2019年安徽省江淮十校高三上学期第一次联考数学(理)试题

2019年安徽省江淮十校高三上学期第一次联考（理）数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合1|,0A y y x x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭，集合{}2|40B x x =-≤，若A B P ⋂=，则集合P 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162．复数z 满足342z i ++=，则z z ⋅的最大值是（ ）A ．7B ．49C ．9D ．813．设,,a b c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a 、b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，|a |=|b |，则a 、b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 5．已知ln x π=，13y e -=，13log z π=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<6．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）ABC D7．如图，在正方体111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意动点F ，在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大．．D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小．．8．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）A ．56%B ．14%C ．25%D ．67%9．将余弦函数的图象向右平移2π个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()f x 的图象，下列关于()f x 的叙述正确的是（ ）A ．最大值为1，且关于3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．周期为π，关于直线2x π=对称 C ．在,68ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且为奇函数 D ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数 10．对任意实数x ，恒有10x e ax --≥成立，关于x 的方程()ln 10x a x x ---=有两根为1x ，2x ()12x x <，则下列结论正确的为（ ）A ．122x x +=B ．121=x xC ．122x x =D ．12x x e =11．已知双曲线2222:1x y C a b-=的两条渐近线分别为1l 与2l ，A 与B 为1l 上关于原点对称的两点，M 为2l 上一点且AM BM k k e ⋅=，则双曲线离心率e 的值为（ ）A B ．12 C ．2 D12．在四面体ABCD 中，若1AD DB AC CB ====，则当四面体ABCD 的体积最大时其外接球表面积为（ ）A ．53π B ．43π C ．π D ．2π第II 卷（非选择题)二、填空题13．已知实数x 、y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为_____________。

14．已知()()512x x a ++的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含2x 项的系数是____________。

15．关于x 的方程sin 2cos 0x x a ++=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内有解，则实数a 的取值范围是_____________。

16．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且2AF FB λ=（λ为非零常数）.以A 为切点作抛物线C 的切线交直线1y =-于M 点，则MF 的长度为__________（结果用含λ式子表示）。

三、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()6121n S n n n =++.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设141n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明12n T <。

18．ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若sin 2A －sin 2B =3sin 2C ，sin A =，且0BA AC ⋅>。

（1）求sin sin B C； （2）若2a =，求ABC ∆的面积.19．如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是正三角形，ACD ∆是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD .（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若点E 为DB 中点，求二面角D AE C --的正弦值。

20．如图，已知A (-1，0)、B (1，0)， Q 、G 分别为ABC △的外心，重心，QG //AB 。

（1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）是否存在过()0,1P 的直线L 交曲线E 于M ，N 两点且满足2MP PN =，若存在求出L 的方程，若不存在请说明理由。

21．已知函数()21cos 14f x x x =+-. （1）证明：()0f x ≤，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； （2）判断()y f x =的零点个数，并给出证明过程。

22．棋盘上标有第0、1、2、、100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n 站的概率为n P 。

（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明：()()1111982n n n n P P P P n +--=--≤≤； （3）求99P 、100P 的值。

