北航 研究生数值阐明期末模拟试卷1 3
北航研究生数值分析作业第一题
北航研究⽣数值分析作业第⼀题北航研究⽣数值分析作业第⼀题：⼀、算法设计⽅案1.要求计算矩阵的最⼤最⼩特征值，通过幂法求得模最⼤的特征值，进⾏⼀定判断即得所求结果；2.求解与给定数值接近的特征值，可以该数做漂移量，新数组特征值倒数的绝对值满⾜反幂法的要求，故通过反幂法即可求得；3.反幂法计算时需要⽅程求解中间过渡向量，需设计Doolite分解求解；4.|A|=|B||C|，故要求解矩阵的秩，只需将Doolite分解后的U矩阵的对⾓线相乘即为矩阵的Det。
算法编译环境：vlsual c++6.0需要编译函数：幂法，反幂法，Doolite分解及⽅程的求解⼆、源程序如下：#include#include#include#includeint Max(int value1,int value2);int Min(int value1,int value2);void Transform(double A[5][501]);double mifa(double A[5][501]);void daizhuangdoolite(double A[5][501],double x[501],double b[501]); double fanmifa(double A[5][501]); double Det(double A[5][501]);/***定义2个判断⼤⼩的函数，便于以后调⽤***/int Max(int value1,int value2){return((value1>value2)?value1:value2);}int Min(int value1,int value2){return ((value1}/*****************************************//***将矩阵值转存在⼀个数组⾥，节省空间***/void Transform(double A[5][501],double b,double c){int i=0,j=0;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;for(j=2;j<=500;j++)A[i][j]=c;i++;j=0;A[i][j]=0;for(j=1;j<=500;j++)A[i][j]=b;i++;for(j=0;j<=500;j++)A[i][j]=(1.64-0.024*(j+1))*sin(0.2*(j+1))-0.64*exp(0.1/(j+1)); i++;for(j=0;j<=499;j++)A[i][j]=b;A[i][j]=0;i++;for(j=0;j<=498;j++)A[i][j]=c;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;}/***转存结束***///⽤于求解模最⼤的特征值，幂法double mifa(double A[5][501]){int s=2,r=2,m=0,i,j;double b2,b1=0,sum,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){u[i] = 1.0;}do{sum=0;if(m!=0)b1=b2;m++;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);for(i=0;i<=500;i++){u[i]=0;for(j=Max(i-r,0);j<=Min(i+s,500);j++)u[i]=u[i]+A[i-j+s][j]*y[j];}b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2=b2+y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)/fabs(b2)>=exp(-12));return b2;}//带状DOOLITE分解，并且求解出⽅程组的解void daizhuangdoolite(double A[5][501],double x[501],double b[501]) { int i,j,k,t,s=2,r=2;double B[5][501],c[501];for(i=0;i<=4;i++){for(j=0;j<=500;j++)B[i][j]=A[i][j];}for(i=0;i<=500;i++)c[i]=b[i];for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)B[k-j+s][j]=B[k-j+s][j]-B[k-t+s][t]*B[t-j+s][j]; }for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]-B[i-t+s][t]*B[t-k+s][k]; B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]/B[s][k];}}for(i=1;i<=500;i++)for(t=Max(0,i-r);t<=i-1;t++)c[i]=c[i]-B[i-t+s][t]*c[t];x[500]=c[500]/B[s][500];for(i=499;i>=0;i--){x[i]=c[i];for(t=i+1;t<=Min(i+s,500);t++)x[i]=x[i]-B[i-t+s][t]*x[t];x[i]=x[i]/B[s][i];}}//⽤于求解模最⼤的特征值，反幂法double fanmifa(double A[5][501]){int s=2,r=2,m=0,i;double b2,b1=0,sum=0,u[501],y[501];for (i=0;i<=500;i++){u[i] = 1.0;}do{if(m!=0)b1=b2;m++;sum=0;for(i=0;i<=500;i++)sum+=u[i]*u[i];for(i=0;i<=500;i++)y[i]=u[i]/sqrt(sum);daizhuangdoolite(A,u,y);b2=0;for(i=0;i<=500;i++)b2+=y[i]*u[i];}while(fabs(b2-b1)>=fabs(b1)*exp(-12));return 1/b2;}//⾏列式的LU分解，U的主线乘积即位矩阵的DET double Det(double A[5][501]) {int i,j,k,t,s=2,r=2;for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=Min(k+s,500);j++){for(t=Max(0,Max(k-r,j-s));t<=k-1;t++)A[k-j+s][j]=A[k-j+s][j]-A[k-t+s][t]*A[t-j+s][j];}for(i=k+1;i<=Min(k+r,500);i++){for(t=Max(0,Max(i-r,k-s));t<=k-1;t++)A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]-A[i-t+s][t]*A[t-k+s][k];A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]/A[s][k];}}double det=1;for(i=0;i<=500;i++)det*=A[s][i];return det;}void main(){double b=0.16,c=-0.064,p,q;int i,j;double A[5][501];Transform(A,b,c); //进⾏A的赋值cout.precision(12); //定义输出精度double lamda1,lamda501,lamdas;double k=mifa(A);if(k>0) //判断求得最⼤以及最⼩的特征值.如果K>0，则它为最⼤特征值值，//并以它为偏移量再⽤⼀次幂法求得新矩阵最⼤特征值，即为最⼤ //与最⼩的特征值的差{lamda501=k;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]-k;lamda1=mifa(A)+lamda501;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]+k;}else //如果K<=0，则它为最⼩特征值值，并以它为偏移量再⽤⼀次幂法//求得新矩阵最⼤特征值，即为最⼤与最⼩的特征值的差{lamda1=k;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]-k;lamda501=mifa(A)+lamda1;for(i=0;i<=500;i++)A[2][i]=A[2][i]+k;}lamdas=fanmifa(A);FILE *fp=fopen("result.txt","w");fprintf(fp,"λ1=%.12e\n",lamda1);fprintf(fp,"λ501=%.12e\n",lamda501);fprintf(fp,"λs=%.12e\n\n",lamdas);fprintf(fp,"\t要求接近的值\t\t\t实际求得的特征值\n");for(i=1;i<=39;i++) //反幂法求得与给定值接近的特征值{p=lamda1+(i+1)*(lamda501-lamda1)/40;for(j=0;j<=500;j++)A[2][j]=A[2][j]-p;q=fanmifa(A)+p;for(j=0;j<=500;j++)A[2][j]=A[2][j]+p;fprintf(fp,"µ%d: %.12e λi%d: %.12e\n",i,p,i,q);}double cond=fabs(mifa(A)/fanmifa(A));double det=Det(A);fprintf(fp,"\ncond(A)=%.12e\n",cond);fprintf(fp,"\ndetA=%.12e\n",det);}三、程序运⾏结果λ1=-1.069936345952e+001λ501=9.722283648681e+000λs=-5.557989086521e-003要求接近的值实际求得的特征值µ1: -9.678281104107e+000 λi1: -9.585702058251e+000µ2: -9.167739926402e+000 λi2: -9.172672423948e+000µ3: -8.657198748697e+000 λi3: -8.652284007885e+000µ4: -8.146657570993e+000 λi4: -8.0934********e+000µ5: -7.636116393288e+000 λi5: -7.659405420574e+000µ6: -7.125575215583e+000 λi6: -7.119684646576e+000µ7: -6.615034037878e+000 λi7: -6.611764337314e+000µ8: -6.104492860173e+000 λi8: -6.0661********e+000µ9: -5.593951682468e+000 λi9: -5.585101045269e+000µ10: -5.0834********e+000 λi10: -5.114083539196e+000µ11: -4.572869327058e+000 λi11: -4.578872177367e+000µ12: -4.062328149353e+000 λi12: -4.096473385708e+000µ13: -3.551786971648e+000 λi13: -3.554211216942e+000µ14: -3.0412********e+000 λi14: -3.0410********e+000µ15: -2.530704616238e+000 λi15: -2.533970334136e+000µ16: -2.020*********e+000 λi16: -2.003230401311e+000µ17: -1.509622260828e+000 λi17: -1.503557606947e+000µ18: -9.990810831232e-001 λi18: -9.935585987809e-001µ19: -4.885399054182e-001 λi19: -4.870426734583e-001µ20: 2.200127228676e-002 λi20: 2.231736249587e-002µ21: 5.325424499917e-001 λi21: 5.324174742068e-001µ22: 1.043083627697e+000 λi22: 