北京市石景山区2015届高三上学期期末考试数学(理)试题(附答案)
北京市石景山区高三数学上学期期末考试试题 理 新人教
石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ） A ． {}2,1 B ． {}4,32， C ． {}4,3 D ．{}4,3,2,1 【答案】B【解析】因为{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ，所以{34}U A =，ð,所以{2,3,4}U C A B ⋃=（），选B.2. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ． 13i -- B ．i +2 C ．13i + D ．i +3 【答案】A 【解析】2133113Z i i Z i i -==-=--，选A.3．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===u u u r u u u r u u u r（ ）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)-- 【答案】D【解析】因为(2,4),(1,3),AB AC ==u u u r u u u r所以(1,1)BC AC AB =-=--u u u r u u u r u u u r ，即(1,1)AD BC ==--u u u r u u u r，选D.4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 【答案】C【解析】C 中，当//,//m m n α，所以，//,n α或,n α⊂当n β⊥，所以α⊥β，所以正确。
北京市石景山区—第一学期期末考试试卷高三数学（理科）
北京市石景山区—第一学期期末考试试卷高三数学（理科）考生须知 1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟． 2. 本试卷共8页，各题答案均答在本题规定的位置．题号 一 二 三 总分 15 16 17 18 19 20 分数一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，则AB =（ ）A ．]2,0[B ．]2,1[C ．]4,0[ D ．]4,1[2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于（ ）A ．144B ．72C ．54D ．363．现有3名男生和2名女生站成一排，要求其中2名女生恰好站在两端的不同的排法种数为（ ） A ． 120 B ．24 C ．12 D ．48 4．已知53)2sin(=-απ，则)2cos(απ-=（ ） A ．257B ．2524C ．257-D ．2524-5．若|a |＝2，|b |＝2，且a b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．125π 6．nxx )1(+的展开式中常数项等于20，则n 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④C ．①④D ．②③8．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿着路径--B A M C -运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数)(x f y =的图象的形状大致是图中的（ ）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．计算：=+-∞→3423limn n n ．10．复数ii+-12（i 是虚数单位）的实部为 ． 11．不等式01|25|>--x 的解集是_______________________． 12．函数)2(log 221x x y -=的单调递减区间是__________________．13．某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）14．一种计算装置，有一个数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序． （1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为=)1(f 31； （2）当从A 口输入自然数)2(≥n n 时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果3)1(21)1(2)1(+----n n n f 的倍．当从A 口输入3时，从B 口得到 ；要想从B 口得到23031， 则应从A 口输入自然数 .三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知：02<<-x π，51cos sin =+x x ． （Ⅰ）求x 2sin 和x x sin cos -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值．16．（本题满分12分）在某电视节目的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12、14． （Ⅰ）记先回答问题A 获得的奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值分别是多少？ （Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．17．（本题满分14分）正项数列{a n }的前n 项和为n S ，且12+=n n a S ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，数列{n b }的前n 项和为n T ，求证：21<n T ．18．（本题满分14分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的距离为1？若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由．19．（本题满分14分） 已知：在函数x mx x f -=3)(的图象上，以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为4π．（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；PA BCDE（Ⅲ）求证：)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）．20．（本题满分12分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a ；那么把函数)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数．（Ⅰ）求闭函数3x y -=符合条件②的区间],[b a ；（Ⅱ）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．北京市石景山区—第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A B B D A二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：第14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分） 解：（Ⅰ）∵ 51cos sin =+x x ，∴ 251)cos (sin 2=+x x . ∴ 2524cos sin 2-=x x ，即25242sin -=x . ………………………………4分∵ 02<<-x π，∴ x x sin cos >. ………………………………5分∴ 5725241cos sin 21)sin (cos sin cos 2=+=-=-=-x x x x x x . ………………………………8分（Ⅱ）xx x x x x x x x x x x x x cos sin cos )sin (cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22-+=-+=-+x x x x x x x x x x x sin cos )cos (sin 2sin sin cos )sin (cos cos sin 2-+=-+=…………………12分=⨯-=5751)2524(17524-. ………………………………14分16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）随机变量ξ的可能取值为0，1000，3000. …………………………3分 （Ⅱ）设先答问题A 获得的奖金为ξ元，先答问题B 获得的奖金为η元.则有21211)0(=-==ξP ，83)411(21)1000(=-⨯==ξP ，814121)3000(=⨯==ξP ，∴ 75086000813000831000210==⨯+⨯+⨯=ξE . ………………………7分 答案43 21 2|{<x x ，或}3>x（2，+∞）c351，24同理：43)0(==ηP ，81)2000(==ηP ，81)3000(==ηP ， ∴ 62585000813000812000430==⨯+⨯+⨯=ηE . ……………………11分故知先答问题A ，所获得的奖金期望较多. ………………………………12分17．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 1211+=a S ，∴ 11=a . ………………………………2分 ∵ 0>n a ，12+=n n a S ，∴ 2)1(4+=n n a S . ① ∴ 211)1(4+=--n n a S （2≥n ）. ② ①-②，得 1212224----+=n n n n n a a a a a ，即0)2)((11=--+--n n n na a a a ，而0>n a ，∴)2(21≥=--n a a n n . ………………………………6分故数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列.∴ 12-=n a n . ………………………………8分 （Ⅱ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n . ………………………………10分n n b b b T +++= 21)121121(21)5131(21)311(21+--++-+-=n n 21)1211(21<+-=n . ………………………………14分18．（本题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明： ∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ CD PA ⊥. …………1分 ∵ 四边形ABCD 是矩形，EP∴ CD AD ⊥. 又 A AD PA =⋂∴⊥CD 平面PAD . …………3分 又 ∵ ⊂CD 平面PDC ，∴ 平面⊥PDC 平面PAD . ……5分 （Ⅱ）解：设CD 的中点为F ，连结EF 、AF .∵ E 是PD 中点， ∴ EF ∥PC .∴ AEF ∠是异面直线AE 与PC 所成角或其补角. ……………………7分 由1==AB PA ，2=BC ，计算得2521==PD AE ，2621==PC EF ，217=AF ， 10302625241746452cos 222-=⋅⋅-+=⋅-+=∠EF AE AF EF AE AEF ，…………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030. ……………………10分 （Ⅲ）解：假设在BC 边上存在点G ，使得点D 到平面PAG 的距离为1. 设x BG =，过点D 作AG DM ⊥于M .∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ DM PA ⊥,A AG PA =⋂. ∴ ⊥DM 平面PAG .∴ 线段DM 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DM . ……………12分又1121212=+=⋅=∆x DM AG S AGD ， 解得 23<=x .所以，存在点G 且当3=BG 时，使得点D 到平面PAG 的距离为1.……………………14分解法二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），C（1，2，0），D （0，2，0），E （0，1，12），P （0，0，1）．∴ CD ＝（－1，0，0），AD ＝（0，2，0），AP ＝（0，0，1）， AE ＝（0，1，12）， PC ＝（1，2，－1）. …………2分（Ⅰ）∵ 0=⋅AD CD ，∴ AD CD ⊥.∵ 0=⋅AP CD ，∴ AP CD ⊥.又 A AD AP = ，∴ ⊥CD 平面PAD . …………………………5分∵ ⊂CD 平面PAD ，∴ 平面PDC ⊥平面PAD ． ……………………7分（Ⅱ）∵ ||||,cos PC AE PC AE ⋅>=<10306411212=⋅+-=， …………………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030． ………………10分（Ⅲ）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，令x BG =，则)0,,1(x G .作AG DQ ⊥于Q ，∵ ⊥PA 平面ABCD ， ∴ DQ PA ⊥.又 A AG PA =⋂，∴ ⊥DQ 面PAG .∴ 线段DQ 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DQ . …………12分 ∵ ADG S ∆2=S 矩形ABCD ，∴ 2||||||||=⋅=⋅AD AB DQ AG .QGzyxEDCBAP∴ 2||=AG . 又 12+=x AG ，∴ 23<=x .故存在点G ，当BG ＝3时，使点D 到平面PAG 的距离为1． …………14分19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）13)(2-='mx x f ，依题意，得=')1(f 4tanπ，即113=-m ，32=m . ………………………………2分 ∵ n f =)1(， ∴ 31-=n . ………………………………3分 （Ⅱ）令012)(2=-='x x f ，得22±=x . ………………………………4分当221-<<-x 时，012)(2>-='x x f ；当2222<<-x 时，012)(2<-='x x f ； 当322<<x 时，012)(2>-='x x f . 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，15)3(=f . 因此，当]3,1[-∈x 时，15)(32≤≤-x f . ………………………………7分 要使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立，则2008199315=+≥k . 所以，存在最小的正整数2008=k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于 ]3,1[-∈x 恒成立. ………………………………9分（Ⅲ）方法一：|)(cos )(sin |x f x f +|)cos cos 32()sin sin 32(|33x x x x -+-=|)cos (sin )cos (sin 32|33x x x x +-+= |]1)cos cos sin (sin 32)[cos (sin |22-+-+=x x x x x x|31cos sin 32||cos sin |--⋅+=x x x x3|cos sin |31x x +=3|)4sin(2|31π+=x 322≤. …………………11分 又∵ 0>t ，∴ 221≥+t t ，14122≥+tt .∴ )21(2t t f +)]21()21(32[23tt t t +-+=]31)41(32)[21(222-++=tt t t 322)3132(22=-≥. …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）. …………………………14分方法二：由（Ⅱ）知，函数)(x f 在 [-1，22-]上是增函数；在[22-,22]上是减函数；在[22，1]上是增函数. 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，31)1(-=f . 所以，当x ∈[-1，1]时，32)(32≤≤-x f ，即32|)(|≤x f . ∵ x sin ，x cos ∈[-1，1]，∴ 32|)(sin |≤x f ，32|)(cos |≤x f . ∴ 3223232|)(cos ||)(sin ||)(cos )(sin |=+≤+≤+x f x f x f x f . ………………………………11分又∵0>t ，∴ 1221>≥+tt ，且函数)(x f 在),1[+∞上是增函数. ∴ 322]2)2(32[2)2(2)21(23=-=≥+f t t f . …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）.……………14分20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，3x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=ab b a a b 33，解得⎩⎨⎧=-=11b a .所以，所求的区间为[-1，1] . ………………………3分 （Ⅱ）取11=x ，102=x ，则)(107647)(21x f x f =<=， 即)(x f 不是),0(+∞上的减函数. 取,1001,10121==x x )(100400310403)(21x f x f =+<+=， 即)(x f 不是),0(+∞上的增函数.所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数.………………………6分 （Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f y =的值域为[b a ,].容易证明函数2++=x k y 在定义域内单调递增，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a .∴ b a ,为方程2++=x k x 的两个实数根.即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不相等的实根.………………………8分当2-≤k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+≥->∆22120)2(0k f ，解得249-≤<-k .当2->k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆k k k f 2120)(0，无解.综上所述，]2,49(--∈k . ………………………12分注：若有其它解法，请酌情给分．。
2015石景山一模(理)高版本
2015年石景山区高三统一测试数 学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合}0|{≥=x x A ，且AB B =，则集合B 可能是（ ）A ．}2,1{B ．}1|{≤x xC ．}1,0,1{-D ． R 2．在极坐标系中，圆2ρ=被直线sin 1ρθ= 截得的弦长为（ ）AB ．2 C． D ．33．执行如右图的程序框图，若输出的48S =， 则输入k 的值可以为 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．二项式621(2)x x +的展开式中，常数项的值是（ ） A ．240 B ．60 C ．192 D ．180 6．等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mkC ．12mk +D ．12mk + 7．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）② ③ ④A ．①和②B ．③和①C ．③和④D ．④和② 8．如果双曲线的离心率215+=e ，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题： ①双曲线115222=--y x 是黄金双曲线； ②双曲线115222=+-x y 是黄金双曲线； ③在双曲线22221x y a b-=中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 290=︒,则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON 120=︒，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z zz ⋅+-=___________．10．如图，AB 是半径等于3的圆O 的直径， CD 是圆O 的弦，BA 、DC 的延长线交于点P ， 若P A ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝ ___________．11．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________．12．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则=xy．13．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的 课程中恰有2门相同的选法．．有 种（用数字作答）． 14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①1{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|2}xM x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“垂直对点集”的序号是 ．a b c三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f Ca =1c =，求b .16．（本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI ）与空气质量等级对应关系如下表： 下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2015年3月某时刻实时监测到的数据：(Ⅰ) 求x 的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI 数值的方差的大小关系（只需写出结果）；(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．