2.4 Hermite插值多项式
埃尔米特(Hermite)插值
实验二埃尔米特（Hermite）插值一、实验目的：1.掌握埃尔米特插值算法原理；2.使用C语言编程实现埃尔米特插值算法。
二、实验准备：阅读《数值分析》2.4节二、实验要求：某人从甲地开车去乙地，每隔一段时间对行车距离和速率进行一次采样，得到在n+1 个采样时刻点t i 的里程s i和速率v i（i=0, 1, ..., n）。
要求编程构造埃尔米特插值多项式H2n+1(t)，满足H2n+1(t i)=s i，H'2n+1(t i)=v i，对所有i=0, 1, ..., n成立，并据此计算m个给定时刻的里程和速率。
函数接口定义：void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] );其中N为采样点个数（注意这个N不是公式中的最大下标n，而是等于n+1），采样时刻点t i、里程s i、速率v i分别通过t、s、v传入；m是需要估算的给定时刻的个数，ht传入给定的时刻点，相应计算出的里程和速率应分别存储在hs和hv中。
裁判程序如下：裁判输入数据：20.0 1.00.0 1.00.0 0.050.0 0.2 0.5 0.8 1.030.0 0.5 1.0100.0 170.0 200.030.0 150.0 0.050.0 0.25 0.5 0.75 1.050.0 1.0 2.0 3.0 4.00.0 60.0 160.0 260.0 300.05.0 70.0 100.0 120.0 20.0100.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 3.8 3.95 4.0标准输出数据：0.0000 0.1040 0.5000 0.8960 1.00000.0000 0.9600 1.5000 0.9600 0.0000100.0000 127.9297 170.0000 195.9766 200.000030.0000 165.4688 150.0000 52.9688 0.000030.2222 60.0000 105.9303 160.0000 206.3438 260.0000 307.9764 305.7687 299.9796 300.000062.6024 70.0000 109.0488 100.0000 92.9745 120.0000 41.2374 -44.8421 -16.2783 20.0000#include<stdio.h>#define MAXN 5 /* 最大采样点个数 */#define MAXM 10 /* 最大估算点个数 */void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] ){double l[10],p[10],h1[10],h2[10],x,ll[10],pp[10];int kk;for(kk=0;kk<m;kk++){x=ht[kk];hs[kk]=0;hv[kk]=0;int i;for(i=0;i<N;i++){l[i]=1;ll[i]=1;int j;for(j=0;j<N;j++){if(i!=j){l[i]=l[i]*(x-t[j])/(t[i]-t[j]);}}p[i]=0;pp[i]=0;int k;for(k=0;k<N;k++){if(i!=k){p[i]=p[i]+l[i]/(x-t[k]);pp[i]=pp[i]+ll[i]/(t[i]-t[k]);}}h1[i]=(1-2*pp[i]*(x-t[i]))*l[i]*l[i];h2[i]=(x-t[i])*l[i]*l[i];hs[kk]=hs[kk]+s[i]*h1[i]+v[i]*h2[i];int kkk;for(kkk=0;kkk<N;kkk++){if(x==t[kkk])break;}if(x==t[kkk])hv[kk]=v[kkk];elsehv[kk]=hv[kk]+s[i]*(2*p[i]*l[i]-4*l[i]*p[i]*(x-t[i])*pp[i]-2*pp[i]*l[ i]*l[i])+v[i]*(l[i]*l[i]+2*l[i]*p[i]*(x-t[i]));}}}int main(){int N, m;double t[MAXN], s[MAXN], v[MAXN]; /* 用于构造的数据 */double ht[MAXM], hs[MAXM], hv[MAXM]; /* 用估算的数据 */int i;while ( scanf("%d", &N) != EOF ) {for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &t[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &s[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &v[i]);scanf("%d", &m);for ( i=0; i<m; i++ )scanf("%lf", &ht[i]);Hermite_Interpolation( N, t, s, v, m, ht, hs, hv );for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hs[i]);printf("\n");for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hv[i]);printf("\n\n");}return 0; }。
