【弹塑性力学】变分原理及有限元
有限元与变分原理
有限元与变分原理有限元方法和变分原理是结构力学和计算力学中常用的数值计算方法和理论基础。
本文将从概念、原理、应用和发展等方面介绍有限元方法和变分原理的相关知识。
一、有限元方法有限元方法是一种将连续物体离散化为有限个小区域的数值计算方法。
它将连续的物理问题转化为离散的代数问题，并通过求解代数方程组来获得物理问题的数值解。
有限元方法的基本思想是将复杂的连续介质分割成有限个简单的子域，即有限元，并在每个有限元上建立代数模型。
在建立完整的模型后，根据物理方程和边界条件，通过求解代数方程组，得到所求解的物理量。
有限元方法的优点在于能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种材料和结构力学问题。
二、变分原理变分原理是解决物理问题的一种重要数学工具。
它通过构造一个泛函，将物理问题转化为极值问题，通过求解泛函的极值问题来得到物理问题的解。
在结构力学和计算力学中，常用的变分原理包括极大势能原理、最小势能原理和最小总势原理。
这些变分原理的基本思想是，在满足一定边界条件的前提下，通过对位移场进行变分，使得系统的势能或总势能取得极值，从而得到系统的平衡位置和应力分布。
三、有限元方法与变分原理的应用有限元方法和变分原理在结构力学和计算力学中得到了广泛的应用。
它们可以用于求解各种结构的静力学、动力学和热力学问题。
在工程实践中，有限元方法常用于求解杆件、梁、板、壳和体等不同类型的结构。
通过将结构分割成有限个小单元，建立有限元模型，并利用变分原理进行求解，可以得到结构的应力、位移、变形等物理量的分布情况，从而评估结构的可靠性和安全性。
有限元方法还可以用于优化设计和参数优化，以满足结构的性能要求。
四、有限元方法与变分原理的发展有限元方法和变分原理的发展已经有几十年的历史。
随着计算机技术的进步和计算软件的不断发展，有限元方法已经成为结构力学和计算力学研究和工程实践中不可或缺的工具。
目前，有限元方法已经广泛应用于航空航天、汽车、船舶、建筑、能源等领域。
弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关 连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系
弹塑性问题变分法
对稳定材料（非软化），Drucker公设: （1）在加载过程中，应力增量所做的功恒为正。 即： d ij de ij 0 。 （2）在加载与卸载的整个闭合循环过程中，应 力增量所做的净功恒为非负。即：
0 ij
那么： a (
e
(
ij
d
ij
b e ij
a e ij
ij de ij
e
ij
d
ij
b e ij
a e ij
ij
a ij ) de ij 0
第二节 弹塑性全量理论的最小余能原理
极值路径
第二节 弹塑性全量理论的最小余能原理
Drucker公设
根据Drucker公设，对稳定材料（非软 化），加载路径中或应力循环中的净功非负。
~ 与 Ec
(a)
~
业已证明：应力空间中的极值路径与加载面 的变化规律有关。 等向强化材料：应力极值路径为比例加载路径。 随动强化材料：应力极值路径为与加载面正交路径。
(a)
~
ij
(c)
~ Ec
~ min 矛盾，则 E c
(a)
max 得证。
理想塑性材料：应力极值路径为弹性路径。
第二节 弹塑性全量理论的最小余能原理
与等效应变
i
3 ' ' eij eij 2
m 之间有幂函数关系 i A i ；
（3）外载按比例增长。 说明：前两条近似满足偏差不大，第三条为基 本要求。有些工程问题与比例加载相差不大。
2
第0节
全量理论与增量理论
全量理论
弹塑性力学与有限元-应变分析
如果各点的位移完全相同，物体发 生刚体平移；如果各点的位移不同， 但各点间的相对距离保持不变，物 体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体 被称为有变形或有应变。
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
主应变和主剪应变
I1 x y z
I 2
x y
y z
z x
2 xyБайду номын сангаас
2 yz
2 zx
x
y
y
z
z
x
1 4
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
I
3
x
y z
2 xy yz zx
(
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
)
x
y z
1 4
xy
yz
zx
1 4
(
x
2 yz
个 Mohr圆一起沿 轴平移一个距离
，该距离等于所叠加的静水应力，
O P3 O M P2 s3
P1
并不改变Mohr圆的大小。