CD EF如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4． (Ⅰ)求证：BC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到 直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．18．（本小题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)af x x a xg x a x+=-=->． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； (Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>离心率2e =，短轴长为(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标 轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别 与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．20．（本小题满分13分） 设数列{}n a 满足：①11a =；②所有项*N a n ∈；③ <<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； (Ⅱ)设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；(Ⅲ)若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ．2015年石景山区高三统一测试数 学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2yy πααα==+=， ………………3分所以()sin cos)4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()(1,f α∈. ………7分 （Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即212b =+-，解得1b =. ……………13分 16．（本小题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部<D 西部………………4分（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2 ，所以，BD ⊥BC ……………4分 又因为EDBD =D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分 则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=是平面BEF 的一个法向量，则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n = …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30， 所以AP 与(0,1,1)n =所成的角为60或120 所以1cos ,24AP n AP n AP n⋅<>===⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-=又因为y z =，所以y z =或y z =-………12分 当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：3y z ==±………13分所以，(0,33P 或(0,33P --. ………14分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分 当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x --++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>，所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e +=+-<，可得211e a e +>-． ………9分 因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分 因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-．………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由短轴长为，得b = (1)分由c e a ===224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分（Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y-=-，∴2200220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == ……………………4分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分 当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b ……………………6分当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b……………………7分 ∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b ……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=- ∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈ 当*21()m t t N =-∈时： 221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+ ……………………11分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
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．
．
16．（本小题共 14 分）
如图1，在 Rt ABC 中， C 90 ， BC 3， AC 6 ． D ､ E 分别是 AC ､ AB 上的点，且 DE / / BC ，将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使 A1D CD ， 如图 2 ． （Ⅰ）求证： BC 平面 A1DC ； （Ⅱ）若 CD 2 ，求 BE 与平面 A1BC 所成角的正弦值； （Ⅲ）当 D 点在何处时， A1B 的长度最小，并求出最小值． A1
④ 函数 y f (x) 在 ( 1 , 3 ] 上是增函数． 22
则上述命题中真命题的序号是
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共 13 分）
已知函数 f (x) sin 2x ( sin x cos x) ． cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的定义域及最小正周期；
1．设集合U {1, 2,3, 4}， A {1, 2}， B {2, 4} ，则 (CU A) B （ ）
Байду номын сангаас
A．{1, 2}
2．若复数 Z1 i ， Z2
A． 1 3i
B．{2，3, 4}
3 i ，则 Z 2 Z1
B． 2 i
（
3． AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线， AB (2, 4) ， AC (1,3) ，则 AD （
C．{3, 4}
）
C．1 3i
C． (1,1)
输入 x
D．{1, 2,3, 4}
D． 3 i
x>2
D． (1, 1)
否
y=x2 -1 y= log2 x
北京市石景山区2015届高三上学期期末考试物理试题
石景山区2014--2015学年第一学期期末考试试卷高三物理（全卷考试时间：100分钟，满分：100分） 2015年1月第Ⅰ卷（共36分）一、本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项．．．．．．符合题目要求。
1．作用在同一点上的两个力，大小分别是3N 和5N ，其合力的大小可能是A ．0NB ．1NC ．3ND ．15N2．汽车以36km/h 的速度行驶，刹车后得到的加速度大小为4m/s 2，从刹车开始计时，经过5s ，汽车通过的位移是A ．0mB ．12.5mC ．37.5mD ．100m3．图1是某质点做直线运动的v －t 图像，关于这个质点在4s 内的运动情况，下列说法中正确的是A ．质点始终向同一方向运动B ．4s 末质点离出发点最远C ．加速度大小不变，方向与初速度方向相同D ．4s 内通过的路程为4m ，而位移为04．如图2所示，一个质量为m 的钢球，放在倾角为θ的固定斜面上，用一竖直挡板挡住，处于静止状态．各个接触面均光滑，重力加速度为g ．球对竖直档板压力的大小是A ．mg cos θB ．mg sin θC ．mg tan θD ．mg5．如图3所示，在等量同（异）种点电荷的四个电场中，O 是两点电荷连线的中点，a 与b图2是对称分布的两点．其中a 、b 两点的电势和场强都相同的是6．如图4所示，两根长度不同的细线的上端固定在天花板上的同一点，下端分别系一小球．现使两个小球在同一水平面内作匀速圆周运动，关于两小球的受力和运动情况，下列说法中正确的是A ．受到细线拉力的大小一定相等B ．线速度的大小一定相等C ．运动的周期一定相等D ．向心加速度的大小一定相等7．太阳系中的行星受到太阳的引力绕太阳公转，然而它们公转的周期却各不相同．若把水星和地球绕太阳的运动轨迹都近似看作圆周，根据观测得知，地球绕太阳公转的周期大于水星绕太阳公转的周期，则由此可以判定 A ．水星的密度大于地球的密度 B ．水星的质量大于地球的质量C ．地球的向心加速度大于水星的向心加速度D ．地球到太阳的距离大于水星到太阳的距离8．一列简谐横波沿x 轴传播，图5（甲）为t ＝0.5s 时的波动图像，图5（乙）为介质中质点P 的振动图像．对该波的传播方向和传播速度的说法中正确的是A ．沿+x 方向传播，波速为4m/sB ．沿-x 方向传播，波速为4m/sC ．沿+x 方向传播，波速为8m/s图4O · +Q a b A+Q· ·O · +Q a b C-Q · ·图3图5D . 沿-x 方向传播，波速为8m/s9．如图6所示，在固定的正点电荷Q 的电场中，一个正点电荷q 只受电场力，沿着一条电场线运动．已知该点电荷经过M 点时的加速度是经过N 点时的加速度的2倍，则下列说法中正确的是A ．N 点距Q 的距离一定是M 点距QB ．它经过M 点时的速度一定是经过NC ．它经过M 点时的动能一定是经过N 点时的动能的2倍D ．它运动到N 点时电场力所做的功一定是运动到M10．如图7所示，在匀强磁场中有一个矩形单匝线圈ABCD ，AB 边与磁场垂直，MN 边始终与金属滑环K 相连，PQ 边始终与金属滑环L 相连．金属滑环L 、交流电流表A 、定值电阻R 、金属滑环K 通过导线串联．使矩形线圈以恒定角速度绕过BC 、AD 中点的轴旋转．下列说法中正确的是A ．线圈平面与磁场垂直时，流经定值电阻R 的电流最大B ．线圈平面与磁场平行时，流经定值电阻R 的电流最大C ．线圈转动的角速度越大，交流电流表A 的示数越小D ．交流电流表A 的示数随时间按正弦规律变化11．如图8（甲）所示，一根粗绳AB 的长度为l ，其质量均匀分布，在水平外力F 的作用下，沿水平面做匀加速直线运动．绳上距A 端x 处的张力T 与x 的关系如图8（乙）所示．下列说法中正确的是A ．粗绳可能受到摩擦力作用B ．粗绳一定不受摩擦力作用C ．可以求出粗绳的质量D ．可以求出粗绳运动的加速度12．在竖直平面内建立如图9所示的直角坐标系，x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上，EOF 是坐标平面内固定的半圆形光滑金属轨道，其最低点在坐标原点O ，E 、F 连图7图6MNq QE图8（甲）x（乙）线水平．在x 轴的上方存在着垂直纸面向外的磁场（图中未画出），磁感应强度的大小为B ＝yB 0，其中B 0为大于零的常量，y 为纵坐标值．金属直棒MN 质量分布均匀且有一定电阻，其长度与EO 的连线等长，放在轨道上，初始位置如图9所示．MN 从静止开始运动的过程中，始终与轨道接触良好．关于金属棒MN ，下列说法中正确的是 A ．感应电流的方向始终是从M 到N B ．受到磁场力的方向始终垂直于棒向下 C ．最终一定停在水平方向 D ．最终在轨道上来回运动第Ⅱ卷（共64分）二、本题共18分。
北京市石景山区高三上学期期末考试数学(理)试卷(有答案)
石景山区第一学期高三年级期末试卷数 学（理）（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,{|01}B x x =≤≤,那么A B 等于（ ）A ．{0} B ．{1}C ．{0,1}D ．[0,1] 2．若34iz i+=，则||z =（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．53．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）A ．5B ．3C ．9D ．74．下列函数中既是奇函数又在区间(0,)+∞A ．x y e -=B ．ln()y x =-C ．3y x =．x5．由直线10x y -+=，50x y +-=和1x =所围成的三角形区域（包括边界），用不等式组可表示为（ ）A ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩B ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩C ．10,50,1x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩D ．10,50,1x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩6．一个几何体的三视图如右图所示．已知这个几何体的体积为8，则h =（A ．1B ．2C ．3D ．67．将函数2(3)y x =-图象上的点2(,(3))P t t -向左平移m (m >0)个单位长度得到 点Q ．若Q 位于函数2y x =的图象上，则以下说法正确的是（ ） A ．当2t =时，m 的最小值为3 B ．当3t =时，m 一定为3 C ．当4t =时，m 的最大值为3D ．t ∀∈R ，m 一定为38．六名同学A 、B 、C 、D 、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，那么F 在第一天参加的比赛局数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在7(3)x -的展开式中，5x 的系数是 （结果用数值表示）．10．已知ABC △中，AB =1BC ，sin C C ，则ABC △的面积为．11．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是 ．12．等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1a ，3a ，11a 恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 ．13．有以下4个条件：①a b =；②||||a b =；③a 与b 的方向相反；④a 与b 都是单位向量．其侧视图正视图俯视图中a //b 的充分不必要条件有 ．（填正确的序号）．14．已知函数11,1,()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，①方程()f x x =-有________个根；②若方程()f x ax =恰有两个不同实数根，则实数a 的取值范围是____________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数π()2sin()sin 22f x x x x =-⋅． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在ππ[,]126-上的最大值． 16．（本小题共13分）2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18-36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（Ⅰ）求a，b，（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市．．大学生．．．中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．17．（本小题共14分）如图1，等腰梯形BCDP 中，BC ∥PD ，BA PD ⊥于点A ，3PD BC =，且1AB BC ==． 沿AB 把PAB △折起到P AB '△的位置（如图2），使90P AD '∠=︒． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AC '； （Ⅱ）求二面角A P D C '--的余弦值；（Ⅲ）线段P A '上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．图1图218．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于轴的对称点为B '．直线B A '与轴的交点Q 是否为定点？请说明理由．19．（本小题共14分）已知函数2()11xf x x =++，2()(0)a x g x x e a =<． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．B CAP DA CP′ABCD20．（本小题共13分）集合M 的若干个子集的集合称为集合M 的一个子集族．对于集合{1,2,3}n 的一个子集族D 满足如下条件：若,A D B A ∈⊆，则B D ∈，则称子集族D 是“向下封闭”的．（Ⅰ）写出一个含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族D 并计算此时(1)AA D∈-∑的值（其中A 表示集合A 中元素的个数，约定0φ=；A D∈∑表示对子集族D 中所有成员A 求和）；（Ⅱ）D 是集合{1,2,3}n 的任一“向下封闭的”子集族，对A D ∀∈,记max k A =，()max (1)AA Df k ∈=-∑（其中ma 表示最大值），（ⅰ）求(2)f ；（ⅱ）若k 是偶数，求()f k ．石景山区第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()2cos sin 2f x x x x =⋅ ……1分sin 22x x = ……2分π2sin(2)3x =+， ……4分因此)(x f 的最小正周期为π． …………6分 （Ⅱ）当ππ[,]126x ∈-时，ππ2π2633x ≤+≤， ………8分 当ππ232x +=，πsin(2)3x +有最大值1． ………10分 即π12x =时，()f x 的最大值为2． ……………13分 16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）030305100a ++++=解得35a =，5110020b ==，35710020c ==．…………………3分 （Ⅱ）记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A ，则114060210016()33C C P A C ==． 所以，2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为1633． ……………7分 （Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为25P =． X 的所有可能取值0，1，2，3． ……………8分则()033270()(1)2255125P X C ==-=，()1123541()(1)2255125P X C ==-=， ()2213362()(1)2255125P X C ==-=，()333083()(22551)125P X C ==-=．其分布列如下：所以，01231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为90P AD '∠=︒，所以P A '⊥AD ．因为在等腰梯形中，AB ⊥AP ，所以在四棱锥中，AB ⊥AP '． 又AD AB A ⋂=，所以P A '⊥面ABCD ． 因为CD 面ABCD ，所以P A '⊥CD ．……3分因为等腰梯形BCDE 中，AB BC ⊥，3PD BC =，且1AB BC ==． 所以AC =CD 2AD =．所以222AC CD AD +=． 所以AC ⊥CD ．因为P A 'AC =A , 所以CD ⊥平面P AC '． ……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P A '⊥面ABCD ，AB ⊥AD ，如图，建立空间直角坐标系，A ()0,0,0，B ()1,0,0，C ()1,1,0，D ()0,2,0，P '()0,0,1．…………5分所以(1,0,0)AB =，(1,1,1)P C '=-．由（Ⅰ）知，平面P AD '的法向量为(1,0,0)AB =，设(,,)n x y z =为平面P CD '的一个法向量，则00n CD n P C ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即00x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩，再令1y =，得(1,1,2)n =．cos ,AB n =AB n AB n⋅⋅=所以二面角A P DC '-- …………9分 （Ⅲ）若线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．依题意可设AM AP λ'=,其中01λ≤≤．所以(0,0,)M λ，(1,0,)BM λ=-． 由（Ⅱ）知，平面P CD '的一个法向量(1,1,2)n =． 因为BM ∥平面P CD '，所以BM n ⊥， 所以120BM n λ⋅=-+=，解得12λ=． 