平面与平面垂直的判定定理
平面与平面垂直的判定定理
2) 平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β的垂线，
只需过这一点在平面 内作交线的垂线。
Aα
D
β
B
α A
D
β
B
C
C
问题 发现练猜习2想 证明 证明过程 结论 注注
课后思考 在刚才的三个条件中，直 直线 线 AA平 平 BB 面 面 β α 平面平 α面β
再选取两个条件作为前提，另一个条件作为结论构造命题，即
证明：
C是圆周上A B异是于 圆OA的、的直B一 径 点BCAC
PA平 BC平
面 面AABBCCB
C P
A
A C平 面 P AC平 ，面 PA P A A CP AA
BBCC 平 平面 面PPBA CC平面PA平 C 面P
例例22题题目目 1) 例2解答 2) 例2解答
性质定理
已知：平面 ⊥平面β，平面 ∩平面β=CD， A平面 ， AB⊥CD且AB ∩ CD=B。
求证：直线AB⊥平面β。
α A
D
B C
在平面β内过B点作BE⊥CD
β
E
问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论 注
性质定理
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α A
D
β
B C
问题 发现 猜想 证明 证明过程 结论 注
性质定理
1) 面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
平面与平面垂直的判定定理 和性质定理
引入 问题 问引题2入
判定定理
平面与平面垂直的判定定理是：
如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面相互垂直。
平面与平面垂直的判定和性质
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
证明两个平面垂直的判定定理
证明两个平面垂直的判定定理一、引言在几何学中，平面垂直是一个基本的概念。
两个平面垂直是指它们的法向量垂直。
本文将证明两个平面垂直的判定定理。
二、定义和符号说明1. 平面：由无限多条互不相交的直线组成的集合。
2. 法向量：与平面垂直且长度为1的向量。
3. 垂直：两个向量夹角为90度。
三、定理陈述若两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面是垂直的。
四、证明设平面$P_1$和$P_2$分别由点集合$S_1$和$S_2$上所有点组成，它们的法向量分别为$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$，且$\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直。
首先证明，对于任意一个在平面$P_1$上的点$A\in S_1$，其到平面$P_2$上任意一点距离$d(A,P_2)$等于该点到平面$P_2$上任意一点距离$d(B,P_2)$（其中B为在平面上任意取得一个点）。
假设存在一个在平面上任意取得的点B，使得$d(A,P_2)\neqd(B,P_2)$。
则连接$A$和$B$的线段与平面$P_1$的交点为点$C$，连接$A$和$B$的线段与平面$P_2$的交点为点$D$。
由于$\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直，则向量$\vec{CD}$在平面上任意取得一条向量$\vec{v}$都与$\vec{n_1}$垂直。
又由于向量$\vec{AB}$在平面上任意取得一条向量$\vec{w}$都在平面内，则向量$\vec{w}$与$\vec{n_1}$垂直。
因此，向量$\vec{v}+\vec{w}$也在平面内且与$\vec{n_1}$垂直。
但是，向量$(\vec{v}+\vec{w})\cdot\cos(\angle ACB)$显然不是法向量。
这与假设矛盾，因此$d(A,P_2)=d(B,P_2)$。
接下来证明，对于任意一个在平面上的点A和B，它们到另一个平面的距离相等。
假设存在一个在平面上任意取得的点C，使得$d(A,P_2)\neqd(B,P_2)$。
2.3.2平面与平面垂直的判定定理
l
B'
O' B
O
②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
二面角的平面角
一个平面垂直于二面角
的 棱 ， 并 与 两 半 平
面分别相交于射线 PA 、 PB 垂足为P，则∠APB叫做二面
ι
γ
P A B
β
角 的平面角
二面角记作 l
l
l l二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图， OA l , OB l ，则∠AOB成为二面角 l 的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
A' A
D1 A1 D A B B1 C C1
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
面面垂直的判定
一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平 面垂直. 符号语言：
a B a A
a
该定理作用：“线面垂直面面垂直”
应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个面的垂线.
例: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平 面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
2.3.2 平面与平面垂直的判定定理
回顾：直线和平面所成的角是怎样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角.
思考：那么平面与平面之间能形成角吗？
我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些， 我们应该怎么刻画这个角的大小？
二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫 做二面角 , 这条直线叫做二面角的棱 , 每个半平 面叫做二面角的面,
两个平面垂直的判定定理
两个平面垂直的判定定理
在向量空间中，如果a，b两个平面两两垂直，那么a，b两个平面对应的法向量n1，n2正交，则称a，b两个平面垂直是满足的。
定理：
令a，b两个平面的法向量分别为n1，n2，则a，b两个平面垂直的充分必要条件是n1n2=0.