➢ τ轴的位置与屈服及塑性变形无关 ，决定屈服与塑性变形的只是Mohr 圆本身的大小。
m
s2
s1
图 3-4
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
应力的Mohr圆
若将τ轴平移到O' ，并使
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:
第三章变分原理与有限元方法
第三章变分原理与有限元方法1.引言在工程实践中，我们经常面临解决微分方程的问题，如结构力学问题和热传导问题。
变分法和有限元方法是两种常用的数值方法，用于求解这些微分方程。
2.变分原理变分法是一种通过变分问题建立微分方程解的数值近似的方法。
变分法的基本思想是将要求解的微分方程问题转化为一个泛函极小化问题。
在这个问题中，泛函是一个函数，它以一些函数（称为试探函数）为自变量。
通过求取使泛函极小化的试探函数，可以得到微分方程的近似解。
3.最小作用量原理变分法的核心原理是最小作用量原理，也称为哈密顿原理。
该原理指出，真实的系统在任意的微小变分下，其作用量是不变的。
作用量是系统的能量和时间的乘积，用来描述系统的运动轨迹。
根据最小作用量原理，可以得到一个极小化问题，通过对试探函数进行变分，使得作用量取得极小值。
有限元方法是一种通过将实际问题离散化为一个有限个子区域，然后在每个子区域内建立适当的数学模型，并进行逼近求解的方法。
有限元方法的核心思想是将连续的物理问题转化为离散的代数问题，通过求解代数问题来得到连续问题的近似解。
5.有限元离散化有限元离散化是有限元方法的第一步，通过将连续的问题离散化为一组离散点上的代数问题。
这个过程中，将整个域划分为有限个子区域，即有限元，每个有限元内部的物理变量可以近似为一个简单的函数，比如常数或低阶多项式。
我们在每个有限元中引入一组基函数，将物理变量表示为这组基函数的线性组合。
6.有限元弱型表达有限元弱型表达是有限元方法的关键步骤，通过将原始的微分方程乘以一个试验函数并在整个域上积分，得到一个弱形式的表达式。
这个表达式中包含了未知函数及其导数的积分项，通过解这个弱形式的表达式，可以得到未知函数的近似解。
7.有限元方程组和边界条件通过离散化和弱型表达，可以得到一组线性代数方程组，其中未知数是有限元的节点上的物理变量。
这个方程组可以通过标准的数值方法求解。
边界条件是方程组的一部分，它指定了在边界上的物理变量的值。
变分原理及有限元中的应用
变分原理及有限元中的应用变分原理是应用于数学和物理学中的一种数学工具，它可以用来求解最优化问题和微分方程的边界值问题。
有限元方法是一种数值计算方法，通过将连续问题离散化为有限个小区域，从而将问题转化为代数方程组的求解。
变分原理在有限元方法中有着广泛的应用。
下面，我将详细解释变分原理以及在有限元方法中的应用。
首先，我们来讨论变分原理。
变分原理主要涉及到函数的变分，即函数微小变化的概念。
对于一个函数，我们可以将其表示为变量的函数形式，例如y(x)代表函数y关于自变量x的函数。
对于光的最短路径问题，我们希望找到一条路径使得光在这条路径上的传播时间最短。
我们可以将这个问题表述为，对于给定的两点A和B，找到一条路径y(x)使得穿过A和B的光线传播时间的变分最小。
在变分原理中，我们通过引入泛函的概念来描述函数的变分。
泛函是一个从函数空间到实数集的映射，通常表示为J[y(x)]。
对于光的最短路径问题，我们可以将光线传播时间表示为一个泛函。
\[ J[y(x)] = \int_a^b f(x,y,y')\,dx \]其中，f(x,y,y')是一个关于x，y和y'的函数，y'表示y关于x的导数。
变分原理的核心思想是，找到这样的函数y(x)使得泛函J[y(x)]取得极值。
如果y(x)是J[y(x)]的一个极值点，那么对于任意变化率为零的函数δy(x)，即满足δy(a) = δy(b) = 0，有\[ J[y + \epsilon δy] - J[y] = 0 \]对于任意的\[\epsilon\]。
这个条件叫做变分原理的欧拉-拉格朗日方程。
有限元方法是一种将连续问题离散化的数值计算方法。
其主要思想是将问题的求解域划分为多个小区域（称为单元），然后在每个单元内构建近似函数（称为形函数），利用这些形函数对问题的解进行近似求解。
有限元方法在工程领域有着广泛的应用，例如结构力学、流体力学和电磁场等领域。
第四章__弹塑性有限元法基本理论与模拟方法讲解
Pi( k ) P(k 1) Pi(k )
q
(k ) 1
k) (k ) qi( k ) qi( q 1 i
q(k )
q( k 1)
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
(3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
4.2 材料非线性问题及分类
