必修2 圆与方程知识点归纳总结
高中数学必修二圆与方程
高中数学必修二圆与方程高中数学必修二：圆与方程圆和方程作为高中数学必修二中的重要知识点，是数学学习中的基础内容。
圆是平面上到给定点距离等于定值的点的集合，是几何中的重要图形之一；而方程则是描述数学关系的一种数学语言。
本文将详细讲解圆和方程的相关知识，帮助读者更好地理解和掌握这些内容。
1. 圆的基本概念在几何中，圆是一个封闭曲线，由一个平面上所有到指定点距离相等的点组成。
圆的基本要素包括圆心、半径、直径、弦、弧等。
圆心是圆的中心点，通常用字母O表示；半径是从圆心到圆周上任意点的距离，通常用字母r表示；直径是通过圆心的两个端点的线段，通常用字母d表示。
弦是连接圆上两点的线段，弧是圆上的一段曲线。
圆的周长公式为C=2πr，面积公式为S=πr²。
2. 圆的相关定理在学习圆的过程中，我们需要掌握一些重要的定理，如圆的相交、切线、相切等相关定理。
其中，切线与圆的切点垂直、相切圆的切线垂径于切点等定理是解题中经常用到的重点内容。
此外，根据圆的位置关系，我们还可以推导出诸如同位角、同弦、相等弧等相关定理，这些定理在解题中能够帮助我们更快更准确地完成题目。
3. 圆的参数方程在高中数学中，我们还需要学习圆的参数方程。
当圆的中心不在坐标原点时，我们可以通过参数方程的方式来描述圆的位置。
圆的参数方程一般为x=rcosθ，y=rsinθ，其中θ为参数，r为半径。
通过参数方程，我们可以方便地描述圆的位置和形状，是解决复杂问题时的重要工具。
4. 一元二次方程另一个重要的数学概念是一元二次方程。
一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数且a≠0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。
掌握一元二次方程的解题方法对于高中数学的学习至关重要，同时也是解决实际问题的基础。
5. 二次函数一元二次方程的图像是抛物线，对应的函数为二次函数。
二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a≠0。
高中数学必修2《圆与方程》知识点讲义
高中数学必修2《圆与方程》知识点讲义第四章圆与方程一、圆的标准方程(某a)(yb)r222特殊：某2y2r2点M(某0,y0)与圆(某a)2+(yb)2=r2的关系的判断方法：(1)(某0a)2+(y0b)2r2,点在圆外.(2)(某0a)2+(y0b)2=r2,点在圆上.(3)(某0a)2+(y0b)2r2,点在圆内.二、圆的一般方程某yD某EyF0(其中DE4F0)22221、某2和y2的系数相同，不为0.2、没有某y这样的项.D2E2D2E24F圆的一般方程标准方程：(某)+(y)=224配方DE可知圆心为(-,),半径r22D2E24F2三、直线与圆的位置关系1、代数法0相交A某ByC0一元二次方程20相切2某yD某EyF00相离2、几何法相交圆心到直线的距离d半径r相切相离说明：几何法比代数法更简便。
四、圆的切线1、求过圆O上一点P(某0,y0)的切线l的方法：步骤：1、求kop;2、由kopkl=-1,求出kl;3、用点斜式:yy0kl(某某0),得出切线方程.2、求过圆O外一点P(某0,y0)的圆的切线方程的方法：步骤：1、设直线为yy0k(某某0),2、由dr列出方程，解出k,从而得到切线方程.五、圆与圆的位置关系设圆O1与圆O2的半径分别为r1,r2.O1O2d.则圆与圆有以下5种位置关系：（1）相离：dr1r2（2）外切：dr1r2（3）相交：r1r2dr1r2（4）内切：dr1r2（5）内含：dr1r2说明：判断圆与圆的位置关系有代数法和几何法，几何法运算量小，是常用方法。
六、求弦长1、几何法AB=2r2d22、代数法弦长公式AB=1k2某1某21k2(某1某2)24某1某2或AB=1112yy1(yy)4y1y2121222kk七、空间直角坐标系1、空间直角坐标系(1)点M对应着唯一确定的有序实数组(某,y,z)，某、y、z分别是P、Q、R在某、y、z轴上的坐标(2)有序实数组(某,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点(3)空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(某,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(某,y,z)，某叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。
圆与方程知识点归纳总结
圆与方程r 为半径的圆的标准方程是 (x_a)2+(y-b)2m 2 .特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：x 2+y 2=r 2.2.点与圆的位置关系: (1).设点到圆心的距离为 d ，圆半径为a.点在圆内 <=>d < r ;b.点在圆上 <=>d=r ;c. (2) . 给定点 M(x o,y o)及圆 C:(x —a)2+(y —b)2^2.(3)涉及最值:思考：过此 A 点作最短的弦？(此弦垂直 AC )3.圆的一般方程：X 2+ y 2+Dx +Ey+F=o .(1)当D 2+E 2MF A O 时，方程表示一个圆，其中圆心c (-p-号］，半径r= DOfF1.圆的标准方程： 以点C(a,b)为圆心,点在圆外 Un d > r①M 在圆C 内二 (xov)2+(yo4)2<r 2②M 在圆C 上二 (x o-a)2+(yo4)2m 2③M 在圆C 外二(XoV)2+(yo4)2>r 2P ，讨论PB 的最值PB—minPB maxBMP ，讨论PA 的最值PA = AN min PA = AMmax=BC -r=r - AC =r + AC①圆外一点B ，圆上一动点当D 2忘—4F =0时，方程表示一个点e ，勻 当D 2+E 2/F <0时，方程不表示任何图形.方程 Ax ? + Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：B =0且 A = C H 0且D 24E 2/AF >0 .4. 直线与圆的位置关系:直线 Ax +By +C =0与圆(x-a)2+(y -b)2 = r 2l Ax + By+^0求解，通过解[x + y + Dx + Ey + F = 0的个数来判断:(1) 当i >0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交; (2) 当A =0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切; (3) 当也<0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系(1)设两圆 G :(X —aj 2 + (y — b,)2 与圆 C ：: (x — a ：)2 +(y — b ：)2 = q 2，圆心距 d = J (a i -&2)2+(b , -b ?)2d >「1 +「2 U 外离二4条公切线； d U 外切二3条公切线；h —订c d G +「2二相交U 2条公切线；1) 2) 3)Aa + Bb +C 圆心到直线的距离 d =J A 2 +B 2直线与圆相离U 无交点； =r =直线与圆相切 二只有一个交点；<r u 直线与圆相交 U 有两个交点；弦长|AB| =2丿『-d 2还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 =半径，即2 2圆 G : X2+ y 2+ Dj X + 巳 y + R = 0 , 圆 C 2 : X2+ y 2+ D 2X + E 2y + F 2 =0，则(D i — D2 )x +(E i —E2 )y +(F I — F 2 ) = 0为两相交圆公共弦方程. 