2016_2017学年高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列高效测评

合集下载

高中数学第2章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式aa高二数学

12/8/2021
第二十二页，共三十九页。
[解析] (1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即 bn＋1＝2bn， ∵b1＝a1＋1＝2≠0.∴bn≠0，∴bbn＋n 1＝2，∴{bn}是等比数列． (2)由(1)知{bn}是首项 b1＝2，公比为 2 的等比数列， ∴bn＝2×2n－1＝2n，即 an＋1＝2n，∴an＝2n－1.
12/8/2021
第五页，共三十九页。
1．等比数列的定义如果一个数列从第_2_项_______ 起，每一项与它的前一项的比都等于
同_一__个__常__数__(ch_á_ng_sh_ù)_，那么这个数列叫做等比数列，这个常数(chángshù)叫做等比数列的
12/8/2021
第九页，共三十九页。
2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(nàme)a－bc2＝7 ________. [解析] 由题意知b2＝(－1)×(－9)＝9，∴b＝±3. 又b<0，∴b＝－3，而b2＝ac.∴ac＝9.∴abc＝－27. 3．在等比数列{an}中，a2 020＝8a2 017，则公比q的值为2_____. [解析] a2 020＝a2 017q3，∴q3＝8，q＝2. 4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝__－__2_n_或__(－__2_)n______. [解析] 设公比为 q，则 a3＝a1q2，∴q2＝－－82＝4，∴q＝±2. ∴an＝(－2)×2n－1＝－2n 或 an＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n.
12/8/2021
第二十八页，共三十九页。
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，∴由②除以①，得 q(1－q)＝14. ∴q＝12，∴a1＝12－42124＝96.∴a6＝a1q5＝96×(12)5＝3. ∵a5、a7 的等比中项为 a6，∴a5、a7 的等比中项为 3. [误区警示] 错误的原因在于认为 a5，a7 的等比中项是 a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．

高中数学等比数列检测考试题(附答案和解释)

高中数学等比数列检测考试题（附答案和解释）试卷分析2.3.1 等比数列第二课时优化训练1．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c ＝10，则a等于()A．4 B．2C．－2 D．－4解析：选D.由互不相等的实数a，b，c成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由a＋3b＋c＝10可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又c，a，b成等比数列可得d ＝6，所以a＝－4.2．等比数列前3项的积为2，最后三项的积为4，所有项的积为64，则该数列有()A．13项 B．12项C．11项 D．10项解析：选B.设该数列为{an}，由题意得a1a2a3＝2，anan－1an－2＝4，(a1an)3＝8，a1an＝2，(a1a2…an)2＝642＝(a1an)n＝2n，n＝12.3．在等比数列{an}中，a5、a9是方程7_2－18_＋7＝0的两个根，则a7等于() A．－1 B．1C．1 D．以上都不正确解析：选B.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由an＝a1qn－1，知数列{an}奇数项和偶数项的符号分别相同．这样由a5＋a9＝187＞0，a5a9＝1，得a7＝1，选B.4．已知{an}是等比数列，(1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝________；(2)若an＞0，a1a100＝100，则lga1＋lga2＋…＋lga100＝________.解析：(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，a23＋2a3a5＋a25＝25，(a3＋a5)2＝25，又an＞0，a3＋a5＝5.(2)∵a1a100＝a2a99＝…＝a50a51＝100，lga1＋lga2＋…＋lga100＝lg(a1a2…a99a100)＝lg(a1a100)50＝50 lg100＝100.答案：5 1005．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8000.求此四个数．解：设前三个数分别为a－d，a，a＋d，则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.再设后三个数分别为bq，b，bq，则有bqbbq＝b3＝8000，即b＝20.四个数分别为m,16,20，n.m＝216－20＝12，n＝____6＝25，即四个数分别为12,16,20,25.1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a25，a2＝1，则a1＝()A.12B.22C.2 D．2解析：选B.设公比为q.由a3a9＝2a25得a26＝2a25.|a6|＝2|a5|，|a6a5|＝2，即|q|＝2，又∵q＞0，q＝2，a1＝a2q＝22.2.设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，对应的函数图象如图，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，则()A．an＋1＝bn＋1B．an＋1bn＋1C．an＋1bn＋1D．an＋1bn＋1解析：选B.由题图可得，选B.3．已知a，b，c成等比数列，则二次函数f(_)＝a_2＋b_＋c的图象与_轴的交点有()A．0个 B．1个C．2个 D．0个或1个解析：选A.由题意知b2＝ac.∵＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2＜0，图象与_轴无交点．4．设_R，记不超过_的最大整数为[_]，令{_}＝_－[_]，则{5＋12}，[5＋12]，5＋12()A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列解析：选B.∵[5＋12]＝1，{5＋12}＝5＋12－1＝5－12，{5＋12}5＋12＝([5＋12])2＝1，又∵5＋12＋{5＋12}＝52，是等比数列但不是等差数列．5．若两个数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两个数为两根的一元二次方程是()A．_2－6_＋5＝0 B．_2＋12_＋25＝0C．_2＋6_－25＝0 D．_2－12_＋25＝0解析：选D.设这两个数为_1，_2，由题意知_1＋_2＝12，_1_2＝25，以这两个数为两根的方程为_2－12_＋25＝0.6．已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝_2－2_＋3的顶点为(b，c)，则ad等于()A．3 B．2C．1 D．－2解析：选B.曲线y＝_2－2_＋3＝(_－1)2＋2，所以顶点为(1,2)，即bc＝12＝2＝ad.7．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．解析：设插入的三个数为aq，a，aq，据题意，五个数成等比数列，所以aqaq＝83272＝36.所以a＝6(舍去a＝－6)．插入的三个数的乘积为a3＝216.故答案为216.答案：2168．在等比数列{an}中，若a4a6a8a10a12＝243，则a210a12的值为________．解析：由a4a6a8a10a12＝243得a58＝243，a8＝3.从而a210a12＝a12a8a12＝a8＝3.答案：39．定义一种运算“_”，对于nN＋满足以下运算性质：①1_1=1，②（n+1）_1=3(n_1),则n_1用含n的代数式表示为_________________.解析：(n＋1)_1＝3(n_1)＝33[(n－1)_1]＝…＝3n(1_1)=3n,故n_1=3n-1答案：3n－110．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，nN＋，其中k是常数．(1)求a1及an；(2)若对于任意的mN＋，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．解：(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n2)．a1＝k＋1也满足上式，所以an＝2kn－k＋1，nN＋.(2)由am，a2m，a4m成等比数列，得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，将上式化简，得2km(k－1)＝0.因为mN＋，所以m0，故k＝0或k＝1.11．(____年荆州高二检测)已知等比数列{an}中，a2＝32，a8＝12，an＋1＜an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求Tn的最大值及相应的n值．解：(1)由q6＝a8a2＝1232＝164，an＋1＜an，得q＝12.a1＝a2q＝3212＝64，所以通项公式为：an＝64(12)n－1＝27－n(nN＋)．(2)设bn＝log2an，则bn＝log227－n＝7－n，所以，{bn}是首项为6，公差为－1的等差数列．Tn＝6n＋nn－12(－1)＝－12n2＋132n＝－12(n－132)2＋1698.因为n是自然数，所以，n＝6或n＝7时，Tn最大，其最大值是T6＝T7＝21. 12．设数列{an}和{bn}满足a1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，且数列{an＋1－an}(nN＋)是等差数列，数列{bn－2}(nN＋)是等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)是否存在kN＋，使ak－bk(0，12)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵数列{an＋1－an}是等差数列，an＋1－an＝(a2－a1)＋(n－1)d，a2－a1＝－2，a3－a2＝－1，d＝1，an＋1－an＝－2＋(n－1)＝n－3，a2－a1＝1－3，a3－a2＝2－3，…an－an－1＝n－1－3，相加得an－a1＝[1＋2＋3＋…＋(n－1)]－3(n－1)an＝12(n2－7n＋18)(nN＋)．∵{bn－2}是等比数列，bn－2＝(b1－2)qn－1，b1－2＝4，b2－2＝2，q＝12，bn－2＝412n－1.bn＝412n－1＋2.(2)不存在，a1－b1＝0，a2－b2＝0，a3－b3＝0， n4时，an＝12(n2－7n＋18)是递增数列，an3.n4时，bn＝412n－1＋2是递减数列，bn212，an－bn12，即ak－bk0，12.。

