平面及平面垂直的判定及性质教案-9.3完美版

合集下载

人教课标版高中数学必修2《平面和平面垂直的判定和性质》教学设计

2.3.2平面和平面垂直的判定和性质一、教学目标（一）核心素养（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．（二）学习目标（1）两个平面互相垂直的判定．（2）两个平面互相垂直的性质．（三）学习重点两个平面垂直的判定、性质．（四）学习难点（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．（2）正确作出符合题意的空间图形．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（2）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（3）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（）A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.【答案】D2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.【答案】A3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α.D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】C(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线和平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法文字语言图形语言符号语言判定方法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．ba//，α⊥a．则α⊥b（3）直线和平面垂直的性质定理性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．问题探究探究一实例引领，认识平面和平面垂直的概念★●活动①简单类比，引出定义两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．请同学思考两个平面互相垂直的定义.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．平面α和β垂直，记作α⊥β．●活动②实例引领，思维激活实例：如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）下面我们一起给出分析，证明：已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α．【解题过程】要证α⊥β，需证α 和β 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．证明：设α∩β＝CD，则由AB⊂α知，AB、CD共面．∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD，垂足为点B．在平面β内过点B作直线BE⊥CD．则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直请同学们接着思考如下问题：在所给正方体中，下式是否正确：①平面ADD1A1⊥平面ABCD；②D1A⊥AB；③D1A⊥面ABCD．［学生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．②∵AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD，∴AD1与平面ABCD不垂直．平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．下面我们一起来完成证明.证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a，AB⊂α，AB⊥a于B．【解题过程】：在平面β内作BE⊥a垂足为B，则∠ABE就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β可知，AB⊥BE．又AB⊥a，BE与a是β内两条相交直线，∴AB⊥β．证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的.【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．【答案】见解题过程.探究二层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．●活动①互动交流，初步实践例1 求证：（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．【知识点】平面和平面垂直的判定.【数学思想】化归思想.【解题过程】（1）已知：l∥α，l⊥β，求证：α⊥β.证明：在平面α内任取一点P．∵l ∥α，∴P ∉l ．P 、l 可确定一平面γ．设α∩γ＝l ′则l ∥l ′．⎪⎭⎪⎬⎫⊂'⊥'⇒⎭⎬⎫'⊥αββl l l l l //⇒α⊥β［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］ (2)已知：α⊥β，β∥γ．求证：α⊥γ证明：过β 内一点P 作直线l ，使l ⊥α则l ⊂β． l 与γ内任一点Q 确定平面δ，设δ∩γ＝l ′，则l ∥l ′． l ′⊥α，因此γ⊥α．【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论. 【答案】见解题过程. ●活动②巩固基础，检查反馈例2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC ．【知识点】平面和平面垂直的判定【数学思想】化归思想【解题过程】证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有BC ⊥AC ①．因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则P A ⊥BC ②．由①②及AC ∩PA ＝A ，得BC ⊥平面P AC ．因为BC⊂平面PBC，有平面P AC⊥平面PBC．【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．【答案】见解题过程.例3 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【知识点】平面和平面垂直的判断和性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：在平面P AC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面P AC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面P AC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A ⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面P AC．因为AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】见解题过程.例4 P为120°角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．【知识点】二面角的概念，距离.【数学思想】化归思想.【解题过程】如图，过点P 作P A ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，设相交直线P A 、PB 确定的平面为γ，a ∩γ＝O ，则α∩γ＝OA ，β∩γ＝OB 连结PO ，则AP =BP =10∵P A ⊥α，PB ⊥β，∴a ⊥γ，而PO ⊂平面γ，∴a ⊥PO ， ∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离．又∵a ⊥γ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角，即∠AOB =120°．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径． ∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用△APB ．在△APB 中，AP =BP =10，∠APB =60°，∴AB =10．由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ．【思路点拨】(1)该题寻找120°的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．（2）充分借助于四边形P AOB 为一圆内接四边形，∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．【答案】.3320活动③ 强化提升，灵活应用例5.过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，∠BSC =90°，∠ASC =∠ASB =60°，若截取SA =SB =SC =a .(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．【知识点】面面垂直的证明，距离. 【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：∵SA =SB =SC =a ，又∠ASC =∠ASB =60°，∴△ASB 和△ASC 都是等边三角形，∴AB =AC =a ，取BC 的中点H ，连结AH ，∴AH ⊥BC ．在Rt △BSC 中，BS =CS =a ， ∴SH ⊥BC ，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =．在△SHA 中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴AH ⊥SH ，∴AH ⊥平面SBC ．∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．或：∵SA =AC =AB ，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为△BSC 的外心，又△BSC 为Rt △，∴H 在斜边BC 上，又△BSC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴AH ⊥平面BSC ． ∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)由前所证：SH ⊥AH ，SH ⊥BC ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，∴点S到平面ABC的距离为a22．【思路点拨】（1）要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线；（2）外心为三角形外接圆的圆心，即三条中垂线的交点.【答案】（1）见解题过程；（2）a22．同类训练如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥B C.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】(1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)线段BE上存在点G，且BG＝13BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD、GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥GF .GF CE GF DE GF CDE CE DE E ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥⊥⊥平面＝.又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知12BG GE =，即13BG BE =. 【思路点拨】“探索性问题”的规律方法：一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【答案】（1）见解题过程；（2）线段BE 上存在点G ，且13BG BE =，使得平面DFG ⊥平面CDE .3. 课堂总结知识梳理（1）证明面面垂直的方法（2）重难点归纳空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．（三）课后作业基础型自主突破一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.【思路点拨】由题意，画出满足条件的图形，依据面面垂直的性质以及线面平行的性质等知识解答.【答案】D.2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．【思路点拨】A.根据面面平行的定义和性质判断；B.利用面面垂直的性质和定义判断；C.根据线面垂直的性质判断；D.根据线面平行的性质判断.【答案】B．3.设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，（）A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥β D．若α⊥β，则l∥m【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.【思路点拨】通过线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可判断A；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，结合线面垂直的性质定理即可判断B；举反例，由线面垂直的性质定理即可判断C；举反例，结合线面垂直和面面垂直的性质定理即可判断D.【答案】B.4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．【思路点拨】通过线面垂直的性质定理判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质判断D.【答案】C.5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE【知识点】面面垂直的判定.【解题过程】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，所以选C.【思路点拨】缺少【答案】C.6.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直”，则______．【解题过程】此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A -BCD ，进而易证结论：“2222ABC ACD ADB BCD SS S S ++=．” 【答案】2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥P C.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD ⊥平面PC D.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明。

