病态线性方程组新的Jacobi迭代解法
线性方程组的迭代解法（Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭
线性方程组的迭代解法（Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭按照算法(Jacobi迭代法)编写Matlab程序(Jacobi.m) function [x, k, index]=Jacobi(A, b, ep, it_max)% 求解线性方程组的Jacobi迭代法，其中% A --- 方程组的系数矩阵% b --- 方程组的右端项% ep --- 精度要求。
省缺为1e-5% it_max --- 最大迭代次数，省缺为100% x --- 方程组的解% k --- 迭代次数% index --- index=1表示迭代收敛到指定要求；% index=0表示迭代失败if nargin <4 it_max=100; endif nargin <3 ep=1e-5; endn=length(A); k=0;x=zeros(n,1); y=zeros(n,1); index=1;while 1for i=1:ny(i)=b(i);for j=1:nif j~=iy(i)=y(i)-A(i,j)*x(j);endendif abs(A(i,i))<1e-10 | k==it_maxindex=0; return;endy(i)=y(i)/A(i,i);endif norm(y-x,inf)<epbreak;endx=y; k=k+1;end用Jacobi迭代法求方程组的解。
输入：A=[4 3 0;3 3 -1;0 -1 4]；b=[24;30;-24]；[x, k, index]=Jacobi(A, b, 1e-5, 100)输出：x =-2.999811.9987-3.0001k =100index =2. 熟悉Gauss-Seidel迭代法，并编写Matlab程序function[v,sN,vChain]=gaussSeidel(A,b,x0,errorBound,maxSp) %Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组%A-系数矩阵 b-右端向量 x0-初始迭代点 errorBound-近似精度maxSp-最大迭代次数%v-近似解 sN-迭代次数 vChain-迭代过程的所有值step=0;error=inf;s=size(A);D=zeros(s(1));vChain=zeros(15,3);%最多能记录15次迭代次数k=1;fx0=x0;for i=1:s(1)D(i,i)=A(i,i);end;L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);while error>=errorBound & step<maxspx0=inv(D)*(L+U)*x0+inv(D)*b;vChain(k,:)=x0';k=k+1;error=norm(x0-fx0);fx0=x0;step=step+1;endv=x0;sN=step;用Gauss-Seidel迭代法求解上题的线性方程组，取。
Jacobi迭代法
Jacobi 迭代法设方程组Ax=b 中的A 是n n ⨯阶矩阵，x 和b 都是n 维列向量。
若系数矩阵A 为非奇异的且0,1,2,ii a i n ≠=L ，将A 分解为：A=D+L+U其中1122(,,,)nn D diag a a a =L21120000000n n a L a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M O L， 121200000n n a a a U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M OM L 将方程组1,1,2,,nijji j a xb i n ===∑L乘以1iia ，得到等价的方程组 11(),1,2,,ni i ij j j ii j ix b a x i n a =≠=-=∑L简记为：X Bx f =+其中 B=I-D1-A=-D1-(L+U), f= D1-b我们称()x Bx f ϕ=+为迭代函数，任取初始向量(0)x x =，按照(1)()k k xBx f +=+用矩阵运算表示，完成这一步骤相当于用k L 左乘以第k-1步所形成的方程组，即形式，称这种迭代方法为Jacobi 迭代法。
Jacobi 迭代法算法简单描述：(0)(0)(0)(0)12(,,,),T n x x x x =L （ 向量初始）For 1,2,k =L For 1,2,,k n =L如果()(1)k k xx ε--≤ 停止，否则Next k用Jacobi 迭代法求解方程组实例为：1231231222213225x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，的解，初始向量(0)(0,0,0),T x = 解 由公式知，Jacobi 迭代法为：(1)()()123(1)()()213(1)()()3121223522k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=-+⎪=--⎨⎪=--⎩ 由初始向量(0)(0,0,0),T x=迭代可得(1)(1,3,5),T x =(2)(5,3,3),T x =--(3)(1,1,1),T x =(4)(1,1,1),T x =所以方程组的解为(1,1,1)T x =。