2019年安徽省江淮十校高三上学期第一次联考（理）数学试题参考答案1．B【分析】求出集合A 、B ，得出集合P ，确定集合P 的元素个数，利用子集个数公式可得出集合P 的子集个数.【详解】当0x >时，12y x x =+≥=；当0x <时，()()112y x x x x ⎡⎤=+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦. 所以，集合{}22A y y y =≤-≥或. 集合{}{}24022B x x x x =-≤=-≤≤，{}2,2P A B ∴==-I ， 集合P 有两个元素，因此，集合P 的子集个数为224=，故选：B.【点睛】本题考查集合子集个数的计算，考查集合的交集、函数的值域以及一元二次不等式的解法，解题时要注意集合子集个数结论的应用，属于中等题.2．B 【分析】设z x yi =+，由342z i ++=可得出()()22344x y +++=，22z z x y ⋅=+，利用数形结合思想求出z z ⋅的最大值. 【详解】设z x yi =+，则()()34342z i x y i ++=+++==， ()()22344x y ∴+++=，则复数z 在复平面内所对应的点的轨迹是以()3,4--为圆心，以2为半径的圆，22z z x y ⋅=+，其几何意义是原点到圆()()22344x y +++=上一点距离5=， 因此，z z ⋅的最大值为()22549+=，故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应点的轨迹，同时也涉及了点到圆上一点最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．B【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】∵,,a b c 为正数，∴当2,2,3a b c ===时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立， 若222a b c +>，则()222+->a b ab c ，即()2222+>+>a b c ab c ，>a b c +>，成立，即必要性成立，则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件，故选：B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键，属于中档题.4．B【分析】，|a |=|b |设a 、b 的夹角为θ，由(a －2b )⊥a ，得出(a －2b )·a =0，利用平面向量数量积的运算律与定义可计算出cos θ的值，结合θ的取值范围得出θ的值.【详解】设a 、b 的夹角为θ，(a －2b )⊥a ，且|a |=|b |，(a －2b )⊥a =a 2－2a b =|a |2－2|a |2cos θ=0，解得1cos 2θ=， ，3πθ∴=.因此，a 、b 的夹角为3π，故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，在处理平面向量垂直时，要将其转化为两向量的数量积为零，利用平面向量数量积的定义和运算律来计算，考查运算求解能力，属于中等题. 5．C 【分析】利用中间值法，将这三个数与0、1比较大小，从而得出这三个数的大小关系. 【详解】由于对数函数ln y x =在其定义域上是增函数，则ln ln 1x e π=>=，指数函数xy e =在R 上为增函数，则10301e e -<<=，即01y <<，对数函数13log y x =在其定义域上是减函数，则1133log log 10π<=，即0z <.因此，z y x <<，故选：C. 【点睛】本题考查利用中间值法比较指数式、对数式的大小，常用的中间值为0和1，在实际问题中，中间值取多少要由具体问题来选择，同时在比较大小时，要充分利用指数函数与对数函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6．A 【分析】设2BC =，将圆心角为3π的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯，等边ABC ∆的面积为212sin 23π⨯⨯=23π- 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即222233πππ⎛+⨯=- ⎝ ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率1=A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【分析】利用直线与平面平行的判定定理可判断出A 选项中命题的正误；利用反证法判断出B 选项中命题的正误；利用线面角的定义判断出C 选项中命题的正误；利用三棱锥体积来判断出D 选项命题的正误. 【详解】 对于A 选项，//AD BC ，AD ⊄平面CBF ，BC ⊂平面CBF ，//AD ∴平面CBF ，又AD ⊂平面11ADD A ，所以，A 选项中的命题错误；对于B 选项，反设平面ABCD 内存在直线a 满足a ⊥平面CBF ，a ⊂Q 平面ABCD ，由平面与平面垂直的判定定理可得平面CBF ⊥平面ABCD ，事实上，平面CBF 与平面ABCD 不垂直，假设不存在，所以，B 选项中的命题错误；对于C 选项，由于F 到平面ABCD 的距离d 不变且FC 变小，设直线FC 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin dFCθ=，可知θ在逐渐变大，C 选项中的命题正确； 对于D 选项，由于点F 到平面ABCD 的距离不变，BCD ∆的面积不变，则三棱锥F BCD -的体积不变，即三棱锥D BCF -的体积不变，在点F 的运动过程中，BCF ∆的面积不变，由等体积法可知，点D 到平面BCF 的距离不变，D 选项中的命题正确.故选：C. 【点睛】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角以及点到平面距离等命题的判断，判断时要从这些知识点的定义出发来理解，考查逻辑推理能力，属于中等题. 8．A 【分析】求出样本平均值与方差，可得年龄在(,)x s x s -+内的人数有5人，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】363637374440434443409x ++++++++==,2161699160916910099s ++++++++==103s =,年龄在(,)x s x s -+内，即110130,33⎛⎫⎪⎝⎭内的人数有5人， 所以年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是等于505609≈，故选A.【点睛】样本数据的算术平均数公式 12n 1(++...+)x x x x n=． 样本方差公式2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-，标准差s =9．C 【分析】根据图象变换求出函数()y f x =的解析式，然后结合正弦型函数的基本性质对各选项的正误进行判断. 【详解】将余弦函数的图象向右平移2π个单位后，得到函数cos sin 2y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数()sin 2f x x =的图象.