平面与平面垂直的性质和判定
直线与平面面,平面与平面垂直的性质
A.1
B.2
C.3 D.4
2、如图，已知四边形ABCD是矩形，AD=4,AB=2,F是线段BC 的中点，PA⊥平面ABCD,求证PF⊥FD.
P
提示：连接AF.
A
D
B
FC
2.3.4 平面与平面垂直的性质
回顾
1.面面垂直的定义：
两个平面相交， 如果它们所成的二面 角是直二面角，就说 这两个平面互相垂直。
垂直于同一个平面的两条直线平行
二、怎样证线线垂直：
1.利用平面几何中的定理：半圆上 的圆周角是直角、勾股定理的逆定 理……
2.利用平移：a⊥b,b∥c，则 a⊥c
3.利用线面垂直定义：a⊥α,b α，则 a⊥b
4.利用三垂线定理或其逆定理（以后学）
n
a
a n
a
同理b
bl aα
β
n γm
b // a
a b
b //
b
l
b // l b
lb
线面平行判定
线面平行性质
思考：还可以怎样作辅助线？
2、已知a、b是两条不重合的直线，
P
α、β、γ是三个两两不重合的
平面，给出下列四个命题：
若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
A
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
O
若α∥β，aα，bβ，则a∥b； B
若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则
a∥b。其中正确命题的序号是 （D）
D C
A. B. C. D.
面 具有什么位置关系?
α
平面与平面垂直的判定定理(课件)
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B
【数学课件】两个平面垂直的判定和性质
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
两个平面垂直的判定与性质
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定与性质的关
系 • 两个平面垂直在实际生活中的应
用 • 两个平面垂直的典型例题解析
目录
01
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
01
02
03
判定定理
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 则这两个平面垂直。
线来证明。
性质的应用
01
在几何学中，两个平面垂直的性 质可以用于证明空间几何中的一 些定理和性质，例如空间几何中 的勾股定理等。
02
在物理学中，两个平面垂直的性 质可以用于研究物体的运动和力 的作用，例如物体在重力作用下 的运动轨迹等。
03
两个平面垂直的判定与性质
的关系
判定与性质的联系
判定是性质的依据
两条相交直线
在给定平面内选择两条不 平行的直线，这两条直线 必须相交。
垂直关系
这两条相交直线必须与另 一个平面垂直。
判定定理的证明
证明思路
通过反证法证明，假设两个平面不垂直，则它们必然存在一个公共点，由此可以确定一条过该点的直线。由于这 条直线同时位于两个平面内，因此它必然与两个平面都垂直。这与题目中给定的条件矛盾，因此假设不成立，所 以两个平面垂直。
家装设计
在家装设计中，需要确保墙面、 地面和天花板之间的垂直度，以
提高家居的美观度和舒适度。
家具摆放
在家具摆放时，需要确保家具与 地面垂直，以提高家具的稳定性
和安全性。
悬挂物品
在悬挂物品时，需要确保物品与 墙面垂直，以提高物品的稳定性
和安全性。
05
两个平面垂直的典型例题解
析
例题一解析
两平面垂直的判定与性质
05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和 边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判 定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在 机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中 ，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B， 作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所 以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交， 所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直， 所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的 平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构 和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情 况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面 垂直的情况。例如，在研究重力时，重力 的方向总是垂直于地面向下。通过分析这 些实验的现象和结果，可以深入理解两平 面垂直的性质和应用。
平面与平面垂直的判定与性质
记作： l
思考1：
我们常说“把门开大些”，是指哪个
角开大一些？我们应该怎么刻画二面角的 大小？ 二、二面角的平面角的定义
半平面
l
半平面
以二面角的棱上 任意一点为端点，在
两个半平面和内分别作 垂直 于棱的两
条射线OB和OA得到平面角AOB称平面角
AOB为二面角 l 的平面角.
B
l
O
A
三、二面角的平面角的作法
C D
例2.如图，已知SA 平面ABC ,平面SAB 平面SBC . 求证：AB BC.