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和aa高二数学

第十五页，共五十页。
• 『规律总结(zǒngjié)』在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn 中，a1，q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1，q列方程组求解．
第十六页，共五十页。
〔跟踪练习1〕 (2015·重庆文，16)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝92. (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
！果真是这样吗？我们一起来帮他算一算．
第六页，共五十页。
• 1．等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的前n项和公式
已知量公式
首项、公比与项数
Sn＝__a_1_n1_a－_1 _q_n_q＝1 ___1_－__q____q≠1
首项、末项与公比 Sn＝__a_1－_n_aa_1 _nq_q＝1
第三十一页，共五十页。
(2)由(1)，得bn＝an＋k及{bn}是公比为2的等比数列，得 Tn＝b111－－22n＝b1(2n－1)，由bn＝an＋k得Tn＝Sn＋nk，∴Sn＝b1(2n－1)－nk. ∵S6＝T4，S5＝－9， ∴6331bb11－－65kk＝＝1－5b91，，解得k＝8.
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
第一页，共五十页。
第二章
数列(shùliè)
等比数列的前项和 2.5
(děnɡ bǐ shù liè)
n
课时第1
(kèshí)
等比数列的前n项和
第二页，共五十页。
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
第三页，共五十页。
自主预习(yùxí)学案

2016-2017学年高中数学第二章数列习题课1求通项公式高效测评新人教A版必修5资料

第二章习题课求通项公式一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n－2(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)，则数列{a n }( )A ．是等比数列B ．从第二项起的等比数列C ．是等差数列D ．从第二项起的等差数列解析：当n ≥2时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝a n ＋1－a n∴a n ＝S n －S n －1＝a n －an －1，则a n ＋1a n＝a . 又∵a 2＝S 2－S 1＝a 2－2－(a －2) ＝a 2－a ＝a (a －1)a 1＝S 1＝a －2.当a ＝2时，a 1＝0，当a ≠2时，a 2a 1＝a a －1a －2≠a .答案： B2．如果数列{a n }满足a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则a 6＝( )A ．21 008B ．29 968C ．25 050D ．32 768解析： a 6＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a 6a 5＝1×2×22×…×25＝215＝32 768. 答案： D3．若数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2(n ∈N *)，则a 6＝( ) A ．95 B ．116C ．137D ．2 解析： a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋6a 6＝36，① a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋5a 5＝25，②①－②得6a 6＝11，所以a 6＝116. 答案： B4．在数列{a n }中，已知a n ＋1＝a n ＋n2，且a 1＝2，则a 99的值是( )A ．2 477B ．2 427C ．2 427.5D ．2 477.5解析： ∵a n ＋1－a n ＝n2，∴a n －a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝12[1＋2＋…＋(n －1)]＝14(n －1)n ， ∴a 99＝2＋14×98×99＝2 427.5.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)，则a n ＝______. 解析： a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝2×13×24×35×…×n －1n ＋1＝4n n ＋1.答案：4n n ＋16．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则a n ＝________. 解析： a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．又a 1＋1＝2.∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列． ∴a n ＋1＝2×3n －1.∴a n ＝2×3n －1－1.答案： 2×3n －1－1三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解析： (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ＞1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋12.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋12.8．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3(n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式．解析： ∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3， ①∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13.②①－②，得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13.∴a n ＝13n (n ∈N *)．尖子生题库☆☆☆9.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解析： (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－12.因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1，所以S n ＝2S n －1＋2n －1， ① 所以S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，②②－①得a n ＋1＝2a n ＋2. 所以a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2，所以当n ＝1时也满足上式．所以{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2.。