对于A 选项，函数()sin 2f x x =的最大值为1，由于33sin 142f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，该函数的图象不关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 选项错误； 对于B 选项，函数()sin 2f x x =的最小正周期为22T ππ==，且sin 02f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则该函数的图象不关于直线2x π=对称，B 选项错误； 对于C 选项，当68x ππ-<<时，234x ππ-<<，则函数()sin 2f x x =在,68ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，且该函数为奇函数，C 选项正确； 对于D 选项，当04x π<<时，022x π<<，则函数()sin 2f x x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且为奇函数，D 选项错误.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，解题时要根据图象的变换写出变换后的函数解析式，并结合正弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力，属于中等题. 10．B 【分析】先由10x e ax --≥可得出1a =，再由()1ln 10x x x ---=，得出1ln 1x x x +=-，由题意得出1111ln 1x x x +=-和111111ln 11x x x +=-，由此得出211x x =，由此可得出正确选项.【详解】构造函数()1xf x e ax =--，则()00f =，由题意得出()()0f x f ≥，则()()min 0f x f=.且()xf x e a '=-.①当0a -≥时，即当0a ≤时，对任意的x ∈R ，()0f x '>，函数()y f x =在R 上单调递增，此时，函数()y f x =没有最小值；②当0a -<时，即当0a >时，令()0f x '=，得ln x a =. 当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>.此时，函数()y f x =在ln x a =处取得极小值，亦即最小值，即()()min ln f x f a =，ln 0a ∴=，得1a =.由题意可知，关于x 的方程()1ln 10x x x ---=有两个实根，即1ln 1x x x +=-有两个实数根. 方程1ln 1x x x +=-的其中一个实根为1x ，则1111ln 1x x x +=-，1111111ln 11x x x x x ++∴-=-=--， 即111111ln 11x x x +=-，又方程1ln 1x x x +=-的另一个实根为2x ，211x x ∴=，因此，121=x x ， 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，同时也考查了方程两根之间的关系，解题时要充分利用对数的运算性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11．B 【分析】设直线1l 的方程为b y x a =，则直线2l 的方程为b y x a =-，设点11,b A x x a ⎛⎫⎪⎝⎭、22,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点11,b B x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用AM BM k k e ⋅=，可得出21e e -=，解出即可.【详解】设直线1l 的方程为by x a=，则直线2l 的方程为b y x a =-，设点11,b A x x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭、22,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点11,b B x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ()1212AMb x x a k x x +=-，()12121212MB b b bx x x x a a a k x x x x -+-==--+，22AM BM b k k e a ∴⋅==，即21e e -=，即210e e --=，1e >Q ，解得e = B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，同时也涉及到渐近线方程，在求解离心率时，充分利用公式222221c b e a a==+可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.12．A 【分析】设()201AB x x =<<，可知当四面体ABCD 的体积最大时，平面ACB ⊥平面ADB ，计算出CE DE =求出四面体ABCD 的体积31133V x x =-，利用导数求出V 的最大值以及对应的x 的值，再利用四面体的结构得出计算出外接球的半径，最后利用球体表面积公式可得出结果. 【详解】如下图，取AB 的中点E ，连接CE 、DE ，设()201AB x x =<<，则CE DE ==ABCD 的体积最大时，平面ACB ⊥平面ADB ，四面体ABCD 的体积为3111123233V x x x =⨯⨯=-，213V x '=-.令0V '=，得3x =，当0x <<时，0V '>；当13x <<时，0V '<.所以，函数31133V x x =-在x =.此时，3CE ==，sin 3CE BAC AC ∠==，设ABC ∆和ABD ∆的外接圆半径为r，由正弦定理得2sin BC r BAC ==∠r ∴=设ABC ∆、ABD ∆的外接圆圆心分别为M 、N ，外接球的球心为点O ，如下图所示：在Rt BCE ∆中，BM r ==， 四边形OMEN是正方形，且边长为ME BE BM =-=， 所以，四面体ABCD的外接球半径R ==， 因此，该四面体的外接球表面积为25544123OB πππ⋅=⨯=，故选：A. 【点睛】本题考查四面体体积的最值，同时也考查了四面体外接球表面积的计算，要充分分析几何体的结构特征，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 13．32【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+经过可行域时在x 轴上取最小值时对应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案. 【详解】作出不等式组210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立2100x x y -=⎧⎨-=⎩，得12x y ==，可得点11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，平移直线2z x y =+，当直线2z x y =+经过可行域的顶点11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭时，该直线在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 1132222z =⨯+=，故答案为：32. