高中数学苏教版必修4章末综合检测02 含解析
苏教版高中数学必修4 章末过关检测卷(二) Word版含解析
章末过关检测卷(二)(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．(·四川卷)向量＝(，)与向量＝(，)共线，则实数＝( )．．．．解析：因为∥，所以×－＝，解得＝.答案：．(＋)＋(＋)＋化简后等于( )解析：原式＝＋＋＋＋＝.答案：．(·课标全国Ⅱ卷)向量＝(，－)，＝(－，)，则(＋)·＝( )．－．．．解析：法一：因为＝(，－)，＝(－，)，所以＝，·＝－，从而(＋)·＝＋·＝－＝.法二：因为＝(，－)，＝(－，)，所以＋＝(，－)＋(－，)＝(，)．从而(＋)·＝(，)·(，－)＝.答案：．设点(－，)，(，)，(，－)，且＝－，则点的坐标为( )．(－，－)．(，)．(，)．(，)解析：设(，)，由题意可知＝(＋，－)，＝(，)，＝(，－)，所以－＝(，)－(，－)＝(，)．所以所以答案：．点在线段上，且＝，若＝λ，则λ等于( )．－．－解析：因＝＝(－)，所以＝－，即＝－＝λ.所以λ＝－.答案：．设非零向量，，满足＝＝，＋＝，则向量，的夹角为( )．°．°．°．°解析：设向量，夹角为θ，＝＋＝＋＋θ，则θ＝－.又θ∈[°，°]，所以θ＝°.答案：．(·陕西卷)对任意向量，，下列关系式中不恒成立的是( )．－≤－．·≤．(＋)·(－)＝－．(＋)＝＋解析：根据·＝θ，又θ≤，知·≤，恒成立．当向量和方向不相同时，－>－，不恒成立．根据＋＝＋·＋＝(＋)，恒成立. 根据向量的运算性质得(＋)·(－)＝－，恒成立．答案：．(·课标全国Ⅰ卷)设为△所在平面内一点，＝，则( )＝－＝－＋。
苏教版高中数学必修4模块检测(含参考答案).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作模块检测（苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分150分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为 ．2．化简：sin 13cos 17sin 17cos 13︒︒+︒︒= ．3.已知(,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，则x = .4.已知tan 2α=，则sin 2cos cos sin αααα+-= ．5.若1sin cos 3αα+=，则sin 2α= . 6.已知扇形的半径为8 cm ，圆心角为45°，则扇形的面积是 cm 2．7.已知4sin 5θ=，且cos(π)0θ->，则πcos 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ = ． 8.要得到2πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，需要将函数y = sin 2x 的图象 .9．若ππ0,022αβ<<<<，且72cos 10α=，tan β=34，则αβ+= ． 10.函数sin y x =的定义域是 .11.已知,a b 满足：3,2,+4===a b a b ，则-a b = .12.设02πθ<≤，已知两个向量1(cos ,sin ),OP θθ=uuu r 2(2sin ,2cos )OP θθ=+-uuu r ，则向量12P P uuu r长度的最大值是 .13.已知四边形ABCD 为平行四边形，(1,2),(0,A B -0),(1,7)C ，则D 点坐标为 . 14.给出下列四个命题： ①函数π2sin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴是5π12x =； ②函数tan y x =的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③正弦函数在第一象限为增函数； ④若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12πx x k -=， 其中k ∈Z .以上正确的有 .（请把正确命题的序号填在横线上）二、解答题（共90分）15.（14分）（1）已知1cos 3α=，求cos(2π)sin(π)πsin tan(3π)2αααα-+⎛⎫++ ⎪⎝⎭··的值；（2）已知tan 2α=，求2sin sin cos ααα+的值．16.（14分）已知53cos(),sin 135αββ+=-=，,αβ均为锐角.（1）求cos(2)αβ+的值；（2）求sin α的值．17.（14分）已知(1,2),(3,2)==-a b .（1）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 垂直？（2）当k 为何值时，k +a b 与3-a b 平行？平行时它们是同向还是反向？18．（16分）函数π()sin()0,0,2f x A x A ωαω⎛=+>>- ⎝π2α⎫<<⎪⎭的最小正周期是π，且当π6x =时()f x 取得最大值3．（1）求()f x 的解析式及单调增区间．（2）若0[02π)x ∈，，且03()2f x =，求0x ．（3）将函数()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位长度后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =是偶函数，求m 的最小值．19.（16分）已知(3sin ,cos ),(cos ,x m x x =+=a b cos )m x -+且()f x =g a b .（1）求函数()f x 的解析式；（2）当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是-4，求此时函数()f x 的最大值，并求出相应的x 的值．20.（16分）某港口的水深y (米)是时间t（024t ≤≤，单位：小时）的函数，下表是每天时间t 与水深y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 经过长期观测，()y f t =可近似的看成是函数y =sin A t b ω+.（1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式.（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？模块检测（苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3. 4. 5． 6． 7. 8. 9． 10． 11. 12. 13． 14．三、解答题15.16.17.18.19.20.模块检测（苏教版必修4）答案一、填空题1.πv 解析：∵ 函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴ 2ω=，∴ 2π π2T ==．2.12 解析：1sin 13cos 17cos 13sin 17sin 302+==. 3.-1 解析：∵ (,3)x =a ，(3,1)=b ，且⊥a b ，∴ 330x =+=g a b .解得1x =-.4.-4 解析：由tan 2α=，得sin 2cos tan 2224cos sin 1tan 12αααααα+++===----．5.89- 解析：由1sin cos 3αα+=，得112sin cos 9αα+=，∴ 82sin cos 9αα=-，∴ 8sin 29α=-.6.8π 解析：∵ 在扇形中，半径8 cm r =，圆心角α=45°=π4，∴ 弧长π82π(cm)4l =⨯=，∴ 扇形的面积2112π88π(cm )22S lr ==⨯⨯=．7.34310-- 解析：∵ 4sin 5θ=，且cos(π)cos 0θθ-=>-，∴ 3cos 5θ=-．∴ πππ3143343cos cos cos sin sin 333525210θθθ--⎛⎫+==-⨯-⨯= ⎪⎝⎭-.8.向右平移π3个单位 解析：将函数sin 2y x =的图象向右平移π3个单位，可得到πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即2πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 9.π4 解析：由条件可得22sin 1cos 10αα=-=，∴ 1tan 7α=．∴ tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-·.由0παβ<+<，得π4αβ+=. 10.[2π,2ππ],k k k +∈Z 解析：由题意得sin 0x ≥，∴ 2π2ππ,k x k k +∈Z ≤≤，故函数的定义域为[2π,k2ππ],k k +∈Z .11.10 解析：∵ 3,2==a b ，∴ 229,4==a b .又+4=a b ，∴ 22216++=g a b a b ，∴ 23=g a b ， ∴ 222210+-==-g a b a b a b ，∴ 10-=a b .12.32 解析：由向量的减法知1221(2sin cos 2cos sin )PP OP OP θθθθ=-=+---，uuu r uuu r uuu r， ∴ 2212(2sin cos )(2cos sin )PP θθθθ=+-+--uuu r2244(sin cos )(sin cos )44(sin cos )(sin cos )θθθθθθθθ=+-+-+-+++108cos θ=-.∵ 02πθ<≤，∴ 1cos 1θ-≤≤，则当cos 1θ=-时，向量12P P uuu r的长度有最大值是32.13.（0,9） 解析：设(,)D x y ，则BA CD =uu r uu u r .又(1,2),(1,7)BA CD x y =-=--uu r uu u r ，∴ 11,7 2.x y -=-⎧⎨-=⎩解得0,9.x y =⎧⎨=⎩∴ (0,9)D . 14.①② 解析：把5π12x =代入函数π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2y =，为最大值，故①正确．结合函数tan y x =的图象可得点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数tan y x =的图象的一个对称中心，故②正确． ③正弦函数在第一象限为增函数，不正确，如39060>，都是第一象限角，但sin 390sin 60< ．若12ππsin 2sin 244x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有12ππ22π244x k x -=+-，或12ππ22ππ244x k x ⎛⎫-=+-- ⎪⎝⎭，k ∈Z ， ∴ 12πx x k -=或123ππ+4x x k +=，k ∈Z ，故④不正确．二、解答题15.解：（1）cos(2π)sin(π)cos sin πcos tan sin tan(3π)2αααααααα-+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭g g g g =cos α=13． （2）因为tan 2α=， 所以2sin sin cos ααα+ =222sin sin cos sin cos ααααα++=22tan tan tan 1ααα++=222221++ =65. 16.解：（1）由题意知124sin(),cos 135αββ+==，∴ 5412356cos(2)cos[()]cos()cos sin()sin 13513565αβαββαββαββ+=++=++=-⨯-⨯=--． （2）1245363sin sin[()]sin()cos cos()sin =13513565ααββαββαββ⎛⎫=+=+-+=⨯--⨯ ⎪⎝⎭-．17.解：(1,2)+(3,2)(3,22)k k k k +==-+-a b ，3(1,2)3(3,2)(10,4)---=-a b =. （1）由()(3)k +⊥-a b a b ，得()(3)10(3)4(22)2380,k k k k +-=-+=-=-g a b a b 解得19k =.（2）由()(3)k +-a b a b ∥，得4(3)10(22)k k --=+,解得13k =-.此时1041,(10,4)333k ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭a b ，所以它们方向相反．18.解：（1）由题意知2π3,πA ω==.∴ 2ω=.∴ ππ3sin 2366f α⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴ ππ22π62k α⨯+=+()k ∈Z . 又ππ22α-<<，∴ π6α=.∴ π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π262k x k -++≤≤()k ∈Z ，得ππππ36k x k -+≤≤()k ∈Z ，∴()f x 的单调增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）∵ 00π3()3sin 262f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即0π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ 0ππ22π66x k +=+或0π5π22π()66x k k +=+∈Z .∴ 0πx k =或0ππ()3x k k =+∈Z .又0[02πx ∈，），∴ 0π4π0,π,,33x =. （3）由条件可得ππ()3sin 2()3sin 2266g x x m x m ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又()g x 是偶函数，∴ ()g x 的图象关于y 轴对称，∴ 当0x =时，()g x 取最大值或最小值，即π3sin 2+36m ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，∴ ππππ2π(),()6226k m k k m k -+=+∈=--∈Z Z . 又0m >，∴ m 的最小值是π3.19.解：（1）()(3sin ,cos )(cos ,cos )f x x m x x m x ==+-+g g a b ，即22()3sin cos cos f x x x x m =+-． （2）∵ 223sin 21cos 2π1()sin 22262x x f x m x m +⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭，又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴ ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴ π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴ 211422m -+-=-， ∴ 24m =，∴ max 15()1422f x =+-=-，此时ππ262x +=，π6x =．20.解：（1）由题意知13713710,322b A +-====，周期为12，因此2ππ12,6T ωω===，故π()3sin 10(024)6f t t t =+≤≤.（2）要想船舶安全，必须深度()11.5f t ≥，即π3sin 1011.56t +≥，∴ π1sin 62t ≥，故ππ5π2π2π,666k t k k ++∈Z ≤≤.解得121512,k t k k ++∈Z ≤≤. 又024t ≤≤，当0k =时，15t ≤≤； 当1k =时，13t ≤≤17，故船舶安全进出港的时间段为（1：00∼5：00），（13：00∼17：00）．。
苏教版高中数学必修4章末综合测评(二) 平面向量.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末综合测评(二) 平面向量(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上)1.已知作用在点A(1，1)的三个力F 1＝(3，4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3，1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是________.【解析】 ∵F ＝(8，0)，∴终点坐标为(8，0)＋(1，1)＝(9，1). 【答案】 (9，1)2.BA →－BC →＋AB →＋AC →＝________.【解析】 原式＝CA →＋AC →＋AB →＝0+AB →＝AB →. 【答案】 AB →3.若向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，若c ＝λa ＋μb ，则λ，μ的值分别是________.【解析】 ∵c ＝λa ＋μb ， ∴(－1，2)＝(λ，λ)＋(μ，－μ)， ∴⎩⎨⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32.【答案】 12，－324.已知两点A (4，1)，B (7，－3)，则与向量AB →同向的单位向量的坐标是________.【解析】 AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，∴e ＝＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455.已知向量a ＝(3x ，1)，b ＝(2，－5)，若a ∥b ，则x ＝________. 【解析】 ∵a ∥b ，∴－15x ＝2，x ＝－215. 【答案】 －2156.若|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝－1，则|a －b |＝________. 【解析】 ∵|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝－1 ∴|a －b |＝a 2－2a·b ＋b 2＝1＋2＋4＝7. 【答案】77.平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a·b ＝5，则向量b ＝________. 【导学号：48582123】【解析】 设b ＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，4x －3y ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝－35，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－358.下列5个说法：①共线的单位向量是相等向量；②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形； ③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |； ④(a·b )c ＝c (b·c )；⑤(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .其中正确的是________.【解析】 共线也有可能反向，故①不正确；若|a |＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确.【答案】 ③⑤9.已知a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，且2a －b 与b 垂直，则|a |等于________. 【解析】 2a －b ＝(3，n )，∵(2a －b )·b ＝0，∴n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |2＝1＋n 2＝4，∴|a |＝2.【答案】 210.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________.【解析】 ∵a ∥b ，∴2×(－2)－(－1)x ＝0，解得x ＝4， ∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y ). ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4，∴MN →＝(y －x ，x －y )＝(－8，8)，∴|MN →|＝8 2. 【答案】 8 211.△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是________.(1)|b |＝1；(2)a ⊥b ；(3)a·b ＝1；(4)(4a ＋b )⊥BC →. 【解析】 如图△ABC 是边长为2的等边三角形.由已知b ＝AC →－2a ＝AC →－AB →＝BC →，显然(1)(2)(3)错，(4a ＋b )·BC →＝2AB →·BC →＋|BC →|2＝2×2×2×cos 23π＋22＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →.【答案】 (4)12.如图1，非零向量OA →＝a ，OB →＝b ，且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →＝λa ，则λ＝________.图1【解析】 BC →＝OC →－OB →＝λa －b ，∵BC →⊥OA →，∴a ·(λa －b )＝0，则λ＝a ·b|a |2. 【答案】 a ·b |a |213.已知向量a ＝(6，2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)且与向量a ＋2b垂直，则直线l 的方程为________. 【导学号：48582124】【解析】 ∵a ＋2b ＝(－2，3)，在l 上任取一点P (x ，y )，则有AP →⊥(a ＋2b )， ∴AP →·(a ＋2b )＝0，∴(x －3，y ＋1)·(－2，3)＝0， ∴2x －3y －9＝0. 【答案】 2x －3y －9＝014.已知OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，O 为坐标原点，在x 轴上求一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为________.【解析】 设P (x ，0)，∴AP →·BP →＝(x －2，－2)·(x －4，－1)＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，AP →·BP →有最小值，∴P (3，0).【答案】 (3，0)二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图2①，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →.(2)如图2②，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.图2【解】 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b . DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b . (2)BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )， ∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a ) ＝14a ＋34b .16.(本小题满分14分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.【解】 (1)若a ⊥b ，则a·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0. 整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)， ∴a －b ＝(－2，0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝22＋(－4)2＝2 5.17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1).(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值.【解】 (1)由题设，知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4).所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设，知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t ).由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.18.(本小题满分16分)设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.【解】 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角， 得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|＜0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0.整理得：2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＜0.(*)∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°. ∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1 ∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7＜0. 解得：－7＜t ＜－12.当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时， 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0).对比系数得⎩⎨⎧2t ＝λ7＝λtλ＜0，∴⎩⎨⎧λ＝－14t ＝－142∴所求实数t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 19.(本小题满分16分)设作用于同一点O 的三个力F 1，F 2，F 3处 于平衡状态，若|F 1|＝1，|F 2|＝2，F 1与F 2的夹角为23π，如图3所示.图3求：(1)F 3的大小； (2)∠F 3OF 2的大小.【解】 (1)F 1、F 2、F 3三个力处于平衡状态， 故F 1＋F 2＋F 3＝0. 即F 3＝－(F 1＋F 2).∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2 ＝1＋4＋2×1×2cos 23π＝ 3.(2)如图所示，以F 2所在直线为x 轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系，将向量F 1，F 3正交分解，设∠MOF 3＝θ，由受力平衡知⎩⎪⎨⎪⎧|F 3|·cos θ＋|F 1|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－23π＝|－F 2|，|F 3|·sin θ＝|－F 1|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π2，即⎩⎪⎨⎪⎧ |F 3|·cos θ＝|－F 2|－|F 1|·cos π3，|F 3|sin θ＝|－F 1|cos π6.将数值代入得⎩⎪⎨⎪⎧3cos θ＝2－12，3sin θ＝32，∴θ＝π6.于是得∠F 3OF 2＝π－π6＝56π.20.(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，且点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k ＞4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →. 【导学号：48582125】【解】 (1)因为AB →＝(n －8，t )，且AB →⊥a ， 所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB →|＝5|OA →|，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. 则n ＝24或－8，所以OB →＝(24，8)或(－8，－8).(2)因为AC →＝(k sin θ－8，t )，AC →与a 共线， 所以t ＝－2k sin θ＋16. 又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k ，当k ＞4时，1＞4k ＞0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k ； 由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6， 故OC →＝(4，8)，所以OA →·OC →＝8×4＋8×0＝32.。
高中数学苏教版必修4模块综合测评含解析
7．函数y＝sin 的值域为________．
【解析】∵0≤x≤ ，∴ ≤2x＋ ≤
∴y＝sin 的值域为 .