证明：
设a，b两个平面垂直，则a，b两个平面对应的法向量n1，n2正交。
取a，b两个法向量n1，n2任意一组，据定理可知，n1n2=0，即可证明a，b两个平面垂直。
反之，设n1n2=0，则n1，n2两个向量无法构建一个正交系统，因此n1，n2不能构成正交标准基；而正交标准基是构建空间的基本单位，因此不存在两个平面两两垂直，从而证明n1n2=0是a，b两个平面垂直的充分必要条件。
综上所述，故以上结论成立，两个平面垂直的判定定理正确。
扩展：
根据以上两个平面垂直的判定定理，可以进行多维空间中任意平面垂直的判定，平行的判定和平面的->.定。
在多维空间中，例如三维空间中，若x，y两个平面垂直，则前提条件必须满足的是：平面的法向量x，y满足n1n2=0。
若两个平面x，y平行，则n1=kn2，其中k是不等于零的实数，
这里n1，n2分别为平面x，y的法向量。
若 x，y 两个平面平行且垂直于 z面，则 n1n2=0且 n1n3（n3为z平面的法向量）=0。
由此可见，通过求解平面的法向量点积，可以确定几个平面之间的垂直或平行关系，从而验证多维空间中任意两个平面垂直的判定定理。
结论：
以《两个平面垂直的判定定理》为标题，本文研究了该定理的定义与证明，并且讨论了该定理在多维空间中的广泛运用。
综上所述，两个平面垂直的判定定理正确。
面面垂直的判定定理
两平面垂直的充要条件的证明
如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面垂直。
如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面垂直。
特殊情况下的判定条件
如果两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面互相垂直。
如果两个平面分别与另外两个互相垂直的平面平行，那么这两个平面互相垂直。
Part
03
解析法判定面面垂直
01
建立坐标系
02
判定条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在空间中建立合适的坐标系，将两个 平面的方程表示为Ax+By+Cz+D=0 的形式。
如果两个平面的法向量（即方程中x 、y、z的系数）互相垂直，则这两个 平面垂直。可以通过计算两个法向量 的数量积是否为0来判断它们是否垂 直。
03
应用
解析法适用于已知平面方程的情况下 ，通过计算判断两个平面是否垂直。
面面垂直的性质定理及其证明
面面垂直的性质定理
如果两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面互相垂直。
证明
假设有两个平面α和β，它们都垂直于平面γ。在平面α内任取一点A，并作直线 AB垂直于平面β，垂足为B。由于AB垂直于平面β，因此AB所在的平面与平面β 垂直。又因为AB在平面α内，所以平面α与平面β垂直。
在实际问题中的应用
建筑学
地理学
在建筑设计中，经常需要判断两面墙 是否垂直，以确保建筑物的稳定性和 美观性。
在地质勘探和地形测量中，需要判断 地层或地形的走向和倾斜角度，以确 定是否存在垂直构造或地形特征。
工程学
在机械设计和制造中，需要确保某些 部件的表面与其他部件的表面垂直， 以确保机械的正常运转和精度。
Part
平面和平面垂直的判定性质定理
l
3．画二面角
⑴ 平卧式：
A
A
l
l
B
B
A ⑵ 直立式：
l
B
4．二面角旳平面角
在二面角-l-旳棱l上任
l
B
取一点O，如图，在半平面 和 内，从点 O 分别作垂
O
A
直于棱 l 旳射线OA、OB，射线
OA、OB构成∠AOB．则 AOB
叫做二面角 -l- 旳平面角
5．二面角旳大小
二面角旳大小能够用它旳平面角来度量．即二面角 旳平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． ① 二面角旳两个面重叠： 0o； ② 二面角旳两个面合成一种平面：180o； 二面角旳范围：[ 0o, 180o ]． ③ 平面角是直角旳二面角叫直二面角．
A D
E
CB
归纳小结：
(1)鉴定面面垂直旳两种措施： ①定义法 ②根据面面垂直旳鉴定定理
(2)面面垂直旳鉴定定理不但是鉴定两个平面 相互垂直旳根据，而且是找出垂直于一种平 面旳另一种平面旳根据；
(3)从面面垂直旳鉴定定理我们还能够看出面 面垂直旳问题能够转化为线面垂直旳问题来
处理.
三、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD旳中点， 求证：平面AEC⊥平面角大小旳环节为： （1）找出或作出二面角旳平面角； （2）证明其符合定义(垂直于棱)； （3）计算.
