相似多边形的性质1
相似多边形的性质(1)
一、自主学习 （一）自学指导： （细读教材 P146，并完成下列各题）
⑵求矩形 PQRS 的长与宽。 S E R
1、由教材可知：△ABC 是 上的”或“实际的”，且 ） △ABC 与△ AB C
AB = A B
图，△ AB C 是 ,
BC = B C
图（填“纸 ,
AC = A C
∽△
，
CF = C F
（填比
㎝,则△ABC 与△ AB C 对应高的比为 2、在△ABC 中，正方形 PQMN 的两个顶点 M、N 在 BC 上，另两个
AБайду номын сангаас
（模仿⑴写理由）
顶点 P、Q 分别在 AC、AB 上，已知 BC 的长为 20 ㎝，BC 边上的 高 AF 为 80 ㎝，求正方形 MNPQ 的面积。 Q E P
=90° （
）
⑵若 CE、C E 是角平分线， 则△ 比值） （将理由写在中缝内） ⑶若 CF、 C F 是中线，则△ 值） 理由：
∽△
，
CE = C E
（填 四、拓展提升
A 1、 △ABC∽△ AB C ， 和 A D 是它们的对应角平分线， AD 已知 AD=8 ㎝， D =3
D
A
∵CD、 C D 分别是高 ∴∠ ∴△ ∴
CD = C D
C
C
2、△ABC ∽△ AB C ，BD 和 B D 是它们的对应中线，已知 教 学 反 思 （疑惑） ㎝，则 BD = 3、习题 4.10 问题解决
AC 3 = ， B D =4 A C 2
=∠ ∽△ =
初 二 年级
数学科
自主探究学案
教学设计 (收获)
九年级数学相似多边形的性质
利用相似多边形证明角度相等关系
若两个多边形相似，则它们的对应角相等。因此，可以通过 证明两个多边形相似来证明两个角度相等。
例如，若要证明两个角∠A和∠B相等，可以构造两个相似多边形， 使得它们的一组对应角分别为∠A和∠B，然后通过计算对应角的 度数来得到它们相等的结论。
已知一个五边形与一个边长为 5cm的正五边形相似，且相似 比为2:1，求这个五边形的周长。
若两个相似三角形的面积分别 为16cm²和36cm²，求它们的 相似比。
03 相似多边形在几何证明中 应用
利用相似多边形证明线段比例关系
若两个多边形相似，则它们的对应边成比例。因此，可以通过证明两个多边形相 似来证明两条线段的比例关系。
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感谢您的观看
对应角相等定理
如果两个多边形相似，那么它们 的对应角必定相等。
应用
这个定理在解决相似多边形的问 题时非常重要，因为它允许我们 通过比较对应角来验证或确定多 边形的相似性。
02 相似多边形面积与周长关 系
面积比与相似比平方关系
01
若两个多边形相似，且相似比为 $k$，则它们的面积之比为$k^2$。
04 相似多边形在生活实际问 题中应用
建筑设计中缩放模型原理
建筑设计中，常常需要制作建筑物的缩 放模型来研究和展示设计方案。相似多 边形的性质使得缩放模型能够保持与原 建筑物相同的形状，但尺寸按比例缩小
或放大。
利用相似多边形的性质，建筑师可以计 算缩放模型各部分的尺寸，以确保模型
相似多边形的性质(1)-
A
D C
B A'
D'
B'
C'
AB BC CA 3 ' ' ' ' ' ' AB BC CA 4 CABC AB BC CA 3 ' ' ' ' ' ' C ' ' ' AB BC C A 4
A B C
2.ΔABC和ΔA`B`C`周长比是多少？
A
D C
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比， 对应Fra bibliotek线的比，对应角平 分线的比都等于相似比。
1.△ABC与△A`B`C`的相似比为 1:5,如果A`C`边上的中线B`D`＝ 4cm 20cm,则AC边上的中线BD=____ 2．如图△ABC∽△A`B`C`，对 应中线AD＝6cm，A`D`＝10cm， 7cm 。 若BC＝4.2cm，则B`C`＝______
SA' B'C '
2
AB C D 4 A B .C D
' ' ' '
上题中,ΔABC~ΔA`B`C`， 如果相似比为k，那么周长 面积比呢？ 比应该是多少？
相似三角形的周长比等 相似比 面积比等于 于______, _____________ 相似比的平方.
