BC:AC=2:3:4，求△ABC三条边的长.18、如图，在△ABC中，AB=AC，AC上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形各边的长．19、如图，在△ABC中，D是BC上一点，试说明下列不等式成立的理由.AB＋BC＋AC>2CD.20、平面上有n个点（n≥3），且任意三点不在同一条直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少个不同的三角形？（1）分析：当平面上仅有3个点时，可作________个三角形；当有4个点时，可作________个三角形；当有5个点时，可作________个三角形；…（2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数S n发现：点的个数 3 4 5 …n 可连成三角形的个数（3）推理_______________________________________________________________答案：1--10：BCDAC DADDD 11、50或130 12、3n＋1 13、1cm214、先求出k=BC=4.5,而△ABD的周长比△BDC的周长大2，所以AB比BC大2，即AB=AC=6.5．15、先求x的取值范围，∴12－5<3x－4<12＋5，即，而x为整数，∴x=4、5或6．若周长12＋5＋3x－4=13＋3x是偶数，则x为奇数，∴x=5，从而周长为5＋12＋3x－4=28．16、H建在段AC与BD的交点处，理由是：AC＋BD<AB＋BC＋CD＋DA．17、（1）AB＋AC＋BC=45，5BC=45，BC=9cm;（2）设AB=2x,BC=3x,AC=4x,则2x＋3x＋4x=45,x=5,∴AB=2x=10cm,BC=3x=15cm,AC=20cm.18、因为BD是中线，所以AD=DC，造成所分两部分不等的原因就在于腰与底的不等，故应分情况讨论．解：设AB=AC=2x，则AD=CD=x，（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2x＋x=30，∴x=10，2x=20，BC=24－10=14，三边分别为：20cm，20cm，14cm．（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30，有2x＋x=24∴x=8，BC=30－8=22，三边分别为：16cm，16cm，22cm．19、AB＋BC＋AC=AB＋BD＋CD＋AC>AD＋AC＋CD>CD＋CD=2CD.20、（1）1；4；10（2）（3）平面上有n个点，过不在同一条直线上的三点可以确定一个三角形，取第一个点A有n种取法，取第二个点B有(n－1)种取法，取第三个点C有(n－2)种取法，所以一共有n(n－1)(n－2)个三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△CBA、△CAB是同一个三角形，故应除以6，即．。
第一章 三角形【过关测试01】(解析版)
人教版2020年第一单元《三角形》过关检测（一）一．选择题（共12小题）1．三角形按边可分为（）A．等腰三角形，直角三角形，锐角三角形B．直角三角形，不等边三角形C．等腰三角形，不等边三角形D．等腰三角形，等边三角形【分析】三角形按边分类即有三条边都不相等和有两条边相等，所以分为了不等边三角形和等腰三角形．等边三角形是特殊的等腰三角形．【解答】解：三角形按边分类分为不等边三角形和等腰三角形．故选C．2．若三角形两边长分别是4、5，则第三边c的范围是（）A．1＜c＜9B．9＜c＜14C．10＜c＜18D．无法确定【分析】直接利用三角形的三边关系进而得出答案．【解答】解：∵三角形两边长分别是4、5，∴第三边c的范围是：5﹣4＜c＜4+5，则1＜c＜9．故选：A．3．如图在△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BD，BE⊥AE，CF⊥AB，垂足分别是点D、E、F，则下列说法错误的是（）A．AD是△ABD的高B．CF是△ABC的高C．BE是△ABC的高D．BC是△BCF的高【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A 、AD 是△ABD 的高正确，故本选项错误；B 、CF 是△ABC 的高正确，故本选项错误；C 、BE 是△ABC 的高正确，故本选项错误；D 、BC 是△BCF 的高错误，故本选项正确．故选：D ．4．已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，AE 是△ABC 的外角平分线，若∠DAC ＝20°，问∠EAC ＝（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°【分析】根据三角形的外角性质得到∠EAC ＝∠B +∠ACD ，求出∠EAC 的度数，根据角平分线的定义求出即可．【解答】解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠DAC ＝20°，∴∠BAC ＝2∠DAC ＝40°，∴∠B +∠ACD ＝140°， ∴()︒=∠+∠=∠=∠702121ACD B FAC EAC ． 故选：B ．5．可以把三角形分成两个面积相等的三角形的是（ ）A ．三角形的中线B ．三角形的高线C ．三角形的角平分线D ．三角形一边的垂线【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．【解答】解：能够把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是三角形的中线．故选：A．6．在现实的生产、生活中有以下四种情况：①用“人”字梁建筑屋顶；②自行车车梁是三角形结构；③用窗钩来固定窗扇；④商店的推拉防盗铁门．其中用到三角形稳定性的是（）A．①②B．②③C．①②③D．②③④【分析】根据生活常识对各小题进行判断即可得解．【解答】解：①用“人”字梁建筑屋顶，是利用三角形具有稳定性；②自行车车梁是三角形结构，是利用三角形具有稳定性；③用窗钩来固定窗扇，是利用三角形具有稳定性；④商店的推拉防盗铁门，不是利用三角形具有稳定性；综上所述，用到三角形稳定性的是①②③．故选：C．7．在△ABC中，O为∠CAB和∠CBA的角平分线的交点，若∠AOB＝120°，则∠C的度数为（）A．120°B．60°C．50°D．30【分析】根据三角形的内角和求得∠OAB+∠OBA，利用角平分线的定义求得∠CAB+∠CBA，利用三角形的内角和定理列式计算求得答案即可．【解答】解：∵∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，∴∠OAB +∠OBA ＝21（∠ABC +∠BAC ）＝180°﹣120°＝60°， ∴∠ABC +∠BAC ＝120°，∴∠C ＝180°﹣（∠ABC +∠BAC ）＝60°．