《平面与平面垂直的判定定理》教学设计

《平面与平面垂直的判定定理》教学设计一、本节内容分析本节内容按照直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的研究过程展开.对于直线与直线的垂直,首先定义异面直线所成的角,两条直线垂直包括共面垂直与异面垂直对于直线与平面的垂直、平面与平面的垂直主要研究它们的判定定理和性质定理.直线与平面垂直的判定定理是指一条直线与构成该平面的基本元素—直线满足什么条件才能使此直线与该平面垂直,而平面与平面垂直的判定定理是指构成其中一个平面的直线与另平面或这个平面内的直线具备什么条件才能使两个平面垂直,实际上是在寻找平面与平面垂直的充分条件.性质是指直线与平面垂直、平面与平面垂直时,其基本构成要素具有怎样的确定不变的关系,实际上是必要条件,性质和判定之间具有互逆的关系,这也是我们研究问题的一个自然的起点.本节内容的处理继续遵循“直观感知—操作确认—思辨论证”的认识过程展开.通过本节课的学习与研究,可进步完善学生的知识结构,更好地培养学生观察记忆、空间想象及推测解释能力,使其体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想,提升直观想象、数学运算和逻辑推理核心素养.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析上一节,我们研究了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,本节在上一节基础上研究空间直线、平面间的另一特殊位置关系——垂直.由于学生的知识积累、解决问题的方法都已较为丰富,所以本节内容的学习既要继续加强从“一般观念”上的引导,让学生明确“什么是空间直线、平面的垂直”以及“空间直线、平面垂直时,其要素(直线、平面)有什么确定的不变关系”;又要充分类比对空间直线、平面平行关系的研究方式,引导学生研究空间直线、平面之间的垂直关系.研究的对象尽量由学生去提出,研究的内容要学生去确定,研究的方法启发学生去寻找.学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备【任务专题设计】1.平面与平面垂直【教学目标设计】1.通过实例直观感知“二面角”概念的形成过程,理解二面角的概念,掌握二面角的作法,理解并掌握两个平面互相垂直的概念,两个平面垂直的判定定理及其应用方法.2.发展学生的推测解释能力、观察记忆能力和空间想象力,培养学生的质疑思辨、创新的精神.【教学策略设计】1.在平面与平面垂直的实际教学中,建议采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法,使学生形成“直观感知—操作确认—数学抽象—归纳猜想—严谨证明—灵活应用”的探究式学习方法,从而达到以学生为主体、教师为主导、师生共同发展的课堂教学效果.【教学方法建议】启发教学法、探究教学法、情境教学法,还有________________________________【教学重点难点】重点1.直观感知、操作确认,概括出平面与平面垂直的判定定理难点3.平面与平面垂直的判定定理的应用.【教学材料准备】1.常用材料:多媒体课件、计算机、实物模型、__________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入探究1 平面与平面垂直的判定定理师:在工程建设中,建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直,如果系有铅锤的细线紧贴墙面,则确定墙面与地面垂直,否则不垂直.为什么线要紧贴墙面?生:为了说明细线在墙面内,细线与地面垂直,墙面就和地面垂直.师:满足什么条件的时候,才能使平面与平面互相垂直?【师生活动】教师组织学生思考、讨论,归纳出下面的结论.生:如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面,则这两个平面垂直.师:如何用图形语言和符号语言描述平面与平面垂直的判定定理.【师生活动】教师指导学生画出图形并将文字语言转化成符号语言,并出示多媒体.【推测解释能力】通过对实际问题观察和理解,使学生形成面面垂直的判定定理,通过学生交流讨论,把实际问题抽象成数学符号的表达方式,培养学生严谨的数学思维习惯【要点知识】平面与平面垂直的判定定理⊥⎫lα【教师总结】这个定理说明,可以由直线与平面垂直,证明平面与平面垂直.师:门所在平面与地面始终垂直吗?大家将课本打开,直立放在桌面上,每页纸张与桌面是否垂直?为什么?【师生活动】教师组织学生讨论、交流,用面面垂直判定定理来解释现象.师:下面请看如何利用平面与平面垂直的判定定理来解决实际问题.【活动学习】通过用判定定理解释生活中的常见现象,让学生意识到数学来源于生活,服务于生活,也体现了从特殊到一般,再到特殊的知识认知过程,促进学生数学思想方法的形成,引导学生确实掌握“降维”的转化与化归的数学思想方法【说明论证能力】通过学生尝试用定理解决问题,从而加强对面面垂直判定定理的理解和掌握,巩固所学知识,进一步体会由证明面面垂直转化为证明线面垂直,提升学生的逻辑思维和分析问题、解决问題的说明论证能力【典型例题】平面与平面垂直的判定定理的应用例1 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面A'BD⊥平面ACC'A'【师生活动】教师出示多媒体并读题,引导学生分析题意,梳理解题思路,得到要用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直,关键是找到一个平面内有一条直线垂直于另一个平面.学生独立完成例题证明,教师巡视课堂,并适时给予学生指导,教师出示规范解答.【典例解析】平面与平面垂直的判定定理的应用分析:要证平面A'BD ⊥平面ACC'A',根据两个平面垂直的判定定理,只需证明平面A'BD 经过平面ACC'A'的一条垂线即可.这需要利用AC,BD 是正方形ABCD 的对角线.证明:ABCD-A'B'C'D'是正方体,AA'⊥平面ABCD ,AA'BD ⊥又BD AC ⊥,AA'AC=A ⋂，∴BD ⊥平面ACC'A',又BD ⊂平面A'BD ,平面A'BD ⊥平面ACC'A'.师:请看下一道例题.【意义学习】通过教师对证明过程进行规范、完整的板书,引导学生注意证明过程的规范性和严谨性,帮助学生养成良好的学习习惯【典型例题】平面与平面垂直的判定定理的应用例2 如图,AB 是O 的直径,PA 垂直于O 所在的平面,C 是圆周上不同于,A B 的任意一点.求证:平面PAC ⊥平面PBC .【师生活动】教师引导学生分析解题思路,鼓励学生交流、讨论,并请学生做板演,教师对学生的解答过程做评价,随后教师给出规范性解答.【典例解析】平面与平面垂直的判定定理的应用分析:要证明两个平面垂直,根据两个平面垂直的判定定理,只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面,而由直线和平面垂直的判定定理,还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中,由题意可知BC AC ⊥,,BC PA AC PA A ⊥⋂=,从而BC ⊥平面PAC ,进而平面PAC ⊥平面PBC .证明:∵PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面,ABC PA BC ∴⊥.∵点C 是圆周上不同于,A B 的任意一点,AB 是O 的直径,∴90BCA ∠=︒,即BC AC ⊥. 又∵,PA AC A PA ⋂=⊂平面,PAC AC ⊂平面,PAC BC ∴⊥平面PAC .又∵BC ⊂平面,PBC ∴平面PAC ⊥平面PBC .【深度学习】通过教师引导学生分析解题思路,使学生掌握判断面面垂直有两种方法:一种是定义法(证二面角的平面角是直角),一种是判定定理法(证一个平面过另个平面的一条垂线),深化学生对两种方法的掌握能力【说明论证能力】通过例题巩固所学知识,使学生能够熟练应用知识解决说明论证的问题【教师总结】从本节的讨论可以看到,由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直;由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直;而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直,这进一步揭示了直线平面之间的位置关系可以相互转化.师:通过这节课的学习,同学们都学到了哪些知识?【师生活动】教师引导学生归纳总结、完善本节课所学知识.【整体学习】引导学生学习直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系,进一步体会空间中直线与平面的位置关系之间的相互转化,培养学生对转化与化归数学思想方法的理解,发展学生的逻辑推理学科核心素养【课堂小结】平面与平面垂直1.判定平面与平面垂直的方法有哪些?判定平面与平面垂直的方法体现了什么数学思想?2.平面与平面垂直的判定定理是什么?能够解决哪些问题?3.如何实现空间垂直关系的相互转化?请指出下面图中空间垂直关系转化的依据.【设计意图】通过理解和掌握面面垂直的判定和性质,能够证明面面垂直和线面垂直,培养学生的推测解释、说明论证能力,提升逻辑推理核心素养【课后作业】教材P235练习3、4题教学评价垂直关系的相互转化:线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的,能够相互转化,转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理在解决问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论探求所需的关系,从而架起条件与结论的桥梁.空间平行、垂直关系之间的转化:【设计意图】引导学生对线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质探究分析,帮助学生体会知识的生成、发展、完善的过程.通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、推理解释、说明论证、猜想探究等)分析问题、解决问题,从而达到直观想象、逻辑推理、数学抽象核心素养目标要求【以学定教】根据学情,因材施教,以人为本,以生为本,根据学生逐步掌握的知识点和定理,依据生活实例和模型,采取不同探究式教学法,让学生逐步掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直的知识教学反思本节的知识(直线与直线的垂直关系、直线与平面的垂直关系、平面与平面的垂直关系)与学生学习的生活联系密切,教师一方面引导学生从生活实际出发,把知识与周围的事物联系起来;另一方面,教师引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程,注重探索空间图形位置关系的判定与性质的过程本节课教师特别注重数学中的文字语言与符号语言的相互转化,将空间问题向平面问题转化,有效地体现了转化与化归的数学思想.在判定定理的教学中,遵循了“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程,学生通过观察分析、自主探究,在教师的引导下,进行适当推理而归纳出判定定理关于判定和性质定理的应用,教师没有简单直接讲解,而是由学生先行自主探究,教师适时点拨,以增强学生自主学习的意识,再通过实物投影,来规范学生的解答过程,提高学生数学表达能力.【以学论教】对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果使学生通过观察分析、自主探究学习和掌握空间线面的垂直关系。