为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力。 与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖 于塑性变形的大小和历史。 后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形 后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
F
ห้องสมุดไป่ตู้ nom
s0
F nom A0 L nom L0
L
nom
s0
nom (1 nom ) p e ln(1 nom ) E
x1 x x 2 , xn
F(x)=0
f1 (x) f ( x) F ( x) 2 , f n ( x)
0 0 0 0
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下同样 存在初始屈服和后继屈服的问题。
材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性 变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹 性状态）。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第三章变分原理与有限元方法
2. 线性算子 【定义】 若 M 是一个线性集合，对于任何 u, v M 和任意实常数 ， ，算子 L 具有如下性质 L(u v) L(u ) L(v) 。线性微分算子相对应的方程为线性微分方程。 则称算子 L 为线性算子（linear operator） 微分、积分运算是线性运算。因此，许多微分方程和积分方程都是线性算子方程。
(u ' v) x1 u ' ( x 0 )v( x 0 ) u ' ( x1 )v ( x1 ) 0
0
x
从而
L(u ), v u ' v ' dx L(v), u u , L(v)
x0
x1
因此， L 在 M 上是一个对称算子。 4. 正定算子（正算子） 【定义】若 L 算子是对称算子，对于任何 u M ，恒有
3
第三章 变分原理与有限元方法
2 d （） 是对称算子 dx 2 解 事实上， L 是线性算子。对每一对 u, v M 构造内积并进行积分
证明算子 L（）
L(u ), v
x1
x0
u ' ' vdx (u ' v) x
0
x1
x1
x0
u ' v' dx
由于 v M ， v( x 0 ) 0 ， v( x1 ) 0 ，于是边界项
L d d [ p( x) ] q ( x) dx dx
如果给定 f ( x) C[a, b] ，则 L( y ) f ( x) 是算子方程。 例 积分算子 对于任意的 y ( x) M （ M : L2 [a, b] ）
第0章-弹性力学、变分原理与有限元法2014
1 1 E 2 2 2
PS
PC
（如 x 轴沿杆轴向：可记
1 x x ） 2
B
4. 一般三维均质弹性体
z
M x, y , z
0
y
x
弹性体 中任一点 M x, y, z 处有微元体 B
x, y, z
UB U lim B VB VB 0 VB
0
0 x 0 y , 1 xy 2
x 1 1 y E 0 xy
1 0
x 0 y 21 xy 0
弹性力学平衡问题 微分方程边值问题（15 个方程求解 15 个未知量，在 u ， ） 解法： （1）位移法； （2）应力法； （3）混合法 弹性力学位移法定解问题：物体表面 u 取未知函数 u ，经变换
: E DE T u f 0
: u : u u ； : P E ν DE T u
为梯度矢
ε E T u
（几何线性）
在单连通域中： ε u 一一对应，但多连通域中未必一一对应
§0.2 应力分析（Stress Analysis）
取 P 点处一微平行六面体与 xyz 平行，决定 P 点应力状态的 6 个分量为
σ x
y z yz zx xy T
3
体力（外力, N m ） ： f fx
fy
fz
T
一、平衡方程： （由微六面体平衡所致）
x xy xz fx 0 y z x y xy yz fy 0 x z y yz z xz fz 0 x y z
变分原理-第1章
§1-2 变分及其特性 函数的极大极小问题是大家熟知的，泛函的极大极小问题有类似特性。 1、泛函的定义 定义 如果对于某一类函数 {y (x )}中每个函数 y (x ) ，V 有一值与之对应，或
者 V 对应于函数 y (x ) 的关系成立，则我们称变量 Π 是函数 y (x ) 的泛函，即
V = V ( y (x )) 。可变函数 y ( x ) 称为自变函数，依赖自变函数而变的量 V ，称为自变