高中数学必修五第二章数列2.4.1

(2)设等比数列{bn}的公比为q,则b2=8,b3=16,
所以q= b3
b2
=2,b1=4,bn=2n+1,
b6=26+1=128.由2(n+1)=128得n=63.
所以b6与数列{an}的第63项相等.
【方法技巧】等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.
则
a
2 3
=-1×(-9)=9,解得a3=±3,
设数列的公比为q,
因为a3=-1×q2<0,故a3=-3. 答案:-3
=
1 3
(an-1)-
1 3
(an-1-1),
得
an a n1

1，又a1=-
2
1 2
,
所以{an}是首项为- 1 ,公比为- 1 的等比数列.
2
2
【延伸探究】
1.将本例的条件改为“a1=
7 8
,且an+1=
1 2
a
n＋
1 3
”,求证
数列
{a n

2} 3
是等比数列.
【证明】因为an+1=
(1)已知an=128,a1=4,q=2,求n.
(2)已知an=625,n=4,q=5,求a1.
(3)a3=2,a2+a4=
20 3
,求通项公式an.
【解析】(1)因为an=a1qn-1, 所以4·2n-1=128,
所以2n-1=32,所以n-1=5,n=6.
(2)a1=

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。

高中数学人教A版必修五教学课件：第二章《数列》 2.4 第2课时等比数列的性质

－6 解析：a4a7＝a1· a10＝＝－2. 3
答案：B
3．等比数列{an}中，若 a9＝－2，则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，

高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质优化练习新人教A版必修5(2021年整理)

2017-2018学年高中数学第二章数列2.4 等比数列第2课时等比数列的性质优化练习新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章数列2.4 等比数列第2课时等比数列的性质优化练习新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第二章数列2.4 等比数列第2课时等比数列的性质优化练习新人教A版必修5的全部内容。

第2课时等比数列的性质[课时作业]［A组基础巩固］1．如果数列{a n｝是等比数列，那么（）A．数列{a错误!｝是等比数列B．数列｛2a n｝是等比数列C．数列{lg a n}是等比数列D．数列｛na n｝是等比数列解析：设b n＝a错误!，则错误!＝错误!＝错误!2＝q2，∴｛b n｝为等比数列；2a n＋12a n＝2a n＋1－a n≠常数；当a n〈0时，lg a n无意义；设c n＝na n,则错误!＝错误!＝错误!·q≠常数．答案:A2．已知等差数列{a n}的公差为3，若a1，a3,a4成等比数列,则a2等于( ）A．9 B．3C．－3 D．－9解析：a1＝a2－3,a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，由于a1，a3,a4成等比数列，a错误!＝a1a4，即 (a2＋3)2＝(a2－3)（a2＋6）,解得a2＝－9。

答案：D3．在正项等比数列｛a n｝中,a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( ）A．16 B．32C．64 D．256解析：由已知，得a1a19＝16。

高中数学第二章数列 2.4 等比数列(第1课时)等比数列的概念及通项公式巩固提升(含解析)新人教

第1课时等比数列的概念及通项公式[学生用书P105(单独成册)][A 基础达标]1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( ) A ．108 B.54 C ．36D ．18解析：选B.因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54. 2．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( )A ．±4 B.4 C ．±14D ．14解析：选A.由题意得(±a 6)2＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2，所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B.b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9解析：选B.因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2＝9，b ＝±3. 又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3，而b 又是a ，c 的等比中项，故b 2＝ac ，即ac ＝9.4．(2019·丰台高二检测)数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2B.4 C ．2D ．12解析：选C.因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2.5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．22n －1B.2nC ．22n ＋1D ．22n －3解析：选A.由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4.由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.故选A.6．下面四个数列：①1，1，2，4，8，16，32，64；②在数列{a n }中，已知a 2a 1＝2，a 3a 2＝2； ③常数列a ，a ，…，a ，…； ④在数列{a n }中，a n ＋1a n＝q (q ≠0)，其中n ∈N *. 其中一定是等比数列的有________．解析：①不符合“每一项与它的前一项的比等于同一常数”，故不是等比数列． ②不一定是等比数列．当{a n }只有3项时，{a n }是等比数列；当{a n }的项数超过3时，不一定符合．③不一定．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，是等比数列．④等比数列的定义用式子的形式表示：在数列{a n }中，对任意n ∈N *，有a n ＋1a n＝q (q ≠0)，那么{a n }是等比数列．答案：④7．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .因为a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3d ＝8，－1·q 3＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝－2. 所以a 2＝2，b 2＝2.所以a 2b 2＝22＝1.答案：18．等比数列{a n }中，若a 2a 5＝2a 3，a 4与a 6的等差中项为54，则a 1＝________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2a 5＝2a 3，所以a 21q 5＝2a 1q 2，化简得a 1q 3＝2＝a 4. 因为a 4与a 6的等差中项为54，所以a 4＋a 6＝2×54，所以a 4(1＋q 2)＝52.所以q 2＝14，解得q ＝±12.则a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫±18＝2，解得a 1＝±16. 答案：±169．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若a n ＝12，求n .解：(1)因为a 5＝a 1q 4＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14.所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3q n －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝28－n ；当q ＝－12时，a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3q n －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3.所以a n ＝28－n或a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3.(2)当a n ＝12时，即28－n＝12或32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3＝12，解得n ＝9.10．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，求数列{a n }的通项公式．解：设数列{a n }的公比为q . 因为a 25＝a 10，2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9①2（q 2＋1）＝5q ②，由①，得a 1＝q ，由②，得q ＝2或q ＝12，又数列{a n }为递增数列，所以a 1＝q ＝2，所以a n ＝2n.[B 能力提升]11．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则a n ＝( ) A ．2n－1 B.2n －1－1C ．2n －1D ．2(n －1)解析：选A.等式两边同时加1，得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n－1.12．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，ka 1a 2·…·a k ＝a 11，则k ＝( ) A ．12 B.15 C ．18D ．21解析：选D.ka 1a 2·…·a k ＝a 1q 1＋2＋3＋…＋（k －1）k＝a 1q k －12＝a 1q 10，因为a 1>0，q ≠1，所以k －12＝10，所以k ＝21，故选D.13．已知数列{a n }是等差数列，且a 2＝3，a 4＋3a 5＝56，若log 2b n ＝a n . (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：由log 2b n ＝a n ，得b n ＝2a n .因为数列{a n }是等差数列，不妨设公差为d ，则b n b n －1＝2a n 2a n －1＝2a n －a n －1＝2d ，2d 是与n 无关的常数，所以数列{b n }是等比数列．(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，a 1＋3d ＋3（a 1＋4d ）＝56，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝4，于是b 1＝2－1＝12，公比q ＝2d ＝24＝16，所以数列{b n }的通项公式b n ＝12·16n －1＝24n －5.14．(选做题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝3S n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由题意，知a 1＝3S 1＋1，即a 1＝3a 1＋1，所以a 1＝－12.又a 2＝3S 2＋1，即a 2＝3(a 1＋a 2)＋1，解得a 2＝14.(2)由a n ＝3S n ＋1，① 得a n －1＝3S n －1＋1(n ≥2)，② 由①－②，得a n －a n －1＝3(S n －S n －1)＝3a n ，得a n a n －1＝－12，所以数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.。