《平面与平面垂直的判定》说课稿和教学设计

《平面与平面垂直的判定》说课稿尊敬的各位评委老师，大家好！我是号选手，我今天说课的题目是《平面与平面垂直的判定》。

我主要从教材分析、学情分析、说教学方法与策略、说教学过程、说板书设计等几个步骤向大家详细地讲解我对这节课的安排。

一、教材分析：1．教材地位和作用本节课的主要内容有两个：（1）二面角和二面角的平面角的概念，（2）平面与平面们垂直的判定。

由于平面与平面垂直的概念是建立在二面角的基础之上，且二面角的平面角不但定量地描述了两相交平面的相对位置，同时也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点，所以搞好二面角的学习，对学生掌握线面垂直、面面垂直的知识。

乃至空间思维能力的培养都具有十分重要的意义。

2．教学目标课程目标：（1）通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面垂直的判定定理。

（2）能运用平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

根据上面对教材的分析及课程标准，并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标：（1）借助对图片、实例的观察、类比、抽象、概括二面角的概念，面面垂直的定义。

并能正确理解定义。

（2）通过直观感知、操作确认，归纳出二面角平面角的定义，平面与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。

（3）让学生亲身经历数学研究的全过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

3、本节课的教学重点：（1）二面角及平面角概念的形成过程；（2）面面垂直的判定定理的运用。

难点：（1）二面角的平面角的形成过程及寻找方法；（2）面面垂直的判定定理的运用。

二、学情与学法分析：目前高一学生已学过空间线面、面面的平行和线面的垂直关系，对空间线线、线面、面面三者之间的转化关系比较了解，且（2）班学生思维较活跃，参与意识、自主探究能力有所提高，具备学习本节课所需的知识和能力。