ch2-4Hermite插值
则Hermite插值多项式为：
H ( x ) hi ( x ) yi H i ( x ) y'i
i 0
n
Hermite插值多项式的构造
hi ( x )在x j ( j i )处的函数值与导数值均 为0，
故可设 : hi ( x ) [a b( x xi )] [l i ( x )]2
这里li(x)为拉格朗日插值基函数
把 hi ( xi ) 1 h'i ( xi ) 0 (i 0,1,, n) 代入得
hi ( xi ) b l ( xi ) 2[a b( x xi )]l i ( xi )l i ( xi ) a 1; b 2al i ( xi ) 0
2. Hermite插值的基本定理；
3. Hermite插值多项式的构造 4.分段三次Hermite插值； 5.一般插值问题。
对x x1 1有：h0 (1) 0, h1 (1) 1, H 0 (1) 0,
(0) 0可设 由条件h0 (0) 1, h0 (1) 0, h0 h0 ( x ) (ax b)( x 1)
(0) 0, 得b a 1 利用h0 (0) 1, h0 所以h0 ( x ) ( x 1)( x 1) 1 x
( x i ) y i ( i 0,1,2,...n) '( xi ) y
' i
( i 0,1,2,...n)
保持插值曲线在节点处有切线（光滑）， 使插值函数和被插函数的密和程度更好 。
二、 Hermite插值问题的提法
设函数f(x) 在区间[ a, b] 上有 n+1个互异节点 a=x0<x1<x2<……<xn=b , 定义在[a,b]上函数f(x) 在节点上满足: f(xi) = yi, f ' (xi)=y ' i, i=0,1,2……n 求一个次数不高于2n+1次的插值多项式H(x)
2.4埃尔米特插值
2 1
x − x0 x −x 0 1
2
2
β 0 ( x ) = ( x − x0 ) ⋅ l02 ( x ) = ( x − x0 ) x − x1 x −x 1 0
β 1 ( x ) = ( x − x1 ) ⋅ l ( x ) = ( x − x1 )
两个节点就可以用2 × 1 + 1 = 3次多项式作为插值函数
( 2 ) 同样 , 若要求P( x )在[ a , b ]上具有m阶导数( m阶光滑度) 显然P( x )在节点 x0 , x1 ,⋯ , xn处必须满足
P( xi ) = f ( xi ) = yi
P′( xi ) = f ′( xi ) = yi′ P′′( xi ) = f ′′( xi ) = yi′′
其中
α 0 ( x0 ) = 1
α 1 ( x0 ) = 0
α 0 ( x1 ) = 0
α 1 ( x1 ) = 1 β 0 ( x1 ) = 0
′ α 0 ( x0 ) = 0 ′ α 1 ( x0 ) = 0 ′ β 0 ( x0 ) = 1 ′ β 1 ( x0 ) = 0
′ α 0 ( x1 ) = 0
所以,两点三次Hermite插值的余项为
f ( 4 ) (ξ ) R3 ( x ) = ( x − x0 )2 ( x − x1 )2 4!
x0 ≤ ξ ≤ x1
以上分析都能成立吗？
当f ( 4 ) ( x )在[ x0 , x1 ]上存在且连续时 , 上述余项公式成立
例.
已知f ( x )在节点1，处的函数值为f (1) = 2 , f ( 2 ) = 3 2 f ( x )在节点1，处的导数值为f ′(1) = 0 , f ′( 2 ) = −1 2
基于降阶法的hermite插值多项式求解方法
基于降阶法的hermite插值多项式求解方法基于降阶法的Hermite插值多项式求解方法是一种数值分析方法，用于求解函数在给定点的值。
该方法的基本思想是将高阶多项式转化为低阶多项式，从而简化计算过程。
具体步骤如下：1. 定义插值点：选择一组已知的插值点 $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$，其中 $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$。
2. 构造降阶多项式：对于 $i = 0, 1, \ldots, n$，定义 $p_i(x) = (x - x_i)\cdot q_i(x)$，其中 $q_i(x)$ 是 $(n-1)$ 阶多项式。
3. 求解 $q_i(x)$：对于 $i = 0, 1, \ldots, n$，求解 $(n-1)$ 阶方程$q_i(x_j) = \delta_{ij}$，其中 $\delta_{ij}$ 是 Kronecker delta 函数。
4. 求解 $p_i(x)$：对于 $i = 0, 1, \ldots, n$，求解 $(n+1)$ 阶方程$p_i(x_j) = y_j$。
5. 计算插值多项式：最终的插值多项式为 $H(x) = \sum_{i=0}^{n} p_i(x)\cdot \varphi_i(x)$，其中 $\varphi_i(x) = \frac{(x - x_0)(x - x_1) \cdots (x - x_{i-1})(x - x_{i+1}) \cdots (x - x_n)}{(x_i - x_0)(x_i - x_1) \cdots (x_i - x_{i-1})(x_i - x_{i+1}) \cdots (x_i - x_n)}$。