分别用 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法,求解方程组
分别用 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法,求解方程组【jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法分别应用于方程组的求解】1. 引言在数学领域中，方程组的求解一直是一个重要的课题。
为了解决复杂的线性方程组，人们提出了各种迭代方法，其中 jacobi 迭代法和gauss-seidel 迭代法是两种常见的方法。
本文将探讨这两种迭代方法在求解方程组中的应用。
2. jacobi 迭代法的原理和应用jacobi 迭代法是一种基于逐次逼近的迭代方法。
对于线性方程组AX=B，其中 A 是系数矩阵，X 是未知数向量，B 是已知向量。
我们可以通过以下公式进行逐次逼近：X(k+1) = D^(-1)*(B - (L+U)X(k))其中，D、L、U 分别是 A 的对角线、下三角和上三角矩阵。
jacobi 迭代法的优点在于易于理解和实现，但在收敛速度上较慢，需要进行多次迭代才能得到精确解。
在实际应用中，需要根据实际情况选择合适的迭代次数。
3. gauss-seidel 迭代法的原理和应用与 jacobi 迭代法类似，gauss-seidel 迭代法也是一种基于逐次逼近的迭代方法。
不同之处在于，gauss-seidel 迭代法在计算 X(k+1) 时利用了已经得到的 X(k) 的信息，即：X(k+1)_i = (B_i - Σ(A_ij*X(k+1)_j，j≠i))/A_ii这种方式使得 gauss-seidel 迭代法的收敛速度较快，通常比 jacobi 迭代法更快，尤其是对于对角占优的方程组。
4. 分别用 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法求解方程组为了更具体地说明 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法的应用，我们分别用这两种方法来求解以下方程组：2x1 + x2 = 9x1 + 3x2 = 11我们将该方程组写成矩阵形式 AX=B：|2 1| |x1| |9||1 3| * |x2| = |11|我们根据 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法的原理，依次进行迭代计算，直到满足收敛条件。
jacobi迭代计算式
jacobi迭代计算式Jacobi迭代是一种求解线性方程组的迭代方法。
它可以用于求解大规模的线性方程组，并且具有较好的收敛性和稳定性。
在这篇文章中，我们将介绍Jacobi迭代的原理和应用。
我们来看一下Jacobi迭代的基本原理。
对于一个n阶线性方程组Ax=b，其中A为方阵，b为常向量，Jacobi迭代的基本思想是将方程组转化为x=D^{-1}(b-Rx)，其中D为A的对角矩阵，R为A 的非对角矩阵。
然后，我们可以通过不断迭代的方式求解x的近似解。
Jacobi迭代的迭代公式为x^{(k+1)}=D^{-1}(b-Rx^{(k)})，其中x^{(k)}为第k次迭代的近似解，k为迭代次数。
通过不断迭代，我们可以得到x的逼近解。
接下来，我们来看一下Jacobi迭代的应用。
Jacobi迭代广泛应用于科学计算和工程领域，特别是在求解大规模线性方程组时具有一定的优势。
它可以用于求解电力系统潮流计算、结构力学计算、流体力学计算等领域的问题。
例如，在电力系统潮流计算中，Jacobi迭代可以用于求解节点电压和节点功率的关系。
通过迭代计算，可以得到电力系统各个节点的电压和功率的近似值，从而分析电力系统的稳定性和安全性。
Jacobi迭代还可以应用于结构力学计算中的应力分析。
通过迭代计算，可以得到结构体系中各个节点的应力分布情况，从而分析结构的强度和稳定性。
在流体力学计算中，Jacobi迭代可以用于求解流体流动的速度场和压力场。
通过迭代计算，可以得到流体流动过程中各个位置的流速和压力的近似值，从而分析流体流动的规律和特性。
需要注意的是，Jacobi迭代的收敛性和稳定性与矩阵A的特征值有关。
如果矩阵A的特征值分布不合理，Jacobi迭代可能会出现不收敛或收敛速度很慢的情况。
因此，在实际应用中，需要对矩阵A进行合理的预处理，以提高迭代的收敛性和稳定性。
Jacobi迭代是一种求解线性方程组的有效方法。
它具有较好的收敛性和稳定性，并且可以广泛应用于科学计算和工程领域。
matlab中jacobi迭代法
一、简介Matlab中jacobi迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代方法，适用于系数矩阵为对称、正定矩阵的情况。
该迭代方法通过将系数矩阵分解为对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵的形式，然后通过迭代计算得到方程组的解。
在Matlab中，可以利用矩阵运算和迭代循环来实现jacobi迭代法。
二、 jacobi迭代法原理1. 基本思想jacobi迭代法的基本思想是将系数矩阵分解为对角矩阵D、上三角矩阵U和下三角矩阵L的形式，即A=D+L+U，其中D为系数矩阵A 的对角线元素组成的对角矩阵，L为系数矩阵A的下三角部分，U为系数矩阵A的上三角部分。
