12-13-1概率统计期中试卷(理工)答案 (1)

大学（2012—2013学年第一学期）
《概率论与数理统计》（理工类）期中试卷 (2012/11)
特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息，若写在其它处视为作弊。

本试卷共有8页，共八道大题，请核对后做答，若有疑问请与监考教师联系。

一
．填空题（本题满分28分）
1.设B A ,是两个事件，5.0)(=A P ，4.0)(=B P ，30)(.B A P =，则)(B A P =
)(A B P
2.某系统连接方式如图,4个独立工作的元件k A 可靠的概率为
)4
321(,,,k p k =.
3.一袋中装有7只球，其中3只白球、4只红球，现从袋中依次取出3只球，取到的白球的数目为X ，则X 的分布律在有放回情形下为
在不放回情形下为 -----------------------
密
封线----------------------------------------
密封线---------------------------------------
密封线----------------------------------------------
学院
专业班级
学号
姓名
4.设随机变量X 的概率密度⎩
⎨⎧<<= 0 1
0 )(其它,x ,Ax x f X ，则常数A
13+=X Y 的概率密度=)(y f Y
5．设随机变量
X 的分布律为
则X 的分布函数为=)(x F X
．
6．设随机变量)(λ~X π（泊松分布），且2
0)(-==e X P ，则常数
λ≤)2(X P
7．设随机变量)61(,U
~X （均匀分布），则X 的概率密度函数
为
t 的二次方程012
=+-Xt t 有实根的概率为
8．设随机变量X 的概率密度函数为
2
(3)4
(),x f x x
+-
=
-∞<<+∞
则2
3
+=
X Y ；而概率)2(->Y P
知9772.0)2(=Φ）．
二．（本题满分10分）设某厂有甲乙丙三条流水线生产同一种产品，产量分别
占15%，80%，5%；次品率分别为0.02，0.01和0.03；三条流水线的产品混放在同一库房。

记事件i A )321(,,i =为“库房中的一件产品来自第i 条流水线”，D 为“一件产品是次品”
． （1）写出概率)(i A P ，)3,2,1(=i ；
解：..A P ,.A P ,.A P 050)( 800)( 150)(321===
（2）写出条件概率)(i A D P ，)3,2,1(=i ；
（3）求从库房取到了一件次品的概率；
解：由全概率公式知
（4）已知从库房取到了一件次品，求它来自第3条流水线的概率． 解：由贝叶斯公式知
-----------------------
密封线----------------------------------------
密封线---------------------------------------
密封线
----------------------------------------------
学
院
专业班级
学号
姓名
三．（本题满分12分）设某种型号的电子元件的寿命X （单位：小时）的概率密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧>=其它
0 1000
1000
)(2,x ,x x f X
（1）求元件的使用寿命在1500小时以下的概率；
（2）现有5个这种元件独立工作，以Y 表示其中寿命小1500小时的元件个数. 写出Y 的分布律；
（3）求这5个元件中最多有1个寿命小于1500小时的概率．
解：)0()0()1(=+==≤Y P Y P Y P
四．（本题满分12分）设随机变量Y ,X 相互独立，其联合分布
律满足下表．
(1) 将上表中的空格填写完全；
(2) 求Y X Z +=1的分布律；
1Z
2
3
4
5
k p
1/8
11/24
7/24
1/8
(3) 求)(2Y ,X max Z =的分布律；
2Z
1
2
3
k p 1/8
17/24
1/6
(4) 求)(3Y ,X min Z =的分布律．
3Z
1
2
k p 5/8
3/8
-----------------------密封线
----------------------------------------密封线
---------------------------------------密封线
----------------------------------------------
学院
专业班级
学号
姓名
----------------------
装订线
----------------------------------------装订线
----------------------------------------
装订线
---------------------------------------------
五．（本题满分12分）设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为
⎩⎨⎧<<<=其他
当 ,0 1
0,,1),(x x y y x f
(1) 求X 的边缘概率密度)(x f X ； 解：dy y ,x f x f X ⎰
+∞
∞
-=
)()(
⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰-其它
0 1021,x ,x dy x x (2) 求条件概率密度)(x y f X Y ；
(4) 求概率)1(≥+Y X P ． 解：dxdy y ,x f Y X P y x )()1(1
⎰⎰≥
+=
≥+
六．（本题满分10分）
设随机变量X 与Y 相互独立，且概率密度分别为
⎩⎨⎧<<=其它 0101)(,x ,x f X , ⎪⎩
⎪⎨⎧>=-其它
0 0
)(2
22,y ,e b y y f b y Y
求Y X Z +=的概率分布密度)(z f Z ．
解：X 与Y 相互独立，Y X Z +=，故有卷积公式
⎰+∞
∞
--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(
而.y z
y z y y z y f y z f Y X ⎩⎨⎧><<-⇔⎩⎨
⎧><-<⇔≠-0
10 100)()( 如图
(1)(2)(3) -----------------------
密封线----------------------------------------
密
封线---------------------------------------
密封线----------------------------------------------
学
院
专业班级
学号
姓名
----------------------
装订线----------------------------------------
装订线
----------------------------------------
装订线
---------------------------------------------
七．（本题满分10分）设随机变量X 服从指数分布，概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0
01)(1x x e
θx f x θ
证明：对任意正数t ,s 有.t X P s X t s X P )()(>=>+>（此性质称为指数分布的“无记忆性”．）
八．（本题满分6分）已知若事件21,A A 同时发生，则事件A 必然发生，证明：.1)()()(21-+≥A P A P A P
证明： 因为若事件21,A A 同时发生，则事件A 必然发生，
故 A A A ⊂21，从而 ).()(21A P A A P ≤ （1） 又因为1)()()()(212121≤-+=A A P A P A P A A P 所以 1)()()(2121-+≥A P A P A A P （2） 结合（1）（2）知
.1)()()(21-+≥A P A P A P 证毕．。