1.052898964020e+000µ23: 1.553624805402e+000 λi23: 1.589445977158e+000µ24: 2.064165983107e+000 λi24: 2.060330427561e+000µ25: 2.574707160812e+000 λi25: 2.558075576223e+000µ26: 3.0852********e+000 λi26: 3.080240508465e+000µ27: 3.595789516221e+000 λi27: 3.613620874136e+000µ28: 4.106330693926e+000 λi28: 4.0913********e+000µ29: 4.616871871631e+000 λi29: 4.603035354280e+000µ30: 5.127413049336e+000 λi30: 5.132924284378e+000µ31: 5.637954227041e+000 λi31: 5.594906275501e+000µ32: 6.148495404746e+000 λi32: 6.080933498348e+000µ33: 6.659036582451e+000 λi33: 6.680354121496e+000µ34: 7.169577760156e+000 λi34: 7.293878467852e+000µ35: 7.680118937861e+000 λi35: 7.717111851857e+000µ36: 8.190660115566e+000 λi36: 8.225220016407e+000µ37: 8.701201293271e+000 λi37: 8.648665837870e+000µ38: 9.211742470976e+000 λi38: 9.254200347303e+000µ39: 9.722283648681e+000 λi39: 9.724634099672e+000cond(A)=1.925042185755e+003detA=2.772786141752e+118四、分析如果初始向量选择不当,将导致迭代中X1的系数等于零.但是，由于舍⼊误差的影响,经若⼲步迭代后,.按照基向量展开时,x1的系数可能不等于零。
北航数值分析大作业三
一、题目：关于x, y, t, u, v, w 的下列方程组0.5cos 2.670.5sin 1.070.5cos 3.740.5sin 0.79t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩1、试用数值方法求出f(x, y)在区域 {(,)|00.8,0.5 1.5}D x y x y =≤≤≤≤上的一个近似表达式,0(,)kr s rsr s p x y cx y ==∑要求(,)p x y 一最小的k 值达到以下的精度10202700((,)(,))10i j i j i j f x y p x y σ-===-≤∑∑其中，0.08,0.50.05i j x i y j ==+。
2、计算****(,),(,)i j i j f x y p x y （i = 1, 2, …，8；j = 1, 2,…，5）的值，以观察(,)p x y 逼近(,)f x y 的效果，其中，*i x =0.1i , *j y =0.5+0.2j 。
说明：1、用迭代方法求解非线性方程组时，要求近似解向量()k x 满足()(1)()12||||/||||10k k k x x x --∞∞-≤2、作二元插值时，要使用分片二次代数插值。
3、要由程序自动确定最小的k 值。
4、打印以下内容：●算法的设计方案。
●全部源程序（要求注明主程序和每个子程序的功能）。
●数表：,,i j x y (,)i j f x y （i = 0,1,2,…,10；j = 0,1,2,…,20）。
●选择过程的,k σ值。
●达到精度要求时的,k σ值以及(,)p x y 中的系数rs c （r = 0,1,…,k;s = 0,1,…,k ）。
●数表：**,,i j x y ****(,),(,)i j i j f x y p x y （i = 1, 2, ...,8；j = 1, 2, (5)。
北航研究生数值分析试题
∗⎞ ⎟的 A1 ⎠
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤ ⎢ 2 6 −7 −10 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ −1 −1 5 9 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢14 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x4 ⎦ ⎥ ⎣ −6 ⎦ ⎣ −3 −5 0 15 ⎦ ⎣ 四、（12 分）利用矩阵 A 的三角分解 A = LU 求解下列方程组 ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 3 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⎜ −1 −3 0 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
第一章
1、近似数 x = 0.231 关于真值 x = 0.229 有（ （1）1；（2）2；（3）3；（4）4。
∗
绪论
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分) ）位有效数字。
2、取 3 ≈ 1.732 计算 x = ( 3 − 1) ，下列方法中哪种最好？（
4
）
Ax
∞和
A ∞ 的值分别为（
）
3
(1) 8 , 8 ；
(2) 8 , 7 ；
(3) 8 , 6 ；
(4) 7 , 7 。
5 、若解线性代数方程组的 Gauss 部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为
(2
6 3 2 −5 4 2 ) ，则第三步主行是（
T
） (4) 第 6 行。
(1) 第 2 行；
1 − cos x , sin x
x ≠ 0且 x << 1 ；
（2）
1 1− x , − 1+ 2x 1+ x
北京航空航天大学理论力学期末模拟试卷2.pdf
北京航空航天⼤学理论⼒学期末模拟试卷2.pdf理论⼒学AII 期末考试模拟试题⼀、选择题（将正确答案的字母填在空格内，每⼩题2分，共10分）1、对于具有定常约束的质点系，其动能T 最⼀般的形式可以表⽰成的函数。
A ：⼴义速度； B ：⼴义坐标； C: 时间t2、定点运动的圆锥ABC 在⽔平固定圆盘上纯滚动，如图1所⽰。
若圆锥底⾯圆⼼D 作匀速圆周运动，则该圆锥的⾓加速度⽮量α与⾓速度⽮量ω的关系是。
A ：α平⾏于ω；B ：α垂直于ω；C ：为零⽮量α；D ：为⾮零⽮量α图13、⼆⾃由度线性系统的振动周期与有关。
A ：⼴义质量；B ：⼴义刚度；C ：初始位置；D ：初始速度4、只应⽤第⼆类拉格朗⽇⽅程求出⾮⾃由质点系的约束⼒。
A ：⼀定能； B ：⼀定不能； C ：不⼀定能5、第⼆类拉格朗⽇⽅程可⽤于研究具有质点系的⼒学问题。
A ：完整约束； B ：定常约束； C ：⾮完整约束； D ：⾮定常约束注：第⼆类拉格朗⽇⽅程为：),,2,1(d d k j Q q T q T t j j j " ==。
其中k 为系统的⾃由度。
为对应于⼴义坐标的主动⼒的⼴义⼒。
j Q j q ⼆、填空题（将最简结果填在空格内，每空5分，共50分）1、质量为m 的质点M 可在半径为R 的圆环内运动，圆环以⾓速度ω（常⽮量）绕AB 轴作定轴转动，如图2所⽰。
θ为质点的⼴义坐标，此时质点的动能可以表⽰成，其中012T T T T ++=)2,1,0(=i Ti g为⼴义速度的i 次齐次函数。
求：=2T =1T=0T图2 图32、长为L 质量为m 的均质杆OA ⽤光滑柱铰链悬挂在天花板上，下端与刚度系数为k 的⽔平弹簧连接，杆铅垂时弹簧为原长，如图3所⽰。
求系统在平衡位置附近作微幅摆动的动⼒学⽅程。
动⼒学⽅程：。
3、圆盘相对正⽅形框架ABCD 以匀⾓速度02ω绕BC 轴转动，正⽅形框架以匀⾓速度0ω绕AB 轴转动，如图4所⽰。
北航数理统计期末考试题
材料学院研究生会学术部2011 年12 月2007-2008学年第一学期期末试卷一、(6 分，A 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( , 2) 的样本，令2(x1 x2)T(x3 x4)2 (x5 x6)2 ，试证明T 服从t-分布t(2)二、( 6 分， B 班不做 ) 统计量F-F(n,m) 分布，证明1的 (0< <1)的分位点x 是1。
F F1 (n,m) 。
三、(8分)设总体X 的密度函数为其中1，是位置参数。
x1，x2，⋯，x n是来自总体X 的简单样本，试求参数的矩估计和极大似然估计。
四、(12分)设总体X 的密度函数为1xexp ，xp(x; )0 , 其它其中, 已知，0, 是未知参数。
x1，x2，⋯，x n 是来自总体X 的简单样本。
1)试求参数的一致最小方差无偏估计；2) 是否为的有效估计？证明你的结论。
五、(6分，A 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( 1, 12) 的简单样本，y1，y2，⋯，y n 是来自正态总体N( 2, 22) 的简单样本，且两样本相互独立，其中1, 12, 2, 22是未知参数，1222。
为检验假设H0 :可令z i x i y i, i 1,2,..., n ,1 2 ,1 2, H1 : 1 2,则上述假设检验问题等价于H0 : 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，⋯，z n，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、(6 分，B 班不做)设x1，x2，⋯，x n是来自正态总体N( 0, 2) 的简单样本，0 已知，2未知，试求假设检验问题H0: 202, H1: 202的水平为的UMPT。
七、(6 分)根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、(6 分)设方差分析模型为总离差平方和试求E(S A ) ，并根据直观分析给出检验假设H0 : 1 2 ... P 0的拒绝域形式。
北航数值分析大作业一
北京航空航天大学数值分析大作业一学院名称自动化专业方向控制工程学号ZY*******学生姓名许阳教师孙玉泉日期2021 年11月26 日设有501501⨯的实对称矩阵A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=5011A a b c b c c b c b a其中，064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1.0-==⋅⋅⋅=--=c b i e i i a ii 。
矩阵A 的特征值为)501,,2,1(⋅⋅⋅=i i λ，并且有||min ||,501150121i i s λλλλλ≤≤=≤⋅⋅⋅≤≤1λ，501λ和s λ的值。
A 的与数4015011λλλμ-+=kk 最接近的特征值)39,,2,1(⋅⋅⋅=k k i λ。
A 的(谱范数)条件数2)A (cond 和行列式detA 。
一 方案设计1 求1λ，501λ和s λ的值。
s λ为按模最小特征值，||min ||5011i i s λλ≤≤=。
可使用反幂法求得。
1λ，501λ分别为最大特征值及最小特征值。
可使用幂法求出按模最大特征值，如结果为正，即为501λ，结果为负，那么为1λ。
使用位移的方式求得另一特征值即可。
2 求A 的与数4015011λλλμ-+=kk 最接近的特征值)39,...,2,1(=k k i λ。
题目可看成求以k μ为偏移量后，按模最小的特征值。
即以k μ为偏移量做位移，使用反幂法求出按模最小特征值后，加上k μ，即为所求。
3 求A 的(谱范数)条件数2)(A cond 和行列式detA 。
矩阵A 为非奇异对称矩阵，可知，||)(min max2λλ=A cond(1-1)其中m ax λ为按模最大特征值，min λ为按模最小特征值。
detA 可由LU 分解得到。
因LU 均为三角阵，那么其主对角线乘积即为A 的行列式。