补充说明:① 若C l 与C 2相切，则表示其中一条公切线方程; ② 若C i 与C 2相离，则表示连心线的中垂线方程(3 )圆系问题过两圆 G : X2+ 寸 +D 1x+E 1y+ F 1=0 和 C ?:X2+ y 2 + D 2X + E 2y+ F 2 = 0 交点的圆系2 2 2 2x +y + D 1x + E 1y + F 1+ A (X +y + D 2x + E 2y + F 2) = 0 (二丰-1)补充:上述圆系不包括 C 2 ；2)当A = -1时，表示过两圆交点的直线方程(公共弦)过直线Ax+B 护 C0与圆x2+ y 2+Dx + Ey + F= 0交点的圆系方程为+ Dx+Ey + F +几(Ax +By +C )=06. 过一点作圆的切线的方程: (1) 过圆外一点的切线：方程为 + y 2(2)两圆公共弦所在直线方程④ d =1^ -引二内切U 1条公切线；①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即:yi_y o=k(X i —X o ) b_yi_4<(a =1)] LR=求解k ,得到切线方程【一定两解】 例1.经过点P(1，— 2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为特别地，过圆x 24y2T2上一点P(x 0,y 0)的切线方程为X 0x+y 0y2 2例2.经过点P( — 4，— 8)点作圆(X+7) +( y+8) =9的切线，则切线方程为2=r 外一点P(X 0,y 0)作O C 的两条切线，切点分别为A 、B , (X 0 -a)(x-a) +(y 0 -b)(y -b) =r 28.切线长：若圆的方程为(x-a )2d = J (x 0 -a)2+ (y 。
高中数学必修2知识点总结第四章-圆与方程
第四章 圆与方程知识点与习题★ 1、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设 M （ x,y ）为⊙ A 上任意一点，则圆的集合可以写作： P = { M | |MA| = r}★ 2、圆的方程（1）标准方程 x a 2y 2r 2，圆心 a,b ，半径为 r ； b 点 M (x 0 , y 0 ) 与圆( xa) 2 ( y b) 2r 2 的位置关系：当( x 0 a)2 ( y 0 b)2> r 2，点在圆外 ;当 (x 0 a) 2( y 0 b)2= r 2，点在圆上当 ( x 0a)2( y 0 b)2< r 2 ，点在圆内 ;（2）一般方程 x 2y 2Dx EyF 02 2 2 2（ D 2 E 24F 0 ）（x+D/2) +(y+E/2) =(D +E -4F)/41 D 2当 D 2E 2 4F 0 时，方程表示圆，此时圆心为D ,E ，半径为 r E 2 4F 2 2 2当 D 2E 24F 0 时，表示一个点；当 D 2E 2F0 时，方程不表示任何图形。
4（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a ， b ， r ；若利用一般方程，需要求出 D ， E ， F ； 直接法： 直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置 。
★ 3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有 相离，相切，相交 三种情况：（1）设直线 l : Ax By C 0，圆 C :x a 2 y b 2 r 2 Aa Bb C ， ，圆心 C a, b 到 l 的距离为 d B 2A 2则有 d r l 与 C 相离 ；drl 与 C 相切 ； d r l 与 C 相交 （2）过圆外一点的切线 ：设点斜式方程，用 圆心到该直线距离 =半径 ，求解 k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线）2 2 2(3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 ： 圆 (x-a) +(y-b) =r ， 圆 上 一 点 为 (x0 ， y0) ， 则 过 此点 的 切 线 方 程 为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系判断条件公切线条数外离ｄ＞ｒ 1+ｒ 2 4 条外切ｄ＝ｒ1+ｒ2 3 条相交| ｒ 1-ｒ 2| ＜ｄ＜ｒ 1+ｒ 2 2 条内切ｄ＝ | ｒ 1-ｒ 2| 1 条内含ｄ＜ | ｒ1-ｒ2| 0 条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
必修二数学圆与方程知识点总结（精选3篇）
必修二数学圆与方程知识点总结（精选3篇）必修二数学圆与方程知识点总结篇11、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2、圆的方程(1)标准方程，圆心，半径为r；(2)一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.3、直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况:(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；(2)过圆外一点的切线:①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r24、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定.设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定.当时两圆外离，此时有公切线四条。
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条。
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线。
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线。
当时，两圆内含；当时，为同心圆。
注意:已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线。
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点。
数学集合的运算知识点运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B 的并集.记作：AB(读作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).学数学的方法学习方法很多女生在学习数学的时候喜欢按部就班，注重基础，但是却很少做难题，所以便导致了解题能力薄弱。
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系 判断条件 公切线条数外离 ｄ＞ｒ1+ｒ2 4条 外切 ｄ＝ｒ1+ｒ2 3条 相交 |ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ2 2条 内切 ｄ＝|ｒ1-ｒ2| 1条 内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
必修二数学圆与方程知识点总结
必修二数学圆与方程知识点总结1. 圆的定义：圆是由平面上与一点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆的元素：圆心、半径。
可以用(x-a)² + (y-b)² = r²表示，其中(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径。
3. 圆的方程：一般方程：Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数，A和B不能同时为零。
4. 圆的标准方程：(x-h)² + (y-k)² = r²，其中(h,k)表示圆心的坐标，r表示半径。
5. 圆的性质：- 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，直径的长度是半径的两倍。
- 圆的半径垂直于切线，切线与半径的夹角为90度。