所以，线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '…………………14分 18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为2c e a ==，所以c =1b =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分 联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-， 所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()x x x f x x x --+'==++2222211111．……2分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1． …………5分（Ⅱ）依题意，“对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “对于任意[0,2]x ∈，min max ()()f x g x ≥成立”．由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， 因为(0)1f =，2(2)115mf =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =． 所以应满足max ()1g x ≤．………………………………………………7分因为2()e axg x x =，所以2()(+2)e axg x ax x '=．………8分因为0a <，令()0g x '=得，10x =，22x a=-． （ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时， 在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e a g x g ==．由24e 1a ≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-． ……………11分 （ⅱ）当202a<-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<， 所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a -上单调递减， 所以max 2224()()e g x g a a =-=． 由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-． ……………13分 综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-． ……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）含有集合{1,2}的“向下封闭”的子集族{,{1},{2},{1,2}}D φ= ……2分 此时0112(1)(1)(1)(1)(1)0A A D ∈-=-+-+-+-=∑ …………4分（Ⅱ）设{1,2,3}n 的所有不超过k 个元素的子集族为k D（ⅰ）易知当2D D =时，(1)AA D∈-∑达到最大值， 所以201122(1)32(2)(1)(1)(1)122n nn n n n f C C n --+=-+-+-=-+= …6分 （ⅱ）设D 是使得max k A =的任一个“向下封闭”的子集族，记'''D D D =，其中'D 为不超过2k -元的子集族，''D 为1k -元或k 元的子集 则(1)AA D ∈-∑= '''''(1)(1)(2)(1)A A AA D A D A D f k ∈∈∈-+-≤-+-∑∑∑ ………8 分 现设''D 有l （k n l C ≤）个{1,2,3}n 的k 元子集，由于一个1k -元子集至多出现在1n k -+个{1,2,3}n 的k 元子集中，而一个k 元子集中有1k k C -个1k -元子集，故l 个k 元子集至少产生11k k lC n k --+个不同的1k -元子集． ''11(1)(1)(1)111k Ak k k k n n n A D lC k k l l C C C n k n k n k --∈-≤-=-≤-=--+-+-+∑ 1(1)(2)()A k k n n A D f k C C f k -∈-≤--+=∑由（ⅰ）得011221()(1)(1)(1)(1)(1)kk ki i n n nn i f k C C C C ==-+-+-++-=-∑…13分 【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
2012-2013学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷(理科)(附答案解析)
2012-2013学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合U ={1, 2, 3, 4}，A ={1, 2}，B ={2, 4}，则(∁U A)∪B =( ) A.{1, 2} B.{2, 3, 4} C.{3, 4} D.{1, 2, 3, 4}2. 若复数Z 1=i ，Z 2=3−i ，则Z 2Z 1=( )A.1+3iB.2+iC.−1−3iD.3+i3. 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →=(2,4)，AC →=(1,3)，则AD →=( ) A.(2, 4) B.(1, 1)C.(−1, −1)D.(−2, −4)4. 设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A.若m // α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β B.若m // α，n ⊥β，m ⊥n ，则α // β C.若m // α，n ⊥β，m // n ，则α⊥β D.若m // α，n ⊥β，m // n ，则α // β5. 执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A.1B.2C.3D.46. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A.60种B.63种C.65种D.66种7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A.83B.4C.2D.438. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n +k|n ∈Z}，k =0，1，2，3，4．给出如下四个结论： ①2011∈[1]； ②−3∈[3]；③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a −b ∈[0]”． 其中，正确结论的个数是（ ） A.1 B.2C.3D.4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．已知不等式组{y ≤xy ≥−x x ≤a 表示的平面区域S 的面积为4，则a =________；若点P(x, y)∈S ，则z =2x +y 的最大值为________．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知PA =1，AB =2，PO =3，则圆O 的半径等于________．在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=−4，则公比q =________；|a 1|+|a 2|+...+|a n |=________．在△ABC中，若a=2，∠B=60∘，b=√7，则BC边上的高等于________．已知F是双曲线x24−y212=1的左焦点，A(1, 4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为________．给出定义：若m−12<x≤m+12（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f(x)=x−{x}的四个命题：①y=f(x)的定义域是R，值域是(−12，12]；②点(k, 0)是y=f(x)的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f(x)的最小正周期为1；④函数y=f(x)在(−12，32]上是增函数．则上述命题中真命题的序号是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．已知函数f(x)=sin2x(sin x+cos x)cos x．（1）求f(x)的定义域及最小正周期；（2）求f(x)在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE // BC，将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．(1)求证：BC⊥平面A1DC；(2)若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值；(3)当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为12，13，p．且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概率为14．（1）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（2）求p的值；（3）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．已知函数f(x)=ln x−ax+1，a∈R是常数．（1）求函数y=f(x)的图象在点P（1, f(1)）处的切线l的方程，并证明函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l 的下方；（2）讨论函数y=f(x)零点的个数．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为√32，且经过点M(4, 1)，直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB的斜率互为相反数．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a n}，如果函数y=f(x)使得b n=f(a n)仍为一个“三角形”数列，则称y=f(x)是数列{a n}的“保三角形函数”(n∈N∗)．（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f(x)=k x(k>1)是数列{a n}的“保三角形函数”，求k的取值范围；（2）已知数列{c n}的首项为2013，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n+1−3S n=8052，证明{c n}是“三角形”数列；（3）若g(x)=lg x是（2）中数列{c n}的“保三角形函数”，问数列{c n}最多有多少项？（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）参考答案与试题解析2012-2013学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】先求出∁U A ，再由集合的并运算求出B ∪(∁U A)． 【解答】解：∵ 集合U ={1, 2, 3, 4}，A ={1, 2}， ∴ ∁U A ={3, 4} ∵ B ={2, 4}∴ (∁U A)∪B ={2, 3, 4} 故选：B ． 2.【答案】 C【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】把两个复数代入后运用复数的除法运算即可求得两复数的商． 【解答】解：由复数Z 1=i ，Z 2=3−i ， 则Z 2Z 1=3−i i=i(3−i)i 2=−1−3i ．故选C ． 3.【答案】 C【考点】向量的减法及其几何意义 【解析】由已知中平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →=(2,4)，AC →=(1,3)，根据向量加减法的三角形法则，可得向量BC →的坐标，根据平行四边形的几何特征及相等向量的定义，可得AD →=BC →，进而得到答案． 【解答】解：∵ 平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线， 又AB →=(2,4)，AC →=(1,3)，∴ BC →=AC →−AB →=(−1, −1)， 故AD →=BC →=(−1, −1). 故选C . 4. 【答案】 C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 空间中直线与直线之间的位置关系 命题的真假判断与应用【解析】利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案． 【解答】选择支C 正确，下面给出证明． 证明：如图所示：∵ m // n ，∴ m 、n 确定一个平面γ，交平面α于直线l ． ∵ m // α，∴ m // l ，∴ l // n ． ∵ n ⊥β，∴ l ⊥β， ∵ l ⊂α，∴ α⊥β． 故C 正确． 故选：C ．5. 【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】根据题中程序框图的含义，得到分段函数y ={x 2−1(x ≤2)log 2x(x >2)，由此解关于x 的方程f(x)=3，即可得到可输入的实数x 值的个数． 【解答】解：根据题意，该框图的含义是当x ≤2时，得到函数y =x 2−1；当x >2时，得到函数y =log 2x ．因此，若输出结果为3时，①若x≤2，得x2−1=3，解之得x=±2②当x>2时，得y=log2x=3，得x=8因此，可输入的实数x值可能是2，−2或8，共3个数故选：C6.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是奇数，需要分成两种不同的情况：3个偶数、1个奇数；1个偶数，3个奇数，利用组合知识，即可求得结论．【解答】解：由题意知，要得到四个数字的和是奇数，需要分成两种不同的情况，当取得3个偶数、1个奇数时，有C43C51=20种结果，当取得1个偶数，3个奇数时，有C41C53=40种结果，∴共有20+40=60种结果，故选A．7.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE＝3，PD＝2，CD＝3，DB ＝1，CE＝EB＝2．据此即可计算出其体积．【解答】由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE＝3，PD＝2，CD＝3，DB ＝1，CE＝EB＝2．∴V P−ABC=13×S△ABC×PD=13×12×4×3×2=4．8.【答案】C【考点】同余的性质（选修3）【解析】根据题中“类”的理解，在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，对于各个结论进行分析：①∵2011÷5=402...1；②∵−3÷5=0...2，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可．【解答】解：①∵2011÷5=402...1，∴2011∈[1]，故①对；②∵−3=5×(−1)+2，∴对−3∉[3]；故②错；③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a−b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a−b∈[0]”．故④对．∴正确结论的个数是3．故选C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】2,6【考点】求线性目标函数的最值【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABO及其内部，根据三角形面积公式建立关于a的方程，解之可得a=2．再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=2时，z=2x+y取得最大值为6．【解答】解：根据题意，可得a是一个正数，由此作出不等式组{y≤xy≥−xx≤a表示的平面区域，得到如图的△ABO及其内部，其中A(a, a)，B(a, −a)，O(0, 0)∴平面区域的面积S =12×2a×a=4，解之得a=2（舍负）．设z=F(x, y)=2x+y，将直线l:z=2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F(2, 2)=6故答案为：2，6【答案】√6【考点】与圆有关的比例线段【解析】由于PAB与PCD是圆的两条割线，且PA=1，AB=2，PO=3，我们可以设圆的半径为R，然后根据切割线定理构造一个关于R的方程，解方程即可求解．【解答】解：设⊙O的半径为R则PC=PO−OC=3−RPD =PO +OD =3+R 又∵ PA =1，AB =2， ∴ PB =PA +AB =3 由切割线定理易得： PA ⋅PB =PC ⋅PD即1×3=(3−R)×(3+R) 解得R =√6． 故答案：√6． 【答案】 −2,2n−1−12【考点】等比数列的前n 项和 【解析】先利用等比数列的通项公式求得公比；|a n |是以a 1为首项，|q|为公比，进而利用等比数列的求和公式求解． 【解答】解：q =√a4a13=√−83=−2，|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=12(1−2n )1−2=2n−1−12.故答案为：−2；2n−1−12. 【答案】 3√32【考点】 正弦定理 【解析】根据余弦定理b 2=a 2+c 2−2ac cos B ，结合题中数据算出c =3，从而得到△ABC 的面积S =12ac sin B =3√32，再由△ABC 的面积S =12a ⋅ℎ（ℎ是BC 边上的高），即可算出ℎ的大小，从而得到BC 边上的高． 【解答】解：∵ △ABC 中，a =2，b =√7，且∠B =60∘， ∴ 根据余弦定理，得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ，可得7=4+c 2−4c cos 60∘，化简得c 2−2c −3=0，解之得c =3（舍负） ∴ △ABC 的面积S =12ac sin B =12×2×3×sin 60∘=3√32又∵ △ABC 的面积S =12a ⋅ℎ（ℎ是BC 边上的高） ∴ ℎ=2S a=3√32×22=3√32故答案为：3√32【答案】9【考点】 双曲线的定义 【解析】根据A 点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a ，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案． 【解答】解：∵ A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4, 0)， ∴ 由双曲线性质|PF|−|PF′|=2a =4， 而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A 、P 、F′三点共线时等号成立． 故答案为：9． 【答案】 ①③ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】依据函数定义，得到f(x)=x −{x}∈(−12，12]，再对四个命题逐个验证后，即可得到正确结论．【解答】解：由题意知，{x}−12<x ≤{x}+12，则得到f(x)=x −{x}∈(−12，12]，则命题①为真命题；由于k ∈Z 时，f(k)=k −{k}=k −k =0，但由于f(x)∈(−12，12]，故函数不是中心对称图形，故命题②为假命题；由题意知，函数f(x)=x −{x}∈(−12，12]的最小正周期为1，则命题③为真命题；由于，{x}−12<x ≤{x}+12，则得到f(x)=x −{x}为分段函数，且在(−12，12]，(12，32]为增函数，但在区间(−12，32]上不是增函数，故命题④为假命题．正确的命题为①③故答案为①③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【答案】解：（1）由函数的解析式可得cos x ≠0，所以x ≠kπ+π2，k ∈Z ．所以函数f(x)的定义域为{x|x ≠kπ+π2，k ∈Z}．… 再由f(x)=sin 2x(sin x+cos x)cos x=2sin x(sin x +cos x)=2sin 2x +sin 2x =√2sin (2x −π4)+1，…可得函数的周期T =2π2=π．…（2）因为−π6≤x ≤π4，所以−7π12≤2x −π4≤π4．… 故当2x −π4=π4时，即x =π4时，函数f(x)取得最大值为√2×√22+1=2； …当2x−π4=−π2时，即x=−π8时，函数f(x)取得最小值为√2×(−1)+1=−√2+1．…【考点】求两角和与差的正弦求二倍角的正弦求二倍角的余弦三角函数的周期性及其求法正弦函数的定义域和值域【解析】（1）由函数的解析式可得cos x≠0，所以x≠kπ+π2，k∈Z．由此求得函数f(x)的定义域．再利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为√2sin(2x−π4)+1，由此可得函数的周期T=2π2．（2）根据−π6≤x≤π4，利用正弦函数的定义域和值域求得最大值和最小值．【解答】解：（1）由函数的解析式可得cos x≠0，所以x≠kπ+π2，k∈Z．所以函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π2，k∈Z}．…再由f(x)=sin2x(sin x+cos x)cos x =2sin x(sin x+cos x)=2sin2x+sin2x=√2sin(2x−π4)+1，…可得函数的周期T=2π2=π．…（2）因为−π6≤x≤π4，所以−7π12≤2x−π4≤π4．…故当2x−π4=π4时，即x=π4时，函数f(x)取得最大值为√2×√22+1=2；…当2x−π4=−π2时，即x=−π8时，函数f(x)取得最小值为√2×(−1)+1=−√2+1．…【答案】(1)证明：∵在△ABC中，∠C=90∘，DE // BC，∴AD⊥DE，可得A1D⊥DE．又∵A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．∵BC⊂面BCDE，∴A1D⊥BC．∵BC⊥CD，CD∩A1D=D，∴BC⊥面A1DC．(2)以C为原点，CD、CB所在直线分别为x、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．