S
D
C
A
思路导引：SA 平面ABC SA BC AB BC BC 平面SAB 平面SAB 平面SBC ? 联想到面面垂直的性质，作AD SB. 证明：作AD SB.
B
平面SAB 平面SBC
PE
AM
平面PCD I 平面ABCD CD AM 平面ABCD
AM PM AM 平面PEM AM ME
AE2 8 1 9
ME 2
21
3
AE 2
ME 2
AM 2
AM 2 4 2 6
AM ME
P
C
D
E
M
B
A
例3.如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面 垂直于矩形ABCD所在的平面,BC 2 2,M是BC 的中点.
PA PA
面ABC 面PAB
面PAB
面ABC
A
C
PA PA
面ABC 面PAC
面PAC
面ABC
B
PA BC
面ABC 面ABC
PA BC AB BC
AB I PA A
BC BC
平面与平面垂直的性质定理-PPT课件
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD.
又 EO 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
2.3.面面垂直面垂直的判定和性质
思考6:二面角的大小可以用它的平 思考6:二面角的大小可以用它的平 6: 面角来度量， 面角来度量，二面角的平面角是多 少度，就说二面角是多少度. 少度，就说二面角是多少度.平面角 是直角的二面角叫做直二面角 直二面角. 是直角的二面角叫做直二面角. 当 二面角的两个面重合时， 二面角的两个面重合时，二面角的 大小为多少度？ 大小为多少度？当二面角的两个面 合成一个平面时， 合成一个平面时，二面角的大小为 多少度？一般地， 多少度？一般地，二面角的平面角 的取值范围如何？ 的取值范围如何？ o o
∪ ∪ ∪ ∪
两个平面垂直的判定定理： 两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过了另一个平面的一 如果一个平面经过了另一个平面的一 经过了另一个平面的 条垂线，那么这两个平面互相垂直 互相垂直. 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
α C β A B D
AB ⊥ β ⇒α ⊥ β AB ⊂ α
已知： ⊥ ， 已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB ， α
∪ ∪ ∪ ∪
α C β E
求证： ⊥ 求证：α⊥β. 证明： 证明： α∩β=CD,则B∈CD. 设 则 ∈ A ∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD. ⊥ ， ， ⊥
∪ ∪ ∪ ∪
B
D
在平面β内过 点作直线 在平面 内过B点作直线 ⊥CD，则 内过 点作直线BE⊥ ， 就是二面角α--CD--β的平面角， 的平面角， ∠ABE就是二面角 就是二面角 的平面角 ∵AB⊥β，BE β， ⊥ ， ， 二面角α--CD--β是 ∴AB⊥BE. ∴二面角 ⊥ 是 直二面角， 直二面角，∴α⊥β. ⊥
β l α α l β
思考5:一个二面角是由一条直线和 思考5:一个二面角是由一条直线和 5: 两个半平面组成，其中直线l叫做 叫做二 两个半平面组成，其中直线 叫做二 面角的棱，两个半平面α 面角的棱，两个半平面α、β都叫 二面角的面， 做二面角的面，二面角通常记作 二面角α -β”.那么两个相交平 “二面角α-l-β”.那么两个相交平 面共组成几个二面角？ 面共组成几个二面角？
面面垂直的判定定理及性质定理
面面垂直的判定定理及性质定理
性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。
定义：
若两个平面的二面角为的直二面角(平面角就是直角的二面角)，则这两个平面互相横向。
1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的.直线垂直于另一个平面。
2、如果两个平面相互横向，那么经过第一个平面内的一点并作旋转轴第二个平面的直线在第一个平面内。
3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4、如果两个平面互相横向，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
(认定定理推断1的逆定理)。
面面垂直的基本定义与性质
面面垂直的基本定义与性质在几何学中，面面垂直是指两个平面之间的相对关系。
当两个平面互相垂直时，它们的法线向量之间的夹角为90度。
本文将详细探讨面面垂直的基本定义和性质。
一、基本定义面面垂直的定义可以用如下方式描述：给定两个平面P和Q，如果P与Q的法线向量垂直，则称P与Q是面面垂直的。
二、性质1.垂直平面的法线向量根据定义，当两个平面互相垂直时，它们的法线向量也垂直。
设P 的法线向量为n1=(a1, b1, c1)，Q的法线向量为n2=(a2, b2, c2)，则有以下关系：a1*a2 + b1*b2 + c1*c2 = 02.平面的垂直性与法线向量对于给定的平面P，任意一条与P垂直的直线的方向向量都与P的法线向量平行。
也就是说，如果v=(x, y, z)是P的法线向量，那么对于任意一条在P上的点A，向量OA=(x1, y1, z1)也与v平行。
3.平面的垂直性与交线如果两个平面P和Q是面面垂直的，那么它们的交线与它们的法线向量垂直。
设P与Q的交线为L，则L与P的法线向量n1以及L与Q的法线向量n2都垂直。
4.垂直平面的距离对于两个垂直平面P和Q，它们之间的距离可以通过以下公式计算：d = |(D1-D2)·n1/|n1||其中D1和D2分别表示平面P和Q到原点的距离，n1是P的法线向量。
5.垂直平面的投影当两个平面相互垂直时，它们的投影也相互垂直。
设平面P的法线向量为n1，点A在平面Q上，设Q的法线向量为n2，则A在Q上的投影点B与P的法线向量垂直。
6.垂直平面的内角两个垂直平面的夹角为90度。
由于两个平面的法线向量垂直，它们之间的夹角是90度。
总结：面面垂直是几何学中的一个重要概念，涉及到两个平面之间的相对关系。
本文介绍了面面垂直的基本定义和性质，包括垂直平面的法线向量、平面的垂直性与法线向量、平面的垂直性与交线、垂直平面的距离、垂直平面的投影以及垂直平面的内角等方面。
对于深入理解几何学中的垂直关系以及应用到实际问题中具有重要意义。
高中数学线面、面面垂直的判定与性质
