极坐标与参数方程练习
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．解解（1）∵P点的极坐标为，答：∴=3，=．∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0设，则线段PQ的中点．那么点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解答：解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．9．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．解答：解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．10．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．解答：解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos （）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．13．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB的长度．16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．17．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．。
极坐标与参数方程-习题及答案
金材教育 极坐标与参数方程未命名1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα （α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2.（1（写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程（（2）直线y =x 与C 1交于异于原点的A ,与C 2交于点B ，求线段AB 的长. 【答案】(1)x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4. (2)|AB |=√2.【解析】分析：（1）利用sin 2α+cos 2α=1，将曲线C 1的参数方程化为普通方程，由{x =ρcosθy =ρsinθ 求出C 2的直角坐标方程；（2）由直线的参数方程的意义，求出线段AB 的长。
详解：（1）C 1:{x =cosαy =1+sinα (α为参数）的普通方程是x 2+(y −1)2=1.∵ρsin (θ+π4)=2√2，整理得√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，∴C 2的直角坐标方程为x +y =4； 故C 1:x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4.（2）直线y =x 的极坐标方程为θ=π4，C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ， ∴点A (√2,π4),B (2√2,π4)，即ρA =√2,ρB =2√2， 于是|AB |=ρB −ρA =√2.点睛：本题主要考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法等，属于基础题。
考查了推理论证能力，运算求解能力。
2．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，曲线与曲线交于，求的值．【答案】（1）；（2）85。
【解析】试题分析：（1）根据曲线的参数方程，两式相加消去参数，即可得到普通方程；由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，可化为直角坐标方程；（2）将，代入直角坐标方程，整理后，利用=t1t2即可求解．试题解析：（1）两式相加消去参数t可得曲线的普通方程，由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，整理可得曲线的直角坐标方程．（2）将代人直角坐标方程得利用韦达定理可得，所以|MA||MB|=考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．3．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：{x=√55ty=9+2√55t（t为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,9)，求1|PA |+1|PB |. 【答案】(1)x 2+(y −4)2=16；2x −y +9=0. (2)4√59. 【解析】分析：（1）消元法解出直线C 1的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆C 2的直角坐标方程（2）将直线C 1的参数方程为代入圆C 2的直角坐标方程并化简整理关于t 的一元二次方程。
极坐标与参数方程
极坐标与参数方程练习题一、选择题1、经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是 A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211 B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211 C. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=t y t x 235211 D. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 2、参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t为参数)所表示的曲线是 ( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线3、 已知动圆：),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x≠=--+，则圆心的轨迹是A 、直线B 、圆C 、抛物线的一部分D 、椭圆C ．5D ．65．极坐标方程⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆6、．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π7、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为 A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形8、)0(4≤=ρπθ表示的图形是A ．一条射线B ．一条直线C ．一条线段D ．圆9、．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ． 23B ．23-C ．32D ．32- 10、将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤D ．2(01)y x y =+≤≤11、化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或x D ．1y = 12、直线2()1x t t y t =-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）A． B ．1404 C． D．二．填空13、直线3()14x at t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________。