故选：B ．8．如图，对任意的五角星，结论正确的是（ ）A ．∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝90°B ．∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝180° C ．∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝270° D ．∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝360°【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得到∠1＝∠2+∠D ，∠2＝∠A +∠C ，根据三角形内角和定理得到答案．【解答】解：∵∠1＝∠2+∠D ，∠2＝∠A +∠C ，∴∠1＝∠A +∠C +∠D ，∵∠1+∠B +∠E ＝180°，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝180°，故选：B ．9．直角三角形中有一锐角为15°，则另一锐角为（ ）A ．85°B ．75°C ．15°D ．90°【分析】根据直角三角形中两个锐角互余即可得出答案．【解答】解：∵直角三角形中有一锐角为15°，根据直角三角形中两个锐角互余，∴另一锐角＝90°﹣15°＝75°，故选：B．10．角度是多边形的内角和的是（）A．1900°B．1800°C．560°D．270°【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后找出各选项中180°的倍数的选项即可．【解答】解：多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，纵观各选项，只有1800°是180°的倍数，所以，角度是多边形的内角和的是1800°．故选：B．11．若正多边形的一个外角等于45°，那么这个正多边形的内角和等于（）A．1 080°B．720°C．540°D．360°【分析】先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．【解答】解：正多边形的边数为：360°÷45°＝8，则这个多边形是正八边形，所以该多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°．故选：A．12．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（）A．2a B．﹣2b C．2（a+b）D．2（b﹣c）【分析】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴a+b＞c，b﹣a＜c，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2（b﹣c）；故选：D．二．填空题（共4小题）13．如图所示，其中∠1＝145°．【分析】首先求得∠2，然后根据三角形的外角的性质即可求解．【解答】解：∠2＝180°﹣100°＝80°，∴∠1＝65°+∠2＝65°+80°＝145°．故答案是：145°．14．如图所示，求∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N＝360°．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠D+∠E＝∠1，∠F+∠G＝∠2，∠M+∠N＝∠3，再根据三角形的外角和等于360°解答．【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，∠D+∠E＝∠1，∠F+∠G＝∠2，∠M+∠N＝∠3，∵△ABC的外角和等于360°，即∠1+∠2+∠3＝360°，∴∠D +∠E +∠F +∠G +∠M +∠N ＝360°．故答案为：360°．15．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AE 为∠BAC 的平分线，且∠DAE ＝15°，∠B ＝35°，则∠C ＝ 65 °．【分析】利用三角形内角和定理求得∠AED ＝75°；然后根据已知条件和三角形外角定理可以求得∠BAE 的度数；最后结合三角形角平分线的定义和三角形内角和定理进行解答．【解答】解：如图，∵AD ⊥BC ，∴∠ADE ＝90°．又∵∠DAE ＝15°，∴∠AED ＝75°．∵∠B ＝35°，∴∠BAE ＝∠AED ﹣∠B ＝40°．又∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠BAC ＝2∠BAE ＝80°，∴∠C ＝180°﹣∠B ﹣∠BAC ＝65°．故答案是：65．16．如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 1…；求∠A 2014＝ （20142m）° ．【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A 1＝21∠A ，进而可求∠A 1，由于∠A 1＝21∠A ，∠A 2＝21∠A 1＝221∠A ，…，以此类推可知∠A 2014＝201421∠A ．【解答】解：∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A 1BC ＝21∠ABC ，∠A 1CA ＝21∠ACD ， ∵∠A 1CD ＝∠A 1+∠A 1BC ， 即21∠ACD ＝∠A 1+21∠ABC ， ∴∠A 1＝21（∠ACD ﹣∠ABC ）， ∵∠A +∠ABC ＝∠ACD ，∴∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ，∴∠A 1＝21∠A ， ∠A 2＝21∠A 1＝221∠A ，…， 以此类推可知∠A 2014＝201421∠A ＝（20142m）°．故答案为：（20142m）°．三．解答题（共8小题）17．已知：在△ABC 中，∠A +∠B ＝2∠C ，∠A ﹣∠B ＝20°，求三角形三个内角的度数．【分析】设∠B ＝x °，则∠A ＝x °+20，∠C ＝x °+10°，根据∠A +∠B +∠C ＝180°得出方程x +20+x +x +10＝180，求出方程的解即可．【解答】解：∵在△ABC 中，∠A +∠B ＝2∠C ，∠A ﹣∠B ＝20°，∴设∠B ＝x °，∠A ＝x °+20，∴∠A +∠B ＝2x °+20°，∴∠C ＝x °+10°，∵∠A +∠B +∠C ＝180°，∴x +20+x +x +10＝180解得：x ＝50则∠A ＝70°，∠B ＝50°，∠C ＝60°．18．已知等腰三角形ABC 中，一腰AC 上的中线BD 将三角形的周长分成9cm 和15cm 两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．