【答案】Байду номын сангаас
8.如图1，在△ABC中，E，F分别是边AC，BC的中点，D是EF的中点，设 ＝a， ＝b，则 ＝________.(用a，b表示)
图1
【解析】 ＝ ＝ ＝ ( － )＝ (－b＋a)．
＝ ＝ a， ＝ ＋
＝ a＋ (－b＋a)＝ a－ b.
【答案】 a－ b
9．若b＝(1,1)，且a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝________.
【解析】 由(a－b)2＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，
则a2－2×2＋2＝3，故a2＝5，|a|＝ .
【答案】
10．函数f(x)＝sin 的单调递减区间是________．
(2)由(1)得 ＝2tanα，即 ＝2x，
所以
由此得，cosα＝cos(π－β)，
由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.
又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝ ，而α＞β，所以α＝ ，β＝ .
18．(本小题满分16分)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα.
模块综合测评
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)
1．sin 330°＝________.
【解析】sin 330°＝sin(330°－360°)＝sin(－30°)＝－ .
【答案】 －
2．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα的值等于________．
2018-2019学年最新苏教版高中数学必修四全册模块综合检测题及答案解析-精品试卷
模块综合检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．当|a|＝|b|≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )A ．平行B ．相等C ．相交但不垂直D ．垂直解析：根据向量的几何意义，作OA →＝a ，OB →＝b ， 则在▱CAOB 中，OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，因为|a|＝|b|，即OA ＝OB ，所以▱CAOB 是菱形． 所以AB⊥OC，即BA →⊥OC →.所以(a ＋b)⊥(a－b)． 答案：D2．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( )A ．－35 B.45 C.25 D ．－25解析：因为α的终边过点P(4，－3)， 所以x ＝4，y ＝－3，r ＝|OP|＝5. 所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝45.所以2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.答案：D3．下列各向量中，与a ＝(3，2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2，3) C ．(－4，6)D ．(－3，2)解析：(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C4．要得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y ＝3sin 2x的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：因为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8，所以由y ＝3sin 2x的图象向左平移π8个单位长度可得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．答案：C5．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x 2＋sin x解析：A 为奇函数，B 、C 为偶函数，D 中，y ＝x 2＋sin x 是非奇非偶函数．答案：D6．已知函数f(x)＝(sin x －cos x)sin x ，x ∈R ，则f(x)的最小正周期是( )A ．πB ．2π C.π2D ．2解析：f(x)＝sin 2x －sin xcos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝12－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.答案：A7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f(x)是奇函数B ．y ＝f(x)的周期为πC ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称解析：由题意得y ＝f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x.显然A ，B ，C 均错误，只有D 正确． 答案：D8．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32 B ．－32C ．±32D ．±12解析：由sin θ－cos θ＝22，得1－2sin θcos θ＝12，则sin 2θ＝12.即1－2sin θcos θ＝12，所以sin 2θ＝12.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ >cos θ，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－32.答案：B9．函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z解析：由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π·14＋φ＝π2＋2kπ，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，所以f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2kπ<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x<2k ＋34，k ∈Z ，所以f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.答案：D10．先令函数y ＝cos x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再把图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，则所得图象对应的函数表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4解析：第一步变换后所得函数表达式是y ＝cos 2x ，第二步变换后所得函数表达式是y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x答案：B11．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋kπ，5π12＋kπ(k ∈Z)解析：由题可得y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由π2＋2kπ≤2x －π3≤3π2＋2kπ，k ∈Z ， 得5π12＋kπ≤x ≤11π12＋kπ，k ∈Z ， 所以原函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z)． 答案：C12．已知向量a ＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，b ＝(0，－1)，则a 与b 的夹角为( )A ．φ B.π2－φ C.π2＋φ D.3π2－φ 解析：|a|＝ （2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2， |b|＝1，a·b＝－2sin φ，设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b |a||b|＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，则cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－φ，且3π2－φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以θ＝3π2－φ. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)13．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________．解析：设此三角形的底角为α，顶角为β，则cos α＝45，sin α＝35，所以sin β＝sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425. 答案：242514．(2014·陕西卷)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________．解析：因为a∥b，所以sin 2θ·1－cos 2θ＝0.所以2sin θcos θ－cos 2θ＝0.因为0<θ<π2，所以cos θ >0.所以2sin θ＝cos θ.所以tan θ＝12.答案：1215．在等腰梯形ABCD 中，已知AB∥DC，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF→＝16DC →，则AE →·AF →的值为________． 解析：取BA →，BC →为一组基底，则AE →＝BE →－BA →＝23BC →－BA →，AF→＝AB →＋BC →＋CF →＝－BA →＋BC →＋512BA →＝－712BA →＋BC →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－712BA →＋BC →＝712|BA →|2－2518BA →·BC →＋23|BC →|2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918.答案：291816．(2015·天津卷)已知函数f(x)＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f(x)＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2kπ，k ∈Z.又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2， 所以ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为θ.(1)若a∥b，求a·b； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)因为a∥b，所以θ＝0°或180°， 所以a·b＝|a||b|cos θ＝± 2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b)·a＝0，即|a|2－a·b＝1－2cos θ＝0. 所以cos θ＝22.又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，求sin α及tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3.解：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(sin α－cos α)＝7210，所以sin α－cos α＝75.①因为cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α) (cos α＋sin α)＝－75(cos α＋sin α)， 所以cos α＋sin α＝－15.②由①②得：sin α＝35，cos α＝－45.所以tan α＝－34.所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan α＋31－3tan α＝3－341＋334＝48－25311.所以sin α＝35，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝48－25311.19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos (β－α)的值；(2)已知点C 是单位圆上的一点，且OC →＝OA →＋OB →，求OA →和OB →的夹角θ.解：(1)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，45，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1213，则x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1，又x 1>0，所以x 1＝35，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝1，又x 2<0，所以x 2＝－513.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－513，1213.所以sin α＝45，cos α＝35，sin β＝1213，cos β＝－513，所以cos (β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365. (2)根据题意知|OA →|＝1，|OB →|＝1，|OC →|＝1， 又OC →＝OA →＋OB →，所以四边形CAOB 是平行四边形． 又|OA →|＝|OB →|，所以▱CAOB 是菱形．又|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以△AOC 是等边三角形． 所以∠AOC＝60°.所以∠AOB＝120°. 即OA →与OB →的夹角θ为120°.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x ·cos x.(1)当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f(x)的值域；(2)用五点法在下图中作出y ＝f(x)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的简图；(3)说明f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．解：f(x)＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin xcos x ＝2cosx ⎝⎛⎭⎪⎫sin xcos π3＋cos xsin π3－3·sin 2x ＋sin xcos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π3≤2x ＋π3≤4π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.所以当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)的值域为[－3，2]．(2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2图象如图所示．(3)法一：由以下变换可得f(x)的图象：先将y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．法二：由以下变换可得f(x)的图象：先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图象向左平移π6个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍．21．(本小题满分12分)(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x)，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m⊥n，则m·n＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3，所以m·n＝|m|·|n|cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又因为x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4.所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.22．(本小题满分12分)已知f(x)＝2cos2ωx2＋3sin ωx ＋a 的图象上相邻两对称轴的距离为π2.(1)若x∈R，求f(x)的递增区间；(2)若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)的最大值为4，求a 的值．解：由f(x)＝2cos 2ωx2＋3sin ωx ＋a ＝3sin ωx ＋cos ωx ＋a ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＋1.因为f(x)的图象上相邻对称轴的距离为π2，故T 2＝π2⇒T ＝π⇒ω＝2πT＝2， 所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1.(1)由－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，解得－π3＋kπ≤x ≤π6＋kπ(k∈Z)，所以f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)．(2)若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1.所以f(x)max ＝2＋a ＋1＝4. 所以a ＝1.。
2016苏教版高中数学必修4模块综合检测版
模块缘合检测（时间:120分钟，满分：160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分、将答案填在题中的横线上）1、若角a的终边过点（sin 30。
，一cos 30。
）,则sin a等于____ 、解析：sin a -错误•=・cos 30°=•错误！、答案：一错误！2、（cos 15°+sin 15°）（cos 15°—sin 15°）= _______ x解析:（cos 15° + sin 15°）（cos 15° • sin 15°）=cos215°・ sin215° = cos 30° =错误！.答案：错误！3、设a与”就是两个不共线的向量，且向量a+肋与一（b-2a）共线，则实线2的值等于 __________解析:由・（「2a） = 2a-b与a+"共线，故人二•错误！、答案：一错误！4、已知tan错误!=错误!，伽错误!=错误!，则伽（a+/?）的值为__________ 、解析：tan （«+/?） =tan［（a-错误！）+ （错误！+“）］二错误！二1、答案：15、计算：错误! = ________ 、解析：错误！二错误！二错误！二错误!、答案:错误！6、（2012•隹卷）当函数）=sinx—羽cosx （0WxV2?r）取得最大值时，x=_________ 、解析:j = sin x -错误! cos x二2（错误! sin x -错误! cosx）二2sin（x •错误！）的最大值为2,又00<2冗,故当x・错误！二错误！，即x二错误!时，y取得最大值、答案:弘7、已知sin （n—a） =—2sin错误！，则sin acos a等于_______ 、解析:由sin （TT - a ） = - 2sin（错谋! + a）,可得sin a = • 2cos a t贝IJ tan a 二• 2，那么sin acos a -错误！［来源：］tan a 2二二・ g1 + tan2a答案:一错误！8、设函数y=3sln错误！的图象关于点Pg.0)成中心对称，若M岸错误！，则x0=_______ 、解析:因为图象的对称中心就是与X轴的交点，所以由3sin(2x0 +错误!)二0,如曰・错误！，0］,得X。
2016-2017学年高中数学苏教版选修4-4阶段综合测评2 含解析
阶段综合测评(二)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填在题中横线上）1．已知动圆：x2＋y2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a，b是正常数，a≠b，θ是参数），那么圆心的轨迹是________．【答案】椭圆2．圆错误!的圆心坐标是________．【解析】消去参数θ，得圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为(0,2）．【答案】（0,2）3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为错误!错误!和错误!（t为参数),则曲线C1与C2的交点坐标为________．【解析】C1的普通方程为x2＋y2＝5(x≥0，y≥0）．C2的普通方程为x－y－1＝0。
解方程组错误!得错误!∴C1与C2的交点坐标为（2,1)．【答案】（2，1）4．直线错误!上对应t＝0和t＝1两点间的距离是________．【答案】错误!5．方程错误!分别以t为参数（t≠0）和θ为参数，得到两条曲线,则这两条曲线公共点的个数是________．【答案】2个6．已知点P(x,y）在椭圆错误!＋y2＝1上，则2x＋y的最大值________．【解析】设x＝2cos θ,y＝sin θ（0≤θ＜2π），2x＋y＝4cos θ＋sin θ＝错误!sin（θ＋φ),所以2x＋y最大值为错误!.【答案】错误!7．直线错误!（t为参数）过定点________．【答案】（3，－1）8．直角坐标系xOy中,以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A,B分别在曲线C1：错误!(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则AB的最小值为________．【解析】曲线C1的方程是（x－3）2＋(y－4）2＝1,曲线C2的方程是x2＋y2＝1，两圆外离，所以AB的最小值为错误!－1－1＝3。
【答案】39．过曲线错误!（θ为参数,0≤θ≤π）上一点P和原点连线的倾斜角为错误!，则点P的坐标为________．【解析】由于错误!＝错误!＝tan错误!＝1，所以tan θ＝错误!，cos θ＝错误!,sin θ＝错误!，点P的坐标为（错误!，12）．5【答案】（错误!，错误!)10．直线错误!（t为参数)与圆错误!（θ为参数）相交，弦长为________．【解析】圆的普通方程为x2＋y2＝5,将错误!代入上式，得5t2－24t＋16＝0，｜t1－t2｜＝错误!＝错误!，所以相交弦长为错误!|t1－t2|＝错误!错误!。
2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程章末综合测评2(含解析)新人教A版必修2
2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程章末综合测评2（含解析）新人教A 版必修2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (2，－1,6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9D.86【解析】 由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB |＝－3－2＋＋2＋－2＝86.【答案】 D2．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(1，－1)D ．(－1,1)【解析】 圆的标准方程得：(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋k 22＝1－3k 24，当半径的平方1－3k 24取最大值为1时，圆的面积最大．∴k ＝0，即圆心为(－1,0)．【答案】 B3．圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内含D ．内切【解析】 把圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0分别化为标准式为(x －2)2＋(y －3)2＝1和(x －4)2＋(y －3)2＝9，两圆心间的距离d ＝－2＋－2＝2＝|r 1－r 2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D.【答案】 D4．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0，故选A.【答案】 A5．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解析】 由题意知点在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．【答案】 B6．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0 【解析】 圆心C (1,0)，k PC ＝0－－1－2＝－1，则k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0，故选D. 【答案】 D7．圆心在x 轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －2)2＝1【解析】 设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a －2)2＋(1－0)2＝1，解得a ＝2.故所求圆的方程是(x －2)2＋y 2＝1.【答案】 A8．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B ．18C ．6 2D ．5 2【解析】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.【答案】 C9．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对【解析】 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－2＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 【答案】 C10．若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)【解析】 因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4<r <6.【答案】 B11．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －3)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋3)2＝2【解析】 设点(－2,2)关于直线x －y －1＝0的对称点为Q (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m ＋2×1＝－1，m －22－n ＋22－1＝0，解得m ＝3，n ＝－3，所以圆C 2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C 2的方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝2，故选D.【答案】 D12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2【解析】 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知A (1,2,3)，B (5,6，－7)，则线段AB 中点D 的坐标为________.