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]极坐标与参数方程高考精练（经典39题）1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。
（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。
极坐标与参数方程大题及答案
极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。
首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。
首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。
使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。
极坐标与参数方程单元练习(六套)
极坐标与参数方程单元练习1一、选择题（每小题5分，共25分）1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。
A. 53，-⎛⎝⎫⎭⎪πB. 543，π⎛⎝⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫⎝⎛-355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ）4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27 B 、29 C 、4 D 、3二、填空题（每小题5分，共30分）1、点()22-，的极坐标为 。
2、若A 33，π⎛⎝⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。
（其中O 是极点）3、极点到直线()cos sin ρθθ+=________ _____。
4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。
5、圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM的长为 。
三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C 36，π⎛⎝⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
极坐标与参数方程例题
极坐标与参数方程例题例题1：求曲线r=2sinθ的极坐标方程对应的参数方程。
解答：我们可以将极坐标方程r=2sinθ转化为参数方程。
首先，我们需要找到x和y与r和θ之间的关系。
根据定义，我们有x=r*cosθ，y=r*sinθ。
将r=2sinθ代入上述公式中，可以得到x=2sinθ*cosθ，y=2sinθ*sinθ。
因此，曲线r=2sinθ对应的参数方程为x=2sinθ*cosθ，y=2sinθ*sinθ。
例题2：求曲线x=2cosθ，y=3sinθ的参数方程对应的极坐标方程。
解答：要将参数方程x=2cosθ，y=3sinθ转化为极坐标方程，我们需要找到r和θ与x和y之间的关系。
通过平方求和公式，我们有cos²θ+sin²θ=1将x=2cosθ，y=3sinθ代入上述公式中，我们可以得到(2cosθ)²+(3sinθ)²=1化简得到4cos²θ+9sin²θ=1因此，曲线x=2cosθ，y=3sinθ对应的极坐标方程为4cos²θ+9sin²θ=1例题3：已知曲线的参数方程为x=t+1，y=2t-2，求其对应的极坐标方程。
解答：我们需要找到r和θ与x和y之间的关系。
根据定义，我们有x=r*cosθ，y=r*sinθ。
将参数方程x=t+1，y=2t-2代入上述公式中，我们可以得到t+1=r*cosθ，2t-2=r*sinθ。
进一步化简可得r²=t²+2t+1+4t²-8t+4化简得5t²-6t+5=r²。
因此，参数方程x=t+1，y=2t-2对应的极坐标方程为5t²-6t+5=r²。
通过以上例题，我们可以看出极坐标与参数方程之间的转换可以通过代入关系来进行。
在已知形式的方程中，我们可以根据已知的方程形式求解出另一种形式的方程。
这种转换在解决特定问题或者在研究特定曲线时非常有用。
极坐标参数方程练习
极坐标与参数方程课内练习【历年高考真题】1.（2011年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点，且与直线423x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行的直线的普通方程．2.（2010年江苏）在极坐标系中，圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值.3.（2009年江苏）已知曲线C 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=)1(31t t y t t x （t 为参数，0>t ），求曲线C 的普通方程.4.（2008年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．【历年各地模拟卷】5.求圆心为36C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为3的圆的极坐标方程.6.若两条曲线的极坐标方程分别为ρ =l 与ρ =2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．7.已知圆C ：2cos ρθ=，直线l ：cos sin 4ρθρθ-=，求过圆心C 且与直线l 垂直的直线的极坐标方程。
8.在极坐标系中，已知点P 为圆22sin 70ρρθ+-=上任一点.求点P 到直线cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最小值与最大值.9.已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D的极坐标方程为sin()4πρθ+= （1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；（2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．10.已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2222（t 是参数）．若l与C 相交于AB 两点，且14=AB（1）求圆的普通方程，并求出圆心与半径；（2）求实数m 的值．。
极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)
专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=． （1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。
极坐标与参数方程练习(精)
x 2 cos 7、在直角坐标系中圆 C 的参数方程为 பைடு நூலகம் 为参数） ，则圆 C 的普 y 2 2 sin
通方程为__________，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则 圆 C 的圆心极坐标为_________．
．
x a cos , 11、直线 3x 2 y a(a 0) 与曲线 （ 为参数， ） y a sin
的交点个数为 .
.