【分析】分腰长与腰长的一半是9cm 和15cm 两种情况，求出腰长，再求出底边，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断即可．【解答】解：设腰长为xcm ，①腰长与腰长的一半是9cm 时，x +21x ＝9， 解得x ＝6， 所以，底边＝15﹣21×6＝12，∵6+6＝12，∴6cm 、6cm 、12cm 不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是15cm 时，x +21x ＝15， 解得x ＝10， 所以，底边＝9﹣21×10＝4， 所以，三角形的三边为10cm 、10cm 、4cm ，能组成三角形，综上所述，三角形的腰长为10cm ，底边为4cm ．19．已知：△ABC 中，BC ＝2cm ，AB ＝8cm ，AC 的长度是奇数，求△ABC 的周长．【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围后，根据AC 的长度是奇数，求出周长即可．【解答】解：设第三边AC 是x ，∵BC ＝2cm ，AB ＝8cm∴6＜x ＜10．∴x ＝7、8或9．∵AC 的长度是奇数，∴AC ＝7cm 或9cm ，∴△ABC 的周长为：2+8+7＝17（cm ）；2+8+9＝19（cm ）．20．如图，△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．∠A ＝60°．求∠ECF 、∠FEC 的度数．【分析】先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠2+∠3的度数，再由三角形外角的性质求出∠FEC 的度数；根据B 、C 、D 共线，∠3＝∠4，∠5＝∠6，可得出∠4+∠5＝90°，故可求出∠ECF 的度数．【解答】解：∵∠A ＝60°，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝21（180°﹣∠A ）＝21（180°﹣60°）＝60°， ∵∠FEC 是△BCE 的外角，∴∠FEC ＝∠2+∠3＝60°，又∵B 、C 、D 共线，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∴∠4+∠5＝90°；∴∠FCE ＝∠4+∠5＝90°．21．如图，在△ABCC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AF 是角平分线，交CD 于点E ．求证：∠1＝∠2．【分析】根据角平分线的定义可得∠CAF ＝∠BAF ，再根据直角三角形两锐互余列式证明即可．【解答】证明：∵AF 是角平分线，∴∠CAF ＝∠BAF ，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠CAF +∠2＝90°，∠BAF +∠AED ＝90°，∴∠2＝∠AED ，∵∠1＝∠AED ，∴∠1＝∠2．22．如图所示，△ABC 中，∠B ：∠C ＝3：4，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，且∠AFD ＝146°，求∠EDF 的度数．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C的度数，然后求出∠B 的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BDE ，然后根据垂直的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵∠AFD ＝146°，FD ⊥BC ，∴∠C ＝∠AFD ﹣∠FDC ＝146°﹣90°＝56°，∵∠B ：∠C ＝3：4，∴∠B ＝56°×43＝42°， ∵DE ⊥AB ，∴∠BED ＝90°，∴∠BDE ＝90°﹣42°＝48°，∵∠BDE +∠EDF ＝90°，∴∠EDF ＝90°﹣∠BDE ＝90°﹣48°＝42°．23．如图，AD 、AE 分别为△ABC 的高和角平分线，∠B ＝35°，∠C ＝45°，求∠DAE 的度数．【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC 的度数，则依据角平分线的定义求得角∠EAC ，然后在直角△ACD 中，求得∠DAC 的度数，则∠DAE ＝∠CAE ﹣∠DAC 即可求解．【解答】解：在△ABC 中，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE ＝21∠BAC ， ∵∠B ＝35°，∠C ＝45°，∴∠BAC ＝100°，∠DAC ＝45°，∴∠CAE ＝50°，∴∠DAE ＝∠CAE ﹣∠DAC ＝5°．24．（1）如图1，点P 为△ABC 的内角平分线BP 与CP 的交点，求证：∠BPC ＝90°+∠A ；（2）如图2，点P 为△ABC 内角平分线BP 与外角平分线CP 的交点，请直接写出∠BPC 与∠A 的关系；（3）如图3，点P 是△ABC 的外角平分线BP 与CP 的交点，请直接∠BPC 与∠A 的关系．【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠PBC +∠PCB 的度数，再根据角平分线的性质求出∠ABC +∠ACB 的度数，由三角形内角和定理即可求出答案．（2）根据角平分线的定义得∠PBC ＝21∠ABC ，∠PCD ＝21∠ACD ，再根据三角形外角性质得∠ACD ＝∠A +∠ABC ，∠PCD ＝∠PBC +∠P ，所以21（∠A +∠ABC ）＝∠PBC +∠P ＝21∠ABC +∠P ，然后整理可得∠P ＝21∠A ； （3）根据题意得∠PBC ＝21（∠A +∠ACB ），∠PCB ＝21（∠A +∠ABC ），由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，求得∠P 与∠A 的关系，从而计算出∠P 的度数．【解答】证明：（1）∵∠PBC +∠BCP +∠BPC ＝180°，∵∠BPC ＝120°，∴∠ABC +∠ACB ＝60°，∵BP 、CP 是角平分线，∴∠ABC ＝2∠PBC ，∠ACB ＝2∠BCP ，∵∠ABC +∠ACB +∠A ＝180°， ∴∠BPC ＝90°+21∠A ； （2）∠P ＝21∠A （3）∠P ＝90°﹣21∠A。
《 与三角形有关的角》同步专题提升训练(附答案)2021-2022学年八年级数学人教版上册