【解析】 设D (x ，y ，z )，由中点坐标公式可得x ＝1＋52＝3，y ＝2＋62＝4，z ＝3－72＝－2，所以D (3,4，－2)．【答案】 (3,4，－2)14．以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________． 【解析】 原点O 到直线的距离d ＝1532＋42＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25.【答案】 x 2＋y 2＝2515．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________________．【解析】 圆心为(－1,2)． 设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0， 由点到直线的距离公式，得－＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2， 解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0. 【答案】 3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0 16．若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值范围是________． 【解析】 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示半圆，如图，设P (x ，y )是半圆上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程． 【解】 法一：∵圆心在y 轴上， 设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－b2＝r 2，32＋－b 2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 法二：线段AB 的中点为(1,3)，k AB ＝2－43－－＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为＋2＋－2＝10，∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．在三棱柱ABO A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90°，侧棱OO ′⊥面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2.若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．【解】 如图所示，以三棱柱的O 点为坐标原点，以OA ，OB ，OO ′所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)，B (0,2,0)，O (0,0,0)，A ′(2,0,2)，B ′(0,2,2)，O ′(0,0,2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)， 设E 点坐标为(0,2，z )，根据空间两点间距离公式得 |EC |＝－2＋－2＋z －2＝z －2＋5，故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5，此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 19．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B . (1)求直线PA ，PB 的方程； (2)求过P 点的圆C 的切线长．【解】 (1)切线的斜率存在，设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.圆心到直线的距离等于2，即|－k －3|k 2＋1＝2， ∴k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1， 故所求的切线方程为y ＋1＝7(x －2)或y ＋1＝－(x －2)，即7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. (2)在Rt △PAC 中|PA |2＝|PC |2－|AC |2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8， ∴过P 点的圆C 的切线长为2 2.20．(本小题满分12分)点A (0,2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【解】 设点M (x ，y )，因为M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC . 又∵∠BAC ＝90°，∴|MA |＝12|BC |＝|MB |.∵|MB |2＝|OB |2－|OM |2，∴|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图1所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2,3)，C (2,1)．图1(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)若B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长． 【解】 (1)AC 的中点E (0,2)即为圆心， 半径r ＝12|AC |＝1242＋－2＝5，所以圆E 的方程为x 2＋(y －2)2＝5.(2)直线BC 的斜率k ＝1－－2－－＝34， 其方程为y －1＝34(x －2)，即3x －4y －2＝0.点E 到直线BC 的距离为d ＝|－8－2|5＝2，所以BC 截圆E 所得的弦长为25－22＝2. 22. (本小题满分12分)如图2，已知圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0，点A (0,6)．图2(1)求圆心在直线y ＝x 上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于P ，Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，求直线m的方程．【解】 (1)由x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0， 化为标准方程：(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50. 所以圆C 的圆心坐标为C (－5，－5)， 又圆N 的圆心在直线y ＝x 上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(a ，a )， 则有a －2＋a －2＝a －2＋a －2，解得a ＝3，所以圆N 的圆心坐标为(3,3)，半径r ＝32， 故圆N 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.(2)因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP ⊥CQ .所以点C 到直线m 的距离为5.当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为x ＝0.当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y ＝kx ＋6， 即kx －y ＋6＝0.所以|－5k ＋5＋6|1＋k 2＝5，解得k ＝4855. 所以此时直线m 的方程为4855x －y ＋6＝0，即48x－55y＋330＝0，故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.。
(苏教版)数学高中必修4配套练习+章节检测卷 (全书完整版)
（苏教版）高中数学必修4配套练习+章节检测卷汇总第1章三角函数1.1 任意角、弧度1.1.1 任意角A级基础巩固1．下列命题中正确的是()A．终边与始边都相同的角一定相等B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．小于90°的角一定是锐角D．大于或等于0°且小于90°的角一定是锐角答案：B2．已知下列各角：①787°；②－957°；③－289°；④1 711°.其中在第一象限的角是()A．①②B．②③C．①③D．②④答案：C3．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．即是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．答案：D4．已知α是第三象限角，则－α所在的象限是()A．四B．三C．二D．一解析：因为α是第三象限角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z.则－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°，k∈Z.所以－α是第二象限角．答案：C5．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}解析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．答案：D6．时针走过了2小时40分钟，则分针转过的角度是______．答案：－960°7．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°8．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．解析：α为锐角，则角α是第一象限角，所以角－α是第四象限角，又因为－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，所以－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角．答案：四9．在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角：(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.解：(1)因为－120°＝240°－360°，所以与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角；(2)因为660°＝300°＋360°，所以与660°终边相同的角是300°角，它是第四象限的角；(3)因为－950°08′＝129°52′－3×360°，所以与－950°08′角终边相同的角是129°52′角，它是第二象限的角．10．已知锐角α的10倍与它本身的终边相同，求角α.解：与角α终边相同的角连同角α在内的角的集合可表示{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．因为锐角α的10倍的终边与其终边相同，所以10α＝α＋k·360°，k∈Z.解得：α＝k·40°，k∈Z.又α为锐角，所以α＝40°或80°.B级能力提升11．下面说法正确的个数为()(1)第二象限角大于第一象限角；(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；(3)钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．答案：B12．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β< 180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°} 解析：令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.答案：C13．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.答案：120°，300°14.如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．15．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.第1章三角函数1.1 任意角、弧度1.1.2 弧度制A 级 基础巩固一、选择题1．α＝－5 rad ，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：－5＝－2π＋(2π－5)，因为0<2π－5<π2， 所以α＝－5在第一象限．答案：A2．下列说法中，错误的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误．答案：D3．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A ．1 B.π6 C.π3D ．π 解析：因为弦长等于圆的半径，如图所示，则△ABC 为正三角形，所以弦所对的圆心角为π3.答案：C4．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203πC.2003πD.4003π 解析：240°＝240180π＝43π， 所以弧长l ＝|α|·r ＝43π·10＝403π. 答案：A5．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4 C.π4 D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)， 则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)， 取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4； k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4； k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4. 答案：A6．若有一角和π3rad 角终边相同，则此角的集合可以表示为______________________________．答案：⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k ·2π＋π3，k ∈Z 7.π12rad ＝________度，________rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°，－300°＝－300×π180＝－5π3. 答案：15 －5π3 8．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．解析：因为60°＝π3rad ， 则扇形的面积S ＝12×π3·32＝32π. 答案：32π 9．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米；(2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1， 所以r ＝l |α|＝1π180＝180π. (2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l |α|＝1. 答案：(1)180π(2)1 10．已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2弧度．(1)求这个圆心角所对的弧长； (2)求这个扇形的面积． 解：(1)如图所示，过O 作OD ⊥AB 于点D ，则D 为AB 的中点，所以AD ＝12AB ＝1， ∠AOD ＝12∠AOB ＝1 rad ， 所以扇形的半径OA ＝1sin 1. 由弧长公式l ＝|α|r ，得l ＝2×1sin 1＝2sin 1. (2)由扇形面积公式S ＝12lr ，得 S ＝12×2sin 1·1sin 1＝1sin 21. B 级 能力提升11．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，则有( ) A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝∅解析：因为集合M 是表示终边在第一、第三象限的角平分线上的角的集合．集合N 是表示终边在第一、第三象限或第二、第四象限的角平分线上的角的集合，所以MN . 答案：C12．在直径为10 cm的轮上有一长为6 cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后P转过的弧长为________．解析：P到圆心O的距离OP＝52－32＝4(cm)，又点P转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)．所以弧长为α·OP＝25×4＝100(cm)．答案：100 cm13．已知α＝2 000°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；(2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋10 9π.(2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋109π，k∈Z，又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.14．已知扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40.所以l＝40－2r.所以S＝12lr＝12×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100cm2，这时θ＝lr＝40－2×1010＝2 rad.15．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.求α(∠AOB)所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， 所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3·10＝10π3.所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3·10＝50π3.而S △AOB ＝12×AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数A 级 基础巩固一、选择题1．若－π2<α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为－π2<α<0，则cos α>0，sin α<0.答案：D2．已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α＝( )A.12B.32C.33 D ．±12解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12是单位圆上一点，则cos α＝x ＝32. 答案：B3．若α是第四象限角，则sin α和tan α的大小的关系是( ) A ．sin α>tan α B ．sin α<tan α C ．sin α≥tan αD ．不确定解析：画出三角函数线即可判断出来，如图所示，sin α＝MP ，tan α＝AT ，又|MP |<|AT |，故sin α>tan α. 答案：A4．若sin θ·cos θ>0，则角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第一或第三象限角 C ．第一或第四象限角 D ．第二或第四象限角 解析：因为sin θ·cos θ>0，所以sin θ与cos θ同号， 由三角函数值在各象限内的符号知θ为第一或第三象限角． 答案：B5．函数y ＝11＋sin x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋2k π，k ∈Z C.{}x |x ≠2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z 解析：因为1＋sin x ≠0，所以sin x ≠－1. 又sin 3π2＝－1，所以x ≠3π2＋2k π，k ∈Z.答案：A6．若α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－327．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________．解析：由三角函数定义知，tan 420°＝－a4，又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3， 所以－a4＝ 3.所以a ＝－4 3.答案：－438．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 答案：AT >MP >OM9．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是_________________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z) 10．已知角α的终边落在射线y ＝2x (x ≥0)上，求sin α，cos α的值．解：在射线y ＝2x (x ≥0)上任取一点P (a ，2a )(a >0)． 则r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝5a ， 所以sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a5a ＝55.B 级 能力提升11．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2 解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0， 所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0.答案：A12．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________．解析：因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0.所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝－5cos θ， 所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：3513．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值范围是______．解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，如图所示，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π14．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α与tan α的值．解：因为点P 到原点的距离为r ＝4＋y 2， 所以sin α＝y 4＋y2＝－55，所以y 2＋4＝5y 2，所以y 2＝1. 又易知y <0，所以y ＝－1.所以r ＝ 5.所以cos α＝－25＝－255，tan α＝－1－2＝12.15．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：因为角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，所以在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝（4t ）2＋（－3t ）2＝5|t |， 当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t4t ＝－34.第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数关系A 级 基础巩固一、选择题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.答案：B2．sin 2α＋cos 4α＋sin 2α cos 2α的化简结果是( ) A.14 B.12 C.32D ．1 解析：sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.答案： D3．已知tan α＝13，且0≤α≤π，则sin α·cos α的值为( )A ．±310 B.310 C.310 D ．±310解析：sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310.答案：B4．若α∈[0，2π)，且有1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π 解析：因为1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α， 所以sin α≥0，且cos α≤0.又α∈[0，2π)，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.答案：B5．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( )A ．0B ．8C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 解得m ＝0或8. 答案：C6．化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α的结果为________．解析：sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α. 答案：－2tan 2α7．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α. 所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．若A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC的形状为________三角形．解析：因为sin A ＋cos A ＝23，则(sin A ＋cos A )2＝49.所以sin A cos A ＝－518<0，则A 为钝角．故△ABC 为钝角三角形． 答案：钝角9．cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎨⎧sin α＝－25，cos α＝－15.所以tan α＝sin αcos α＝2.答案：210．化简下列各式： (1)1＋sin θ1－sin θ＋1－sin θ1＋sin θ；(2)⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－sin x1＋sin x－1＋sin x 1－sin x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－cos x1＋cos x－1＋cos x 1－cos x .解：(1)原式＝ （1＋sin θ）21－sin 2θ＋（1－sin θ）21－sin 2θ＝1＋sin θ|cos θ|＋1－sin θ|cos θ|＝2|cos θ|. (2)原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－sin 2x（1＋sin x ）2－1－sin 2x （1－sin x ）2·⎣⎢⎢⎡1－cos 2x（1＋cos x ）2－⎦⎥⎥⎤1－cos 2x （1－cos x ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|cos x |1＋sin x －|cos x |1－sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫|sin x |1＋cos x －|sin x |1－cos x ＝－2sin x ·|cos x |cos 2x ·－2cos x ·|sin x |sin 2x ＝4|sin x ·cos x |sin x ·cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠n π2，n ∈Z ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫n π，n π＋π2时，原式＝4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π2，（n ＋1）π时，原式＝－4. B 级 能力提升11．