可得D(2, 0, 0)，E(2, 2, 0)，B(0, 3, 0)，A1(2, 0, 4)，设n→=(x, y, z)为平面A1BC的一个法向量，∵CB→=(0,3,0)，CA1→=(2,0,4)，BE→=(2,−1,0)，∴{3y=02x+4z=0，令x=2，得y=0，z=−1．所以n→=(2, 0, −1)为平面A1BC的一个法向量．设BE与平面A1BC所成角为θ，则sinθ=|cos<BE→⋅n→>|=√5⋅√5=45．所以BE与平面A1BC所成角的正弦值为45．(3)以(2)建立的空间直角坐标系为基础，如图所示：设D(x, 0, 0)，则A1(x, 0, 6−x)，B(0,3,0)，∴A1B=√(x−0)2+(0−3)2+(6−x−0)2=√2x2−12x+45，根据二次函数的图象与性质，可得当x=3时，A1B取得最小值，A1B的最小值是3√3，此时点D为AC的中点，即D为AC中点时，A1B的长度最小，最小值为3√3．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角直线与平面所成的角空间两点间的距离公式 直线与平面垂直的判定【解析】（1）由Rt △ABC 中，∠C =90∘且DE // BC ，证出A 1D ⊥DE ．结合A 1D ⊥CD ，可得A 1D ⊥面BCDE ，从而得到A 1D ⊥BC ．最后根据线面垂直判定定理，结合BC ⊥CD 可证出BC ⊥面A 1DC ；（2）以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系如图所示．可得D 、E 、B 、A 1各点的坐标，从而算出CB →、CA 1→的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出n →=(2, 0, −1)为平面A 1BC 的一个法向量．根据空间向量的夹角公式和直线与平面所成角的性质，即可算出BE 与平面A 1BC 所成角的正弦值；（3）设D(x, 0, 0)，可得A 1(x, 0, 6−x)，由此得到A 1B =√2x 2−12x +45，结合二次函数的图象与性质可得当D 为AC 中点时A 1B 的长度最小，并且这个最小值为3√3．【解答】(1)证明：∵ 在△ABC 中，∠C =90∘，DE // BC ， ∴ AD ⊥DE ，可得A 1D ⊥DE ． 又∵ A 1D ⊥CD ，CD ∩DE =D ， ∴ A 1D ⊥面BCDE ． ∵ BC ⊂面BCDE ， ∴ A 1D ⊥BC ．∵ BC ⊥CD ，CD ∩A 1D =D ， ∴ BC ⊥面A 1DC ．(2)以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．可得D(2, 0, 0)，E(2, 2, 0)，B(0, 3, 0)，A 1(2, 0, 4)， 设n →=(x, y, z)为平面A 1BC 的一个法向量， ∵ CB →=(0,3,0)，CA 1→=(2,0,4)，BE →=(2,−1,0)， ∴ {3y =02x +4z =0，令x =2，得y =0，z =−1．所以n →=(2, 0, −1)为平面A 1BC 的一个法向量． 设BE 与平面A 1BC 所成角为θ，则sin θ=|cos <BE →⋅n →>|=√5⋅√5=45．所以BE 与平面A 1BC 所成角的正弦值为45． (3)以(2)建立的空间直角坐标系为基础，如图所示：设D(x, 0, 0)，则A1(x, 0, 6−x)，B(0,3,0)，∴ A 1B =√(x −0)2+(0−3)2+(6−x −0)2=√2x 2−12x +45， 根据二次函数的图象与性质，可得当x =3时，A 1B 取得最小值， A 1B 的最小值是3√3，此时点D 为AC 的中点，即D 为AC 中点时，A 1B 的长度最小，最小值为3√3．【答案】解：记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A 1，A 2，A 3，且，A 1，A 2，A 3相互独立， 则P(A 1)=12，p(A 2)=13，p(A 3)=p ，（1）甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率 p 1=1−p(A 1¯A 2¯)=1−(1−12)(1−13)=23． （2）∵ 三人中只有甲破译出密码的概率为14．∴ 12×(1−13)×(1−p)=14， 解得p =14．（3）X 的可能取值为0，1，2，3， p(X =0)=(1−12)(1−13)(1−14)=14．p(X =1)=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×13×(1−14)+(1−12)×(1−13)×14=1124． p(X =2)=12×13×(1−14)+12×(1−13)×14+(1−12)×13×14=14． p(X =3)=12×13×14=124． ∴ X 的分布列是EX =0×14+1×1124+2×14+3×124=1312．【考点】离散型随机变量的期望与方差 相互独立事件的概率乘法公式 离散型随机变量及其分布列【解析】（1）记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A 1，A 2，A 3，且，A 1，A 2，A 3相互独立，P(A 1)=12，p(A 2)=13，p(A 3)=p ，甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率p 1=1−p(A 1¯A 2¯)．（2）由三人中只有甲破译出密码的概率为14．知12×(1−13)×(1−p)=14，由此能求出p =14． （3）X 的可能取值为0，1，2，3，p(X =0)=14．p(X =1)=1124．p(X =2)=14．p(X =3)=124．由此能求出X 的分布列和期望．【解答】解：记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A 1，A 2，A 3，且，A 1，A 2，A 3相互独立， 则P(A 1)=12，p(A 2)=13，p(A 3)=p ，（1）甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率 p 1=1−p(A 1¯A 2¯)=1−(1−12)(1−13)=23． （2）∵ 三人中只有甲破译出密码的概率为14． ∴ 12×(1−13)×(1−p)=14， 解得p =14．（3）X 的可能取值为0，1，2，3， p(X =0)=(1−12)(1−13)(1−14)=14．p(X =1)=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×13×(1−14)+(1−12)×(1−13)×14=1124． p(X =2)=12×13×(1−14)+12×(1−13)×14+(1−12)×13×14=14． p(X =3)=12×13×14=124． ∴ X 的分布列是EX =0×14+1×1124+2×14+3×124=1312．【答案】 解：（1）f(1)=−a +1，k 1=f′(1)=1−a ，所以切线l 的方程为 y −f(1)=k 1×(x −1)，即y =(1−a)x作F(x)=f(x)−(1−a)x =ln x −x +1，x >0，则 F′(x)=1x−1=1x(1−x)，解F′(x)=0得x =1．所以任意x >0且x ≠1，F(x)<0，f(x)<(1−a)x ，即函数y =f(x)(x ≠1)的图象在直线l 的下方．（2）令y =0，即ln x =ax −1，画图可知当a ≤0时，直线y =ax −1与y =ln x 的图象有且只有一个交点，即一个零点； 当a >0时，设直线y =ax −1与y =ln x 切于点(x 0, ln x 0)，切线斜率为k =1x 0∴ 切线方程为y −ln x 0=1x 0(x −x 0)，把(0, −1)代入上式可得x 0=1，k =1∴ 当0<a <1时，直线y =ax −1与y =ln x 有两个交点，即两个零点； 当a =1时直线y =ax −1与y =ln x 相切于一点，即一个零点； 当a >1时直线y =ax −1与y =ln x 没有交点，即无零点．综上可知，当a >1时，f(x)无零点；当a =1或a ≤0时，f(x)有且仅有一个零点； 当0<a <1时，f(x)有两个零点． 【考点】利用导数研究函数的单调性 根的存在性及根的个数判断【解析】（1）已知f(x)=ln x −ax +1，对你进行求导，根据导数和斜率的关系，求出切线的方程；（2）令y =0，进行变形ln x =ax −1，利用数形结合的方法，进行分类讨论，讨论函数y =f(x)的零点； 【解答】 解：（1）f(1)=−a +1，k1=f′(1)=1−a，所以切线l的方程为y−f(1)=k1×(x−1)，即y=(1−a)x作F(x)=f(x)−(1−a)x=ln x−x+1，x>0，则F′(x)=1x −1=1x(1−x)，解F′(x)=0得x=1．所以任意x>0且x≠1，F(x)<0，f(x)<(1−a)x，即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方．（2）令y=0，即ln x=ax−1，画图可知当a≤0时，直线y=ax−1与y=ln x的图象有且只有一个交点，即一个零点；当a>0时，设直线y=ax−1与y=ln x切于点(x0, ln x0)，切线斜率为k=1x0∴切线方程为y−ln x0=1x0(x−x0)，把(0, −1)代入上式可得x0=1，k=1∴当0<a<1时，直线y=ax−1与y=ln x有两个交点，即两个零点；当a=1时直线y=ax−1与y=ln x相切于一点，即一个零点；当a>1时直线y=ax−1与y=ln x没有交点，即无零点．综上可知，当a>1时，f(x)无零点；当a=1或a≤0时，f(x)有且仅有一个零点；当0<a<1时，f(x)有两个零点．【答案】解：（1）设椭圆的方程为x 2a2+y2b2=1，因为e=√32，所以c2a2=a2−b2a2=34，所以a2=4b2，又因为M(4, 1)在椭圆上，所以16a2+1b2=1，两式联立解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为x 220+y25=1；（2）将y=x+m代入x 220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2−20=0，△=(8m)2−20(4m2−20)>0，解得−5<m<5；（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只要证明k1+k2=0即可．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−8m5，x1x2=4m2−205．k1+k2=y1−1x1−4+y2−1x2−4=(y1−1)(x2−4)+(y2−1)(x1−4)(x1−4)(x2−4)．分子=(x1+m−1)(x2−4)+(x2+m−1)(x1−4)=2x1x2+(m−5)(x1+x2)−8(m−1)=2(4m2−20)5−8m(m−5)5−8(m−1)=0．所以直线MA、MB的斜率互为相反数．【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程【解析】（1）由椭圆的离心率，椭圆经过点M和隐含条件a2=b2+c2联立解方程组可求得椭圆的标准方程；（2）直接把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于0即可求得m的取值范围；（3）设出两直线斜率，把两直线的斜率和转化为直线与椭圆的两个交点的坐标之间的关系，利用根与系数关系代入化简整理即可得到答案．【解答】解：（1）设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1，因为e=√32，所以c2a2=a2−b2a2=34，所以a2=4b2，又因为M(4, 1)在椭圆上，所以16a2+1b2=1，两式联立解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为x220+y25=1；（2）将y=x+m代入x220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2−20=0，△=(8m)2−20(4m2−20)>0，解得−5<m<5；（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只要证明k1+k2=0即可．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−8m5，x1x2=4m2−205．k1+k2=y1−1x1−4+y2−1x2−4=(y1−1)(x2−4)+(y2−1)(x1−4)(x1−4)(x2−4)．分子=(x1+m−1)(x2−4)+(x2+m−1)(x1−4)=2x1x2+(m−5)(x1+x2)−8(m−1)=2(4m2−20)5−8m(m−5)5−8(m−1)=0．所以直线MA、MB的斜率互为相反数．【答案】（1）解：显然a n=n+1，a n+a n+1>a n+2对任意正整数都成立，即{a n}是三角形数列．因为k>1，显然有f(a n)<f(a n+1)<f(a n+2)<…，由f(a n)+f(a n+1)>f(a n+2)得k n+k n+1>k n+2第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页解得1−√52<k <1+√52．所以当k ∈(1,1+√52)时，f(x)=k x 是数列{a n }的保三角形函数．…（2）证明：由4s n+1−3s n =8052，得4s n −3s n−1=8052， 两式相减得4c n+1−3c n =0，所以c n =2013(34)n−1…经检验，此通项公式满足4s n+1−3s n =8052． 显然c n >c n+1>c n+2，因为c n+1+c n+2=2013(34)n +2013(34)n+1=2116⋅2013(34)n−1>c n ， 所以{c n }是三角形数列．…（3）解：g(c n )=lg [2013(34)n−1]=lg 2013+(n −1)lg (34)，所以{g(c n )}单调递减．由题意知，lg 2013+(n −1)lg (34)>0①且lg c n−1+lg c n >lg c n−2②， 由①得(n −1)lg 34>−lg 2013，解得n <27.4， 由②得n lg 34>−lg 2013，解得n <26.4． 即数列{b n }最多有26项．… 【考点】数列与不等式的综合 数列的应用【解析】（1）确定{a n }是三角形数列，再利用函数的单调性，可得不等式，即可求k 的取值范围； （2）求得数列{c n }的通项，再利用定义进行证明即可；（3）确定{g(c n )}单调递减，利用定义可得不等式lg 2013+(n −1)lg (34)>0且lg c n−1+lg c n >lg c n−2，由此可得n 的范围，从而可得结论．【解答】（1）解：显然a n =n +1，a n +a n+1>a n+2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列． 因为k >1，显然有f(a n )<f(a n+1)<f(a n+2)<…， 由f(a n )+f(a n+1)>f(a n+2)得k n +k n+1>k n+2 解得1−√52<k <1+√52．所以当k ∈(1,1+√52)时，f(x)=k x 是数列{a n }的保三角形函数．…（2）证明：由4s n+1−3s n =8052，得4s n −3s n−1=8052， 两式相减得4c n+1−3c n =0，所以c n =2013(34)n−1… 经检验，此通项公式满足4s n+1−3s n =8052． 显然c n >c n+1>c n+2，因为c n+1+c n+2=2013(34)n +2013(34)n+1=2116⋅2013(34)n−1>c n ，所以{c n }是三角形数列．…（3）解：g(c n )=lg [2013(34)n−1]=lg 2013+(n −1)lg (34)， 所以{g(c n )}单调递减．由题意知，lg 2013+(n −1)lg (34)>0①且lg c n−1+lg c n >lg c n−2②，由①得(n −1)lg 34>−lg 2013，解得n <27.4， 由②得n lg 34>−lg 2013，解得n <26.4．即数列{b n }最多有26项．…。
2015届北京市石景山区高三上学期期末考试理科数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015届北京市石景山区高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：124分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、函数的定义域为，图象如图1所示；函数的定义域为，图象如图2所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则( )A ．6B ．8C ．10D ．122、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．3、如果实数满足不等式组目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44、以为公比的等比数列中，，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、某程序框图如图所示，该程序运行输出的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76、点与圆的位置关系是（ ）A． B． C． D．8、已知集合，，则( )A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、设为非空实数集，若，都有，则称为封闭集．①集合为封闭集；②集合为封闭集；③若集合为封闭集，则为封闭集；④若为封闭集，则一定有.其中正确结论的序号是____________.10、A , B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有种（用数字作答）．11、若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为．12、如图，在边长为2的菱形中，为中点，则．13、为等差数列，，公差，、、成等比数列，则14、若复数, ,则．三、解答题（题型注释）15、（本小题共13分）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质． （Ⅰ）判断是否具有性质；（Ⅱ）若，且具有性质，求的值； （Ⅲ）若具有性质，求证：，且当时，．16、（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线交椭圆于P 、Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数的取值范围.17、（本小题共13分）已知函数.（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间.18、（本小题共14分）如图,在四面体中,平面,.是的中点,是的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若点在线段上，且满足,求证：平面；（Ⅲ）若,求二面角的大小.19、（本小题共13分）某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答. （Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.20、（本小题共13分）如图所示，在四边形中，，，；为边上一点，，，.（Ⅱ）求BE的长．参考答案1、C2、D3、B4、B5、D6、A7、D8、B9、②④10、1011、12、113、402914、15、（Ⅰ）具有（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析16、（Ⅰ）（Ⅱ）17、（Ⅰ）或.（Ⅱ）当时，单调递增区间是，单调递减区间是，当时，单调递增区间是，单调递减区间是.18、（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）19、（Ⅰ）（Ⅱ）20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】1、试题分析：，所以，选C.考点：函数零点2、试题分析：多面体为如图三棱锥ABCD:AB=2，BC=2，BD=CD=,AC=,最长棱为AD=3考点：三视图3、试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部,其中，当时，过点取最大值为3，不合题意舍去；当时，过点取最大值为6，过点取最小值为0，符合题意；当时，过点取最大值为9，不合题意舍去；当时，过点取最大值为12，不合题意舍去；所以选B.考点：线性规划求最值4、试题分析：时：，所以“”是“”的必要而不充分条件考点：充要关系5、试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第五次循环：；第六次循环：；第七次循环：；结束循环，输出，选D.考点：循环结构流程图6、试题分析：圆的直角坐标方程为，又，所以点在圆内考点：点与圆位置关系7、试题分析：在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增；在和上单调递减，所以在上单调递减，选D.考点：函数单调性8、试题分析：求考点：集合交集9、试题分析：因为，所以①不是封闭集；因为两个偶数的和、差、积仍为偶数，所以②为封闭集，实数集、向量集为封闭集，但实数集与向量集的并集不为封闭集；若为封闭集，则考点：新定义10、试题分析：从A到B最短的走法必须走五步，两步向上，三边向右，所以路程最短的走法有种考点：排列组合11、试题分析：因为抛物线的焦点为，所以考点：抛物线的焦点12、试题分析：考点：向量数量积13、试题分析：由、、成等比数列得，所以考点：等差数列与等比数列综合14、试题分析：考点：复数运算15、试题分析：（Ⅰ）根据具有性质的定义进行判定：，由于即对任意，存在，使得，所以具有性质. （Ⅱ）由具有性质的定义列等量关系：选取，Y中与垂直的元素必有形式.所以，又从而（Ⅲ）先证明，可取，再根据是X中唯一的负数，可证得命题；利用反证法证明，先设，其中，则.，得出矛盾即可试题解析：（Ⅰ）具有性质. 2分（Ⅱ）选取，Y中与垂直的元素必有形式.所以，从而 5分（Ⅲ）证明：取.设满足.由得，所以、异号.因为是X中唯一的负数，所以、中之一为，另一为，故. 8分假设，其中，则.选取，并设满足，即，则,异号，从而,之中恰有一个为. 10分若，则，显然矛盾；若，则，矛盾.所以. 13分考点：新定义，反证法16、试题分析：（Ⅰ）由椭圆过点得，由离心率是得,另外结合列方程组即可确定的值从而得到椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消去一个变量，得到关于的一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式与韦达定理以及由点B在以PQ为直径的圆内，得为钝角或平角，即确定的关系，从而求出实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）由题意知，解得，椭圆的标准方程为：. 