针对目前学生的年龄特点和心理特征以及他们的知识水平，采用诱导、启发式教学方法。

平面与平面垂直的性质教案

一、教学目标1. 让学生理解平面与平面垂直的概念，掌握平面与平面垂直的性质。

2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容1. 平面与平面垂直的定义2. 平面与平面垂直的性质定理3. 平面与平面垂直的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：平面与平面垂直的性质定理及其应用。

2. 教学难点：平面与平面垂直的性质定理的理解和运用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面与平面垂直的定义、性质定理及应用。

2. 利用几何模型和实物模型，直观展示平面与平面垂直的现象，增强学生的空间想象力。

3. 开展小组讨论，让学生互相交流、探讨，加深对平面与平面垂直性质的理解。

4. 运用例题讲解，培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

五、教学步骤1. 导入新课：通过展示生活中的实例，引导学生思考平面与平面垂直的现象。

2. 讲解平面与平面垂直的定义，让学生理解垂直的概念。

3. 讲解平面与平面垂直的性质定理，引导学生通过图形进行验证。

5. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。

教案仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。

六、教学评价1. 课后作业：布置有关平面与平面垂直性质的习题，巩固所学知识。

2. 课堂练习：设置一些有关平面与平面垂直的应用题，检验学生对性质定理的掌握程度。

3. 学生互评：鼓励学生之间相互评价，提高学生的沟通能力。

七、教学拓展1. 探讨平面与平面垂直的其他性质定理。

2. 研究平面与平面垂直在实际工程中的应用。

八、教学反思1. 教师在课后要对课堂进行反思，总结教学过程中的优点和不足。

2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。

九、课后作业1. 习题：完成教材后的相关习题，加深对平面与平面垂直性质的理解。

2. 实践作业：观察生活中的平面与平面垂直现象，拍摄图片，进行简要描述。

十、教学进度安排1. 本节课计划用2课时完成，第1课时讲解平面与平面垂直的定义和性质定理，第2课时进行应用讲解和课后作业布置。

平面与平面垂直的性质定理教学设计及平面与平面垂直的判定与性质教案完美版

平面与平面垂直的性质定理教学设计及平面与平面垂直的判定与性质教案完美版教学设计：一、教学目标：1.知识目标：掌握平面与平面垂直的性质定理，了解平面与平面垂直的判定方法。

2.能力目标：能够正确判断平面与平面是否垂直，并运用性质定理求解问题。

3.情感目标：培养学生对几何知识的兴趣，提高解决几何问题的能力。

二、教学内容：1.平面与平面垂直的性质定理。

2.平面与平面垂直的判定方法。

三、教学步骤：1.导入新知识（10分钟）教师引入本节课的知识内容，告诉学生本节课要学习平面与平面垂直的性质定理和判定方法，并和学生一起回顾正交的概念，引发学生的思考。

2.学习性质定理（30分钟）教师通过多个例子，引导学生观察和总结平面与平面垂直的性质定理。

-性质定理一：如果两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面垂直。

-性质定理二：如果两个平面中的各一条直线互相垂直，则这两个平面垂直。

教师先给出性质定理一的证明过程，再由学生自行推导性质定理二的证明过程。

学生在学习性质定理的过程中，教师可以组织学生进行小组讨论，让学生互相讨论并分享自己的理解和想法。

3.学习判定方法（30分钟）教师介绍平面与平面垂直的判定方法：-判定方法一：如果两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面垂直。

-判定方法二：如果两个平面中的各一条直线互相垂直，则这两个平面垂直。

教师给出一些实际应用的例子，引导学生通过观察图形来判断两个平面是否垂直。

4.综合练习（20分钟）教师设计一些相关练习题，让学生通过运用刚刚学习的性质定理和判定方法来解决问题。

5.总结和课堂小结（10分钟）教师总结本节课学习的内容，提醒学生注意关键点，并给出总结性的提问，激发学生思维。

四、教学手段：1.教师板书法通过板书法概括和总结平面与平面垂直的性质定理和判定方法。

2.多媒体教学法运用多媒体教学展示相关的图片和视频，帮助学生更好地理解和掌握平面与平面垂直的性质定理和判定方法。

3.讨论和合作学习通过讨论和合作学习的方式，激发学生思维，增加学生的参与感和主动性。

平面与平面垂直的判定教案

平面与平面垂直教学目标1．知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理、性质定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.教学重点：平面与平面垂直的判定；教学难点：平面与平面垂直的判定。

一．复习引入：二．新课探知：1、平面与平面垂直的定义2、平面与平面垂直的判定定理（1）探究问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？（2）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直.线面垂直⇒面面垂直例1、如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.练习：1、A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD，BC=CD,E是BD的中点，求证：平面AEC⊥平面BCD2、已知Rt∆ABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角。

求证：1、平面ABD⊥平面BDC,平面ACD⊥平面BDC2、∠BAC=6003、两平面垂直的性质定理：例2、已知：如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB=4cm，AC,BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB,并且AC=3cm，BD=12cm，求CD的长。

练习1．已知如图AB⊥平面BCD ，BC⊥CD，求证：平面ACD⊥平面ABC.A巩固练习：一、选择题1．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）A．必相交B．必为异面直线C．垂直D．无法确定2．下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．其中，正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个n 4个3．在下列四个命题中，假命题为（）A．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C．过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内D．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面4．已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）A．圆内接四边形B．矩形C．圆外切四边形D．平行四边形5．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离等于（）A．5B．52C．35D．45二、填空题6．AB是平面α的斜线段，其长为a，它在平面α内的射影A′B的长为b，则垂线A′A_________．7．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l⊥α，m α和m⊥γ，现给出以下四个结论：①α∥γ且l⊥m；②αγ且m∥β③αβ且l⊥m；④αγ且l⊥m；其中正确的为“________”．（写出序号即可）8．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．9．如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA⊥平面A BCD则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC及△PBD中，为直角三角形有_________个．三、解答题10．已知直线a∥平面α,直线b⊥平面α，求证：a⊥b．11．如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过B l作B1⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：AC⊥平面EB l D112．如图在△ABC中，已知∠ABC＝90°，SA⊥△ABC所在平面，又点A在SC和SB上的射影分别是P、Q．求证：PQ⊥SC．。