若干“子域” （即单元） ，然后分别在子域上选取测试函数，并要求这些测试 函数在各个子域内部、在子域之间的分界面上以及子域与外界的分界面上均 满足一定的条件。它使有限单元法的实用价值远远超过了经典方法。 有限单元法应用的领域十分广泛。不论是固体力学、流体力学，还是电磁 学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，静力分析、动力分析或稳定性 分析，不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法均能适用。 电子计算机技术的发展对有限单元法的发展有着决定性的影响。有限单元 法要求求解大规模的联立方程组，未知数高达几万甚至几十万，没有高速度、 大容量的计算机是很难想像的。有限单元法的基本思想早在四十年代就提出 来了，但是直到五十年代中期，由于电子计算机的问世才开始大量应用和发 展。
L=∫
x2
x1
dy dz 1+ + dx dx
2
2
dx
（1-3）
其中： y = y ( x) ， z = z ( x) 满足约束条件
ϕ ( x, y , z ) = 0
（1-4）
上面提出的问题最后化为如下数学问题：在 x1 ≤ x ≤ x 2 区间内决定两个函数
变分原理及有限元法
史治宇
结构强度研究所
有限元法理论基础弹力变分原理教学内容
ij
Dijkl kl
W
ij
ij
Cijkl kl
➢ 对于线弹性材料，有：
其中：
Cijkl
D1 ijkl
W W ijij2
7
有限元法理论基础
应变能和应变余能
➢ 互余关系：
W W ijij
全功
➢ 对线弹性体应变能密度和应变余能密度可分 别表示为应变和应力的二次齐函数： W 12Dijkl ijkl
W 12Cijkl ijkl
8
有限元法理论基础
虚功原理
➢ 变形体虚功原理：变形体中，任意平衡力系 在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功 等于零。即体系外力的虚功等于内力的虚功。
➢ 虚功原理：
➢ 虚位移原理、虚应力原理
9
有限元法理论基础
虚位移原理
➢ 虚位移：变形体几何约束所允许的位移称为可 能位移，取其任意微小的变化量即是虚位移。
15
有限元法理论基础
虚应力原理
➢ 虚应力：满足平衡方程和力边界条件的应力的变分 （微小的变化）。
➢ 虚应力原理：位移边界处给定位移在虚反力上所做的 余虚功等于应变在虚应力上的余虚功：
uipidS ijijdV
➢ 按力法建立有限元方Su 程的基V本方程。
➢ 几何方程和位ij移12边(u界i,j 条u件j,i)
有限元法理论基础
虚位移原理
➢ 几何方程：
ij 12(ui,j uj,i)
➢ 将应变的变分及上述分部积分结果代入等效积 分形式，得到等效积分形式：
V ijid j VS u iT id SVu ifidV
➢ 上式右边是变形体内的应力在虚应变上所作的虚功，即 内力虚功；上式左边是外力（体力+面力）在虚位移上 所做功，即外力虚功。即内力虚功等于外力虚功。
【弹塑性力学】变分原理及有限元
dw 任意，则
dx
d 2w dx2
0
支承点上弯矩为零的力边界条件
例题7-3:用变分方法求简支梁在均布荷载作用下的挠度 解： （1）设位移函数为
w(x) = c1x(lx) 显然，该挠度函数满足位移边界w(0) = 0，w(l) = 0。
（2）求总势能
U V
l 1 EI w2 dx
s yz
s z
Z
0
x y z
ji, j Fi 0
• 在静力边界上满足静力边界条件
s z
l
syx m
s zx
n
X
szy l
s y
m
s zy
n
Y
ji n j Ti
sxz l
s yz
m
s z
n
Z
• 在位移边界上，其反力由上式给出
变形可能状态
•在物体内位移与应变满足几何方程
dx
ud x
d xy
l
qwdx
02
0
l 0
1 2
EI
2c1
2
c1qxl
xdx
2EIc12l
c1q
l
1 2
x2
l
0
1 3
x3
l
0
2EIc12l
1 6
c1ql 3
（3）求总势能的极值
c1
0 4EIc1l
1 ql3 6
c1
ql2 24EI
7.5 有限元法
变分法近似求解： 整个物体（求解区域）构造近似位移函数， 对于复杂的几何形状，这往往比较困难。
l 0
d 2w dx 2
d 2w dx 2
弹性直梁问题的变分原理及有限元素法
第二章弹性直梁问题的变分原理及有限元素法讨论的问题：一变剖面的梁，一端 （x =0 ）固支，另一端（x = l ）简支。
承受轴向拉 在 x= l 处：w = W |称谓：把满足方程及全部边界条件的挠度叫真实挠度，精确解；把满足基本边界条 件但不满足微分方程和自然边界条件的挠度叫（变形）可能挠度。
i ） 最小势能原理（变分原理）把载荷看作是不变的已知函数， 整个系统的势能包括三部分:（1）梁的应变能：f . 2 ¥d w—r I dx I dx 丿（3）横向载荷势能:力N ，分布横向载荷q （x ）以及端点弯矩M i 的作用。