G
C D A B H E F
四边形ABCD~四边形EFGH， 相似比为K. 讨论：它们的周长比会是多少？ 它们的面积比会是多少？
（二）
老师在电脑上画了一个六边 形，上课时发现，原来一条5 厘米的边在电视屏幕上变成了 15厘米，那么电视屏幕的放大 比例是（ 1：3 ），这个 六边形的面积扩大为原来的 （9）倍。
相似多边形的性质
24.4 相似多边形的性质学习目标要求1、掌握相似多边形的性质。
2、会利用相似多边形的性质解决问题。
教材内容点拨知识点1：相似多边形边、角的性质：根据相似多边形的定义，可知当两个多边形相似时，它们的对应角相等，对应边对应成比例，其比叫做相似多边形的相似比。
知识点2：相似多边形的周长、面积的性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
由于从多边形的一个顶点出发，可引出（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线将多边形分成了（n－2）个三角形，所以相似多边形具有与相似三角形相类似的性质，诸如相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
典型例题点拨例1、已知图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示。
点拨：根据条件：“图中的两个四边形相似”，利用相似多边形的定义求解。
解答：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，且∠A＝∠E、∠B＝∠F，∴。
例2、如图，在 ABCD中，延长AB到E，使，延长CD到F，使交BC于G，交AD于H，则的周长与的周长的比为_________。
点拨：在 ABCD中，AB∥CD，所以△CBE与△CFG相似，要求的周长与的周长的比，即是求这两个三角形的相似比。
解答：1：4。
例3、如图，将的高AD三等分，这样把三角形分成三部分，设三部分的面积为，则。
点拨：利用相似三角形的面积比等于相似比的性质，先求出△ADE、△AFG、△ABC这三个三角形面积之间的关系，进而求出之间的关系。
解答：∵平行线段DEFGBC将三角形的高三等分，∴，∴。
例4、如图，在梯形ABCD中，是AB上一点，，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若，求。
点拨：根据相似多边形的定义，对应边成比例，可得AD、EF、BC之间的关系式，解得EF，从而得解。
解答：∵EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，∴，即，解得EF＝6，∴。
考点考题点拨1、中考导航中考中相似多边形的考察基本是通过选择题和填空题的形式出现，但近来也出现了不少考察相似多边形的综合题，往往与平行四边形和梯形相结合。
多边形的相似性与性质解析
多边形的相似性与性质解析多边形是几何学中常见的图形，而相似性是指两个或多个图形的形状相似。
本文将探讨多边形的相似性及其性质，帮助读者更好地理解和应用于实际问题中。
一、相似性的概念多边形的相似性是指两个多边形的对应边成比例，对应角相等。
具体来说，当两个多边形的所有对应边长度之比相等，且对应角度相等时，它们被认为是相似的。
二、相似性的判定条件在判定两个多边形是否相似时，我们可以根据以下条件进行分析：1. 角对应判定：两个多边形的对应角相等。
2. 边对应判定：两个多边形的对应边成比例。
这些判定条件是判断两个多边形相似的基本依据。
三、相似性的性质相似的多边形具有一些重要的性质，接下来我们将介绍其中几个：1. 周长比：相似的多边形的周长比等于任意一条对应边的长度比。
举个例子，若两个三角形相似，它们的周长比等于对应边的长度比。
2. 面积比：相似的多边形的面积比等于任意一条对应边长度的平方比。
对于两个相似的三角形，它们的面积比等于对应边长度的平方比。
3. 高度比：相似三角形的高度比等于对应边长度的比。
4. 布尔斯公式：布尔斯公式是用来计算三角形面积的公式，根据布尔斯公式，相似三角形的面积比等于对应边长度的平方比。
四、应用举例相似性在几何学中有着广泛的应用，特别是在测量和建模方面。
以下是一些应用举例：1. 比例尺计算：根据多边形的相似性，可以利用已知边长比例尺计算未知边长的长度。
2. 面积估算：通过相似多边形的面积比例，可以估算未知多边形的面积。
3. 空间几何建模：多边形的相似性可用于构建三维物体的模型，从而进行工程计算和设计。
五、总结多边形的相似性是几何学中重要的概念，通过判断角对应和边对应的比例关系，我们可以确定多边形之间是否相似。
相似性具有周长比、面积比和高度比等重要性质，并可以应用于测量和建模等实际问题中。
熟练掌握多边形的相似性与性质，对于解决几何问题将大有裨益。
相似多边形的性质的应用
相似多边形的性质的应用1、相似多边形的性质（1）相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比．（2）相似多边形中，对应线段的比等于相似比．（3）相似多边形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方．2、重要方法相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化.相似三角形的性质（1）回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便．性质（2）、（3）揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题，这里要注意这些性质的灵活运用．如：两个相似三角形的相似比，等于它的周长比；也等于它们的面积比的算术平方根．例1 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为（）A．12 B．18 C．24 D．30思路与技巧由相似多边形对应边成比例，设最长边为x.∴，∴2x=36,x=18.答案 B点评本题根据相似多边形的对应边成比例的性质，第一个多边形的最短边与第二个多边形的最短边，第一个多边形的最长边与第二个多边形的最长边分别是对应边，切记不可将对应关系弄错．例2 如图在□ABCD中，AB=6，AD=4，EF∥AD，若□ABCD∽□EFDA，求AE的长．思路与技巧（1）图形中有几对相似的平行四边形？