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，通常利用平移直线在坐标轴上截距的最值来寻找最优解来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 14．30- 【分析】先将1x =代入二项式得出二项式的值为展开式各项系数和，可求出1a =-，然后将二项式变形为()()()()5551212121x x x x x +-=-+-，写出二项展开式的通项，令x 的指数为2，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出2x 项的系数. 【详解】由题意可知，()()512x x a ++的展开式中各项系数和为()()()551121222a a +⨯+=+=， 解得1a =-，()()()()()()5555121212121x x a x x x x x ++=+-=-+-， 二项展开式的通项为()()()()()5556555212121kkrrkkrkk k xC x C x C x ----⋅⋅-+⋅⋅-=⋅⋅-⋅+()55521rr r r C x --⋅⋅-⋅，令6252k r -=⎧⎨-=⎩，得43k r =⎧⎨=⎩，因此，展开式中含2x 项的系数为()()434132552121104030C C ⋅⋅-+⋅⋅-=-=-，故答案为：30-. 【点睛】本题考查二项式展开式各项系数和的概念，同时也考查了二项式中指定项的系数，解题时要充分利用展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题.15．)1⎡-⎣【分析】将问题转化为方程sin 2cos a x x -=+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有解，可得出实数a -的取值范围即为函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域，利用辅助角公式求出函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得sin 2cos a x x -=+，则关于x 的方程sin 2cos a x x -=+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有解.构造函数()sin 2cos f x x x =+，其中0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由辅助角公式可得()()f x x ϕ+，ϕ为锐角，且cos 5ϕ=，sin 5ϕ=. 由于02x π<<，则2x πϕϕϕ<+<+，所以，函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,2πϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,22ππϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则()max f x =()02f =，12f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以，函数()sin 2cos f x x x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为(，1a ∴<-≤解得1a <-，因此，实数a 的取值范围是)1⎡-⎣，故答案为：)1⎡-⎣.【点睛】本题考查三角函数的零点问题，解题时可以利用参变量分离法转化为函数的值域问题，充分利用辅助角公式和正弦函数的基本性质求解，考查运算求解能力，属于中中等题. 16．1λλ+【分析】设直线AB 的方程为1y kx =+，联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程，列出韦达定理，结合2AF FB λ=得出点A 的横坐标，然后利用导数求出抛物线C 在点A 处的切线方程，并求出点M 的坐标，最后利用两点间的距离公式求出MF 的长度. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，抛物线C 的焦点为()0,1F ，设直线AB 的方程为1y kx =+， 联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 由韦达定理得124x x k +=，124x x =-.()11,1AF x y =--uu u r ，()22,1FB x y =-uu r ，2AF FB λ=uu u r uu r Q ，212x x λ∴-=，2121x x λ∴=-，2121214x x x λ∴=-=-，得2214x λ=.抛物线C 的函数解析式为24x y =，求导得2x y '=，则抛物线C 在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x y x =-，联立211124y x x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得11221x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所点112,12x M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因此，1MF λλ====+， 故答案为：1λλ+.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，涉及到切线方程以及两点间的距离公式的应用，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行求解，考查计算能力，属于中等题.17．（1）2n a n =；（2）证明见解析.【分析】（1）令1n =，由11a S =求出11a =，再令2n ≥，由1n n n a S S -=-求出n a 的表达式，再对11a =是否满足n a 的表达式进行验证，由此得出数列{}n a 的通项公式； （2）将数列{}n b 的通项公式裂项为11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，并利用裂项法求出n T ，即可证明出12n T <成立. 【详解】（1）当1n =时，11661236a S ==⨯⨯=，可得11a =；当2n ≥时，由()()6121n S n n n =++可得()()16121n S n n n -=--，上述两式相减得()()()()261211216n a n n n n n n =++---=⎡⎤⎣⎦，2n a n =. 11a =适合2n a n =，因此，对任意的n *∈N ，2n a n =；（2）()()21111114141212122121n n b a n n n n n ⎛⎫====- ⎪---+-+⎝⎭Q ，111111111111123235221212212n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 成立.【点睛】本题考查由前n 项和公式求数列通项，同时也考查了利用裂项法求和，在由前n 项和公式求数列通项时，利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来进行计算，考查计算能力，属于中等题.18．（1）3；（2）3. 