线面、面面垂直的判定与性质知识回顾1．直线与平面垂直的判定（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α．（2）判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．4．平面与平面的垂直的判定（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．（2）面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．题型讲解题型一例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交答案：C例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案：A例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．题型二例4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C例5、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ．求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． ∴ON12CD 12AB ， ∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．题型三例6、直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于( )A ．40°B ．50°C ．90°D ．150°答案：B例7、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； (2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________． 答案：(1)45° (2)30° (3)90° 题型四例6、在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A ．13 B ．12 C ．223 D ．32答案：B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角． ∵DO ＝OB ＝BD ＝32， ∴∠BOD ＝60°．]例7、过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．答案：45° 题型五例8、下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β答案：C例9、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．9．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．题型六例10、平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A．a⊥β B．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能答案：D例11、如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．11．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24． ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝163．跟踪训练1．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( )A ．33B ．22C ． 2D ． 3答案：C[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥A 1O ，∴∠A 1OA 为二面角的平面角． tan ∠A 1OA ＝A 1AAO＝2，∴选C.2．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个 C ．有且只有一个或无数个 D ．可能不存在答案：C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 答案：A[解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C. 又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C.而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C.又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C.故选A. 4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________．答案：90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A －A′BB′的体积V ＝________.答案： 4[解析] ∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′， ∴AA′⊥β，∴V ＝13S △A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.6. 如图所示，已知PA 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过点A 作AE ⊥PC 于点E .求证：AE ⊥平面PBC .证明 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC . 而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC . 又∵AE ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AE .又∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .7．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE.证明 取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF. ∵F 为CD 的中点， ∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE.∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE.则GF ∥AB. 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB.则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG. ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD.∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF. 又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ， ∴AF ⊥平面CDE.∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE.∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE.8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．证明(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P－BC－D是45°的二面角．6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，且BC1⊥A1C．(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)若D、E分别是A1C1和BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1.11解析： (1)∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ， ∴ACC 1A 1为正方形， ∴A 1C ⊥AC 1.又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面ABC 1， 又∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC 1.(2)如图，取AA 1的中点F ，连接DF 、EF.∵D 、E 、F 分别为A 1C 1、BB 1、AA 1的中点， ∴DF ∥AC 1，EF ∥AB ，DF∩EF ＝F ， ∴平面DEF ∥平面ABC 1， ∴DE ∥平面ABC 1.。
平面与平面垂直的性质
(1)证明直线a垂直于γ内两条相交直线，从而进 一步想如何在γ内找到这两条相交直线； (2)证明直线a与γ的垂线平行，从而进一步想 如何找γ的垂线；
(1)证明直线a垂直于γ内两条相交直线，从而进 一步想如何在γ内找到这两条相交直线；
2.3.4平面与平面垂直 的性质
［复习］ 1．二面角与二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
2．平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就 说这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平 面互相垂直．
如何找γ的垂线；
a
m
n
证明：
α b cβ
γ
在作m b，在作n c(m 、n与a不重合)
m
，n
m // n
m
m //
n
又
＝a
m // m
a
a
一、两个平面垂直的性质定理
1.如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂 直 于 另 一 个 平 面.
a
b
c
α m.n β
证明：设 γ
P
于b， 于c,在内取点P（P不在b、c上） P作m b，n c
平面与平面垂直的判定与性质
C
又因为 BC⸦ α , 所以，BD ⊥BC,
因此, CBD 是直角三角形.
lA
在 RtABC 中,BC AC2 AB2 2
β
在 RtCBD 中,CD BC2 BD2 2 2．
α
B
D
已知：如图所示, α ⊥ β ,在 α 与 β 的交线上取线段 AB 3,且AC、BD
分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=1,BD=2,求CD的
O
B
小结 判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.
α
A m β
OB
α
Am lβ
On
小结 判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
直角 三角 形的 定义
勾股 逆定 理
直径所 对圆周 角是直 角
线面 垂直 的定 义
线面 垂直 的性 质
例.已知,在三棱锥 A-BCD中, AB⊥平面BCD,BC⊥CD.请问在三棱锥
（1）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.
（×）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（2）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.
（× ）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（3）. 如果平面α内的一条直线 l 垂直于平面β内的两条相交直线, 则
α⊥β.（ √ ）
l⊥β ，l ⸦ α，则α⊥β.
长．
α
C
lA
B
β
D
课堂小结
1、面面垂直的判定定理：证明两个平面相互垂直、寻找平面的垂面 2、判断两个平面互相垂直的方法：⑴定义 ⑵判定定理 3、面面垂直的性质定理：线面垂直的判断方法
两个平面垂直的判定和性质
P F
P
ABC 90 , 是 ABC 所在平面外一点，
PA PB PC
求证：平面 PAC 平面 ABC
P
A
O
C B
若条件加为 AB AC ？
小结：
（1）两个平面垂直的定义； （2）两个平面垂直的判定： ① 定义法：找出这两个平面所成的二 面角证 明其为直二面角； ② 判定定理：线面垂直 面面垂直 即 l ,l
（2）面 ACFE 面 BB1 D1 D
（3）面 ACG 面 BB1 D1 D
A1 D1 C1
F
E B1
G
D
A B
C
PA 面ABC 例3 P 为ABC 所在平面外一点，
AE PB 于 E ABC 90 ，
AF PC 于 F ，求证 ，
（1）平面AEF 平面
PBC
（2）平面AEF 平面 PAC
入袅诚申殿,俺也不会有意见,虽然是俺将他从雪伦国接回来の.”女娲淡淡の语气说道.“哈哈,好！”袅诚殿主笑了壹声说道.在他看来,鞠言已经是他の囊中之物.他袅诚,在鸿钧天宫资格老,底蕴丰厚,无论从哪壹个方向来说,都不是女娲殿主能比の.那鞠言只要不傻,肯定不会放着袅诚 申殿不选而选女娲申殿.女娲申殿只是壹个新建立の申殿,进去能有哪个前途?“女娲殿主,鞠言此事安顿在何处?不如,俺们现在就过去见见他,看他是哪个想法.”袅诚殿主又说道.他是想快刀斩乱麻.鞠言是女娲殿主带回来の,二人肯定有了壹定の熟悉.袅诚也是担心,拖延事间后,女娲暗 中劝说鞠言加入女娲申殿.现在他让女娲带着立刻去见鞠言,就没有呐种顾虑了.“能够,那俺带袅诚殿主过去.”女娲点头,没有迟疑就答应了下来.“俺也去看看呐个鞠言.”“哈哈,俺现在也没事,壹起过去.”倒是还有两位殿主,都想跟着女娲殿