- 圆的弦是圆上两点之间的线段，弦的中点与圆心连线垂直，且中点在弦的中垂线上。
- 圆的弧是圆上的一段连续的线段。
- 圆心角是以圆心为顶点的角，在弧上所对的圆心角相等的弧相等。
6. 圆的相关公式：- 圆的周长：C = 2πr，其中r为半径。
- 圆的面积：A = πr²，其中r为半径。
7. 方程相关知识点：- 一次方程：形如ax + b = 0的方程，其中a和b为常数，a ≠ 0。
- 二次方程：形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
- 一元二次方程：只含有一个未知数的二次方程。
- 二元二次方程：同时含有两个未知数的二次方程。
- 解方程的方法：因式分解法、配方法、求根公式等。
这些是必修二数学中关于圆与方程的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！。
高一数学必修二圆与方程知识点整理
圆及方程?学问点整理一、标准方程()()222x a y b r -+-=——关键是求出圆心(),a b 和半径r①待定系数：往往圆上三点坐标，例如教材119P 例2②利用平面几何性质 往往涉及到直线及圆的位置关系，特殊是：相切和相交 相切：利用到圆心及切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的间隔 公式及垂径定理 二、一般方程 ()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程那么 222200004040A B A B C C D E AF D E F A A A ⎧⎪=≠=≠⎧⎪⎪⎪=⇔=⎨⎨⎪⎪+->⎩⎛⎫⎛⎫⎪+-⋅> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 2.求圆的一般方程一般可采纳待定系数法：3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围三、圆系方程：四、参数方程：五、点及圆的位置关系1.推断方法：点到圆心的间隔 d 及半径r 的大小关系d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外2.涉及最值：〔1〕圆外一点B ，圆上一动点P ，探讨PB 的最值 min PB BN BC r ==-max PB BM BC r ==+〔2〕圆内一点A ，圆上一动点P ，探讨PA 的最值min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+思索：过此A 点作最短的弦？〔此弦垂直AC 〕六、直线及圆的位置关系1.推断方法〔d 为圆心到直线的间隔 〕〔1〕相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>〔2〕相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=〔3〕相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<这一学问点可以出如此题型：告知你直线及圆相交让你求有关参数的范围.〔1〕学问要点①根本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 及圆C 相切意味着什么？圆心C 到直线l 的间隔 恰好等于半径r〔2〕常见题型——求过定点的切线方程①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无②求切线方程的方法及留意点．．．i 〕点在圆外如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特殊留意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x =〕点在圆上1） 假设点()00x y ，在圆222x y r +=上，那么切线方程为200x x y y r +=会在选择题及填空题中运用，但肯定要看清题目.2） 假设点()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，那么切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--=遇到一般方程那么可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过肯定点求某圆的切线方程，特别重要的第一步就是——推断点及圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用根本图形，222AP CP r AP =-⇒=〔1〕求弦长及弦长的应用问题垂径定理．．．．及勾股定理——常用 弦长公式：12l x =-=〔2〕推断直线及圆相交的一种特殊方法〔一种巧合〕：直线过定点，而定点恰好在圆内. 〔3〕关于点的个数问题例：假设圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的间隔 为1，那么半径r 的取值范围是. 答案：()4,6会对直线及圆相离作出推断〔特殊是涉及一些参数时〕七、对称问题 ()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，那么实数m 的值为. 答案：3〔留意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去〕变式：点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上随意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，那么实数a =. ()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是.变式：圆1C ：()()22421x y -+-=及圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，那么直线l 的方程为.()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是.八、最值问题方法主要有三种：〔1〕数形结合；〔2〕代换；〔3〕参数方程x ，y 满意方程22410x y x +-+=，求：〔1〕5y x -的最大值和最小值；——看作斜率 〔2〕y x -的最小值；——参数法； 截距〔线性规划〕 〔3〕22x y +的最大值和最小值.——两点间的间隔 的平方AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可！(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，那么c 的取值范围是. 答案：1c ≥〔数形结合和参数方程两种方法均可！〕七、圆的参数方程 ()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 八、相关应用240mx ny +-=〔m ，n R ∈〕，始终平分圆224240x y x y +---=的周长，那么m n ⋅的取值范围是.C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，假设存在，写出直线l 的方程，假设不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --=C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B ，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标. C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=〔m R ∈〕 〔1〕证明：不管m 取什么值，直线l 及圆C 均有两个交点；〔2〕求其中弦长最短的直线方程.y x k =-+及曲线x =k 的取值范围.2260x y x y m ++-+=及直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，假设存在，求出m 的值；假设不存在，说明理由.