【分析】（1）由0BA AC ⋅>可得出cos 0A <，利用同角三角函数的平方关系可求出cos A 的值，利用正弦定理边角互化思想得出2223a b c -=，再利用余弦定理可得出b c的值，从而可得出sin sin BC的值； （2）由（1）得出3b c =，利用余弦定理可求出b 、c 的值，再利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】 （1），cos 0A ∴<.由同角三角函数的平方关系得1cos 3A ===-.，由正弦定理可得2223a b c -=.由余弦定理得2222231cos 223b c a c c c A bc bc b +--===-=-，3b c ∴=，由正弦定理边角互化思想得sin 3sin B bC c==； （2）由（1）可知3b c =，由余弦定理得2222222cos 10212a b c bc A c c c =+-=+=，2211123c a ∴==，则c =b =由三角形面积公式可知，ABC ∆的面积为11sin 22333ABC S bc A ∆===. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积公式的应用，要根据三角形已知元素的类型合理选择正弦、余弦定理解三角形，同时也考查充分利用边角互化思想的应用，简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.19．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）先证明出ABD CBD ∆≅∆，可得出AD CD =，可得出90ADC ∠=，然后取AC 的中点O ，连接OC 、OD ，并设OA OD a ==，利用勾股定理证明出OD OB ⊥，由等腰三角形三线合一得出OD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出OD ⊥平面ABC ，再利用平面与平面垂直的判定定理可得出平面ACD ⊥平面ABC ；（2）以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，计算出平面ADE 和ACE 的法向量，利用空间向量法求出二面角D AE C --的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案.【详解】 （1）ABC ∆是等边三角形，AB BC ∴=，又ABD CBD ∠=∠，BD BD =，ABD CBD ∴∆≅∆，AD CD ∴=，ACD ∆为直角三角形，所以90ADC ∠=，取AC 的中点O ，连接OC 、OD ，则OD AC ⊥，OA OD =.设OA OD a ==，则tan 60OB OA =⋅=o ，又2BD AB AC a ===，222BD OB OD ∴=+，OB OD ∴⊥，又OB AC O =I ，OD ∴⊥平面ABC ，OD ⊂平面ACD ，因此，平面ACD ⊥平面ABC ；（2）由题设及（1）可知OA 、OB 、OD 两两垂直，以点O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，则()1,0,0A、()B、()1,0,0C -、()0,0,1D ，E 为BD的中点，则12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,1AD ∴=-uuu r ，()2,0,0AC =-uu u r，12AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u r . 设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得0102x z x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得3z xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令x =1y =，z =所以，平面ADE的一个法向量为(31,n =,.同理可得，平面ACE 的一个法向量为(0,m =-u r，cos ,7m n m n m n⋅∴===⋅u r ru r r u r r ，所以，二面角D AE C --=.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，同时也考查了二面角的计算，在利用空间向量计算二面角时，关键就是要建立合适的空间直角坐标系，并计算出平面的法向量，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.20．（1）()22103y x xy +=≠；（2）不存在. 【分析】（1）设点()(),0C x y xy ≠，利用重心的坐标公式得出点G 的坐标为,33x y ⎛⎫⎪⎝⎭，可得出点0,3y Q ⎛⎫⎪⎝⎭，由QA QC =可得出点C 的轨迹E 的方程； （2）由题意得出直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为1y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线L 的方程与曲线E 的方程联立，并列出韦达定理，由2MP PN =，可得出122x x =-代入韦达定理求出k 的值，即可得出直线L 的方程，此时，直线L 过点()1,0-或()1,0，从而说明直线L 不存在. 【详解】（1）设点()(),0C x y xy ≠，则点,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，由于//QG AB ，则点0,3y Q ⎛⎫⎪⎝⎭. 由QA QC =，可得出2224199y y x +=+，化简得2213y x +=.因此，轨迹E 的方程为()22103y x xy +=≠；（2）当L 与y 轴重合时不符合条件.假设存在直线:1L y kx =+，设点()11,M x y 、()22,N x y .将直线L 的方程与曲线E 的方程联立22113y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()223220k x kx ++-=，由韦达定理得12223k x x k +=-+，12223x x k =-+. ()11,1MP x y =--uuu r ，()22,1PN x y =-uu u r ，2MP PN =uuu r uuu rQ ，122x x ∴-=，得122x x =-，即122x x =-，()()22221222212432233x x k k k x x k k +⎛⎫+=⋅-=- ⎪+⎝⎭+Q ， 另一方面()2212122122112223x x x x k x x x x k +=++=-=-+，得21k =，解得1k =±. 则直线L 过点()1,0-或()1,0，因此，直线L 不存在. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程，同时也考查了椭圆中的向量问题，在求解时可充分利用韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）证明见解析；（2）三个零点，证明见解析. 