为什么？对应边分别是什么？（2）AE的对应边应是哪条线段？为什么？（3）试一试：求S□ABCD∶S□EFDA的值.解∵EF∥AD，四边形ABCD是平行四边形，AD=4 ∴EF=AD=4，∵□ABCD∽□EFDA，∴（相似多边形对应边成比例），又∵AB=6，∴∴.点评由相似的条件，可知AE的对应边是DA，一般的在条件中，若使用的是相似符号，则对应边则是确定的，因此书写相似多边形时，对应的字母要写在对应的位置上.例3 已知：如图，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S四边形AFEG．思路与技巧（1）四边形AFEG是什么图形？为什么？（2）AE∶EC的值与哪两条线段的比相等？为什么？如何求出AF的长？（3）任意的两个正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？所有的菱形都相似吗？解∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥AD∴EF∥CB，EG∥DC∵∠1=∠2=45° ∴EF=AF∵∠FAG=90°，∴AFEG是正方形，∴正方形ABCD∽正方形AFEG，∴S正ABCD∶S正AFEG=AB2∶AF2（相似多边形的面积比等于相似比的平方），在△ABC中，EF∥CB ∴AE∶EC=AF∶FB=2∶1，又A B=6 ∴AF=4 ∴S正ABCD∶S正AFEG=36∶16，∴.点评本题中的正方形是特殊的多边形，但在一般的多边形中，一定要注意对应关系．（1）相似多边形的对应边的比，等于相似比的平方；（2）所有的正方形都是相似的，此题中只须证出四边形AFEG是正方形，即可得到它与正方形ABCD相似例4 已知：如图所示，△ABC中，DE//FG//BC．（1）若AD=DF=FB，求S1:S2:S3；（2）若S1:S2:S3=1:8:27，求AD:DF:FB．思路与技巧注意在（2）中，不能由S1:S2=1:8，就得出AD:DF=1:，因为此处不能直接运用面积的比等于相似比的平方，S1,S2不是两个相似三角形的对应面积．解（1）令，则，（2）∴可设，则∴AD:AF:AB=1:3:6AD:DF:FB=1:2:3.点评根据相似形，实施比例转化，应用面积比等于相似比的平方．例5 如图所示，△ABC的面积为16，，D为AB上任一点，F为BD的中点，DE//BC，FG//BC，分别交AC于E、G，设AD=x．（1）把△ADE的面积S1，用含x的代数式表示；（2）把梯形DFGE的面积S2，用含x的代数式表示．思路与技巧转化为相似三角形，利用其性质解决．解（1），即（2）∵F为BD的中点，.例6 如图所示，已知O是四边形ABCD的一边AB上的任意一点，EH//AD，HG//DC，GF//BC．试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否相似，并说明你的理由．思路与技巧证明两个四边形的对应边成比例，对应角相等．解四边形四边形．理由：因为，所以，所以，所以又因为，所以，所以，所以．而，所以．因为，所以，所以．而，所以．设，所以，所以，所以因此，所以四边形四边形．点评通过图形的分割，转化为三角形问题加以研究．例7 已知：ABCD是梯形，AB//DC，对角线AC，BD交于E，ΔDCE的面积与ΔCEB的面积比为1∶3．求：ΔDCE的面积与ΔABD的面积比．分析：题目中已知条件是面积比，要求的也是面积比，因此根据图形找到面积之间的关系是很重要的．ΔDCE与ΔCEB是等高三角形，因此面积比为底的比，而ΔDCE与ΔABE是相似三角形，面积的比等于相似比的平方，又可证出ΔADE与ΔBCE的面积相等，这样ΔDCE与ΔABD的面积比就可求了．解∵SΔ DCE∶SΔCEB=1∶3,而ΔDCE与ΔCEB是等高三角形，∴DE∶EB=1∶3，∵DC//AB，∴ΔDCE∽ΔBAE，∴SΔDCE∶SΔBAE=(DE∶EB)2=1∶9，∵ΔADC与ΔBDC为等底、等高三角形，∴SΔADC=SΔBDC，∴SΔADC-SΔDCE=SΔBDC-SΔDCE，∴SΔAED=SΔBEC设SΔDCE=k, 则SΔAED=SΔBEC=3k, SΔBAE=9k,∴SΔABD=SΔABE+SΔADE=12k,∴SΔDCE∶SΔABD=1∶12.点评相似三角形的面积比等于相似比的平方，计算时不要丢掉平方；若从面积比求相似三角形的相似比，则要注意开平方．例8 如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2，解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；思路与技巧本题考点有等腰三角形；正方形；相似三角形．第一问，思路，作PEQR，E为垂足，运用相似三角形的性质，面积比第于相似比的平方，可求出面积．第二问方法与第一问类似，但是要注意图形的位置．解（1）：作PE⊥QR，E为垂足∵PQ=PR，∴QE=RE=QR=4.∴PE==3.当t=3时，QC=3．设PQ与DC交于点G.∵PE∥DC，∴△QCG∽△QEP，∴=()2.∵S△QEP=×4×3=6，∴S=()2×6=(cm2).（2）当t=5时，QC＝5，B、C两点重合，CR=3，设PR与DC交于G. 由△RCG∽△REP，可求出S△RCG=.S=12-=(cm2).点评本题是代数，几何综合问题，等腰三角形，正方形等多种知识，解答本题的基本思想是数形结合，构造函数，用运动观点考虑．每种情况画一图形，结合图形，认真分析，实现数形结合的思想．。
相似多边形的性质表格式教案
（1） △ASR 与△ABC 相似吗为什么
（2） 求正方形 PQRS 的边长。
解略
A
课后练习：1、2。
SER
B
C
P DQ
谈谈本节后你的收获与疑惑。
理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、以 及对应中线的比都等于相似比。
培养学生的分析能力和数形结合的能力
知识点
理解并初步掌握相似多边形周长的比等于相似比、面积的比
的等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。
学 本节课共分 2 课时，第 1 课时主要探索相似三角形中对应高的
情 分
比、对应中线的比与相似比的关系；第 2 课时探索相似多边形的
少。
（2）如果 CH 和 FG 是他们的对应角平分线，那么 CH FG
等于多少。如果 CH 和 FG 是他们的对应中线呢那么 CH 等 FG