4分（Ⅱ）设联立，消去，得：6分依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，所以，----①，由（*）式，-------②，可得----③，8分由①②③，，10分由点B在以PQ为直径的圆内，得为钝角或平角，即.. 12分即，整理得.解得：. 14分考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系17、试题分析：（Ⅰ）由极值点概念得，可解出或.但这是必要条件，需验证其充分性，即列表分析导数值在附近是否变号（Ⅱ）首先求得：，再利用导数的符号判断函数的单调性并求单调区间；在确定导数的符号时需根据导函数零点有无及大小进行分类讨论：当时，为导函数一个零点；当时，为导函数一个零点；再列表分析即得试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为. 1分. 3分因为是函数的极值点，所以. 5分解得或.经检验，或时，是函数的极值点. 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：.由，令，解得. 9分当时，的变化情况如下表∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是；11分当时，的变化情况如下表∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 13分考点：极值点，利用导数求单调区间18、试题分析：（Ⅰ）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从证明线面垂直出发：又，（Ⅱ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从证明线线平行出发，这一般可利用平面几何知识得以证明：取BD中点O则易得四边形为平行四边形，所以，所以PQ//面BDC. （Ⅲ）求二面角，一般利用空间向量求解，先建立空间直角坐标系，设点的坐标，求出平面法向量，再利用向量数量积求夹角.试题解析：（Ⅰ）,2分且4分（Ⅱ）证明：如图所示,取BD中点O，且P是BM中点，所以且；取CD的四等分点H，使DH=3CH，且AQ =3QC,所以, 且，所以，四边形为平行四边形，所以，且,所以PQ//面BDC. 9分（Ⅲ）如图建系,则,,, 10分设面的法向量,,即令,则设面的法向量 11分即令, 则 12分所以二面角的大小为 14分考点：面面垂直判定定理，线面平行判定定理，利用空间向量求二面角19、试题分析：（Ⅰ）根据独立事件同时发生概率公式知：8道题全答对的概率为各题答对概率的乘积，即（Ⅱ）该考生至少对4道得20分，最多得8道，得40分；即随机变量可能取值为.分别求出各概率，可得概率分布：试题解析：（Ⅰ）该考生8道题全答对为事件，依题意有. 3分（Ⅱ）该考生所得分数为，则的所有可能取值为. 4分，6分，8分10分12分分布列为：考点：古典概型概率，概率分布20、试题分析：（Ⅰ）在，已知两边一角，利用余弦定理求第三边：，解得CD＝2，再根据正弦定理，求角：（Ⅱ）由，利用两角差余弦公式得：，再在中，求出.试题解析：（Ⅰ）设.在中，由余弦定理，得2分得CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．4分在中，由正弦定理，得 6分（Ⅱ）由题设知，所以8分而，所以. 11分在中，. 13分考点：正余弦定理。
2015-2016年北京石景山高三上学期期末数学(文)试题及答案
2015-2016年北京石景山高三上学期期末文科数学试题及答案石景山区2015—2016学年第一学期期末考试试卷高三数学（文）,2016.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}5,2=A ，集合{}2,1=B ,集合{}7,5,2,1=C ，则()C B A ⋂⋃为（ ） A.{}5,2,1 B.{}5,2 C.{}7,5,2 D.{}7,5,2,1 2．若变量y x ,满足约束条件2,1,0x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．43．若函数()y f x =的定义域为{}|22x x M =-≤≤,值域为{}|02N y y =≤≤, 则函数()y f x =的图象可能是（ ）-24．“2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5．右面的程序框图表示算法的运行结果是( )A. 2-B. 2C.1- D. 16．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于 直线x y =对称，则圆C 的标准方程为( ) A.22(1)1x y -+=o y x 2AB.22(1)1x y ++=C.22(1)1x y +-=D.22(1)1x y ++=7．已知()1f x x =-，若()1f x ax ≥-在x R ∈上恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A.[]1,0 B.(][),11,-∞-⋃+∞C.[]1,1-D.(][)+∞⋃∞-,10,8．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法.现有如下图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？ （ ）A ．6 B. 8 C. 10 D.12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数(1)i i -的实部为_____________.10.已知向量()3,4a →=-，()m b ,1=→，若()0a a b →→→⋅-=，则=m ___________. 11.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98）， [98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106] .已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a =___________ ；样本中净重在[98，104）的产品的个数是__________ .12.在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .15a =，10b =，60A = ，则sin B =_____________.13.三棱锥S ABC -及其三视图中的 正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为___________.14.股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多. （注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为________元，能够成交的股数为___________.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且931,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）求数列{}na 2的前n 项和nS ．16．（本小题共13分）已知函数R x x x x x f ∈-=,sin 2cos sin 32)(2. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在[0,]4π上的最大值与最小值．CB AS22正（主）视图17．（本小题共13分）编号为1216,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（i ）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii ）求这2人得分之和大于50的概率．18．（本小题共14分）如图，已知三棱柱111C B A ABC -中， 1AA ⊥底面ABC ，2==BC AC ，41=AA，22=AB ，N M ,分别是棱1CC ，AB 中点．（Ⅰ）求证：CN ⊥平面11A ABB ； （Ⅱ）求证：CN ∥平面1AMB ； （Ⅲ）求三棱锥AMN B -1的体积．19．（本小题共13分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，其中21=e （e 为椭圆离心率），焦距为2，过点)0,4(M 的直线l 与椭圆C 交于点B A ,，点B 在AM 之间．又点B A ,的中点横坐标为74． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求直线l 的方程．20. （本小题共14分） 已知函数mx x g x m x x f -=+-=31)(,2131)(23,R m ∈. （Ⅰ）若)(x f 在1=x 处取得极小值,求m 的值； （Ⅱ）若)(x f 在区间()+∞,2为增函数,求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,函数)()()(x g x f x h -=有三个零点,求m 的取值范围．石景山区2015—2016学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(14题第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解 （Ⅰ）由题设知公差0d ≠， ………………2分 由11391,,,a a a a =成等比数列得1218112d d d++=+， ………………4分解得1,0d d ==（舍去）， ………………5分 故{}n a 的通项1(1)1n a n n =+-⨯=. ………………7分(Ⅱ)由（Ⅰ）知22ma n =，由等比数列前n 项和公式得 ………………9分2312(12)22222212n nn n S +-=++++==-- . ………………13分16．（本小题共13分）解：()cos21f x x x +-12cos 2)12x x =+-π2sin(2)16x =+-. ………………2分（Ⅰ）()f x 的最小正周期为2ππ.2T == ………………4分 令222,262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以函数()f x 的单调增区间为[,],36k k k ππππ-+∈Z . ………………7分 （Ⅱ）因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以1sin(2x )126π≤+≤ ， 于是 12sin(2)26x π≤+≤ ，所以0()1f x ≤≤. ………………9分当且仅当0x =时，()f x 取最小值min ()(0)0f x f ==. ………………11分 当且仅当262x ππ+=，即6x π=时最大值max ()()16f x f π==. ………13分17．（本小题共13分）（Ⅰ）解：4，6，6 ………3分 （Ⅱ）解（i ）：得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种. ………8分（Ⅲ）解：“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B ）的所有可能结果有：454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种. ………11分所以51().153P B == ………13分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，又因为CN ⊂平面ABC ，所以1AA CN ⊥. ………1分 因为2AC BC ==，N 是AB 中点，所以CN AB ⊥. ………3分 因为1AA AB A ⋂=， ………4分 所以CN ⊥平面11ABB A . ………5分（Ⅱ）证明：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ，因为N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，所以NG ∥1BB ，112NG BB =. ………6分 又因为CM ∥1BB ，112CM BB =， 所以CM ∥NG ，CM ＝NG .所以四边形CNGM 是平行四边形．所以CN ∥MG . ………8分 因为CN ⊄平面1AMB ，MG ⊂平面1AMB ， ………9分 所以CN ∥平面1AMB . ………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知MG ⊥平面1AB N .所以111144323B AMN M AB N V V --==⨯= ………14分19．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由条件可知，1,2c a ==，故2223b a c =-=， ………3分椭圆的标准方程是22143x y +=． ………4分 （Ⅱ）由已知,,A B M 三点共线，设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ．若直线AB x ⊥轴，则124x x ==，不合题意． ………5分 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为(4)y k x =-． …6分由22(4)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消去y 得，2222(34)3264120k x k x k +-+-=．① ………8分 由①的判别式△=42223224(43)(6412)144(14)0k k k k -+-=->， …9分解得214k <， ………10分 21223243k x x k +=+,2122641243k x x k -=+. ………11分由21221642437x x k k +==+，可得218k =，即有4k =±. ………12分即所求直线方程为(4)4y x =±-. ………13分20．（本小题共14分）解: （Ⅰ）2()(1)f x x m x '=-+ ………1分由()f x 在1x =处取得极大值,得(1)1(1)0f m '=-+=, ………3分 所以0m =(经检验适合题意) ………4分（Ⅱ）2()(1)f x x m x '=-+,因为()f x 在区间(2,)+∞为增函数,所以2(1)(1)0x m x x x m -+=--≥在区间(2,)+∞恒成立, ………5分所以(1)0x x m --≥恒成立,即1m x ≤-恒成立,由于2x >,得1m ≤.所以m 的取值范围是1m ≤. ………8分 （Ⅲ）32111()()()323m h x f x g x x x mx +=-=-+-, 故2()(1)(1)()0h x x m x m x x m '=-++=--=,得x m =或1x =当1m =时, 2()(1)0h x x '=-≥,()h x 在R 上是增函数,显然不合题意. ……9分当1m <时, (),()f x f x '随x 的变化情况如下表:要使()()f x g x -有三个零点,故需321110623102m m m ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩, ………12分即2(1)(22)01m m m m ⎧---<⎨<⎩, 解得31-<m所以m 的取值范围是31-<m . ………14分。
2015年3月石景山高三数学(理)答案【定稿】
2015年石景山区高三统一测试数 学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………………3分所以()sincos )4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()f α∈. ………7分（Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2122b =+-，解得1b =. ……………13分 16．（本小题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部<D 西部………………4分（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===Q ,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2 ，所以，BD ⊥BC ……………4分 又因为ED I BD =D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分 则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-u u u r u u u r…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=r是平面BEF 的一个法向量，则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u r ξ所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n =r …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30o，所以AP 与(0,1,1)n =r 所成的角为60o 或120o所以1cos ,2AP n AP n AP n ⋅<>===⋅u u u r r u u u r r u u u r r………11分所以22440(*)y z yz ++-=L L L又因为y z =，所以y z =或y z =- ………12分 当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：y z ==………13分所以，(0,33P或(0,33P --. ………14分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分 当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x --++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>，所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e +=+-<，可得211e a e +>-． ………9分 因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分 因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-．………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由短轴长为，得b = (1)分由2c e a a ===，得224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分（Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == (4)分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分 当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b……………………6分当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
石景山区2014—2015学年度第一学期期末考试初三数学试卷