若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为( )A ．－32 B.32 C ．－52 D.52解析：由题意知θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ>0， 所以sin θ－cos θ＝（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝52. 答案：D12．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( )A.45B.35C.25D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34.所以cos α＝43sin α.代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＋169sin 2α＝1.所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B 13．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是________．解析： 1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α， 所以sin α<0.故2k π－π<α<2k π，k ∈Z. 答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}14．化简：tan α＋tan αsin αtan α＋sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α·sin α1＋sin α. 解：原式＝tan α（1＋sin α）tan α＋sin α·cos α＋1cos α·sin α1＋sin α＝sin αcos αsin αcos α＋sin α·1＋cos αcos α·sin α＝11＋cos α·1＋cos αcos α·sin α＝sin αcos α＝tan α.15．已知3sin α－2cos α＝0，求1sin αcos α的值．解：由3sin α－2cos α＝0，得tan α＝23.1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数1.2.3 诱导公式A 级 基础巩固一、选择题1．若sin (π＋α)＝－12，则sin (4π－α)的值是( )A.12 B ．－12 C ．－32 D.32 解析：因为sin(π＋α)＝－12＝－sin α，所以sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－12.答案：B2．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β)解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B 项错误． 答案：B3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，所以cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α＝15. 答案：C4．设tan (5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝tan α. 所以tan α＝m .所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A5．若sin (π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin (2π－α)的值为( )A ．－23mB.23m C ．－32mD.32m 解析：因为sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，所以－sin α－sin α＝－m ，则sin α＝m2.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .答案：C6．已知sin (π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：357．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin (π＋α)＋cos (π－α)＝________．解析：因为tan α＝43，α为第一象限角，所以sin α＝45，cos α＝35.所以sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－75.答案：－758．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于_______．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0， 所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角．所以cos C ＝－1－sin 2C ＝－223.所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－24. 9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos 3π5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1. 10．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－45＝－920. B 级 能力提升11．若cos 165°＝a ，则tan 195°＝( ) A.1－a 2 B ．－1－a 2aC.1－a 2aD.1＋a 2a解析：cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝a ， 故cos 15°＝－a (a <0)，得sin 15°＝1－a 2， tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝1－a 2－a .答案：B12．设φ(x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(19π－x )，则φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．解析：因为φ(x )＝cos 2x ＋sin 2x －tan x ＝1－tan x ，所以φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1－tan π3＝1－ 3.答案：1－313．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45.又因为sin αcos α<0.所以cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.14．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 证明：因为sin(α＋β)＝1， 所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)．所以α＝2k π＋π2－β(k ∈Z)．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0.所以tan(2α＋β)＋tan β＝0得证．15．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，且α为第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α·tan 2（2π－α）·tan （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．解：因为5x 2－7x －6＝0的两根为x ＝2或x ＝－35，所以sin α＝－35.又因为α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝34.所以原式＝（－cos α）·（－cos α）·tan 2α·（－tan α）sin α·（－sin α）＝tan α＝34.第1章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象与性质 第1课时正弦、余弦函数的图象与性质A 级 基础巩固一、选择题1．y ＝sin x －|sin x |的值域是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[－1，1]D ．[－2，0]解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤sin x ≤1，2sin x ，－1≤sin x <0，函数的值域为[－2，0]．答案：D2．函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图象( ) A ．关于直线x ＝1对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：作出函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的简图(图略)，易知它们关于x 轴对称．答案：C3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝cos|x |B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2 D ．y ＝－sin x2解析：y ＝cos|x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |，排除B ；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，C 符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的，排除D.答案：C4．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈[－π，0]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0 解析：令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z ，又－π≤x ≤0，所以－π6≤x ≤0.答案：D5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称解析：令2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，则x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，排除B ，D ；令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0. 答案：A 6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的值域是________________．解析：因为－π6≤x ≤π6，所以0≤2x ＋π3≤23π.所以0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为[0，2]． 答案：[0，2]7．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________.解析：因为f (x )是偶函数，所以0＋φ3＝π2＋k π(k ∈Z)．所以φ＝32π＋3k π(k ∈Z)．又φ∈[0，2π]，所以φ＝32π.答案：32π8．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为_______．解析：cos 150°<0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°， 所以cos 150°<cos 760°<sin 470°. 答案：cos 150°<cos 760°<sin 470°9．用五点法作函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：x 0 π2 π 3π2 2π －2cos x －2 0 2 0 －2 －2cos x ＋31353110．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.求f (x )的单调递增区间．解：f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3， 由2k π－π≤x 2－π3≤2k π，k ∈Z ，得4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3，k ∈Z. 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3(k ∈Z)．B 级 能力提升11．方程lg x ＝sin x 的解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：作出y ＝lg x 与y ＝sin x 的图象，如下图所示，由图知有三个交点，所以方程有三个解．答案：D12．函数y ＝|sin x |（1－sin x ）1－sin x 的奇偶性为( )A ．奇函数B ．即是奇函数又是偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数解析：由题意知，1－sin x ≠0，即sin x ≠1，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋π2，k ∈Z ， 由于定义域关于原点不对称，所以该函数是非奇非偶函数． 答案：D13．若函数f (x )＝sin ωx (0<ω<2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于________．解析：根据题意知f (x )在x ＝π3处取得最大值1，所以sin ωπ3＝1，所以ωπ3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋32，k ∈Z.又0<ω<2，所以ω＝32.答案：3214．若cos 2θ＋2sin θ＋m 2－3<0恒成立，求实数m 的取值范围．解：由已知得：m 2<sin 2θ－2sin θ＋2＝(sin θ－1)2＋1，因为－1≤sin θ≤1，所以－2≤sin θ－1≤0. 所以0≤(sin θ－1)2≤4.所以1≤(sin θ－1)2＋1≤5. 所以m 2<1.所以－1<m <1. 所以m 的取值范围是(－1，1)．15．设函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋b . (1)若a >0，若f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )的值域为[1，3]，求a ，b 的值． 解：(1)由于a >0，令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，π3≤2x ＋π3≤5π6，则12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， 当a >0时，由f (x )的值域为[1，3]，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝3，12a ＋b ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－1.当a <0时，依题意得⎩⎨⎧a ＋b ＝1，12a ＋b ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝5.综上知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝5.第1章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象与性质 第2课时 正切函数的图象与性质A 级 基础巩固1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z.答案：D2．f (x )＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析：令－π2＋k π<x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ，解得－3π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z.所以函数f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z.答案：C3．在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数的是( )A ．y ＝sin x2B ． y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4解析：由函数周期为π可排除A.x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π，此时B 、C 中函数均不是增函数，D 中在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且周期为π.答案：D 4．若直线x ＝kx2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝( )A.14 B ．－34C.14或－34 D ．－14或34解析：由题意得2×k π2＋π4＝π2＋m π，m ∈Z. 则k ＝14＋m ，m ∈Z.由于－1≤k ≤1，所以k ＝14或－34.答案：C5．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6图象的对称中心为( )A ．(0，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π18，0，k ∈Z D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z 解析：由函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ， 令3x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，则x ＝k π6－π18(k ∈Z)．所以y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z.答案：D6．函数y ＝lg(3－tan x )的定义域为____________________． 解析：因为3－tan x >0，所以tan x < 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z)，根据正切函数图象，得k π－π2<x <k π＋π3(k ∈Z)，所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z 7．若函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2，则a ＝______．解析：因为π|3a |＝π2，所以|a |＝23.所以a ＝±23.答案：±238．函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3的最大值是________．解析：因为函数y 1＝sin x 与y 2＝tan x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上都是递增函数，所以y ＝sin x ＋tan x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3上是单调递增函数，y max ＝sin π3＋tan π3＝332.答案：3329．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．解：定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z ；值域为R.最小正周期T ＝π2.对应图象如图所示：10．求函数y ＝12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋π4的定义域，单调区间及对称中心． 解：由5x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π5＋π20，k ∈Z.函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π5＋π20，k ∈Z. 由k π－π2<5x ＋π4<k π＋π2，得k π5－3π20<x <k π5＋π20，k ∈Z.函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π5－3π20，k π5＋π20，k ∈Z ，由5x ＋π4＝k π2，得x ＝k π10－π20，k ∈Z ，函数图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π10－π20，0，k ∈Z. B 级 能力提升11．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A.π4B ．0C ．1D ．2 解析：因为y ＝tan ωx 的周期T ＝πω，所以y ＝π4与y ＝tan ωx 的图象相邻两交点间的距离为πω.故πω＝π4，ω＝4，所以f (x )＝tan 4x . 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π4＝tan π＝0.答案：B12．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：由题意可知ω<0，又⎝⎛⎭⎪⎫π2 ω，－π2 ω⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 故－1≤ω<0. 答案：B13．f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________．解析：因为f (5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7， 所以a sin 5＋b tan 5＝6.所以f (－5)＝a sin(－5)＋b tan(－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－5.答案：－514．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的值总大于零，求a的取值范围．解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以0≤2x －π3≤π3.又因为y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3内单调递增，所以0≤tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤ 3.所以0≤2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2 3.由题意知a －2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>0恒成立，即a >2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3恒成立． 所以a >2 3.所以实数a 的取值范围是(23，＋∞)．15．已知函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1<T <32，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．解：因为1<T <32，所以1<πk <32，即2π3<k <π.因为k ∈N *，所以k ＝3.则f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3，由3x －π3≠π2＋k π(k ∈Z)，得x ≠5π18＋k π3(k ∈Z)，定义域不关于原点对称．所以f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数．由－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π(k ∈Z)，得－π18＋k π3<x <5π18＋k π3(k ∈Z)．所以f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z.第1章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的振幅和周期分别为( ) A ．3，4 B ．3，π2 C.π2，4 D.π2，3解析：由于函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，所以振幅是3，周期是T＝2ππ2＝4.答案：A2．(2015·山东卷)要得到函数y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫4x－π3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象()A．向左平移π12个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π3个单位长度D．向右平移π3个单位长度解析：由y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫4x－π3＝sin 4⎝⎛⎭⎪⎫x－π12得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移π12个单位长度．答案：B3．函数y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是()答案：A4．函数y＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π3图象的一条对称轴方程为() A．x＝－π6B．x＝－512πC．x＝π2D．x＝π6答案：B5．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，所得的图象都关于y 轴对称，则φ的最小值分别为( )A.π6B.π3C.2π3D.π12解析：函数f (x )的图象向左平移φ个单位长度得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6的图象， 于是2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，取k ＝0，得φ的最小值为π6.答案：A6．函数y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －π6的频率是________，图象最高点的坐标是________．解析：由于T ＝8π，则频率f ＝1T ＝18π，当14x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝8k π＋8π3 (k ∈Z)时，函数取得最大值6.答案：18π⎝ ⎛⎭⎪⎫8k π＋8π3，6(k ∈Z)7．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位长度，则所得图象的解析式为________________．