2021-2022学年人教版八年级数学上册《11.2与三角形有关的角》同步专题提升训练（附答案）一．选择题1．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（）A．20°B．30°C．50°D．70°2．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°3．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°．其中正确的结论是（）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④4．适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形5．将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°6．如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，∠A＝20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．40°B．20°C．55°D．30°7．如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足关系式是（）A．∠1+∠2＝∠3+∠4B．∠1+∠2＝∠4﹣∠3C．∠1+∠4＝∠2+∠3D．∠1+∠4＝∠2﹣∠38．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（）A．59°B．60°C．56°D．22°二．填空题9．如图，∠A＝70°，∠B＝15°，∠D＝20°，则∠BCD的度数是．10．如图，在△ABC中，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∠BIC＝130°，则∠A＝．11．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝度．12．一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°．则∠BFD的度数是．13．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．14．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF＝度．15．如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于．三．解答题16．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．（1）求∠AFC的度数；（2）求∠EDF的度数．17．已知如图∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠BAD＝40°，求∠EDC度数．18．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．19．已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）20．已知：如图，△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于F．（1）试说明：∠ABC＝∠BFD；（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度数．参考答案一．选择题1．解：∵AB∥CD，∴∠BMD＝∠B＝50°，又∵∠BMD是△CDE的外角，∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．故选：B．2．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故选：C．3．解：∵AB⊥AC．∴∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝90°∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，∴2∠FBC+2∠FCB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝45°∴∠BFC＝135°故④正确．∵AG∥BC，∴∠BAG＝∠ABC∵∠ABC＝2∠ABF∴∠BAG＝2∠ABF故①正确．∵AB⊥AC，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵AG⊥BG，∴∠ABG+∠GAB＝90°∵∠BAG＝∠ABC，∴∠ABG＝∠ACB故③正确．故选：C．4．解：∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，即6∠A＝180°，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形．故选：B．5．解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，∴∠ACB＝45°．∵∠EDF＝90°，∠F＝60°，∴∠DEF＝30°．∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DEF＝30°，∴∠CED＝∠ACB﹣∠EDC＝45°﹣30°＝15°．故选：A．6．解：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACB＝100°，∠A＝20°，∴∠B＝60°，根据翻折不变性可知：∠CB′D＝∠B＝60°，∵∠DB′C＝∠A+∠ADB′，∴60°＝20°+∠ADB′，∴∠ADB′＝40°，故选：A．7．解：∵∠6是△ABC的外角，∴∠1+∠4＝∠6，﹣﹣﹣（1）；又∵∠2是△CDF的外角，∴∠6＝∠2﹣∠3，﹣﹣﹣（2）；由（1）（2）得：∠1+∠4＝∠2﹣∠3．故选：D．8．解：∵BE为△ABC的高，∴∠AEB＝90°∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，∴∠CAB＝62°，∵AF是角平分线，∴∠1＝∠CAB＝31°，在△AEF中，∠EF A＝180°﹣31°﹣90°＝59°．∴∠3＝∠EF A＝59°，故选：A．二．填空题9．解：连接AC，并延长到E，∵∠A＝70°，∠B＝15°，∠D＝20°，∴∠BCE＝∠B+∠BAC，∠ECD＝∠D+∠CAD，∴∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝∠B+∠D+∠BAD＝70°+15°+20°＝105°，故答案为：105°．10．解：∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∴∠IBC＝，∠ICB＝∠ACB，∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠BIC＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣130°＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝50°×2＝100°，∴∠A＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80°．