于多少。
性质：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对
应中线的比都等于相似比。
如图，在等腰三角形 ABC 中，底边 BC=60cm，高
AD=40cm，四边形 PQRS 是正方ed on 22 November 2020
课题 ：
课时安排：
课题名称 相似多边形的性质（一） NO：1 课 型 新 授
教 德育点 材 分 创新点 析
能力点
经历探索相似多边形的过程，并在探究过程中发展学生积极 的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性。
析 周长笔、面积比与相似比的关系。
教学流程 （内容概 要）
一、引入
师生互动 （问题设计、情景创设）
A B 若正方形 ABCD 边长为 1 周长为 4,面积为 1 若边长增大一倍,变为 2.周长为 8,面积为 4 若边长,变为 3.周长为 12,面积为 9
多边形的相似性质
多边形的相似性质在几何学中，多边形是由连续的直线段组成的封闭图形，它是我们研究的重要对象之一。
在多边形的研究中，相似性质是一个关键概念，它描述了在一些特定条件下，两个多边形之间的形状和大小的关系。
本文将介绍多边形相似性质的定义、判定方法以及相关的应用。
一、多边形的相似性质定义在几何学中，两个多边形被认为是相似的，当且仅当它们每两个对应边的长度之比相等，并且对应的角度也相等。
简而言之，两个多边形相似意味着它们具有相似的形状，只是尺寸不同。
例如，在图形学中，我们常常遇到的问题是，如何判断两个多边形是否相似，并且根据相似性质进行进一步的推导和计算。
二、多边形的相似性质判定判断两个多边形是否相似的一种常用方法是通过比较它们的对应边的长度之比，并且对应的角度是否相等。
如果两个多边形的边长比和角度比都相等，那么它们就是相似的。
具体来说，可以通过以下步骤进行判定：1. 确定两个多边形的对应边；2. 计算对应边的长度之比；3. 计算对应角度之间的差值；4. 比较长度之比和角度差值是否满足相似性质。
三、多边形的相似性质应用多边形的相似性质在现实生活和各个学科中有广泛应用。
以下是一些具体的例子：1.建筑设计：在建筑设计中，多边形的相似性质可以应用于模型放大缩小、结构设计等方面，从而实现建筑设计的灵活性和优化效果；2.地图制作：在地图制作中，多边形的相似性质可以用于测量和推算地理距离、比例尺等，从而准确地绘制地理形状和位置；3.工程测量：在工程测量中，多边形的相似性质可以应用于实际测量，通过已知的尺寸计算未知的尺寸；4.数学推导：在数学推导中，多边形的相似性质可以用于证明几何定理和解决几何问题。
总结：多边形的相似性质是几何学中重要的概念，它描述了两个多边形之间的形状和大小的关系。
判断多边形的相似性质可以通过比较对应边的长度之比和对应角度之间的差值。
多边形的相似性质在实际应用中具有广泛的应用，涉及建筑设计、地图制作、工程测量等多个领域。
相似多边形的性质1
A1
A
B
DC
B1
D1
C1
相似三角形对应角平分线 的比等于相似比。
A
E
D
A1
E1
D1
B
3
C B1
5
C1
已知△ABC∽△A1B1C1, ,BC=3, B1C1=5,BD、 B1D1分别是∠ABC和∠ A1B1C1的角平分 线,CE、C1E1分别是∠ACB和∠A1C1Ｂ１的 角平分线，你能得出什么结论？
问题三：
猜一猜相似三角形的对应中线的比是否 等于相似比？
已知 ABC ∽ A1B1C1且相似比为K，
AD和A1D1分别是BC和B1C1边上的中线，
AD比A1D1等于多少？由此你能得到什么结
论？
A1
A
B
DC
B1
D1
C1
相似三角形对应中线的比等于相似比。
相似三角形对应高的比， 对应角平分线的比和对应中 线的比都等于相似比。
试一试
1、 △ABC ∽ △A1B1C1 ，BD和 B1D1是它们对应边上的中线，已知 AC： A1C1 = 3：2 ， B1D1 =4cm,求BD的 长。
2、 △ABC ∽ △A1B1C1，AD和 A1D1是它们的对应角平分线，已知 AD=8cm, A1D1=3cm则 △ABC和 △A1B1C1对应高的比是多少？
A1ABFra bibliotekDCB1
D1
C1
相似三角形对应高的比等于相似比。
问题二：
已知 △ ABC ∽ △ A1B1C1且相似比 为K，AD和A1D1分别是∠A和∠A1的角 平分线。
1.图中除 △ABC ∽ △ A1B1C1外， 还有没有相似三角形？若有，你认为哪
4.8相似多边形的性质(1)
4.8相似多边形的性质（1）重点：相似三角形中对应线段比值的推导、理解和应用。
难点：相似三角形性质的推导和应用。
学习准备：1. 什么是相似三角形？怎么判断两个三角形相似？2. 什么是相似比？课中导学 阅读感知先阅读课本146页上面的内容，根据图4-23思考并回答： （1）根据比例尺的定义得='’B A AB ，=''C B BC ，=''C A AC； （2）由（1）可知△ABC 与△A ’B ’C ’相似，理由是： ，并且，它们的相似比为 。
（3）△BCDC 与△B ’C ’D ’相似吗？为什么？ （4）请你把问题（4）的推理过程填在下面： 因为△ ～△ ，所以=''D C CD= 。
合作探究类比（根据阅读感知的启发，回答下列问题）已知△ABC ～△A ’B ’C ’， △ABC 与△A ’B ’C ’相似比为K ， （1）如图，如果CD 和C ’D ’是它们的对应角平分线，那么='C CD。
理由：因为△ABC ～△A ’B’C ’， 所以∠A=∠ ，∠ACB=∠ 。
因为CD 、C ’D ’分别是∠ACB 、∠A ’C ’B ’r 所以∠ACD=∠所以△ACD ～△ ， 所以==ACD C CD '' 。
（2如图，如果CD 和C ’D ’是它们的对应中线，那么=''D C CD。
○1、结合图形猜想，相似三角形对应中线的比等于 . ○2仿照○1的方法，说明你的理由.’’练习巩固1.若两个三角形的对应中线的比是1：2，那么它们对应高线的比是 。
2.把一个五边形改成和相似的五边形，如果边长扩大到原来的7倍，那么对应的角平分线扩大到原来的 （ ） A 49倍 B7倍 C50倍 D8倍3. 已知△ABC ～△A ’B ’C ’，21''=B A AB ，AB 边上的中线CD=4cm,求A ’B ’边是的中线C ’D ’。
4.8 相似多边形的性质 课件1(北师大版八年级下)
又∵AM,DN分别是△ABC和△DEF的中线.