九、圆及圆的位置关系1.推断方法：几何法〔d 为圆心距〕〔1〕12d r r >+⇔外离 〔2〕12d r r =+⇔外切〔3〕1212r r d r r -<<+⇔相交 〔4〕12d r r =-⇔内切〔5〕12d r r <-⇔内含圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，那么()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：假设1C 及2C 相切，那么表示其中一条公切线方程；假设1C 及2C 相离，那么表示连心线的中垂线方程.3圆系问题〔1〕过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=〔1λ≠-〕 说明：1〕上述圆系不包括2C ；2〕当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程〔公共弦〕 〔2〕过直线0Ax By C ++=及圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=〔3〕有关圆系的简洁应用〔4〕两圆公切线的条数问题①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线十、轨迹方程〔1〕定义法〔圆的定义〕：略〔2〕干脆法：通过条件干脆得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程. 分析：222OP AP OA += 〔3〕相关点法〔平移转换法〕：一点随另一点的变动而变动 ↓ ↓动点 主动点特点为：主动点肯定在某一的方程所表示的〔固定〕轨迹上运动.法2：〔参数法〕设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=，那么 223cos ,3sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设(),G x y ，那么()()233cos 3cos 231cos cos 133323sin 3sin 23sin sin 2333A B C A B C x x x x y y y y πθθπθθπθθπθθ⎧⎛⎫+++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭⎪===+++ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++ ⎪⎪++⎛⎫⎝⎭===++⎪ ⎪⎝⎭⎩4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,122x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量〔即参数〕表示，通过消．参．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围. 〔4〕求轨迹方程常用到得学问①重心(),G x y ，33A B C A B C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ③内角平分线定理：BD AB CD AC= ④定比分点公式：AM MB λ=，那么1A B M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理.。
必修二数学圆与方程知识点总结
必修二数学圆与方程知识点总结必修二数学圆与方程知识点总结总结就是把一个时段的学习、工作或其完成情况进行一次全面系统的总结，它可以提升我们发现问题的能力，因此十分有必须要写一份总结哦。
总结一般是怎么写的呢？下面是小编收集整理的必修二数学圆与方程知识点总结，希望对大家有所帮助。
必修二数学圆与方程知识点总结1圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y 的降幂排列，得：x+y—2ax—2by+a+b—R=0设D=—2a，E=—2b，F=a+b—R；则方程变成：x+y+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。
把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：（1）x2项和y2项的系数相等且不为0（在这里为1）；（2）没有xy的乘积项。
Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A（a1，b1），B（a2，b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x—a1）（x—a2）+（y—b1）（y—b2）=0 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x+y=r上一点M（a0，b0）的切线方程为a0·x+b0·y=r 在圆（x+y=r）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A，B，则A，B两点所在直线的方程也为a0·x+b0·y=r。
圆的性质有哪些1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等。
圆是一种几何图形，指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合。
这个给定的点称为圆的圆心。
作为定值的距离称为圆的半径。
当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹就是一个圆。
圆的直径有无数条；圆的对称轴有无数条。
圆的直径是半径的2倍，圆的半径是直径的一半。
用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示。
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
高一数学必修二《圆与方程》知识点整理一、标准方程1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2②利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 ()2220x y r r +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b a b -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y a a -+=≠圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()2220x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b a a b -+-==≠二、一般方程1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P 例r 43.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d为圆心到直线的距离）（1）相离⇔没有公共点⇔0d r∆<⇔>（2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r∆=⇔=（3）相交⇔有两个公共点⇔0d r∆>⇔<这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2.直线与圆相切（1）知识要点①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l与圆C相切意味着什么？圆心C到直线l的距离恰好等于半径r（2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无②求切线方程的方法及注意点．．．