解析：由题意y ＝sin x 的图象――――――――――――→各点横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变y ＝sin2x 的图象y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象， 则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x . 答案：y ＝cos 2x8．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的图象如图所示，则φ＝________．解析：由题意得T2＝2π－34π，所以T ＝52π，ω＝45.由x ＝34时，y ＝－1，得－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫35π＋φ， 又－2π5<35π＋φ<85π，所以35π＋φ＝32π.所以φ＝910π.答案：910π 9．已知函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.(1)用“五点法”画函数的图象；(2)说出此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到的． 解：(1)列表：12x －π4 0 π2 π 3π2 2π x π2 3π2 5π2 7π2 9π2 y3－3数一个周期内的图象，如图所示，再将这部分图象左右平移4k π(k ∈Z)个单位长度．得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象． (2)法一：①把y ＝sin x 图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象；②把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象；③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象． 法二：①把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象；②把y ＝sin 12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象； ③将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象． 10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，已知它的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数f (x )的单调递减区间．解：(1)函数的一条对称轴是直线x ＝π8，2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，由π2＋2k π≤2x －3π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得5π8＋k π≤x ≤9π8＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8＋k π，9π8＋k π(k ∈Z)．B 级 能力提升11．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.53D ．2解析：函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(其中ω>0)． 将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z)，故得ω的最小值是2. 答案：D12．(2014·福建卷)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 解析：由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确． 答案：D13.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则函数的解析式为f (x )＝__________．。
高中数学 模块综合检测 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题
模块综合检测[学生用书P129(单独成册)] (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知750°<α<800°，那么α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选A ．因为750°<α<800°，所以375°<α2<400°，所以α2是第一象限角．2．已知sin (π＋α)＝13，则cos 2α＝( )A ．79B ．－89C ．－79D ．429解析：选A ．因为sin (π＋α)＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝79. 3．已知a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，且(a ＋λb )⊥a ，则λ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1解析：选D ．因为a ＋λb ＝(1，0)＋(λ，λ)＝(1＋λ，λ)，所以(a ＋λb )·a ＝(1＋λ，λ)·(1，0)＝1＋λ.由(a ＋λb )⊥a 得1＋λ＝0，得λ＝－1，故选D ．4．已知sin (π＋α)＝－13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值为( )A ．2 2B ．－2 2C ．24D ．±2 2解析：选D ．因为sin (π＋α)＝－13，所以sin α＝13，则cos α＝±223，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2.故选D ． 5.3－tan 15°1＋3tan 15°的值为( )A ．0B ．1C ．12D ．2解析：选B ．原式＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°·tan 15°＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.6．函数f (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋2(x ∈R )的值域是( ) A ．[2，3] B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 C ．[1，4]D ．[2，4]解析：选A ．因为f (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋2＝3－2sin 2x ＋sin 2x ＝3－sin 2x ，sin x ∈[－1，1]，所以f (x )∈[2，3]．故选A ．7．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则下列说法正确的是( )A ．f (x )在定义域内是增函数B ．f (x )图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4－π6，0(k ∈Z )C ．f (x )是奇函数D ．f (x )图象的对称轴是x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析：选B ．f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在定义域内不是增函数，不是奇函数，且其图象没有对称轴，因此A ，C ，D 错误．由2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π4－π6(k ∈Z )．因此f (x )图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4－π6，0(k ∈Z )．故选B ．8．如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为( )A ．－3B ．3C ．2D ．－2解析：选B ．因为AD →＝23AC →，所以BP →＝13BD →＝13(AD →－AB →)＝29AC →－13AB →，所以AP →＝AB →＋BP →＝23AB →＋29AC →，又AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，从而λμ＝3，故选B ．9．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角大小为π3，a ＝AB →，b ＝CD →，则a ·b＝( )A ．－5B ．－1C ．－3D ．－6解析：选B ．设菱形中过A 点的两邻边对应的向量分别表示为i ，j ，且i 的方向水平向右，则|i |＝|j |＝1，〈i ，j 〉＝60°，从而i ·j ＝12.因此a ＝i ＋2j ，b ＝－3i ＋2j ，所以a ·b ＝(i ＋2j )·(－3i ＋2j )＝－3i 2－4i ·j ＋4j 2＝－3×12－4×1×1×12＋4×12＝－1，故选B ．10．先将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1的图象上所有的点向右平移π4个单位，再向上平移1个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的周期是π2B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12是奇函数 C ．g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0对称D ．g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增 解析：选D ．由题意得f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos 2x ＋1为偶函数，B 错误；将f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位，再向上平移1个单位后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2，g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，2对称，C 错误；g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，D正确．11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝3π4对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是单调函数，则ω等于( )A ．83 B ．23 C ．43或83D ．43解析：选D ．因为f (x )在R 上是偶函数，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z ，因为0≤φ≤π.所以φ＝π2，所以f (x )＝cos ωx ，因为f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，所以3π4ω＝k π，即ω＝43k ，k ∈Z ，又因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是单调函数，所以23ωπ≤π，ω≤32，所以只有k ＝1时，ω＝43符合题意．12．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1，1)，1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，则四边形ABCD 的面积为( )A ． 3B ． 2C ．2D ．33解析：选A ．作CE ⊥BD 于E .由AB →＝DC →＝(1，1)可知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|DC →|＝2，因为1|BA →|·BA →＋1|BC →|·BC →＝3|BD →|·BD →，所以平行四边形ABCD 的对角线BD 平分∠ABC ，平行四边形ABCD 为菱形，其边长为2，且对角线BD 的长等于边长的3倍，即BD ＝3×2＝6，则CE 2＝(2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝12，即CE ＝22，所以三角形BCD 的面积为12×6×22＝32，所以四边形ABCD的面积为2×32＝ 3. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知sin α＋cos α＝52，则cos 4α＝________． 解析：由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝54，所以sin 2α＝14，从而cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.答案：7814．l 1，l 2是不共线向量，且a ＝－l 1＋3l 2，b ＝4l 1＋2l 2，c ＝－3l 1＋12l 2，若b ，c 为一组基底，则向量a ＝________．解析：设a ＝x b ＋y c ，由题意可知－l 1＋3l 2＝x (4l 1＋2l 2)＋y (－3l 1＋12l 2)，整理得－l 1＋3l 2＝(4x －3y )l 1＋(2x ＋12y )l 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝－1，2x ＋12y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－118，y ＝727.答案：－118b ＋727c15．设向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，sin α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos α＋23，若a ∥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值是________． 解析：由a ∥b ，可得12⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋23－32sin α＝0，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13.而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3－2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝79.答案：7916．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1.边DC 上的动点P (包含点D ，C )与CB 延长线上的动点Q (包含点B )满足|DP →|＝|BQ →|，则PA →·PQ →的最小值为________．解析：以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，1)，Q (2，y )，由题意知0≤x ≤2，－2≤y ≤0. 因为|DP →|＝|BQ →|，所以|x |＝|y |，所以x ＝－y . 因为PA →＝(－x ，－1)，PQ →＝(2－x ，y －1)， 所以PA →·PQ →＝－x (2－x )－(y －1)＝x 2－2x －y ＋1＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，所以当x ＝12时，PA →·PQ →取得最小值为34.答案：34三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知角α的终边经过点P (3，4)． (1)求tan (π－α)的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－2π)·cos (π－α)的值．解：因为角α的终边经过点P (3，4)， 所以设x ＝3，y ＝4，则r ＝32＋42＝5，所以sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝43.(1)tan (π－α)＝－tan α＝－43.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－2π)·cos (π－α)＝sin αcos α·sin α·(－cos α) ＝－sin 2α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－1625. 18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 是同一平面的三个向量，其中a ＝(1，3)． (1)若|c |＝4，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)因为c ∥a ，所以存在实数λ(λ∈R )，使得c ＝λa ＝(λ，3λ)，又|c |＝4，即λ2＋3λ2＝4，解得λ＝±2.所以c ＝(2，23)或c ＝(－2，－23)．(2)因为(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，所以(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ＝0，即a 2－32a ·b －52b 2＝0，所以4－32×2×1×cos θ－52＝0，所以cos θ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.19．(本小题满分12分)已知角α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α的值． 解：因为(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以4cos α－3sinα＝0，所以tan α＝43，sin α＝45，cos α＝35.(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝43＋11－43＝－7.(2)cos 2α＝2cos 2α－1＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos π3cos 2α＋sin π3sin 2α＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－725＋32×2425＝243－750.20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos 2x ，sin 2x )，b ＝(3，1)，函数f (x )＝a ·b ＋m . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为5，求m 的值． 解：(1)由题意知：f (x )＝(cos 2x ，sin 2x )·(3，1)＋m ＝3cos 2x ＋sin 2x ＋m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋m ， 所以f (x )的最小正周期为T ＝π. (2)由(1)知：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋m ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3.所以当2x ＋π3＝4π3时，f (x )取得最小值－3＋m .又f (x )的最小值为5，所以－3＋m ＝5，即m ＝5＋ 3.21．(本小题满分12分)已知电流I 与时间t 的关系式为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)如图是I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解：(1)由图可知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175，所以ω＝2πT ＝150π.t ＝－1900时，I ＝0，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤150π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1900＋φ＝0， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝0.而|φ|<π2，所以φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6.(2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)，所以ω≥300π>942，又ω∈N *，故最小正整数ω＝943.22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(cos x ＋sin x ，2cos x )，n ＝(cos x －sin x ，－sin x )． (1)求f (x )＝m ·n 的最小正周期和单调减区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，g (B )＝22，求C 的值．解：(1)f (x )＝cos 2x －sin 2x －2cos x sin x ＝cos 2x －sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π＋π2≤2x ＋3π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得：2k π－π4≤2x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )，k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，所以f (x )＝m ·n 的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π8个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得函数为y ＝2cos x ，即g (x )＝2cos x ，由题设得：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋3π4＝0，所以A ＝π4.又2cos B ＝22，所以cos B ＝12，B ＝π3. 所以C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝5π12.。
苏教版高中数学必修4章末练测：第二章平面向量(含参考答案).docx
第2章平面向量（数学苏教版必修4）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上）1.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量OD等于.2. 有下列四个关系式：①|a·b|=|a|·|b|;②|a·b|≤|a|·|b|;③|a·b|≥|a|·|b|;④|a·b|≠|a|·|b|.其中正确的关系式是.3.在△ABC中，AB边上的高为CD,若CB=a,CA=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则AD= .4.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|= .5.设x，y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|= .6.设a=(13，tan )，b=(cos ，32)，且a∥b，则锐角的值为.7.点P为△ABC所在平面内任一点，且PA+PB+PC=AB，则点P与△ABC的位置关系是.8.对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是.○1若a·b=0，则a=0或b=0;○2若λa=0，λ=0或a=0;○3若a2=b2，则a=b或a=-b;○4若a·b=a·c，则b=c.9. 在△ABC所在平面存在一点O使得OA+ OB + OC= 0，则面积= .10.若将向量a=（1，2）绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b，则b的坐标是.11.已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值等于.12.已知点A（1，-2），若向量AB与a=（2，3）同向，|AB|=213，则点B的坐标为.13. 设OA=(3，1)，OB=(-1，2)，OC⊥OB, BC ∥OA,又OD+OA=OC，则OD的坐标是.14.若对n个向量a1，a2，…，a n存在n个不全为零的实数k1,k2,…,k n，使得k1a1+k2a2+…+k n a n=0成立，则称向量a1,a2,…,a n为“线性相关”.依此规定，能说明a1=(1,2),a2=(1,-1)，a3=(2,10)“线性相关”的实数k1,k2,k3依次可以取（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15.(15分)设a，b，c，d∈R，求证：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）. 16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）=2222()()x a b x c d+++-+的最小值.17.（21分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b ＝（-1，2），c=（4，1）.（1）求满足a=m b+n c的实数m,n；（2）若（a+k c）∥(2b-a)，求实数k；（3）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)，且|d-c|＝1，求向量d. 18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.（1）若x=a+（t-3）b与y=-k a+t b垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；（2）求函数k=f（t）的最小值.19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）第2章平面向量（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15.16. 17. 18. 19.第2章 平面向量（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. a +c -b 解析：如图，点O 到平行四边形三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ， 结合图形有OD =OA +AD =OA +BC =OA +OC -OB =a +c -b .2. ○2 解析：|a ·b |=|a ||b ||cos θ|≤|a |·|b |,其中θ为a 与b 的夹角.3.45a -45b 解析：利用向量的三角形法则求解. 如图，∵ a ·b =0，∴ a ⊥b ，∴ ∠ACB =90°， ∴ AB =22AC BC +=5.又CD ⊥AB ,∴ AC 2=AD ·AB ，∴ AD =455. A DOB CC b aA D B∴ AD =45AB =45（a -b ）=45a -45b . 4.5 解析：｜a +b ｜2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=50，即5+2×10+|b |2=50,∴ |b |=5.5. 解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解. ∵ a =（x ,1）,b =（1,y ）,c =（2,-4）, 由a ⊥c 得a ·c =0,即2x-4=0,∴ x =2. 