6.2垂直关系的性质
北师大版九年级数学上册说课稿：6.2 反比例函数的图象与性质
北师大版九年级数学上册说课稿：6.2 反比例函数的图象与性质一. 教材分析北师大版九年级数学上册第六章《反比例函数的图象与性质》是本章的重要内容。
本节内容是在学生已经掌握了比例函数的基础上进行学习的，通过本节内容的学习，使学生能够掌握反比例函数的图象与性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。
教材从学生已有的知识出发，通过观察实例，引导学生发现反比例函数的图象与性质，培养学生从实际问题中抽象出反比例函数模型解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了比例函数的知识，对于图象与性质的学习也已经有一定的基础。
但是反比例函数与比例函数在图象与性质上有很大的不同，学生可能难以理解反比例函数的图象是一条不间断的曲线，以及反比例函数的性质。
因此，在教学过程中，需要教师通过实例，引导学生观察、分析、归纳出反比例函数的图象与性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解反比例函数的图象是一条不间断的曲线，能够掌握反比例函数的性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察实例，学生能够从实际问题中抽象出反比例函数模型，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生在学习过程中，能够体验到数学与生活的紧密联系，增强学生对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握反比例函数的图象与性质。
2.教学难点：学生能够理解反比例函数的图象是一条不间断的曲线，以及反比例函数的性质。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用讲授法、引导发现法、实例分析法等教学方法，结合多媒体课件、反比例函数模型等教学手段，引导学生观察、分析、归纳出反比例函数的图象与性质。
六. 说教学过程1.导入：通过出示实例，引导学生观察反比例函数的图象，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍反比例函数的定义，引导学生发现反比例函数的图象与性质。
3.实例分析：通过分析实例，引导学生归纳出反比例函数的性质。
6.2《认识直角》(教案)2023-2024学年数学二年级下册
6.2《认识直角》（教案）2023-2024学年数学二年级下册教学内容：本节课主要学习直角的概念，使学生能够识别和描述直角。
教学内容包括直角的定义、直角的特点、直角在实际生活中的应用以及如何判断一个角是否为直角。
教学目标：1. 让学生理解直角的定义，知道直角是一个角度为90度的角。
2. 培养学生能够识别和描述直角的能力，能够准确地判断一个角是否为直角。
3. 通过实际生活中的例子，让学生了解直角在实际生活中的应用，增强学生的实际应用能力。
教学难点：1. 直角的定义和特点的理解，特别是角度为90度的概念。
2. 判断一个角是否为直角的能力，需要学生能够准确地观察和测量角度。
教具学具准备：1. 教具：直角模型、直角三角形、直尺、量角器。
2. 学具：学生用直角模型、直角三角形、直尺、量角器。
教学过程：1. 引入：通过展示直角模型和直角三角形，引起学生对直角的兴趣，激发学生的好奇心。
2. 讲解直角的定义和特点：详细讲解直角的定义，强调直角是一个角度为90度的角，并解释直角的特点，如直角的两个边互相垂直。
3. 实际操作：让学生使用直尺和量角器，自己测量和判断一个角是否为直角，巩固学生对直角的理解。
4. 实际生活中的例子：通过展示一些实际生活中的例子，如墙角、书本的角落等，让学生了解直角在实际生活中的应用。
5. 小组讨论：将学生分成小组，让他们讨论直角的特点和应用，鼓励学生互相交流和分享。
板书设计：1. 直角的定义和特点2. 直角在实际生活中的应用3. 如何判断一个角是否为直角作业设计：1. 完成练习册上的直角题目，巩固直角的概念和应用。
2. 观察家里的物品，找出其中的直角，并记录下来。
课后反思：本节课通过引入、讲解、实际操作和小组讨论等环节，让学生对直角有了深入的理解。
学生能够准确地判断一个角是否为直角，并了解了直角在实际生活中的应用。
但在教学过程中，发现有些学生对直角的定义和特点理解不够深入，需要进一步加强讲解和练习。
数学北师大版九年级上册 《6.2 反比例函数的图象与性质》第2课时教案
数学北师大版九年级上册《6.2 反比例函数的图象与性质》第2课时教案第六章反比例函数6.2 反比例函数的图象与性质第2课时一、教学目标1．复习巩固反比例函数图象与性质．2．理解和掌握反比例函数图象的增减性．二、教学重点及难点重点：反比例函数图象的增减性．难点：运用反比例函数图象的增减性．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源动画，知识卡片.五、教学过程【复习导入】1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．2．反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x；反比例函数的图象也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．设计意图：通过对反比例函数图象与性质的复习，为接下来学习反比例函数图象的增减性做好铺垫．【探究新知】议一议1．观察反比例函数，，的图象（如下图所示），你能发现它们的共同特征吗？（1）函数图象分别位于哪几个象限内？（2）在每一个象限内。
随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：（1）函数图象均位于第一、三象限内．（2）在每一象限内，随着x值的增大，y的值减小；理由：在每一象限的图象上任意取两点A（x1，y1），B（x2，y2），当k＞0，x2＞x1时，y2-y1=＜0，即y2＜y1．因此，在每一象限内，随着x值的增大，y的值减小．2．观察当k=-2，-4，-6时，反比例函数的图象（如下图所示），它们有哪些共同特征？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：它们的图象均位于第二、四象限；在每一象限内，随着x值的增大，y的值增大；它们的图象都不与x轴、y轴相交．教师总结：反比例函数的图象，当k＞0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大．想一想在一个反比例函数图象上任取两点P，Q．过点P分别作x 轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x 轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2．S1与S2有什么关系？为什么？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，师生共同得出答案．答：S1=S2；由：在反比例函数(k≠0)的图象上任意取一点，过这个点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积总等于常数．设计意图：引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的语言表达能力与数学语言的组织能力．【典例精析】例1 已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？（2）点B（3，4），，D（2，5）是否在这个函数的图象上？师生活动：师生共同分析，教师引导并提出下列问题：（1）点A（2，6）在图象上的含义是什么？（2）图象的位置由哪个量确定？我们如何求出这个量？（3）反比例函数y随x的变化情况与哪个量有关？y随x的变化情况有没有限制条件？（4）某点不在图象上的含义是什么？学生解答，在小组里讨论，互相检查，小组代表展示解答过程．解：（1）因为点A（2，6）在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．（2）设这个反比例函数的解析式为．因为点A（2，6）在这个函数的图象上，所以点A的坐标满足，即．解得k=12．所以这个反比例函数的解析式为．把点B，C，D的坐标代入，可知点B，点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B，点C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上．设计意图：从学生已有的数学知识出发，理解点在图象上的含义，运用待定系数法求函数解析式．通过解析式分析图象及性质，让学生感悟由“数”到“形”的过程，初步体会数形结合的数学思想．例2 如图，点P是反比例函数图象上一点，作PM⊥y轴于点M，若图中阴影部分的面积为3，则该反比例函数的解析式为．(xyPOM)师生活动：教师出示问题，学生思考，教师请学生代表回答，讲解出现的问题．解析：设点P的坐标为（x，y）．⊥S⊥POM=3，S⊥POM=PM·OM，⊥PM·OM=6，即．设该反比例函数的解析式为，⊥xy=k．⊥k＜0，⊥k=-6．⊥．设计意图：让学生理解k的几何意义．【课堂练习】1．对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（）．A．点（-2，-1）在它的图象上B．它的图象在第一、第三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小2．