2017_18学年高中数学第二章2.4等比数列第一课时等比数列学案含解析

第一课时等比数列[提出问题] 观察下面几个数列： (1)4，－4,4，－4，…；(2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23，…，263；(3)某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为10 000×1.05,10 000×1.052，…，10 000×1.055.问题1：上述三个例子中的数列，它们是等差数列吗？提示：不是．问题2：这三个数列，从第2项起与前一项的比有什么特点？提示：都等于同一个常数． [导入新知] 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q (q ≠0)表示．[化解疑难]1．“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项； 2．“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”； 3．“同一常数q ”，q 是等比数列的公比，即q ＝a n a n －1或q ＝a n ＋1a n.特别注意，q 不可以为零，当q ＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．[提出问题]问题：观察“知识点一”中的三个数列，每个数列中任意连续三项间有何关系？提示：中间一项的平方等于它前一项与后一项之积． [导入新知]如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a ，b 的等比中项，这三个数满足关系式G ＝±ab .[化解疑难]1．G 是a 与b 的等比中项，则a 与b 的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．G ＝±ab ，即等比中项有两个，且互为相反数．2．当G 2＝ab 时，G 不一定是a 与b 的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列.[提出问题]问题：若数列{a n }为等比数列，公比为q ，则a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝a 1q 3，a 5＝a 4q ＝a 1q 4，…，由此你可以得出什么结论呢？提示：a n ＝a 1q n －1.[导入新知]等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠0)，则通项公式为a n ＝a 1q n －1.[化解疑难]1．在已知首项a 1和公比q 的前提下，利用通项公式a n ＝a 1q n －1可求出等比数列中的任一项．2．等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1可改写为a n ＝a 1q·q n.当q ＞0且q ≠1时，这是指数型函数．[例1] n (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .[解] (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝2253n-.(2)法一：因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ④由④③得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，得n ＝6.[类题通法]与求等差数列的通项公式的基本量一样，求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式，a n ＝a 1·qn －1(a 1q ≠0)中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量．求解时，要注意应用q ≠0验证求得的结果．[活学活用]1．若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是( ) A ．405 B ．－405 C ．135D ．－135解析：选A ∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3，∴a 5＝405.2．(辽宁高考)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9>0⇒a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.a 25＝a 10>0⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n. 答案：2n[例2] 已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．[解] 依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，于是b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n.而b n b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫124－n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2. ∴数列{b n }是首项为14，公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝2n －3.[类题通法]证明数列是等比数列常用的方法 (1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 为常数且q ≠0)或a na n －1＝q (q 为常数且q ≠0，n ≥2)⇔ {a n }为等比数列；(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列； (3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．[活学活用](全国丙卷改编)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求a 2，a 3；(2)证明{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0 得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因此{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.[例3] 设等差数列n 1k 1a 2k 的等比中项，则k 等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] ∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)，k ＝4. [答案] B [类题通法]等比中项的应用主要有两点(1)计算与其他性质综合应用．可以简化计算,提高速度和准确度． (2)用来判断或证明等比数列． [活学活用]已知1既是a 2与b 2的等比中项，又是1a 与1b 的等差中项，则a ＋b a 2＋b 2的值是( )A ．1或12B ．1或－12C ．1或13D ．1或－13解析：选D 由题意得，a 2b 2＝(ab )2＝1，1a ＋1b＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－1，a ＋b ＝－2.因此a ＋b a 2＋b 2的值为1或－13.4.求解等比中项中的误区[典例] 等比数列{a n }(a n ＞0)满足a 1－a 5＝90，a 2－a 4＝36，求a 5，a 7的等比中项． [解] 设该等比数列的公比为q ，首项为a 1，由a 1－a 5＝90，a 2－a 4＝36得⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a 1q 4＝90，a 1q －a 1q 3＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝96，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－6，q ＝2.(舍)令G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9，所以a 5，a 7的等比中项是±3. [易错防范]1．误认为a 5，a 7的等比中项是a 6，故a 6＝a 1q 5＝96×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝3.2．要明确同号两数的等比中项G 有两个，且互为相反数，若G 为a ，b 的等比中项，则G ＝±ab .[成功破障]等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( )A ．±4B ．4C ．±14D.14解析：选A 依题意得a 4·a 8＝(a 1q 3)·(a 1q 7)＝(a 1q 5)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18×252＝42，∴a 4与a 8的等比中项为±4.[随堂即时演练]1．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2解析：选C 设公比为q ，由a 1＋2a 2＝a 3，即a 1＋2a 1q ＝a 1q 2，得q 2－2q －1＝0. ∴q ＝2＋1，q ＝1－2(舍去)，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝3＋2 2. 2．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( ) A ．9 B ．3 C ．－3D ．－9解析：选D a 1＝a 2－3，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6，由于a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 23＝a 1a 4，所以(a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6)，解得a 2＝－9.3．在数列{a n }中，a 1＝2，且对任意正整数n,3a n ＋1－a n ＝0，则a n ＝________. 解析：∵3a n ＋1－a n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝13，因此{a n }是以13为公比的等比数列，又a 1＝2，所以a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.答案：2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －14．(全国卷Ⅱ改编)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝________.解析：∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)， ∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.答案：125．(1)已知{a n }为等比数列，且a 5＝8，a 7＝2，该数列的各项都为正数，求a n ； (2)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4＝8，a 1q 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝14，a 1＝128.∵a n ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝128.∴a n ＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝28－n.(2)由a n ＝a 1·qn －1，得13＝98⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，得n ＝4. [课时达标检测]一、选择题1．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14 B.12C.18D ．1解析：选A 原式＝2a 1＋a 2q 2a 1＋a 2＝1q 2＝14.2．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的第( )A ．2项B ．4项C ．6项D ．8项解析：选B 由x,2x ＋2,3x ＋3成等比数列，可知(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，解得x ＝－1或－4.又当x ＝－1时，2x ＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x ＝－4， ∴该数列是首项为－4，公比为32的等比数列，其通项a n ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，由－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝－1312，得n ＝4.3．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－3D ．－4解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8.4．若a ，b ，c 成等比数列，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0( )A ．必有两个不等实根B ．必有两个相等实根C ．必无实根D ．以上三种情况均有可能解析：选C ∵a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ＞0.又∵Δ＝b 2－4ac ＝－3ac ＜0， ∴方程无实数根．5．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2n －1)C ．(－2)nD ．－(－2)n解析：选A 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________.解析：∵a 3a 1＝q 2，∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2.当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n；当q ＝2时，a n ＝a 1qn －1＝－2×2n －1＝－2n.答案：(－2)n或－2n7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则a 4＝________. 解析：设公比为q ，则a 1q 2＝3，a 1q 9＝384，所以q 7＝128，q ＝2，故a 4＝a 3q ＝3×2＝6. 答案：68．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________．解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)．故{a n }是公比为－1的等比数列．令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.答案：a n ＝3·(－1)n －1三、解答题9．数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }中相邻的三项，若b 2＝5，求b n .解：∵{a n }是等差数列， ∴a 5＝a 1＋4d ，a 8＝a 1＋7d ，a 13＝a 1＋12d ，又a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }中相邻的三项， ∴a 28＝a 5a 13，即(a 1＋7d )2＝(a 1＋4d )·(a 1＋12d )，解得d ＝2a 1.设等比数列{b n }的公比为q (q ≠0)，则q ＝a 8a 5＝53，又b 2＝b 1q ＝5，即53b 1＝5，解得b 1＝3，∴b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a n ＋13(n ＝1,2,3，…)．(1)当a n ≠23时，求证⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(2)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13，改写成a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －23.故当a n ≠23时数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列．(2)当a 1＝76时，a 1－23＝12.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是首项为a 1－23＝12，公比为12的等比数列．∴a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．解：(1)由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12. 又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14. (2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，a 1＝1，数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：由S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，① 得S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)，② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)．又b n ＝a n ＋1－2a n ＝4a n －4a n －1－2a n ＝2a n －4a n －1 ＝2(a n －2a n －1)＝2b n －1(n ≥2)， ∴数列{b n }是公比为2的等比数列．(2)又a 1＝1，S 2＝4a 1＋2＝6，即a 2＋a 1＝6，∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3，∴b n ＝3×2n －1.。