令x为方程组的解向量，b为方程组的右端向量，则方程组可表示为Ax=b。
根据方程组的性质，可将方程组表示为(D+L+U)x=b，然后利用迭代的方式逐步逼近方程组的解。
2. 迭代公式假设迭代到第k次，方程组可表示为(D+L+U)x=b，将其转化为迭代形式x(k+1)=(D+L)^(-1)(b-Ux(k))，利用迭代公式可以逐步计算出方程组的解。
3. 收敛条件对于jacobi迭代法，收敛条件为系数矩阵A为对角占优矩阵或正定矩阵。
如果满足这一条件，迭代计算会逐步收敛于方程组的解。
三、 Matlab中jacobi迭代法实现在Matlab中，可以利用矩阵运算和迭代循环来实现jacobi迭代法。
具体步骤如下：1. 对系数矩阵进行分解将系数矩阵A分解为对角矩阵D、上三角矩阵U和下三角矩阵L的形式。
2. 初始化迭代变量初始化迭代的初始值x0、迭代次数k、逐次逼近解向量x(k+1)。
3. 迭代计算利用迭代公式x(k+1)=(D+L)^(-1)(b-Ux(k))来逐步计算出方程组的解。
4. 判断收敛条件在迭代计算过程中，需要实时判断迭代计算是否满足收敛条件，如果满足则停止迭代计算，得到方程组的解。
四、实例分析假设有如下方程组：2x1 + x2 + 4x3 = 103x1 + 4x2 - x3 = 10x1 + 2x2 + 3x3 = 0可以利用jacobi迭代法来求解该方程组，在Matlab中可以通过编程实现迭代计算过程。
jacobi迭代的原理与公式
jacobi迭代的原理与公式
Jacobi迭代是一种用于求解线性方程组的迭代方法。
它的原理是通过不断迭代更新方程组中的变量，最终达到方程组的解。
假设有一个线性方程组Ax=b，其中A是一个已知的系数矩阵，x是未知变量向量，b是已知的常数向量。
Jacobi迭代的目标是找到一个近似解x^k，使得Ax^k≈b。
Jacobi迭代的公式如下：
x^k+1 = D^(-1)(b - (L+U)x^k)
其中，D是A的对角矩阵，L是A的下三角矩阵，U是A的上三角矩阵。
x^k表示第k次迭代的近似解。
具体地，Jacobi迭代的步骤如下：
1. 将系数矩阵A分解为对角矩阵D、下三角矩阵L和上三角矩阵U。
2. 初始化近似解x^0为一个初始向量。
3. 根据公式计算x^k+1，直到满足收敛条件。
Jacobi迭代的收敛条件通常是通过计算两次迭代之间的误差来判断。
如果误差小于一个预先设定的阈值，则认为迭代已经收敛，可以停止迭代。
Jacobi迭代方法的优点是简单易懂，容易实现。
然而，它的收敛速度较慢，特别是对于系数矩阵的条件数较大的情况下。
Jacobi迭代是一种求解线性方程组的迭代方法，通过不断迭代更新变量，逐渐逼近方程组的解。
尽管它的收敛速度较慢，但其简单易懂的特点使其在某些情况下仍然具有实用性。
jacobi迭代法解析：原理与应用
jacobi迭代法解析：原理与应用标题：Jacobi迭代法解析：原理与应用导语：在数值计算和线性代数中，Jacobi迭代法是一种常用的迭代方法，用于解决线性方程组。
本文将深入探讨Jacobi迭代法的原理、应用和相关领域的研究，以帮助读者对这一数值算法有更全面和深刻的了解。
一、Jacobi迭代法介绍1.1 基本原理Jacobi迭代法是一种迭代法，用于求解线性方程组Ax = b，其中A是一个方阵，x和b是向量。
该方法通过不断迭代计算逼近线性方程组的解，直至满足预设的精度要求。
1.2 迭代公式详细介绍Jacobi迭代法的迭代公式，包括终止条件和迭代收敛性分析。
1.3 算法流程介绍Jacobi迭代法的算法流程和步骤，以及如何选择合适的初始解向量和迭代次数。
1.4 算法复杂性分析分析Jacobi迭代法的时间和空间复杂性，以便读者可以评估它在实际问题中的应用可行性。
二、Jacobi迭代法的应用2.1 线性方程组求解探讨Jacobi迭代法在解决大规模线性方程组时的应用，包括稀疏矩阵和高度并行计算环境下的性能优化。
2.2 特征值求解介绍Jacobi迭代法在计算特征值和特征向量时的应用，以及与其他方法（如幂法和QR算法）的比较和优势。
2.3 图划分与图分割探讨Jacobi迭代法在图划分和图分割问题中的应用，以及如何利用迭代过程提高划分结果的质量。
2.4 数值模拟与优化讨论Jacobi迭代法在数值模拟和优化问题中的应用，如流体力学、结构力学和优化设计等领域。
三、Jacobi迭代法的扩展与改进3.1 并行Jacobi迭代法介绍并行Jacobi迭代法的思想和实现策略，包括数据并行和任务并行，并讨论其对迭代收敛性和算法效率的影响。
3.2 加速算法与预条件技术探讨Jacobi迭代法的加速算法和预条件技术，如超松弛迭代法（SOR）、不完全LU分解和多重网格方法等，以加快迭代收敛速度和提高求解精度。
3.3 进一步的应用领域介绍Jacobi迭代法在其他领域的应用，如图像处理、信号处理和机器学习等，并指出其优势和适用性。
求解病态线性方程组的一种新的Jacobi迭代算法
ｄ ｔ２ ｅ （Ｉ— Ｇ） 一 ｄ ｔ ｅ Ｑｌ一 （ ＋ ｃ ） （ Ｄ ｃ ～ Ｍ ） ）
一
ｄ ｔ （ ＋ ｏ ） ）・ｄ ｔ （ Ｄ ＋ ｃ ） ～ （ ｅ（ Ｄ Ｗ ｅ （ （ Ｅ
一 Ｍ ） Ｅ一 Ｅ） ）
一
ｄ ｔ （ ＋ ｅ（ Ｄ
Ｊ ｃ ｂ 迭代 法 是解 线性 方程 组 的一 种有效 方 法 ，它具 有存 储 量小 、程 序 简 单 的特 点 。但 当方程 组 ａｏ ｉ 的 系数矩 阵 为病 态时 ，该 方法 不 能再使 用 。下 面 ，笔 者给 出 了一类 全新 的 Ｊｃ ｂ 迭 代算 法 。 ａｏ ｉ
