高中物理3.3万有引力定律的应用每课一练(教科版必修2)

3 万有引力定律的应用(时间：60分钟)知识点基础 中档 稍难 计算天体的质量和密度2、3 1 研究天体的运动4 5、6 双星问题 8 7 9 综合提升10 11、12知识点一 计算天体的质量和密度1．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G .仅利用以上数据，可以计算出( )．A ．火星的密度和火星表面的重力加速度B ．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C ．火星的半径和“萤火一号”的质量D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力解析 设火星的半径为R ，火星的质量为M ，由F 万＝F 向可得：G Mm（R ＋h 1）2＝m (R ＋h 1)4π2T 21，G Mm（R ＋h 2）2＝m (R ＋h 2)·4π2T 22，可以求出火星的半径为R ，火星的质量为M ，由密度公式ρ＝M V ＝M 43πR 3，可进一步求出火星的密度：由G MmR 2＝mg ，可进一步求出火星表面的重力加速度，A 正确．由于不知道“萤火一号”的质量，所以不能求出火星对“萤火一号”的引力，只有A 正确．答案 A2．利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量，(万有引力常量G 已知)( )． A ．已知地球的半径R 地和地面的重力加速度gB ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和周期TC ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和线速度vD ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和周期T解析 对A ，设相对地面静止的某一物体的质量为m ，根据万有引力等于重力的关系得G M 地mR 2地＝mg解得M 地＝gR 2地G .故A 正确．对B ，设卫星质量为m ，根据万有引力等于向心力的关系可得出：GM 地m r 2＝mr 4π2T 2，解得M 地＝4π2r 3GT 2.故B 正确．对C ，设卫星质量为m ，根据万有引力等于向心力的关系可得出：G M 地m r 2＝m v 2r ，解得M 地＝r v 2G .故C 正确．对D ，设卫星质量为m ，根据万有引力等于向心力的关系可得G M 地m r 2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，G M 地m r2＝m v 2r以上两式消去r 解得M 地＝v 3T2πG .故D 正确． 综上所述，该题的A 、B 、C 、D 四个选项都是正确的． 答案 ABCD3．如图3－3－2所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R 的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t ，已知引力常量为G ，则下列关于土星质量M 和平均密度ρ的表达式正确的是 ( )． A ．M ＝4π2（R ＋h ）3Gt 2，ρ＝3π·（R ＋h ）3Gt 2R 3B ．M ＝4π2（R ＋h ）2Gt 2，ρ＝3π·（R ＋h ）2Gt 2R 3C ．M ＝4π2t 2（R ＋h ）3Gn 2，ρ＝3π·t 2·（R ＋h ）3Gn 2R 3D ．M ＝4π2n 2（R ＋h ）3Gt 2，ρ＝3π·n 2·（R ＋h ）3Gt 2R 3解析 设“卡西尼”号的质量为m ，土星的质量为M ，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G Mm（R ＋h ）2＝m (R ＋h )⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，其中T ＝tn ，解得M ＝4π2n 2（R ＋h ）3Gt 2.又土星体积V ＝43πR 3，所以ρ＝M V ＝3π·n 2·（R ＋h ）3Gt 2R 3.答案 D知识点二 研究天体的运动4．在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球做匀速圆周运动，每到太阳活动期，由于受太阳的影响，地球大气层的厚度开始增加，从而使得部分垃圾进入大气层，开始做靠近地球的做向心运动，产生这一结果的原因是( )． A ．由于太空垃圾受到地球引力减小而导致的向心运动 B ．由于太空垃圾受到地球引力增大而导致的向心运动 C ．由于太空垃圾受到空气阻力而导致的向心运动D ．地球引力提供了太空垃圾做圆周运动所需的向心力，故产生向心运动的结果与空气阻力无关解析 根据物体做圆周运动的知识可知，天体做圆周运动同样需要向心力，而充当向心力的是天体之间的万有引力．太空垃圾的向心力来源是地球对它的万有引力，而在运动过程中，由于受到空气阻力作用，速度减小，需要的向心力F ＝ m v 2r 减小(r 一定时)．那么万有引力大于需要的向心力，因而导致做向心运动．答案 C5．“嫦娥一号”于2009年3月1日下午4时13分成功撞月，从发射到撞月历时433天，标志我国一期探月工程圆满结束．其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行3周，再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行．若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的16，月球半径为地球半径的14，根据以上信息得 ( )．A ．绕月与绕地飞行周期之比为3∶ 2B ．绕月与绕地飞行周期之比为2∶ 3C ．绕月与绕地飞行向心加速度大小之比为6∶1D ．月球与地球质量之比为96∶1解析 由G MmR 2＝mg 可得月球与地球质量之比：M 月M 地＝g 月g 地×R 2月R 2地＝196，D 错误． 由于在近地及近日轨道中，“嫦娥一号”运行的半径分别可近似为地球的半径与月球的半径，由G MmR 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ，可得：T 月T 地＝R 3月M 地R 3地M 月＝32，A 正确． 由G MmR2＝ma ，可得：a 月a 地＝M 月R 2地M 地R 2月＝16，C 错误．正确答案为A. 答案 A6．登月舱在离月球表面112 km 的高空绕月球运行，运行周期为120.5 min ，已知月球半径为1.7×103 km ，试估算月球的质量．