。
4、曲线 2 2 上有 n 个点到曲线 cos( ) 2 的距离 4
为 2 ，则 n ________________
x 2 cos 5、参数方程 ( 是参数)表示的曲线的普通方程是____________. y 2 cos2 x cos 6、若直线 y x b与曲线 (为参数, 且 ) 有两个不同的 2 2 y sin
1、把所给的极坐标方程 4 cos sin 化成直角坐标方程为
．
2、极坐标方程 2 2 sin( ) 所表示的曲线的直角坐标方程是 4
x m cos 3、若直线 x+y=m 与圆 (φ 为参数,m>0)相切，则 m 为 y m sin
8、在极坐标系中，点 1,0 到直线 cos sin 2 的距离为
．
9、极坐标系中，点 P (2 , ) 到直线： l : sin( ) 1 的距离是 6 6
10、在极坐标系中，以ρ cosθ +1=0 为准线， （1，0）为焦点的抛物线的 极坐标方程为_______________．
极坐标与参数方程高考题专题练习
1.在平面直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,以分别为与轴,轴的交点(1)写出的直角坐标方程，并求出的极坐标.(2)设的中点为,求直线的极坐标方程.2.已知曲线:（为参数）,:的参数方程（为参数）(1)化,的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线.(2)若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线:（为参数）距离的最小值.3.已知曲线:（为参数）,:的参数方程（为参数）(1)指出,是什么曲线,并说明与的公共点的个数.(2)若把,上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线,，写出,参数方程，与公共点的个数和与公共点个数是否相同，说明理由.4.在在平面直角坐标系中,点是椭圆上的一个动点，求的最大值.5.已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段长度.6.已知圆的参数方程为，若是圆与轴正半轴的交点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系,试求过点的圆的切线的极坐标方程.7.在极坐标系中,已知圆的圆心坐标为,半径,求圆的极坐标方程.8.在平面直角坐标系中,动圆,的圆心为,求的取值范围.9.已知圆锥曲线:（为参数）,点、分别是圆锥曲线的左、右焦点，点为圆锥曲线上的上顶点，求经过点且垂直于直线的直线的方程.10.求圆被直线（为参数）截得的弦长.11.已知直线的参数方程（为参数）,是椭圆上的任意一点,求点到直线距离的最大值.12.已知圆,直线,求过点且与直线垂直的直线的极坐标方程。
13.已知直线的参数方程为（为参数），曲线参数方程（为参数）（1）将曲线的参数方程化为普通方程.（2）若直线与曲线相交于点，两点，试求线段的长.14.已知在一个极坐标系中，定点，动点对极点和点的张角，在的延长线上取一点，使，当在极轴上方运动时，求点的轨迹的极坐标方程.15.设是曲线:（为参数,）上任意一点(1)将曲线化为普通方程.(2)求的取值范围.16.在平面直角坐标系中,圆参数方程（为参数）,直线经过点，倾斜角.(1)写出直线的参数方程.(2)设与圆交于点，两点,求点到，两点的距离之积.17.在曲线:（为参数）上求一点,使它到直线:（为参数）的距离最小,并求出该点坐标和最小距离.18.以直角坐标系的原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知点的直角坐标为,点的极坐标为,若直线过点,且倾斜角为,圆以为圆心，为半径.(1)求直线的参数方程和圆的极坐标方程.(2)试判定直线和圆的位置关系.19.已知圆参数方程（为参数）,若是圆与轴正半轴的交点,以圆心为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过点的圆的切线的极坐标方程.。
极坐标与参数方程15道典型题
极坐标与参数方程 15道典型题1在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系•圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为 4sin , cos(-) 2.2 . 4(1 )求C 1与C 2的直角坐标方程，并求出 G 与C 2的交点坐标；(2 )设P 为G 的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的 中点.已知直 线PQ 的参数 方程为x t a b 3 (t 为参数，t R )，求a, b 的值. y t 12(1)由极直互化公式得：2 2G : x (y 2) 4C 2 ：x y 4 0 (4)分联立方程解得交点坐标为 (0,4), (2,2) ..... 5分P(0,2), Q(1,3)所以直线 PQ : x(1 )求C 1的直角坐标方程和 C 2的普通方程;(2)若C 2与C 1有两个不同的公共点，求 m 的取值范围解:( 1)由极直互化公式得 C 1 : 2(cos 2分(2 )由(1)知: 化参数方程为普通方程:b ab x 2 2对比系数得: a 1,b 2 ....... 10 分2.