广东省肇庆市中小学教学质量评估2012届高中毕业班第一次模拟试题数学(理科)

肇庆市中小学教学质量评估 2012届高中毕业班第一次模拟试题数 学（理科）注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数(5)(3)z x x i =-+-在复平面内对应的点位于第三象限，则实数x 的取值范围是 A. (,5)-∞ B. (3,)+∞ C. (3,5) D. (5,)+∞ 2．已知集合{0,1,2}M =，集合N 满足N M ⊆，则集合N 的个数是 A.6 B. 7 C. 8 D. 93．已知函数()lg f x x =的定义域为M ，函数2,231,1x x y x x ⎧>=⎨-+<⎩的定义域为N ，则M N =A. (0,1)B. (2,)+∞C. (0,)+∞D. (0,1)(2,)+∞ 4．“1m <”是“函数2()f x x x m =++有零点”的 A ．充分非必要条件 B.充要条件 C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件 5．已知函数()(cos 2cos sin 2sin )sin f x x x x x x =+，x ∈R,则()f x 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 6．已知向量(4,3)=a , (2,1)=-b ，如果向量λ+a b 与b 垂直，则|2|λ-a b 的值为 ( )A ．1B C.5 D ．7．已知,x y 满足3,2,326,39x y x x y y x ≤⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪≤+⎩，则2z x y =-的最大值是( ).A. 152B. 92C. 94D. 28．设M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数λ和向量M ∈a ,都有M λ∈a ,则称M 为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是A.2{(,)|}x y y x ≥B.0(,)|0x y x y x y ⎧-≥⎫⎧⎨⎨⎬+≤⎩⎩⎭C.22{(,)|20}x y x y y +-≥D.22{(,)|32120}x y x y +-<二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．2||2||150x x -->的解集是 ▲ .10．在1041x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 ▲ .（用数字作答）11．某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛中获奖的人数共有 ▲ 人.12.短轴长为离心率23e =的椭圆的两焦点为12,F F ,过1F 作直线交椭圆于,A B 两点,则2ABF ∆的周长为 ▲13．如果实数,x y 满足等式22(2)1x y -+=,那么31y x +-的取值范围是 ▲（ ） ▲14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值为 ▲ 15．（几何证明选讲选做题）如图2，点P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的一切线,D 是切点，割线经过圆心O ，若030=∠EFD ，32=PD ，则=PE ▲三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-. （I ）求{}n a 的通项n a ； （II ）设52n n a c -=，2n cn b =,求2122232log log log log n T b b b b =++++ 的值。

17.（本小题满分13分）2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。

交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图3所示：(Ⅰ)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？(Ⅱ)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？(Ⅲ)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求抽取的2名驾驶人员中四川籍人数ξ的分布列及其均值（即数学期望）。

18. （本题满分13分）已知△ABC 的面积为，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3,4,a b ==090o C <<.（Ⅰ）求sin()A B +的值；（Ⅱ）求cos 24C π⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（Ⅲ）求向量,CB AC的数量积CB AC ∙ .19.（本小题满分14分）如图4，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC 垂直，2,BC AC AB ===11AA AC ==(Ⅰ) 求侧棱1B B 在平面11A ACC 上的正投影的长度． (Ⅱ) 设AC 的中点为D ，证明1A D ⊥底面ABC ； (Ⅲ) 求侧面11A ABB 与底面ABC 所成二面角的余弦值；20. （本小题满分14分）已知圆C 与两圆22(4)1x y ++=，22(2)1x y +-=外切，圆C 的圆心轨迹方程为L ，设L 上的点与点(,)M x y 的距离的最小值为m ，点(0,1)F 与点(,)M x y 的距离为n . (Ⅰ)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；（Ⅱ）求满足条件m n =的点M 的轨迹Q 的方程；（Ⅲ）试探究轨迹Q 上是否存在点11(,)B x y ，使得过点B 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于12。