１ Ｊ ｃ ｂ 迭 代 法 ａｏ ｉ
・７ ‘
ｄ ｉ ０ ３ ６ ／．ｓｎ １ ７ —４ ９ （ ｏ：ｉ ． ９ ９ ｊｉ ． ６ ３１ ０ Ｎ）． ０ ２ ０ ． ０ ｓ ２ １．３ ０３
求解 病 态 线 性 方 程 组 的 一 种 新 的 Ｊ ｃｂ 迭 代 算 法 ａｏ ｉ
孔祥强 （ 菏泽学院数学系， 山东菏泽２４０） ７００
引理 １
引理 ２。 严 格对 角 占优 矩阵 、 不可 约 对角 占优 矩 阵 ， 为广 义严 格 对角 占优 矩 阵 。 均
为方 便起 见 ， 不妨 设 Ｆ — ｄａ （ ｆ ， ， ）为对 角矩 阵 。 ｉ ｆ ，２… ｇ
［ 收稿 日期］ ２ １ —１ ０ １ ２—２ ８ ［ 基金项 目］ 山东省 统计局 重点课题 项目 （ ＫＴｌＯ ８ ；山东省教 育科学 十二五 规 划重点 课题项目 （ ０ １ ＧＯ ９ 。 ｌ４ ） ２ １ Ｇ ４ ） ［ 作者 简介］ 孔祥强 （ ９ ３一 ，男 ，２ ０ １８ ） ０ ５年大学毕业 ，硕士 ，助 教 ，现 主要从 事应用数学方面的教学与研 究工作。
数值分析实验报告--实验6--解线性方程组的迭代法
1 / 8数值分析实验六：解线性方程组的迭代法2016113 张威震1 病态线性方程组的求解1.1 问题描述理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。
实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？实验内容：考虑方程组Hx=b 的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，,,1(),,,1,2,,1i j n n i j H h h i j n i j ⨯===+-这是一个著名的病态问题。
通过首先给定解（例如取为各个分量均为1）再计算出右端b 的办法给出确定的问题。
实验要求：（1）选择问题的维数为6，分别用Gauss 消去法、列主元Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题的解比较，结论如何？（2）逐步增大问题的维数（至少到100），仍然用上述的方法来解它们，计算的结果如何？计算的结果说明了什么？（3）讨论病态问题求解的算法1.2 算法设计首先编写各种求解方法的函数，Gauss 消去法和列主元高斯消去法使用实验5中编写的函数myGauss.m 即可，Jacobi 迭代法函数文件为myJacobi.m ，GS 迭代法函数文件为myGS.m ，SOR 方法的函数文件为mySOR.m 。
1.3 实验结果1.3.1 不同迭代法球求解方程组的结果比较选择H 为6*6方阵，方程组的精确解为x* = (1, 1, 1, 1, 1, 1)T ，然后用矩阵乘法计算得到b ，再使用Gauss 顺序消去法、Gauss 列主元消去法、Jacobi 迭代法、G-S 迭代法和SOR 方法分别计算得到数值解x1、x2、x3、x4，并计算出各数值解与精确解之间的无穷范数。
Matlab 脚本文件为Experiment6_1.m 。
迭代法的初始解x 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0)T ，收敛准则为||x(k+1)-x(k)||∞<eps=1e-6，SOR方法的松弛因子选择为w=1.3，计算结果如表1。
jacobi迭代法
jacobi迭代法
Jacobi迭代法是常见的数值计算中解线性方程组的方法之一，它是一种迭代式方法。
Jacobi迭代法主要用于近似解决线性方程组，它是以变步长的简单迭代方法，以求解高维空间的线性方程组。
Jacobi迭代法的基本思想是，使用当前近似解求解未知数，其数学模型为Ax=b，将x分解为x=x0+dx,其中dx为增量，前面先确定x0，求解dx，新近似解为x0+dx。
Jacobi迭代法的具体步骤是：给定问题的数学模型Ax=b，确定初值xi(0)（i=1，2，…，n），用Aijxj(k)=bi-Σ(i≠j)Aijxj (k)计算第i个未知数的新近似解xi (k+1)，代入上一次的新近似解作为右边的初值，重复上述过程，即可以得到新的xi(k+1)。
Jacobi迭代法的主要优点是计算简单，实现容易，需要的存储空间少，因此被广泛应用于解线性方程组。
但是，Jacobi迭代法的收敛性能较差，如果迭代次数太多，会使计算效率降低。
因此，Jacobi迭代法在数值计算中由其算法本身的简单性及其低纬度和低存储量得以广泛使用，其计算过程也由此得到优化。
但是，该迭代法局限于其较差的收敛性能，必须谨慎使用以防超过预定的最大迭代数。
jacobi迭代法原理
jacobi迭代法原理
Jacobi迭代法是一种迭代计算线性方程组解的方法。
它的基本原理是将方程组的每个未知数的新解表示为旧解的线性组合，然后将旧解代入原方程组中得到新方程组。
通过反复迭代，最终可以得到方程组的近似解。
具体而言，对于一个n个未知数的方程组
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
Jacobi迭代法中，我们先将方程组改写为每个未知数的新解与旧解的线性组合形式：
x1(k+1) = (b1 - a12x2(k) - a13x3(k) - ... - a1nxn(k)) / a11
x2(k+1) = (b2 - a21x1(k) - a23x3(k) - ... - a2nxn(k)) / a22
...