【分析】（1）由函数()y f x =是偶函数，只需利用导数证明函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值()max 0f x ≤即可；（2）由（1）得出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，然后利用函数值符号得出该函数在区间[)3,+∞上无零点，利用导数分析函数的单调性，并分析极值的符号，结合零点存在定理得出该函数在区间,32π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点，由偶函数的性质得出该函数在区间,2π⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上也只有一个零点，从而得出函数()y f x =有三个零点.【详解】（1），,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则该函数为偶函数， 只需证()max 0f x ≤，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()1sin 2f x x x '=-+，()1cos 2f x x ''∴=-. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令()0f x ''=，得3x π=. 当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ''≤，此时，函数()y f x '=单调递减； 当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ''≥，此时，函数()y f x '=单调递增.，1024f ππ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，此时，函数()y f x =单调递减，则()()00f x f ≤=， 因此，对任意的,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()0f x ≤； （2）三个零点，证明如下： 由（1）可知，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =有一个零点0x =. 当[)3,x ∈+∞时，()9cos 104f x x ≥-+>，此时，函数()y f x =无零点； 当,32x π⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1sin 2f x x x '=-，()1cos 02f x x ''=->.此时，函数()y f x '=单调递增，1024f ππ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，()33sin 302f '=->. 由零点存在定理可知，存在0,32x π⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00f x '=. 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时，函数()y f x =单调递减；当()0,3x x ∈时，()0f x '>，此时，函数()y f x =单调递增.，()002f x f π⎛⎫<<⎪⎝⎭，()53cos304f =+>. 由零点存在定理知，函数()y f x =在区间0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，在区间()0,3x 上有且只有一个零点，即函数()y f x =在区间,32π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点. 由于函数()y f x =为偶函数，所以，函数()y f x =在(],3-∞-上无零点，在3,2π⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有且只有一个零点.综上所述，函数()y f x =有三个零点. 【点睛】本题考查利用导数证明不等式，以及利用导数研究函数的零点个数问题，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22．（1）分布列见解析，随机变量X 的数学期望为92；（2）证明见解析； （3）9910021132P ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1009911132P ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有3、4、5、6，利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量X 在相应取值时的概率，可列出随机变量X 的分布列，由此计算出随机变量X 的数学期望；（2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，也可以由第()1n -站跳2站得到，由此得出111122n n n P P P +-=+，并在该等式两边同时减去n P ，可得出所证等式成立；（3）结合（1）、（2）可得1112n n n P P ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用累加法求出数列{}n P 的通项公式，从而可求出99P 和100P 的值. 【详解】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3、4、5、6.()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31313428P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()32313528P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()311628P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为13319345688882EX =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，其概率为12n P ，也可以由第()1n -站跳2站得到，其概率为112n P -，所以，111122n n n P P P +-=+.等式两边同时减去n P 得()()111111198222n n n n n n P P P P P P n +---=-+=--≤≤； （3）由（2）可得01P =，112P =，210113224P P P =+=. 由（2）可知，数列{}1n n P P +-是首项为2114P P -=，公比为12-的等比数列， 111111422n n n n P P -++⎛⎫⎛⎫∴-=⋅-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()23999912132999811112222P P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-++-=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L98100111421211123212⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭， 又9999989911=22P P ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，则989921132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通项，综合性较强，属于难题.。