高中数学第二章数列2.4.1等比数列的概念及通项公式人教A版必修5

2.等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,这三个数满足关系式 ab=G2.
思考 1 若 G2=ab,则 a,G,b 一定成等比数列吗?
提示:不一定.因为若 G=0,则 a,b 中至少有一个为 0,使 G2=ab,根据等比数列的定义,a,G,b 不成等比数列.当 a,G,b 全不为零时,若 G2=ab,则 a,G,b 成
探究四
探究二等比中项的应用
若 a,G,b 成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中项,此时 G=± ��. 注意:(1)在 a,b 同号时,a,b 的等比中项有两个,异号时,没有等比中项. (2)在一个等比数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项. (3)“a,G,b 成等比数列”等价于“G2=ab”(a,b 均不为 0),可以用它来判断或证明三个数成等比数列. 同时还要注意到“a,G,b 成等比数列”与“G= ��”不是等价的.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)∵a1=-1,an=3an-1-2n+3,∴a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15.
下面证明{an-n}是等比数列:
��+1-(n + ��-n
1)
=
3��-2(n
+ 1) + ��-n
是等比数列. (3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列

高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质aa高二数学

第二十三页，共四十二页。
『规律总结』等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a，aq，aq2 或aq，a，aq. (2)若四个数成等比数列，可设为 a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设qa3，aq，aq，aq3.
第二十四页，共四十二页。
• 〔跟踪练习2〕
第十四页，共四十二页。
命题(mìng tí)方向1 ⇨等比数列的性质
•
例题(lìtíபைடு நூலகம் 1在等比数列(děnɡ bǐ shù liè){an}中，已知a4a7＝－512，a3＋
a8＝124，且公比为整数，则a10＝___51_2___.
[解析] 由等比数列的性质，得 a3a8＝a4a7＝－512，由aa33＋ a8＝a8＝－152142，得
－4,2,8
• [分析] (1)四个数成等比数列，可用第一个数与公比q表示各数，然后按所给条件列方程组
求解．
• (2)三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一
个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解决问题的关键．
第二十五页，共四十二页。
25，那么a3＋a5＝
()
A
• A．5 B．10
• C．15 D．20
[解析] 由等比数列的性质，得 a4a6＝a25，a2a4＝a23， ∴(a3＋a5)2＝a23＋2a3a5＋a25，＝a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25， ∴a3＋a5＝±5. ∵an>0，∴a3＋a5＝5.
第十二页，共四十二页。
• (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列(děnɡ chā shù liè)，则这四个数为__3_,_6_,1_2_,2_4________.