11．解：由题意得：∠NCM＝∠NBM＝×180°＝90°，∴可得：∠CMB+∠CNB＝180°，又∠CMB：∠CNB＝3：2，∴∠CMB＝108°，∴（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣∠CMB＝72°，∴∠CAB＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝36°．故答案为：36°．12．解：∵△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，∴∠CDF＝60°，∵∠CDF是△BDF的外角，∠B＝45°，∴∠BFD＝∠CDF﹣∠B＝60°﹣45°＝15°．故答案为：15°．13．解：如右图所示，∵∠AHG＝∠A+∠B，∠DNG＝∠C+∠D，∠EGN＝∠E+∠F，∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角，∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360°．14．解：∵∠A＝40°，∠B＝72°，∴∠ACB＝68°，∵CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，∴∠BCE＝34°，∠BCD＝90°﹣72°＝18°，∵DF⊥CE，∴∠CDF＝90°﹣（34°﹣18°）＝74°．故答案为：74．15．解：∵△ABC中，∠C＝50°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝130°，∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°，故答案为：230°．三．解答题16．解：（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠BAD＝∠DAF，∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，∴∠AFC＝∠B+∠BAD+∠DAF＝110°；（2）∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∠ADC＝50°+30°＝80°，∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠ADE＝∠ADB＝100°，∴∠EDF＝∠ADE﹣∠ADC＝100°﹣80°＝20°．17．解：△ABD中，由三角形的外角性质知：∠ADC＝∠B+∠BAD，即∠EDC+∠1＝∠B+40°；①同理，得：∠2＝∠EDC+∠C，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴∠1＝∠EDC+∠B，②②代入①得：2∠EDC+∠B＝∠B+40°，即∠EDC＝20°．18．解：∵AD⊥BC∴∠ADC＝90°∵∠C＝70°∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠BAC＝50°，∠C＝70°∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°∵BF是∠ABC的角平分线∴∠ABO＝30°∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．19．解：（1）结论：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）结论：六个；（3）由∠D+∠1+∠2＝∠B+∠3+∠4①（∵∠AOD＝∠COB），由∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴40°+2∠1＝36°+2∠3∴∠3﹣∠1＝2°（1）由∠ONC＝∠B+∠4＝∠P+∠2，②∴∠P＝∠B+∠4﹣∠2＝36°+2°＝38°；（4）由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P＝．20．解：（1）∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠ABC＝∠ABF+∠FBC，∵∠BAD＝∠EBC，∴∠ABC＝∠BFD；（2）∵∠BFD＝∠ABC＝35°，∵EG∥AD，∴∠BEG＝∠BFD＝35°，∵EH⊥BE，∴∠BEH＝90°，∴∠HEG＝∠BEH﹣∠BEG＝55°。
全等三角形练习题及答案(一)
全等三角形练习一、填空题：1.如图，△ABC ≌△DEB ，AB =DE ，∠E =∠ABC ，则∠C 的对应角为 ，BD 的对应边为 .2.如图，AD =AE ，∠1=∠2，BD =CE ，则有△ABD ≌△ ，理由是 ，△ABE ≌3.4.如图，AD 、A´D´分别是锐角△ABC 和△A´B´C´中BC 与B´C´边上的高，且AB = A´B´，AD = A´D´，若使△ABC ≌△A´B´C´，请你补充条件 （只需填写一个你认为适当的条件）5. 若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、 或 与另一个三角形完全重合.6. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BC ＝EF ），左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝___________度（第7题） （第8题） 7的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，__________． 8．如图，在△ABC 中，∠B ＝90o ，D 是斜边AC 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ，若∠DAC ：∠DAB ＝2：5，则∠DAC ＝___________．9．如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90o ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AB ＋AD＝M N D C B A ED CBAH E D C B A B ′C ′D ′O ′A ′O D C B A （第148cm ，则底边BC 上的高为___________．10．如图，锐角三角形ABC 中，高AD 和BE 交于点H ，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝__________度．（第9题） （第10题） （第13题）二、选择题： 11．