BM BC AB BM . .且∠B =∠E. EN EF DE EN AM AB E . DN DE (相似三角形对应边成比例).
M
C
D
∴△AMB∽△DNE.(两边对应成比 例且夹角相等的两个三角形相似).
N
F
即,相似三角形对应中线的比等于相似比.
做一做P132
好汉的歌
• 下图是阳泉市城区外环路示意图,比例尺为1∶100 000 • (1)设法求出图上外环路的长度,并由此求出外环路的实 际长度; • (2)估计外环路所围成的区域的面积.你是怎么做的?与同 伴交流. 平坦立交桥
• 点拨 • (1)用一根线绳沿图中 的外环路重叠放置,此 时线绳的长度就是外 环路的图上距离; • (2)把图上的外环路近 似地看作一个矩形.
E
A B
D
AB AC BC . DE DC CE
C
开启
智慧 内涵与外延
A
如图, 已知△ABC, DE ∥ BC, 交AB,AC 或其延长线于D,E,则有如下结论: D E 结论1:平行于三角形一边直线 B C 截其它两边(或其延长线),所截 A 得的三角形与原三角形相似; B C 如图:在△ABC中, 如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC. D E 结论2:平行于三角形一边直线截 E D 其它两边(或其延长线),所得的对 A 应线段成比例. 如图:在△ABC中,如果DE∥BC， B C AD AE AD AE DB EC DB EC 那么 ;或 ;或 ;或 . DB EC AB AC AD AE AB AC
大阳泉
义井桥
随 堂 阳泉是我家 练 人人热爱它 习 • 阳泉市城市广场,是一个因周边环境设计建造
相似多边形的性质
相似多边形的性质相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。
在几何学中，相似多边形具有一些独特的性质和特征。
本文将探讨相似多边形的性质，并展示一些相关的数学应用和实际问题。
1. 相似多边形的定义相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。
两个多边形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
由此定义可知，如果两个多边形相似，它们的边长比例是相等的。
2. 相似多边形的比例关系对于相似多边形，存在着一种特殊的比例关系。
设两个相似多边形的对应边长分别为a和b，对应的面积分别为A和B。
根据相似多边形的性质，可以得出以下结论：- 边长比例：a:b = A:B- 面积比例：A:B = (a^2):(b^2)这些比例关系对于解决与相似多边形有关的数学问题非常重要。
3. 相似多边形的角度关系对于相似多边形，其对应角度是相等的。
这意味着，如果我们知道一个相似多边形的对应角度，就可以确定其他相似多边形的对应角度。
这对于计算多边形的角度和解决三角学问题非常有用。
4. 相似多边形的周长和面积由于相似多边形的边长比例相等，所以它们的周长比例也相等。
假设两个相似多边形的边长比例为m:n，那么它们的周长比例也为m:n。
同样地，由于相似多边形的面积比例为(a^2):(b^2)，所以它们的面积比例也为(a^2):(b^2)。
5. 相似三角形的应用相似多边形的性质在实际问题中有着广泛的应用。
其中最常见的应用是解决相似三角形问题。
通过利用相似三角形的角度和边长关系，我们可以确定无法直接测量的距离和高度。
例如，在地理测量中，我们可以利用相似三角形的性质来测算高山的高度或者海洋的深度。
6. 相似多边形与比例的关系相似多边形的性质与比例密切相关。
相似多边形利用比例关系来描述形状的相似性，从而在数学和实际问题中提供了有用的工具和方法。
比例的概念在解决与相似多边形有关的计算问题中起着关键作用。
综上所述，相似多边形具有一些独特的性质和特征。
相似多边形的性质课件
三边对应成比例判定定理
总结词
通过两个多边形的三边对应成比例，可以判定两个多 边形相似。
详细描述
三边对应成比例判定定理是相似多边形判定定理的一 种，它基于两个多边形的三边对应成比例，从而判定 两个多边形相似。这个定理在实际应用中非常有用， 因为它只需要比较三个边的长度就可以判断两个多边 形是否相似，相对于其他判定定理更为简便。然而， 需要注意的是，这个定理只适用于三边对应成比例的 情况，对于更多边的多边形，需要使用其他判定定理 进行判断。
总结词
通过比较相似多边形的面积和相似比， 证明面积比等于相似比的平方。
详细描述
首先，计算两个相似多边形的面积。 然后，计算它们的相似比。最后，比 较面积和相似比的关系，如果面积比 等于相似比的平方，则证明了面积比 等于相似比的平方。
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多边形相似。
02
相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等
总结词
相似多边形的对应角是相等的，这是相似多边形的基本性质之一。
详细描述
根据相似多边形的定义，如果两个多边形相似，则它们的对应角必定相等。这 意味着无论多边形的大小如何变化，只要它们是相似的，它们的对应角就会保 持不变。
相似多边形的对应边成比例
角-角-边判定定理
总结词
通过两个多边形的对应角相等，且对应边成比例，可以判定两个多边形相似。
详细描述