通过以上步骤，可以求解出满足给定插值条件的 Hermite 插值多项式。
在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的插值点，并利用该方法进行数值计算。
实验四 Hermite插值多项式
实验四 Hermite 插值多项式1实习目的(1) 加深对Hermite 插值多项式的理解(2) 熟练掌握C 语言程序设计知识，熟练编写程序。
2班级：计算092，姓名:薛藏朋,学号：30908110723目的意义融会贯通Hermite 插值多项式，熟练编写有关程序，深化C 语言程序设计知识，培养坚韧的毅力。
4数学建模H i （x ）=+--+--1321))]((2[i i i i i y h x x x x h +--+-i ii i i y h x x x x h 321))]((2[ 221))((i i i h x x x x ---y '1-i +'221)()(i ii i y h x x x x --- 5算法Step1:'）,i=0,1,…,n;Step2:Step3:Step4:6（1（2）程序#include <stdio.h>#define N 50struct POINT /*定义一个点结构体*/{ double x;double y;double z;};void main(){int i,n;double x;struct POINT ps[N];/*定义一个点结构体的数组*/printf("please input n,0<=n<=50: \n");scanf("%d",&n);printf("please input xi,yi,yi'(z): \n");for(i=0;i<n;i++){ scanf("%lf,%lf,%lf",&ps[i].x,&ps[i].y,&ps[i].z);}printf("Now input x: \n");scanf("%lf",&x);/*输入差值x*/printf("please input i:\n");scanf("%d",&i);double hi,mi,ni,H;hi=ps[i].x-ps[i-1].x;mi=x-ps[i-1].x;ni=x-ps[i].x;H=(hi+2*mi)*ni*mi*ps[i-1].y/hi/hi/hi+(hi-2*ni)*mi*mi*ps[i].y/hi/hi/hi+mi*ni*ni*ps[i-1].z/hi/hi+mi*ni*ni*ps[i].z/hi/hi; printf("H%d(%lf)=%lf\n",i,x,H);}7数值算例8对计算结果进行分析评价实验结果在误差范围内，比较准确9参考文献【1】张毅坤，曹锰，张亚玲，C语言程序设计教程，西安交通大学出版社，2003. 【2】姚全珠，李薇，王晓帆，C++面向对象程序设计，北京：电子工业出版社，2010. 【3】秦新强，数值逼近，西安理工大学【4】王萼芳，石声明，高等代数，北京：高等教育出版社。
第2章-插值法(Hermite插值,样条插值)
2.5 埃尔米特插值法
Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点
问题的提出： 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要 求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度）， 甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是 埃尔米特（Hermite）插值多项式。下面只讨论函数值与导数 值个数相等的情况。
由 j ( x j ) 1 ，可得
Cj
1 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
故
j ( x) ( x x j )
( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
( x x j )l j 2 ( x)
2016/8/14 6
（ii）由条件(1)可知，x0 , x1,, x j 1, x j 1,, xn都是 j ( x)的二重根，令
j ( x) C j (ax b)( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2
17
即
x x1 x x0 2 0 ( x) (1 2l1 ( x)) l0 ( x) 1 2 x x x0 x1 1 0
Hermite插值多项式
1 例：在[5, 5]上考察 f ( x ) 1 x2 xi 5 10 i (i 0, ... , n) n
2.5 2
的 Ln(x)。取
1.5
n=10
1
0.5
n=2
n=5
0
n 越大， 端点附近抖动 越大
3 4 5
- 0.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
事实上已被证明：对于 n 的高阶插值 公式 Ln ( x )只有当 x 3.63时才有 Ln ( x ) f ( x ).