如图，函数y1=x-1和函数y2=的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若y1＞y2，则x的取值范围是（）．A．x＜-1或0＜x＜2 B．x＜-1或x＞2C．-1＜x＜0或0＜x＜2 D．-1＜x＜0或x＞2 3．下列函数中，其图象位于第一、三象限的有______________；在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有_____________．（1）；（2）；（3）；（4）．4．已知反比例函数，当m_____________时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m_____________时，其图象在每个象限内y随x 的增大而增大．5．在函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是___________．师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题．6．反比例函数y=(k＞0)在第一象限的图象如下图所示，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P．如果⊥MOP的面积为1，那么k的值是_______．7．设函数，当m取何值时，它是反比例函数？它的图象位于哪个象限？参考答案1．C．2．D．3．（1）（2）（3）；（4）．4．，．5．y2＜y1＜y3．6．2．7．解：由题意，得解得m=3．所以当m=3时，函数是反比例函数．当m=3时，代入可得．因为k=1＞0，所以它的图象位于第一、第三象限．设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．六、课堂小结1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．2．反比例函数(k为常数，k≠0)中k的几何意义如图．（1）过反比例函数图象上的任意一点P作x轴、y轴的垂线，两条垂线与x轴、y轴围成的长方形的面积等于．（2）若点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作x轴（或y轴）的垂线，则所作垂线、x轴（或y轴）与线段OA围成的三角形的面积等于．注意：因为反比例函数(k为常数，k≠0)中的k有正负之分，所以在利用解析式表示长方形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计6.2 反比例函数的图形与性质（2）1．反比例函数图象的增减性2．反比例函数中k的几何意义。
6.2认识直角(教案)二年级下册数学北师大版
6.2 认识直角（教案）教学内容：本节课的教学内容是北师大版二年级下册数学“认识直角”。
本节课是在学生已经初步认识了长方形、正方形、三角形和平行四边形的基础上，进一步学习直角的概念。
通过本节课的学习，学生将能够正确识别直角，并理解直角的特点。
教学目标：1. 让学生掌握直角的定义和特点，能够正确识别直角。
2. 培养学生观察、思考和表达能力，提高学生的空间想象力和创造力。
3. 培养学生合作学习的精神，提高学生解决问题的能力。
教学难点：1. 直角的定义和特点的理解。
2. 直角在实际生活中的应用。
教具学具准备：1. 教具：直角模型、三角板、量角器、多媒体课件。
2. 学具：直角模型、三角板、量角器、练习本。
教学过程：1. 导入新课：通过复习长方形、正方形、三角形和平行四边形的特点，引导学生发现直角的存在，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解新课：通过讲解直角的定义和特点，让学生理解直角的概念。
结合实际生活中的例子，让学生感受直角的应用。
3. 活动环节：组织学生进行小组合作，利用教具和学具进行观察、讨论和实践，进一步巩固对直角的认识。
4. 巩固练习：设计相关的练习题，让学生独立完成，检验学生对直角的理解和应用能力。
5. 总结提升：对本节课的学习内容进行总结，强调直角的重要性，并提出课后作业。
板书设计：1. 直角的定义和特点。
2. 直角在实际生活中的应用。
作业设计：1. 完成练习册上的相关习题。
2. 观察家里或学校里的物品，找出直角，并记录下来。
课后反思：本节课通过讲解、活动和练习，让学生对直角有了深入的认识。
在教学过程中，要注意引导学生观察、思考和表达，培养学生的空间想象力和创造力。
同时，要加强与实际生活的联系，让学生感受到数学的实用性。
在课后作业中，要注重培养学生的观察力和动手能力，提高学生的综合素质。
重点关注的细节：直角的定义和特点的理解直角是数学几何中的一个基本概念，它是角度的一种特殊形式，表示为90度。
直角的理解对于学生来说非常重要，因为它不仅是几何知识的基础，还广泛应用于日常生活和建筑设计中。
重庆市2019届中考一轮《6.2与圆有关的位置关系》讲解含答案
第二节与圆有关的位置关系课标呈现指引方向1．知道三角形的内心和外心．2．了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线．3．探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．考点梳理夯实基础1．与圆有关的位置关系(1)点与圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：①点在圆外 d ＞ r；②点在圆上 d = r；③点在圆内 d ＜ r．(2)直线与圆的位置关系设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：①直线与圆相交 d<r：②直线与圆相切 d=r；③直线与圆相离 d>r．2．圆的切线(1)切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(2)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必过该圆的圆心．(3)切线判定方法：①定义法：②设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，若d=r ，则直线与圆相切：③经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(4)切线长定理：从圆外一点向圆引的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．(5)三角形的内切圆：三角形内切圆的圆心是三角形三个角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三角形的三边的距离相等．2·1·c·n·j·y(6)三角形的外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．锐角三角形外心在三角形的内部，直角三角形外心在三角形的斜边中点处，钝角三角形外心在三角形的外部．考点精析专项突破考点一与圆相关的位置关系【例1】(1)（2019湘西州）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA= 3cm．则点A与圆O的位置关系为( )A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定【答案】 B(2)（2019西宁）⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R、d是方程x 2 -4x+m=0的两根，当直线l 与⊙O相切时，m的值为．解题点拨：此类题主要考查点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，需要将圆心到点或线的距离与圆的半径进行大小比较．【答案】 4考点二圆的切线【例2】(1)（2019重庆巴蜀）如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点曰的⊙O的切线于点C．如果∠ABO=25°，则∠C的度数是 ( )A．65° B．50° C．40° D．20°【答案】C(2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 ( )．A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交【答案】B解题点拨：见到切线的已知条件，要想到连接经过切点的半径．构造直角三角形来帮助我们解题，这也是切线问题中最常见的辅助线添法．证明直线与圆相切时，首先判断直线与国有没有明确的公共点，若有，用判定方法③经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；若没有，用判定方法②，定义法一般不用．考点三三角形的内切圆与外接圆【例3】(1)（2019咸宁）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠CBD= 32°，则∠BEC的度数为．【答案】122°(2)（2019重庆育才）如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为．【答案】3 3解题点拨：熟练掌握三角形内切圆和外接圆的定义以及内心和外心的有关性质，是解决此类问题的关键．1．（2019海南）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A．