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠A =56°，则高BD 与BC 的夹角为（ ） A ．28° B ．34° C ．68° D ．62°12．在△ABC 中，AB =3，AC =4，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD ，则AD 的长的取值范围为（ ）A ．1＜AD ＜7B ．2＜AD ＜14C ．2.5＜AD ＜5.5 D ．5＜AD ＜1113．如图，在△ABC 中，∠C =90°，CA =CB ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6，则△DEB 的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1014．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是A ．（S ．S ．S ．）B ．（S ．A ．S ．）C ．（A ．S ．A ．）D ．（A ．A ．S ． 15. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（ ）A.∠α=60º，∠α的补角∠β=120º，∠β>∠αB.∠α=90º，∠α的补角∠β=900º，∠β=∠αC.∠α=100º，∠α的补角∠β=80º，∠β<∠αD.两个角互为邻补角16. △ABC 与△A´B´C ´中，条件①AB = A´B´，②BC = B´C´，③AC =A´C´，④∠A=∠A´，⑤∠B =∠B´，⑥∠C =∠C´，则下列各组条件中不能保证△ABC ≌△A´B´C´的是（ ）A. ①②③B. ①②⑤C. ①③⑤D. ②⑤⑥17．如图，在△ABC 中，AB =AC ，高BD ，CE 交于点O ，AO 交BC 于点F ，则图中共有全等三角形（ ）A ．7对B ．6对C ．5对D ．4对D C B A18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若△DEB 的周长为10cm ，则斜边AB 的长为（ ）A ．8 cmB ．10 cmC ．12 cmD ． 20 cm19．如图，△ABC 与△BDE 均为等边三角形，AB ＜BD ，若△ABC 不动，将△BDE 绕点B旋转，则在旋转过程中，AE 与CD 的大小关系为（ ）A ．AE =CDB ．AE ＞CDC ．AE ＜CD D ．无法确定20．已知∠P =80°，过不在∠P 上一点Q 作QM ，QN 分别垂直于∠P 的两边，垂足为M ，N ，则∠Q 的度数等于（ ）A ．10°B ．80°C ．100°D ．80°或100°三、解答题（每小题5分，共30分）21.如图，点E 在AB 上，AC =AD ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件为 ，你得到的一对全等三角形是∆ ∆≅ .（第21题）22.如图，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并给予证明.①AB =AC ，②DE =DF ，③BE =CF ，已知：EG ∥AF ， = ， = ，求证：证明： （第22题）E C D BAE A B D FC 23. 如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB =DE ，②AC =DF ，③∠ABC =∠DEF ，④BE =CF（第23题）24. 如图，四边形ABCD 中，点E 在边CD 上.连结AE 、BF ，给出下列五个关系式：①AD ∥BC ；②DE =CE ③. ∠1=∠2 ④. ∠3=∠4 . ⑤AD +BC =AB 将其中的三个关系式作为假设，另外两个作为结论，构成一个命题.(1)用序号写出一个真命题，书写形式如：如果……，那么……，并给出证明；(2)用序号再写出三个真命题（不要求证明）；（3）真命题不止以上四个，想一想就能够多写出几个真命题25.已知，如图，D 是△ABC 的边AB 上一点,DF 交AC 于点E , DE =FE , AB∥FC . 问线段AD 、CF 的长度关系如何？请予以证明.（第25题）E D A C 4321FB26.如图，已知ΔABC 是等腰直角三角形，∠C =90°.（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C 重合，使这个角落在∠ACB 的内部，两边分别与斜边AB 交于E 、F 两点，然后将这个角绕着点C 在∠ACB 的内部旋转，观察在点E 、F 的位置发生变化时，AE 、EF 、FB 中最长线段是否始终是EF ？写出观察结果.（2）探索：AE 、EF 、FB 这三条线段能否组成以EF 为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明.四、探究题 （每题10分，共20分）27.如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA的平分线，AD 、CE 相交于点F .请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. O P A MN EB C D F A CE F BD 图① 图② 图③28.如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现）ACF BE ACFB图 a 图b参考答案一、1.∠DBE， CA 2.△ACE， SAS，△ACD， ASA（或SAS）3. 64.CD=C´D´（或AC=A´C´，或∠C=∠C´或∠CAD=∠C´A´D´）5.平移，翻折6. 907. 10 8. 20º 9.28- 10. 454二、11. A 12. D 13. B 14.A 15.C 16.C 17.A 18.B 19.A 20.D三、21.可选择BD=∠∠、等条件中的一个.可得到△ACE≌△=、DABBCCE=CABDEADE或△ACB≌△ADB等.22.结合图形，已知条件以及所供选择的3个论断，认真分析它们之间的内在联系可选①AB=AC，②DE=DF，作为已知条件，③BE=CF作为结论；推理过程为：∵EG∥AF，∴∠GED=∠CFD，∠BGE=∠BCA，∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∴∠B=∠BGE∴BE=EG，在△DEG和△DFC中，∠GED=∠CFD，DE=DF，∠EDG=∠FDC，∴△DEG≌△DFC，∴EG=CF，而EG=BE，∴BE=CF；若选①AB=AC，③BE=CF为条件，同样可以推得②DE=DF，23.