高中数学第二章第一课时等比数列的前n项和学案含解析新人教A版必修596

第一课时等比数列的前n 项和[提出问题已知等比数列{a n }，公比为q ，S n 是其前n 项的和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1.问题1：若q ＝1，则S n 与a 1有何关系？提示：S n ＝na 1.问题2：若q ≠1，你能用a 1，q 直接表示S n 吗？如何表示？提示：能．∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①两边同乘以q ，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，②①－②得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n， ∴当q ≠1时，S n ＝a 1－qn1－q.[导入新知]等比数列的前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝，a 1－q n1－qqS n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝，a 1－a n q1－qq[化解疑难]1．在运用等比数列的前n 项和公式时，一定要注意对公比q 的讨论(q ＝1或q ≠1)． 2．当q ≠1时，若已知a 1及q ，则用公式S n ＝a 1－qn1－q较好；若已知a n ，则用公式S n ＝a 1－a n q 1－q较好．[例n (1)若a 1＝1，a 5＝16，且q ＞0，求S 7； (2)若a 3＝32，S 3＝92，求a 1和公比q .[解] (1)∵{a n }为等比数列且a 1＝1，a 5＝16， ∴a 5＝a 1q 4. ∴16＝q 4. ∴q ＝2(负舍)． ∴S 7＝a 1－q 71－q＝1－271－2＝127. (2)①当q ≠1时，S 3＝a 1－q 31－q＝92，又a 3＝a 1·q 2＝32，∴a 1(1＋q ＋q 2)＝92，即32q 2(1＋q ＋q 2)＝92，解得q ＝－12(q ＝1舍去)，∴a 1＝6.②当q ＝1时，S 3＝3a 1， ∴a 1＝32.综上得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，q ＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝1.[类题通法]在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1与q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．[活学活用] 在等比数列{a n }中： (1)若q ＝2，S 4＝1，求S 8；(2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5.解：(1)设首项为a 1， ∵q ＝2，S 4＝1， ∴a 1－241－2＝1，即a 1＝115，∴S 8＝a 1－q 81－q＝115－281－2＝17.(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q 2＝10， ①a 1q 3＋q 2＝54. ②∵a 1≠0,1＋q 2≠0，∴②÷①得q 3＝18，即q ＝12，∴a 1＝8.∴a 4＝a 1q 3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，S 5＝a 1－q 51－q＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312.[例2] n n 481718＋a 19＋a 20的值． [解] 由等比数列前n 项和的性质，可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…，S 4n －S 4n －4，…成等比数列．由题意可知上面数列的首项为S 4＝2，公比为S 8－S 4S 4＝2，故S 4n －S 4n －4＝2n(n ≥2)，所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝25＝32. [类题通法]等比数列前n 项和的重要性质(1)等比数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…成等比数列(其中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…均不为0)，这一性质可直接应用．(2)等比数列的项数是偶数时，S 偶S 奇＝q ；等比数列的项数是奇数时，S 奇－a 1S 偶＝q . [活学活用]1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64解析：选C 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 若q ＝1，则有S n ＝na 1，显然不符合题意，故q ≠1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝a 1－q21－q＝3，S 4＝a1－q 41－q＝15，两式相除得1＋q 2＝5，解得q 2＝4，故q ＝2或q ＝－2.若q ＝2，代入解得a 1＝1，此时S 6＝a 1－q 61－q＝－261－2＝63.若q ＝－2，代入解得a 1＝－3，此时S 6＝a 1－q 61－q＝－－－6]1－－＝63.故选C.法二：在等比数列{a n }中，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等比数列，故(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，则(15－3)2＝3(S 6－15)，解得S 6＝63.法三：设等比数列的公比为q .则S 2＝a 1＋a 2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋q 2)(a 1＋a 2)＝(1＋q 2)×3＝15，解得q 2＝4.故S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(1＋q 2＋q 4)(a 1＋a 2)＝(1＋4＋42)×3＝63.故选C. 2．等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160.∴公比q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 答案：2[例3] n n 132 (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .[解] (1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴2S 3＝S 1＋S 2，显然{a n }的公比q ≠1，于是2a 1－q 31－q＝a 1＋a 1－q 21－q，即2(1＋q ＋q 2)＝2＋q ，整理得2q 2＋q ＝0， ∴q ＝－12(q ＝0舍去)．(2)∵q ＝－12，又a 1－a 3＝3，∴a 1－a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3，解得a 1＝4.于是S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . [类题通法]解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式是解决问题的关键．[活学活用]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －n 2，a n ＝log 5b n ，其中b n ＞0，求数列{b n }的前n 项和T n .解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －n 2)－[2(n －1)－(n －1)2]＝－2n ＋3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－12＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式a n ＝－2n ＋3(n ∈N *)．又a n ＝log 5b n ， ∴log 5b n ＝－2n ＋3，于是b n ＝5－2n ＋3，b n ＋1＝5－2n ＋1，∴b n ＋1b n ＝5－2n ＋15－2n ＋3＝5－2＝125. 因此{b n }是公比为125的等比数列，且b 1＝5－2＋3＝5，于是{b n }的前n 项和T n ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125n 1－125＝12524⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125n.5.等比数列求和中的误区[典例] 设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求此数列的公比q . [解] 当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，符合题目条件；当q ≠1时，a 1－q 31－q＝3a 1q 2，因为a 1≠0，所以1＋q ＋q 2＝3q 2， 2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12.综上所述，公比q 的值是1或－12.[易错防范]1．易忽视q ＝1这一情况，从而得出错解．2．在用等比数列求和公式求和前，先看公比q ，若其中含有字母，就应按q ＝0，q ＝1，q ≠0且q ≠1讨论．