PO交⊙O于点C．连接BC．若∠P= 40°，则∠ABC的度数为 ( B )A．20° B．25° C．40° D．50°【答案】B2．（2019宜昌）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为．A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F【答案】A3．（2019齐齐哈尔）如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D．则∠C= 度．【答案】454．（2019包头）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A= 30°,PC =3．则BP的长为．【答案】3A组基础训练一、选择题1．（2019重庆一中）如图，AB是圆O的直径，点D在AB的延长线上，射线DC切圆D于点C，若∠A= 25°，则∠D等于 ( )A．60° B．50° C．40° D．45°【答案】C2．（2019重庆一中）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=50°，则∠ACB的大小是 ( )A.60°B.65°C.70°D.75°【答案】B3．（2019西大附中）如图，P是⊙O外一点，PA 、PB是⊙O 的切线，∠APB= 50°，点C在⊙O上，则∠ACB=( )A.50°B.65°C.75°D.130°【答案】B4．（2019重庆南开）如图，已知PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点．AC 是⊙O 的直径．∠P= 40°，则∠BAC 的大小是 ( )A ．70°B ．40°C ．50°D ．20°【答案】D5．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB 、BC 分别相切于点D ，E ，过劣弧DE （不包括端点D ，E ）上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB ，BC 分别交于点M ，N ，若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为 ( )A.rB.rC.2rD.52r【答案】C二、填空题6．（2019盐城）如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，以顶点D 为圆心作半径为r 的圆，若要求另外三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r 的取值范围是 ．【答案】3<r<57．（2019镇江）如图，AB 是⊙O 的直径，OA =1,AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ．若BD=2-1，则∠ACD= ．【答案】112.5°8．（2019哈尔滨）如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ．AD ⊥l ．垂足为D,AD 交⊙O 于点E ，连接OC、BE．若AE=6，OA =5，则线段DC的长为．【答案】49．（2019泰安）如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C．连接CD交直线OA 于点E．若∠B= 30°，则线段AE的长为．【答案】3B组提高练习10．（2019荆州）如图，过⊙O外一点P引⊙O 的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接 AD、CD，若∠APB= 80°，则∠ADC的度数是( ) A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】C（提示：根据切线的性质，连接OA、OB．易得∠AOB =100°．由切线长定理可得PA =PB，△POB≌△POA.则∠AOP=50°，∠ADC=25°）11．（2019常州）如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2,…，半圆O n与直线y=33x相切，设半圆O1，半圆O2,…，半圆O n的半径分别是r1，r2，…，r n，则当r1 =1时，r2019= ．【答案】32019（提示：根据一次函数解析式易得直线与x轴的夹角为30°．分别连接圆心与相应切点，构造直角三角形．根据30°角所对的直角边等于斜边一半，可依次求出半径依次为1，3，9--找规律即可得到答案．）12．（2019攀枝花）如图，△ABC中，∠C = 90°,AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O 和AB、BC均相切，则OO的半径为．【答案】12 72019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．预备知识：线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设点M 为线段AB 的中点，则点M 的坐标为（122x x +，122y y +）应用：设线段CD 的中点为点N ，其坐标为（3，2），若端点C 的坐标为（7，3），则端点D 的坐标为（ ） A ．（﹣1，1） B ．（﹣2，4）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，4） 3．一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是红球的概率是（ ）A. B. C. D.4．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．165．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,1)A ，(4,3)B ，(4,1)C ，如果将Rt ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转90︒得到''Rt A B C ∆，那么点A 的对应点'A 的坐标是（ ）A ．(3,3)B ．(3,4)C ．(4,3)D ．(4,4)6．若一个多边形的外角和是其内角和的12，则这个多边形的边数为（ ） A.2 B.4 C.6 D.87．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则关于代数式a 2﹣2ab+b 2﹣c 2的值，下列判断正确的是（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．以上均有可能8．小带和小路两个人开车从A 城出发匀速行驶至B 城．在整个行驶过程中，小带和小路两人车离开A 城的距离y(km)与行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示．有下列结论；①A ，B 两城相距300 km ；②小路的车比小带的车晚出发1 h，却早到1 h；③小路的车出发后2.5 h追上小带的车；④当小带和小路的车相距50 km时，t＝54或t＝154.其中正确的结论有( )A．①②③④B．①②④C．①②D．②③④9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC’，连接A'C，则A'C的长为（）A．6 B．4+23C．4+33D．2+3310．在平面直角坐标系中，将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，则下列平移作法正确的是（）A．将y1向上平移2个单位长度B．将y1向上平移4个单位长度C．将y1向左平移3个单位长度D．将y2向右平移6个单位长度11．已知一个正六边形的边心距为3，则它的外接圆的面积为（）A．πB．3πC．4πD．12π12．如图，AB＝12，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为边在A的同侧作等边△ACP和等边△CBQ，连接PQ，则PQ的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，1），直线l与x轴，y轴分别交于点B（﹣3，0），C （0，3），当x轴上的动点P到直线l的距离PE与到点A的距离PA之和最小时，则点E的坐标是_____．14．一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为___________.15．如图，正方形ABCD的边长是2，点E是CD边的中点，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把∠C沿直线EF折叠，使点C落在点C′处．当△ADC′为等腰三角形时，FC的长为_____.16．如图,△ ABC 中,∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△ AED，连 CE,则线段 CE 的长等于_____17．如图，在⊙O中，C为优弧AB上一点，若∠ACB＝40°，则∠AOB＝___度．18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为__________．三、解答题19．游泳池应定期换水，打开排水孔排水时，池内的存水量Q(立方米)与排水时间t小时的函数关系如图所示．(1)根据图象直接写出排水前游泳池的存水量，并计算出排水的速度．