4J控制微分方程及边界条件（以梁的挠度 w 表示）叮 EjdV dx 2 Idx 2丿.2M d w -Ny^q udx 2丿=q在x= 0处：w = w 0,也 dxN o＞基本边界条件（广义固支）.2d w — -EJ —- M | dx自然边界条件（M + M i ） = O21 l □厂Jo EJ（2）轴向应变能:□N1 i rON 2w \dx、2dxdxgs 气㈣+1十丄dx Vl dx 丿2把挠度看作是可变的自变函数。
I w+dwOT 11(w ^^f lf EJ d 2wd^w.dx 2 dx 2 +N 叢詈-计严+恥心在 X =0处，人w=0, i w ' = 0 在X =丨处，A w = 0与W k 相应的总势能:=口(w k )= n(w + A w )= ri(w )+z n 11(w, A w )中n 2(A w )其中:Ij P = —[qwdx +M |W '(I )后项取加号，是为着能够得到自然边界条件的结果⑷系统总势能口:n/g EJ(d 2w )2 1 X 厂㊁々w V一——I-qw>dx + M i w '(l )I dx 丿*除w 为可变外，其余变量假定为已知的不变量。
最小势能原理：在所有变形可能的挠度中，精确解使系统的总势能取最小值 。
弹塑性力学及有限元法_
写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
单元刚度矩阵的子矩阵 K ij 表示：当单元 e 中节点 j 取单 位位移，且其它节点位移为零时，对应于 i 节点的节点力。
第五章 有限元法简介
单元1的节点力和节点位移的关系可写成
R1 K11 = R2 K 21
1
K12 K 22
1
δ1 δ 2
1 θFx1(u1) 3 Fx3 (u3) Fy1(v1 ) Fy3 (v3) y 2 o x
1
Fy2 (v2) Fx2(u2)
2
图5-1 简例结构图
第五章
分析步骤：
有限元法简介
2
1
1 1 Ry2(v2) 1 1 Rx2(u2)
1. 离散结构物为有限个单元 分为2个单元，第一个单元的节点编号 为1和2，第二个单元的节点编号为2和3。 对于第一单元，在第1、2节点处的节点力 为 R 11 , R 11 , R 1 2 , R 1 2 ，表示节点施加在单元1上 x y x y
1 − cos θ sin θ u1 1 2 − sin θ v1 cos θ sin θ u1 2 1 si成
R11 k x 1 11 Ry1 k21 1 = Rx 2 k31 R1 k41 y2 k12 k22 k32 k42 k13 k23 k33 k43
弹塑性问题有限元分析概述
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弹塑性问题的有限元分析
专硕-
1
2 3
材料的弹塑性行为实验 材料塑性行为的屈服准则 材料塑性行为的流动法则 材料塑性行为的强化准则 材料塑性行为的模型
4
5
研究弹塑性问题的关键在于物理方程的处理。下面主要讨论小 变形情形下的弹塑性问题。 1、材料的弹塑性行为实验
典型的材料性能实验曲线是通过标准试样的单向拉伸与压缩获 得的，如下图所示
8 yd
其中 yd 为临界屈服剪应力，将由实验来确定，一般通过单拉实 验获得，由于单拉实验获得的是临界屈服拉应力 yd ，所以通过 以下关系来换算： 如果定义等效应力为 2 yd 3 yd eq yd 3 2 1 ( xx yy ) 2 ( yy zz ) 2 ( zz xx ) 2 6( 2 xy 2 yz 2 xz ) 2 则初始屈服条件可以写 成 eq yd
2 2 n p 2 n 2 12 n x 2 2 n y 3 2 n z n （3 ）
由于
n p1nx p2 n y p3 nz 1n 2 x 2 n 2 y 3 n 2 （ ） z 4
由 I 2 1 2 2 3 3 1 ( 2) I 3 1 2 3
基于主应力空间，由等倾面组成的八面体的平面上的正应力和剪应力具有 一些特殊的性质。 设某一点的应力状态为 ij ，其中三个主应力为 1、 2、 3 ，并且 1＞ 2＞ 3 如果坐标轴与主方向重合，则应力不变量如式（2） 设该点有一斜面的应力矢量为p，它与 ij 保持平衡，该斜面的法线n的方 向余弦为 nx、ny、nz ，由合力平衡可以得到p在坐标轴方向的三个投影分别 为p1 1nx , p2 2ny , p3 3nz ，于是该面上的与p等价的正应力 n 和剪 应力 n 的关系为：
弹塑性力学问题的变分原理与变分法
若选取梁的挠度函数 w 为
w
n1
an
sin
n
l
x
所取挠度函数满足问题的位移边界条件，因此，w为几何可能的。
一阶变分
虚位移
w
n1
an
sin
n
l
x
总虚功
W
P w
xa
P
an sin
n1
n a
l
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第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法