[成功破障]已知等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 解：若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意．此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式，得S 3＝a 1－q 31－q＝－q 31－q＝6，解得q ＝1(舍去)或q ＝－2. 此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.[随堂即时演练]1．数列{2n －1}的前99项和为( )A ．2100－1 B ．1－2100C ．299－1 D ．1－299解析：选C 数列{2n －1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S 99＝1－2991－2＝299－1.2．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：选C a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4－a 3＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝4.3．已知等比数列{a n }中，q ＝2，n ＝5，S n ＝62，则a 1＝________. 解析：∵q ＝2，n ＝5，S n ＝62， ∴a 1－q n1－q＝62，即a 1－251－2＝62，∴a 1＝2. 答案：24．等比数列{a n }的前5项和S 5＝10，前10项和S 10＝50，则它的前15项和S 15＝________.解析：由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，故(S 10－S 5)2＝S 5(S 15－S 10)，即(50－10)2＝10(S 15－50)，解得S 15＝210. 答案：2105．在等比数列{a n }中： (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ；(2)若S n ＝189，a 1＝3，a n ＝96，求q 和n .解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q ＝30，a 1＋q ＋q2＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝14×5n ＋1－54，或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.(2)∵等比数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝96，S n ＝189， ∴3－96q1－q＝189.∴q ＝2. ∴a n ＝a 1q n －1.∴96＝3×2n －1.∴n ＝5＋1＝6.[课时达标检测]一、选择题1．等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n 等于( ) A.1－a n1－a B.1－an －11－aC.⎩⎪⎨⎪⎧1－a n 1－a a n a ＝D.⎩⎪⎨⎪⎧1－a n －11－a a n a ＝解析：选C 注意对公比a 是否为1进行分类讨论，易知选C.2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80解析：选A 由等比数列的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32.∴a 7＋a 8＝40×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝135.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5 C.3116 D.158解析：选C 易知公比q ≠1. 由9S 3＝S 6，得9·a 1－q 31－q＝a 1－q 61－q，解得q ＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列．∴其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析：选B 由S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )得S n ＋1＝32S n ，所以{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.5．等比数列{a n }的公比q ＜0，已知a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，则{a n }的前2 016项和等于( )A ．2 016B ．－1C ．1D ．0解析：选D 由a n ＋2＝a n ＋1＋2a n 得qn ＋1＝q n ＋2qn －1，即q 2－q －2＝0，又q ＜0，解得q ＝－1，又a 2＝1，∴a 1＝－1，S 2 016＝－1×[1－－ 2 016]1－－＝0.二、填空题6．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析：∵S 4＝a 1－q41－q，a 4＝a 1q 3，∴S 4a 4＝1－q 4q 3－q＝15. 答案：157．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝a 1－q2n1－q，S 奇＝a 1[]1－q2n1－q 2.由题意得a 1－q 2n1－q＝3a 1－q 2n1－q2，∴1＋q ＝3，∴q ＝2. 答案：28．已知等比数列的前10项中，所有奇数项之和为8514，所有偶数项之和为17012，则S＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12的值为________．解析：设公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧S偶S 奇＝q ＝2，S奇＝a 1[]1－q 251－q2＝8514，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2.∴S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12＝a 3(1＋q 3＋q 6＋q 9) ＝a 1q 2·1－q121－q3＝585.答案：585 三、解答题9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1. 10．已知等差数列{a n }满足：a 4＝6，a 6＝10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的各项均为正数，T n 为其前n 项和，若b 1＝1，b 3＝a 3，求T n . 解：(1)∵等差数列{a n }，∴设公差为d ，a 6－a 4＝2d ⇒2d ＝4⇒d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －2(n ∈N *)．(2)由(1)可知b 3＝a 3＝2×3－2＝4，又∵正项等比数列{b n }，∴q 2＝b 3b 1＝4⇒q ＝2，∴T n ＝－2n 1－2＝2n－1.11．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13. (1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n 2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ， S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n 2. (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋2. 所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋2.12．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9求数列的公比q . 解：法一：若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，但a 1≠0，即S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1.同理可得q ≠－1，依题意S 3＋S 6＝2S 9.∴a 1－q 31－q ＋a 1－q 61－q ＝2×a 1－q 91－q .整理，得q 3(2q 6－q 3－1)＝0，由于q ≠0，得2q 6－q 3－1＝0. ∵q ≠－1，∴q 3≠－1，∴q 3＝－12，∴q ＝－342.法二：S 3＋S 6＝2S 9，∴S 3，S 9，S 6成等差数列．∴S 9－S 3＝S 6－S 9，∴a 1q 3＋a 1q 4＋…＋a 1q 8＝－a 1q 6－a 1q 7－a 1q 8，∴a 1q 3(1＋q ＋q 2)(2q 3＋1)＝0.∵a 1≠0，q ≠0,1＋q ＋q 2≠0，∴2q 3＋1＝0，q ＝－312＝－342.法三：∵S 3＋S 6＝2S 9，又S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列．∴由⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＋S 6＝2S 9，S 3S 9－S 6＝S 6－S 32.消去S 9，得S 3＝2S 6，又由法一知q ≠1，∴q 3＝S 6－S 3S 3＝－12，∴q ＝－342.敬请批评指正。