6. 平面与平面垂直 两个平面相交，假如它们所成旳二
面角是直二面角，就说这两个平面相互
垂直. 平面与垂直，记作⊥.
问题：
怎样检测所砌旳墙面和地面是否垂直？
猜测：
假如一种平面经过了另一 种平面旳一条垂线，那么这两 个平面相互垂直.
平面与平面垂直的判定
2 求点C到平面EDB的距离。
E
D
42
A
5M
3
C 4
O
B
例5：直二面角 -l- , A, AC l于C，B ， BD l于D，若AB与所成角为450，AB与所成角
为300，且CD=1，求AB的长。
A
α
X 45º 3x2 1
l
1
D
C
3x 30º 3x2 1
β
B
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作__一__个平
面与α垂直.
已知BSC 900，BSA CSA 600，
又SA SB SC求证：平面ABC 平面SBC
A条件不变求SA与平来自面ABC所成的角B
D
S
C
P107---例5
例1：如图，PA PC a，APC ACB=900， BAC 600，平面PAC 平面ABC， 求PB与平面ABC所成角的正切值。
P
a
a
A 600 M
C
B
例2：如图，正方体ABCD的边长为4 2，O是它的中心，
CE垂直于平面AC，又知CE=3.
1 证明平面EDB 平面OCE。
平面与平面垂直的判定
如何判断平面与平面垂直呢？
平面与平面垂直的判定定理
文字语言： 一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面 垂直。
α
图像语言：
A
B β
符号语言： 若AB , AB ,则 .
简记为：“线面垂直，则面面垂直”
P106---例1 例2： O的直径是AB，PA O所在平面， C为圆上不同于AB的任意一点，面PBC与
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问题
引入
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴， 那么所砌的墙面与地面垂直。 大家知道其中的理论根据吗？
——它就是本节课的内容之一：平面与平面垂直的判定定理。
弦 切 角 （一）
概念
猜想
证明
应用
练习
小结
作业
平面与平面垂直的判定定理 和性质定理
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
问题 2 引入
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
α A
D
β
B
C
问题 发现 猜想 证明 证明过程 结论
注
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
1) 面面垂直线面垂直；
（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
2) 平面 ⊥平面β ，要过平面 内一点引平面β 的垂线， 只需过这一点在平面 内作交线的垂线。
平面PAC 平面PBC。 BC 平面PBC 2) 例2解答 退出
平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
已知：平面 ⊥平面β ，平面 ∩平面β =CD，
A平面 ， AB⊥CD且AB ∩ CD=B。 求证：直线AB⊥平面β 。
AB是圆O的直径 BC AC C是圆周上异于A、B 的一点
BC 平面PAC
例 题目 例2 2 题目 1) 例2解答
PA 平面ABC BC PA BC 平面ABC AC 平面PAC，PA 平面PAC AC PA A
问题
问题 2 引入
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 判定定理 性质定理 课后思考 应用
面面垂直的判定方法： 1、定义法： 找二面角的平面角
小结
作业
说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。）
2、判定定理： 要证两个平面垂直， 只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
平面 α 平面 β 直线AB 平面 α 。 直线AB 平面 β
请判断命题的真假。 若是真命题，请给出证明； 若不是，那么添加什么条件可使命题为真？
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
1、两个平面垂直的判定定理和性质定理
（线面垂直面面垂直）
判定定理
判定方法 证明 证明过程 判定方法
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 应用 小结 作业
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。 1) 求证：平面PAC平面PBC； 证明：
2、“转化思想”
面面关系
面面平行
线面关系
线面平行
线线关系
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
3、平面 ⊥平面β ，要过平面 内一点引平面β 的垂线，
只需过这一点在平面 内作交线的垂线。
退出
在平面β 内过B点作BE⊥CD
α A
D
β
E
B C
问题 发现 猜想 证明 证明 过程 结论
注
退出
平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
平面与平面垂直的性质定理是： 如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α A
D
α A
β
C
D B
β
B C
练习 2 证明 证明过程 问题 发现 猜想
结论
注 注
退出
平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
在刚才的三个条件中， 直线AB 平面 β 平面 α 平面 β 。
直线AB 平面 α
再选取两个条件作为前提，另一个条件作为结论构造命题，即
平面与平面垂直的判定定理是：
如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
DαBC来自判定定理 证明 证明过程 判定方法 判定定理
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平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴， 那么所砌的墙面与地面垂直。 大家知道其中的理论根据吗？