平面与平面垂直的判定教案

平面与平面垂直的判定教案教学目标：1. 理解平面的概念及性质，掌握平面与平面垂直的判定方法。

2. 能运用平面与平面垂直的判定方法解决实际问题，提高空间想象能力和逻辑推理能力。

3. 通过对平面与平面垂直的判定方法的学习，培养学生数学思想和方法的应用意识。

教学重、难点：1. 教学重点：平面与平面垂直的判定方法及其应用。

2. 教学难点：如何灵活运用平面与平面垂直的判定方法解决实际问题。

教学准备：1. 多媒体课件：包含判定定理的证明过程、图形示例等内容的PPT 或视频资料。

2. 几何画板：学生可利用几何画板进行自主探究和实践，绘制相关图形，加深理解。

3. 白板讲解：利用白板或黑板进行现场讲解和互动问答，提高教学效果。

4. 学生练习册：根据教学目标和内容，设计相应的练习册或习题集，供学生练习使用。

教学方法和手段：1. 课堂讲解：教师精讲判定定理及其应用，注意逻辑清晰，表达准确。

2. 小组讨论：学生针对课堂练习或实际问题的讨论，促进互相学习和交流。

3. 互动问答：教师鼓励学生提问，通过回答问题了解学生对知识的掌握情况，并及时调整教学策略。

4. 多媒体辅助：使用多媒体课件展示图形和实例，增强视觉效果，帮助学生更好地理解。

5. 工具应用：引导学生使用几何画板等工具进行自主探究和实践，提高教学效率。

教学过程：1.概念讲解教师引导学生复习平面的概念及性质，强调平面的基本属性，为后续学习做好铺垫。

2. 定理介绍教师介绍平面与平面垂直的判定方法，即“一面四点两线”判定定理。

指出定理的现代形式如下：如果一个平面内的四条直线与另一个平面内的四条直线对应平行，那么这两个平面垂直。

并深入讲解该定理的证明过程及应用范围。

3. 范例分析教师通过实例讲解如何运用判定方法解决实际问题。

如：通过观察教室墙面和地面的关系，引导学生用判定方法判断两个平面是否垂直，并指导学生在练习本上画出相应的图形，锻炼学生的实际应用能力。

4. 课堂练习教师布置与课堂内容同步的作业，学生完成后进行展示和交流。

平面与平面垂直的性质教案

平面与平面垂直的性质教案
教学目标：
1. 理解平面与平面垂直的定义。

2. 能够判断两个给定平面是否垂直。

3. 掌握判断平面与平面垂直的性质。

教学步骤：
步骤一：引入话题
教师可以将两本垂直放置的书本放在桌上，并问学生这两本书是不是垂直的。

引导学生思考垂直关系的定义。

步骤二：引入平面与平面垂直的定义
通过上述引入，教师可以引申出平面与平面垂直的定义：两个平面相交且交线为垂直线时，这两个平面称为垂直平面。

步骤三：判断平面与平面是否垂直
教师可以给出一些示例，要求学生根据定义判断两个给定的平面是否垂直。

步骤四：讨论垂直平面的性质
4.1 垂直平面的法线相互垂直
教师可以引导学生思考：如果两个平面是垂直平面，这两个平面的法线是否相互垂直？
4.2 垂直平面的法线在同一平面
教师可以引导学生思考：两个平面是垂直平面，这两个平面的法线是否在同一平面内？
步骤五：实例练习
教师可以给出一些实例让学生判断给定的平面是否垂直，同时让学生根据垂直平面的性质进行论证。

步骤六：总结
教师与学生共同总结平面与平面垂直的定义以及判断垂直平面的性质。

步骤七：作业布置
布置一些作业题，让学生通过练习巩固所学知识。

扩展思考：
1. 如何判断三个平面是否两两垂直？
2. 平面与直线是否可以垂直？如何证明？。

《平面与平面垂直的性质》教学设计（5篇范文）

《平面与平面垂直的性质》教学设计（5篇范文）第一篇：《平面与平面垂直的性质》教学设计《平面与平面垂直的性质》教学设计一、教材分析：直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。

通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

二、学情分析：1.学生思维活跃，参与意识和自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学方法；通过一系列的问题及层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究。

帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现。

2.学生抽象概括能力和空间想象能力有待提高，故采用多媒体辅助教学。

让学生在认知过程中，着重掌握原认知过程，使学生把独立思考与多向交流相结合。

三、根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,确定了以下教学目标:（1）知识与技能目标：①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.（2）过程与方法目标：①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.②通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力。

③发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.（3）情感、态度与价值观目标：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.四、教学重点与难点：（1）教学重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。

（2）教学难点：运用性质定理解决实际问题。

五、教学设计思路：1、复习导入：（1）线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.（2）面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.2、探究发现：（1）创设情境：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！设计说明：感知在相邻的两个相互垂直的平面内，有哪些特殊的直线和平面关系，然后通过操作，确定两个平面垂直的性质定理的合理性，引导学生通过模型观察，讨论在两个平面相互垂直的情况下，能够推出一些什么样的结论。