角-角-边且对应边成比例，从而判定 两个多边形相似。在几何学中，这个定理是非常重要的，因为它提供了一种简单而有效的方法来判断两个多边形 是否相似。
相似多边形的性质
相似多边形的面积之 比等于对应边长的平 方之比。
相似多边形的对应角 相等，对应边成比例。
《相似多边形的性质(一)》
4.8相似多边形的性质教学目的： 1、知识与能力：（1）经历“直观感觉――理性思维――合情推理――应用拓展”的活动过程，探索相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比与相似比的关系。
（2）通过运用相似三角形的性质解决简单问题，进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理能力。
2、过程与方法：（1）通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识。
（2）通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识。
3、情感与态度：让学生经历数学活动，体验主动探究问题的乐趣与成功的快乐，感受数学活动充满探索与创新的机遇；教学重点：相似三角形的性质； 教学难点：相似三角形性质的推导 教学方法：探究式，分析法，归纳法 教具：三角尺，多媒体课件 教学过程：一、复习回顾，引入新课1．相似三角形： 叫做相似三角形。
2．相似三角形的判定方法： （1） ==(2) = =(3)相似三角形的定义既可以作为判定，也可以作为性质。
即相似三角形对应角相等，对应边成比例。
除此以外，相似三角形还有其它的性质吗？这节课我们一起来找一找。
板书课题：4.8 相似多边形的性质（一）A'B'ABC △ABC ∽ △A 'B 'C '△ABC ∽ △A'B 'C '△ABC ∽ △A 'B 'C '二、创设情境，探究新知1、课本P146引例：钳工小王准备按照比例尺3：4的图纸制作三角形零件。
如图，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A /B /C /，CD 和C /D /分别是它们的高。
（1）''B A AB ，''C B BC ，''C A AC各等于多少？ （2）△ABC 与△A /B /C /相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比。
（3）请你在图中再找出一对相似三角形。
相似多边形判定相似多边形的性质相似多边形面积比和边长比的关系
一、相似多边形判定
如果对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形.
如果所有对应边成比例，那么这两个多边形相似
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
相似比：把相似多边形对应边的比称为相似比。
（2）相似多边形的周长比等于相似比；
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方。
二、相似多边形的性质：
相似多边形的性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。
相似多边形的性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。
相似多边形的性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。
相似多边形的性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。
相似多边形的性质定理5：若相似比为1，则全等。
相似多边形的性质定理6：相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
相似多边形的性质定理7：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。
三、相似多边形：
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
（或相似系数）
相似的两个多边形称为相似多边形。
两个多边形的对应边成比例、对应角相等时，它们相似。
两个边数相等的正凸多边形一定相似。
两个相似多边形的周长的比等于它们的相似比，面积的比等于相似比的平方。
四、相似三角形判定定理
1、两角对应相等，则两个三角形相似。
2、两边对应成比例，及两边夹角相等，则两个三角形相似。
3、三边对应成比例，则两个三角形相似。
相似多边形的性质与判定
相似多边形的性质与判定相似多边形是指具有相同形状但可能不同大小的多边形。
在几何学中，相似多边形具有一些独特的性质和判定条件。
本文将探讨相似多边形的性质与判定方法。
一、相似多边形的性质1. 对应角相等：如果两个多边形的对应角相等，则这两个多边形是相似的。
对应角是指两个多边形中，对应边之间的角度大小。
2. 对应边成比例：相似多边形的对应边的长度成比例。
具体而言，如果两个多边形的对应边长之比恒定，则这两个多边形是相似的。
3. 相似比例：两个相似多边形的边长比例被称为相似比例。
如果两个多边形的对应边长度比恒定，那么这个比例称为相似比例。
4. 面积比例：两个相似多边形的面积比等于它们对应边长度比的平方。