由b ∥c ,得1×（-4）-2y =0,∴ y =-2. ∴ a =（2,1）,b =（1,-2）.∴ a +b =（3,-1）,∴ |a +b |=223(1)+-=.6.π6解析：∵ a ∥b ，∴ 13×32-t a n cos =0，即sin =12，∴ =π6.7. P 在AC 边上 解析：∵ PA +PB +PC =AB ，∴ PA +PC =AB +BP =AP ，即PC =2AP . ∴ A 、C 、P 三点共线，即P 在AC 边上. 8.○2 解析：取a =（1，0），b =（0，-1），满足条件a ·b =0，a 2=b 2，但不能推得a =0或b =0，a =b 或a =-b ，故选项○1、○3均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项○4假. 9.13解析：∵ OA + OB + OC = 0 ，∴ OB + OC = AO ， 设 OB + OC =OD ， ∴O 是AD 的中点， 要求面积之比的两个三角形是同底的三角形， ∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是13， 10. （22-，322） 解析：设b =（x ，y ），则|b |=|a |=，a ·b =|a ||b |·cos π4=××22=522，即x 2+y 2=5，x+2y =522，解得x =22-，y =322（舍去x =322，y =22）.故b =（22-，322）. 11.-25 解析：∵|AB |2+|BC |2=|CA |2，∴ △ABC 为直角三角形，AB ⊥BC ， cos A =35，cos C =45. ∴原式=3×4×0+4×5×(45-)+5×3×(35-)=25-.12.（5，4） 解析：设AB =（x ，y ），∵ AB 与a 同向， ∴ AB =λa （λ>0），即（x ，y ）=λ（2，3）.∴ 2,3.x y λλ=⎧⎨=⎩又|AB |=2，∴ x 2+y 2=52.∴ 4λ2+9λ2=52，解得λ=2（负值舍去）.∴ 点B 的坐标为（5，4）.13. 1 解析：设OC =(x ,y ),由OC ⊥OB ,得-x+2y =0.① 由BC =OC -OB =(x+1,y-2), BC ∥OA , 得(x+1)-3(y-2)=0.②由①②联立，解得x =14,y =7.故OD =OC -OA =(14，7)-(3，1)=(11，6).14.只要写出-4c ,2c ,c (c ≠0)中一组即可，如-4，2，1等 解析：由k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3＝0得12313,12323,20,421002k k k k k k k k k k ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴ k 1=-4c ,k 2=2c ,k 3=c (c ≠0). 二、解答题15.证明：引入向量a =（a ，b ），b =（c ，d ）. 设向量a 、b 的夹角为，则（ac+bd ）2=（a ·b ）2=（|a ||b |cos ）2≤（|a ||b |）2=（a 2+b 2）（c 2+d 2）. 16.解：引入向量a =（x+a ，b ），b =（c-x ，d ）， 则原函数变为f （x ）=|a |+|b |.∴ f （x ）=|a |+|b |≥|a +b |=22()()x a c x b d ++-++=22()()a c b d +++. ∴ 函数f （x ）的最小值为22()()a c b d +++. 17.解：（1）因为a =m b +n c ,所以（3，2）＝（-m+4n ,2m+n ）,所以5,43,9228.9m m n m n n ⎧=⎪-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩（2）因为（a +k c ）∥(2b -a ),又a + k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2), 所以2（3+4k ）+5（2+k ）＝0，即k =-1613. （3）因为d -c =(x-4,y-1),a +b =(2,4), 又（d -c ）∥(a +b ),|d -c |=1，所以22554,4,4(4)2(1)0,55(4)(1)1,25251,155x x x y x y y y ⎧⎧=+=-⎪⎪---=⎧⎪⎪⎨⎨⎨-+-=⎩⎪⎪=+=-⎪⎪⎩⎩解得或.所以d =（5254,155++）,或d =（5254,155--）. 18.解：（1）∵ a ⊥b ，∴ a ·b =0.又x ⊥y ，∴ x ·y =0，即［a +（t-3）b ］·（-k a +t b ）=0，-k a 2-k （t-3）a ·b +t a ·b +t （t-3）b 2=0. 将|a |=2，|b |=1代入上式得-4k+t 2-3t =0， 即k =f （t ）=14（t 2-3t ）. （2）由（1）知k =f （t ）=14（t 2-3t ）=14（t-32）2916-, ∴ 当t =32时，k 最小=916-. 19.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v 1|2=| v |2+| v 2|2，得| v |=2212-v v =22104-≈9.2（km/h ）. ∵ cos （π-）=21v v =410=25，∴ π-≈1130π，即≈1930π=114°，时间t =d v ≈0.59.2=592（h ）,即约3.3 min. 答：v 1与v 2的夹角约为114°时船才能垂直到达对岸B 处，大约行驶3.3 min.v 1 vA v 2。
高中数学 章末综合测评2 圆锥曲线与方程 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是________．[解析] 把抛物线方程化为标准形式得x 2＝－8y ，所以抛物线的准线方程为y ＝2. [答案] y ＝22．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值X 围是________．[解析] 焦点在x 轴上，则标准方程中a 2>a ＋6，解得a >3或a <－2.又a 2>0，a ＋6>0，所以a >3或－6<a <－2.[答案] (－6，－2)∪(3，＋∞)3．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r 等于________.【导学号：71392150】[解析] 双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，得r ＝ 3.[答案]34．若F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 225＋y 29＝1的共同的左、右焦点，点P 是两曲线的一个交点，且△PF 1F 2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是________．[解析] 不妨设PF 1＞PF 2，则PF 1＝F 1F 2＝8，由双曲线及椭圆的定义，可知⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＋PF 2＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧8－PF 2＝2a ，8＋PF 2＝10，得2a ＝6，a ＝3.又a 2＋b 2＝16，所以b 2＝7，故双曲线的渐近线方程为y ＝±73x . [答案] y ＝±73x 5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是________．[解析] 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)⇒k 2x2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k ≤1，且k ≠0，综上可知，－1≤k ≤1.[答案] [－1,1]6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________．[解析] 由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y ＝±x .由P (0,4)知左焦点F 的坐标为(－4,0)，∴c ＝4，∴a 2＝b 2＝c 22＝8，∴双曲线方程为x 28－y 28＝1.[答案]x 28－y 28＝1 7．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________.【导学号：71392151】[解析] 由题意知，|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S ＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2.[答案]28．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．[解析] 由抛物线的定义知，AF ＝2c ，∴b 2a＝2c .∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0. 又∵e >1， ∴e ＝2＋1. [答案]2＋19．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是________．[解析] 如图，分别过点A ，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为点M ，N ，由抛物线的定义知，AM ＋BN ＝AF ＋BF ＝AB ＝8.又四边形AMNB 为直角梯形，故AB 中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x ＝－p 2，所以4＝2＋p2，即p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .[答案] y 2＝8x10．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为________．[解析] 由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，点F (0,1)，准线为y ＝－1，∴FM ＝2，PQ ＝1＋14＝54，MQ ＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋2×1＝138. [答案]13811．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为________.【导学号：71392152】[解析] 因为双曲线 x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，所以c ＝2，a ＝1，所以双曲线的离心率为2.[答案] 212．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP →＝22PB →，则点P 的轨迹C 的方程为________．[解析] 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )，得x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y ，因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.[答案]x 22＋y 2＝113．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若AF ＝3，则BF ＝________.[解析] 由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)．又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.知点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∴BF ＝12－(－1)＝32.[答案] 3214．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为________.【导学号：71392153】[解析] 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，a 2＝20，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1. [答案]x 220＋y 25＝1 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→. [解] (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ， ∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．把(4，－10)代入双曲线方程得42－(－10)2＝λ， ∴λ＝6，∴所求双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)知双曲线方程为x 2－y 2＝6，∴双曲线的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∵点M 在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3. ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝－3＋3＝0.16．(本小题满分14分)已知一条曲线C 在y 轴右侧，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l 交曲线C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为D (2，－1)，求直线l 的一般式方程.【导学号：71392154】[解] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足： (x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)，化简得y 2＝4x (x ＞0)． 即曲线C 的方程为y 2＝4x (x ＞0)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，易知l 的斜率k 存在， 故(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝4，即－2k ＝4，所以k ＝－2，故l 的一般式方程为2x ＋y －3＝0. 17．(本小题满分14分)如图1，抛物线关于x 轴对称，它的顶点是坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．图1(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当直线PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． [解] (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． ∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)． ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)， ∴y 1＋y 2＝－4. ②－①，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)． 18．(本小题满分16分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．[解] 依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32，解得2p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上，∴c ＝1，则a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b2＝1， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去).∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分16分)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .[解] (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .20．(本小题满分16分)如图2，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8，点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.图2(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.【导学号：71392155】[解] (1)设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3， 因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)，因为P 为第一象限内的点，故x 0>0，y 0>0. 当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符． 当x 0≠1时， 直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1. 因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2， 所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1y 0， 从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)．② 由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆E 上，由对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又点P 在椭圆E 上，故x 204＋y 203＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 20＝1，x 204＋y 203＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝477，y 0＝377；⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 23＝1无解．因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫477，377.。
苏教版高中数学必修四高考章末综合检测
(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为__________． 解析：由a ·b ＝0，得3×2＋m ×(－1)＝0，∴m ＝6. 答案：62．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝__________. 解析：法一：∵a ∥b ，∴1·m ＝2×(－2)，即m ＝－4， ∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 法二：∵a ∥b ，∴存在实数λ，使a ＝λb ， ∴(1,2)＝λ(－2，m )，即(1,2)＝(－2λ，λm )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝1，λm ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，m ＝－4， ∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝－b ＋3b ＝2b ＝(－4，－8)． 答案：(－4,8)3．已知|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为60°，则|3a －b |＝__________. 解析：由|3a －b |2＝9a 2－6a ·b ＋b 2＝9×42－6×4×6×cos60°＋62＝108，可求得|3a －b |＝6 3.答案：6 34．在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝8，得cos A ＝12，所以A ＝60°，△ABC 是等边三角形．答案：等边三角形．5．若A (－1，－2)，B (4,8)，C (5，x )，且A ，B ，C 三点共线，则x ＝__________.解析：因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线．所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →.又因为A (－1，－2)，B (4,8)，C (5，x )，所以AB →＝(5,10)，AC →＝(6，x ＋2)，所以(5,10)＝k (6，x ＋2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧5＝6k ，10＝k (x ＋2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝56，x ＝10. 答案：106．已知向量a ＝(6,2)与b ＝(－3，k )的夹角是钝角，则k 的取值范围是__________． 解析：因为a ，b 的夹角θ是钝角，所以－1＜cos θ＜0.又因为a ＝(6,2)，b ＝(－3，k )，所以cos θ＝a ·b|a ||b |＝k －9109＋k 2，即－1＜k －9109＋k 2＜0.解得k ＜9且k ≠－1.故所求k 的取值范围为(－∞，－1)∪(－1,9)．答案：(－∞，－1)∪(－1,9)7．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝__________. 解析：设向量a 的坐标为 (m ，n )，则a ＋b ＝(m ＋2，n －1)，由题设，得⎩⎪⎨⎪⎧ (m ＋2)2＋(n －1)2＝1，n －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝1.∴a ＝(－1,1)或(－3,1)． 答案：(－1,1)或(－3,1)8．如图，半圆O 中AB 为其直径，C 为半圆上任一点，点P 为AB 的中垂线上任一点，且|CA →|＝4，|CB →|＝3，则AB →·CP →＝__________.解析：AB →·CP →＝AB →·(CO →＋OP →)＝AB →·CO →＋AB →·OP →＝(CB →－CA →)·CO →＋AB →·OP →＝(CB →－CA →)·CA →＋CB →2＋0＝12(|CB →|2－|CA →|2)＝12(32－42)＝－72.答案：－729．给出下列命题：①若a 与b 为非零向量，且a ∥b 时，则a －b 必与a 或b 中之一的方向相同；②若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |e ；③a ·a ·a ＝|a |3；④若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线，其中假命题有__________．解析：①命题中a －b 有可能为0，其方向是任意的，故错；③命题中三个向量的数量积应为向量，故为假命题．答案：①②③④10．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝__________.解析：n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB →＝7－5＝2. 答案：211．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为__________．解析：由于质点处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，所以|F 3|2＝F 23＝[－(F 1＋F 2)]2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝22＋42＋2×2×4×12＝4＋16＋8＝28，所以F 3＝27. 答案：2712．(2010年高考四川卷改编)设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|等于__________．解析：∵|BC →|2＝16，∴|BC →|＝4.又|AB →－AC →|＝|CB →|＝4，∴|AB →＋AC →|＝4.∵M 为BC 的中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴|AM →|＝12|AB →＋AC →|＝2.答案：213．(2010年高考辽宁卷改编)平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于__________．解析：设a 、b 间的夹角为θ，则S △OAB ＝12|a ||b |·sin θ＝12|a ||b |·1－cos 2θ＝12|a ||b | 1－⎝⎛⎭⎫a ·b |a ||b |2 ＝12|a ||b |·|a |2|b |2－(a ·b )2|a |2|b |2 ＝12|a |2|b |2－(a ·b )2. 答案：12|a |2|b |2－(a ·b )214．(2010年高考山东卷改编)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是__________．①若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0； ②a ⊙b ＝b ⊙a ；③对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )； ④(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2.解析：若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，即①正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，且b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，即②不正确．对于③，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，即③正确．对于④，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，即④正确．故选②答案：②二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)设d ＝(x ，y )满足(d －c )∥ (a ＋b )且|d －c |＝1，求d .解：(1)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，且a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.(2)∵d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，(d －c )∥(a ＋b )且|d －c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝4＋55，y ＝1＋255，或⎩⎨⎧x ＝4－55，y ＝1－255.∴d ＝⎝⎛⎭⎪⎫20＋55，5＋255或d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫20－55，5－255. 16．(本小题满分14分)AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，BC →∥DA →. (1)求x 与y 的关系式；(2)若有AC →⊥BD →，求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积．