宁夏银川一中2015届高三上学期第四次月考数学(文科)试卷

BAC宁夏银川一中2015届高三上学期第四次月考数学(文科)试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{x N x U *∈=＜}6，集合{}{}5,3,3,1==B A ，则()B A C U ⋃等于 A.{}4,1B.{}5,1C.{}02,4，D.{}4,22．已知i 是虚数单位，且复数2121,21,3z z i z bi z 若-=-=是实数，则实数b 的值为 A ．6B ．6-C ．0D ．613．下列各式正确的是 A ．a b =a b ⋅B ．()222a b=a b ⋅⋅C ．若()a b-c ,⊥则a b=a c ⋅⋅ D ． 若a b=a c ⋅⋅则b=c4．已知3sin cos ,cos sin 842ππααααα=<<-且，则的值是 A ．12B ．12-C ．14-D ．12±5．已知等差数列｛a n ｝的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于 A ．－10 B ．－8 C ．－6 D ．－4 6．下列命题错误的是A ．命题“21,11x x <<<若则-”的逆否命题是若1x ≥或1x ≤-，则12≥xB ．“22am bm <”是”a b <”的充分不必要条件 C ．命题p ：存在R x ∈0,使得01020<++x x ，则p ⌝： 任意R x ∈,都有012≥++x xD ．命题“p或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 7．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图 如图所示,则其侧视图的面积为 A．4 B ．2C ．2D 8．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩,A B（如图），要测算,A B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得50BC m =，105,45ABC BCA ∠=∠=，就可以计算出,A B 两点的距离为A ．mB ．mC ．m D.2m9．已知函数()y xf x '=-的图象如图(其中()f x '是函数()f x 的导函数),下面四个图象中,()y f x =的图象可能是10．已知直线,l m ，平面,αβ，且,l m αβ⊥⊂，给出四个命题：①若α∥β，则l m ⊥； ②若l m ⊥，则α∥β； ③若αβ⊥，则l ∥m ； ④若l ∥m ，则αβ⊥． 其中真命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．111．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(2,)2()(x x x a x f x 满足对任意的实数21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f成立,则实数a 的取值范围为 A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．]2,(-∞ D ．)2,813[12．已知[1,1]x ∈-，则方程2cos 2πxx -=所有实数根的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数1y z x +=的最小值为 .14. 已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是 . 15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上,21==AA ABAC=1,oBAC 60=∠,则球的表面积为_________. 16．下面四个命题：①已知函数(),0,,0,x f x x =<≥ 且()()44f a f +=，那么4a =-；②要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只要将sin 2y x =的图象向左平移3π单位； ③若定义在()∞+∞，- 上的函数)(-1()(x f x f x f =+）满足，则)(x f 是周期函数； ④已知奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且(1)0f -=，则不等式()0f x <的解集{}1x x <-.其中正确的是__________________.三、解答题本大题共5小题，共计70分。

解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12n n n S na a c =+-(c 是常数,*N n ∈),26a =. (1)求c 的值及数列{}n a 的通项公式; (2)证明8111113221<++++n n a a a a a a . 18. (本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中,∠ABC ＝∠ACD ＝90°,∠BAC ＝∠CAD ＝60°,PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（1）若F 为PC 的中点，求证：PC ⊥平面AEF ； （2）求四棱锥P －ABCD 的体积V .19．（本小题满分12分）己知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f的部分图象如图所示.(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若30,54)2(παα<<=f ，求αcos 的值.20．（本小题满分12分）如图所示，在直．三棱柱．．．ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ．(1) 求证：平面AB 1C 1⊥平面AC 1；(2) 若AB 1⊥A 1C ，求线段AC 与AA 1长度之比； (3) 若D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否 存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，试确定 点E 的位置；若不存在，请说明理由． 21. （本小题满分12分）设函数()ln ,()xf x ax xg x e ax =-=-,其中a 为正实数. (l)若x=0是函数()g x 的极值点,讨论函数()f x 的单调性;(2)若()f x 在(1,)+∞上无最小值,且()g x 在(1,)+∞上是单调增函数,求a 的取值范围;并由此判断曲线()g x 与曲线212y ax ax =-在(1,)+∞交点个数.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．11122．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 如图，在正△ABC 中，点D,E 分别在边AC, AB 上， 且AD=13AC ， AE= 23AB ，BD ，CE 相交于点F 。

（1）求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；（2）若正△ABC 的边长为2，求，A ，E ，F ，D 所在圆的半径． 23. （本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线θθρcos 2sin :2a C =)0(>a ，已知过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222 （t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点。