1 / 14石景山区2014—2015学年度第一学期期末考试试卷初三数学一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上． 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC =3，则sin A 的值是A ．34B ．43 C ．54 D ．53 2．如图，A ，B ，C 都是⊙O 上的点，若∠ABC =110°，则∠AOC 的度数为A ．70°B ．110°C ．135°D ．140°3．如图，平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AC 与BE 交于点F ．则 △EFC 与△BFA 的面积比为 A ．2:1B ． 1∶2C ．1∶4D ．1∶84．将抛物线22x y =向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是A ．()212+=x yB ．()212-=x yC ．122-=x yD ．122+=x y5．将762++=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式，h ，k 的值分别为A ．3，2-B ．3-，2-C ．3，16-D ．3-，16-6．如图，为测学校旗杆的高度，在距旗杆10米的A 处，测得旗杆顶部B 的 仰角为α，则旗杆的高度BC 为A ．αtan 10αtan 10C ． αsin 10D ．αsin 10第1题 第2题 第3题FE DC BABCBA第6题 第7题2 / 147．已知：二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列说法中正确的是A ．0>++c b aB ．0>abC ．02=+a bD ．当0y >时，13x -<<8D →C 长为y ，C D第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长为 ．（结果保留π）10.写出一个反比例函数()0ky k x=≠，使它的图象在各自象限内，y 的值随x 值 的增大而减小，这个函数的表达式为 . 11. 如图，△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上且AD ＝2，如果要在AB 上找一点E ，使△ADE 与△ABC 相似，那么AE＝ ．12．二次函数23x y =的图象如图，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3…A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…， B n 在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3，…， C n 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，…，四边形A n-1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1=∠A 1B 2A 2=∠A 2B 3A 3…3 / 14=∠A n-1B n A n =120°.则A 1的坐标为 ； 菱形A n-1B n A n C n 的边长为 .三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13．计算：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8．14．已知：二次函数()k x k x y 32322-++-=（1）若二次函数的图象过点()0,3A ，求此二次函数图象的对称轴； 时k 的值． （2）若二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求此15．如图，⊙O 与割线AC 交于点B ，C ，割线AD 过圆心O ，且∠DAC =30°．若⊙O 的半径OB=5，AD =13，求弦BC 的长．16． 已知：如图，在△ABC 中，2=BC ，3=∆ABC S ，︒=∠135ABC ，求AC 和AB 的长．17．一次函数 22y x =+与反比例函数 (0)ky k x=≠的图象都过点()1,A m ，22y x =+的图象与x 轴交于点B ．（1）求点B 坐标及反比例函数的表达式；（2）()0,2C -是y 轴上一点，若四边形ABCD 是平行四边形，直接写出点D 的坐标，并判断D 点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．18． 已知：如图，△ABD 中，BD AC ⊥于C ，23=CD BC ，E是AB 的中点，2tan =D ，1=CE ，求ECB ∠sin 和AD 的长．四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 19．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲黄色红色绿色BCA4 / 14获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果； （2）试用概率说明游戏是否公平．20．体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A6m时，达到最大高度5m 的B )21．已知：如图，R t △AOB 中，︒=∠90O ，以OA为半径作⊙O ，BC 切⊙O 于点C ，连接AC 交OB 于点P ． （1）求证：BP =BC ； （2）若31sin =∠PAO ，且PC =7， 求⊙O 的半径．22．阅读下面材料：小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 边上的点，且AE=BC ，BD=CE ，BE 与AD 的交点为P ，求∠APE 的度数；B 作请回答：APE ∠的度数为___________________． 参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：。
2015 石景山高三一模 数学 理 答案
2015年石景山区高三统一测试数 学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y yπααα==+=， ………………3分所以()sin cos)4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()(1,f α∈. ………7分（Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即212b =+-，解得1b =. ……………13分 16．（本小题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部<D 西部………………4分（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ=== ,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2 ，所以，BD ⊥BC ……………4分 又因为ED BD =D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分 则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=是平面BEF 的一个法向量，ξ则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n = …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30，所以AP 与(0,1,1)n = 所成的角为60 或120所以1cos ,2AP n AP n AP n ⋅<>===⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-=又因为y z =，所以y z =或y z =- ………12分 当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：y z ==………13分所以，P或(0,P -. ………14分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分 当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞．又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x--++-+'==． …………..6分 由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>， 所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e +=+-<，可得211e a e +>-． ………9分 因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分 因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-．………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由短轴长为，得b = (1)分由2c e a a ===224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y-=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == (4)分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分 当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b ……………………6分 当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】解析：因为A B B = ，故B A ⊆ 选A 答案：C解析：如图所示：易知弦长为23答案：C答案：B解析：函数21x y =-图像为所以当1m <时，函数21x y m =+-有零点；函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数，则01m <<因为{}{}|01|1m m m m <<⊆< 所以“函数21x y m =+-有零点”是“函数l o g m y x =在0+∞（，）上为减函数”的必要不充分条件解析：二项式621(2)x x +的展开式通项为()6616212rr rr T C x x --+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭当2r = 时常数项为240 答案：C解析：在等差数列中()111,m k a a m k d d a km km=+-⇒== 所以()111122mk mk mk mk S a mk mk -+=⋅+⋅=答案：D解析：根据题意作出直观图：∴三视图的正视图与俯视图分别是④和② 答案：B解析：如果双曲线的离心率215+=e，则有22b a =⇒= 由此判断①错误，②正确，故选B（在④中，可知M坐标为()c ，即222231c c a b -=计算可知2212b a≠故错误）答案：1解析：221,1,2z i z i z z z z =+=-⋅===所以11z z z ⋅+-=答案：6π 解析：连接OD 、OC,由题可知PC PD PA PB ⋅=⋅ 解得8,3PD CD == 所以△OCD 为等边三角形，即1,326COD CBD COD ππ∠=∠=∠= 答案：8π解析：作出区域D ：易知落在圆内的概率为8π 答案：112解析：引入坐标，由图记()()()3,4,1,2,2,1c a b ===-∴c xa yb =+ 即()()()3,41,22,1x y =+- 解得11525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩答案：解析：2264180C A ⋅=答案：③④解析：当12120x x y y ≠时，即函数()(),f x xy y x f x ==-的值域分别是A 和B 原式12120x x y y +=2121y xx y ⇔=-若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则有B A ⊆对于①，集合A=()0,+∞ ，B=(),0-∞ 不满足条件； 对于②，函数2log x y x =其导数为221log x y x -'=，易知其值域A 为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，易知函数2log xy x=值域B=()(),02,-∞+∞ 不满足条件； 对于③，函数2x e y x -=其导数为2(1)2x e x y x-+'= 函数()12xy e x =-+ 的导数为x y e x '=⋅ ∴函数 ()12x y e x =-+最小值为()0min 01210y e =-+=>故2x e y x-=为区间(),0-∞ 和()0,+∞单调递增函数，其值域A 为全体实数，同理可知函数2xxy e -=-值域B 为全体实数，A=B ，满足要求； 对于④，考虑函数sin 1y x =+ 其图像为，由图可知总能找到这样的两点满足条件，即综上，答案为③④答案：(Ⅰ) ()(1f α∈ (Ⅱ)1 解析：（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………………3分所以()sin cos )4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()(1,f α∈. ………7分（Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即212b =+-，解得1b =. ……………13分答案：(Ⅰ) x =82 D 东部<D 西部(Ⅱ)1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．解析：（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部<D 西部 ………………4分 （Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ=== ,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………13分答案：(Ⅰ)略 (Ⅱ)(0,)33P或(0,33P --. 解析：（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2 ，所以，BD ⊥BC ……………4分 又因为ED BD =D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分 则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-…………7分ξ设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=是平面BEF 的一个法向量，则00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n = …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30，所以AP 与(0,1,1)n = 所成的角为60 或120所以1cos ,2AP n AP n AP n ⋅<>===⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-=又因为y z =，所以y z =或y z =- ………12分 当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：3y z ==±………13分所以，(0,33P或(0,33P --. ………14分答案：(Ⅰ) 极小值为(1)1ln11f =-= (Ⅱ) ()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞．(Ⅲ) 21(,)1e e ++∞-解析：（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． (1)分当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x --++-+'==． …………..6分由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>， 所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e +=+-<，可得211e a e +>-． ………9分 因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-．………13分答案：(Ⅰ) 22142x y += (Ⅱ)经过定点(F 解析：（Ⅰ）由短轴长为得b = ………………1分由c e a ===224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分答案：(Ⅰ) 1,4,7 (Ⅱ)84 (Ⅲ)2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩解析：（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b == (4)分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分 当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b ……………………6分 当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分。
北京市石景山区高三上学期期末考试物理试卷 Word版含答案.pdf
解得
（1分）
（2）设B与C碰撞损失的机械能为ΔE．能量守恒定律
（2分）
整个系统损失的机械能
（1分）
（3）由于，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此时速度为v3，弹簧被压缩至最短，其弹性势能为
Ep由动量守恒和能量守恒定律
（1分）
（1分）
解得
（1分）
18．（9分）
运动的过程中始终与轨道接触良好金属棒下列说法的是
A．感应电流方向到
B．受到磁场力方向垂直于棒向下
C．最终一定停在水平方向
D．最终在轨道上来回运动
第Ⅱ卷（64分）
二、本题共18分13．（分）某同学在做“研究匀变速直线运动”的实验中，
14. （分）同学欲采用下列器材一个的的．
道半径为R．粒子离开磁场后的运动轨迹与x轴交于点（图中未画出），且＝R．不计重力．求点到O点的距离粒子在磁场
中运动的时间．
19．（1分）如图所示，平行且足够长的两条光滑金属导轨，相距5 m，与水平面夹角为30，金属导轨电阻不计的匀
强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度B＝4 T．金属棒和质量分别为1 kg和02 kg，电阻均为1，垂直导轨放置．棒在外
球在同一水平面内作匀速圆周运动
A．B．线速度大小相
C．运动周期相D．向心加速度大小相
7．．一列波图为t＝.5s时的波动图像，图为质点P的振动图像对该波的传播方向和速的说法正确的是
A．沿方向传播波速为4ms
B．沿方向传播波速为4ms
C．沿方向传播波速为m/s
D. 沿方向传播波速为m/s
然后向左减速至速度为向左发生位移s4＝＝0.25 m (1分)
不从传送带掉下，v1 t1≥s0＋s3＋s4 (1分)
北京市石景山区高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}2230M x x x =∈+-≤R ，{}10N x x =∈+<R ，那么MN =（ ）A ．{101}-，，B ．{321}---，，C ．{11}x x -≤≤D ．{31}x x -≤<-2．复数1ii =-（ ） A ．122i + B ．122i -C ．122i-+ D ．122i -- 3．已知向量(1)x =，a ，(4)x =，b ，则“2x =”是“a ∥b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2， 则输出的x 的值为（ ） A ．3 B ．126 C ．127D ．1286． 在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P恰好落在正方形与曲线y =的区域内(阴影部分)的概率为（ ）A ．12B ．23Cy =BC ．34D ．457．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．6488．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知圆C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ+⎧⎨=⎩，，=(θ为参数)，则圆C 的直角坐标方程为_______________，圆心C 到直线:10l x y ++=的距离为______．10．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若=6a ，4c =，1cos =3B ，则b =______．11． 若x ，y 满足约束条件1020x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，，，则z x y =+的最大值为 ．12．如图，已知在ABC ∆中，o 90B ∠=，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切 于点D ，2AD =，1AE =，则AB 的长为 ，CD 的长为 ．13．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o150，则||PF =______．14． 已知四边形是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线PC 与BD 所成的角的度数为 ，当三棱锥的体积取得最大值时， 四棱锥P ABCD -的高PA 的长为 ．A DCBE．O1APE三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 21f x x x x =++． （Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）求函数在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．16．（本小题满分13分）北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85100]，之间为体质优秀；在[7585)，之间为体质良好；在[6075)，之间为体质合格；在[060)，之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：9 1 3 5 68 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 7 0 5 6 6 7 9 6 4 5 8 5 6（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X 为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X 的分布列及数学期望．17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，o 90ABC ∠=，AD ∥BC ，且2PA AD ==，1AB BC ==，E 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ?若存在，求出AF 的长；若不存在，请说明理由．P18．（本小题满分13分）已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，不等式()f x mx <的解集为P ，若1{|2}2M x x =≤≤，且M P ≠∅，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆：（）过点(20)，，且椭圆的离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且MP PN =，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合，对于数列中. （Ⅰ）若50项数列{}n a 满足5019ii a==-∑，5021(1)107i i a =-=∑，则数列{}n a 中有多少项取值为零？(121nin i aa a a n *==+++∈∑N ，)（Ⅱ）若各项非零数列{}n a 和新数列{}n b 满足11i i i b b a ---=（）． （ⅰ）若首项10b =，末项1n b n =-，求证数列{}n b 是等差数列；（ⅱ）若首项10b =，末项0n b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值和最小值．