( xi ) yi i 0,1 H3 ( xi ) yi , H3
则可选择基函数
0 ( x),1 ( x), 0 ( x), 1 ( x)
使它们都是次数不超过3的多项式 ,且满足如下条件: 0 ( x0 ) 1 1 ( x0 ) 0 0 ( x0 ) 0 1 ( x0 ) 0 ( x ) 0 ( x ) 1 (x ) 0 (x ) 0 1 1 0 1 0 1 1 1 ( x ) 0 ( x ) 1 ( x ) 0 1 0 0 0 1( x0 ) 0 0 0 1( x1 ) 0 ( x1 ) 0 ( x ) 0 1( x1 ) 1 0 0 1
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式 化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步， 先将所考察的区间作一分划 ：a x0 x1 xn b
并在每个 xi , xi1 子区间上构造插值多项式，然后 把它们装配在一起，作为整个区间 a, b 上的插值 函数。
hermite插值法原理
Hermite插值法是一种用于构造多项式插值函数的方法，它可以通过给定的数据点和导数值来构造一个满足这些条件的插值多项式。
Hermite插值法的原理可以分为以下几个步骤：
1. 给定一组数据点和对应的函数值，以及这些数据点处的导数值。
2. 构造一个基函数集合，这些基函数是一组满足插值条件的函数。
常用的基函数是Hermite基函数，它是一组多项式函数。
3. 根据给定的数据点和导数值，利用基函数集合构造插值多项式。
这可以通过求解一个线性方程组来实现，其中方程组的未知数是插值多项式的系数。
4. 得到插值多项式后，可以使用它来估计在其他点上的函数值。
Hermite插值法的优点是可以通过给定的导数值来更好地逼近原函数的特性，尤其在数据点附近的插值效果更好。
然而，
它的缺点是在数据点之间的插值效果可能不够理想，因为它只是通过给定的数据点和导数值来构造插值多项式，而没有考虑其他可能的信息。
埃尔米特插值多项式
埃尔米特插值多项式简介埃尔米特插值多项式（Hermite Interpolation Polynomial）是一种常用的插值方法，用于通过给定的数据点集合来计算一个多项式，使得多项式在给定的数据点上与其函数值和导数值都完全匹配。
本文档将介绍埃尔米特插值多项式的原理、计算过程和应用。
基本原理埃尔米特插值多项式的基本思想是通过插值条件来求解多项式的系数。
给定数据点集合和对应的函数值和导数值，目标是找到一个多项式，使得多项式在给定的数据点上与其函数值和导数值都完全匹配。
首先，对于每一个给定的数据点，我们需要求解一个插值多项式。
插值多项式的次数应该比给定数据点的个数少 1。
例如，给定数据点集合{ (x0, f0, f'0), (x1, f1, f'1), ... , (xn, fn, f'n) }，我们需要找到一个次数为n的多项式H(x)。
对于每一个数据点(xi, fi, f'i)，插值多项式H(x)满足以下条件：1.H(xi) = fi，即多项式在数据点上与函数值完全匹配2.H'(xi) = f'i，即多项式在数据点上与导数值完全匹配根据这两个条件，我们可以构建一个n+1次的多项式，满足上述条件。
计算过程下面是埃尔米特插值多项式的计算过程：1.根据给定的数据点集合，构建一个空的多项式，初始阶次为 0，即H(x) = a02.对于每一个数据点(xi, fi, f'i)：–计算多项式的阶次n，并更新多项式的阶次为n+1–求解f'i的差商f'i / (xi - x0)，记为f'i / (x[i]-x0)–更新多项式的系数a，使得H(x) = H(x) + a * (x - x0)^i–更新多项式H(x)的阶次为n3.返回多项式H(x)应用埃尔米特插值多项式在实际应用中具有广泛的用途，包括但不限于以下领域：1.数值计算和近似：埃尔米特插值多项式可以用于通过已知的函数值和导数值来近似计算未知的函数值，用于求解数值问题。
Hermite 插值解析
( x x1 )( x x2 )...( x xn 1 ))
所以有 1 l ( x0 ) (( x0 x2 )( x0 x3 )...( x0 xn ) A ( x0 x1 )( x0 x3 )...( x0 xn )
' 0
... ( x0 x1 )( x0 x2 )...( x0 xn 1 ))
j ( x) C ( x x j )
( x x0 )2 ( x x1 )2 ...( x x j 1 )2 ( x x j 1 )2 ...( x xn ) 2 ( x j x0 )2 ( x j x1 )2 ...( x j x j 1 )2 ( x j x j 1 ) 2 ...( x j xn ) 2
故得：
j ( x) (2l 'j ( x j ) x 1 2 x j l 'j ( x j ))l 2 j (x )
(1 2( x j x)l ( x j ))l ( x )
' j 2 j
j ( x)也为次数不超过2n 1的多项式，它的零点:
0 j ( x0 ) j ( x1 ) ... j ( x j 1 ) j ( x j 1 ) ... j ( xn )
函数逼近的插值法 ——Hermite插值多项式
主讲 孟纯军
Hermite 插值多项式
Lagrange插值公式所求得L(x)保证了节点处的 函数值相等，也就是保证了函数的连续性。 但不少实际问题还需要插值得光滑度，也就是 还要求它在节点处的导数值也相等，导数的阶 数越高则光滑度越高。 现代的仿生学就是一个典型的例子。在设计交 通具的外形，就是参照海豚的标本上已知点及 已知点的导数，做插值在计算机上模拟海豚的 外形制成飞机、汽车等外形。
54第四节 Hermite插值
数学学院 信息与计算科学系
二、误差估计
定理4 设f(x)在包含x0、x1的区间[a, b]内存在 四阶导数，则当x∈[a, b]时有余项式
R3( x)
f (x)
H3(x)
1 4!