xn(k+1) = (bn - an1x1(k) - an2x2(k) - ... - ann-1xn-1(k)) / ann
其中k表示第k次迭代的结果，x1(k+1)表示第k+1次迭代的x1的解。
通过不断迭代计算，直到满足某个停止准则（如精度要求或迭代次数），就可以得到方程组的近似解。
需要注意的是，Jacobi迭代法在计算上相对简单，但收敛速度较慢，特别是对于条件数较大的方程组。
当一个方程组的某些特性（如对角占优）满足时，Jacobi迭代法可能会快速收敛，
但并非所有方程组都适合使用Jacobi迭代法。
在实际应用中，需要对问题进行分析，选择合适的迭代方法来求解线性方程组。
解线性方程组的Jacobi迭代法
【解答】
迭代格式为
(k ) (k ) ⎛ 3 + 2 x2 ⎞ + x3 ⎜ ⎟ 10 ⎟ ⎛ x1( k +1) ⎞ ⎜ (k ) ⎟ ⎜ ( k +1) ⎟ ⎜ 15 + 2 x1( k ) + x3 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 10 ( k +1) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x3 ( ⎝ ⎠ ⎜ 10 + x k ) + 2 x ( k ) ⎟ 1 2 ⎜ ⎟ 5 ⎝ ⎠
2
end x(i)=x(i)/a(i,i); end while norm(x-x0)>e x0=x; for i=1:n x(i)=b(i); for j=1:i-1 x(i)=x(i)-a(i,j)*x0(j); end for j=i+1:n x(i)=x(i)-a(i,j) *x0(j); end x(i)=x(i)/a(i,i); end k=k+1; end disp(x); disp(p);
矩阵形式：
function [x,k]=jacobi2(A,b,x0,e) n=length(b); D=diag(A); D=diag(D); L=zeros(n,n); U=zeros(n,n); x=zeros(n,1); k=1; for i=2:n for j=1:i-1
3
L(i,j)=A(i,j); end end for i=1:n-1 for j=i+1:n U(i,j)=A(i,j); end end x=-inv(D)*(L+U)*x0+inv(D)*b; while norm(x-x0)>e x0=x; x=-inv(D)*(L+U)*x0+inv(D)*b; k=k+1; end disp(x); disp(k);
Jacobi迭代法求解线性方程组实验报告
仿真平台与工具应用实践Jacobi迭代法求解线性方程组实验报告院系:专业班级:姓名:学号:指导老师:一、实验目的熟悉Jacobi迭代法原理；学习使用Jacobi迭代法求解线性方程组；编程实现该方法；二、实验内容应用Jacobi迭代法解如下线性方程组:, 要求计算精度为三、实验过程（1）、算法理论迭代格式的引出是依据迭代法的基本思想: 构造一个向量系列, 使其收敛至某个极限, 则就是要求的方程组的准确解。
Jacobi迭代将方程组:在假设, 改写成如果引用系数矩阵, 及向量, , ,方程组（1）和（2）分别可写为: 及, 这样就得到了迭代格式用迭代解方程组时, 就可任意取初值带入迭代可知式, 然后求。
但是, 比较大的时候, 写方程组和是很麻烦的, 如果直接由, 能直接得到, 就是矩阵与向量的运算了, 那么如何得到, 呢？实际上, 如果引进非奇异对角矩阵将分解成：要求的解, 实质上就有而是非奇异的, 所以存在, 从而有我们在这里不妨令就得到迭代格式：（2）算法框图（3）、算法程序m 文件:function x=jacobi(A,b,P,delta,n)N=length(b); %返回矩阵b的最大长度for k=1:nfor j=1:Nx(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:N])*P([1:j-1,j+1:N]))/A(j,j);enderr=abs(norm(x'-P)); %求（x'-P）模的绝对值P=x';if(err<delta) %判断是否符合精度要求break;endendE=eye(N,N); %产生N行N列矩阵D=diag(diag(A));f=A*inv(D); %f是A乘D的逆矩阵B=E-f;Px=x';k,errBMATLAB代码:>> clear allA=[4, -1, 1;4, -8, 1;-2, 1, 5];b=[7, -21, 15]';P=[0,0,0]';x=jacobi(A,b,P,1e-7,20)（4）、算法实现用迭代法求解方程组:正常计算结果是2, 3, 4 , 下面是程序输出结果：P =2.00004.00003.0000k =17err =9.3859e-008B =0 -0.1250 -0.2000-1.0000 0 -0.20000.5000 0.1250 0x =2.00004.00003.0000四、实验体会五、MATLAB是非常实用的软件, 能够避免大量计算, 简化我们的工作, 带来便捷。
用jacobi和gauss迭代法求解方程组_概述及说明解释
用jacobi和gauss迭代法求解方程组概述及说明解释1. 引言1.1 概述在科学计算和工程领域中，求解线性方程组是一个常见且重要的问题。
解决方程组的准确、高效求解方法对于实际应用具有重要意义。
本文将介绍两种常用的迭代法：Jacobi迭代法和Gauss迭代法，并通过实例分析来说明它们的使用情况。
1.2 文章结构本文共包含五个主要部分。
引言部分首先对文中内容进行概述，并介绍文章的结构。
接下来，将详细介绍Jacobi迭代法和Gauss迭代法的算法原理、实现步骤以及收敛性分析。
然后，通过具体案例分析，比较使用Jacobi方法和Gauss方法求解方程组的效果。
最后，在结论与展望部分总结并展望了该研究领域未来可能的发展方向。
1.3 目的本文旨在全面了解和掌握Jacobi迭代法和Gauss迭代法在求解线性方程组中的应用。