i）点在圆外如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x =ii ）点在圆上1）若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2）若点()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，则切线方程为 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-⇒=求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC AP AC rk k ⎧=⎨⋅=-⎩3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．及勾股定理——常用弦长公式：12l x =-=（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,6 4.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题1.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____. 答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去）变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.2.圆()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________.变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.3.圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________. 4.已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫⎪⎝⎭？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由. 六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 1.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求： （1）5yx -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方2.已知AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可！3.设(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是____________. 答案：1c ≥-（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数 ()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 八、相关应用1.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈），始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是______________.2.已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --= 3.已知圆C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B ，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标.4.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈） （1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线y x k =-+与曲线x =k 的取值范围.6.已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d 为圆心距）（1）12d r r >+⇔外离 （2）12d r r =+⇔外切 （3）1212r r d r r -<<+⇔相交 （4）12d r r =-⇔内切 （5）12d r r <-⇔内含 2.两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明：若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程； 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题（1）过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）说明：1）上述圆系不包括2C ；2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=（3）有关圆系的简单应用 （4）两圆公切线的条数问题①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动动点 主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.例 2.已知圆O ：229x y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3BAC π∠=，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程.法1：3BAC π∠=Q ，BC ∴为定长且等于设(),G x y ，则33333A B C B C A B C BC x x x x x x y y y y y y ++++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩取BC 的中点为33,24E x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，32E y ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦222OE CE OC +=Q ，2294E E x y ∴+=L L （1） 2222B C E B C E B C E B CEx x x x x x y y y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=+⎩⎪=⎪⎩，3233322323E E E E x x x x y y y y +-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故由（1）得：()222233393110,,12242x y x y x y ⎛⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎫+=⇒-+=∈∈ ⎥ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦法2：（参数法）设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=，则 设(),G x y ，则4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,12x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦ 参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围. （4）求轨迹方程常用到得知识①重心(),G x y ，33A B C A B C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ③内角平分线定理：BD AB CD AC= ④定比分点公式：AM MB λ=，则1AB M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理.。