结合图形，认真分析所供选择的4个论断之间的内在联系由④BE=CF还可推得BC=EF，根据三角形全等的判定方法，可选论断：①AB=DE，②AC=DF，④BE=CF为条件，根据三边对应相等的两个三角形全等可以得到：△ABC≌△DEF，进而推得论断③∠ABC=∠DEF，同样可选①AB=DE，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF为条件，根据两边夹角对应相等的两个三角形全等可以得到：△ABC≌△DEF，进而推得论断②AC=DF.24. （1）如果①②③，那么④⑤证明：如图，延长AE交BC的延长线于F因为AD∥BC 所以∠1=∠F又因为∠AED =∠CEF，DE=EC所以△ADE≌△FCE，所以AD=CF,AE=EF因为∠1=∠F ,∠1=∠2 所以∠2=∠F所以AB=BF.所以∠3=∠4所以AD+BC=CF+BC=BF=AB（2）如果①②④，那么③⑤;如果①③④，那么②⑤;如果①③⑤，那么②④.(3) 如果①②⑤，那么③④;如果②④⑤，那么①③;如果③④⑤，那么①②.25.（1）观察结果是：当45°角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在重合，并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.（2）AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE，使CG=AC，连结EG，FG，∴ΔACE≌ΔGCE，∴∠A=∠1，同理∠B=∠2，∵∠A+∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠EGF=90°，EF为斜边.四、27.（1）FE与FD之间的数量关系为FE=FD（2）答：（1）中的结论FE=FD仍然成立图①图②证法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG ∵∠1=∠2，AF=AF，AE=AG ∴△AEF≌△AGF∴∠AFE=∠AFG，FG=FE∵∠B=60°,且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线∴∠2+∠3=60°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°∴∠CFG=60°∵∠4=∠3，CF=CF，∴△CFG≌△CFD∴ FG=FD∴FE=FD图⑤证法二：如图2，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H∵∠B=60°,且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线∴∠2+∠3=60°∴∠GEF=60°+∠1,FG=FH∵∠HDF=∠B+∠1 ∴∠GEF=∠HDF∴△EGF≌△DHF∴FE=FD28. （1）AF=BE.证明：在△AFC和△BEC中，∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60.∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.(2)成立. 理由：在△AFC和△BEC中，∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°. ∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB.即∠ACF=∠BCE. ∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.(3)此处图形不惟一，仅举几例.如图，(1)中的结论仍成立.(4)根据以上证明、说明、画图，归纳如下：如图a，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE.温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
(完整版)三角形内角和综合习题精选(含答案)
三角形内角和综合习题精选一．解答题（共12小题）1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3)．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°,∠BAD=35°,求∠BED的度数;（2）在△BED中作BD边上的高;（3）若△ABC的面积为60,BD=5，则点E到BC边的距离为多少？3．如图，DB是△ABC的高,AE是角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数．4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E．（1)若∠B=35°,∠ACB=85°，求∠E的度数;（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．5．（1)如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_________ ，∠XBC+∠XCB=_________ ．（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．6．如图1，△ABC中，∠A=50°，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点．（1）求∠P的度数；(2）猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？(3）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点,∠P与∠A又有怎样的大小关系？(4）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点,∠P与∠A又有怎样的大小关系？【（2)、（3）、(4）小题只需写出结论,不需要证明】7．如图，已知△ABC中,∠B=∠E=40°，∠BAE=60°,且AD平分∠BAE．（1）求证:BD=DE；（2）若AB=CD,求∠ACD的大小．8．如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．（1）若|x+2y﹣5|+｜2x﹣y｜=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，问:点A、B在运动的过程中,∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化,请求出其值；若发生变化，请说明理由；(3）如图，延长BA至E,在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H,试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何?请写出你的结论并说明理由．9．