石景山区2013—2014学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(两空的题目第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 2cos 2+1x x =+ …………2分2sin2+16x π=+（）， ……………4分222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ， 36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， ………6分所以函数)(x f 的单调递增区间为[]36k k ππππ-+，()k ∈Z ． ……………7分 （Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，22363x πππ-≤+≤， ……………9分sin(2)16x π≤+≤，12sin 2+136x π≤+≤（）， ……………11分所以当2=63x ππ+-，即=4x π-时，函数)(x f取得最小值1． (13)分则 3335C 9()1C 10P A =-=． 故在选出的3名学生中至少有名体质为优秀的概率为910．……9分 （ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为123，，．123235C C 3(1)C 10P X ⋅===， 213235C C 6(2)C 10P X ⋅===，3335C 1(3)C 10P X ===． …………12分 所以，随机变量X 的分布列为:36191231010105EX =⨯+⨯+⨯=． ……………13分17．（本小题共14分） （Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. ……………1分 取AD 的中点G ，连结GC ，因为底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，o90ABC ∠=，且1AB BC ==，所以四边形ABCG 为正方形，所以CG AD ⊥，且1=2CG AD ， 所以o=90ACD ∠，即AC CD ⊥. ...............3分 又PA AC A =，所以CD ⊥平面PAC . (4)分（Ⅱ）解：如图，以A 为坐标原点，AB AD AP ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系xyz A -．………5分则(000)A ，，，(110)C ，，，(011)E ，，，(002)P ，，，所以(002)AP =，，，(110)AC =，，，(011)AE =，，． 因为PA ⊥平面ABCD ，所以(002)AP =，，为平面ACD 的一个法向量． ……6分设平面EAC 的法向量为1()n x y z =，，，由10n AC ⋅=，10n AE ⋅=得00x y y z +=⎧⎨+=⎩，，令1x =，则1y =-，1z =，所以1(111)n =-，，是平面EAC 的一个法向量． ………8分所以1cos n AP <>==0，因为二面角E AC D --为锐角， 所以二面角E AC D --的余弦值为3． ………9分 APEBDCG（Ⅲ）解：假设在线段AB 上存在点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ． 设(00)F a ，，，则(110)CF a =--，，，(112)CP =--，，． 设平面PCF 的法向量为2()n x y z =，，，由20n CF ⋅=，20n CP ⋅=得(1)020a x y x y z --=⎧⎨--+=⎩，，令1x =，则1y a =-，2az =， 所以2(11)2a n a =-，，是平面PCF 的一个法向量．…12分因为AE ∥平面PCF ，所以20AE n ⋅=，即(1)02aa -+=， ……………13分解得23a =，所以在线段AB 上存在一点F （不与A B ，两点重合），使得AE ∥平面PCF ，且2=3AF ．……14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =时，()2x f x e x =-，(0)1f =，()2xf x e '=-，得(0)1f '=-，………2分所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1y x =-+. ……………3分（Ⅱ）()xf x e a '=-.当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()-∞+∞，，无单调递减区间；………5分当0a >时，(ln )x a ∈-∞，时，()0f x '<，(ln )x a ∈+∞，时，()0f x '>， 此时()f x 的单调递增区间为(ln )a +∞，，单调递减区间为(ln )a -∞，.……7分 （Ⅲ）由题意知(0)0f '=得1a =，经检验此时()f x 在0x =处取得极小值. ………8分因为M P ≠∅，所以()f x mx <在1[2]2，上有解，即1[2]2x ∃∈，使()f x mx <成立，…9分即1[2]2x ∃∈，使x e x m x ->成立， …………10分所以min ()x e xm x->. 令()1x e g x x =-，2(1)()x x e g x x -'=，所以()g x 在1[1]2，上单调递减，在[12]，上单调递增，则min ()(1)1g x g e ==-， ……………12分 所以(1)m e ∈-∞，+. ……………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点(20)，在椭圆C 上，所以22401a b+=， 所以24a =， …………1分因为椭圆C 的离心率为12， 所以12c a =，即22214a b a -= ， …………2分解得23b =， ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）设0(1)P y -，，033()22y ∈-，， ①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，11()M x y ，，22()N x y ，，由2203412(1)x y y y k x ⎧+=⎨-=+⎩，，得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=， ………7分所以2012288+34ky k x x k +=-+， ……………8分因为MP PN =，即P 为MN 中点，所以12=12x x +-，即20288=234ky k k +--+.所以003(0)4MN k y y =≠， ……………9分 因为直线l MN ⊥， 所以043l y k =-，所以直线l 的方程为004(1)3y y y x -=-+， 即041()34y y x =-+ ，显然直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………11分②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-， 此时直线l 为x 轴，也过点1(0)4-，. ……………13分 综上所述直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………14分 20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 中项为110-，，分别有x y z ，，项．由题意知5094107x y z x y z y ++=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩，，，解得11z =．所以数列{}n a 中有11项取值为零． ……3分 （Ⅱ）（ⅰ）{11}i a ∈-，且11i i i b b a ---=，得到121(23)i i b a a a i n -=+++=，，，，若1(121)i a i n ==-，，，，则满足1n b n =-．此时11i i b b --=，数列{}n b 是等差数列；若121n a a a -，，，中有*(0)p p p >∈，N 个1-，则121n b n p n =--≠-不满足题意；所以数列{}n b 是等差数列． ……………7分 （ⅱ）因为数列{}n b 满足11i i i b b a ---=，所以121(23)i i b a a a i n -=+++=，，，，根据题意有末项0n b =，所以1210n a a a -+++=．而{11}i a ∈-，，于是n 为正奇数，且121n a a a -，，，中有12n -个1和12n -个1-． 12112121()()n n n S b b b a a a a a a -=+++=+++++++121(1)(2)n n a n a a -=-+-++要求n S 的最大值，则只需121n a a a -，，，前12n -项取1，后12n -项取1-，11 所以2max (1)()(2)(4)14n n S n n -=-+-++=（n 为正奇数）． 要求n S 的最小值，则只需121n a a a -，，，前12n -项取1-，后12n -项取1， 则2min (1)()(2)(4)14n n S n n -=------=-（n 为正奇数）． …………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
北京市石景山高三上学期期末——数学(文)数学(文)
本试卷共6页，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.一、选择题共8项．1．设集合, , , 则（ A. B. 2 A. B. 3．已知向量2(=AB A. B. 4输出的B 等于（ A. B. C. 5命题乙：，A.充分不必要条件 C.充要条件6 A.（0，1） ）7 A.条 B.8（ ）A. B. C. D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 若复数, ,则 .10．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为 ． 11．在中，角所对的边分别为，已知，，，则____________．12． 如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的 各条棱中，最长的棱的长度为 ．13．已知不等式组00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域的面积为，则 ；若点，则的最小值为 .14. 将连续整数1，2，…，25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数从左到右都成递增数列，则第三列 各数之和的最小值为 ，最大值为 .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）设数列满足:, ,.(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和；(Ⅱ)已知数列是等差数列,为的前项和,且, , 求的最大值. 16．（本小题共13分）已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωϕ=+∈><<）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值.17．（本小题共14分）如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）证明：//平面；（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体的体积.18．（本小题共13分）某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：（Ⅰ）写出M 、N 、p、q（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；（Ⅲ）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线经过点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程.20. （本小题共13分）已知函数32()(,)f x ax x bx a b R =-+∈，为其导函数，且时有极小值．（Ⅰ）求的单调递减区间；（Ⅱ）若不等式()(ln 1)64f x k x x x '>---（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：ln7 1.95,ln8 2.08≈≈）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(13题、14题第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）由已知，是首项为1，公比为3的等比数列，………………………2分所以，………………………4分所以. ………………………………………6分(Ⅱ),………………………………………8分31242b b d d -==-=-；, ………………………………………10分2(1)13(2)14.2n n n T n n n -=+⨯-=-+ 当时，有最大值49. ……………………………13分16．（本小题共13分） （Ⅰ）11522(),21212T T ππππω=-=∴==…………………………2分 因为点在函数图象上，得. 由可得，即.………………………………………………4分因为点在函数图象上，. 故函数的解析式为()2sin(2).6f x x π=+……………………6分 （Ⅱ）因为，所以. ……………9分当时，即时，的最小值为；…………………11分 当时，即时，的最大值为. ………………13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明: 因为为正方体， 所以面；因为面，所以． …………2分又因为，，所以面因为面,所以平面面. …………5分（Ⅱ）连接,//，且，设， 则//且, 所以//且，所以四边形为平行四边形. 所以//. …………9分 又因为，．所以//面 …………11分 （Ⅲ）111111111136A B BE E A B B A B B V V S B C --∆==⋅= …………………14分 18．（本小题共13分）（Ⅰ）M =13 ，N =2， p =0.30，q =0.04， …………………2分………………4分（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为（人）……6分（Ⅲ）记获一等奖的6人为，其中为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下： ，，，，， ，，，，，，，，，， ………10分 女生的人数恰好为1人共有8种情况如下: ，，，，，，，， ………12分所以恰有1名女生接受采访的概率. ………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知, …………………1分E F A BCD B 1A 1D 1C 1分分分……………6分…7分…………………8分分分20分……………6分……………8分对任意正实数恒成立，等价于，即. ……………10分记6()1ln(1)h x x x =+-+， 则261'()01h x x x =--<+，所以在上单调递减，又13(6)2ln 70,(7)ln807h h =->=-<，所以的最大值为． ……………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。
北京市石景山区2015届高三上学期期末考试物理试题 Word版含答案
石景山区2014--2015学年第一学期期末考试试卷高三物理（全卷考试时间：100分钟，满分：100分） 2015年1月考生须知1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡三部分；2．认真填写学校、班级、姓名和学号；3．考生一律用黑色签字笔在答题卡上按要求作答；4．考试结束后，监考人员只收答题卡，试卷由学生自己保存供讲评用。
第Ⅰ卷（共36分）一、本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项．．．．．．符合题目要求。
1．作用在同一点上的两个力，大小分别是3N 和5N ，其合力的大小可能是A ．0NB ．1NC ．3ND ．15N2．汽车以36km/h 的速度行驶，刹车后得到的加速度大小为4m/s 2，从刹车开始计时，经过5s ，汽车通过的位移是A ．0mB ．12.5mC ．37.5mD ．100m3．图1是某质点做直线运动的v －t 图像，关于这个质点在4s 内的运动情况，下列说法中正确的是A ．质点始终向同一方向运动B ．4s 末质点离出发点最远C ．加速度大小不变，方向与初速度方向相同D ．4s 内通过的路程为4m ，而位移为04．如图2所示，一个质量为m 的钢球，放在倾角为θ的固定斜面上，用一竖直挡板挡住，处于静止状态．各个接触面均光滑，重力加速度为g ．球对竖直档板压力的大小是A ．mg cos θB ．mg sin θC ．mg tan θD ．mg5．如图3所示，在等量同（异）种点电荷的四个电场中，O 是两点电荷连线的中点，a 与b图1t /sv /(m·s -2) 123421 -2-1 O 图2θθ是对称分布的两点．其中a 、b 两点的电势和场强都相同的是6．如图4所示，两根长度不同的细线的上端固定在天花板上的同一点，下端分别系一小球．现使两个小球在同一水平面内作匀速圆周运动，关于两小球的受力和运动情况，下列说法中正确的是A ．受到细线拉力的大小一定相等B ．线速度的大小一定相等C ．运动的周期一定相等D ．向心加速度的大小一定相等7．太阳系中的行星受到太阳的引力绕太阳公转，然而它们公转的周期却各不相同．若把水星和地球绕太阳的运动轨迹都近似看作圆周，根据观测得知，地球绕太阳公转的周期大于水星绕太阳公转的周期，则由此可以判定 A ．水星的密度大于地球的密度 B ．水星的质量大于地球的质量C ．地球的向心加速度大于水星的向心加速度D ．地球到太阳的距离大于水星到太阳的距离8．一列简谐横波沿x 轴传播，图5（甲）为t ＝0.5s 时的波动图像，图5（乙）为介质中质点P 的振动图像．对该波的传播方向和传播速度的说法中正确的是A ．沿+x 方向传播，波速为4m/sB ．沿-x 方向传播，波速为4m/sC ．沿+x 方向传播，波速为8m/s图4O · +Q a b A+Q · ·O · +Qa b C-Q · ·图3图5D . 沿-x 方向传播，波速为8m/s9．如图6所示，在固定的正点电荷Q 的电场中，一个正点电荷q 只受电场力，沿着一条电场线运动．已知该点电荷经过M 点时的加速度是经过N 点时的加速度的2倍，则下列说法中正确的是A ．N 点距Q 的距离一定是M 点距Q倍 B ．它经过M 点时的速度一定是经过N倍 C ．它经过M 点时的动能一定是经过N 点时的动能的2倍D ．它运动到N 点时电场力所做的功一定是运动到M倍10．如图7所示，在匀强磁场中有一个矩形单匝线圈ABCD ，AB 边与磁场垂直，MN 边始终与金属滑环K 相连，PQ 边始终与金属滑环L 相连．金属滑环L 、交流电流表A 、定值电阻R 、金属滑环K 通过导线串联．使矩形线圈以恒定角速度绕过BC 、AD 中点的轴旋转．下列说法中正确的是A ．线圈平面与磁场垂直时，流经定值电阻R 的电流最大B ．线圈平面与磁场平行时，流经定值电阻R 的电流最大C ．线圈转动的角速度越大，交流电流表A 的示数越小D ．交流电流表A 的示数随时间按正弦规律变化11．如图8（甲）所示，一根粗绳AB 的长度为l ，其质量均匀分布，在水平外力F 的作用下，沿水平面做匀加速直线运动．绳上距A 端x 处的张力T 与x 的关系如图8（乙）所示．下列说法中正确的是A ．粗绳可能受到摩擦力作用B ．粗绳一定不受摩擦力作用C ．可以求出粗绳的质量D ．可以求出粗绳运动的加速度12．在竖直平面内建立如图9所示的直角坐标系，x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上，EOF 是坐标平面内固定的半圆形光滑金属轨道，其最低点在坐标原点O ，E 、F 连线水平．在图7图6q 图8（甲）x 轴的上方存在着垂直纸面向外的磁场（图中未画出），磁感应强度的大小为B ＝yB 0，其中B 0为大于零的常量，y 为纵坐标值．金属直棒MN 质量分布均匀且有一定电阻，其长度与EO 的连线等长，放在轨道上，初始位置如图9所示．MN 从静止开始运动的过程中，始终与轨道接触良好．关于金属棒MN ，下列说法中正确的是 A ．感应电流的方向始终是从M 到N B ．受到磁场力的方向始终垂直于棒向下 C ．最终一定停在水平方向 D ．最终在轨道上来回运动第Ⅱ卷（共64分）二、本题共18分。
2015北京石景山高三上期末数学文(含解析)