具体而言，如果两个多边形的长度比为k，面积比为k²。
二、相似多边形的判定方法1. 角-边-角判定法：如果两个多边形的两组对应角相等，并且两个多边形的一对对应边成比例，则这两个多边形是相似的。
2. 边-边-边判定法：如果两个多边形的三对对应边成比例，则这两个多边形是相似的。
3. SSS判定法：如果两个多边形的三对对应边长度比恒定，则这两个多边形是相似的。
4. AA判定法：如果两个多边形的两组对应角相等，则这两个多边形是相似的。
5. SAS判定法：如果两个多边形的一对对应边成比例，并且对应边间的夹角相等，则这两个多边形是相似的。
三、例题解析假设有一个三角形ABC，边长分别为AB=6cm，BC=9cm，AC=12cm。
现在构造一个相似三角形DEF，要求DEF的周长是ABC的周长的一半。
解题步骤如下：1. 首先，根据周长的要求，DEF的周长应为ABC的一半，即(AB+BC+AC)/2 = (DE+EF+FD)/2。
代入AB=6cm，BC=9cm，AC=12cm，得到6+9+12 = DE+EF+FD。
2. 其次，根据相似多边形的性质，我们需要找到相似比例。
由于DEF与ABC相似，我们可以设DE与AB的长度比为k，EF与BC的长度比为k，FD与AC的长度比为k。
相似多边形的性质
24.4 相似多边形的性质学习目标要求1、掌握相似多边形的性质。
2、会利用相似多边形的性质解决问题。
教材内容点拨知识点1：相似多边形边、角的性质： 根据相似多边形的定义，可知当两个多边形相似时，它们的对应角相等，对应边对应成比例，其比叫做相似多边形的相似比。
知识点2：相似多边形的周长、面积的性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
由于从多边形的一个顶点出发，可引出（n －3）条对角线，这（n －3）条对角线将多边形分成了（n －2）个三角形，所以相似多边形具有与相似三角形相类似的性质，诸如相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
典型例题点拨例1、已知图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示。
点拨：根据条件：“图中的两个四边形相似”，利用相似多边形的定义求解。
解答：∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ，且∠A ＝∠E 、∠B ＝∠F ，∴A BB CC D D E E F F G G HH E===。
例2中，延长AB 到E ，使12B E A B =，延长CD 到F ，使,DF DC EF =交BC 于G ，交AD 于H ，则B E G ∆的周长与C F G ∆的周长的比为_________。
点拨：在中，AB ∥CD ，所以△CBE 与△CFG 相似，要求B E G ∆的周长与C F G ∆的周长的比，即是求这两个三角形的相似比。
解答：1：4。
例3、如图，将ABC ∆的高AD 三等分，这样把三角形分成三部分，设三部分的面积为321,,S S S ，则____::321=S S S 。
点拨：利用相似三角形的面积比等于相似比的性质，先求出△ADE 、△AFG 、△ABC 这三个三角形面积之间的关系，进而求出321,,S S S 之间的关系。
解答：∵平行线段DEFGBC 将三角形的高三等分，∴1149A D E A F G ABC S S S ∆∆∆==，∴123::1:3:5S S S =。
相似多边形的性质
结论： 相似多边形的周长比等于（相似 比），面积比等于（相似比的平方）．
四： 课堂练习
1： △ABC∽ △DEF， AG、DH分别是他 们的高线，且AG/DH=2/3，试求他们的 面积比。
2：某城市中心有一个矩形广场，设计图 的比例尺是1/10000，图上矩形与实际矩 形相似吗？如果相似，他们的相似比是 多少？周长比是多少？面积比呢？
分工协作是现代社会取得成功地的 基本素质，请注意在日常生活、学习中 培养你的协作精神！
结论
1：相似三角形的对应角平分线的比、 对应高的比、对应中线的比等于相似比;
2:相似三角形周长的比等于相似比; 面积比等于相似比的平方。
议一议
如图：四边形ABCD与四边形EFGH相 似，相似比为k
ADE来自HCG F
相似多边形的性质
一：复习回顾
相似多边形：各角对应相等、各边 对应成比例的两个多边形。
相似比：相似多边形对应边的比。
二：问题引入
相似三角形对应高的比、对应角平分 线的比、对应中线的比以及周长的比、面 积的比与相似比有怎样的关系？
仔细的思考、大胆的猜想、 勇敢地说出你的结论！！！
已知：△ABC∽ △DEF, BG、EH分别是∠ ABC ∠
五：课堂小结：
1：相似三角形对应高的比、对应角平分线 的比、对应中线的比等于相似比； 2：相似多边形的对应对角线的比、周长的 比等于相似比； 3：相似多边形的面积比等于相似比的平方。
六：作业：
习题： 4.11第2，3，4题
独立完成作业是成长 过程中的必要经历！
下课！
•谢谢大家，再见！
B (1)四边形ABCD与四边形EFGH的周长比是多少？
(2)连接相应的对角线BD,FH,所得△ABD与△EFH相似吗？ △BCD与 △FGH相似吗？如果相似，相似比是多少？为什么？
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B
D
C
B1