二 算法实现1 幂法使用如下迭代格式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅===⋅⋅⋅=------||max |)|sgn(max ||max /),,(111111)0()0(10k k k k k k k k Tn u u Ay u u u y u u u β任取非零向量 (2-1)终止迭代的控制理论使用εβββ≤--||/||1k k k ， 实际使用εβββ≤--||/||||||1k k k(2-2)由于不保存A 矩阵中的零元素，只保存主对角元素a[501]及b,c 值。
北航数值分析大作业3(学硕)
《数值分析》作业三院系：机械学院学号：SY1307145姓名：龙安林2013年11 月24 日1. 算法设计1) 开始；2) 计算数组[][]0.08,0.050.5,0,1,2,,10;0,1,2,,20x i i y j j i j ==+=⋯=⋯（）； 3) 将点[][],0,1,2,,10;0,1,2,,20x i y j i j =⋯=⋯（）,（）带入非线性方程组： 0.5cos 2.670.5sin 1.070.5cos 3.740.5sin 0.79t u v w x t u v w y t u v w x t u v w y +++-=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+++-=⎩ 得出相应的点,t u （）； 4) 选择拉格朗日插值法，将,t u （）作为中间变量，在题目所给出的二维数表中进行二次代数插值，得到[][],)(z f x i y j =；5) 输出数表：[][][][]()()0,1,2,,10;0,1,2,,20,,,x i y j f x i y j i j =⋯=⋯； 6) 令k=0；7) 以()()(),,,0,1,r r r s x x y y r s ϕψ===…,k 为拟合基函数，将上述数表作为拟合条件，对于给定的k 值，得到矩阵B 、G 、U ；8) 令-1-1(),()T T T A B B B U C AG G G ==，用选主元的LU 分解法分别计算矩阵A 和C 的各列，最后得到系数矩阵C ；9) 以公式：()()()00,k ki j rs r i s j s r p x y C x y ϕψ===∑∑计算每个点的拟合值；10) 利用公式：()()()2102000,,i j i j i j f x y p x y σ===-∑∑计算拟合误差，当σ≤10-7时，循环结束，否则k=k+1，转（6）；11) 令[][]()**0.10.50.2 1,2,81,2,5x i i y j j i j ==+=⋯=⋯；，；，；12) 计算()()()******,,,,,i j i j i jf x y p x y delta x y ，输出数表，观察逼近效果； 13) 结束。
北航研究生数值分析大作业三
数值分析—计算实习作业三学院：17系专业：精密仪器及机械姓名：张大军学号：DY1417114一、程序设计方案程序设计方案流程图如图1所示。
（注：由本人独立完成，并且有几处算法很巧妙，但同时也有许多不足，可以优化和模块化，由于时间原因只实现了调试通过）图1.程序设计方案流程图二、程序源代码#include <iostream.h>#include <iomanip.h>#include <math.h>#include<stdio.h>#include <conio.h>#define M 10000#define N 4#define E 1.0e-12int zuixiaci;static double c[9][9];static double bijin[8][5];int main(){double X[N]={0,0,0,1};double T[11][21],U[11][21],xianshi[11][21];double diertX[N];double F[N];double f[N][N];double Max1=0,Max2=0;int k,i,j,t,tt=0,yao=0;void qiuF(double * X,double *F,int i,int j);void qiuF2(double *X,double *F,int i,int j);void qiuf(double * X,double (*f)[N]);void qiudiertX(double (*a)[N],double*b,double*X); double gouzaohs(double t,double u); void solve_C(double (*U)[21]); void pp(double (*U)[21],int k);for(i=0;i<11;i++)for(j=0;j<21;j++){for(k=0;k<M;k++){qiuF(X,F,i,j);qiuf(X,f);qiudiertX(f,F,diertX);for(t=0;t<N;t++){X[t]=X[t]+diertX[t];}Max1=0,Max2=0;for(t=0;t<N;t++){if(Max1<fabs(X[t]))Max1=fabs(X[t]);if(Max2<fabs(diertX[t]))Max2=fabs(diertX[t]);}if((Max2/Max1)<=E){k=M;yao=1;T[i][j]=X[0];U[i][j]=X[1];xianshi[i][j]=gouzaohs(X[0],X[1]);cout<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12);cout<<setprecision(2)<<"("<<setw(5)<<0.08*i<<","<<setw(5)<< (0.5+0.05*j)<<",";cout<<setprecision(12)<<setw(21)<<xianshi[i][j]<<") ";if(tt==3){tt=0;cout<<'\n';cout<<'\n';}else{tt++;}}}if(yao==0)cout<<"迭代不成功"<<endl; yao=0;}cout<<endl;solve_C(xianshi);pp(xianshi,zuixiaci);tt=0;for(i=1;i<9;i++)for(j=1;j<6;j++){for(k=0;k<M;k++){qiuF2(X,F,i,j);qiuf(X,f);qiudiertX(f,F,diertX);for(t=0;t<N;t++){X[t]=X[t]+diertX[t];}Max1=0,Max2=0;for(t=0;t<N;t++){if(Max1<fabs(X[t]))Max1=fabs(X[t]);if(Max2<fabs(diertX[t]))Max2=fabs(diertX[t]);}if((Max2/Max1)<=E){k=M;yao=1;xianshi[i-1][j-1]=gouzaohs(X[0],X[1]);cout<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12);cout<<setprecision(2)<<"("<<setw(5)<<0.1*i<<","<<setw(5)<<( 0.5+0.2*j)<<",";cout<<setprecision(12)<<setw(21)<<xianshi[i-1][j-1]<<","<<set w(21)<<bijin[i-1][j-1]<<") ";if(tt==2){tt=0;cout<<'\n';}else{tt++;}}}if(yao==0)cout<<"迭代不成功"<<endl;yao=0;}cout<<endl;return 1;}void qiuF(double *X,double *F,int i,int j){F[0]=-(0.5*cos(X[0])+X[1]+X[2]+X[3]-0.08*i-2.67);F[1]=-(X[0]+0.5*sin(X[1])+X[2]+X[3]-(0.5+0.05*j)-1.07);F[2]=-(0.5*X[0]+X[1]+cos(X[2])+X[3]-0.08*i-3.74);F[3]=-(X[0]+0.5*X[1]+X[2]+sin(X[3])-(0.5+0.05*j)-0.79); }void qiuF2(double *X,double *F,int i,int j){F[0]=-(0.5*cos(X[0])+X[1]+X[2]+X[3]-0.1*i-2.67);F[1]=-(X[0]+0.5*sin(X[1])+X[2]+X[3]-(0.5+0.2*j)-1.07);F[2]=-(0.5*X[0]+X[1]+cos(X[2])+X[3]-0.1*i-3.74);F[3]=-(X[0]+0.5*X[1]+X[2]+sin(X[3])-(0.5+0.2*j)-0.79); }void qiuf(double *X,double (*f)[N]){f[0][0]=-0.5*sin(X[0]);f[0][1]=1;f[0][2]=1;f[0][3]=1;f[1][0]=1;f[1][1]=0.5*cos(X[1]);f[1][2]=1;f[1][3]=1;f[2][0]=0.5;f[2][1]=1;f[2][2]=-sin(X[2]);f[2][3]=1;f[3][0]=1;f[3][1]=0.5;f[3][2]=1;f[3][3]=cos(X[3]);}//求解关于变化X的线性方程组void qiudiertX(double (*a)[N],double*b,double*X) {double H[N][N]={0},l[N]={0};double B;double sum;int i,j,m,k,z;for(k=0;k<N-1;k++){for(j=k;j<N;j++){l[j]=a[k][j];}z=k;for(m=k;m<N;m++){if(fabs(a[z][k])<fabs(a[m][k]))z=m;}for(j=k;j<N;j++){a[k][j]=a[z][j];a[z][j]=l[j];}B=b[k];b[k]=b[z];b[z]=B;for(i=k+1;i<N;i++){H[i][k]=a[i][k]/a[k][k];for(j=k+1;j<N;j++)a[i][j]=a[i][j]-H[i][k]*a[k][j];b[i]=b[i]-H[i][k]*b[k];}}if(a[N-1][N-1]==0){cout<<"算法失效，停止计算"<<endl; }else{X[N-1]=b[N-1]/a[N-1][N-1];for(k=N-2;k>=0;k--){sum=0;for(j=k+1;j<N;j++){sum=sum+a[k][j]*X[j];}X[k]=(b[k]-sum)/a[k][k];}}}//作二元差值，使用分片二次代数插值double gouzaohs(double t,double u){double T[6]={0,0.2,0.4,0.6,0.8,1},U[6]={0,0.4,0.8,1.2,1.6,2};double Z[6][6]={-0.5,-0.34,0.14,0.94,2.06,3.5,-0.42,-0.5,-0.26,0.3,1.18,2.38,-0.18,-0.5,-0.5,-0.18,0.46,1.42,0.22,-0.34,-0.58,-0.5,-0.1,0.62,0.78,-0.02,-0.5,-0.66,-0.5,-0.02,1.5,0.46,-0.26,-0.66,-0.74,-0.5};double g=0,sum=0,sum1=1,sum2=1;int i=0,j=0,k=0,r=0,kk=0,rr=0;for(i=1;(i<6)&&(T[i]-0.1<t);i++){}for(j=1;(j<6)&&(U[j]-0.2<u);j++){}if(i==1)i=2;if(i==6)i=5;if(j==1)j=2;if(j==6)j=5;sum=0;for(k=i-2;k<i+1;k++)for(r=j-2;r<j+1;r++){sum1=1;sum2=1;for(kk=i-2;kk<i+1;kk++){if(k!=kk){sum1=sum1*(t-T[kk])/(T[k]-T[kk]);}}for(rr=j-2;rr<j+1;rr++){if(r!=rr){sum2=sum2*(u-U[rr])/(U[r]-U[rr]);}}sum=sum+sum1*sum2*Z[k][r];}g=sum;return g;}//求r*s阶矩阵A与s*t阶矩阵B的乘积矩阵Cvoid Multi(double *a, double *b, double *c, int la, int lb, int lc, int r, int s, int t){int i, j, k;for (i=0; i<r; i++)for (j=0; j<t; j++){*(c+i*lc+j)=0;for (k=0; k<s; k++)*(c+i*lc+j)+=*(a+i*la+k)*(*(b+k*lb+j));}}//求n阶方阵A的逆矩阵Bdouble Inverse(double *a, double *b, int la, int lb, int n){int i, j, k;double temp;for(i=0; i<n; i++)for(j=0; j<n; j++)if (i==j)*(b+i*lb+j)=1;else*(b+i*lb+j)=0;for (k=0; k<n; k++){j=k;for (i=k+1; i<n; i++)if (fabs(*(a+i*la+k))>fabs(*(a+j*la+k))) j=i;if (j!