极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲2线C i 的极坐标方程为 cos 2数)3，曲线C 2的参数方程为x t m，(t 是参数，m 是常y 2t 12 2 2sin )3，所以 x y 3 ；消去参数t得C2的方程：y 2x 2m 1(2)由(1)知C i 是双曲线，C 2是直线，把直线方程代入双曲线方程消去y 得:故 P(-5, 94..在极坐标系 Ox 中，直线C 的极坐标方程为 p sin e = 2, M 是C 上任意一点，点 F 在射线 OM 上，且满足|OF • |OM = 4，记点F 的轨迹为C 2.(I)求曲线C 2的极坐标方程；(n)求曲线C 2上的点到直线 p cos(e + 亍)=,2的距离的最大值. 解：(I)设 F ( p , e ) , M ( p 1, e )，依题意有 p 1Sin e = 2, pp 1 = 4.消去 p 1 ,得曲线 G 的极坐标方程为 p = 2sin e . 5分 (n)将C 2, C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C 2: x 2+ (y — 1)2= 1, G: x — y = 2.O 是以点(0 , 1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 的距离d =牛22 23x 4(2m 1)x 4m 4m 4---------------- 7分若直线和双曲线有两个不同的公共点,解得：m 1或 m2 ------ 10则 16(2m 1)2 12(4m 24m 4)0，2X3.已知椭圆C:—3、、3t y2.3 tI 的普通方程；1,0，若椭圆C 上的点满足到点2—1，直线3(t 为参数).(I )写出椭圆C 的参数方程及直线 (II )设 坐标.的距离与其到直线I 的距离相等，求点 P 的解：(I) (n)设P 到直线 x = 2cos e , y =3sin e F (2cos e ,3sin |2cos I 的距离d =-C: (e 为为参数)，1 : X — 3y + 9= 0.e ),则|AF = (2cos e — 1)2+ ( 3sin e — 3sin e + 9| 2cos e — 3sin e + 9 22e ) = 2— cos_ 2 2由 | AF = d 得 3sin e — 4cos e = 5,又 sin e + cos=1,得 sinA30 =-, cos5e =-5…10分所以 x 2y 24x 4y 0，即(x 2)2(y 直线l 的普通方程为.3x y 2.33 0。
极坐标与参数方程经典30题
专题14坐标系与参数方程一、解答题1．（2019·安徽高考模拟（文））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为原点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（II）设点，分别在曲线，上运动，若，两点间距离的最小值为，求实数的值.【答案】（I），；（II）或.【解析】（I）曲线；曲线的极坐标方程为，即，将，代入，得（II）因为曲线的半径，若点，分别在曲线，上运动，，两点间距离的最小值为，即圆的圆心到直线的距离，，解得或.2．（2019·江西高考模拟（文））已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线过点，且倾斜角为，圆C的极坐标方程为.（1）求圆C的普通方程和直线的参数方程；（2）设直线与圆C交于M、N两点，求的值.【答案】（1）圆的方程：，直线的参数方程为（为参数）（2）【解析】（1）圆的方程：，直线的参数方程为（为参数）（2）将直线的参数方程代入圆的方程，得：3．（2019·辽宁高考模拟（文））选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程；（2）已知射线，若与圆交于点（异于点），与直线交于点，求的最大值.【答案】（1）；（2）3【解析】（1）由圆的参数方程为消去参数，得到圆的普通方程为，即，所以其极坐标方程为，即；（2）由题意，将代入圆的极坐标方程得；将代入线的极坐标方程，得，所以，因为，所以，因此，当，即时，取得最大值3.4．（2019·湖北高考模拟（理））选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线的参数方程是（为参数）。
在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程是。
（1）求直线及曲线的极坐标方程；（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的最大值。
极坐标与参数方程练习(含答案)
极坐标与参数方程练习1.把点P 的直角坐标(—6，2)化为极坐标为________．5)6π 2．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3，则它的直角坐标是________．(－1，3) 3．极坐标为⎝⎛⎭⎫32，π的点M 的直角坐标是________．⎝⎛⎭⎫－32，0 4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为________．x 2＋(y －2)2＝45．极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝4化为直角坐标系方程是________80y +-= 6．极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A ，B ，则||AB ＝_____________.2 37．