平面与平面垂直的判定与性质教案-9.3完美版

通过案例激疑，几何画板等的帮助引导，得出平面与平面垂直的前提是经过垂线，从而得到判定定理。
教学难点
及解决措施
平面与平面垂直的性质确定与应用。
通过问题导疑，发现规律，操作教具进行探索，结合专家讲解，教学平台探究出性质定理；
并通过学生自主讲解，闯关游戏和在线练习来突破难点。
教学工具
UMU教学平台、几何画板、微课、专家视频、问卷、游戏、三维仿真动画、案列、制图软件
小组合作共同完成例题1的证明和思考，并总结证明平面与平面垂直的方法与步骤，对比两种方法的优缺点。
对学生进行头脑风暴，设计建筑难题让学生去解决，强化了数学与专业的紧密感，提升思维能力，并能培养学生的总结归纳和探索能力。
组织学生观看视频《人民的民义》提问：视频中建造不合格的主要原因是什么？展示平台上学生搜索的图片。
观看视频，回答问题，观看大家找到的图片。
在通过有趣案例调动学生兴趣的同时，也提升了学生职业责任感，空间立体感和美感。
3分钟
2、定义探究
对学生学习的困惑通过三维仿真，几何画板形象具体的得以解决，抛出疑问：怎么去证明定义，学生小组解决，为后面判定的探究埋下伏笔。过渡语：大家觉得这样的证明方法有什么不足之处？能否找到更有效的判定方法？接下来我们进行判定定理的探究。
检查学生课前学习情况并将课前学生学习的问题进行展示，引导学生去解决。组织学生观看三维仿真动画，对课前容深化，让学生利用定义去证明两平面垂直。
汇报课前学习情况，观看三维仿真动画，操作几何画板。用定义去解释卡尺工作的原理，解决实际问题。而后用定义证明平面与平面垂直，总结这种方法在本题中的不足之处。
二面角是90度两平面垂直是学生此前学习过的容，但是很多学生会感到定义理解起来困难，借助三维仿真和几何画板可以很好化抽象为直观，复习的同时也为本节新课打下基础。而证明的目的是发现利用定义证明面面垂直的繁琐，自然的过渡到备

《两个平面垂直的判定和性质》教案完美版

《两个平面垂直的判定和性质》教案（第二课时）教学目标：（一）教学知识点1、两个平面互相垂直的性质。

2、两个平面互相垂直性质的应用。

（二）能力目标1、通过性质定理的发现过程，培养学生归纳、猜想、证明的科学思维方式。

2、通过本节教学，提高学生空间想象能力。

3、通过问题解决，提高等价转化转化思想渗透的意识。

4、进一步提高学生分析问题、解决问题的能力。

（三）德育目标多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神。

教学重点两个平面垂直的性质。

教学难点两个平面垂直的性质定理运用。

教学设计思路性质定理的引入，不是采取平铺直叙，而是根据数学定理的教学是由发现与论证这两上过程组成的，所以把“引入命题”和“猜想”作为本节课的重要活动内容，在教师的启发下，通过交换命题的条件和结论发现命题，完成猜想，然后在教师的引导下，让学生完成对猜想的证明，得到这个平面垂直的性质定理，在这一“探索”、“猜想”、“论证“的研究过程中，培养学生发现问题、解决问题的能力。

教学方法从条件去分析其应具有的结论，从结论去探讨其应具备的条件，诱导学生思考、分析问题。

教具准备投影片三张、照片四张、录相短片、课件。

教学过程（一）复习引入1、情景引入。

2、两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

3、图形语言4、数学符号5、交换判定定理中的条件和结论（二）新课讲解1、两个平面垂直的性质定理（1）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直另一个平面。

（2）数学符号语言（3）图形语言（4）证明:在β内引直线BE⊥CD,垂足为B2、两个平面垂直的性质二（1）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内，垂直于它们交线的直线在第一个平面。

（2）数学符号语言（3）图形语言（4）证明3、两个平面垂直的性质三（1）如果一个平面和平面外的一条直线都与另一个平面垂直，那么这个平面和这条直线平行。

（2）数学符号语言（3）图形语言（4）证明（三）归纳小结小结作文:突出知识的发生、发展和形成过程。

平面与平面垂直的判定与性质-教案

平面与平面垂直的判定与性质教案
例3.已知，如图，AB是⊙
O的直径，P A垂直于⊙O所在
的平面，C是圆周上不同于A，
B的任意一点.
求证：平面P AC⊥平面PBC.
例 4.已知，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,BC⊥CD，请问在三棱锥A-BCD中有哪些平面相互垂直，为什么？
拓展：垂直于同一个平面α的两个平面若相交，则交线与平面α垂直.的应用，探索寻找已知平面垂面的方法.
借助对面面垂直的判定定理的应用，综合分析线面位置关系，体会性质定理的条件，掌握符号语言的应用.
课堂练习已知，如图所示，已知α ⊥β，
在α与β的交线上取线段
3
AB=，且AC，BD分别在平
面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC=1，
BD=2，求CD的长．
熟练知
识
总结(一)知识：
1.面面垂直的判定与性质定理
2．面面垂直的判定定理：（1）转化为线面垂直（2）
关键在于找线.
(二)方法：
总结本
节课学
习的知
识与方
法，体会
其中蕴
含的立
体几何
的学习
思路，研
究途径，
形成线
面、面面
垂直关。