f (4)( )( x
x0 )2( x
x1 )2
( (a, b)且与x有关)
设
M4
max
x0 x x1
x
144
x
1212
得 由
125
H3
(125) f (4)(
11.18035
x)
15 16 x 7
/
2
可求得
R3 (125)
15 1
384 16 3
42 192
15 384
192 1213 11
0.000012
x0 x0
)
2
,
1
(
x
)
(
x
x1
)(
x x1
x0 x0
)2
0 ( x) [1 2l1( x)]l02( x) 0 ( x) ( x x0 )l02( x) 1( x) [1 2l0 ( x)]l12( x) 1( x) ( x x1 )l12( x)
数学学院 信息与计算科学系
第四节 埃尔米特(Hermite)插值
一、 埃尔米特插值多项式
为了使插值函数能更好的切合原来的函数，许多 问题不但要求节点上的函数值相等，还要求导数值相 同，甚至高阶导数也相等，这类插值问题称为埃尔米 特插值。
Hermite-Fejér插值多项式的逼近阶
Hermite-Fejér插值多项式的逼近阶的报告，600字Hermite-Fejér插值是一种多项式逼近法，也被称为双重插值法。
它通过使用特征的函数和其他函数的交叉来提供令人满意的精度比仅使用函数要高得多。
它的工作原理与Lagrange和Newton插值法相似，但它的函数是特征的，而不是分片的。
Hermite-Fejér插值的术语“逼近阶”用于描述所需的函数数量。
总而言之，逼近阶数是指用于拟合原始数据点的函数的数量。
更高的逼近阶可能更准确地拟合原始数据，但也可能出现更多的误差。
Hermite-Fejér插值多项式逼近阶的大小决定了多项式函数的复杂性。
具体而言，随着逼近阶的增加，多项式的复杂度也会增加。
为了获得更准确的拟合，必须按照适当的步骤增加逼近阶。
为了计算Hermite-Fejér插值多项式的逼近阶，首先需要计算原始数据集中每个数据点的导数矩阵。
然后，要选择一系列特征函数，将其相乘，并使用多项式拟合方法将其拟合到原始数据点。
最后，计算所需的多项式函数数量，就是逼近阶。
计算Hermite-Fejér插值多项式的逼近阶需要大量的数学知识，涉及多项式拟合方法、特征的曲线和多元函数拟合。
通常，一个熟练的工程师可以通过多次尝试并使用特别的计算机程序来估计逼近阶。
此外，计算Hermite-Fejér插值多项式的逼近阶还可以通过使用特殊的公式来简化过程。
一旦完成计算，工程师可以使用所得多项式来拟合原始数据点，以获得更准确和精确的结果。
总而言之，Hermite-Fejér插值多项式逼近阶是用于拟合原始数据点的多项式函数的数量，也决定了多项式的复杂度。
其计算可以通过使用特殊公式或多次尝试来完成，而且经过适当调整，可以得到更准确和精确的结果。
两点三次hermite插值例题
两点三次hermite插值例题Hermite插值是一种数值分析方法，用于在给定的数据点上生成一个多项式函数，以便通过这些数据点来近似描述一个函数。
Hermite插值是利用函数值和导数值来进行插值的一种方法，它可以更精确地逼近给定的数据点。
下面我将通过一个例题来说明Hermite插值的过程。
假设我们有以下数据点，(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2)，我们要使用Hermite插值来找到通过这些点的多项式函数。
首先，我们需要计算每个数据点的导数值。
因为数据点中有重复的x值，我们需要分别计算每个x值对应的导数值。
对于数据点(1, 2)和(1, 3)，我们可以假设它们对应的导数值分别为2和3；对于数据点(2, 1)和(2, 2)，我们可以假设它们对应的导数值分别为1和2。
接下来，我们将使用这些数据点和导数值来构建Hermite插值多项式。
Hermite插值多项式的一般形式为：\[P(x) = \sum_{i=0}^{n}f[x_0, x_1, \ldots, x_i](x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_{i-1}) + \sum_{i=0}^{n}f[x_0, x_1,\ldots, x_i, x_i](x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_{i-1})^2\]其中，\[f[x_0, x_1, \ldots, x_i]\]表示数据点\[x_0, x_1, \ldots, x_i\]处的插值函数值。
这个式子的第一部分表示通过数据点的函数值进行插值，第二部分表示通过数据点的导数值进行插值。
我们可以根据给定的数据点和导数值，计算出Hermite插值多项式。
最终得到的多项式函数就是通过这些数据点进行Hermite插值得到的结果。
总结起来，Hermite插值是一种利用函数值和导数值进行插值的方法，可以更精确地逼近给定的数据点。