若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分） 设函数()()2ln 1f x x a x =++.(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()()F x f x =+12,x x 且12x x <，求证21()4F x >． 肇庆市中小学教学质量评估 2012届高中毕业班第一次模拟试题数 学（理科）参考1C 解析：由题意可知，503530x x x -<⎧⇒<<⎨-<⎩2C 解析：集合N 有,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}∅共8个3D 解析：由已知得(0,),(,1)(2,)(0,1)(2,)M N M N =+∞=-∞+∞⇒=+∞4C 解析：函数2()f x x x m =++有零点，114014m m m ∆=-≥⇒≤⇒<，反之不然. 5A 解析：∵1()(cos 2cos sin 2sin )sin cos sin sin 22f x x x x x x x x x =+==,∴函数()f x 是最小正周期为π的奇函数6D 解析：(4,3)(2,1)(42,3)λλλλ+=+-=-+a b ，∵()λ+⊥a b b , ∴(42,3)(2,1)0λλ-+∙-=,解得1λ=,2(8,6)(2,1)(10,5)λ-=--=a b|2|λ-==a b7B 解析:不等式组表示的平面区域如图所示.角点坐标分别为333,,3,,(3,4),(0,3)242A B C D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,99,,2,342A B C D z z z z ====- 8B 解析:由题知不可能是曲边界的区域，如果边界为曲边区域，当向量M ∈a ，对任意正实数λ所得的向量λa 不能再通过平移到原区域内，所以排除A 、C 、D ，给出图像，易知B 正确．9解析：(,5)(5,)-∞-+∞ . ∵2||2||150x x -->,∴||5x >或||3x <- (舍去).∴5x <-,或5x >.10解析:45. 1041x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为T r+1=r rr r r x C x xC 54010)10(410)1(--=，令40-5r=0,解得r=8，代入得常数项为210810C C ==45. 11解析：11. 由图知，成绩在[13,15)内的人数为：50(0.060.16)11⨯+=（人） 所以这次百米比赛中获奖的人数共有11人.12解析:6. 由题知⎪⎩⎪⎨⎧==3252a c b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=9425222a b a b ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2523b a由椭圆的定义知△ABF 2的周长为34462a =⨯=. 13解:4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 用数形结合,设31y k x +=-,则(3)y kx k =-+表示经过点(1,3)P -的直线,k为直线的斜率.所以求31y x +-的取值范围就等价于求同时经过点(1,3)P -和圆上的点的直线中斜率的最大最小值.从图中可知,当过P 的直线与圆相切时斜率取最大最小值，此时对应的直线斜率分别为PB k 和PA k ，其中PB k 不存在，由圆心(2,0)C 到直线(3)y kx k =-+的距离1r ==解得43k =,所以31y x +-的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.14解析：1. 圆的直角坐标方程为224x y +=，直线的直角坐标方程为60x -=，圆心到直线的距离3d ==，所以圆上一点直线的最小值等于321d r -=-=15解析：2. 由已知030=∠EFD 得060=∠POD ,在POD Rt ∆中，4,230tan ,3060900000====-=∠PO PD OD P ,所以624=+=+=OF PO PF ,又由割线定理得PF PE PD ⋅=2,解得2=PE .16解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，11145a d a d +=⎧⎨+=-⎩，（2分）解得13a =，2d =-．（4分）所以1(1)25n a a n d n =+-=-+．（6分） （Ⅱ）∵25n a n =-+，∴55(25)22n n a n c n ---+===∴22n cn n b == （8分） ∴2122232log log log log n T b b b b =++++232222log 2log 2log 2log 2n =++++(1)1232n n n +=++++=（12分） 17解：(Ⅰ)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法.（3分）(Ⅱ)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：520252030100++++=人， 四川籍的有：151055540++++=人，（4分） 设四川籍的驾驶人员应抽取x 名，依题意得510040x=，解得2x = 即四川籍的应抽取2名. （7分） (Ⅲ) ξ的所有可能取值为0，1，2；（8分）252710(0)21C P C ξ===，11252710(1)21C C P C ξ===，22271(2)21C P C ξ===，（10分） ξ的分布列为：（11分）均值101214()12217E ξ=⨯+⨯=.（13分） 18解：（Ⅰ）由1sin 22ab C =，即134sin 2C ⨯⨯=得sin C =（2分） ∵180oA B C +=-，∴sin()sin(180)sin 3oA B C C +=-==（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得sin 3C =∵090o C <<，∴cos C ===（5分）∴ 225cos 22cos 121.39C C ⎛=-=⨯-= ⎝⎭（6分）∴sin 22sin cos 2C C C ===7分）∴cos 2cos 2cos sin 2sin 444C C C πππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭5929218=⨯-=- （9分） （Ⅲ）∵3CB a == ，4AC b ==（10分）设向量CB 与CA 所成的角为θ，则180oC θ=-（11分） ∴cos cos(180)cos oCB AC CB AC ab C ab C θ∙=⋅=-=-34=-⨯=- （13分） 19解：（方法一）(Ⅰ) ∵111ABC A B C -是斜三棱柱, ∴1//BB 平面11A ACC ，故侧棱B 1B 在平面11A ACC 上的正投影的长度等于侧棱1B B 的长度．(2分)又11BB AA =故侧棱1B B 在平面11A ACC (3分)(Ⅱ)证明： ∵AC =，11AA AC ==22211AC AA AC =+ ∴三角形1AAC 是等腰直角三角形，（5分） 又D 是斜边AC 的中点，∴1A D AC ⊥（6分）∵平面11A ACC ⊥平面ABC ，∴A 1D ⊥底面ABC （7分） (Ⅲ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，∵A 1D ⊥面ABC ，得A 1D ⊥AB ．∴AB ⊥平面1A ED ，（8分） 从而有1A E AB ⊥，∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角． （9分）∵2,BC AC AB ===222AC BC AB =+ ∴三角形ABC 是直角三角形，AB BC ⊥∴ED ∥BC ，又D 是AC的中点，2,BC AC ==∴11,DE AD AD ===，12A E ==∴111cos 2DE A ED A E ==， 即侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的余弦值为12. (14分)（方法二） (Ⅰ)同方法一 (Ⅱ)同方法一(Ⅲ)∵2,BC AC AB === ∴222AC AB BC =+ ∴三角形ABC 是直角三角形，过B 作AC 的垂线BE ，垂足为E ，则AB BC BE AC ⋅===3EC ===∴DE CD EC =-==(8分) 以D 为原点，1A D 所在的直线为z 轴，DC 所在的直线为y 轴，平行于BE 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,A A B ⎫⎪⎪⎝⎭11(0,A A A B ==⎝ 设平面11A ABB 的法向量为(,,)n x y z =，则1100n A A n A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x y ⎧-=+=化简得30z y y z =-⎧⎪⎨+-=⎪⎩令x =1,1y z =-=，所以1,1)p =-是平面11A ABB 的一个法向量. (11分)由（I ）得A 1D ⊥面ABC ，所以设平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)q =(12分)设向量p 和q所成角为θ，则1cos 2p q p qθ===(13分) 即侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的余弦值为12. (14分)20解析：（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为1(0,4)C -、2(0,2)C ，由题意得12CC CC =，可知圆心C 的轨迹是线段12C C 的垂直平分线，12C C 的中点为(0,1)-，直线12C C 的斜率等于零，故圆心C 的轨迹是线段12C C 的垂直平分线方程为1y =-，即圆C 的圆心轨迹L 的方程为1y =-。