平面与平面垂直的性质教案

平面与平面垂直的性质教案教案标题：平面与平面垂直的性质教案教案目标：1. 理解平面与平面垂直的概念和性质。

2. 能够识别平面与平面垂直的关系。

3. 能够应用平面与平面垂直的性质解决相关问题。

教案步骤：引入活动：1. 利用一张纸板和一根铅笔，让学生观察纸板的两个面，并问他们这两个面是否相互垂直。

2. 引导学生思考，什么情况下可以认为两个平面是垂直的。

知识讲解：1. 通过投影法介绍平面与平面垂直的定义：当一个平面上的直线与另一个平面上的直线的投影相互垂直时，可以认为这两个平面是垂直的。

2. 解释平面与平面垂直的性质：垂直的平面上的任意两条直线互相垂直。

示例演示：1. 给出几个具体的示例，让学生观察并判断两个平面是否垂直。

2. 引导学生用投影法验证他们的判断是否正确。

练习活动：1. 分发练习题，要求学生判断给定的平面是否与另一个平面垂直。

2. 学生可以使用投影法进行验证，并给出解释。

拓展讨论：1. 引导学生思考平面与平面垂直的应用场景，如建筑设计、几何图形的构建等。

2. 鼓励学生提出更多关于平面与平面垂直的问题，并进行讨论。

总结：1. 对本节课的内容进行总结，强调平面与平面垂直的定义和性质。

2. 鼓励学生在日常生活和学习中多观察、思考平面与平面垂直的情况。

评估：1. 布置一道综合性的作业题，要求学生应用平面与平面垂直的性质解决问题。

2. 根据学生的作业完成情况评估他们对平面与平面垂直性质的理解和应用能力。

教学资源：1. 纸板和铅笔。

2. 练习题。

教学延伸：1. 可以引导学生学习平面与平面垂直的证明方法和相关定理。

2. 可以引导学生进行实际测量，验证平面与平面垂直的性质。

平面与平面垂直的判定教案

平面与平面垂直的判定高一数学备课组教学目标1、知识与技能（1）理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小；（2）理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；（3）熟悉线线垂直、线面垂直的转化．2、过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对二面角的平面角及面面垂直的认识；（2）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．3、情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.教学重点二面角的概念和二面角的平面角的作法，面面垂直的判定．教学难点二面角的平面角的一般作法及面面垂直的判定．教学过程一、课前准备（预习教材P67~ P69，找出疑惑之处）复习1：若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；直线与平面垂直的判定定理_______________________________．复习2：什么是直线与平面所成的角?直线与平面所成的角的范围为_______________.二、新课导学※探索新知探究1：二面角的有关概念图１问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图2中的二面角可记作：二面角AB αβ--或l αβ--或P AB Q --．图2问题：二面角的大小怎么确定呢？新知2：如图3，在二面角l αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角．图3反思:(1)两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？(2)你觉的二面角的大小范围是多少？(3)二面角平面角的大小和O 点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？探究2：平面与平面垂直的判定问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图4，α垂直β，记作αβ⊥.图4问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？新知4：两个平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.※ 重难点突破例1 如下图 AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的任意一点，求证：ABC PAC ABC PAB 平面，平面平面平面⊥⊥，PBC PAC 平面平面⊥．l分析：线线垂直线面垂直面面垂直三、总结提升※ 课堂小结1. 二面角的有关概念，二面角的求法；2. 两个平面垂直的判定定理及应用.※ 知识拓展二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面α内一点A ，作AB β⊥于点B ，再作BO l ⊥于O ，连接OA ，则AOB ∠即为所求平面角.(为什么?)※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 以下四个命题，正确的是（）.A.两个平面所成的二面角只有一个B.两个相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2. 在正方体1111ABCD A B C D -中，过,,A C D 的平面与过1,,D B B 的平面的位置关系是（）.A.相交不垂直B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行3. 二面角的大小范围是________________.4. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______.课后作业课本P74 B 组第1题板书设计教学反思§2.3.2 平面与平面垂直的判定例1 随堂练习课堂小结课后作业1、二面角的有关概念2、平面与平面垂直的判定。

平面与平面垂直的判定教案

平面与平面垂直的判定教案
一、教学目标：
1.理解平面与平面垂直的概念；
2.掌握判断平面与平面垂直的基本方法；
3.能够应用所学知识解决相关问题。

二、教学重难点：
1.掌握平面与平面垂直的判定方法；
2.理解垂直平面间的特点；
3.掌握将垂直平面相关知识运用于实际问题的能力。

三、教学过程：
步骤一：导入与激发学生兴趣（5分钟）
1.引入平面与平面垂直的概念：请学生说出自己了解的平面与平面垂直的特点和判断条件。

2.引导学生思考问题：为什么需要判断平面与平面是否垂直？在哪些实际问题中会用到这个概念？
3.引入本课的主要内容：本课将学习平面与平面垂直的判断方法及其应用。

步骤二：教学内容展示（25分钟）
1.定义：平面与平面垂直是指两个平面的法向量相互垂直，即两个平面法向量的内积为0。

2.公式表示：假设平面1的法向量为n1，平面2的法向量为n2
3.实例演示：通过数学演算，展示平面与平面垂直的判定过程。

4.注意事项：在判断平面与平面垂直时，需要注意法向量的方向是否正确，正负号是否考虑周全。

步骤三：小组讨论与练习（20分钟）
1.分为小组进行讨论：每个小组选择一个实际问题，并结合判断平面与平面垂直的方法进行分析与解决。

2.小组展示与交流：每个小组选派一位代表进行展示，并与全班进行交流与讨论，分享解决问题的思路和方法。

步骤四：拓展与扩展（10分钟）。

平面与平面垂直的判定教案

平面与平面垂直的判定教案教案标题：平面与平面垂直的判定教学目标：1. 学生能够理解平面与平面垂直的概念。

2. 学生能够运用坐标系和向量法判断平面与平面之间的垂直关系。

3. 学生能够综合运用所学知识，解决实际问题。

教学准备：1. 教师：准备黑板、白板、投影仪等教学工具。

2. 学生：准备笔记本、铅笔和计算器等学习用品。

教学过程：导入活动：1. 引入话题：教师通过向学生提问呈现平面与平面垂直的例子，如两条彼此垂直的公路、桌子上的直角等，引起学生思考。

知识讲解：2. 引入坐标系法：教师通过绘制坐标系，并以示意图的形式介绍平面与平面垂直的概念。

解释两个平面垂直的条件是它们的法向量互为共线的。

3. 介绍向量法：教师讲解平面与平面垂直的另一种判定方法——向量法。

通过示意图，解释两个平面垂直的条件是它们的法向量的点乘为零。

示例分析：4. 展示示例：教师通过投影仪或板书展示一些具体的示例，要求学生根据所学知识判断这些示例中的平面是否垂直。

学生可以尝试使用坐标系法或向量法进行判断。

5. 分析讨论：教师引导学生讨论各个示例的解题思路和答案，并指导学生关注容易犯错的地方。

在学生犯错误时给予适当指导，确保学生对判断平面垂直的方法和步骤有清晰的理解。

拓展活动：6. 练习演练：教师提供一些练习题，要求学生在课堂上独立完成。

学生可以选择使用坐标系法或向量法进行判断，完成后互相交流答案并讨论解题思路。

7. 确认复习：教师向学生总结本节课所学内容，并强调重点和难点。

鼓励学生提出问题，解答疑惑。

作业布置：8. 作业要求：教师布置作业，要求学生根据课堂所学，独立完成一定数量的平面与平面垂直判定题目。

学生可以选择使用坐标系法或向量法进行判断。

9. 提供指导：教师在作业布置时，提供一些解题思路和步骤的指导，以便学生完成作业。

教学反思：10. 教学反思：教师对本节课的教学进行反思，并记录下本节课教学中的亮点和需要改进之处，为今后教学提供参考。

平面与平面垂直的判定优秀教案

平面与平面垂直的判定
【教学目标】
1．知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用。

2．过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3．情态、态度与价值观
通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