(2)求Q关于t的函数表达式，并计算排水多久后，游泳池内还剩水156立方米．20．计算：（1）（12）﹣1+3+（7）0﹣2cos60°﹣|3﹣π|； （2）解不等式组：273(1)15(4)2x x x x --⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①② 21．在平面直角坐标系xOy 中. 已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线x=1.（1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点()0,4A -，()2,3B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m x n ≤≤时，y 的取值范围是6m y ≤≤，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值.22．在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生总人数是________ ；（2）补全折线统计图．（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为________，m 的值为________（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．23．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （1，0）、B （4，0）、C （0，3）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，点Q 是线段OB 上一动点，当△BPQ 与△BAC 相似时，求点Q 的坐标．24．如图，BC 是半⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，过点的切线交CB 的延长线于点P ，过点B 的切线交CA 的延长线于点E ，AP 与BE 相交于点F ．（1）求证：BF ＝EF ；（2）若AF ＝32，半⊙O 的半径为2，求PA 的长度．25．如图，V ABC 中，AB AC = ，以AB 为直径的O 与BC 相交于点D ，与CA 的延长线相交于点E ，O 的切线DF 交EC 于点F .（Ⅰ）求DFC ∠的度数；（Ⅱ）若3AC AE =，12BC = ，求O 的直径AB .【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C D D C C C C C C D 二、填空题13．15,22⎛⎫-⎪⎝⎭14．8π15．12或1.16．7 517．80 18．三、解答题19．(1)排水前游泳池的存水量为936立方米，排水孔排水速度为297立方米/时；(2)排水26099小时后，游泳池内还剩水156立方米．【解析】【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以解答本题；（2）根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式．【详解】（1）由图可得，排水前游泳池的存水量为936立方米，排水孔排水速度为：(936﹣342)÷2＝297(立方米/时)；（2）设Q关于t的函数表达式为Q＝kt+936，根据题意得2k+936＝342，解得k＝﹣297，∴Q关于t的函数表达式为Q＝﹣297x+936；当游泳池内还剩水156立方米时，﹣297x+936＝156，解得x＝260 99，即排水26099小时后，游泳池内还剩水156立方米．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．20．(1)53π+-；（2）﹣4＜x≤2．【解析】【分析】（1）原式利用二次根式性质，指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的性质以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【详解】（1）原式＝1231232π++-⨯+- ＝53π+-； （2）273(1)15(4)2x x x x -<-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①② 解不等式①，得x ＞﹣4，解不等式②，得x≤2，∴不等式组的解集为﹣4＜x≤2．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．21．（1）2b a =-，抛物线的顶点为()1,2-；（2）10a -<<或0a >；（3）25m n =-⎧⎨=⎩或27,5.m n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ 【解析】【分析】（1）由12b a-=，则2b a =-.得到抛物线方程.则当1x =时，抛物线的顶点为()1,2-. （2）分条件讨论0a > ，0a <，将点B 代入方程得3442a a a -=-+-，解得1a =-.由于抛物线与线段AB 没有公共点，则10a -<<或0a >.（3）根据题意抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m x n ≤≤时，y 的取值范围是6m y ≤≤，作出图象，即可得出答.【详解】解：（1）∵12b a -=， ∴2b a =-.∴抛物线为222y ax ax a =-+-.当1x =时，222y a a a =-+-=-，∴抛物线的顶点为()1,2-.（2）若0a >，抛物线与线段AB 没有公共点；若0a <，当抛物线经过点()2,3B -时，它与线段AB 恰有一个公共点，此时3442a a a -=-+-，解得1a =-.∵抛物线与线段AB 没有公共点，∴结合函数图像可知，10a -<<或0a >.（3）根据题意作抛物线与x 轴交点图，通过图象即可得出25m n =-⎧⎨=⎩或27,5.m n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩【点睛】本题考查二元一次函数和一元一次函数的综合，解题的关键是熟练掌握二元一次函数和一元一次函数的性质和求解.22．（1）120；（2）补图见解析；（3）30°，25；（4）500人【解析】【分析】（1）利用了解很少为60人，了解很少所占百分比为50%，用60÷50%计算即得.（2）不了解人数=总人数-了解很少人数-基本了解人数-了解人数，计算出结果后进行补图即可.（3）直接用360°乘以“了解”所占百分比即得.（4）直接用3600乘以 “不了解”的人数所占百分比即得.【详解】解：（1）60÷50%=120（人）.故答案为：120.（2）不了解人数：120-60-30-10=20（人），据此补充折线统计图.（3）“了解”所对应扇形的圆心角的度数 360×10120=30°， m%=30120 =25%， ∴m=25.故答案为：30° ；25。
6.2垂直关系的性质2
A．SG⊥平面 EFG C．GF⊥平面 SEF
B．SD⊥平面 EFG D．GD⊥平面 SEF
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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二） Nhomakorabea答案 A
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3．下列五个正方体图形中，如图，l 是正方体的一条对角线， 点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 l⊥面 MNP 的图形 的序号是__________(写出所有符合要求的图形序号)．
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探究 2 (1)计算也是论证的一种方法； (2)勾股定理、余弦定理是常用的工具．
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◎思考题 2 如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A1A ＝AD＝a，AB＝2a，E 为棱 C1D1 的中点．
求证：DE⊥平面 BCE.
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要点 1 直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，我们就说直 线 l 与平面 α 互相垂直，记作 l⊥α(如图甲)．
甲
乙
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要点 2 直线与平面垂直的判定定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直． (2)图形表示：图乙． (3)符号表示：m⊂α，n⊂α，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n⇒l⊥ α.
由(1)知 AC⊥HD′，又 AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以 AC⊥
平面 BHD′，于是 AC⊥OD′.
又由 OD′⊥OH，AC∩OH＝O，
所以 OD′⊥平面 ABC.
又由AECF ＝DDOH得 FE＝92.