基于位移的变分原理——虚位移原理
基于位移的变分原理——虚位移原理
3）在位移变分方程中，外力是实际的体力 X i 和面力 X i，而应力 则可以是真实的应力，也可以是静力可能的应力。因为在上述证明中， 对应力 ij，只要求它满足平衡微分方程和静力边界条件。
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第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法
基于位移的变分原理——虚位移原理
V
V
( Xi ij, j ) uidV ij ui, jdV
V
V
散度定理
ij, j X i 0 （平衡状态）
以及有
ij ui, j
ij
(
1 2
ui,
j
1 2
u
j ,i
)
ijij
W ijijdV U V
原理得证。
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第九章 弹塑性力学问题的变分原理与变分法
(v x
u ) y
yz
y
( w)
z
( v)
( w y
v
)
z
zx
x
(
w)
z
弹性力学的变分原理
第十一章弹性力学的变分原理一.内容介绍由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。
一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。
因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。
变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。
变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。
本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹性力学问题。
最后，将介绍有限元方法的基本概念。
本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。
二.重点1. 几何可能的位移和静力可能的应力；2. 弹性体的虚功原理；3. 最小势能原理及其应用；4. 最小余能原理及其应用；5. 有限元原理的基本概念。
知识点静力可能的应力弹性体的功能关系功的互等定理弹性体的总势能虚应力应变余能函数应力变分方程最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移虚位移虚功原理最小势能原理瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz）法伽辽金(Гапёркин）法最小余能原理平面问题最小余能近似解基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析附录3 变分原理泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
对于弹性力学问题，根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。
弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数，当然应力或者应变分量是坐标的函数。
因此，应变能就是泛函。
在数学分析中，讨论函数和函数的极值。
变分法讨论泛函的极值，是极值问题的推广。
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外力虚功＝内力虚功 （1）虚功原理没有涉及到物理方程，即没有规定应 力与应变之间的具体关系，因此，对弹性、塑性情况 均适用。 （2）给出一个连续位移场，虚功（位移）原理完全 等价于平衡微分方程和力边界条件。
使用位移法求解，应力、应变等都通过几何方程和物 理方程看作是位移的函数。
d 3w dx3
ATiuidA V FiuidV
ATiuidA V FiuidV V
V ATiuidA V FiuidV
外力虚功＝外力势能因虚位移而引起的改变
将上述结果代入虚功原理，得位移变分原理
U V 0 (U V ) 0
WdV
V
ATiuidA
V FiuidV
• 静力可能状态的应力所给出的变形一般不满足变 形协调
变形可能状态给出的应力一般不满足平衡微分方程
7.2 虚功原理
外力（体力和面力，包括反力）在变形可能的位移上所 做功 ＝ 内力（应力）在变形可能的应变上所做功
S(X,Y,Z)
u d, vd,wd
(X,Y,Z)
s
d ij
ij
Su
Su (ud=u,v d=v,wd=w)
静力可能状态
物体Q，在内部受体力(X，Y，Z)作用，
