平面与平面垂直的性质和判定

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直。

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

面面垂直的判定方法
① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是
②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥
平面与平面垂直的性质
一、 选择题：
1、下列命题中，不正确的是（ ）
A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面
B. 平面的垂线一定与平面相交
C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直
D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论：
①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内；
③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。

其中真命题是：（ ）
A. ②
B. ③
C. ①、④
D. ②、③
3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（ ）
A. 2.5
B. 5
C. 10
D. 8
4、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：
①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥；
③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（ ）
A. ①、②
B. ③、④
C. ①、④
D. ②、③
5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,
B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//
C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,
D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,
6、若m n ，是两条不同的直线，α、β、γ三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥
B ．若m αγ=,n βγ=，m n ∥，则αβ∥
C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥
D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥
二、填空题
7、两个平面互相垂直，一条直线与其中一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是
8、设直线l 和平面βα、，且βα⊄⊄l l ,，给出如下三个论证:①α⊥l ；②βα⊥；③l ∥β
从中任取两个作条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题是
9、下面四个命题： ①三个平面两两互相垂直，则它们的交线也两两互相垂直；
②三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直；
③分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直；④分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直。

其中正确命题的序号是
三、解答题：
10、已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90
底面ABCD ，且PA=AD=DC=2
1AB=1，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角； （Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。

③面面垂直的判定定理：a
a
α
β
⊂
⊥
⇒αβ
⊥
平面与平面垂直的判定
一、选择题：
1、若三条直线OA、OB、OC两两垂直，则直OA垂直于（）
A 平面OA
B B 平面OA
C C 平面OBC
D 平面ABC
2、设α、γ
β、为不同的平面，l、m为两条不同的直线，则下列条件中不能推出α⊥β的是（）
A l⊥m，l⊥α，m⊥β
B l⊥m，l⊆α，m⊆β
C α⊥γ，β∥γ
D l∥m，l⊥α，m⊆β
在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，若PA⊥平面ABCD，则在此四棱锥的五个面中互相垂直的平面共有（）
A 3对
B 4对
C 5对
D 6对
4、已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命
题的个数是（）
A 0
B 1
C 2
D 3
5、设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则
l∥m；②若l⊥m，则α⊥β．那么( )
A ①是真命题，②是假命题
B ①是假命题，②是真命题
C ①②都是真命题
D ①②都是假命题
6、在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立
．．．的是（）
A BC//平面PDF
B DF⊥平面P AE
C 平面PDF⊥平面ABC
D 平面P AE⊥平面ABC
二、填空题
7、已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//.
（i ）当满足条件 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 时，有β⊥m .（填所选条件的序号）
8、已知直线AO ⊥平面α于O ，直线OB ⊥AO ，则OB 与平面α的关系是 。

9、直角三角形ABC 的斜边在平面内，两条直角边分别与平面α成30°和45°，则这个直角三角形所在的平面与平面α所成二面角为 。

三、解答题：
10、在矩形ABCD 中，已知AB=2,BC=2,E 为BC 中点，把⊿ABE 和⊿CDE 分别沿AE 、DE 折起，使点B 与点C 重合于点P 。

（1）求证：平面PDE ⊥平面APD ；（2）求二面角P-AD-E 的大小。