（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值． 24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲对于任意的实数a (0≠a )和b ,不等式||||||a M b a b a ⋅≥-++恒成立,记实数M 的最大值是m .(1)求m 的值;(2)解不等式m x x ≤-+-|2||1|.宁夏银川一中2015届高三第四次月考数学(文科)试卷参考答案13. 1 14. 42m -<< 15. 8π 16. ③ 三、解答题： 17. (Ⅰ)解因为12n n n S na a c =+-, 所以当1n =时,11112S a a c =+-,解得12a c =,当2n =时,222S a a c =+-,即1222a a a c +=-,解得23a c =, 所以36c =, 解得2c =;则14a =,数列{}n a 的公差212d a a =-=, 所以1(1)22n a a n d n =+-=+. (Ⅱ)因为12231111n n a a a a a a ++++L 111111111()()()24626822224n n =-+-++-++LMF EDCBA P1111111[()()()]246682224n n =-+-++-++L 111()2424n =-+1184(2)n =-+. 因为*N n ∈ 所以1223111118n n a a a a a a ++++<L 18.（1）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ．∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ． ∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点， ∴EF ∥CD ．则EF ⊥P C ． ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ． （2）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，∴BCAC ＝2． 在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°， ∴CD ＝AD ＝4． ∴S ABCD ＝1122AB BC AC CD ⋅+⋅111222=⨯⨯⨯． 则V＝12319.20．解析：（1）由于ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱．．．．，所以B 1C 1⊥CC又因为AC ⊥BC ，所以B 1C 1⊥A 1C 1，所以B 1C 1⊥平面AC 1 ．由于B 1C 1⊂平面AB 1C 1，从而平面AB 1C 1⊥平面AC 1 ．（2）由（1）知，B 1C 1⊥A 1C ．所以，若AB 1⊥A 1C 111得：A 1C ⊥平面AB 1C 1，从而A 1C ⊥ AC 1 ．由于ACC 1A 1是矩形，故AC 与AA 1长度之比为1：1． （3）点E 位于AB 的中点时，能使DE ∥平面AB 1C 1．证法一：设F 是BB 1的中点，连结DF 、EF 、DE ．则易证：平面DEF //平面AB 1C 1，从而DE ∥平面AB 1C 1． 证法二：设G 是AB 1的中点，连结EG ，则易证EG DC 1. 所以DE // C 1G ，DE ∥平面AB 1C 1． 21. 【答案】解(1) 由'(0)10g a =-=得1a = ()f x 的定义域为(0,)+∞'1()1f x x=-函数()f x 的增区间为(1,)+∞,减区间为(0,1) (2)由11'ax f (x )a x x -=-=若01a <<则)(x f 在),1(+∞上有最小值()f a 当1a ≥时,)(x f 在),1(+∞单调递增无最小值∵)(x g 在),1(+∞上是单调增函数∴0xg'(x )e a =-≥在),1(+∞上恒成立 ∴a e ≤ ------- 综上所述a 的取值范围为[]1,e --------此时21()2g x ax ax =-即223222(2),()'()x x x e e e x a h x h x x x x-==⇒=令, 则 h(x)在(0,2) 单减,(2,)+∞在单增,极小值为2h(2)2e e =>. 故两曲线没有公共点22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：23AE AB =，∴13BE AB =. 在正△ABC 中，13AD AC =，∴AD BE =，又AB BC =，BAD CBE ∠=∠，∴△BAD ≌△CBE ，∴ADB BEC ∠=∠，即πADF AEF ∠+∠=，所以A ，E ，F ，D 四点共圆. …………………………（5分） （Ⅱ）解：如图6，取AE 的中点G ，连结GD ，则12AG GE AE ==.23AE AB =，∴1233AG GE AB ===， 图61233AD AC ==，60DAE ∠=︒，∴△AGD 为正三角形， ∴23GD AG AD ===，即23GA GE GD ===， 所以点G 是△AED 外接圆的圆心，且圆G 的半径为23. 由于A ，E ，F ，D 四点共圆，即A ，E ，F ，D 四点共圆G ，其半径为23.…（10分）2３解：（Ⅰ）C 02:,22=--=y x l ax y（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得at t a t t a t a t 832,22280416)224(2121212+=+=+∴=+++-因为|||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -=== 由题意知， 21221212215)(||||t t t t t t t t =+⇒=- 代入得 1=a24．解 (1)不等式||||||a M b a b a ⋅≥-++恒成立,即||||||a b a b a M -++≤对于任意的实数a (0≠a )和b 恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值. 因为||2|)()(|||||a b a b a b a b a =-++≥-++,当且仅当0))((≥+-b a b a 时等号成立,即||||b a ≥时,2||||||≥-++a b a b a 成立,也就是||||||a b a b a -++的最小值是2.(2) 2|2||1|≤-+-x x . 解法1利用绝对值的意义得2521≤≤x 解法2当1<x 时,原不等式化为2)2()1(≤----x x ,解得21≥x ,所以x 的取值范围是121<≤x .当21≤≤x 时,原不等式化为2)2()1(≤---x x ,得x 的取值范围是21≤≤x .当2>x 时,原不等式化为2)2()1(≤-+-x x ,解得25≤x ,所以x 的取值范围是252≤<x .综上所述 x 的取值范围是51≤≤x .解法3构造函数2|2||1|--+-=x x y 作⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<+-=)2(,52)21(,1)1(,12x x x x x y 的图象,利用图象有0≤y 得 2521≤≤x。