通过计算数据点的导数值和使用Hermite插值多项式的公式，我们可以得到一个通过这些数据点的多项式函数。
赫尔米特插值多项式
赫尔米特插值多项式赫尔米特插值多项式是一种常用的数值分析方法，用于在给定数据点上构造一个多项式函数，以便在这些数据点之间进行插值。
它是由法国数学家赫尔米特在19世纪末提出的，被广泛应用于科学计算和工程领域。
赫尔米特插值多项式的特点是可以同时给出函数值和导数值的插值结果。
这使得它在需要考虑函数的导数信息的问题中非常有用，例如在物理模拟、信号处理和图像处理等领域。
与其他插值方法相比，赫尔米特插值多项式的优势在于它可以更准确地逼近原始函数，并且在插值点附近的导数值也能得到较好的近似。
赫尔米特插值多项式的构造过程相对复杂，但可以通过递推的方式来实现。
首先，我们需要给定一组数据点，包括函数值和导数值。
然后，通过构造一个多项式函数，使得它在每个数据点上都满足函数值和导数值的条件。
这个多项式函数就是赫尔米特插值多项式。
具体而言，赫尔米特插值多项式可以表示为一个关于自变量x的多项式函数：P(x) = Σ[i=0 to n] (hi(x) * fi + gi(x) * fi')其中，hi(x)是一个关于x的多项式函数，用于满足函数值条件；gi(x)是一个关于x的多项式函数，用于满足导数值条件；fi和fi'分别是第i个数据点的函数值和导数值。
赫尔米特插值多项式的构造过程可以通过拉格朗日插值多项式的思想来理解。
我们可以将每个数据点看作是一个插值节点，然后通过构造一组基函数来逼近原始函数。
这些基函数既考虑了函数值的插值要求，又考虑了导数值的插值要求，从而得到了赫尔米特插值多项式。
赫尔米特插值多项式的优点之一是它可以通过递推的方式来计算。
一旦我们知道了前几个数据点的插值结果，就可以利用递推关系来计算下一个数据点的插值结果。
这种递推的方式使得赫尔米特插值多项式的计算效率较高，特别适用于大规模数据的插值问题。
然而，赫尔米特插值多项式也存在一些限制。
首先，它要求插值点之间的间距相等，否则会导致插值结果的误差增大。
2.4 Hermite插值多项式
其中
x x0 x x1 l0 ( x) , l1 ( x) x0 x1 x1 x0
为线性插值基函数.
6
设
0 ( x) a( x x0 )( x x1 )2
1 a ( x0 x1 ) 2 ,
由β'0(x0)=1 ，得 于是
x x1 2 0 ( x) ( x x0 )( ) =( x x0 )l02 ( x) x0 x1
第五节 分段低次多项式插值
一.
高次插值的龙格 (Runge)现象
拉格朗日插值多项式余项 f ( n1) ( ) n Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) ( x xi ) (n 1)! i 0 插值多项式与被插值函数逼近的程度同分点 的数目及位置有关。能不能说，分点越多， 插值多项式对函数的逼近程度越好呢？答案 是否定的。20世纪初，Runge指出了高阶多 项式插值的缺点。
(x ) y , (2) L 1 i i
i=0,1,2,…,n
( x) 在区间[a , b]上连续; (3) L 1 ( x) 则称 L 是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值函数。 1
2.分段线性插值函数的表达式
( x) 在每个子区间[xi ,xi+1](i=0,1,2,,n-1)上 由定义， L 1 是一次插值多项式; x xi 1 x xi L1,i ( x ) yi yi 1 xi xi 1 xi 1 x i
12
例: 求一次数为4的多项式P4(x), 使它满足
P 4 (0) P 4 (0) 0, P 4 (1) P 4 (1) 1, P 4 (2) 1
一类四次hermite插值多项式逼近的最佳常函数估计
一类四次hermite插值多项式逼近的最佳常函数估计一类四次hermite插值多项式逼近的最佳常函数估计四次hermite插值多项式逼近是指用多项式逼近某一类常函数，其中hermite插值多项式是由插值点处的函数值和导数值求得的。
在逼近过程中，为了使逼近误差最小，通常采用最佳常函数估计的方法。
最佳常函数估计的思想是，在满足一定条件的情况下，找到一类函数，使得这一类函数在所有可能的常函数中，其逼近误差最小。
四次hermite插值多项式逼近最佳常函数估计的具体方法如下:1. 选择插值点在四次hermite插值多项式逼近中，首先要选择插值点。
一般来说，插值点的选择应当满足等距或等比分布的原则。
这样可以使逼近误差均匀分布，从而使得最终的逼近效果最优。
2. 求解hermite插值多项式在选择了插值点之后，就可以开始求解hermite插值多项式了。
这一步的具体方法是，根据插值点处的函数值和导数值，求解hermite插值多项式的系数。