• 在静力边界S上受面力( X，Y ，Z )作用
S( X, Y
外力与内力(应力） 处处（物体内和边界上） 满足平衡。
(X,Y,Z ) Su
• 在物体内满足平衡微分方程
s x
s yx
s zx
X
0
x y z
sxy
s y
s zy
Y
0
x y z
sxz
s yz
s z
Z
0
x y z
ji, j Fi 0
• 在静力边界上满足静力边界条件
s z
l
syx m
s zx
n
X
szy l
s y
m
s zy
n
Y
ji n j Ti
sxz l
s yz
m
s z
n
Z
• 在位移边界上，其反力由上式给出
变形可能状态
•在物体内位移与应变满足几何方程
dx
ud x
d xy
l 0
d 2w dx 2
d 2w dx 2
dx－
l 0
qwdx＝0
使用分部积分
EI
l 0
d2w dx2
d2w dx2
dx＝EI
l 0
d2w dx2
d dx
dw dx
dx
EI
d 2w dx 2
dw dx
l 0
EI
l 0
d 3w dx3
dw dx
dx
பைடு நூலகம்
EI
d 2w dx2
dw dx
（2）变分与微分在数学上的意义类同 都是指微小的变化，因此运算方法相同，但它们的运算
对象不同： 微分运算中，自变量一般是坐标等变量，因变量是函数 变分运算中，自变量是函数，因变量是函数的函数，即
数学上所谓的泛函。
总势能是位移函数的泛函。对泛函求极值的问题，数 学上称之为变分法。
将求解弹性力学中偏微分方程的问题转化为求 解势能变分问题
七、变分原理和有限元法
7.1 变分法 7.2 虚功原理 7.3 最小势能原理 7.4 变分原理应用 7.5 有限元法
7.1 变分法
静力平衡
材料质点（微单元 变形几何
体） 物理关系
偏微分方程
整个变形体 积分方程（能量的 变分法
的能量
变分为零）
变分法与微分方程的描述，两者可以转化 变分法是有限元方法的基础
Wext Wint V ijui*, jdV
虚功方程还可用增量和变化率方式表达
虚功方程的增量形式
S(X,Y,Z)
(X,Y,Z)
ij
ij
u, v ,w) ij
Su
真实状态（静力可能状态）
Su u=0, v=0 ,w=0)
虚位移状态（变形可能状态）
ATiuidA V FiuidV V ijijdV
ud y
vd x
dy
v d x
d yz
v d z
wd y
dz
w d z
d zx
w d x
ud z
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
• 在位移边界Su上，满足位移边界条件
ud= u
vd= v
wd= w
• 静力可能状态（s）和变形可能状态（d）是同一 物体的两种不同的受力状态和变形状态，两者可以 彼此完全独立而没有任何关系
A Tiu*i dA V Fiu*i dV V iji*jdV
证明:
Wext A Tiui*dA V Fiui*dV
A
ji
n
j
ui*dA
V Fiui*dV
散度定理：
V
A x
x
Ay y
Az z
dV
S Axl Aym Azn dS
V Ai,idV S AinidS
7.4 变分原理应用
例7-2:简支梁受分布荷载作用，不计自重时，导出以轴 线挠度表示的平衡微分方程和两端的静力边界条件。
q
l y
解：用w表示轴线挠度，不考虑剪切作用，则梁的应变能可近似
地表示为
U EI
2
l 0
d 2w dx2
2
dx
而外荷载q形成的外力势为
l
V 0 qwdx
使用变分原理
EI
称为弹性体的总势能，它是应变能与外力势能之和
• 从弹性体的真实状态出发产生虚位移，所引起的总势 能变分应为零，即在真实状态总势能取极值。
• 对于处于稳定平衡的真实状态，应是取最小值， • 最小势能原理：在所有变形可能的位移中，使总势能
达到最小值的位移，就是真实的位移。
（1）虚位移原理无论是弹性、还是塑性情况下都成立， 但位移变分方程式仅对弹性保守系统有效。
若位移及与之相应的应力与应变满足： （1）单值连续（由它给出的应变满足变形协调条件）， （2）位移边界条件， （3）平衡微分方程， （4）静力边界条件， 则该位移就是问题的解，即为真实位移。
仅满足前两个条件的位移场是变形可能的位移场，而后 两个条件等价于虚位移原理。
求解弹性力学问题又可叙述为： 在所有变形可能的位移场中，寻找所给出的应力能满足 虚位移原理的位移场。 或者，真实的位移场除必须是变形可能的位移外，它所 给出的应力还应满足虚位移原理。
7.3 最小势能原理
• 内力虚功
物体是弹性的，则单位体积内的内力虚功
x x
y y
...
zx zx
W x
x
W y
y
...
W
zx
zx
W
对于整个弹性体
V
xx
y y
... zx zx
dV＝
WdV＝
V
WdV U
V
内力虚功＝应变能因虚位移而引起的改变
• 外力虚功
如果作用的外力是保守力，大小和方向都不变，只是作用 点的位置改变