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是______，(1,0)8．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心的直角坐标是_____；半径长为________．(1,0) 19．若直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，与直线3x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝____________.－3 10．在极坐标系中，点()1，0到直线ρ()cos θ＋sin θ＝2的距离为________．2211．极坐标系中，圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最大值是________．42＋212．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线距离为__________．85513．在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎫1，π4到直线ρsin θ＝－2的距离是________．．2＋2214．在极坐标系中，过点A ⎝⎛⎭⎫4，－π2引圆ρ＝4sin θ的一条切线，则切线长为______． 15．参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos φy ＝2sin φ (φ为参数)化为 普通方程为________ 22194x y +=16．在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)，则圆C 的普通方程为________，x 2＋(y －2)2＝417．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ＋1y ＝sin θ，(θ为参数)，则点P ()4，4与圆C 上的点的最远距离是_________．618．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t y ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为________．.82 19．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________.-1 20．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θy ＝－2＋sin θ (θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是________________ (－∞，0)∪(10，＋∞)。
极坐标与参数方程测试题及答案
极坐标与参数方程测试一、选择题（每题 4 分）1．点 M 的极坐标 (5,2) 化为直角坐标为（C ）3A ． (5 , 5 3 ) B ．(5, 53) C ．(5,5 3) D ．(5,5 3)222222222．点 M 的直角坐标为 (3, 1) 化为极坐标为（B ）A ． (2, 5 )B． (2, 7 ) C ．(2,11 ) D ． (2, )66663．已知曲线 C 的参数方程为x 3t(t 为参数 ) 则点 M 1 (0,1), M 2 (5,4) 与曲线 Cy 2t21的地点关系是（ A ）A ． M 1 在曲线 C 上，但 M 2不在。
B ． M 1不在曲线C 上，但 M 2 在。
C ． M 1 ， M 2都在曲线 C 上。
D． M 1， M 2 都不在曲线 C 上。
4．曲线 5 表示什么曲线（ B）A ．直线B．圆C．射线D ．线段5．参数方程x t 1(t 为参数 ) 表示什么曲线（C ）y1 2 tA ．一条直线B．一个半圆C ．一条射线D ．一个圆x 3 cos)6．椭圆1( 为参数 ) 的两个焦点坐标是 (By5sinA ． (-3 ， 5) ， (-3 ， -3)B ．(3 ，3) ，(3，-5)C ．(1 ，1)， (-7 ， 1)D ．(7 ，-1) ， (-1 ，-1)7．曲线的极坐标方程 ρ=４sin θ 化 成直角坐标方程为 ( A)A ． x 2+(y+2) 2=4B ． x 2+(y-2) 2=4C ． (x-2) 2+y 2=4D ． (x+2) 2+y 2=48．极坐标方程 4sin2θ=3 表示曲线是 (D)A．两条射线 B ．抛物线C．圆D．两条订交直线x 2 cosD ) 9．直线： 3x-4y-9=0 与圆：，( θ为参数 ) 的地点关系是 (y2sinA．相切 B ．相离C．直线过圆心 D ．订交但直线可是圆心10．双曲线x2tanC ) y 1( θ为参数 ) 的渐近线方程为 (2 secA．y 11( x2) B ．y 1 x 22C．y 12( x 2) D ．y 12(x 2)二、填空题（每题 5 分，共 20 分）x t 12 t11．双曲线y t11tx cos12．参数方程1cosy sin1cos 的中心坐标是。
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极坐标与参数方程练习
1.在极坐标系中，已知两点P ⎝⎛⎫5，5π4，Q ⎝
⎛⎭⎫1，π4，则线段PQ 的长度为____. 2.在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程是 .