二年级下册数学教案及教学反思-6.2《认识直角》北师大版
二年级下册数学教案及教学反思-6.2《认识直角》北师大版一、教学目标1. 让学生理解直角的概念，能够识别直角，并能在实际情境中找到直角。
2. 培养学生的观察能力和动手操作能力，让学生学会使用直角器。
3. 培养学生合作交流的能力，让学生在小组讨论中学会分享和倾听。
4. 培养学生的创新意识，让学生能够运用直角知识解决实际问题。
二、教学内容1. 直角的定义：一个角度为90度的角叫做直角。
2. 直角的特点：直角的两个边相互垂直。
3. 直角的应用：在日常生活中，直角随处可见，如墙角、桌面等。
三、教学重点与难点1. 教学重点：让学生掌握直角的定义和特点，能够识别直角。
2. 教学难点：让学生学会使用直角器，能够在实际情境中找到直角。
四、教具与学具准备1. 教具：直角器、三角板、多媒体课件。
2. 学具：直角器、三角板、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，让学生初步感知直角。
2. 新课：讲解直角的定义和特点，让学生理解直角的概念。
3. 操练：让学生使用直角器，识别直角。
4. 应用：让学生在实际情境中找到直角，并讨论直角的应用。
5. 小结：总结本节课所学内容，让学生复述直角的定义和特点。
6. 作业布置：让学生完成练习题，巩固直角知识。
六、板书设计1. 直角的定义：一个角度为90度的角叫做直角。
2. 直角的特点：直角的两个边相互垂直。
3. 直角的应用：在日常生活中，直角随处可见，如墙角、桌面等。
七、作业设计1. 完成练习题，巩固直角知识。
2. 观察生活中的直角，记录下来，并与同学分享。
八、课后反思1. 教学目标是否达成：通过课堂讲解、操练和应用，学生对直角的定义和特点有了较好的理解，能够识别直角。
2. 教学方法是否恰当：采用直观教学、实践操作和小组讨论相结合的方法，激发了学生的学习兴趣，提高了学生的动手能力和合作能力。
3. 教学效果是否满意：学生对直角知识掌握较好，能够运用直角知识解决实际问题。
4. 教学改进措施：在今后的教学中，可以增加一些趣味性的实践活动，让学生在游戏中学习直角知识，提高学生的学习积极性。
九年级数学上 反比例函数 6.2 反比例函数的图象与性质 第2课时 反比例函数的性质备课素材
第六章 反比例函数2 反比例函数的图象与性质 第2课时 反比例函数的性质素材一 新课导入设计 情景导入置疑导入类比导入悬念激趣同桌二人分工，一位同学在坐标纸上分别画出y ＝2x ，y ＝4x ，y ＝6x的图象，另一位同学在坐标纸上分别画出y ＝－2x ，y ＝－4x ，y ＝－6x的图象．[说明与建议] 说明：一是让学生进一步熟悉作反比例函数图象的步骤，规范学生的作图，在作图的过程中反馈校正；二是为本节课动手操作，继续探究反比例函数图象的性质做准备．建议：通过展示，学生间相互找问题，能够将反比例函数图象画得标准规范．这样做能够暴露出画图中存在的问题，比直接展示课件图象效果要好得多，同时也节省了上课画图所用的时间．回答下列问题：问题1 下列函数中，哪些是反比例函数？ (1)y ＝1x ＋1；(2)y ＝－3x ；(3)y ＝1x 2；(4)y ＝2x. 问题 2 反比例函数y ＝2x 的图象是什么形状的？位于第几象限？有什么特点？y ＝－3x 呢？问题3 你知道反比例函数的图象还有哪些特点吗？反比例函数还有其他的性质吗？ [说明与建议] 说明：反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力．建议：问题1由学生口答，并说出理由，借以复习反比例函数的定义；问题2让学生凭空间想象能力回顾反比例函数y ＝2x ，y ＝－3x 的图象，并说出每个函数的图象特点，在具体问题中加深对反比例函数图象的再认知．教师及时给予指导纠错，再通过问题3引入本节课的内容．素材二 考情考向分析[命题角度1] 比较反比例函数值的大小比较大小的方法有两种，一是直接将点的横坐标代入关系式，计算出y 的值，然后比较大小；二是根据反比例函数的性质比较．注意利用性质比较简单．例 [安顺中考] 如果点A(－2，y 1)，B(－1，y 2)，C(2，y 3)都在反比例函数y ＝kx (k>0)的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是(B )A ．y 1<y 3<y 2B ．y 2<y 1<y 3C ．y 1<y 2<y 3D ．y 3<y 2<y 1[命题角度2] 一次函数与反比例函数的数形结合应用所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化．图6－2－16例 [聊城中考] 如图6－2－16，一次函数y 1＝k 1x ＋b 的图象和反比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A(1，2)，B(－2，－1)两点，若y 1<y 2，则x 的取值范围是(D )A ．x<1B ．x<－2C ．－2<x<0或x>1D ．x<－2或0<x<1[命题角度3] 反比例函数与图形面积的关系由双曲线y ＝kx 上的任意一点向两坐标轴引垂线，这一点与垂足及原点所确定的三角形的面积均为定值12|k|.图6－2－17例 [娄底中考] 如图6－2－17，M 为反比例函数y ＝kx 的图象上的一点，MA 垂直于y轴，垂足为A ，△MAO 的面积为2，则k 的值为__4__．[命题角度4] 一次函数与反比例函数的综合应用 反比例函数是中考命题的主要考点，近几年中考试卷中出现了不少将反比例函数与其他函数、几何图形、方程(组)等综合的解答题．其中，将反比例函数与其他函数综合命题是中考命题的新动向．图6－2－18例 [遂宁中考] 已知：如图6－2－18，反比例函数y ＝kx 的图象与一次函数y ＝x ＋b的图象交于点A(1，4)、点B(－4，n)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△OAB 的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围．[答案：(1)一次函数的表达式为y ＝x ＋3 反比例函数的表达式为y ＝4x(2)152 (3)－4<x<0或x>1]素材三 教材习题答案1．(1)已知点(－6，y 1)，(－4，y 2)在反比例函数y ＝－6x 的图像上，试比较y 1与y 2的大小．你是怎么做的？(2)已知点(4，y 3)，(6，y 4)在反比例函数y ＝－6x 的图像上，试比较y 3和y 4的大小．(3)已知点(－4，y 5)，(6，y 6)在反比例函数y ＝－6x 的图像上，试比较y 5和y 6的大小．解：(1)∵－6<0，∴反比例函数y ＝－6x 的图像在第二象限内，y 随x 的增大而增大．∵－6<－4，∴y 1<y 2.(2)y ＝－6x 的图像在第四象限内，y 随x 的增大而增大．∵4<6，∴y 3<y 4.(3)∵反比例函数y ＝－6x的图像在第二象限内，y>0，在第四象限内．y<0，∴y 5>y 6.2．下列函数中，其图像位于第一、三象限的有________；在其图像所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的有________．(1)y ＝12x ； (2)y ＝0.3x ；(3)y ＝10x ； (4)y ＝－7100x.[答案] (1)(2)(3) (4)[解析] 当k 分别为0.5，0.3，10时，反比例函数的图像在第一、三象限内．当k ＝－0.07时，反比例函数的图像在第二、四象限内，y 的值随x 值的增大而增大．P 157习题6.31．下列函数中，图像位于第一、三象限的有________；在图像所在象限内，y 的值随x 值的增大而增大的有________．(1)y ＝23x ；(2)y ＝0.1x ；(3)y ＝5x ；(4)y ＝－275x .[答案] (1)(2)(3) (4)2．已知点(2，y 1)，(1，y 2)，(－1，y 3)，(－2，y 4)都在反比例函数y ＝1x 的图像上，比较y 1，y 2，y 3与y 4的大小．解：由题意得，y 1＝12， y 2＝1, y 3＝－1, y 4＝－12，所以y 3< y 4<y 1< y 2.3．已知点P(3，2)、点Q(－2，a)都在反比例函数y ＝kx 的图像上．过点P 分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S 1；过点Q 分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S 2.