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圆与方程
1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.
2. 点与圆的位置关系：
(1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内
d ＜r ； b.点在圆上
d=r ； c.点在圆外
d ＞r
(2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔
②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔
（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔ （3）涉及最值：
① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值
min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+
② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值
min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+
思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）
3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .
(1) 当042
2
>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭
⎫
⎝⎛--2,2E D C ，半径2
422F
E D r -+=
.
(2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫
⎝
⎛--
2,2E D . (3) 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.
注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且
0422φAF E D -+.
4. 直线与圆的位置关系：
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离2
2
B
A C Bb Aa d +++=
1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；
3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r -
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0
2
2
F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解
的个数来判断：
（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；
5. 两圆的位置关系
（1）设两圆2
121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2
22
2222)()(:r b y a x C =-+-，
圆心距2
21221)()(b b a a d -+-= ① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； ② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ； ③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；
④ 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ； ⑤ 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；
外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程
圆1C ：22
1110x y D x E y F ++++=， 圆2C ：22
2220x y D x E y F ++++=，
则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明：
① 若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.
（3）圆系问题
过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：22
2220x y D x E y F ++++=交点的圆系
方程为()
22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-） 补充：
① 上述圆系不包括2C ；
② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
③ 过直线0Ax By C ++=与圆2
2
0x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为
()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=
6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立
②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即
⎪
⎩
⎪
⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k ，得到切线方程【一定两解】
例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2
+(y —2)2
=4的切线，则切线方程为 。
(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x —a )2
+(y —b )2
=r 2
，圆上一点为(x 0，y 0)， 则过此点的切线方程为(x 0—a )(x —a )+(y 0—b )(y —b )= r 2
特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.
例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2
+(y+8)2
=9的切线，则切线方程为 。
7．切点弦
(1)过⊙C ：2
22)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作⊙C 的两条切线，切点分别为B A 、，
则切点弦AB 所在直线方程为：2
00))(())((r b y b y a x a x =--+--
8. 切线长：
若圆的方程为(x -a )2
(y -b )2=r 2
，则过圆外一点P (x 0,y 0)的切线长为
d =22020b)(+)(r y a x ---．
9. 圆心的三个重要几何性质：
① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上；
③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法
例.已知圆C 1：x 2
+y 2
—2x =0和圆C 2：x 2
+y 2
+4 y =0，试判断圆和位置关系， 若相交，则设其交点为A 、B ，试求出它们的公共弦AB 的方程及公共弦长。