如图所示，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD,∠ADC，∠1+∠2=90°，∠B=75°，求∠A的度数．10．如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．(1）当∠OCD=50°（图1)，试求∠F．（2)当C、D在射线OA、OB上任意移动时(不与点O重合)（图2），∠F的大小是否变化？若变化,请说明理由；若不变化，求出∠F．11．如图，△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O．（∠ABC＞∠C),（1)试说明∠BOA=90°+∠C；（2）当AD是高，判断∠DAE与∠C、∠ABC的关系，并说明理由．12．已知△ABC中，∠BAC=100°．（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线(即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC 的大小；（3)如此类推,若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系,并判断当∠BOC=170°时,是几等分线的交线所成的角．答案与评分标准一．解答题（共12小题）1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．(1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．(2)．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=(∠C﹣∠B）．（3）．如图(2)若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？考点：三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理。
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与三角形有关的角测试题
一、选择题
1、一个三角形的两个内角分别是55°和65°，不可能是这个三角形外角的是（）
A．115° B．120°
C．125° D．130°
2、如图，已知∠1=20°，∠2=25°∠A=35°，则∠BDC的度数为（）
A．50° B．80°
C．70° D．60°
3、已知如下图所示，△ABC，
（1）如图（1），若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则
（2）如图（2），若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°－∠A；（3）如图（3），若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则
上述说法正确的个数是（）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
4、如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4=（）
A．100° B．200°
C．280° D．300°
5、下列语句中，正确的是（）
A．三角形的外角大于它的内角
B．三角形的一个外角等于它的两个内角
C．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
D．三角形的外角和为180°
6、如图所示，住宅小区呈三角形ABC形状，且周长为2000m，现规划沿小区周围铺上宽为3m的草坪，则草坪的面积（精确到1m）是（）
A．6000m2 B．6016m2
C．6028m2 D．6036m2
7、在△ABC中，AD⊥BC于D，且AD将∠BAC分成的两个小角度分别为20°和50°，则此三角形一定是（）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都不对
8、如图∠2＋α=180°，则下列式子中值为180°的是（）
A．α＋β＋γ B．α＋β－γ
C．β＋γ－α D．α－β＋γ
9、如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=（）
A．150° B．180°
C．135° D．120°
10、若△ABC的三个内角满足关系式∠B＋∠C=3∠A，则这个三角形（）
A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
二、解答题
11、如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2=_______．
12、如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠EDF的度数为________．
13、在△ABC中，∠B=66°，∠ACB=54°，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF 交于H，试求∠BHC的度数.
14、△ABC中，∠A=96°，延长BC于D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依次类推∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于
A5，则∠A5的大小是多少.
15、已知：如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C>∠B，F为AE上一点，且FD⊥BC 于D.
（1）试推导∠EFD与∠B、∠C的大小关系；
（2）当点F在AE的延长线上时，图（2）其余条件都不变，你在（1）中推导的结论是否仍然成.
16、如图，AC、BD相交于点O，BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD，且交于点P．（1）若∠A=70°，∠D=60°，求∠P的度数；
（2）试探索∠P与∠A、∠D间的数量关系；
（3）若∠A:∠D:∠P=2:4:x，求x的值．
答案：
1—10 DBCCC CABBA
11、220度
12、68度
13、因为∠ABC=66°，∠ACB=54°，
又BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∠HBC=90°－54°=36°，
∠HCB=90°－66°=24°，
∴∠BHC=180°－∠HBC－∠HCB=120°.
14、∵∠ACD=∠A＋∠ABC，∠A1CD=∠A1＋∠A1BC，
∴而∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
∴∠A1=∠A，
同理
15、
16、（1）由∠CEB=∠D＋∠DCE=∠P＋∠EBP，
得
由∠OFB=∠P＋∠PCE=∠A＋∠FBA可得
．。