=k)for (i=0; i<n; i++){temp=*(a+j*la+i);*(a+j*la+i)=*(a+k*la+i);*(a+k*la+i)=temp;temp=*(b+j*lb+i);*(b+j*lb+i)=*(b+k*lb+i);*(b+k*lb+i)=temp;}if (*(a+k*la+k)==0)return 0;if ((temp=*(a+k*la+k))!=1)for (i=0; i<n; i++){*(a+k*la+i)/=temp;*(b+k*lb+i)/=temp;}for (i=0; i<n; i++)if ((*(a+i*la+k)!=0) && (i!=k)){temp=*(a+i*la+k);for (j=0; j<n; j++){*(a+i*la+j)-=temp*(*(a+k*la+j));*(b+i*lb+j)-=temp*(*(b+k*lb+j));}}}return 0;}void solve_C(double (*U)[21]){int i,j,r,s,k;double t1[21][21], t2[21][21], t3[21][21],d[9][9],e[9][9];double B[11][9], B_T[9][11], G[21][9], G_T[9][21],P[11][21];double temp, FangCha;for(i=0;i<9;i++){for(j=0;j<11;j++){B[j][i]=pow(0.08*j,i);B_T[i][j]=pow(0.08*j,i);}for(j=0;j<21;j++){G[j][i]=pow(0.5+0.05*j,i);G_T[i][j]=pow(0.5+0.05*j,i);}}for (k=0; k<9; k++){FangCha=0;Multi(B_T[0], B[0], t1[0], 11, 9, 21, k+1, 11, k+1);Inverse(t1[0], c[0], 21, 9, k+1);Multi(e[0], c[0], d[0], 9, 9, 9, k+1, k+1, k+1);Multi(c[0], B_T[0], t1[0], 9, 11, 21, k+1, k+1, 11);Multi(t1[0], U[0], t2[0], 21, 21, 21, k+1, 11, 21);Multi(G_T[0], G[0], t1[0], 21, 9, 21, k+1, 21, k+1);Inverse(t1[0], c[0], 21, 9, k+1);Multi(G[0], c[0], t3[0], 9, 9, 21, 21, k+1, k+1);Multi(t2[0], t3[0], c[0], 21, 21, 9, k+1, 21, k+1);for(i=0;i<11;i++)for(j=0;j<21;j++){temp=0;for(r=0;r<k+1;r++)for(s=0;s<k+1;s++)temp+=c[r][s]*B[i][r]*G[j][s];P[i][j]=temp;FangCha+=(U[i][j]-temp)*(U[i][j]-temp);}cout<<"k="<<setw(5)<<k<<";"<<setw(5)<<"Sigma="<<FangCha<<" ;\n"<<'\n';if(FangCha<=1.0e-7){zuixiaci=k;cout<<"达到精度要求时: k="<<setw(5)<<k<<";"<<setw(5)<<"Sigma="<<FangCha<<";\n";cout<<" 系数c(r,s)如下：\n";for(i=0;i<k+1;i++){for(j=0;j<k+1;j++){cout<<"C("<<i<<","<<j<<")="<<setw(21)<<c[i][j]<<"; ";}cout<<endl<<'\n';}cout<<endl;return;}}cout<<"经过8次拟合没有达到所需精度；"<<endl;//最高可拟合10次return;}void pp(double (*U)[21],int k){int i,j,r,s;double B[8][9],G[5][9],temp;for(i=0;i<k+1;i++){for(j=0;j<8;j++){B[j][i]=pow(0.1*(j+1),i);}for(j=0;j<5;j++){G[j][i]=pow(0.5+0.2*(j+1),i);}}for(i=0;i<8;i++)for(j=0;j<5;j++){temp=0;for(r=0;r<k+1;r++)for(s=0;s<k+1;s++)temp+=c[r][s]*B[i][r]*G[j][s];bijin[i][j]=temp;}}三、程序运行结果显示程序运行结果显示如图2。
第一章习题课 北京航空航天大学高等数学期末模考复习
N2,
N
3
}时，| 1 n
(A1
B
n
AnB1 ) |
,
极限为0.
5、x0 (a, b), 0, 使得a x0 b , 故
f在x0连续。所以 f在(a, b)上连续.
6、两结论都不正确。对于 第一个结论，考虑下列 两函数：
f(x)
0,
g(x)
0，x 1, x
0
，x 0
0
0.
对于第二个结论，考虑 f(x)
lim
n
1 n
(a1
2a2
nan
)
0;
4.
已知
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,
证明:
lim
n
1 n
(a1bn
a2bn1
anb1
)
ab.
5. 若对任意 0, f 在[a ,b 上] 连续, 能否 得出 f 在 (a, b)上连续?
6. 若 f ( x) 在点 x0 连续, g( x)在点 x0 不连续, 能否
g(x)
- 1，x 0
1,
x 0 在0点
7、 0, X 0, x X时有 | f(x) - A | .
f ( x)的有界性 M 0,x [a, X],| f(x)| M.
取X1 max{M ,| A |,| A |},则对
x a,| f(x) | X1
d . 0, 0, 当 0 | x | 时, | f ( x) A | .
e. 0, 0,当 0 | x | 时,| f ( x) A | M .
其中 M 0为常数.
2. 若
lim
n
北航研究生数值分析编程大作业1
数值分析大作业一、算法设计方案1、矩阵初始化矩阵[]501501⨯=ij a A 的下半带宽r=2,上半带宽s=2，设置矩阵[][]5011++s r C ，在矩阵C 中检索矩阵A 中的带内元素ij a 的方法是：j s j i ij c a ,1++-=。
这样所需要的存储单元数大大减少，从而极大提高了运算效率。
2、利用幂法求出5011λλ，幂法迭代格式：0111111nk k k k kk T k k k u R y u u Ay y u ηηβ------⎧∈⎪⎪=⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩非零向量 当1210/-≤-k k βββ时，迭代终止。
首先对于矩阵A 利用幂法迭代求出一个λ，然后求出矩阵B ，其中I A B λ-=(I 为单位矩阵），对矩阵B 进行幂法迭代，求出λ'，之后令λλλ+'=''，比较的大小与λλ''，大者为501λ，小者为1λ。
3、利用反幂法求出ik s λλ,反幂法迭代格式：0111111nk k k k kk T k k k u R y u Au y y u ηηβ------⎧∈⎪⎪=⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩非零向量 当1210/-≤-k k βββ时，迭代终止，1s k λβ=。
每迭代一次都要求解一次线性方程组1-=k k y Au ，求解过程为：（1）作分解LU A =对于n k ,...,2,1=执行[][]s k n r k k k i c c c c c n s k k k j c cc c k s ks k t k s k r i t t s t i k s k i k s k i js j t k s j r k t t s t k j s j k j s j k <+++=-=++=-=+++----=++-++-++-++----=++-++-++-∑∑);,min(,...,2,1/)(:),min(,...,1,:,1,11),,1max(,1,1,1,11),,1max(,1,1,1（2）求解y Ux b Ly ==,（数组b 先是存放原方程组右端向量，后来存放中间向量y))1,...,2,1(/)(:/:),...,3,2(:,1),min(1.1.11),1max(,1--=-===-=+++-++-+--=++-∑∑n n i c x c b x c b x n i b c b b i s t n s i i t t s t i i i ns n n ti r i t t s t i i i使用反幂法，直接可以求得矩阵按模最小的特征值s λ。
北航数值分析实习题目第一题
《数值分析B》大作业一ZY1515105 樊雪松一．算法设计方案：1.矩阵A的存储与检索将带状线性矩阵A[501][501]转存为一个矩阵MatrixC[5][501] 。
在数组MatrixC[5][501]中检索A的带内元素a ij的方法是：A的带内元素a ij=C中的元素c i-j+2,j。
2.求解λ1，λ501，λs1、首先分别使用幂法和反幂法迭代求出矩阵按摸最大和最小的特征值λmax和λmin。
λmin即为λs；如果λ max>0,则λ501=λmax；如果λmax<0,则λ1=λmax。
2、使用带原点平移的幂法（mifa（）函数），令平移量p=λmax，求出对应的按摸最大的特征值λ’max，如果λ max>0,则λ1=λ’max+p；如果λmax<0,则λ501=λ’max+p。
3、求解A的与数μk=λ1+k（λ501-λ1）/40 的最接近的特征值λik （k=1,2，…，39）。
使用带原点平移的反幂法，令平移量p=μk，即可求出与μk最接近的特征值λ ik。
4、求解A的（谱范数）条件数cond（A）2和行列式detA。
cond（A）2=|λ1/λn|，其中λ1和λn分别是矩阵A的模最大和最小特征值。
求解矩阵A的行列式，可先对矩阵A进行LU分解后，detA等于U所有对角线上元素的乘积。