通过深入理解这两种方法的原理、步骤以及收敛性分析，读者可以对其优缺点、适用范围有更清晰的认识。
同时，通过实例分析的比较，读者可以更好地把握两种方法在实际问题中的应用情况。
最终，本文将为读者提供一个全面而深入的总结，并展望可能的未来研究方向。
以上是文章“1. 引言”部分的内容，希望对您的长文撰写有所帮助。
2. Jacobi迭代法：2.1 算法原理：Jacobi迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代方法。
对于一个n阶线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
Jacobi迭代法的基本思想是将方程组表示为两个部分：对角线和非对角线部分，然后通过不断迭代来逐渐逼近最终解。
具体而言，Jacobi迭代法的计算公式如下：(1) 对于第i个方程，其解x_i(k+1)的计算公式为：x_i(k+1) = (b_i - Σ(a_ij * x_j(k))) / a_ii其中，k表示迭代步骤的索引号。
(2) 不断重复第(1)步骤，直到收敛或达到预定的迭代次数。
2.2 实现步骤：实现Jacobi迭代法求解方程组的步骤如下：(1) 初始化未知向量x(0)，可以选择零向量或任意初始估计值。
利用雅可比(Jocabi)迭代法解线性方程组
Jacobi1.calculate();
Jacobi1.Result();
Console.Read();
}
}
}
Value[1,i]=0.0;
}
Console.WriteLine("请输入精度要求:");
Precision=double.Parse(Console.ReadLine());
}
///<summary>
///检查迭代是否已满足精度要求
///</summary>
///<returns></returns>
privatevoidIterate()
{
for(inti=0;i<n;i++)
{
if(IsPrecision()==false)
{
for(intj=0;j<n;j++)
{
if(j!=i)
{
Value[i%2,i]+=-Parameters[i,j]/Parameters[i,i]*Value[(i+1)%2,j];
privateboolIsPrecision()
{
for(inti=0;i<n;i++)
{
if(Math.Abs(Value[0,i]-Value[1,i])>Precision)
{
returnfalse;
}
}
returntrue;
}
///<summary>
///迭代过程
///</summary>
jacobi迭代法求解线性方程组
//========================================================//此程序用gauss-seidel迭代法对方程组进行近似求解//========================================================#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>//========================================================================//全局变量#define N 20double a[N][N]; //声明系数矩阵double b[N]; //声明方程组右边的值（数组）double eps; //声明相对误差变量double x[3]={0,0,0};int iteration;//函数声明void GetData(); //此函数用以进行对系数矩阵赋值void jacobi(); /*声明jacobi()函数，用以对方程的增广矩阵进行简单迭代*/void show(); //显示最后的结果//=====================================================================//以下是主函数void main(){printf("============================================================\n\n");printf(" 此程序运用Jacobi迭代法求解方程组的解\n\n");printf("============================================================\n\n");GetData();jacobi();show();printf("============================================================\n\n"); }//======================================================================//一下定义GetData()函数void GetData(){FILE *filename;//定义文件的指针int i,j;if((filename=fopen("D:\\gauss_seidel.dat","r+"))==NULL){printf("文件打开失败，退出程序!");exit(0);}for(i=0;i<3;i++)fscanf(filename,"%lf,%lf,%lf,%lf",&a[i][0],&a[i][1],&a[i][2],&b[i]);printf("请输入误差允许量：");scanf("%lf",&eps);printf("\n\n");printf("对应的系数和方程右边的结果是：\n\n");for(i=0;i<3;i++){for(j=0;j<3;j++){printf("%10lf ",a[i][j]);}printf("%10lf\n\n",b[i]);}printf("求解方程的准许误差是：%8lf\n\n",eps);}//============================================================================= =====//以下是对gauss-seidel函数的定义void jacobi(){int i,j,flag;double y[3],sum,temp[3],k;do{flag=1;iteration++;for(i=0;i<3;i++){sum=0.0;for(j=0;j<3;j++){if(j!