两平面垂直的判定与性质

α
∩
∩
A D B C E
β
∴AB⊥BE 即∠ABE=90。 ⊥ ∴二面角α—CD — β是直二面角 二面角 是直二面角 ∴α⊥β ⊥
∩
两个平面垂直的判定定理: 二、两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过了另一个平面的一 如果一个平面经过了另一个平面的一 经过了另一个平面的 条垂线，那么这两个平面互相垂直 互相垂直. 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
从一条直线出发的两个半 1、二面角的平面角 、 三个条件 面角。这条直线叫做二面 面角。这条直线叫做二面 1、根据定义作出来 、根据定义作出来——定义法 定义法 2、二面角的平面角 、 角的棱。 角的棱。 2、利用直线和平面垂直作出来 这两个半平面叫 、 的大小与 二面角的面。 做二面角的面。其顶点 ——垂面法 垂面法 3、借助三垂线定理或其逆定理作出来 、 二面角的表示方法： 二、二面角的表示方法： 在棱上的位置无关 3、二面角的大小用 、 ——三垂线法 三垂线法 1、找到或作出二面角的平面角 、 它的平面角的大 二面角的平面角： 三、二面角的平面角： 2、证明 1中的角就是所求的 角 、 中的角就是所求的 小来度量 3、 β 二 面 角 α－AB－、计算所求的角 C－AB－ D 二 四、二面角的平面角的作法： 面 角 二面角的平面角的作法： 二 面 角 α－ l－ β
因为经过一点只能有 一条直线与平面β垂直 垂直， 一条直线与平面 垂直， 所以直线a应与 应与b直线 所以直线 应与 直线 重合. 重合 β 所以a α. 所以 α
P
a
b
c
如图,AB是 ⊙O的直径 的直径,PA垂直于⊙O 垂直于⊙ 例2:如图 如图 是 的直径 垂直于 所在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意 所在的平面 是 圆周上不同于 的任意 一点,求证 平面PAC⊥平面 求证:平面 一点 求证 平面 ⊥平面PBC.
学习新知
两个平面垂直的定义： 一、两个平面垂直的定义：
二平面α 二平面α、β相交，所成的二面角是直角， 相交，所成的二面角是直角， 称这两个平面垂直. 称这两个平面垂直. 两个平面垂直的画法：
β β
α
α
记法：平面α和平面β垂直，记作：α⊥β 平面α和平面β垂直，记作：
观 察 生 活
你发现了什么？ 你发现了什么？
P
C
A
O
B
练习：
1．选择题 （1）不能肯定两个平面一定垂直的情况是（ D ） A 两个平面相交，所成二面角是直二面角. B 一个平面经过另一个平面的一条垂线. C 一个平面垂直于另一个平面内的一条直线. D 平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的.
（2）下列命题正确的是（ C ） A 平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂 直，则平面α⊥平面β. B 过平面α外一点P有且只有一个平面β和平面α垂直. C 直线l∥平面α，l⊥平面β，则α⊥β D 垂直于同一平面的两个平面平行.
符号: 符号: l ⊥ α ⇒α ⊥ β l ⊂ β
简记：线面垂直， 简记：线面垂直，则面面垂直
α A β a
线线垂直
线面垂直
面面垂直
证明两个平面垂直有那些方法？ 证明两个平面垂直有那些方法？ 1.定义法 定义法 2.两平面垂直的判定定理 两平面垂直的判定定理
应 用 于 生 活
建筑工人砌墙时， 建筑工人砌墙时， 如何使所砌的墙和水平面垂直？ 如何使所砌的墙和水平面垂直？
复习回顾： 复习回顾：
一、二面角的定义： 二面角的定义：
五、二面角的计算： 二面角的计算：
[情境问题] 情境问题] 竖电线杆时， （1）竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满 足怎样的位置呢？ 足怎样的位置呢？ 为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌， （2）为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，墙面所 在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？ 在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？ 容易得出结论：电线杆与地面应该垂直，否则容 容易得出结论：电线杆与地面应该垂直， 易倾倒；如果墙面发生倾斜，墙就容易倒塌， 易倾倒；如果墙面发生倾斜，墙就容易倒塌，所以砌 墙时，不能让墙面倾斜． 墙时，不能让墙面倾斜． （3）我们怎样用所学知识去描述“墙面不倾斜” 我们怎样用所学知识去描述“墙面不倾斜” 这一事实呢？ 这一事实呢？
课本 P44 1、、 23
［总结提炼］
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的 ☆ 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义 ☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 已知面面垂直易找面的垂线， ☆ 已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内 解题过程中应注意充分领悟、 ☆ 解题过程中应注意充分领悟、应用
平面为α 证明: 设已知⊙ 平面为 证明 设已知⊙O平面为 Q PA ⊥ 面α , BC ⊂ 面α ∴ PA ⊥ BC 又 Q AB为圆的直径 ∴ AC ⊥ BC Q PA ⊥ BC AC ⊥ BC Q PA I AC = A PA ⊂ 面PAC , AC ⊂ 面PAC ∴ BC ⊥ 面PAC Q BC ⊂ 面PBC ∴ 面PAC ⊥ 面PBC
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直. 垂线，那么这两个平面互相垂直.
已知:AB⊥β,AB ∩β=B,AB ⊥ 已知 求证:α⊥ 求证 ⊥β
证明:设 证明 设α∩β=CD,则B∈CD 则 ∈ ∵AB⊥β,CD ⊥ ∴AB⊥CD ⊥ 在平面β内过点 作直线 在平面 内过点B作直线 ⊥CD 内过点 作直线BE⊥ 是二面角α—CD — β的平面角 ∴ ∠ABE是二面角 是二面角 的平面角 ∵ AB⊥β ⊥ BE β
[探索研究 ]： 如果两个平面互相垂直， 如果两个平面互相垂直，那么在第一个平 面内垂直于交线的直线， 面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平 面呢？ 面呢？
已知 : α⊥β , AB ⊂ α ,α ∩ β = CD, AB⊥CD 求证 : AB⊥β
证明 : α ∩ β = CD, AB ⊂ α , AB⊥CD,
α ⊥ β l ⊥β ⇒l ⊂ α A∈α A∈l
为判定直线在平面 内提供了理论依据
• 例1.求证；如果两个平面互相垂直，那么 1.求证；如果两个平面互相垂直， 求证 经过第一个平面内的一点垂直于第二个平 面的直线，在第一个平面内。 面的直线，在第一个平面内。
已知： ⊥ ， ∈ ， ∈ ⊥ 例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β. 求证： 求证：a α. 证明： 证明：设α ∩ β= c，过点 在平面α内 ，过点P在平面 作直线b 作直线 ⊥ c，根据上面的定理有b⊥β. ， ⊥
垂足B ∈ CD, 过B作BE⊥CD, 且BE ⊂ β , ∠ABE是直二面角
A D
α
E B
α − CD − β的平面角,
0
β
C
即∠ABE = 90 则直线AB垂直平面β的两条相交直线CD和BE
根据线面垂直判定定理 有 AB⊥β .
两个平面垂直的性质定理: 三、两个平面垂直的性质定理
如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它 如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它 垂直 垂直 们的交线的直线垂直于另一个平面. 交线的直线垂直于另一个平面 们的交线的直线垂直于另一个平面.
α⊥β α I β = m ⇒l ⊥ β l ⊂α l ⊥m
为作辅助线提 供了理论依据
如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点 垂直 第一个平面的 垂直于第二个平面的直线 在第一个平面内． 第二个平面的直线， 垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．