3.极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A ，B ，则线段AB 的长度为________．
4.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为____________．
5.在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l 与圆ρ＝2相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则直线l 的极坐标方程为 .
6.曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为____________．ρ＝2cos θ
7.在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝
⎛⎭⎫1，π4，圆的半径为1. (1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长.2
1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2－1，y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标是( )
A ．(1,0)
B ．(0,1)
C ．(－1,0)
D ．(0，－1)
2．方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t －e －t (t 为参数)的图形是( )
A ．双曲线左支
B ．双曲线右支
C ．双曲线上支
D ．双曲线下支
3.(2017全国Ⅲ,文22)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为 x =2+t ,y =kt
(t 为参数),直线l 2的参数方程为 x =-2+m ,y =m k
(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C. (1)写出C 的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ+sin θ)- 2=0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.
4.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为 x =2cos α,y =2+2sin α
(α为参数).M 是C 1上的动点,点P 满足OP
=2OM ,点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程;
(2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π 与C 1的异于极点的交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求|AB|.
5．过点A (1,0)的直线l 与抛物线y 2＝8x 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点的轨迹方程．
1. 6
2. ρθ=-
3. 23
4. (2，3π4)
5. ρcos θ＝3
6. ρ＝2cos θ
7.(1) ρ＝2cos ⎝
⎛⎭⎫θ－π4；（2）2 1. A 2. B
3.解 (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1:y=k (x-2); 消去参数m 得l 2的普通方程l 2:y=1k (x+2).
设P (x ,y ),由题设得 y =k (x -2),y =1k (x +2). 消去k 得x 2-y 2=4(y ≠0).
所以C 的普通方程为x 2-y 2=4(y ≠0).
(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).
联立 ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4,ρ(cos θ+sin θ)- 2=0,
得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-13,从而cos 2θ=910,sin 2θ=110.
代入ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4得ρ2=5,
所以交点M 的极径为 5.
4.解 (1)设P (x ,y ),则由条件知M x 2,y 2 .
因为点M 在C 1上,
所以 x 2=2cos α,y 2=2+2sin α,
即 x =4cos α,y =4+4sin α. 从而C 2的参数方程为 x =4cos α,y =4+4sin α
(α为参数). (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8sin θ. 射线θ=π 3与C 1的交点A 的极径为ρ1=4sin π 3, 射线θ=π 3与C 2的交点B 的极径为ρ2=8sin π 3. 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3.
5.解：法一：设抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)，可设M (8t 21，8t 1)，N (8t 2
2，8t 2)， 则k MN ＝8t 2－8t 18t 22－8t 21＝1t 1＋t 2
. 又设MN 的中点为P (x ，y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝8t 21＋8t 222，y ＝8t 1＋8t 22.∴k AP ＝4 t 1＋t 2 4 t 21＋t 22 －1， 由k MN ＝k AP 知t 1t 2＝－18，又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4 t 21＋t 22 ，y ＝4 t 1＋t 2 ， 则y 2＝16(t 21＋t 22＋2t 1t 2)＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－14＝4(x －1)． ∴所求轨迹方程为y 2＝4(x －1)．
法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由M ，N 在抛物线y 2＝8x 上知⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，
两式相减得y 21－y 22＝8(x 1－x 2)，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2
.设线段MN 的中点为P (x ，y )，∴y 1＋y 2＝2y . 由k PA ＝
y x －1，又k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝4y ， ∴y x －1＝4y
.∴y 2＝4(x －1)． ∴线段MN 的中点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －1)．。