解析 设登月舱的质量为m 舱，月球的质量为M 月，月球的半径为r 月，登月舱离月球表面的距离为r ，F 引＝G M 月m 舱（r 月＋r ）2舱绕月球做圆周运动，所以向心力的大小为 F 向＝m 舱(r 月＋r )⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2因为F 引＝F 向所以G M 月m 舱（r 月＋r ）2＝m 舱(r 月＋r )4π2T 2得M 月＝4π2（r 月＋r ）3GT 2将已知的数据代入上式，可得月球的质量 M 月＝4×3.142×（1.7×106＋112×103）36.67×10－11×（120.5×60）2 kg＝6.73×1022 kg 答案 6.73×1022 kg 知识点三 双星问题7．两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，则以下说法中正确的是( )． A ．它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比 B ．它们做圆周运动的线速度大小之比与其质量成反比 C ．它们做圆周运动的半径与其质量成正比 D ．它们做圆周运动的半径与其质量成反比解析 两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等．由v ＝rω得线速度与两子星圆周运动的半径是成正比的．因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由G M 1M 2L2＝M 1r 1ω2可知M 1r 1ω2＝M 2r 2ω2，所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的．而线速度大小又与轨道半径成正比，所以线速度大小与它们的质量也是成反比的．正确答案为B 、D 选项． 答案 BD8．我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知引力常量为G .由此可求出S 2的质量为 ( )．A.4π2r 2（r －r 1）GT 2B.4π2r 31GT 2C.4π2r 3GT 2D.4π2r 2r 1GT 2解析 双星的运动周期是一样的，选S 1为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律得Gm 1m 2r 2＝m 1r 14π2T 2，则m 2＝4π2r 2r 1GT 2.故正确选项D 正确． 答案 D9．如图3－3－3所示，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L .已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧．引力常数为G . (1)求两星球做圆周运动的周期．(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T 2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg 和7.35×1022 kg.求T 2与T 1两者平方之比．(结果保留三位小数) 解析 (1)mω2r ＝Mω2R ，r ＋R ＝L ，联立解得 R ＝m m ＋M L ，r ＝M m ＋ML对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得图3－3－3GMmL 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2M M ＋m L ，得T ＝2π L 3G （M ＋m ）.(2)将地月看成双星，由(1)得T 1＝2πL 3G （M ＋m ）将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMmL 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，L 化简得T 2＝2πL 3GM ，所以两种周期的平方比值为⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 12＝m ＋MM ＝1.01.答案 (1)2πL 3G （M ＋m ）(2)1.0110．地球赤道上的重力加速度为g ，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ，要使赤道上物体“飘”起来，则地球的转速应为原来转速的( )． A.ga 倍 B. g ＋a a 倍 C.g －aa 倍D.g a 倍解析 原来状态应满足公式G Mm R 2－mg ＝ma ＝mω2R ，后来飘起来时，G MmR 2＝mω′2R ，M 为地球质量、m 为物体质量、R 为地球半径、ω′为飘起时的角速度、ω为原来的角速度．联立求解得ω′＝ω g ＋aa .答案 B11．宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m 的小星体和一个质量为M 的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r .关于该三星系统的说法中正确的是( )．①在稳定运行情况下，大星体提供两小星体做圆周运动的向心力 ②在稳定运行情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧 ③小星体运行的周期为T ＝4πr 32G （4M ＋m ） ④大星体运行的周期为T ＝4πr 32G （4M ＋m ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④解析 三星应该在同一直线上，并且两小星体在大星体相对的两侧，只有这样才能使某一小星体受到大星体和另一小星体的引力的合力提供向心力．由G Mmr 2＋G m 2（2r ）2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2解得：小星体的周期T ＝4πr 32G （4M ＋m ），所以选项B 正确．答案 B12．“神舟”六号载人飞船在空中环绕地球做匀速圆周运动，某次经过赤道的正上空时，对应的经度为θ1(实际为西经157.5°)，飞船绕地球转一圈后，又经过赤道的正上空，此时对应的经度为θ2(实际为180°)．已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，地球自转的周期为T 0.求飞船运行的圆周轨道离地面高度h 的表达式．(用θ1、θ2、T 0、g 和R 表示)解析 用r 表示飞船圆轨道半径，M 表示地球质量，m 表示飞船质量，T 表示飞船运行的周期，由万有引力定律和牛顿定律得 G Mm r 2＝mω2r ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r① 飞船绕地球运行的周期 T ＝θ2－θ1360°T 0 ②对地球表面上的物体m 0，有 G Mm 0R 2＝m 0g ③ r ＝R ＋h ④解得轨道高度h ＝g [RT 0（θ2－θ1）]2（720°π）2－R . ⑤答案 h ＝g [RT 0（θ2－θ1）]2（720°π）2－R。