求a ，S 1，S 2的值．解：将点P(3.2)代入y ＝kx ，得k ＝6.S 1＝3×2＝6.将点Q(－2，a)代入y ＝6x 得a ＝－3.S 2＝|－2|×|－3|＝6.4．已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)都在反比例函数y ＝1x 的图像上，且x 1＞x 2，比较y 1与y 2的大小．解：当x 1>x 2>0时，y 1<y 2；当x 1>0> x 2时，y 1>y 2；当0>x 1>x 2时，y 1<y 2. 5．已知矩形的面积为9，试用图像表示出这个矩形两邻边之间的关系． 解：如图所示：素材四 图书增值练习1.直角三角形两直角边的长分别为x ，y ，它的面积为3，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）2. 已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y =5x的图象上的两点，若x 1<0<x 2，则 有（ ）A. y 1<0<y 2B. y 2<0<y 1C. y 1<y 2<0D. y 2<y 1<03． 已知反比例函数1k y x-=（k 为常数，1k ≠）． （1）若点2A (1 )，在这个函数的图象上，求k 的值；（2）若在这个函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围； （3）若13k =，试判断点34B ( )，，25C ( )，是否在这个函数的图象上，并说明 理由．4. 如图，在方格纸中建立直角坐标系，已知一次函数b x y +-=1的图象与反比例函数xky =2的图象相交于点A （5，1）和1A . （1）求这两个函数的关系式； （2）由反比例函数xky =2的图象的特征可知：点A 和1A 关于直线x y =对称.请 你根据图象，填写点1A 的坐标及21y y <时x 的取值范围.5. 如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．x y O A xyO C x y OB xyO D6. 若一次函数y=kx +1的图象与反比例函数y =x1的图象没有公共点，则实数k 的取值 范围是 .7. 如图，直线y=x +2与双曲线y=xm 3-在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（ ）8. 如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （-3，0）. (1)求点D 的坐标；(2)求经过点C 的反比例函数解析式.9. 如图，已知反比例函数)0(≠=k x k y 的图象经过点（21，8），直线b x y +-=经 过该反比例函数图象上的点Q (4，m )．(1)求上述反比例函数和直线的函数关系式；xyABO1S2S(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求△OPQ的面积．10. 如图所示，点A、B在反比例函数y=kx的图象上，且点A、B•的横坐标分别为a、2a（a>0），AC⊥x轴于点C，且△AOC的面积为2．（1）求该反比例函数的解析式．（2）若点（-a，y1）、（-2a，y2）在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．（3）求△AOB的面积．【知识要点】1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象，体会反比例函数的三种表示方法的互相转换，对函数进行认识上的整合．2．会根据反比例函数图象的某些特征，分析并掌握反比例函数的性质，感受数形结合的数学思想方法.3.能运用反比例函数图象与对应的函数关系之间的内在联系及其几何意义解决有关问题．【温馨提示】1.反比例函数的画法的应注意：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的；②选取的点越多画的图越准确；③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）.2.反比例函数图象的位置和增减性都与比例系数k 的符号有关；反之，由双曲线的位置或函数的增减性也可以判断k 的符号，反比例函数的增减性只能在同一个象限内讨论．如点A （-1，y 1），B （-2，y 2），C （1，y 3）在双曲线y=-2x 上，求y 1、y 2、y 3的大小时，必须考虑这三点是不是在一个象限，不在一个象限时不能使用反比例函数的性质。
6.2平面向量的运算第一课时-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义
故答案为： AC
【点评】本题考查向量加法的运算法则，向量加法的几何意义，向量加法满足交换律．
三．解答题（共 1 小题）
12．判断下列命题正确与否：
（1）向量 AB与CD 是共线向量，则 A 、 B 、 C 、 D 在同一直线上；
（2）向量
3
AB
1
AC
44
B．
AD
1
AB
3
AC
44
C．
AD
2
AB
1
AC
D．
AD
1
AB
2
AC
33
33
【分析】可画出图形，根据 BD 2CD 即可得出 BD 2DC ，从而得出 AD AB 2( AC AD) ，
解出向量 AD 即可．
【解答】解：如图，
BD 2DC ；
(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看 作向量加法平行四边形法则的物理模型．
2．向量的有关性质
（1）一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 a，b 方向相同时等号成立．
（2）在 ABC
中，
AB
BC
CA
0
.
（3）向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
10．化简 AB CD AC BD ．
11．化简 ( AB MB) (BO BC) OM ．
D．正方形
三．解答题（共 1 小题）
12．判断下列命题正确与否：
（1）向量 AB与CD 是共线向量，则 A 、 B 、 C 、 D 在同一直线上；
（2）向量
a与b平行,
则a,
《空间中直线平面的垂直关系》教学设计
课 题：6.2.3 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 教 材：湘教版高中数学·必修3【教学内容解析】本节课是湘教版教材必修3中第六章第二节的内容，属于新授性质原理课.其中直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质的形成是教学重点.以上结构图反应出了直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质在本节中的位置.是在学生掌握了线面垂直、面面垂直的判定之后紧接着研究的其性质.线面平行、面面平行研究了性质定理，为本节课提供了研究方法上的范式.线面、面面垂直是线线垂直的拓展，又是空间垂直的基础，且后续内容如：空间的角和距离等又都借助垂直来构建，在空间几何中起着承上启下的作用.通过本节课的学习研究，可进一步完善空间垂直与平行的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象、推理能力，体会由特殊到一般、正难则反、类比、归纳、转化等数学思想方法．因此，学习这部分知识有着非常重要的意义．【教学目标设置】1.学生通过对生活视频、实验操作的观察、直观感知、发现、猜想、归纳直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质定理．2.在性质的探究活动中，学生通过独立思考与合作交流，直观感知、发展类比、归纳等培养学生合情推理能力、逻辑思维能力和空间想象能力．3.学生运用特殊化、类比、正难则反、转化等数学思想，体验了研究空间位置关系的一般方法.4.在探究线面垂直的性质、面面垂直的性质的过程中，体会数学的严谨、简洁之美，体验探究发现的乐趣，培养善于实验观察、勇于探索的良好习惯.【学生学情分析】1.学生已有的认知基础学生能够感知生活中有大量的线面、面面垂直关系，已经掌握了线线、线面、面面平行的判定和性质以及线面、面面垂直的判定的相关知识，从而具备了研究空间位置关系的经验，也体会了立体几何中转化、类比的数学思想方法.2.