二．源程序#include<stdio.h>#include<math.h>#include<conio.h>//定义A中元素double C[5][501];double a[501];double b;double c;//声明所有函数void YaSuoJZ(double C[5][501],double a[501],double b,double c) ;//压缩矩阵函数double mifa(double C[5][501]); //幂法函数void daizhuangLU(double A[5][501]); //带状矩阵的LU分解double fanmifa(double C[5][501]);//反幂法函数//最值函数int max2(int x,int y);int max3(int x,int y,int z);int min(int x,int y);//最值函数int max2(int x,int y) //求2个数的最大值{int z;z=x>y?x:y;return(z);}int max3(int x,int y,int z) //求3个数的最大值{int w;w = z > max2(x,y)? z:max2(x,y);return(w);}int min(int x,int y) //求2个数的最小值{int z;z=x>y?y:x;return(z);}//将矩阵A压缩存储在矩阵C中void YaSuoJZ(double C[5][501],double a[501],double b,double c) {int i;for(i=0;i<=500;i++){if(i>=2) C[0][i]=c;else C[0][i]=0;if(i>=1) C[1][i]=b;else C[1][i]=0;if(i<=499) C[3][i]=b;else C[3][i]=0;if(i<=498) C[4][i]=c;else C[4][i]=0;C[2][i]=a[i];}}//幂法函数：用幂法求矩阵模最大的特征值double mifa(double C[5][501]){double u[501];double y[501]={0},η=0;double β,βk=0;double ε=1;// ε为精度double sumu=0,sumAY=0;int i,j,k=1; //k为循环次数for (i=0;i<=500;i++) //取任一非零向量u0u[i] = 1.0;while(ε>=1e-12){for(i=0;i<=500;i++) //求u(k-1)的2范数ηsumu=sumu+u[i]*u[i];η=sqrt(sumu);sumu=0;for(i=0;i<=500;i++) //求y(k-1)y[i]=u[i]/η;for(i=0;i<=500;i++) //求u(k)的各分量u[i]{for(j=max2(0,i-2);j<=min(i+2,500);j++)sumAY=sumAY+C[i-j+2][j]*y[j];u[i]=sumAY;sumAY=0;}//求幂法中的βkβ=βk; //将β(k-1)放在β中βk=0;for(i=0;i<=500;i++) //求βkβk=βk+y[i]*u[i];if(k>=2)ε=fabs(βk-β)/fabs(βk);k++;}return(βk);}//带状矩阵的LU分解void daizhuangLU(double A[5][501]){int i,j,k,m,t;double sumukj=0,sumlik=0;for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=min(k+2,500);j++) //求ukj并存在A[k-j+2][j]中{for(t=max3(0,k-2,j-2);t<=k-1;t++)sumukj=sumukj+A[k-t+2][t]*A[t-j+2][j];A[k-j+2][j]=A[k-j+2][j]-sumukj;sumukj=0;}if(k<500)for(i=k+1;i<=min(k+2,500);i++) //求lik并存在A[i-k+2][k]中{for(m=max3(0,i-2,k-2);m<=k-1;m++)sumlik=sumlik+A[i-m+2][m]*A[m-k+2][k];A[i-k+2][k]=(A[i-k+2][k]-sumlik)/A[2][k];sumlik=0;}}}//反幂法函数：用反幂法求矩阵的模最小的特征值double fanmifa(double M[5][501]){double u[501];double y[501]={0},x[501],η=0;double fβ,fβk=0;double ε=1;double fsumu=0,sumLX=0,sumUu=0;int i,t,m,k=1;for(i=0;i<=500;i++) //任取一非零向量u0u[i]=1;daizhuangLU(M); //对A进行LU分解A=LU，Au(k)=y(k-1)等价于Uu(k)=x和Lx=y(k-1) while(ε>=1e-12){for(i=0;i<=500;i++) //求u(k-1)的2范数ηfsumu=fsumu+u[i]*u[i];η=sqrt(fsumu);fsumu=0;for(i=0;i<=500;i++) //求y(k-1)y[i]=u[i]/η;for(i=0;i<=500;i++) //求中间向量xx[i]=y[i];for(i=1;i<=500;i++){for(t=max2(0,i-2);t<=i-1;t++)sumLX=sumLX+M[i-t+2][t]*x[t];x[i]=x[i]-sumLX;sumLX=0;}u[500]=x[500]/C[2][500]; //求u(k)的各分量u[i]for(i=499;i>=0;i--){for(m=i+1;m<=min(i+2,500);m++)sumUu=sumUu+M[i-m+2][m]*u[m];u[i]=(x[i]-sumUu)/M[2][i];sumUu=0;}//求反幂法中的βkfβ=fβk; //将fβ(k-1)放在fβ中fβk=0;for(i=0;i<=500;i++) //求fβkfβk=fβk+y[i]*u[i];if(k>=2)ε=fabs(1/fβk-1/fβ)/fabs(1/fβk);k++;}return(1/fβk);}//主函数void main(){int i,j,k;double λ1,λ501,λm,λm1,λm2,λs,λ,p;double cond,detA=1;for(i=1;i<=501;i++)a[i-1]=(1.64-0.024*i)*sin(0.2*i)-0.64*exp(0.1/i);b=0.16;c=-0.064;YaSuoJZ(C,a,b, c); //将矩阵A中元素压缩存储在C中λm1=mifa(C); //对A用幂法求出模最大的特征值λm1λs=fanmifa(C); //对A用反幂法求出模最小的特征值λsYaSuoJZ(C,a,b, c); //还原矩阵A中元素并压缩存储在C中for(j=0;j<=500;j++) //对A进行平移，平移量为λm1，平移后矩阵元素压缩存储在C中C[2][j]=C[2][j]-λ?m1;λm=mifa(C);λm2=λm1+λm; //λm1与λm2是矩阵的最大最小特征值if(λm1>λm2) //判断A最大最小特征值{λ501=λm1;λ1=λm2;}else{λ501=λm2;λ1=λm1;}printf("数值分析计算实习第一题\n\n ZY1515105 樊雪松\n\n （1）A的最大最小以及模最小的特征值\n");printf("A的最小特征值λ1=%.13e\n",λ1);printf("A的最大特征值λ501=%.13e\n",λ501);printf("A的模最小特征值λs=%.13e\n",λs);printf("\n（2）与数μk最接近的特征值\n");printf("\t要求接近的值\t\t\t实际求得的特征值\n");YaSuoJZ(C,a,b, c); //还原矩阵A中元素并压缩存储在C中for(k=1;k<=39;k++){p=λ1+k*(λ501-λ1)/40;for(j=0;j<=501;j++)C[2][j]=C[2][j]-p;λ=fanmifa(C)+p;printf("μ%d=%.13e λ%d=%.13e\n",k,p,k,λ);YaSuoJZ(C,a,b, c); //还原矩阵A中元素并压缩存储在C中}printf("\n（3）计算A的条件数cond(A)和行列式detA\n");cond=λm1/λs;daizhuangLU(C);for(j=0;j<=500;j++)detA=detA*C[2][j];printf("A的条件数cond(A)=%.13e\n",cond);printf("A的行列式detA=%.13e\n",detA);getch();}三、运行结果数值分析计算实习第一题ZY1515105 樊雪松（1）A的最大最小以及模最小的特征值A的最小特征值λ1=-1.0700113615018e+001A的最大特征值λ501=9.7246340987773e+000A的模最小特征值λs=-5.5579107942295e-003（2）与数μk最接近的特征值要求接近的值实际求得的特征值μ1=-1.0189494922173e+001 λ1=-1.0182934033146e+001 μ2=-9.6788762293280e+000 λ2=-9.5857074250676e+000 μ3=-9.1682575364831e+000 λ3=-9.1726724239280e+000 μ4=-8.6576388436383e+000 λ4=-8.6522840078976e+000 μ5=-8.1470201507934e+000 λ5=-8.0934838086753e+000 μ6=-7.6364014579485e+000 λ6=-7.6594054076924e+000 μ7=-7.1257827651036e+000 λ7=-7.1196846486912e+000 μ8=-6.6151640722588e+000 λ8=-6.6117643393973e+000 μ9=-6.1045453794139e+000 λ9=-6.0661032265951e+000 μ10=-5.5939266865690e+000 λ10=-5.5851010526284e+000 μ11=-5.0833079937241e+000 λ11=-5.1140835298122e+000 μ12=-4.5726893008792e+000 λ12=-4.5788721768651e+000 μ13=-4.0620706080344e+000 λ13=-4.0964709262599e+000 μ14=-3.5514519151895e+000 λ14=-3.5542112157508e+000 μ15=-3.0408332223446e+000 λ15=-3.0410900181333e+000 μ16=-2.5302145294997e+000 λ16=-2.5339703111304e+000 μ17=-2.0195958366549e+000 λ17=-2.0032307695635e+000μ18=-1.5089771438100e+000 λ18=-1.5035576112274e+000μ19=-9.9835845096511e-001 λ19=-9.9355860600754e-001μ20=-4.8773975812023e-001 λ20=-4.8704267388496e-001μ21=2.2878934724645e-002 λ21=2.2317362495748e -002μ22=5.3349762756952e-001 λ22=5.3241747420686e -001μ23=1.0441163204144e+000 λ23=1.0528989626935e+000μ24=1.5547350132593e+000 λ24=1.5894458818809e+000μ25=2.0653537061042e+000 λ25=2.0603304602743e+000μ26=2.5759723989490e+000 λ26=2.5580755970728e+000μ27=3.0865910917939e+000 λ27=3.0802405093071e+000μ28=3.5972097846388e+000 λ28=3.6136208676923e+000μ29=4.1078284774837e+000 λ29=4.0913785104506e+000μ30=4.6184471703285e+000 λ30=4.6030353782791e+000μ31=5.1290658631734e+000 λ31=5.1329242838984e+000μ32=5.6396845560183e+000 λ32=5.5949063480833e+000μ33=6.1503032488632e+000 λ33=6.0809338570269e+000μ34=6.6609219417080e+000 λ34=6.6803540921116e+000μ35=7.1715406345529e+000 λ35=7.2938774481266e+000μ36=7.6821593273978e+000 λ36=7.7171117142356e+000μ37=8.1927780202427e+000 λ37=8.2252200140502e+000μ38=8.7033967130876e+000 λ38=8.6486660651935e+000μ39=9.2140154059324e+000 λ39=9.2542003445750e+000（3）计算A 的条件数cond(A)和行列式detAA 的条件数cond(A)=1.9252042739022e+003A 的行列式detA=2.7727861417521e+118四、结果分析设A 的n 个线性无关的特征向量为1x ，2x ,…,n x ，其相对应的特征值满足的关系为n λλλλ≥≥≥> 321。
北航数值分析B自测题1-3章
D.2
10.若f (x)在区间[a, b]内单调有限，二分k 次后区间记为[ak , bk ],且每次 取xk+1 = ak 近似代替精确解x∗ ,则最小的绝对误差限为（ ） A.|xk+1 − x∗ | ≤ C.|xk+1 − x∗ | ≤ 二、 填空题 1.设π 的近似数π ∗ 有4位有效数字，则其相对误差限为 √ 2. x∗ 的相对误差约是x∗ 的相对误差的 倍。
(2)a=6,b=2; (3)a=2,b=3; (4)a=-1,b=2.
