直线、平面垂直关系的判定与性质

第5节直线、平面垂直关系的判定与性质一、直线与平面垂直1.直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直.文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊥⊥=⊂⊂blalObabaαα⇒l⊥α文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b练习1.设l、m、n均为直线,其中m、n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:l⊥α⇒l⊥m,l⊥n,反之因为m、n不一定相交,故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α.故选A.2.若m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则以下命题正确的是( B)(A)若m⊥α,n⊥α,则m⊥n(B)若m∥n,m⊥α,则n⊥α(C)若m⊥β,α⊥β,则m⊥α(D)若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α解析:由m⊥α,n⊥α可得m∥n,故A错;B.平行线中一条垂直平面,另一条必垂直平面,所以正确;C中,由m⊥β,α⊥β,则有m∥α或m⊂α,故C错.D选项n与α的关系不确定,故选B.3.命题“如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直”是真命题吗?其逆命题呢?(不是、是)二、直线与平面所成的角1.定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角.2.线面角θ的范围: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π质疑探究:(1)直线与平面所成的角为α,与该平面内的直线所成的角为β,则α与β的关系如何?(2)直线与平面平行(垂直)时所成角等于多少?提示:(1)α≤β.(2)0⎪⎪⎭⎫⎝⎛2π.三、二面角、平面与平面垂直1.二面角(1)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.如图,记作:二面角αlβ或二面角αABβ或二面角P AB Q.(2)二面角的平面角在二面角αlβ的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.2.平面与平面垂直(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直⎭⎬⎫⊥⊂αβll⇒α⊥β文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⊥allββαβαa⇒l⊥α练习1.如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,则图中互相垂直的平面共有( B)(A)4对(B)3对(C)2对(D)1对解析:∵PA⊥平面ABC,∴平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,又AB是☉O的直径,∴BC⊥AC,又PA⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,故平面PBC⊥平面PAC,共3对,故选B.2.如果一条直线和一个平面垂直,那么经过这条直线的所有平面都和这个平面垂直吗?(垂直)3.如果两个平面垂直,那么其中一个平面内的任何一条直线都和另一个平面垂直吗?(不一定)4.如果两个平面都和第三个平面垂直,那么这两个平面平行吗?(不一定,可能平行也可能相交)一．与垂直相关命题的判定【例1】 m、n表示两条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面.下列命题中,①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若m⊥α,n⊥α,则m⊥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ.正确的命题是( )(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④解析:①显然正确;对于②,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β也可能相交,故②错误;对于③,若m⊥α,n⊥α,则m∥n,故③错误;④显然正确.故选C.变式训练11:给出下列命题:(1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行;(2)设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α;(3)已知α,β表示两个不同平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m ⊥β”的充要条件;(4)a,b是两条异面直线,P为空间一点, 过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行.其中正确命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:(1)错,垂直于同一平面的两个平面可能平行,也可能相交.(2)正确.(3)“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件,命题错误.(4)当异面直线a,b垂直时可以作出满足要求的平面;当异面直线a、b不垂直时,不能作出满足要求的平面,可用反证法思想说明,即假设存在满足要求的平面,则必有a⊥b,所以这时不存在,命题错误.故选B.二．直线与平面垂直的判定及其性质【例2】如图所示,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.求证:(1)BC⊥平面PAB;(2)AE⊥平面PBC;(3)PC⊥EF.证明:(1)∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB⊥BC,AB∩PA=A,∴BC⊥平面PAB.(2)∵BC⊥平面PAB,AE⊂平面PAB,∴BC⊥AE.∵PB⊥AE,BC∩PB=B,∴AE⊥平面PBC.(3)∵AE⊥平面PBC,PC⊂平面PBC, ∴AE⊥PC,∵AF⊥PC,AE∩AF=A,∴PC⊥平面AEF.而EF⊂平面AEF,∴PC⊥EF.变式训练21:如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N,P分别为所在边的中点,O为面对角线A1C1的中点.求证:(1)平面MNP∥平面A1C1 B;(2)MO⊥平面A1C1 B.证明:(1)连接D1C,易知MN为△DD1C的中位线,所以MN∥D1C.又因为D1C∥A1B,所以MN∥A1B.同理MP∥C1B.而MN与MP相交,MN、MP⊂平面MNP,A1B、BC1⊂平面A1C1B.所以平面MNP∥平面A1C1 B.(2)法一连接C1M和A1M,设正方体的棱长为a,因为正方体ABCD A1B1C1D1,所以C1M=A1M,又因为O为A1C1的中点,所以A1C1⊥MO.