3. 计算逼近误差在求得her插值多项式之后，就可以开始计算逼近误差了。
逼近误差是指多项式逼近函数时所产生的误差。
计算逼近误差的具体方法是，在所有的插值点处分别计算多项式和函数的差值，然后取这些差值的最大值。
这个最大值就是逼近误差。
4. 比较逼近效果在计算出逼近误差之后，就可以比较多项式逼近函数的效果了。
如果逼近误差较小，说明多项式逼近函数的效果较好；如果逼近误差较大，则说明多项式逼近函数的效果较差。
四次hermite插值多项式逼近最佳常函数估计的方法介绍到这里。
总的来说，四次hermite插值多项式逼近是一种非常有效的方法，可以用来逼近各种常函数。
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xi x xi 1 , i 0,1, , n 1
分段线性插值函数
L1, 0 ( x) L ( x) ~ 1,1 L1 ( x) L1,n 1 ( x)
x0 x x1 x1 x x2 xn 1 x xn
分段线性插值曲线图：
0i n 1
2
M 2 max | f ( x) |, h max | xi xi 1 |
a x b
证明：
在每个小区间 [ xi , xi 1 ](i 0,1,
, n 1)
f ( i ) Ri ( x ) ( x xi )( x xi 1 ) 2! 在区间 [a , b]上
二、分段线性插值
1.问题的提法
定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点
a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数 L1 ( x)满足条件 (1) L1 ( x) 在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是 线性插值多项式;
优点：计算简单； 适用于光滑性要求不高的插值问题。 缺点：分段插值函数只能保证连续性， 失去了原函数的光滑性。
例：考虑构造一个函数f ( x ) cos x的等距节点函数表， 1 要使分段线性插值的误差不大于 104，最大步 2 长h应取多大？
h2 解： R max f '' ( x ) 8 a x b
2.5 2
的 Ln(x)
Ln(x) f (x)
1.5
n=10
增加插值多项式的次数 并不一定会有更好的插值结果， 这是因为高次多项式的振荡是很厉害的. n=5 n 越大， 端点附近抖动 越大，称为龙格 （Runge） 现象
1
n=2
0.5
0
-0.5 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
分段低次插值
事实上已被证明：对于 n 的高阶插值 公式 Ln ( x )只有当 x 3.63时才有 Ln ( x ) f ( x ).
分段三次Hermite插值多项式存在唯一
2.分段三次Hermite插值的表 达式
当 x∈[xi，xi+1]时, 两点Hermite插值
x xi x xi 1 2 x xi 1 x xi 2 S3 ( x) (1 2 )( ) yi (1 2 )( ) yi 1 xi 1 xi xi xi 1 xi xi 1 xi 1 xi ( x xi )( x xi 1 2 x xi 2 ) yi ( x xi 1 )( ) yi1 xi xi 1 xi 1 xi
(2) L1 ( xi ) yi , i=0,1,2,…,n (3) L1 ( x) 在区间[a , b]上连续; 则称 L1 ( x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值函数。
2.分段线性插值函数的表达式
由定义， L1 ( x) 在每个子区间[xi ,xi+1](i=0,1,2,,n-1)上 是一次插值多项式; x xi 1 x xi L1,i ( x ) yi yi 1 xi xi 1 xi 1 x i
第四节 Hermite 插值多项式
在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅 要求在节点上函数值相等，而且要求在节点上若干阶 导数也相等。即,要求插值函数P(x)满足
P( xi ) f ( xi ), P '( xi ) f '( xi ),
, P( m) ( xi ) f ( m) ( xi )
把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite） 插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H (x)。
1
两点三次Hermit插值
已知：
x x 0 x1 y y 0 y1 y y0 y1
构造一个次数3的多项式H3(x) ，满足插值条件：
( xi ) yi i 0,1 H3 ( xi ) yi , H3