【教学重难点】
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小。

【教学方法】
实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合。

的求法与画法
AB ．面分别为、
在半平面α和内分别作垂直于棱l 的射线OA 和αβ
β
与垂直，记作α⊥
把这个正方形折成一个
备选例题
例1 如图，四棱锥P –ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD ．
证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°。

【分析】由△PAD ≌ △PCD ，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可。

【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答。

教案《数学》人教版 9.3.4 平面与平面垂直

9.3.4 平面与平面垂直教学设计【教学目标】1．理解两个相交平面互相垂直的定义，掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．2．从学生身边的实例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．渗透把空间问题转换为平面问题进行解决的思想．【教学重点】平面与平面垂直的判定定理和性质定理．【教学难点】平面与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．由生活中常见实例，得出平面与平面垂直的判定定理、性质定理，利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，帮助学生理解定理．通过例题，明确应用定理时线线垂直到线面垂直再到面面垂直的证明思路．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1. 复习二面角的平面角定义．2. 如何来刻画平面与平面垂直的概念呢？师：（举例）黑板所在墙面与地面给我们相互垂直的形象．由直二面角的定义引出两平面垂直的定义．新课如果两个相交平面组成的二面角为直角，则称这两个相交平面互相垂直．平面α与β垂直，记作：α⊥β．两个互相垂直的平面在画图时，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图，已知α⊥β，∠AOB为二面角α-l-β的平面角，OA⊥β吗？平面与平面垂直的判定定理：判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．用符号表示为(如图)：l⊥α，lββ⊥α．平面与平面垂直的性质定理：性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一教师讲解画法．师：为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直？通过观察，我们可以发现，门在转动的过程中，门轴始终与地面垂直．师：建筑工人在砌墙时，常用铅锤线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，为什么？由生活中常见的门轴，得出平面与平面垂直的判定定理，同时加深对定理的理解，帮助学生记忆．新课个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号表示为（如图所示）：如果平面α⊥平面β，αβ＝l，OAα，OA⊥l，那么OA⊥β．例1 如图，已知平面α⊥平面β，αβ＝l，在l 上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，并且垂直于它们的交线AB，并且AC＝3，BD＝12．求CD的长．解连接BC，CD．因为AC⊥AB，所以AC⊥β，AC⊥BD．又BD⊥AB，所以BD⊥α，BD⊥BC．所以△BAC和△CBD都是直角三角形．在Rt△BAC中，有；在Rt△CBD中，有．例2 已知Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是斜边上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角，如图所示．求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；(2)∠BAC＝60︒．学生思考回答．师：黑板所在平面与地面所在平面垂直，是否在黑板上任意画一条直线，都能使这条直线和地面垂直？你能否在黑板上画一条与地面垂直的直线？学生思考．教师边作图边分析已知条件．分析每一步的根据是什么，面面垂直的性质、线面垂直的性质分别在哪一步应用的．通过折纸让学生明确折后哪些量没有发生改变．由生活实例得出平面与平面垂直的性质定理．利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，有助于学生理解定理的本质，明确应用定理的关键．此题较为复杂，教师应详细分析各线与平面的关系，各三角形的形状及其根据，给学生以明确的思路．通过例２,让学生进一掌握理解定理的本质，明确应用定理的关键．同时通过折纸的形式来帮助学生理解题意,从而提高学生的读图能力,及文字语言转换为新课证明(1) 如图(2)，因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC，因为平面ABD和平面ACD都过AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；(2) 如图(1)，在Rt△BAC中，因为AB＝AC＝a，所以．如图(2)，因为△BDC是等腰直角三角形，所以所以AB＝AC＝BC．因此∠BAC＝60 ．练习1．将一张长方形纸片ABCD沿对角线AC进行折叠，如何才能使两部分所在的平面互相垂直？2．长方体教室里的墙面之间是否垂直？3．正方体的对角面是否互相垂直？4．分别画出互相垂直的两个平面和两两垂直的三个平面．5．检查工件的相邻的两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了．为什么？如果转不动呢？师生合作完成．数学语言的表达能力．学习新知后紧跟练习有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容．有利于教师检验学生的掌握情况．小结1．两个相交平面互相垂直的定义．2．平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．梳理知识，形成体系．作业教材P136习A组第3题，练习B组第3题．。

平面及平面垂直的判定及性质教案-9.3完美版

人教课标版高中数学必修2《平面和平面垂直的判定和性质》教学设计

《平面与平面垂直的判定定理》教学设计

《平面与平面垂直的判定》说课稿和教学设计

平面与平面垂直的性质教案

平面与平面垂直的性质定理教学设计及平面与平面垂直的判定与性质教案完美版

平面与平面垂直的判定教案

平面与平面垂直的判定教案

平面与平面垂直的性质教案

《平面与平面垂直的性质》教学设计（5篇范文）

平面与平面垂直的判定与性质教案-9.3完美版

《两个平面垂直的判定和性质》教案完美版

平面与平面垂直的判定与性质-教案

平面与平面垂直的性质教案

平面与平面垂直的判定教案

平面与平面垂直的判定教案

平面与平面垂直的判定教案

平面与平面垂直的判定 优秀教案

教案 《数学》人教版 9.3.4 平面与平面垂直

平面与平面垂直的判定优秀教案

教案《数学》人教版 9.3.4 平面与平面垂直