北京市石景山区2014—2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类）2015．1第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合{}4,3,2,1=U ,{}2,1=A ,{}4,2=B , 则=B A C U ）（（ ） A ．{}2 B ．{}4,2,1 C ．{}4 D ．{}4,12. 下列函数中，在)0(∞+，上单调递增，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．3y x =- C ．lg y x =- D ．2x y = 3. 已知向量()()2,4,0,2AB AC ==，则1=2BC （ ） A ．)22(--，B ．(22)，C ．(1,1)D ．(1,1)-- 4. 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．63B ．31C ．15D ．75. 设a b 、为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：0a b ＜＜，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 函数()22f x log x x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,47. 若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 8. 某同学为了研究函数()()()2211101f x x x x =+++-≤≤的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()f x PF AP =+．那么可推知方程()6f x =解的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z _________． 10. 若抛物线2y ax =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则a 的值为________．11. 在ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知=6C π，1a =，3b =，则B =______12. 如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为_________．13. 已知不等式组00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为1，则=a ________；若点S y x P ∈),(，则y x z 3-=的最小值为__________．14. 将连续整数1，2，…，25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为_______，最大值为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本题满分13分）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）已知数列{}n b 是等差数列，n T 为{}n b 的前n 项和且1123b a a a =++，33b a =，求n T 的最大值．16. （本题满分13分）已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωϕ=+∈><<）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值与最小值．17. （本题满分14分）如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是棱111D C DD 、的中点．（Ⅰ）证明：平面11ADC B ⊥平面1A BE ； （Ⅱ）证明：F B 1//平面BE A 1；（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体11A B BE -的体积．18.（本题满分13分）某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：、、、（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；（Ⅰ）写出M N p q（Ⅱ）若成绩在90分以上的学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；（Ⅲ）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率．19. （本题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为21． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线经过点）（1,0M ，且与椭圆C 交于B A ,两点，若2AM MB ，求直线的方程．l l20. （本题满分13分）已知函数32()(,)f x ax x bx a b R =-+∈，()f x '为其导函数，且3x =时()f x 有极小值9-．（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若不等式()(ln 1)64f x k x x x '>---（为正整数）对任意正实数x 恒成立，求k 的最大值．（解答过程可参考使用以下数据：ln 7 1.95,ln8 2.08≈≈）北京市石景山区2014—2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（文史类）2015．1一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CADABBCA二、填空题 题号 91011121314答案13i -- 823π 51,4- 45,85三、解答题15. 解：（Ⅰ）由已知，{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列， ………………………2分所以13n n a -=， ………………………4分所以1(31)2nn S =-． ………………………………………6分 （Ⅱ）13S 13b ==,39b = ………………………………………8分31242b b d d -==-=-；, ………………………………………10分2(1)13(2)14.2n n n T n n n -=+⨯-=-+ 当7n =时，n T 有最大值49． ……………………………13分16. 解：（Ⅰ）11522(),21212T T ππππω=-=∴== …………………………2分 因为点5(,0)12π在函数图象上，得5sin()06πϕ+=． 由02πϕ∈（，）可得554663πππϕ+∈（，）， 从而 5=6πϕπ+即=6πϕ ． ………………………………………………4分 因为点(01)，在函数图象上，sin 126A A π==，即．故函数()f x 的解析式为()2sin(2).6f x x π=+ ……………………6分（Ⅱ）因为[,0]2x π∈-，所以52[,]666x πππ+∈-． ……………9分 当2+62x ππ=-时，即3x π=-时，)(x f 的最小值为2-；…………………11分当2+66x ππ=时，即0x =时，)(x f 的最大值为1． ………………13分 17. （Ⅰ）：因为1111D C B A ABCD -为正方体，所以11B C ⊥面11ABB A ；因为1A B ⊂面11ABB A ，所以111B C A B ⊥． …………2分又因为11AB AB ⊥，1111BC AB B =，所以1A B ⊥面11ADC B 因为1A B ⊂面1A BE ,所以平面11ADC B ⊥面1A BE ． …………5分 （Ⅱ）连接EF ，如图：EF //112C D ，且EF 11=2C D ，设11AB A B O =，则1B O //112C D 且1B O 11=2C D ,所以EF //1B O 且EF 1=BO ，所以四边形1BOEF 为平行四边形． 所以1B F //OE ． …………9分 又因为11B F A BE ⊄面，OE 1ABE ⊂面． 所以F B 1//面BE A 1 …………11分（Ⅲ）111111111136A B BE E A B B A B B V V S B C --∆==⋅= …………………14分 18. 解：（Ⅰ）13M =，2N =，0.30p =，0.04q =． …………………2分………………4分（Ⅱ）获一等奖的概率为0．04，获一等奖的人数估计为1500.04=6⨯（人）……6分（Ⅲ）记获一等奖的6人为,,,,,12A A B C D E ，其中,12AA 为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：()()()()()()()()()(),,,B ,,C ,,D ,,E ,,B ,,,,D ,,,,,1211112222A A A A A A A A C A A E B C ()()()()(),D ,,,,D ,,,,B B E C C E D E ………10分女生的人数恰好为1人共有8种情况如下：()()()()()()()()(),,,B ,,C ,,D ,,E ,,B ,,,,D ,,,1211112222A A A A A A A A C A A E ………12分所以恰有1名女生接受采访的概率815P =． ………13分 19. 解：（Ⅰ）由题意知，1c =， …………………1分解得22=4,3a b = …………………3分故椭圆方程为22143x y +=． …………………4分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y当k 不存在时，直线方程为=0x ，不符合题意． …………………5分 当k 存在时，设直线方程为1y kx =+， 联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去，得：22(34)880k x kx ++-=， ……………6分 由题意，点在椭圆内部，必有两个交点，方程必有实根．（或计算0∆>）…7分1221228,34834k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩…………………8分 若MB AM 2=，则122x x =-， …………………9分 代入上式，可得222228,34834k x k x k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪-=-⎪+⎩，消去2x ，解得12k =±． …………………13分 所求直线方程为112y x =±+． …………………14分 20. 解：（Ⅰ）由()232f x ax x b '=-+，因为函数在3x =时有极小值9-，所以()()3930f f ⎧=-⎪⎨'=⎪⎩，从而得1,33a b ==-， ………………2分 所求的()323f x x x x =--，所以()223f x x x '=--，由0)(<'x f 解得31<<-x ，所以()f x 的单调递减区间为()13-，． ………………4分 （Ⅱ）因为2()23f x x x '=--，所以()(ln 1)64f x k x x x '>---等价于 ()ln 2411x x k x x ++>-，即ln 140k x k x x +++->， ……………6分 记1()4ln k g x x k x x+=++-， 则221(1)(1)()1k k x x k g x x x x ++--'=--=， 由()0g x '=，得=1x k +，所以()g x 在()0,1k +上单调递减，在(),1k ++∞上单调递增，所以()(1)6ln(1)g x g k k k k +=+-+≥， ……………8分 ()0>x g 对任意正实数x 恒成立，等价于()6ln 10k k k +-+＞，即，即()61+ln 10k k-+＞． ……………10分 记6()1ln(1)h x x x=+-+， y则261'()01h x x x =--<+，所以()h x 在()0+∞，上单调递减， 又13(6)2ln70,(7)ln807h h =->=-<， 所以k 的最大值为6． ……………13分选填压轴解析8．【解析】：根据题目条件可知PF AP +最短为5AF =，最长为216AB BF +=+＜ 故方程()6f x =解的个数为0．14． 【解析】：此时第三列各数之和的最小；此时第三列各数之和的最大．。
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石景山区2014—2015学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}2,101，，-=A ，，则A B = ( )A.{}2B.{}2,1 C.{}2,1- D.{}2,1,1- 2．下列函数中，在(0,)+∞上单调递减的是（ ）A.()ln f x x =B.2()()1f x x =-C.3()f x x = D.1()1f x x =+ 3．点与圆13cos ,3sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩的位置关系是（ ）A.点在圆内B.点在圆外C.点在圆上D.与θ的值有关 4. 某程序框图如右图所示，该程序运行 输出的值是（ ） A.4 B.5 C.6 D.75．以q 为公比的等比数列{}n a 中，01>a ，则“31a a <”是“1>q ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(1,2)k6．如果实数满足不等式组30,230,1.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩目标函数z kx y =-的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.47．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中， 最长的棱的长度为（ ）D. 38. 函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为[]2,2-，图象如图2所示，方程(())0f g x =有m 个实数根，方程(())0g f x =有n 个实数根，则=+n m ( )A.6B. 8C. 10D. 12y x ,k图1图2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数i Z +=11, i Z -=32,则=12Z Z ． 10.为等差数列，，公差，、、成等比数列，则=2015a ．11．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，为CD 中点，则 ．12.若抛物线2y ax =的焦点与双曲线的焦点重合，则a 的值为 ． 13. A , B 两地街道如图所示，某人要从A 地前往B 地， 则路程最短的走法有 种（用数字作答）．14. 设A 为非空实数集，若,x y A ∀∈，都有,,x y x y xy A +-∈，则称A 为封闭集．①集合{}2,1,0,1,2--=A 为封闭集； ②集合{}Z k k n n A ∈==,2|为封闭集； ③若集合21,A A 为封闭集，则21A A ⋃为封闭集；④若A 为封闭集，则一定有0A ∈. 其中正确结论的序号是____________.{}n a 11a =0d ≠1a 2a 5a 60BAD ∠=E AE BD ⋅=三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）如图所示，在四边形ABCD 中， AB DA ⊥，CE =，23ADC π∠=；E 为AD 边上一点，1DE =，2EA =，3BEC π∠=.（Ⅰ）求sin ∠CED 的值； （Ⅱ）求BE 的长．16．（本小题共13分）某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答. （Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.17．（本小题共14分）如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点.（Ⅰ）求证：平面⊥ABC 平面ADC ；（Ⅱ）若点Q 在线段AC 上，且满足QC AQ 3=,求证：//PQ 平面BCD ；（Ⅲ）若︒=∠60BDC ,求二面角D BM C --的大小.18.（本小题共13分）DACBEABCDPQM已知函数)0(ln )(22≠∈-+=a R a x a ax x x f 且. （Ⅰ）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19.（本小题共14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，且过点(01)B ，. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线)2(:+=x k y l 交椭圆于P 、Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围.20．（本小题共13分）对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s Y ∈∈==，若对任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P ．（Ⅰ）判断}2,1,1{-是否具有性质P ；（Ⅱ）若2>x ，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值； （Ⅲ）若X 具有性质P ，求证：X ∈1，且当1>n x 时，11=x ．石景山区2014—2015学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【12题只答一种情况得3分】 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）设CED α∠=.在CED ∆中，由余弦定理，得2222cosCE CD DE CD DE CDE =+-⨯⨯∠ …………………2分得CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． …………………4分 在CED ∆中，由正弦定理，得sin CED ∠=…………………6分（Ⅱ）由题设知03πα∈（，），所以cos α=…………………8分 而23AEB πα∠=-，所以222cos cos =cos cos sin sin 333AEB πππααα∠=-+（） 11=cos 22272714αα-+=-⨯+⨯=………………11分 在Rt EAB ∆中，2cos BE AEB==∠…………………13分16．（本小题共13分）（Ⅰ）该考生8道题全答对为事件A ，依题意有 11111()224464P A =⨯⨯⨯=. …………………3分 （Ⅱ）该考生所得分数为X ，则X 的所有可能取值为20,25,30,35,40. ……4分(20)P X =11339224464=⨯⨯⨯=， ……6分1212221131333(25)C ()(1)()C ()(1)()2242448P X ==⨯-⨯+⨯-⨯=， ……8分 221122221311311111(30)+C ()(1)C ()()()=2422442432P X ==⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯（）（）（）……10分1212221111331(35)C ()(1)()C ()(1)()=2242448P X ==⨯-⨯+⨯-⨯ ……12分 1(40)64P X ==X 分布列为：……………………13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）BCD AD 面⊥ ,BCD BC 面⊂BC AD ⊥∴ ………………2分CD BC ⊥ 且D CD AD = ACD BC 面⊥∴ABC BC 面⊂ ACD ABC 面面⊥∴ ………………4分（Ⅱ）证明：如图所示,取BD 中点O ，且P 是BM 中点， 所以MD PO //且MD PO 21=； 取CD 的四等分点H ，使DH =3CH ， 且AQ =3QC , 所以, QH PO //且QH PO =， 所以，四边形OPQH 为平行四边形， 所以OH PQ //，且OH BCD ⊂,所以PQ //面BDC . ……………………9分A BCDPQMOH(III)如图建系,则)0,0,0(C ,)0,6,0(B ,)1,0,2(M ,)0,0,2(D ……………………10分 设面CBM 的法向量),,(z y x =)0,6,0(=,)1,0,2(=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CB n ,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=0206z x y 令1=x ,则)2,0,1(-=设面BMD 的法向量),,(z y x m = ……………………11分)0,6,2(-=BD )1,0,0(=DM⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DM m 即⎩⎨⎧==-062z y x 令1=y , 则)0,1,3(=m ……………………12分1cos ,2n m <>=所以二面角D BM C --的大小为︒60 …………………14分18.（本小题共13分）（Ⅰ）函数()f x 的定义域为),0(+∞. ………………1分21'()2f x a a x x =+-2221a x ax x-++=. ………………3分因为1x =是函数()y f x =的极值点，所以2'(1)120f a a =+-=.…………5分解得12a =-或1a =. 经检验，12a =-或1a =时，1x =是函数()y f x =的极值点. ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：21'()2f x a a x x =+-2221a x ax x-++=.由0a ¹，令(21)(1)'()0ax ax f x x +-+==，解得1211,2x x a a=-=.……9分当0a >时，()'(),f x f x 的变化情况如下表∴函数()y f x =的单调递增区间是(0,)a ，单调递减区间是(,)a+∞；…………11分 当0a <时，()'(),f x f x 的变化情况如下表∴函数()y f x =的单调递增区间是(0,)2a -，单调递减区间是(,)2a-+∞.…13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+====222231c b a a c e b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===312c b a ， 椭圆的标准方程为：1422=+y x . ………………4分 （Ⅱ）设),(),,(2211y x Q y x P联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14)2(22y x x k y ，消去y ，得：).(0)416(16)41(2222*=-+++k x k x k ……6分 依题意：直线)2(:+=x k y l 恒过点)0,2(-，此点为椭圆的左顶点， 所以21-=x ，01=y ----① ，由（*）式，)41(162221k k x x +-=+-------②，可得k x x k x k x k y y 4)()2()2(212121++=+++=+---- ③ ， ………………8分由①②③，2224182k k x +-=，22414k ky += ………………10分 由点B 在以PQ 为直径的圆内，得PBQ ∠为钝角或平角，即0<⋅BQ BP .），（），，（11222-=--=y x BQ BP ∴01222<+--=⋅y x BQ BP . …12分 即0141441164222>-+++-kkk k ，整理得034202<--k k . 解得：)21,103(-∈k . ………………14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）}2,1,1{-具有性质P . ……2分（Ⅱ）选取1(,2)a x = ，Y 中与1a垂直的元素必有形式()1,b -.所以=2x b ，从而=4x ……5分（III ）证明：取111(,)a x x Y =∈ .设2(,)a s t Y =∈ 满足120a a ⋅=.由()1+0s t x =得+0s t =，所以s 、t 异号.因为1-是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为1-，另一为1，故1X ∈. ……8分 假设1k x =，其中1k n <<，则101n x x <<<.选取11(,)n b x x Y =∈ ，并设2(,)b p q Y =∈ 满足120b b ⋅=，即10n px qx +=，则p ,q 异号，从而p ,q 之中恰有一个为1-. ……10分若1p =-，则1n x qx =，显然矛盾； 若1q =-，则1n n x px p x =<≤，矛盾.所以1=1x . ……13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。