3.设矩阵A ∈ Rn∗n , Q ∈ Rn∗n ,且QT Q=E，则下列关系式不成立的是（ ） (1) A
2
= AQ ; (2) QA
2 F
= A
F
; (3) Qx
2
= x , 其中x ∈ Rn ;
2
(4)cond∞ ( ) = cond∞ ( Q).
8
3 −1 4 1 4.设矩阵A=−1 2 −2 ，x=−1 ，则 Ax 2 −3 −2 1 （ ） (1)8,8; (2)8,7; (3)8,6; (4)7,7.
A. 7 3
B.− 7 3
7 C. 6
D.− 7 6
8.追赶法适用于求解（ ）线性方程组. A.上三角 B.下三角 C.对角 D.三对角 二.填空 题：
2 1 0 1.设A=1 2 a，为使A 可分解为A=LLT ，其中L是 对角元素为正的下 0 a 2 三角矩阵 范围是 ，则a的取值 .
1 (s∗ ) s∗
≈
27 110×80
= 0.31% = max 1 ≤ j ≤ n{1, 2, 4} = 4;
北航研究生数值分析作业第二题
北航研究生数值分析作业第二题北航研究生数值分析作业第二题：一、算法设计方案1.按照题目给出的矩阵定义对矩阵A赋初值：对应的函数为a_init()；2.对矩阵A进行householder变换，使其拟上三角化：对应的函数为householder()；3.输出拟上三角化后的A：对应的函数为aout(int)；4.对拟上三角化后的矩阵A使用带双步位移的QR分解法逐次迭代（最大迭代次数L=500），逐个求出其特征值，对应的函数为eigen_a()；中间包含两个子程序：calc_mk()和qr_analyze()，分别用来计算矩阵M k和对M k进行QR 分解并得到A k+1;5.输出QR分解过程完毕后的A及求得的特征向量：对应的函数为aout()和eigenvalout()；6.对于在第三步中求得的每个实特征值，使用带原点平移的反幂法求出其对应的特征向量，对应的函数为eigenvec()；其中包含一个解方程(A-μI)=y k-1的程序段。
这部分也用迭代完成，仍然将最大迭代次数L设置为500；7.输出矩阵A的特征向量，结束计算：对应的函数为eigenvecout()。
算法编译环境：vlsual c++6.0二、源程序如下：#include#include#define N 10 //矩阵阶数；#define EPSL 1.0e-12 //迭代的精度水平；#define L 500 //迭代最大次数；#define OUTPUTMODE 1 //输出格式：0--输出至屏幕，1--输出至文件double a[N][N], a2[N][N], eigen[N][N]; //声明矩阵A；double sa_re[N] = {0}, sa_im[N] = {0}; //声明矩阵的特征值数组；double u_init[N] = {2,1,2,1,2,1,2,1,2,1}; //定义反幂法中使用的初始向量u；//主程序开始；int main(){FILE *p;void a_init();void householder();void equal_zero(double matrix[N][N], int);void eigenvec();int eigen_a();void aout(int);void eigenvalout(int);void eigenvecout(int);if(OUTPUTMODE){p = fopen("Result.txt", "w+");fprintf(p, "计算结果：\n");fclose(p);}a_init(); //对矩阵A进行初始化；householder(); //对矩阵A进行拟上三角化；equal_zero(a, N); //对矩阵A的元素进行归零处理，消除误差；aout(OUTPUTMODE); //输出A；if(eigen_a()) printf("迭代超过最大次数，特征值求解结果可能不正确。
北航硕士研究生数值分析大作业一
数值分析—计算实习作业一学院：17系专业：精密仪器及机械姓名：张大军学号：DY14171142014-11-11数值分析计算实现第一题报告一、算法方案算法方案如图1所示。
（此算法设计实现完全由本人独立完成）图1算法方案流程图二、全部源程序全部源程序如下所示#include <iostream.h>#include <iomanip.h>#include <math.h>int main(){double a[501];double vv[5][501];double d=0;double r[3];double uu;int i,k;double mifayunsuan(double *a,double weiyi);double fanmifayunsuan(double *a,double weiyi);void yasuo(double *A,double (*C)[501]);void LUfenjie(double (*C)[501]);//赋值语句for(i=1;i<=501;i++){a[i-1]=(1.64-0.024*i)*sin(0.2*i)-0.64*exp(0.1/i);}//程序一：使用幂方法求绝对值最大的特征值r[0]=mifayunsuan(a,d);//程序二：使用幂方法求求平移λ[0]后绝对值最大的λ，得到原矩阵中与最大特征值相距最远的特征值d=r[0];r[1]=mifayunsuan(a,d);//比较λ与λ-λ[0]的大小，由已知得if(r[0]>r[1]){d=r[0];r[0]=r[1];r[1]=d;}//程序三：使用反幂法求λr[2]=fanmifayunsuan(a,0);cout<<setiosflags(ios::right);cout<<"λ["<<1<<"]="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<r[0]<<endl;cout<<"λ["<<501<<"]="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<r[1]<<endl;cout<<"λ[s]="<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<r[2]<<endl;//程序四：求A的与数u最接近的特征值for(k=1;k<40;k++){uu=r[0]+k*(r[1]-r[0])/40;cout<<"最接近u["<<k<<"]"<<"的特征值为"<<setiosflags(ios::scientific)<<setprecision(12)<<fanmifayunsuan(a,uu)<<endl;}//程序五：谱范数的条件数是绝对值最大的特征值除以绝对值最小的特征值的绝对值cout<<"cond(A)2="<<fabs(r[0]/r[2])<<endl;//程序六：A的行列式的值就是A分解成LU之U的对角线的乘积yasuo(a,vv);LUfenjie(vv);uu=1;for(i=0;i<501;i++){uu=uu*vv[2][i];}cout<<"Det(A)="<<uu<<endl;return 1;}double mifayunsuan(double *a,double weiyi){int i,k;double b=0.16;double c=-0.064;double ee,w,v1,v2,mm,sum;double u[501];double y[505]={0};for(i=0;i<501;i++)u[i]=1;//给u赋初值if (weiyi!=0){for (i=0;i<501;i++)a[i]-=weiyi;}ee=1;k=0;//使得初始计算时进入循环语句while(ee>1e-12){mm=0;for(i=0;i<501;i++){mm=mm+u[i]*u[i];}w=sqrt(mm);for(i=0;i<501;i++){y[i+2]=u[i]/w;//注意此处编程与书上不同，之后会解释它的巧妙之处1 }for(i=0;i<501;i++){u[i]=c*y[i]+b*y[i+1]+a[i]*y[i+2]+b*y[i+3]+c*y[i+4];//1显然巧妙之处凸显出来}sum=0;for(i=0;i<501;i++){sum+=y[i+2]*u[i];}v1=v2;v2=sum;//去除特殊情况，减少漏洞if(k==0){k++;}else{ee=fabs(v2-v1)/fabs(v2);}}if (weiyi!=0){for (i=0;i<501;i++)a[i]+=weiyi;}//还原A矩阵return (v2+weiyi);}double fanmifayunsuan(double *a,double weiyi){int i,k;double b=0.16;double c=-0.064;double ee,w,v1,v2,mm,sum;double u[501];double y[501];double C[5][501];void yasuo(double *A,double (*C)[501]);void LUfenjie(double (*C)[501]);void qiuU(double (*C)[501],double *y,double *u);//把A阵压缩到C阵中for(i=0;i<501;i++)u[i]=1;//给u赋初值if (weiyi!=0){for (i=0;i<501;i++)a[i]-=weiyi;}yasuo(a,C);LUfenjie(C);ee=1;k=0; //使得初始计算时进入循环语句while(ee>1e-12){mm=0;for(i=0;i<501;i++){mm=mm+u[i]*u[i];}w=sqrt(mm);for(i=0;i<501;i++){y[i]=u[i]/w;}qiuU(C,y,u);sum=0;for(i=0;i<501;i++){sum+=y[i]*u[i];}v1=v2;v2=sum;//去除特殊情况，减少漏洞if(k==0){k++;}else{ee=fabs(1/v2-1/v1)/fabs(1/v2);}}if (weiyi!=0){for (i=0;i<501;i++)a[i]+=weiyi;}//还原A矩阵return (1/v2+weiyi);}void yasuo(double *A,double (*C)[501]){double b=0.16;double c=-0.064;int i;for(i=0;i<501;i++){C[0][i]=c;C[1][i]=b;C[2][i]=A[i];C[3][i]=b;C[4][i]=c;}}void LUfenjie(double (*C)[501]){int k,t,j;int r=2,s=2;double sum;int minn(int ,int );int maxx(int ,int );for(k=0;k<501;k++){for(j=k;j<=minn(k+s,501-1);j++){if(k==0)sum=0;else{sum=0;for(t=maxx(k-r,j-s);t<k;t++){sum=sum+C[k-t+s][t]*C[t-j+s][j];}}C[k-j+s][j]=C[k-j+s][j]-sum;}for(j=k+1;j<=minn(k+r,501-1);j++){if(k<501-1){if(k==0)sum=0;else{sum=0;for(t=maxx(j-r,k-s);t<k;t++){sum=sum+C[j-t+s][t]*C[t-k+s][k];}}C[j-k+s][k]=(C[j-k+s][k]-sum)/C[s][k];}}}}void qiuU(double (*C)[501],double *y,double *u){int i,t;double b[501];double sum;int r=2,s=2;int minn(int ,int );int maxx(int ,int );for(i=0;i<501;i++){b[i]=y[i];}for(i=1;i<501;i++){sum=0;for(t=maxx(0,i-r);t<i;t++){sum=sum+C[i-t+s][t]*b[t];}b[i]=b[i]-sum;}u[500]=b[500]/C[s][500];for(i=501-2;i>=0;i--){sum=0;for(t=i+1;t<=minn(i+s,500);t++){sum=sum+C[i-t+s][t]*u[t];}u[i]=(b[i]-sum)/C[s][i];}}int minn(int x,int y){int