连接BO和BM,在三角形BMO中,经计算知OB=62a,MO=3a,BM=a,所以OB2+MO2=MB2, 即BO⊥MO.而A1C1,BO⊂平面A1C1B,A1C1∩BO=O,所以MO⊥平面A1C1 B.法二连接AB1,B1D,B1D1,则O是B1D1的中点,因为AD⊥平面ABB1A1 ,A1B⊂平面ABB1A1,所以AD⊥A1B.又A1B⊥AB1,AD和AB1是平面AB1D内两条相交直线,所以A1B⊥平面AB1D,又B1D⊂平面AB1D,所以A1B⊥B1D.同理,BC1⊥B1D.又A1B和BC1是平面A1BC1内两条相交直线,所以B1D⊥平面A1BC1.又OM是△D1B1D的中位线,所以OM∥B1D.所以OM⊥平面A1BC1.三．平面与平面垂直的判定及其性质【例3】 (高考新课标全国卷)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.(1)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1 ,又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC,又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(2)解:设棱锥B DACC1的体积为V1,AC=1,由题意得V1=31×221×1×1=21.又三棱柱ABC A1B1C1的体积V=1,变式训练31:在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=,EF=EC=1.所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积(1)求证:EC⊥BD;(2)求证:平面BEF⊥平面DEF.证明:(1)∵平面ACEF⊥平面ABCD,EC⊥AC, 平面ACEF∩平面ABCD=AC,∴EC⊥平面ABCD.∵BD⊂平面ABCD,∴EC⊥BD.(2)设BD与AC交于点O,连接FO.正方形ABCD的边长为,∴AC=BD=2.在直角梯形ACEF中,EF=EC=1,O为AC中点,易得FO∥EC,且FO=1.易求得DF=BF=,DE=BE=,由勾股定理知DF⊥EF,由BF=DF=,BD=2可知DF⊥BF. ∵EF∩BF=F,∴DF⊥平面BEF.∴平面BEF⊥平面DEF.【例题】如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1的中点.(1)求证:AB1⊥BF;(2)求证:AE⊥BF;(3)棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP?若存在,确定点P的位置,若不存在,说明理由.(1)证明:连接A1B,则AB1⊥A1B,又AB1⊥A1F,且A1B∩A1F=A1,∴AB1⊥平面A1BF,而BF⊂平面A1BF,∴AB1⊥BF.(2)证明:取AD中点G,连接FG、BG,则FG⊥AE,∵易知△BAG≌△ADE,∴∠ABG=∠DAE.∴AE⊥BG.又∵BG∩FG=G,∴AE⊥平面BFG.而BF⊂平面BFG,∴AE⊥BF.(3)解:存在.取CC1中点P,即为所求.连接EP、AP、C1D,∵EP∥C1D,C1D∥AB1,∴EP∥AB1.由(1)知AB1⊥BF, ∴BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF, 且AE∩EP=E,∴BF⊥平面AEP.1.. (高考福建卷)如图,四棱锥P ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,AB ⊥AD,点E 在线段AD 上,且CE ∥AB.(1)求证:CE ⊥平面PAD; (2)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=45°,求四棱锥P ABCD 的体积.(1)证明:因为PA ⊥平面ABCD,CE ⊂平面ABCD, 所以PA ⊥CE.因为AB ⊥AD,CE ∥AB, 所以CE ⊥AD.又PA ∩AD=A,所以CE ⊥平面PAD. (2)由(1)可知CE ⊥AD.在Rt △ECD 中,DE=CD ·cos 45°=1, CE=CD ·sin 45°=1.又因为AB=CE=1,AB ∥CE, 所以四边形ABCE 为矩形. 所以S 四边形ABCD =S 矩形ABCE +S △ECD =AB ·AE+CE ·DE=1×2+×1×1=,又PA ⊥平面ABCD,PA=1, 所以PABCD V 四棱锥-=S 四边形ABCD ·PA=××1=65. 练习1．若m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不．正确的是( )A ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥βB ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αC ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βD ．若α∩β＝m ，且n 与α、β所成的角相等，则m ⊥n解析 容易判定选项A 、B 、C 都正确，对于选项D ，当直线m 与n 平行时，直线n 与两平面α、β所成的角也相等，均为0°，故D 不正确．答案 D 2．设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是( ) A ．若a ⊂α，b ⊂β，且a ∥b ，则α∥βB．若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥βC．若a∥α，b⊂α，则a∥bD．若a⊥α，b⊥α，则a∥b解析分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线，故选项A 的结论不成立；任意两个相交平面，在一个平面内垂直于交线的直线，必然垂直于另一个平面内与交线平行的直线，故选项B中的结论不成立；当直线与平面平行时，只有经过这条直线的平面和已知平面的交线及与交线平行的直线与这条直线平行，其余的直线和这条直线不平行，故选项C中的结论不成立；根据直线与平面垂直的性质定理知，选项D中的结论成立．正确选项D.3. 设l是直线，a，β是两个不同的平面（）A. 若l∥a，l∥β，则a∥βB. 若l∥a，l⊥β，则a⊥βC. 若a⊥β，l⊥a，则l⊥βD. 若a⊥β, l∥a，则l⊥β答案 B4．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．解析②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m ⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.5．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析借助于正方体易知①②正确；对于③，若平面α内与直线l垂直的无数条直线都平行，则直线l可能与平面α不垂直，所以③错；④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交可能平行．故填①②.。