江苏省苏州中学2005～2006学年度第一学期期末考试高二数学

江苏省苏州中学2005～2006学年度第一学期期末考试
高二数学
一、选择题
1.椭圆221167
y x +=上的点M 到左准线的距离为53，则点M 到左焦点的距离为 ( ) A.8 B.5 C.274 D.54
2.直线1y kx =+与双曲线221x y -=有且仅有一个公共点，则k 的取值为 ( )
A.一切实数
B.1±或1±
3.动点M 在抛物线221x y =-移动，则点(01)A -，
与点M 的连线中点的轨迹方程为 ( ) A.23y x = B.281y x =- C.24y x = D.241y x =+
4.椭圆22221y x a b
+=(0a b >>)的顶点(0)A a ，，(0)B b ，，焦点(0)F c -，，若90ABF ∠=，则椭圆的离心率等于 ( )
5.圆1C ：22460x y x y +-+=与圆2C ：2260x y x +-=的交点为A B ，
，则AB 的垂直平分线的方程为 ( )
A.30x y ++=
B.250x y --=
C.390x y --=
D.4370x y -+=
6.与圆C ：22(5)3x y ++=相切，且纵截距和横截距相等的直线共有 ( )
A.2条
B.3条
C.4条
D.6条
7.已知抛物线1C ：22y x =与抛物线2C 关于直线y x =-对称，则抛物线2C 的准线方程是 () A.1x = B.1x = C.1x =- D.1x =- 8.设0ab ≠，则不论k 取何值，直线1bx ay k
+=与直线bx ay k -=的交点一定在 ( ) A.一个圆上 B.椭圆上 C.双曲线上 D.抛物线上
9.将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰好有一个空盒的方法数为 ()
A.96
B.144
C.244
D.576
10.现有8名同学，从中选出2名男生和1名女生分别参加“资源”、“生态”、“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的入选方法，那么8名同学中，男生和女生的人数分别为()
A.男生2名，女生6名
B.男生3名，女生5名
C.男生5名，女生3名
D.男生6名，女生2名
二、填空题
11.8个人站成一排，甲、乙两人之间恰有4个人的排法总数为 (结果用数字回答).
12.用1，2，3，4，5这5个数字组成没有重复数字的三位数，共有 个，其中偶数有 个(结果用数字回答).
13.设12F F ，是双曲线22221y x a b
-=，P 是双曲线上一点，若1290F PF ∠=，121F PF S ∆=，则双曲线的渐近线方程是 ，该双曲线方程为 .
14.已知点()P x y ，在曲线2cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩
(θ为参数)，则32x y ω=+的最大值为 . 15.把椭圆221259
y x +=绕左焦点按顺时针方向旋转90，则所得椭圆的准线方程为 . 三、解答题
16.“渐升数”是指从左边第二位起每个数字都比前面的数字大的正整数，如125，23478等. ⑴问五位“渐升数”有多少个；
⑵首位为“1”(即1××××)的“渐升数”有多少个；
⑶前两位为“23”(即23×××)的“渐升数”有多少个；
⑷若把五位“渐升数”按从小到大的顺序排列，第100个数为多少？
(以上结果均用数字回答).
17.已知椭圆的中心在原点，焦点12F F ，在x 轴上，P 为椭圆上一点，1PF =2PF ，且过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.
18.已知曲线22116y x m m
-=-. ⑴当曲线是椭圆时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标；
⑵当曲线是双曲线时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标.
19.双曲线222x y a -=(0a >)的左焦点1F ，右焦点2F . 过1F 做倾斜角为α的弦BC ，其中(]42
ππα∈，，
当2F BC ∆面积最小值为a 的值.
20.已知点(80)M -，，点P Q ，分别在x y ，轴上滑动，且MQ PQ ⊥，若点N 为线段PQ 的中点.
⑴求动点N 的轨迹C 的方程；
⑵点(10)H -，
，过点H 做直线l 交曲线C 于A B ，两点，且HA HB λ=(1λ>)，点A 关于x 轴的对称点为D ，已知点(10)F ，
，求证：FD FB λ=-； ⑶过点(10)F ，
的直线交曲线C 于E K ，两点，点E 关于x 轴的对称点为G ，求证：直线GK 过定点，并求出定点坐标.
参考答案
一、选择题
1～10. DBCAC CACBB
二、填空题
11.4320. 12.60，24. 13.1y x =±，2214
x y -=. 14.11. 15.9y =，41y =-. 三、解答题
16.⑴ 59126C =，五位“渐升数”共126个.
⑵ 4870C =，首位是“1”的五位“渐升数”有70个. ⑶ 3620C =，前两位是“23”的五位“渐升数”有20个.
⑷ ∵前两位是“24”的五位“渐升数”(24×××)有3510C =个，∴若将五位渐升数从小到大排
列，第100个数为24789.
17.椭圆方程为22221y x a b
+=(0a b >>). 由条件，知
2a =
a
又2b a =2103b =. ∴椭圆方程为2231510
y x +=. 18.⑴曲线为椭圆160016m m m m ->⎧⎪⇔->⎨⎪-≠-⎩
1600m m m <⎧⇔⇔<⎨<⎩. 即m 的取值范围是(0)-∞，. 此时，椭圆的焦点在x 轴上，坐标为(40)±，
.
⑵曲线为双曲线(16)0m m ⇔->016m ⇔<<. 即m 的取值范围是(016)，
. 此时，双曲线的焦点在x 轴上，坐标为(40)±，
.
19.1(0)F ，
，20)F ，
. 设直线BC
的方程为：x my =，其中cot m α=. 代入双曲线的方程222x y a -=，并整理得
222(1)0m y a --+=.
设11()B x y ，
，22()C x y ，，则有
12y y +=21221
a y y m ⋅=-
. 212
121212F BC S F F y y y y ∆=⋅-=⋅-
=
21a m =-. ∵(]42
ππα∈，，∴01m ≤<. 当0m =时，2F BC S ∆
取得最小值2. 由条件，知
2=
∵0a >
，∴a =20.⑴设()N x y ，
，则(20)P x ，，(02)Q y ，， (82)MQ y =，，(22)PQ x y =-，.
∵ MQ PQ ⊥，∴21640x y -+=. ∴动点N 的轨迹方程为24y x =.
⑵设11()A x y ，
，22()B x y ，，则11()D x y -，. 由HA HB λ=，知1122(1)(1)x y x y λ+=+，
，， 即11121(1)x x y y λλ+=+⎧⎨=⎩①②
要证明FD FB λ=-，只要证明1122(1)(1)x y x y λ--=--，
，， 即只要证明11121(1)x x y y λλ-=--⎧⎨=-⎩③④
由②知④成立. 由①知，要证③，只要证112211(1)1x x x x +-=--+. 只要证1212(1)(1)(1)(1)0x x x x -+++-=，只要证121x x =.
∵AB 过点(10)H -，
，∴可设直线AB 的方程为(1)y k x =+， 代入24y x =，并整理得
2222(24)0k x k x k +-+=. 由韦达定理，知21221k x x k
==. ∵③，④都成立，∴FD FB λ=-. ⑶设233()4y E y ，，244()4
y E y ，，则 直线EK 的方程为 34344()0x y y y y y -++=.
∵EK 过点(10)F ，
，∴34400y y -+=，∴344y y =-. ∵G 与E 关于x 轴对称，∴233()4
y G y -，. ∴直线GK 的方程为34344()0x y y y y y --+-=， ∵344y y =-，∴GK 的方程为344()40x y y y --++=，
∴ 直线GK 过定点(10)-，.。