达成目标所需要的认知基础要达成本节课的目标，这些已有的知识和经验基础不可或缺，还需要整体上把握本节课的研究内容、方法和途径，能运用转化、类比等数学思想，同时具备较好地观察发现、直观感知、空间想象、合情推理、抽象概括等能力，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.我校为全市二类重点高中，招收的学生相当部分基础薄弱，自主学习能力差.进入高二，虽然能领悟一些基本的数学思想与方法，但还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的探究能力也有待培养.3.重难点及突破策略重难点：1.运用转化、正难则反、特殊到一般、类比等数学思想方法来研究直线与平面、平面与平面垂直的性质，提高学生从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力.2.探究实验、归纳猜想、推理论证直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，突破“空间向平面”、“平行与垂直”、“线面与面面”的转化.突破策略：1.启发学生明确研究的内容与方法，从总体上认识研究的目标与手段．2.引导学生经过“直观感知⇒操作确认⇒推理论证”的学习过程形成线面垂直、面面垂直的性质定理.3.发动学生通过问题串交流、汇报、展示思维过程，相互启发.【教学策略分析】根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用教法和学法如下：怎样快速判断旗杆与地面的垂直关系？旨在让学生直观感知，借助生活现象形成关于同垂直一个平面的多条直线平行的直观感，可以帮助学既真实又有效. 并引导学生进一步概括直线与平面垂直的性质定理本质.。
高一数学进度表
周次
教学内容
课时
日期
7
3.3指数函数的图像和性质
2
9.29-----9.30
国庆放假
8
国庆放假
10.1——10.7
9
4.1对数及运算4.2换底公式
2
9.8——9.12
§5.1对数函数的概念
1
5.2对数函数的图像与性质
2
10
5.2对数函数的图像与性质
1
10.14—10.18
第三章小结与复习
2
第四章§1函数与方程
1
12.2——12.6
1.4两条直线的交点
1
1.5平面直角坐标系中的距离公式
2
2.1圆的标准方程
2.2圆的一般方程
2
18
2.3直线与圆、圆与圆的位置关系
2
12.9——12.13
§3.空间直角坐标系
2
3.3空间两点间的距离公式
1
19
第二章小结与复习
3
12.16——12.20
期末复习
2
20
期末复习
5
12.23——12.27
2
11
§2实际问题的函数建模
2
10.21—10.25
第四章小结与复习
1
中期考试
2
12
（必修二）
第一章§1.简单几何体
1
10.28——11.1
§2直观图
1
§3三视图
2
§4空间图形的基本关系与公理
2
13
§4空间图形的基本关系与公理
1
11.4——11.8
§5.1平行关系的判定
2
§5.2平行关系的性质
垂直性质定理
C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
思考4:一般地， , CD , I CD,AB,ABCD,
AB , AB CD ,垂足为B，那么直 线AB与平面 的位置关系如何？为 什么？
β
E D
B
A
α
C
思考5:据上分析可得什么定理？试 用文字语言表述之. β
D
B
A
α
C
定理 若两个平面互相垂直，则在
定义和判定定理
2.平面与平面垂直的判定定理， 解决了两个平面垂直的条件问题； 反之，在平面与平面垂直的条件下， 能得到哪些结论？
知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理
思考1:如果平面α与平面β互相垂 直，直线l在平面α内，那么直线l与 平面β的位置关系有哪几种可能？
αl β
αl β
α
l β
知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理
思考2:黑板所在平面与地面所在平 面垂直，在黑板上是否存在直线与 地面垂直？若存在，怎样画线？
α
β
思考3:如图，长Байду номын сангаас体ABCD—A1B1C1D1 中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其 交线为AD，直线A1A，D1D都在平面 A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两 条直线与平面ABCD垂直吗？
述为：a ,b a // b.该定理
有什么功能作用？
知识探究（二）直线与平面垂直的性质探究
思考1:设a，b为直线，α为平面， 若a⊥α，b//a，则b与α的位置关 系如何？为什么？
ab
α
思考3:设l为直线，α，β为平面， 若l⊥α，α//β，则l与β的位置关 系如何？为什么？
九上数学 第27讲 第六章 6.2反比例函数性质和图像
第27讲 《反比例函数》培优训练6.2 反比例函数图像和性质【基础知识精讲】反比例函数y=kx （k ≠0）中k 的几何意义： 过函数 y=kx（k ≠0）的图像上任一点),(y x p 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积S=∣xy ∣=∣k ∣；所得△POM 的面积S=21∣k ∣。
【例题巧解点拨】例1．正比例函数y=x 与反比例函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD •⊥x 轴于D ，如图1所示，则四边形ABCD 为_______．图1 图2 图3练习：如图2，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_____________________．例2.如图3，两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2018，在反比例函数y=6x的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…x 2018，纵坐标分别是1，3，•5•……，•共2018个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2018分别作y 轴的平行线与y=3x的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2018（x 2018，y 2018），则y 2018=________．练习：1、如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-4x的图象交于A 、 B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________．2、如图，正比例函数y=3x 的图象与反比例函数y=kx（k>0）的图象交于点A ，若 取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，…，S 20，则S 1+S 2+…+S 20=_________．例3．如图所示,直线122y x =+分别交x 轴、y 轴于A ，C 两点，P 是该直线上在第一象 限内的一 点，PB ⊥x 轴于B ，9ABPS =.(1)求P 点坐标; (2)双曲线ky x=经过点P ，能否在双曲线上PB 的右侧求作一点R ，作RT ⊥x 轴于T ，使△BRT 与△AOC 相似? 如能，求出点R 坐标；若不能，说明理由。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 引入：通过实际问题，引导学生思考线段垂直平分线的概念。
1.2 垂直平分线的定义：介绍线段的垂直平分线的定义，即垂直于线段并且将线段平分的直线。
1.3 性质1：线段的垂直平分线垂直于线段。
1.4 性质2：线段的垂直平分线将线段平分，即线段的两个端点到垂直平分线的距离相等。
第二章：垂直平分线的判定2.1 引入：通过实际问题，引导学生思考如何判定一条直线是线段的垂直平分线。
2.2 判定1：若一条直线垂直于一条线段，并且将线段平分，则该直线是线段的垂直平分线。
2.3 判定2：若一条直线与一条线段相交，并且交点将线段平分，则该直线是线段的垂直平分线。
第三章：垂直平分线的应用3.1 引入：通过实际问题，引导学生思考垂直平分线在几何中的应用。
3.2 应用1：利用垂直平分线证明线段相等。
3.3 应用2：利用垂直平分线证明直角三角形。
3.4 应用3：利用垂直平分线解决线段比例问题。