在节点 处的光滑性较差，为了提高光滑性， 讨论分段三次埃尔米特插值。
~ L 注：由图象可知， 1 ( x)
3.分段线性插值函数的余项
定理：设 f(x) 在[a,b]上有二阶连续导数 f″(x) ，则对
x [a, b], 有
其中，
h | R( x) || f ( x) L1 ( x) | M 2 8
5
同理
x x1 x x0 2 1 ( x ) (1 2 )( ) x0 x1 x1 x0
6
设
0 ( x) a( x x0 )( x x1 )2
1 a , 2 ( x0 x1 )
由β'0(x0)=1 ，得
于是 同理有
x x1 2 0 ( x ) ( x x0 )( ) x0 x1
由
3 P4 (0) 2 B 0 2 P(1) 1 ( A B) 1 4 2
解得A=1/4, B=-3/4 故
1 2 3 1 1 2 P4 ( x) x x ( x 3) x( x 1)( x 2) x ( x 3)2 2 2 4 4
利用 f(x) – H3(x)=C(x)(x – x0)2(x – x1)2 构造辅助函数
F (t ) f (t ) H3 (t ) C( x)(t x0 ) (t三个零点x0, x, x1,由Rolle定理知, F'(t) 至少有两个零点t0, t1满足x0<t0<t1<x1,而x0和x1也是
第五节 分段低次多项式插值
一.高次插值的龙格 (Runge)现象
从插值余项角度分析
f ( n1) ( ) Rn1 ( x ) f ( x ) Ln1 ( x ) n1 ( x ) (n 1)!
为了提高插值精度，一般来说应该增加插值节点的 个数，这从插值余项的表达式也可以看出，但不能简 单地这样认为，原因有三个：
M2 | R( x ) | max | Ri ( x ) | ( x xi )( x xi 1 ) 0 i n 1 2
由于
( xi 1 xi )2 h2 max ( x xi )( x xi 1 ) 4 4 2 h 于是 | R( x ) || f ( x ) L1 ( x ) | M2 8
F'(t)零点, 故F'(t) 至少有四个相异零点.
反复应用Rolle定理, 得F(4)(t)至少有一个零点设为 ξ∈(a, b)
11
F (t ) f (t ) H3 (t ) C( x)(t x0 )2 (t x1 )2
F ( 4) ( ) f ( 4) ( ) C ( x)(4! ) 0
x x0 2 1 ( x ) ( x x1 )( ) x1 x0
7
定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值 多项式H3(x)存在且唯一。
8
三次Hermite插值多项式的余项
定理
设 f(x) 在包含x0, x1的区间 [a, b]内存 在四阶导数，则对任意x[a,b] ，总存在一 个(a, b)（依赖于x）使
1 ( x0 ) 0 (x ) 1 1 1 1( x0 ) 0 1( x1 ) 0
0 ( x0 ) 0 (x ) 0 0 1 ( x0 ) 1 0 ( x1 ) 0 0
1 ( x0 ) 0 (x ) 0 1 1 1( x0 ) 0 1( x1 ) 1
先构造满足P2(0)= 0， P2(1)=1 ，P2(2)=1的插值 多项式P2 (x)，易得 设
1 2 3 P2 ( x) x x 2 2
P 4 ( x) P2 ( x) ( Ax B)( x 0)( x 1)( x 2)
其中A，B为待定系数. 利用两个导数条件确定系数 A、B.
f ( x) cos x,
''
| f ( x) | 1
''
h2 1 | R | 104 8 2
h 2 102
最大步长h应取0.02.
三.分段三次Hermite插值
1.问题的提法
定义:设n 1个插值节点x0，x1， xn。已知在节点上的 函数值yi f ( xi )和导数值yi f ( xi )，i 0， 1， ，n。 分段三次Hermite插值多项式S 3 ( x )应满足条件： ( x )在[a , b]上连续; (1) S3 ( x )和S3 (2)在每个小区间[ xi , xi 1 ]上是三次多项式； ( xi ) yi( i 0,1, , n)。 (3) S3 ( xi ) yi , S 3
C ( x) f
(4)
( ) 4!
(4) f ( ) 2 2 R3 ( x ) C ( x )( x x0 ) ( x x1 ) [( x x0 )( x x1 )]2 4!
12
例 求一个次数为4的多项式P4(x)，使它满足 P4(0)= P'4(0)=0， P4(1)= P'4(1)=1 ，P4 (2)=1
4
基函数求法：
求
0 ( x)
1 a 2 ( x0 x1 )
3
0 ( x1 ) 0 ( x1 ) 0 0
0 ( x) [a b( x x0 )](x x1 )
2
0 ( x0 ) 1
2 b ( x1 x0 )( x0 x1 ) 2