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判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
面面垂直的判定方法
① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是
②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥
平面与平面垂直的性质
一、 选择题：
1、下列命题中，不正确的是（ ）
A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面
B. 平面的垂线一定与平面相交
C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直
D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论：
①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内；
③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。
其中真命题是：（ ）
A. ②
B. ③
C. ①、④
D. ②、③
3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（ ）
A. 2.5
B. 5
C. 10
D. 8
4、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：
①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥；
③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（ ）
A. ①、②
B. ③、④
C. ①、④
D. ②、③
5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,
B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//
C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,
D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,
6、若m n ，是两条不同的直线，α、β、γ三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥
B ．若m αγ=,n βγ=，m n ∥，则αβ∥
C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥
D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥
二、填空题
7、两个平面互相垂直，一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是
8、设直线l 和平面βα、，且βα⊄⊄l l ,，给出如下三个论证:①α⊥l ；②βα⊥；③l ∥β
从中任取两个作条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题是
9、下面四个命题： ①三个平面两两互相垂直，则它们的交线也两两互相垂直；
②三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直；
③分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直；④分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直。
其中正确命题的序号是
三、解答题：
10、已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90
底面ABCD ，且PA=AD=DC=2
1AB=1，M 是PB 的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。
③面面垂直的判定定理：a
a
α
β
⊂
⊥
⇒αβ
⊥
平面与平面垂直的判定
一、选择题：
1、若三条直线OA、OB、OC两两垂直，则直OA垂直于（）
A 平面OA
B B 平面OA
C C 平面OBC
D 平面ABC
2、设α、γ
β、为不同的平面，l、m为两条不同的直线，则下列条件中不能推出α⊥β的是（）
A l⊥m，l⊥α，m⊥β
B l⊥m，l⊆α，m⊆β
C α⊥γ，β∥γ
D l∥m，l⊥α，m⊆β
在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，若PA⊥平面ABCD，则在此四棱锥的五个面中互相垂直的平面共有（）
A 3对
B 4对
C 5对
D 6对
4、已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命
题的个数是（）
A 0
B 1
C 2
D 3
5、设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则
l∥m；②若l⊥m，则α⊥β．那么( )
A ①是真命题，②是假命题
B ①是假命题，②是真命题
C ①②都是真命题
D ①②都是假命题
6、在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立
．．．的是（）
A BC//平面PDF
B DF⊥平面P AE
C 平面PDF⊥平面ABC
D 平面P AE⊥平面ABC
二、填空题
7、已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//.
（i ）当满足条件 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 时，有β⊥m .（填所选条件的序号）
8、已知直线AO ⊥平面α于O ，直线OB ⊥AO ，则OB 与平面α的关系是 。
9、直角三角形ABC 的斜边在平面内，两条直角边分别与平面α成30°和45°，则这个直角三角形所在的平面与平面α所成二面角为 。
三、解答题：
10、在矩形ABCD 中，已知AB=2,BC=2,E 为BC 中点，把⊿ABE 和⊿CDE 分别沿AE 、DE 折起，使点B 与点C 重合于点P 。
（1）求证：平面PDE ⊥平面APD ；（2）求二面角P-AD-E 的大小。