第四章：垂直平分线的作图4.1 引入：通过实际问题，引导学生思考如何作一条线段的垂直平分线。
4.2 作图方法1：利用直尺和圆规作图。
4.3 作图方法2：利用直尺和圆规作图的变体。
4.4 作图方法3：利用尺规作图的其他方法。
第五章：垂直平分线的综合应用5.1 引入：通过实际问题，引导学生思考垂直平分线在不同情境下的应用。
5.2 综合应用1：在几何题目中综合运用垂直平分线的性质与判定。
5.3 综合应用2：解决实际问题中涉及垂直平分线的问题。
5.4 拓展思考：探讨垂直平分线在其他数学领域中的应用。
第六章：线段垂直平分线与圆的关系6.1 引入：通过实际问题，引导学生思考线段垂直平分线与圆的关系。
6.2 性质3：线段的垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。
6.3 判定3：若一条直线上的任意一点到线段两端点的距离相等，则该直线是线段的垂直平分线。
6.4 应用4：利用线段垂直平分线性质解决与圆相关的问题。
直线、平面垂直的判定及其性质 (21)
第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算教学设计一、教学目标1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及其运算规则；2.理解平面向量的数乘运算的几何意义；3.理解两个平面向量共线的含义；4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.二、教学重难点1.教学重点平面向量的数乘运算及其几何意义.2.教学难点数乘运算的应用.三、教学过程（一）新课导入1．在实数运算中，.2．在同一方向上，一个人的拉力为F，那么2个人的拉力为2F，k个人的拉力为kF. 3．一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量为.4．思考：已知非零向量，作出和.它们的长度和方向分别是这样的？（二）探索新知1.如图，，类比数的乘法，可知=.显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即.类似地，，同类可知.显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即.一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：（1）； （2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. 由（1）可知，当时，. 由（1）（2）可知，. 2. 师：（1）设a r 为非零向量，求作向量2(3)a r 和6a r 并进行比较；（2）求作向量2()a b +r r 与向量22a b +r r 并进行比较，结果相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）生：2(3)6a a =r r ，222()a b a b +=+r r r r .设λ，μ为实数，那么：（1）()()λμa λμa r r =；（2）()λμa λa μa +=+r r r ；（3）()λa b λa λb +=+r r r r .特别地，我们有()()()a a a λλλ-=-=-r r r ，()a b a b λλλ-=-r r r r.3. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量a b r r ，，以及任意实数λ，1μ，2μ，恒有1212()λμa μb λμa λμb r r r r ??.例5 （课本P14）例6 （课本P14）4. 思考实数与向量的积与原向量之间的位置关系.实数与向量的积与原向量共线. 对于向量(0)a a b ≠r r r r ，，如果有一个实数λ，使b a λ=r r ，那么由向量数乘的定义可知a r与b r 共线.反过来，已知向量a r 与b r 共线，且向量b r 的长度是向量a r 的长度的μ倍，即||||b a μ=r r ，那么当a r 与b r 同方向时，有b a μ=r r ；当a r 与b r 反方向时，有b a μ=-r r .综上，有如下定理：向量(0)a a ≠r r r 与b r 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b a λ=r r .根据这一定理，设非零向量a r 位于直线l 上，那么对于直线l 上的任意一个向量b r ，都存在唯一的一个实数λ，使b a λ=r r .也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.例7 （课本P15）例8 （课本P16）（三）课堂练习课本P15 1—3题，P16 1—3题.（四）小结作业1. 小结：（1）向量的数乘；（2）向量的线性运算；（3）向量共线定理.2. 作业：四、板书设计6.2.3 向量的数乘运算1. 向量的数乘；2. 向量数乘的运算律；3. 向量的线性运算；4. 向量共线定理.。
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6.2 垂直关系的性质
教学目标：1. 掌握垂直关系的性质定理,并会应用。
2. 通过定理的学习，培养和发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形
语言进行交流的能力、几何直观能力、合作学习能力。
3. 恰当利用身边的简单物体进行自主探索活动，理解数学概念和结论形成
过程，体会蕴涵在其中的思想方法.
重 难 点： 垂直关系的性质定理是重点也是难点；合作学习形式的探索。
教学手段： 多媒体.
教学过程：
一、复习引入
线线垂直 线面垂直 面面垂直
二 、性质定理的引入
（一）问题探究一
为了改善小区电力供应，政府决定在大雄家外的马路边立两根电线杆，如果你是
工程师，你有办法保证这两根电线杆平行吗？
（学生可以用笔、桌面模拟电线杆和马路面，分学习组讨论） 答：各组推举一人回答：令它们都垂直于地面！
【抽象概括】
定理6.3 如果两条直线同垂直与一个平面，那么这两条直线平行.（文字描述）
b a b a //,⇒⊥⊥αα （数学语言，学生归纳）
※归纳线面垂直的性质：1、线线垂直
2、线线平行 （图形符号）
【练习】
（二）问题探究二
在探究一中，如果大雄家有一面在马路边而且垂直于地面的围墙，那么你们怎么保
证电线杆都垂直于地面呢？（在探究一的基础上，用书本模拟墙面）
答：令每一条电线杆紧贴墙面且都垂直于墙面与地面的交线！
【抽象概括】
a b
αααααα
αααα⊥⇒⊥⊥⇒⊥⊥⇒⊥⇒⊥⊥n n m m n m n m n m n m n
m n m n m ,//)4(//,)3(,//)2(//,)1(.
__________中，正确的命题序号有表示平面
，则下列命题表示直线，
、若
定理6.4 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们交线的直线垂直于另
一个平面. (文字描述) (数学语言，学生归纳) （每个学习组给出成果）
（图形符号）
※归纳面面垂直性质：线面垂直 线面垂直 面面垂直
【练习】
设两个平面互相垂直，则（ ）
A. 一个平面内的任何一条直线都垂直与另一个平面
B. 过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上
C. 过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面
D. 分别在两个平面上的两条直线互相垂直
分析：寻找条件，利用性质定理判断.
分析：利用逆向思考的方法寻找证明思路.
四 、 小结： 线线平行 线面平行 面面平行
1、
线线垂直 线面垂直 面面垂直
2、几何证明中常常使用逆向思考的方法.
3、通过合作学习，解决了数学问题、融洽了同学关系、发展了数学思维、构建了知识结构、希望大家在今后的学习中不断合作，勇于探索和思考。
五、作业：
⎪⎩⎪⎨⎧⊥=⊥l m m l βαβα ,β≠⊂α⊥⇒m αβm l .MN 2AB MN 1M BC MN BC C B MN D C B A ABC D 1111111垂直的所有平面与直线）找出与（的关系，说明理由与）判断（于内，且平面在中，在长方体例⊥-D 1C 1B 1A 1D C B A N M .
A B PBC PAB ABC PA PABC 2B C ⊥⊥⊥，求证：面面，面中，如图，在四面体例C B A P。