D1
C1
相似三角形对应角平分线 的比等于相似比。
A1 A E D 3 E1 D1 5
B
C B1
C1
已知△ABC∽△A1B1C1, ,BC=3, B1C1=5,BD、 B1D1分别是∠ABC和∠ A1B1C1的角平分 线,CE、C1E1分别是∠ACB和∠A1C1Ｂ１的 角平分线，你能得出什么结论？
问题三：
猜一猜相似三角形的对应中线的比是否 等于相似比？ 已知 ABC ∽ A1B1C1且相似比为K， AD和A1D1分别是BC和B1C1边上的中线， AD比A1D1等于多少？由此你能得到什么结 A1 论？
A
B
D
C
B1
D1
C1
相似三角形对应中线的比等于相似比。
相似三角形对应高的比， 对应角平分线的比和对应中 线的比都等于相似比。
相似三角形的性质
学习目标
经历探索相似多边形性质的过程,并在探 究过程中发展学生积极的情感、态度、 价值观，体验解决问题策略的多样性。 理解并掌握相似三角形对应高的比、对 应角平分线的比和对应中线的比都等于 相似比。
问题一： 已知 ABC ∽ A1B1C1 ，且相似比为K， AD和A1D1分别是BC和B1C1边上的高。 1.图中除 ABC ∽ A1B1C1外，还有没 有相似三角形？若有你认为哪些三角形还 相似？为什么？ 2.AD比A1D1等于多少？ 3.由此你能得到什么结论？
A1 A
B
D
C
B1
D1
C1
相似三角形对应高的比等于相似比。
问题二： 已知 △ ABC ∽ △ A1B1C1且相似比 为K，AD和A1D1分别是∠A和∠A1的角 平分线。 1.图中除 △ABC ∽ △ A1B1C1外， 还有没有相似三角形？若有，你认为哪 些三角形还相似？为什么？ 2.AD比A1D1等于多少？ A1 3.由此你能得到什么结论？
3、如图，在三角形ABC中，底边 BC=60cm,高AD=40cm, AD与ＳＲ相交于点H，四边形PQRS 是正方形。 1）△ ASR与 △ ABC相似吗？ 2)设正方形PQRS的边长为xcm,求x。
A
S
H D
R C
B
P
Q
供卵试管，又名赠卵试管婴儿，或供卵试管，是指在准母亲由于卵巢储备衰竭或其他遗传疾病等原因自有卵子不能使用的情况下，可以借 助试管婴儿技术 ； / 供卵试管 jbh80lcf 从第三方卵子捐赠者那里取出卵子，与准父亲的精子结合后，形成受精卵胚胎，再将胚胎移植回准母亲或者替代母亲子宫中受孕的过程。 [2] ·由于子宫比卵巢的老化速度慢很多，供卵试管技术能够为40岁以上的大龄夫妻和有其他生育障碍的夫妻提供成功率较高的生育机 会。
在外，受的那些苦楚，可不像是太平盛世该有的。名门贵族，花团锦绣，中等人家，不失温饱，下层窟窿，可穷得都烂了。穷则生变呐！ 真有变数时，有个作强贼的儿孙，岂不也好？明柯的本事，怕不在强贼中作个头儿！兵荒马乱时，料他念着亲情，还是要照顾照顾苏家的。 苏家便多一重靠山呢！“你埋怨我么？”苏小横又问裳儿。一边要送她进宫服侍皇上，一边在外头放个作强贼的人情。两面逢源的算盘， 打得也太顺溜了。“我埋怨什么？”裳儿叹道，“皇上听到了才生气呢！爷爷您对我一切坦白，我心中感念。要是没万一，官兵自去剿灭 他们，不必我们操心。要是有万一，我在宫里，原是死数，五哥说不定还能救我，那时，我要多谢爷爷这步闲棋。”苏小横答道：“我但 愿这步只是闲棋。”停了停，“你蕙妹妹生母那头亲眷，你来设法。”裳儿应着，低头踌躇。窗外又阴得厉害了，云层压得低，很缓慢的 流动着，像肮脏的雪河在天上流，总还没倾倒下来。到天晚时，雪终于下了，比前一天更大，鹅毛纷飞，下了三个更次，渐小，破晓时停 一停，第二天又下，陆陆续续，竟一直下到过年。太守征发三百多名民徭、并牢中苦役，赶了两日的工，将主要街道上的冰雪清开。今日 清开的，到晚上又积了新的雪，但比原来到底积得少了，等最后一天，再赶一赶，多撒些废煤灰渣子，人走在上头肯定没问题，一定能保 证过年的街市。灯架子已经陆陆续续扎起来，小贩们精心设计着摊位，孩童们早等不及的放起炮仗。到入夜，必定又是满城灯火，琉璃如 星、灿华胜雪，仕女娇童，喧哗满街，又有卖诗的、扎花的、杂耍的、点茶的、射盘卖糖的，从年夜一直会热闹到元宵夜呢！富贵人家又 会豪气的在街上铺设步障，方便内眷游玩。“今年我绝不会想从步障里溜出去！”宝音跟洛月保证。“ 您连文会都敢溜去！”乐韵毫不客 气。“正是因为那样大的事都做过了„„如今才不敢了嘛！”宝音陪笑。“好罢！不过您跟婢子们保证也没什么用。”乐韵叹道，“也要 咱们有出去的机会。”老太太身子不好，不想出去逛；明秀为了婚事，闹得灰头土脸，一句出去逛的话都不提；大太太一则心疼女儿，二 则要在老太太病榻前尽孝卖好，故也不说要逛；明蕙从前游玩是最积极的，而今据说是病死了，小灵柩还停在庙里，说不得了；二太太为 了院里出了大大丢人的事，巴不得把头埋进土里，作哑巴还来不及呢；三少爷云书在任上也逢着大雪灾，不得不主持赈济灾民的事，走不 开，只修书回来告罪；大少奶奶和柳少姨娘等辈，更不提什么了——因此上，苏府今年，最多派人去寺里上个香，其余活动，能取消就取 消罢！这个年就闷在家里过完了算数。宝音为何却在商议年节如何游玩？溜去文会的事，老太太便
试一试
1、 △ABC ∽ △A1B1C1 ，BD和 B1D1是它们对应边上的中线，已知 AC： A1C1 = 3：2 ， B1D1 =4cm,求BD的 长。 2、 △ABC ∽ △A1B1C1，AD和 A1D1是它们的对应角平分线，已知 AD=8cm, A1D1=3cm则 △ABC和 △A1B1C1对应高的比是多少？