解：(1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)＝(x ＋4，y －2)，∴DA →＝－AD →＝(－x －4,2－y )．又BC →∥DA →，BC →＝(x ，y )，∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.(2)∵AC →＝AB →＋BC →＝(6,1)＋(x ，y )＝(x ＋6，y ＋1)， BD →＝BC →＋CD →＝(x ，y )＋(－2，－3)＝(x －2，y －3)，且AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0. 又由(1)的结论x ＋2y ＝0，∴(6－2y )(－2y －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 化简得y 2－2y －3＝0， ∴y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6.于是有 BC →＝(－6,3)，AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)． ∴|AC →|＝4，|BD →|＝8.∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16.同理y ＝－1时，x ＝2.于是有BC →＝(2，－1)，AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)． ∴|AC →|＝8，|BD →|＝4.∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， S 四边形ABCD ＝16.17．(本小题满分14分)如图所示，一艘小船从河岸A 处出发渡河，小船保持与河岸垂直的方向行驶，经过10 min 到达正对岸下游120 m 的C 处，如果小船保持原来的速度逆水向上游与岸成α角的方向行驶，则经过12.5 min 恰好到达正对岸B 处，求河的宽度d .解：由题意作出示意图．图1为船第一次运动速度合成图．图2为船第二次运动速度合成图．设河水流速为v 水，船速为v 船，由题意，得两次运动时间分别为t 1＝d |v 船|，t 2＝d|v 船|sin α.沿河岸方向有BC ＝|v 水|t 1；由第二次垂直河岸，有|v 船|cos α＝|v 水|.将t 1＝10 min ，t 2＝12.5 min ，BC ＝120 m 代入以上各式，解得d ＝200 m. 所以河的宽度为200 m.18．(本小题满分16分)已知a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)是否存在实数k ，使k a ＋b 与a －2b 垂直？解：(1)因为a ＋b ＋c ＝0，所以a ＋b ＝－c ，所以|a ＋b |＝|c |，所以(a ＋b )2＝|c |2，即a 2＋2a ·b＋b 2＝c 2，所以a ·b ＝c 2－a 2－b 22＝152，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，所以θ＝60°.(2)若存在实数k ，使k a ＋b 与a －2b 垂直，则(k a ＋b )·(a －2b )＝k a 2－2b 2－2k a ·b ＋a ·b ＝－6k －852＝0，解得k ＝－8512.所以存在实数k 使得k a ＋b 与a －2b 垂直．19．(本小题满分16分)以原点和A (5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，若B ＝90°，求点B 和AB →的坐标．解：设B (x ，y )，则|OB →|＝x 2＋y 2. ∵B (x ，y )，A (5,2)， ∴|AB →|＝(x －5)2＋(y －2)2， ∴x 2＋y 2＝(x －5)2＋(y －2)2， 即10x ＋4y ＝29.①又∵OB →⊥AB →， ∴OB →·AB →＝0，又∵OB →＝(x ，y )，AB →＝(x －5，y －2)，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0，即x 2－5x ＋y 2－2y ＝0.②由①②组成方程组为⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝29，x 2－5x ＋y 2－2y ＝0.解得⎩⎨⎧x 1＝32，y 1＝72，或⎩⎨⎧x 2＝72，y 2＝－32.∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，72或⎝⎛⎭⎫72，－32. ∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－72，32或AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，－72. 20．(本小题满分16分)如图所示，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ →与BC →夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．解：法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0， ∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC →＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2·cos θ.故当cos θ＝1即θ＝0(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.法二：以A 为坐标原点，两直角边AB 、AC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，如图． 设|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则A (0,0)，B (c,0)，C (0，b )， 且|PQ →|＝2a ，|BC →|＝a ，设点P (x ，y )，则Q (－x ，－y )， ∴BP →＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )， BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )． ∴BP →·CQ →＝(x －c )·(－x )＋y (－y －b ) ＝－(x 2＋y 2)＋cx －by ＝－a 2＋cx －by .∵cos θ＝PQ →·BC →|PQ →|·|BC →|＝cx －bya 2，∴cx －by ＝a 2·cos θ， ∴BP →·CQ →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1，即θ＝0(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.。
苏教版高中数学必修4章末过关检测卷(二)
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）章末过关检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·四川卷)向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：因为a ∥b ，所以2×6－4x ＝0，解得x ＝3. 答案：B2．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A.BC → B.AB → C.AC → D.AM →解析：原式＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →. 答案：C3．(2015·课标全国Ⅱ卷)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：法一：因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， 所以a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， 所以2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)． 从而(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1. 答案：C4．设点A (－1，2)，B (2，3)，C (3，－1)，且AD →＝2AB →－3BC →，则点D 的坐标为( )A ．(2，16)B ．(－2，－16)C ．(4，16)D ．(2，0)解析：设D (x ，y )，由题意可知AD →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3，1)，BC →＝(1，－4)，所以2AB →－3BC →＝2(3，1)－3(1，－4)＝(3，14)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝3，y －2＝14.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.答案：A5．点C 在线段AB 上，且AC →＝25AB →，若AC →＝λBC →，则λ等于( )A.23B.32 C ．－23 D ．－32 解析：因AC →＝25AB →＝25(AC →－BC →)，所以35AC →＝－25BC →，即AC →＝－23BC →＝λBC →.所以λ＝－23.答案：C6．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30° 解析：设向量a ，b 夹角为θ， |c |2＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos θ， 则cos θ＝－12.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°. 答案：B7．(2015·陕西卷)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：根据a ·b ＝|a ||b |cos θ，又cos θ≤1，知|a ·b |≤|a ||b |，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a |－|b ||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立. 根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．答案：B8．(2015·课标全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →.答案：A9．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3 解析：因为a ＝(1，3)，b ＝(3，m )， 所以|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a·b ＝3＋3m . 又a ，b 的夹角为π6，所以a·b|a |·|b |＝cos π6，即3＋3m 29＋m 2＝32. 所以3＋m ＝ 9＋m 2，解得m ＝ 3.答案：B10．已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝50，则|b |＝( ) A ．0 B ．2 C ．5 D ．25解析：因为a ＝(2，1)，则有|a |＝5，又a·b ＝10， 又由|a ＋b |＝50， 所以|a |2＋2a·b ＋|b |2＝50， 5＋2×10＋|b |2＝50，所以|b |＝5. 答案：C11．(2015·安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →解析：在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ， 得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0.所以(4a ＋b )⊥BC →. 答案：D12．在△ABC 中，AB ＝BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )A ．－94 B.94 C.274D ．9解析：分别以BC ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，根据已知条件可求得以下几点坐标：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，332，D (0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0， 所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－332，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332.所以AD →·AC →＝274. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)13．(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：因为 ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8.所以 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5.所以 m －n ＝2－5＝－3. 答案：－314．(2015·北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝____________；y ＝________________．解析：因为AM →＝2MC →，所以AM →＝23AC →.因为BN →＝NC →，所以AN →＝12(AB →＋AC →)．因为MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →，又MN →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.答案：12 －1615．若两个向量a 与b 的夹角为θ，则称向量“a ×b ”为“向量积”，其长度|a ×b |＝|a ||b |·sin θ，若已知|a |＝1，|b |＝5，a·b ＝－4，则|a ×b |＝________．解析：由|a |＝1，|b |＝5，a·b ＝－4得cos θ＝－45，又θ∈[0，π]，所以sin θ＝35.由此可得|a ×b |＝1×5×35＝3.答案：316．(2014·湖北卷)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．解析：因为OA →＝(1，－3)，又|OA →|＝10＝|OB →|， 又OA →·OB →＝0，所以∠AOB ＝90°.所以△AOB 是等腰直角三角形，且|AB →|＝2|OA →|＝2 5. 答案：2 5三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．解：|c |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°. 所以－12<cos θ<1，所以13<|c |<5.所以|c |的取值范围为(13，5)．18.(本小题满分12分)如图所示，在△AOB 中，点P 在直线AB 上，且满足OP →＝2tPA →＋tOB →(t ∈R)，求|PA →||PB →|的值．解：PA →＝OA →－OP →，所以OP →＝2t (OA →－OP →)＋tOB →， 即(1＋2t )OP →＝2tOA →＋tOB →， 得OP →＝2t 1＋2t OA →＋t 1＋2tOB →.而P ，A ，B 三点共线，所以存在实数λ使得AP →＝λAB →， 即OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →， 由平面向量基本定理，所以2t 1＋2t ＋t 1＋2t ＝(1－λ)＋λ＝1，解得t ＝1，所以OP →＝2PA →＋OB →， 则BP →＝2PA →，故|PA →||PB →|＝12.19．(本小题满分12分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋me 2，OB →＝ne 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．解：以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n ，0)．又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →， 所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5.20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(－3，2)，b ＝(2，1)，c ＝(3，－1)，t ∈R.(1)求|a ＋tb |的最小值及相应的t 值； (2)若a －tb 与c 共线，求实数t .解：(1)因为a ＝(－3，2)，b ＝(2，1)，c ＝(3，－1)， 所以a ＋tb ＝(－3，2)＋t (2，1)＝(－3＋2t ，2＋t )． 所以|a ＋tb |＝（－3＋2t ）2＋（2＋t ）2＝ 5t 2－8t ＋13＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －452＋495≥495＝755， 当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋t b |的最小值为755，此时t ＝45. (2)因为a －tb ＝(－3，2)－t (2，1)＝(－3－2t ，2－t )， 又a －tb 与c 共线，c ＝(3，－1)， 所以(－3－2t )·(－1)－(2－t )·3＝0. 解之可得t ＝35.21．(本小题满分12分)已知向量OA →，OB →，OC →满足条件OA →＋OB →＋OC →＝0，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1.求证：△ABC 为正三角形．证明：因为OA →＋OB →＋OC →＝0， 所以OA →＋OB →＝－OC →. 所以(OA →＋OB →)2＝(－OC →)2.所以|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →＝|OC →|2. 所以OA →·OB →＝－12.所以cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－12.所以∠AOB ＝120°.同理∠AOC ＝120°，∠COB ＝120°. 即OA →，OB →，OC →中任意两个夹角为120°. 故△ABC 为正三角形．22．(本小题满分12分)在四边形ABCD 中，AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，BC →∥DA →.(1)求x 与y 的关系式；(2)若AC →⊥BD →，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积． 解：在四边形ABCD 中，如图所示．(1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，所以DA →＝－AD →＝(－x －4，2－y )．又因为BC →∥DA →，BC →＝(x ，y )，所以x (2－y )－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)由于AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)．因为AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，所以y 2－2y －3＝0，所以y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，于是BC →＝(－6，3)，AC →＝(0，4)，BD →＝(－8，0)．所以|AC →|＝4，|BD →|＝8.所以S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16. 当y ＝－1时，x ＝2，于是有BC →＝(2，－1)，AC →＝(8，0)，BD →＝(0，－4)．所以|AC →|＝8，|BD →|＝4，S 四边形ABCD ＝16.综上可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1， 四边形ABCD 的面积为16.。
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章末过关检测卷(二) 第2章 平 面 向 量(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·辽宁卷)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 答案: A2．(2014·广东卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( )A ．(－2，1)B ．(2，－1)C ．(2，0)D ．(4，3) 答案: B3．已知a ＝()－1，2，b ＝()3，m ，若a ⊥b ，则m 的值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D ．4答案: B4．(2014·重庆卷)已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152答案: C5．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为20 N ，合力与F 1的夹角为π3，那么F 2的大小为 ( ) A ．10 N B ．10 2 N C ．10 3 N D ．20 N 答案: C6．(2013·大纲全国卷)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 答案: B7．设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，当c ＝λa ＋μb ()λ，μ∈R ，且λ＋μ＝1时，点C 在( )A ．在线段AB 上 B ．在直线AB 上C ．在直线AB 上，除去点AD ．在直线AB 上，除去点B 答案: B8．已知 a ＝()0，1，b ＝()2，0， 则||2a ＋b ＝( ) A. 3 B ．2 2 C ．8 D ．12 答案: B9．(2013·福建卷)在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：∵AC→·BD→＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，∴AC→⊥BD→.∴S四边形ABCD＝12|AC→|·|BD→|＝12×5×25＝5.答案：C10．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|BC→|2＝16，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|＝( )A．8 B．4 C．2 D．1解析：由|BC|2＝16，得|BC|＝4.|AB→＋AC→|＝|AB→－AC|＝|BC→|＝4，而|AB→＋AC→|＝2|AM→|，故|AM→|＝2.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a ＋b)∥c，则m＝________．解析：a＋b＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c得1×2－(m－1)×(－1)＝0，所以m＝－1.答案：－112．(2014·重庆卷)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________．解析：先求向量a的模，再由向量的数量积的定义求解．∵a＝(－2，－6)，∴|a|＝（－2）2＋（－6）2＝210.∴a ·b ＝210×10cos 60°＝10. 答案：1013．(2014·江西卷)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．解析：先计算两个向量的模和数量积，再利用向量的夹角公式求解．∵|a |＝（3e 1－2e 2）2＝9＋4－12×1×1×13＝3，|b |＝（3e 1－e 2）2＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8.∴cos β＝83×22＝223.答案：22314．(2013·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB→＝(2，2)，若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________． 解析：利用向量垂直的充要条件，列方程求解． ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →. ∴OB →·AB →＝0.又AB →＝OB →－OA→＝(2，2)－(－1，t )＝(3，2－t )，∴(2，2)·(3，2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：5三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知a ＝()1，2，b ＝()－3，2，若ka ＋2b 与2a －4b 平行，求实数k 的值．解析：∵ka ＋2b ＝k ()1，2＋2()－3，2＝()k －6，2k ＋4， 2a －4b ＝2()1，2－4()－3，2＝()14，－4， 又ka ＋2b 与2a －4b 平行， ∴()k －6()－4－()2k ＋4×14＝0. 解得k ＝－1.16．(本小题满分12分)设||a ＝||b ＝1，||3a －2b ＝3，求||3a ＋b 的值．解析：由||3a －2b ＝3得9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9.又||a ＝||b ＝1，∴a ·b ＝13.故||3a ＋b ＝()3a ＋b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9＋6×13＋1＝2 3.17.(本题满分14分)(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，求t 的值．解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，∴b ·c ＝[ta ＋(1－t )b ]·b＝0，即ta ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以t2＋1－t ＝0，解得t ＝2.18．(本题满分14分)(2013·北京卷)已知点A (1，－1)，B (3，0)，C (2，1)，若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，求平面区域D 的面积．解析：利用向量的坐标运算公式表示出点P 坐标满足的关系式，利用数形结合思想求解．设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y ＋1)，由题意知AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)．由AP →＝λAB →＋μAC →知(x －1，y ＋1)＝λ(2，1)＋μ(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋μ＝x －1，λ＋2μ＝y ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2x －y －33，μ＝2y －x ＋33.∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x －y －3≤6，0≤2y －x ＋3≤3.作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，由图可知平面区域D 为平行四边形，可求出M (4，2)，N (6，3)，故|MN |＝ 5.又x －2y ＝0与x －2y －3＝0之间的距离为d ＝35，故平面区域D 的面积为S ＝5×35＝3.19.(本小题满分14分)如图，质量为2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力15 N 作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行s ＝2.0 m 的距离，请分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功(g ＝10 m/s 2)．解析：重力G ＝mg ＝20 N ，位移与重力夹角是120°，W 重＝G ·s ＝||G ||s cos 120°＝－20()J .支持力做功：由于N 与s 的夹角为90°，所以W 支＝0. 拉力做功： W 拉＝F ·s ＝||F ||s cos 0°＝30()J .20．(本小题满分14分)已知向量OA →， OB →， OC → 满足条件 OA →＋OB →＋OC →＝0，⎪⎪⎪⎪OA →＝⎪⎪⎪⎪OB →＝⎪⎪⎪⎪OC →＝1. 求证：△ABC 为正三角形．证明：∵OA →＋OB →＋OC →＝0， ∴OA →＋OB →＝－OC→， ∴⎝⎛⎭⎫OA →＋OB →2＝⎝⎛⎭⎫－OC →2. ∴⎪⎪⎪⎪OA →2＋⎪⎪⎪⎪OB →2＋2OA →·OB →＝⎪⎪⎪⎪OC →2. ∴OA →·OB →＝－12.∴cos ∠AOB ＝OA →·OB →⎪⎪⎪⎪OA →⎪⎪⎪⎪OB→＝－12.∴∠AOB ＝120°.同理∠AOC ＝120°，∠COB ＝120° 即OA →，OB →，OC →中任意两个夹角为120°. 故△ABC 为正三角形．。