min;if(x>y)min=y;elsemin=x;return min;}int maxx(int b,int c){int max;if(b>c){if(b>0)max=b;elsemax=0;}else{if(c>0)max=c;elsemax=0;}return max;}三、特征值以及的值λ[1]=-1.070011361502e+001 λ[501]=9.724634098777e+000λ[s]=-5.557910794230e-003最接近u[1]的特征值为-1.018293403315e+001最接近u[2]的特征值为-9.585707425068e+000最接近u[3]的特征值为-9.172672423928e+000最接近u[4]的特征值为-8.652284007898e+000最接近u[5]的特征值为-8.0934********e+000最接近u[6]的特征值为-7.659405407692e+000最接近u[7]的特征值为-7.119684648691e+000最接近u[8]的特征值为-6.611764339397e+000最接近u[9]的特征值为-6.0661********e+000最接近u[10]的特征值为-5.585101052628e+000最接近u[11]的特征值为-5.114083529812e+000最接近u[12]的特征值为-4.578872176865e+000最接近u[13]的特征值为-4.096470926260e+000最接近u[14]的特征值为-3.554211215751e+000最接近u[15]的特征值为-3.0410********e+000最接近u[16]的特征值为-2.533970311130e+000最接近u[17]的特征值为-2.003230769563e+000最接近u[18]的特征值为-1.503557611227e+000最接近u[19]的特征值为-9.935586060075e-001最接近u[20]的特征值为-4.870426738850e-001最接近u[21]的特征值为2.231736249575e-002最接近u[22]的特征值为5.324174742069e-001最接近u[23]的特征值为1.052898962693e+000最接近u[24]的特征值为1.589445881881e+000最接近u[25]的特征值为2.060330460274e+000最接近u[26]的特征值为2.558075597073e+000最接近u[27]的特征值为3.080240509307e+000最接近u[28]的特征值为3.613620867692e+000最接近u[29]的特征值为4.0913********e+000最接近u[30]的特征值为4.603035378279e+000最接近u[31]的特征值为5.132924283898e+000最接近u[32]的特征值为5.594906348083e+000最接近u[33]的特征值为6.080933857027e+000最接近u[34]的特征值为6.680354092112e+000最接近u[35]的特征值为7.293877448127e+000最接近u[36]的特征值为7.717111714236e+000最接近u[37]的特征值为8.225220014050e+000最接近u[38]的特征值为8.648666065193e+000最接近u[39]的特征值为9.254200344575e+000cond(A)2=1.925204273902e+003 Det(A)=2.772786141752e+118四、现象讨论在大作业的程序设计过程当中，初始向量的赋值我顺其自然的设为第一个分量为1，其它分量为0的向量，计算结果与参考答案存在很大差别，计算结果对比如下图2所示（左侧为正确结果，右侧为错误结果），导致了我花了很多的时间去检查程序算法。
北航电路期末测试卷
电路分析试题（共 4 页 ）考试科目：电路分析院 系：电子信息工程学院请考生注意．．．．．：答题一律（包括填空题和选择题）答在答题纸或答题册上，答在试题上按零分计。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 一、 填空题：只写答案，不写过程。
（每空4分，共56分）1. 图1-1所示电路中，1A 电流源发出的功率 。
2. 图1-2所示电路中，电压源的电流i 为 A ，电流源的电压u 为 V 。
3. 在图1-3所示对称三相电路中，电流表读数均为1A （有效值），若因故发生A 相短路（即开关闭合）则电流表A 1的读数为 ，A 2的读数为 。
4. 图1-4所示电路处于谐振状态，已知I s =1A ，U 1=50V ，则电阻R 2 = Ω,电感电压U L = V 。
5. 图1-5所示电路在开关闭合前已处于稳态，t =0时闭合开关，则开关闭合后电容电压的初值u C (0+)= ，电感电流的初值i L (0+) = 。
10V +_3Ω2Ω 3Ω 5Ω1A图1-1 5sin2t V+_i2e -2t A0.1H 0.2F5Ω图1-2I sU 1 100Ω R 2U L-j100Ωj100Ω 图1-4+_u A 1 A 2ZZZ图1-3 A B C6. 图1-6所示含理想运算放大器的电路中，电流I = 。
7. 图1-7所示电路a 、b 端口的输入阻抗为 。
8. 图1-8所示零状态电路的冲激响应V e t u t C 210)(-=，则R 为 ，U s 为 。
9. 已知某动态电路的网络函数242042454)(22++++=s s s s s H ，该电路的冲激响应为 。
二、 简算题：要求写出计算过程（每小题7分，共56分）1. 某网络的基本割集矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01-00111-1-1- 100010001Q若已知连支电流[][]TT i i i 546654=A ，求树支电流i 1、i 2和i 3。
1-3数列的极限 北京航空航天大学高等数学期末模考复习
即有 a 1 xn a 1. 记 M max{ x1 ,, xN , a 1, a 1},
则对一切自然数n,皆有 xn M , 故xn有界.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
推论 无界数列必定发散.
例4 证明数列xn (1)n1是发散的.
证
设
lim
n
xn
a,
由定义, 对于 1 , 2
则N , 即当n
使得当 N时,
n N时, xn (a
有 1, 2
x a
n a 1),
2
1 成立, 2
区间长度为1.
而x
无休止地反复取
n
1,
1两个数
,
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上,{ xn }是有界的, 但却发散.
3. 数列及其子数列的极限关系
设{an } 是一个数列. 正整数列 n1, n2 , n3 , 满足 n1 n2 n3 , 则称数列 {an1 , an2 , an3 ,} 是数列
n
xn 0.
lim
n
xn
a.
定理 1.3.5 (极限的四则运算) 设 {an },{bn } 是收敛
数列, 则 {an bn },{anbn } 也都是收敛数列,且
(1)
lim(
n
an
bn )
lim
n
an
lim
n
bn;
(2)
lnim(anbn )
(lim n
an
).(lim n
bn );
如果
hn2 ,
由此得 0 hn
2 , 即 0 n n 1
n1
2 n1
(n 1).
北航研究生数值分析期末模拟历年考试
北航研究⽣数值分析期末模拟历年考试数值分析模拟试卷1⼀、填空（共30分，每空3分） 1 设-=1511A ，则A 地谱半径=)(a ρ______，A 地条件数)(1A cond =________. 2设,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点地三次样条函数，则b=________,c=________.4设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ地最⾼项系数为1地正交多项式族，其中1)(0=x q ，则=1)(dx x xq k________，=)(2x q ________.5设=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三⾓阵，当其对⾓线元素)3,2,1(=i L ii 满⾜条件________时，这种分解是唯⼀地.⼆、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上地三次Hermite 插值多项式)(x H 使满⾜2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=地表达式.三、（14分）设有解⽅程0cos 2312=+-x x 地迭代公式为n n x x cos 3241+=+，（1）证明R x ∈?0均有?∞→=x x n x lim （?x 为⽅程地根）；（2）取40=x ，⽤此迭代法求⽅程根地近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代地收敛阶是多少？证明你地结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能⾼地代数精度. 试问所得地数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型地？五、（15分）设有常微分⽅程地初值问题??=='00)(),(y x y y x f y ，试⽤Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα地⽅法，使其具有⼆阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分）已知⽅程组b Ax ＝，其中==21,13.021b A ，（1）试讨论⽤Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此⽅程组地收敛性.（2）若有迭代公式)()()()1(b Ax a x x k k k ++=+，试确定⼀个地取值范围，在这个范围内任取⼀个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分）⽅程组，其中，A 是对称地且⾮奇异.设A 有误差，则原⽅程组变化为，其中为解地误差向量，试证明.其中1λ和2λ分别为A 地按模最⼤和最⼩地特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；设)(x f 可微，求⽅程)(x f x =根地⽜顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；⽤⼆分法求⽅程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内地根，进⾏⼀步后根所在区间为_________，进⾏⼆步后根所在区间为_________________；求解线性⽅程组=+=+04511532121x x x x 地⾼斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵地谱半径=)(G ρ_______________；为使两点数值求积公式：-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最⾼地代数精确度，其求积节点应为=0x _____ ,=1x _____,==10ωω__________.8. 求积公式)]2()1([23)(3f f dx x f +≈?是否是插值型地__________，其代数精度为___________.⼆、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三⾓阵，U 为单位上三⾓阵.已知------=2100121001210012A ，求L，U . (2)设A 为66?矩阵，将A 进⾏三⾓分解：LU A =，L 为单位下三⾓阵，U 为上三⾓阵，试写出L 中地元素65l 和U 中地元素56u 地计算公式.三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定⼀个次数不超过3地多项式)(x H ，满⾜3)1()1(,1)2()2(,1)1()1(,0)0()0(='='======f H f H f H f H ，并写出插值余项. （12分）线性⽅程组=+=-22112122b x x b x x ρρ（1）请写出解此⽅程组地赛德尔迭代法地迭代格式，并讨论收敛性. （2）设2=ρ，给定松弛因⼦21=ω，请写出解此⽅程组地SOR ⽅法地迭代格式，并讨论收敛性.