七年级上培优专题——有理数综合运算(附答案)

七年级上培优专题——有理数综合运算（附答案）

知识点切片（4个） 7+2+1+1

知识点目标

有理数综合运算（7） 1、有理数加减法则；2、有理数加法的运算律；3、有理数减法法则；4、有理数乘法法则；5、有理数除法法则；6、有理数乘方；7、有理数混合运算的运算顺序 裂项技巧（2） 1、分数裂项；2、整数裂项 连锁约分（1） 1、连锁约分，简便运算 整体思想（1）

1、整体思想，化繁为简

题型切片（6个）

对应题目

题型目标 乘法分配律的应用 例1、练习1 连续自然数的加减交替 例2、练习1 有理数综合运算 例3、练习2

裂项 例4、例5、练习3、练习4 连锁约分

例6、练习5 整体思想

例7、练习6

有理数综合运算

1．有理数加法法则：

① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．

② 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．

③ 一个数同0相加，仍得这个数．

2．有理数加法的运算律：

①两个加数相加，交换加数的位置，和不变．a b b a +=+（加法交换律） ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． ()()a b c a b c ++=++（加法结合律）.

3．有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数，()a b a b -=+-.

4. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数同0相乘，都得0.

5. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.1

a b a b

÷=⋅，(0b ≠)

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.

知识、题型切片

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6. 有理数乘方

概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在n a中，a叫做底数，n叫做指数.

含义：n a中，a为底数，n为指数，它表示a的个数，n a表示有n个a连续相乘.

特别注意:负数及分数的乘方，应把底数加上括号.

7. 有理数混合运算的运算顺序：

①先乘方，再乘除，最后加减；

②同级运算，从左到右进行；

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.

同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，先算三级运算，然后二级，最后一级；

如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.

④在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.

【例1】计算：⑴

735

(1)(36)

1246

⎡⎤

-+---⨯-

⎢⎥

⎣⎦

⑵

111 71110()

71110⨯⨯⨯++

⑶

111 (0.25)(5)( 3.5)()2

244

-⨯-+⨯-+-⨯

⑷

3

71(8)

32

-⨯-

⑸

11257111

3623461236⎛⎫⎛⎫-÷+---+

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭乘法分配律的应用

【例2】

⑴填空：12344950-+-+

+-= ；

123499100101-+-+

+-+= ；

⑵计算：()

1

12341n n +-+-++-⨯.

【例3】 计算：⑴()216123113284 2.5242523412⎛⎫

-÷-⨯+++--⨯ ⎪⎝⎭

⑵()22

2131111

12190.75242222⎡⎤⎛⎫⎛⎫÷÷-+÷--⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥

⎣⎦

连续自然数加减交替问题

有理数综合运算

⑶()()3

220132231313 1.20.33⎛⎫

--⨯-÷--⨯÷ ⎪⎝⎭

⑷()()2

31814511722851755⎡⎤

⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯----⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

⑸()2323510.35

34124111159650.52

-÷⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦÷

1.分数裂项技巧：

⑴()11111n n n n =-

++； ⑵()1111n n k k n n k ⎛⎫

=- ⎪++⎝⎭

；

⑶

()()()()()1111

122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦

；

⑷()()()()()1111

222n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦

.

2.整数裂项技巧：

⑴()()()()()()()()11

1121121133n n n n n n n n n n n n +=++--=++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ⑵

()()()()()()()()()()()()11

12123112311244n n n n n n n n n n n n n n n n ++=+++--=+++--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.

3.连锁约分

多个分数相乘通过约掉分子分母中的相同因数简便运算.

【例4】 计算：⑴111111

61111161621212626313136

+++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯； ⑵23

10011(12)(12)(123)

(1299)(12100)

---

-⨯++++++

+++

+.

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分数裂项运算