2016-2017学年高中数学苏教版选修4-2章末综合检测2 含解析
章末综合检测(二）1。
当k〉0时，你能猜想错误!表示的变换吗？并对你的猜想作出证明.【解】猜想错误!表示的变换是将平面图形作沿y轴方向伸长(k>1）或压缩（0〈k<1)或恒等（k＝1）变换，证明如下：对于平面上任意一点P（x，y），在矩阵错误!的作用下，错误!错误!＝错误!，横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍.2。
若点A错误!在矩阵M＝错误!对应的变换作用下得到点为B(1，0），求α的值。
【导学号：30650022】【解】由题意知错误!错误!＝错误!，所以错误!解得错误!从而可知，α＝2kπ－错误!,（k∈Z）。
3.已知直线l与直线3x＋5y＋6＝0平行，且过点(5,6），求矩阵错误!将直线l变成了什么图形？并写出方程。
【解】由已知得直线l的方程为3x＋5y－45＝0，设P（x，y）为l上的任意一点,点P在矩阵对应的变换下对应点P′（x′，y′）。
则错误!＝错误!错误!＝错误!，∴错误!∴错误!代入3x＋5y－45＝0,得3x′＋25y′－45＝0，∴直线l变换成直线3x＋25y－45＝0。
4.求直线y＝2x在矩阵错误!确定的变换作用下得到的图形的表达式。
【解】设点（x，y）为直线y＝2x上的任意一点,其在矩阵错误!确定的变换作用下得到的点为（x′，y′）,则错误!→错误!＝错误!错误!＝错误!,即错误!所以错误!将其代入y＝2x，并整理得2x′－7y′＝0，所以直线y＝2x在矩阵错误!确定的变换作用下得到的图形的表达式是2x－7y＝0。
5。
切变变换矩阵错误!把直线x＋y＝1变成什么几何图形？【解】设P（x,y)在该变换下的象为P′（x′,y′）,则错误!＝错误!错误!＝错误!＝错误!，故错误!所以切变变换矩阵错误!把直线x＋y＝1变成与y轴平行的直线x＝1.6。
若曲线x2＋4xy＋2y2＝1在矩阵M＝错误!的作用下变换成曲线x2－2y2＝1，求a，b的值.【解】设（x，y)为曲线x2＋4xy＋2y2＝1上的任意一点,其在矩阵M的作用下变换成点（x′，y′）,则（x′,y′）在曲线x2－2y2＝1上，错误!＝错误!错误!＝错误!，即错误!将其代入x2－2y2＝1，并整理，得(1－2b2）x2＋（2a－4b)·xy＋(a2－2）y2＝1，比较系数得错误!解得错误!7。
苏教版高中数学必修4模块综合检测卷
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作模块综合检测卷(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·湖北卷)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)则向量AB→在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152解析：∵AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，∴AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|CD→|＝52＋52＝5 2.所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos<AB →，CD →>＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.答案：A2．(2013·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43解析：由已知可求得tan α＝－3或13，∴tan 2α＝－34，故选C.答案：C3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，|φ|<π2的图象如图所示，则f (0)＝( )A ．1 B.12 C.22 D.32解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2.把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入函数式中，可得φ＝π3， f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f (0)＝sin π3＝32.答案：D4．若O 、A 、B 是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )A.AB→＝OA →＋OB → B.AB →＝OB →－OA → C.AB→＝－OB →＋OA → D.AB →＝－OB →－OA → 解析：根据向量的表示可知选B. 答案：B5．(2014·安徽卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－12解析：根据已知条件判断出f (x )是以2π为周期的周期函数，然后进行求解．∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12. ∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A. 答案：A6．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变) B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变) D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)解析：f (x )＝2sin x 向左平移π6得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝g (x )，把g (x )图象横坐标伸长到原来的3倍得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6.答案：B7．若向量a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4解析：2a ＋b ＝(3，3)，a －b ＝(0，3)， 则(2a ＋b )·(a －b )＝3×0＋3×3＝9，|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，且θ∈[0，π]， 则cos θ＝932×3＝22，得θ＝π4，故选C.答案：C 8．函数f (x )＝sin x －12，x ∈(0，2π)的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π3 解析：如下图所示，∵sin x ≥12，∴π6≤x ≤5π6.答案：B9.(2013·湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析：因为a ·b ＝0，即a ⊥b ，又|a |＝|b |＝1，所以|a ＋b |＝2，不妨让a ，b 固定，设u ＝a ＋b ，则|c －u |＝1，即c 的终点在以u 对应点为圆心，半径为1的圆上．则当c 与u 方向相同时，|c |max ＝2＋1，当c 与u 方向相反时，|c |min ＝2－1，所以|c |的取值范围是[2－1，2＋1]．故选A.答案：A10．已知在△ABC 中，向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12, 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：如图，设AB →⎪⎪⎪⎪AB →＝AE →，AC →⎪⎪⎪⎪AC →＝AF →，则原式化为：（AE →＋AF →)·BC→＝0，即AD →·BC →＝0，∴AD→⊥BC →. ∵四边形AEDF 是菱形， ∴∠EAD ＝∠DAC .∵AE →·AF →＝⎪⎪⎪⎪AE →⎪⎪⎪⎪AF →cos ∠BAC ＝12， ∴cos ∠BAC ＝12.∴∠BAC ＝60°，∴∠BAD ＝∠DAC ＝30°. △ABH ≌△ACH ⇒AB ＝AC ，∵∠BAC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．(2014·天津卷)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．解析：根据条件把向量AF →，AE →用向量AB →，AD →表示出来，然后根据向量数量积公式求解．AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋1λDC →＝AB→·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23， 又∵AE→·AF →＝1，∴103λ－23＝1.∴λ＝2. 答案：212．(2013·上海卷)若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝23，则sin(x ＋y )＝________．解析：cos(x －y )＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝2sin(x ＋y )·cos(x －y )＝23，故sin(x ＋y )＝23.答案：2313．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝_____________________________________.解析：先利用三角恒等变换求得函数的最大值，再利用方程思想求解．y ＝sin x －2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ，设15＝cos α，25＝sin α，则y ＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)．∵x ∈R ，∴x －α∈R. ∴y max ＝ 5.又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值， ∴f (θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴⎩⎨⎧sin θ＝15，cos θ＝－25，即cos θ＝－255.答案：－25514．已知函数f (x )＝sin ωx ，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，有下列命题：①当ω＝2时，f (x )g (x )的最小正周期是π2；②当ω＝1时，f (x )＋g (x )的最大值为98；③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2个单位长度可以得到函数g (x )的图象．其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上)．解析：①ω＝2时，f (x )g (x )＝sin 2x ·cos 2x ＝12sin 4x ，周期T ＝2π4＝π2.故①正确． ②ω＝1时，f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos 2x ＝sin x ＋1－2sin 2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋98，故当sin x ＝14时，f (x )＋g (x )取最大值98.故②正确．③当ω＝2时，将函数f (x )的图象向左平移π2得到sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin 2x ，故③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本题满分14分)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC→·BE →＝1，求AB 的长． 解析：∵E 为CD 的中点，∴BE→＝BC →＋CE →＝AD →－12DC →＝AD →－12AB→.∵AC →·BE →＝1，AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →·(AD→＋AB →)＝|AD →|2－12|AB →|2＋12AB →·AD →＝1，即1－12|AB →|2＋12|AB →|cos 60°＝1，∴－12|AB →|2＋14|AB →|＝0，解得|AB →|＝12.16.(本小题满分12分)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13.(1)求tan α的值；(2)求2sin 2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解析：(1)∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13，∴tan α＝－12.(2)原式＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝85. 17．(本小题满分14分)(2014·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ. 解析：(1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32， ∴3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22（sin θ＋cos θ）＋22（cos θ－sin θ）＝32. ∴6cos θ＝32.∴cos θ＝64. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 18．(本题满分14分)(2013·安徽卷)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间[0，2]上的单调性．解析：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22cos ωx (sin ωx ＋cos ωx )＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2⇒2π2ω＝π⇒ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2，ω＝1.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，令2x ＋π4＝π2解得x ＝π8， ∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减． 19.(本题满分14分)(2013·上海卷)(6分＋8分)已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω>0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解析：(1)因为ω>0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2⇒0<ω≤34. (2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.20．(本小题满分14分)已知向量m ＝(sin x ，－cos x )，n ＝(cos θ，－sin θ)，其中0<θ<π.函数f (x )＝m·n 在x ＝π处取得最小值．(1)求θ的值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若sin B ＝2sin A ，f (C )＝12，求A . 解析：(1)∵f (x )＝m ·n ＝sin x cos θ＋cos x sin θ＝sin(x ＋θ)，且函数f (x )在x ＝π处取得最小值，∴sin(π＋θ)＝－1, 即sin θ＝1.又0<θ<π，∴θ＝π2. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x . (2)∵f (C )＝12，∴cos C ＝12. ∵0<C <π，∴C ＝π3. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝2π3－A . 代入sin B ＝2sin A 中，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝2sin A . ∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝2sin A . ∴tan A ＝33.π∵0<A<π，∴A＝6.。
2016-2017学年高中数学苏教版必修4章末综合测评1 含解析
章末综合测评（一）三角函数（时间120分钟，满分160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分．请把答案填写在题中横线上)1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是第________象限角．【解析】∵sin α＜0，tan α＞0，∴α是第三象限角．【答案】三2．已知圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________．【解析】15°化为弧度为错误!,设扇形的弧长为l，则l＝6×错误!＝错误!，其面积S＝错误!lR＝错误!×错误!×6＝错误!.【答案】错误!3．cos 675°＝________.【解析】cos 675°＝cos（675°－720°）＝cos（－45°)＝cos 45°＝错误!.【答案】错误!4．把－错误!表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是________．【解析】∵－错误!＝－2π－错误!，∴－错误!与－错误!是终边相同的角，且此时错误!＝错误!是最小的．【答案】－错误!5．角α，β的终边关于x轴对称,若α＝30°，则β＝________。
【解析】画出图形，可知β的终边与－α的终边相同,故β＝－30°＋k·360°，k∈Z。
【答案】－30°＋k·360°，k∈Z6．（2016·南通高一检测）函数y＝cos错误!，x∈错误!的值域是________．【解析】由0≤x≤错误!，得错误!≤x＋错误!≤错误!,∴－错误!≤cos错误!≤错误!.【答案】错误!7．设α是第二象限角，则错误!·错误!等于________．【解析】因为α是第二象限角，所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝－1。
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章末综合测评(二) 平面向量
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)
1．已知作用在点A (1,1)的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是________．
【解析】 ∵F ＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)． 【答案】 (9,1)
2.BA →－BC →＋AB →＋AC →
＝________.
【解析】 原式＝CA →＋AC →＋AB →＝0＋AB →＝AB →
. 【答案】 AB →
3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，若c ＝λa ＋μb ，则λ，μ的值分别是________．
【解析】 ∵c ＝λa ＋μb ， ∴(－1,2)＝(λ，λ)＋(μ，－μ)， ∴⎩⎨
⎧
－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝12，μ＝－3
2.
【答案】 12，－3
2
4．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与向量AB →
同向的单位向量的坐标是________．
【解析】 AB →＝(3，－4)，|AB →|＝5，∴e ＝AB →
|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
5，－45.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，－45 5．(2016·镇江高一检测)已知向量a ＝(3x,1)，b ＝(2，－5)，若a ∥b ，则x ＝________.
【解析】 ∵a ∥b ，∴－15x ＝2，x ＝－2
15. 【答案】 －2
15
6．若|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝－1，则|a －b |＝________. 【解析】 ∵|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝－1 ∴|a －b |＝a 2－2a·b ＋b 2＝1＋2＋4＝7. 【答案】
7
7．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a·b ＝5，则向量b ＝________.
【解析】 设b ＝(x ，y )，则⎩
⎨⎧
x 2＋y 2
＝1，
4x －3y ＝5，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4
5，
y ＝－35，
即b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫4
5，－35.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4
5，－35
8．(2016·扬州高一检测)下列5个说法： ①共线的单位向量是相等向量；
②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形； ③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |； ④(a·b )c ＝c (b·c )；
⑤(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .其中正确的是________．
【解析】 共线也有可能反向，故①不正确；若|a |＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确．
【答案】 ③⑤
9．(2016·南京高一检测)已知a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，且2a －b 与b 垂直，则|a |等于________．
【解析】 2a －b ＝(3，n )，∵(2a －b )·b ＝0，∴n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |2＝1＋n 2＝4，∴|a |＝2.
【答案】 2
10．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →
的模为________．
【解析】 ∵a ∥b ，∴2×(－2)－(－1)x ＝0，解得x ＝4， ∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4，
∴MN →＝(y －x ，x －y )＝(－8,8)，∴|MN →
|＝8 2. 【答案】 8 2
11．(2016·泰州高一检测)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →
＝2a ＋b ，则下列结论正确的是________．
(1)|b |＝1；(2)a ⊥b ；(3)a·b ＝1；(4)(4a ＋b )⊥BC →
. 【解析】 如图△ABC 是边长为2的等边三角形．
由已知b ＝AC →－2a ＝AC →－AB →＝BC →，
显然(1)(2)(3)错，(4a ＋b )·BC →＝2AB →·BC →＋|BC →|2＝2×2×2×cos 2
3π＋22＝0，∴
(4a ＋b )⊥BC →
.
【答案】 (4)
12．如图1，非零向量OA →＝a ，OB →＝b ，且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →
＝λa ，则λ＝________.
图1
【解析】 BC →＝OC →－OB →＝λa －b ，∵BC →⊥OA →，∴a ·(λa －b )＝0，则λ＝a ·b
|a |2. 【答案】 a ·b |a |2
13．已知向量a ＝(6,2)，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)且与向量a ＋2b
垂直，则直线l 的方程为________．
【解析】 ∵a ＋2b ＝(－2,3)，
在l 上任取一点P (x ，y )，则有AP →
⊥(a ＋2b )， ∴AP →·(a ＋2b )＝0，
∴(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0， ∴2x －3y －9＝0. 【答案】 2x －3y －9＝0
14．已知OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，O 为坐标原点，在x 轴上求一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为________．
【解析】 设P (x,0)，∴AP →·BP →＝(x －2，－2)·(x －4，－1)＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2
－6x ＋10＝(x －3)2
＋1，当x ＝3时，AP →·BP →有最小值，∴P (3,0)．
【答案】 (3,0)
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →
＝b ， (1)如图①，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →
. (2)如图②，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →
.
图2
【解】 (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－1
2a ＋b . DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b . (2)BD →＝AD →－AB →
＝b －a ，
∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点，。