五、（7分）改写⽅程042=-+x x为2ln /)4ln(x x -=地形式，问能否⽤迭代法求所给⽅程在[1,2]内地实根？六、（7分）证明解⽅程0)(23=-a x 求3a 地⽜顿迭代法仅为线性收敛. 七、（12分）已知.43,21,41210===x x x （1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上地插值型求积公式；（2）指明求积公式具有地代数精度；（3）⽤所求公式计算12dx x.⼋、（8分）若i n x x x x x x x x f ),())(()(10---= 互异，求],,,[10p x x x f 地值，这⾥.1+≤n p数值分析模拟试卷3⼀、填空题（每空3分，共30分）1．设1234)(248+++=x x x x f ，则差商=]2,,2,2[810 f ； 2．在⽤松弛法(SOR)解线性⽅程组b Ax =时，若松弛因⼦ω满⾜1|1|≥-ω，则迭代法；3．设,0)(,0)(**≠'=x f x f 要使求*x 地Newton 迭代法⾄少三阶收敛，)(x f 需要满⾜；4. 设)133)(2()(23-+-+=x x x x x f ,⽤Newton 迭代法求21-=x 具有⼆阶收敛地迭代格式为________________ ；求12=x 具有⼆阶收敛地迭代格式为___________________；5．已知?--=1327A ，则=)(A ρ__________,=∞)(A Cond ______ 6. 若1>>x ，改变计算式1lg lg 2--x x =___________________，使计算结果更为精确； 7．过节点())3,2,1,0(,3=i x x i i 地插值多项式为_____________ ； 8. 利⽤抛物(Simpson)公式求212dx x =.⼆、（14分）已知⽅阵=123111122A ，(1) 证明： A 不能被分解成⼀个单位下三⾓阵L 和⼀个上三⾓阵U 地乘积；(2) 给出A 地选主元地Doolittle 分解，并求出排列阵；(3) ⽤上述分解求解⽅程组b Ax =，其中Tb )4,2,5.3(=.三、（12分）设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定⼀个次数不超过3地多项式)(x H ，满⾜40)1()1(,10)1()1(,1)1()1(,0)0()0(=''=''='='-====f H f H f H f H ，并写出插值余项.四、（10分）证明对任意地初值0x ，迭代格式n n x x cos 1=+均收敛于⽅程x x cos =地根，且具有线性收敛速度.五、（12分）在区间[-1,1]上给定函数14)(3+=x x f ，求其在},,1{2x x Span =φ中关于权函数1)(=x ρ地最佳平⽅逼近多项式.（可⽤数据：2123)(,)(,1)(2210-===x x p x x p x p ）六、(12分)(1)试导出切⽐雪夫(Chebyshev)正交多项式])1,1[,,2,1,0)(arccos cos()(-∈==x n x n x T n 地三项递推关系式：=-===-+),2,1()()(2)(,)(,1)(1110 n x T x xT x T x x T x T n n n （2）⽤⾼斯—切⽐雪夫求积公式计算积分dx x x x I ? --=22)2(1，问当节点数n 取何值时，能得到积分地精确值？并计算它.七、（10分）验证对?-+-+=++==++=?+))1(,)1((),(),()(2,13121311hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y t n n n n n n n n 为2阶格式.参考答案1 ⼀、1．6)(=a ρ，)(1A cond =6.2．],,[21++n n n x x x f =3，],,[321+++n n n n x x x x f ，=0. 3．b =－2，c=3.4．??≠=0,00,21k k ；10356)(22+-=x x x q .5．)3,2,1(0);21,21(=>-∈i l a ii⼆、(1) 25145023345026322514)(23-++-=x x x x H (2) ).49,41(),49()1)(41(169!41)(225∈---=-ξξx x x x R三、（1）32=L ;（2）347.3≈?x ;（3）线性收敛. 四、512,916,910-====αB C A ;求积公式具有5次代数精度，是Gauss 型地. 五、41472110＝－，＝，＝ββα；截断误差主项为)(833n x y h '''. 六、（1）,16.0)(,6.0)(<==G S J B B ρρ因此两种迭代法均收敛.（2）当06.011>>+a 时，该迭代公式收敛.参考答案2 ⼀、1．22．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n3．1, 0 4．7,725 5．)43,21(),1,21( 6. 121,2013531)1(1)1(2)(2)1(1??-=-=+++k k k k x x x x 7. 32,3210=-=x x ; 18. 是, 1⼆、(1)---=---=100431000321000211,4510003410002310002U L (2))(;)(4654356532652165155565545643563256215616565u l u l u l u l a u u u l u l u l u l a l +++-=+++-=三、)2()1(!4)()(),2)(1(2)(2)4(--=---=x x x f x R x x x x x H ξ四、(1) ??-=+=+++)1(12)1(2)(21)1(12k k k k x b x x b x ρρ, 1<ρ时收敛(2) ??-+=++=+++)1(1)(22)1(2)(2)(11)1(1214212k k k k k k x x b x x x b x , 收敛五、收敛七、（1）)43(32)21(31)41(32f f f +- （2）2 (3)31 ⼋、110时为时为+=≤n ，p n p参考答案3 ⼀、1．42．发散3．0)(*=''x f4．),1,0()()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n ,),1,0()()(31 ='-=+n x f x f x x n n n n5．2608+, 49 6.1lg2-x x7. 3x 8.37 ⼆、(2) 先交换2、3两⾏，交换1、2两⾏，===010001100,5.0003333.06667.00123,15.03333.0016667.0001P U L(3) )5.4,1,5.1('-三、3)4(2)1(!4)()(,)1(9)1(11)(-=-+-+-=x x f x R x x x x x x H ξ五、10512p p +六、1=n ，2π版权申明本⽂部分内容，包括⽂字、图⽚、以及设计等在⽹上搜集整理.版权为个⼈所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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第一学期期末复习4 北京航空航天大学高等数学期末模考复习
向量 1. 定义及表示；
2. 计算 向量的模； 向量加减、数乘、向量积、数量积；
向量夹角，方向余弦；平行两来自量的条件；垂直
三向量共面的条件；
例：期末模拟题1 二5；期末模拟题2 一5；期末 模拟题3一5；2008一5
空间解析几何 直线夹角公式；
1. 空间直线方程； 直线位置判断；平面与直线
平面夹角公式；夹角和位置关系； 2. 空间平面方程；
平面位置判断；
点到平面距离；
3. 空间曲线方程； 平面束；解题时需要验证平面
束所排除的平面是否也
4. 空间曲面方程；
符合题目条件.
旋转曲面方程求解的两个不变性： 点到旋转轴距离不变；和旋转轴垂直方向的坐标值不变；
例：2008 七；模拟7一5，七；模拟5一5，二5，六； 期末模拟题4 二5，七；期末模拟题1 一5
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七、（8 分） 方程组 程组变化为
，其中
.
其中 1 和 2 分别为 A 的按模最大和最小的特征值.
数值分析模拟试卷 2
1 0.3
2 1
y0
,
b
，试用 Taylor 展开原理构造形如
1 2
，
，A 是对称的且非奇异.设 A 有误差 ，则原方
，其中 为解的误差向量，试证明
误差主项.
六、（15 分）
已知方程组
Ax＝b
，其中
A
（1） 试讨论用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性.
（2） 若有迭代公式 x (k1) x (k) a( Ax (k) b) ，试确定一个 的取值范围，在这个范围
内任取一个 值均能使该迭代公式收敛.
f [xn , xn1 , xn2，xn3 ] ＝________.
设
S(x)
x3 x 2 ,0 2x3 bx 2
x 1 cx 1,1
x
2
b=________,c=________.
4 设[qk (x)]k0 是区间［0，1］上权函数为 (x) x 的最高项系数为 1 的正交多项式族，
3. 对 f (x) x3 x 1，差商
4.
f [0,1,2,3] _________________； f [0,1,2,3,4] ________；
三、（14
（1）
分）设有解方程12
证明 x0
R
均有
lim
x
3x
x
n
（2） 取 x0 4 ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过
（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、(16 分) 试确定常数 A，B，C 和 ，使得数值积分公式
2 cos
1, x2
x
，是以
9 4
,
0 的迭代公式为
二、（14
分）设
f
(x)
3
x 2 , x0
1 4 , x1
（1）试求 f (x) 在[ 1 , 9 ] 上的三次 Hermite 插值多项式 H (x) 使满足 44
H (xi ) f (xi ),i 0,1,2 ， H (x1 ) f (x1 ) .
（2）写出余项 R(x) f (x) H (x) 的表达式.
填空题（每空 2 分，共 30 分）
1. 近似数 x 0.231关于真值 x 0.229 有____________位有效数字；
2. 设 f (x) 可微，求方程 x f (x) 根的牛顿迭代格式是
_______________________________________________；
一、填空（共 30 分，每空 3 分）
1
2
3
设
AБайду номын сангаас
1 5
数值分析模拟试卷 1
11 ，则 A 的谱半径 (a) ______，A 的条件数 cond1 ( A) =________.
设 f (x) 3x 2 5, xk kh, k 0,1,2, ，则 f [xn , xn1, xn2 ] ＝________,
0，1，2
xn1
为节点的三次样条函数，则
，其中 L 为下三角阵，
4
2 3
cos
xn
，列出各次迭代值；
，
五、（15 分）
设有常微分方程的初值问题 y(x0 )
y f (x, y)
yn1 ( yn yn1 ) h( 0 f n 1 f n1 ) 的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断
x （ x 为方程的根）；
有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 Gauss 型的？
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
1
其中 q0 (x) 1，则 0 xqk (x)dx ________， q2 (x) ________.
1 0 a 5 设 A 0 1 a ，当 a ________时，必有分解式
a a 1
当其对角线元素 Lii (i 1,2,3) 满足条件________时，这种分解是唯一的.