=i)sum+=a[i][j]*x[j];}y[i]=(b[i]-sum)/a[i][i];}{//此段代码求y[i]-x[i]绝对值得最大值for(i=0;i<3;i++)temp[i]=fabs(y[i]-x[i]);for(i=0;i<2;i++)for(j=1;j<3;j++)if(temp[j]>temp[i])k=temp[j];}//k为最大值if (k<=eps)flag=0;for(i=0;i<3;i++)x[i]=y[i];}while(flag==1);}//===============================================================//以下是对show()函数的定义void show(){int i;printf("求解的结果是：\n\n");for(i=0;i<3;i++)printf(" x[%d]=%10lf\n\n",i+1,x[i]);printf("迭代的次数是：%d\n\n",iteration);}//==========================================================。
课程设计——解线性方程Jacobi迭代法
解线性方程Jacobi 迭代法解线性方程有两种方法：直接法和间接法.迭代法属于后者.考虑方程组 Ax=b ，其中()n n ij A a R ⨯=∈，为非奇异矩阵.下面讨论如何建立Jacobi 迭代法. 将A 分裂为 A=M-N ，其中，M 为可选择的非奇异矩阵，且使Mx=b 容易求解，一般选择为A 的某种近似，称为M 的分裂矩阵.于是，求解Ax=b 转化为求解Mx=Nx+b,即求解11.Ax b x MNx Mb --=⇔=+设0(1,2,,),ii a i n ≠= 并将A 写为三部分121,1111212,12221,11,21,12,100000000n n n nn n n n nn n n n n a a a a a a a a A a a a a aa a ---------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦=D-L-U. 于是().Ax b D L U x b =⇔--=即11().x DL U x D b --=++所以解Ax=b 的基本迭代公式为(0)(0)(0)1(1)()1(,,),()/(1,2,,)(0,1,).n nk k i iij j ii j j i x x x x b a x a i n k +=≠⎧=⎪⎪⎨=-==⎪⎪⎩∑ 由上式可知，Jacobi 迭代法计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算过程原始矩阵A 始终不变.定理 (迭代法基本定理) 设有方程组 x=Bx+f,及一阶定常迭代法(1)().k k xBxf +=+对任意选取初始向量x,迭代法收敛的充要条件是矩阵B 的谱半径() 1.B ρ< 证明：#include<stdio.h> #include<math.h> #define N 3double fanshu(double a[N],double b[N]) {int i;double c=0;for(i=0;i<N;i++)c+=fabs(a[i]-b[i]); return c; }void f(double x1[N],double a[N][N],double b[N]) {int i,j,k=0;//k是迭代的次数double sum,x2[N];//x2[N]记录下一次的x1[N] for(i=0;i<N;i++)x2[i]=x1[i];while(1){k++;for(i=0;i<N;i++){sum=0;for(j=0;j<N;j++)if(j!=i)sum+=a[i][j]*x2[j];x1[i]=(b[i]-sum)/a[i][i];}printf("k=%d ",k);for(i=0;i<N;i++)printf("%lf ",x2[i]);for(i=0;i<N;i++)printf("%lf ",x1[i]);printf("\n");if(fanshu(x1,x2)<=1e-5)break;for(i=0;i<N;i++)x2[i]=x1[i];}}main(){int i,j;double x1[N]={0},a[N][N],b[N];for(i=0;i<N;i++)scanf("%lf",&b[i]);for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<N;j++)scanf("%lf",&a[i][j]);f(x1,a,b);printf("最后的结果是x1=");for(i=0;i<N;i++)printf("%lf ",x1[i]);}。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ｄ ＝ ＝
．
Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 迭代 法 的矩 阵形 式为
分 量 形 式 为
］ ，
一
Ｌ＝ ：— — ａ ２ ｌ
０
ｉ
ｎ， 广１ ． ”１
ａ
．
１
… ａ 一 ｌ
０
０ ｌ
ｘ ‘ 蚪 ）一 Ｄ一 （ Ｌ ＋ Ｕ） ｘ ＋ Ｄ～ ｂ ，
Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 迭代 法 是解 线性 方程 组 的一种 有 效方 法 ， 它具 有 存 储 量小 、 程 序 简单 的特 点． 但 当方 程 组 的 系数 矩 阵为 病态 时 ， 该 方法 不 再适 用． 本 文 给 出了一 类 全 新 的 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 迭 代算 法 ， 从 而改 进 和 推 广 了一 些
（ ２ｏ１ １ Ｇ Ｇ０４ ９）
（ ３ ）
第 ５期
孔祥 强 ： 病 态线性 方 程组 新 的 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 迭代 解法
５ １
Ｍ
＝ … Ａ
Ｄ
下 面 研究 该 迭代 法 的收敛 性 ．
定义 ｚ 设 Ａ∈
占优 矩 阵．
． 若 存在 正 对角 矩 阵 Ｄ ， 使Ａ Ｄ 为严格 对 角 占优 矩 阵 ， 则称 Ａ为广义 严格 对角
［ 摘 要 ］ 给 出 了解 病 态 线 性 方 程 组 的一 种 新 的 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 迭代算法 ， 并证 明了算法的收敛性 ； 通 过 具 体 算 例
说 明 了算 法 的 实 用 性 和 有 效 性 ．
［ 关键词］迭代 法 ； 病态方程组 ； 广 义 严 格 对 角 占优 矩 阵 ［ 中 图分 类 号 ］ Ｏ ２ ４ １ ． ６ ［ 文献标 识码］Ａ ［ 文 章 编 号］ １ ６ ７ ２ — １ ４ ５ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ — ０ ０ ５ ０ — ０ ５
（ １）
（ ６ 一∑ｎ ｚ ） ／ ｅ （ ， Ｊ ：１ ， ２ ， …， ） ．
Ｊ ≠ｉ
（ ２）
２ 新的 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 迭 代 法 非 奇异 且病 态 ． 令 Ａ — Ｄ＋Ｍ ， 则Ｄ ｘ＋
变 为
对角 占优矩 阵 ， 即
ｅ Ｉ ＞ ∑
方程 的根．
ｄ ｅ ｔ （ Ｍ — Ｇ）一 ｄ ｅ ｔ （ Ｘ ／一 （ Ｄ ＋
一
Ｉ（ 一１ ， ２ ， …， ） ．
令Ａ ｘ— ｂ的新 的 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 法 的迭代 矩 阵 Ｇ三 （ Ｄ＋ｃ ） （ ｃ 一Ｍ ）， 考 察 Ｇ 的特 征值 ， 即考 察 Ｇ的特征
为 了判 定一 个矩 阵是 否 为广 义严 格对 角 占优 矩 阵 ， 可 通过 文［ ３ ］ 中的方 法 ， 如矩 阵
Ｆ Ｏ ． ９ ｏ ．１ ｏ． ２ ｏ ． １
Ｉ １ ． ８ ｏ ． ９ ｏ ． ８ ｏ ． ９ ｌ ｏ ． ２ ｏ ． ２ ｏ ． ９ ｏ ． ２
已有 的结 果 ．
１ Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 迭 代 法
设 Ａ∈
一
， 且 Ａ 为非 奇异 矩 阵 ， ｂ Ｅ
， 线 性 代数 方程 组 Ａ ｘ — ｂ有解 的一 阶定常 迭代 法
”
Ｂ ｘ ＋ｆ ， 其 中 Ｂ一 （ ６ ）Ｅ
． 记 Ｊ为 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 法 的迭代 矩 阵 ， 则 Ｊ— Ｄ （ Ｌ＋ 【 ， ）， 式中
ｆ ∑Ｉ ｎ 。 Ｉ ， 当ｎ ＞０ ，
ｆ ‘ ＝ ＝ ： ｛ ｉ ∑ ， 当ａ ． ， Ｊ 一１ ， ２ ， … ， ） ， ＜ｏ （ ’ ’
一
则新 的 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 迭代法（ ３ ） 收 敛． 证 Ａ 为广 义严 格对 角 占优 矩 阵 ， 依定 义 ， 存 在正 对角 矩 阵 Ｅ — ｄ ｉ ａ ｇ （ ｅ ， ｅ ｚ ， …， ｅ ） ， 使Ａ Ｅ 为严 格
第２ ９卷 第 ５期
２ ０ １ ３年 １ ０月
大 学 数 学
Ｃｏ ＬＬＥＧ Ｅ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ ＣＳ
Ｖｏ １ ． ２９。 №． ５ ０ｃ ｔ ． ２ ０１ ３
病 态线性方程组 新 的 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 迭 代 解 法
孔 祥 强
（ 菏泽学院 数学系 ， 山东 菏 泽 ２ ７ ４ ０ ０ ０ ）
（ Ｄ＋ ｃ ） 一 ｂ＋ （ ｃ 一 Ｍ） Ｘ．
一 ｂ， 在 两边 同时加 上 ｏ ｊ Ｆ ｘ， ∞＞ ０，
迭 代 格式 为 抖 一 （ Ｄ＋ ｏ ｏ Ｆ） １［ ＋ （ ｏ Ｊ Ｆ —Ｍ ） ｘ ］， 其 中 Ｄ 同前 ，
［ 收 稿 日期 ］ ２ ０ １ １ － １ ２ — ２ ９ ［ 基 金 项 目］ ２ ０ １ １ 年 山 东省 统 计 局 重 点 课 题 项 目（ Ｋ Ｔｔ １ ０ ４ ８ ） ； ２ ０ １ １年 山 东 省 教 育 科 学 “ 十－ ／ ５ １ ” 规 划重 点课 题 项 目
● ●
设 Ａ一 （ 口 ）Ｅ －
”为广义 严 格对 角 占优矩 阵 ， 则ａ ≠ ０， 且 ｄ ｅ ｔ （ Ａ）≠ ０．
严格 对 角 占优矩 阵 、 不可 约对 角 占优 矩 阵均为 广义严 格对 角 占优矩 阵．
为方 便起 见 ， 不 妨设 Ｆ — ｄ ｉ ａ ｇ （ ｆ ｔ ， ｆ ２ ， …， ｆ ｎ ）为对 角矩 阵． 下面 给 出不 同于文 Ｅ ４ ］ 的迭代 法． 定 ‰ ｎ 理 ｎ ● 设 ～ ｏ Ａ 为广 义严 格对 角 占优矩 阵 ， ｃ ｕ ＞ ｏ， 且矩 阵 Ｆ的对角 元素 满足
Ｌ ｏ ． ３ ０ ． １ ０ ． ２ ０ ． ９
在文［ ３ ］ 的定理 １ 中， 只要取 Ｎ 一｛ ２ ｝ ， Ｎ 一｛ １ ， ３ ， ４ ｝ ， 一 ＜１ ， ｌ 口 。 。 Ｉ 一０ ． ９， 即可判断出该矩阵为
广义 严 格对 角 占优矩 阵 ［ ３ ］ ．
引理 １ ［ 引理 ２ ［