【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第二章2.4第1课时等比数列的概念与通n项公式(含答案)

第二章数列2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通n 项公式A 级基础巩固一、选择题1．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.13C.12D ．1 解析：a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，a 4＝8a 1，所以2a 1＋a 22a 3＋a 4＝4a 116a 1＝14. 答案：A2．公差不为0的等差数列的第2，3，6项构成等比数列，则公比是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设等差数列的第2项是a 2，公差是d ，则a 3＝a 2＋d ，a 6＝a 2＋4d .由等差数列的第2，3，6项构成等比数列，得(a 2＋d )2＝a 2(a 2＋4d )，则d ＝2a 2，公比q ＝a 3a 2＝a 2＋d a 2＝a 2＋2a 2a 2＝3.答案：C3．若正数a ，b ，c 组成等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 一定是( )A ．等差数列B ．既是等差数列又是等比数列C ．等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列解析：由题意得b 2＝ac (a ，b ，c >0)，所以log 2b 2＝log 2ac即2log 2b ＝log 2a ＋log 2c ，所以log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列．答案：A4．已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．±6D ．±12解析：a ＝1＋22＝32， b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，所以ab ＝±6.答案：C5．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐步加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年解析：设第n 年的研发投资资金为a n ，a 1＝130，则a n ＝130×1.12n －1，由题意，需a n ＝130×1.12n －1≥200，解得n ≥5，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.答案：B二、填空题6．等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为________．解析：a 4＝a 1q 3＝18×23＝1， a 8＝a 1q 7＝18×27＝16，所以a 4与a 8的等比中项为±16＝±4.答案：±47．设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列的公比为q ，由⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得⎩⎨⎧a 1（1＋q 2）＝10，a 1q （1＋q 2）＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，所以a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝8n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n （n －1）2＝2－12n 2＋72n ，于是当n ＝3或4时，a 1a 2…a n 取得最大值26＝64.答案：648．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 6＋a 7a 8＋a 9等于________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q .由于a 1≠0，所以q 2＝1＋2q ，解得q ＝1±2.又等比数列{a n }中各项都是正数，所以q ＞0，所以q ＝1＋ 2.所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝1（1＋2）2＝3－2 2. 答案：3－2 2三、解答题9．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3.q ＝2q ，所以2q ＋2q ＝203. 解得q ＝13或q ＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，所以a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29，所以a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.10．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求证：{a n }是等比数列，并求出其通项．(2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．解：(1)因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n ＝23. 又因为数列{a n }的各项均为负数，所以a 1≠0，所以数列{a n }是以23为公比的等比数列．所以a n ＝a 1·q n －1＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. 所以a 2＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝23a 1， a 5＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫235－1＝1681a 1，又因为a 2·a 5＝23a 1·1681a 1＝827，所以a 21＝94. 又因为a 1<0，所以a 1＝－32. 所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2(n ∈N *)． (2)令a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝－1681，则n －2＝4，n ＝6∈N *，所以－1681是这个等比数列中的项，且是第6项． B 级能力提升1．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案：A2．已知等比数列{a n }，若a 3a 4a 8＝8，则a 1a 2…a 9＝________．答案：5123．设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式及项的最值．(1)解：根据根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝an ＋1a n ，αβ＝1a n .代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得6a n ＋1a n －2a n ＝3.所以a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －23.若a n ＝23，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0可化为23x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，所以a n ≠23，即a n －23≠0. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列． (3)解：当a 1＝76时，a 1－23＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是首项为12，公比为12的等比数列．所以a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ＝1，2，3，…，即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n ＝1，2，3，…. 由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减知，当n ＝1时，a n 的值最大，即最大值为a 1＝76.。

高中数学第二章数列 2.4 等比数列第二课时等比数列的性质学案(含解析)新人教A版必修5-新

第二课时等比数列的性质等比数列性质的应用[例1] (1)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝8，a 8a 9＝－8，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.(2)已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．[解] (1)因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53. (2)∵{a n }为等比数列， ∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∵t 1＝4，t 2＝16，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4. ①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. ②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1. [答案] (1) －53[类题通法] 等比数列常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q .特例：若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ·a n ＝a 2p . (2)a n a m＝qn －m(m ，n ∈N *)．(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{a n }为等比数列，则数列{λa n }(λ为不等于0的常数)和⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然成等比数列．[活学活用]1．在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝12，则a 10＝________. 解析：法一：设{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 5＝12，解得q 4＝6，∴a 10＝a 1q 9＝a 1q ·(q 4)2＝2×36＝72. 法二：∵{a n }是等比数列， ∴a 26＝a 2·a 10，于是a 10＝a 26a 2＝1222＝1442＝72.答案：722．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27， ∴a 1a 2a 3…a 13＝()a 276·a 7＝a 137，而a 7＝－2，∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－213灵活设元求解等比数列[例2] 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． [解] 法一：设三个数依次为a ，aq ，aq 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27，a 2＋a 2q 2＋a 2q 4＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝27，a 21＋q 2＋q 4＝91，即⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3，a 21＋q 2＋q 4＝91，解得q 21＋q 2＋q 4＝991，得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝9或q 2＝19，∴q ＝±3或q ＝±13.若q ＝3，则a 1＝1；若q ＝－3，则a 1＝－1；若q ＝13，则a 1＝9；若q ＝－13，则a 1＝－9.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. 法二：设这三个数分别为a q，a ，aq .⎩⎪⎨⎪⎧aq·a ·aq ＝27，a 2q 2＋a 2＋a 2q 2＝91⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q2＋1＋q 2＝91，得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝19或q 2＝9，∴q ＝±13或q ＝±3.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. [类题通法]三个数或四个数成等比数列的设元技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a ，aq ，aq 2或a q，a ，aq .(2)若四个数成等比数列，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设为a q3，a q，aq ，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或1712B ．4或1712C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝1712.等比数列的实际应用[例3] 年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2015年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %. ∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列． ∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2016年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．[类题通法]数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用](安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：143.等差数列和等比数列的性质对比等差数列和等比数列从文字看，只是一字之差，但定义和性质相差甚远，下面对两类数列的性质作一比对，若等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .【性质1】等差数列{a n }，当d ＝0时，数列为常数列，当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．等比数列{b n }，当q ＞1，b 1＞0或0＜q ＜1，b 1＜0时，数列{b n }是递增数列；当q ＞1，b 1＜0或0＜q ＜1，b 1＞0时，数列{b n }是递减数列；当q ＝1时，数列{b n }是常数列．[例1] 设{a n }是首项大于零的等比数列，且a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是________数列．(填“递增”“递减”或“摆动”)[解析] 设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，因为a 1＜a 2＜a 3，所以a 1＜a 1q ＜a 1q 2，解得q ＞1，且a 1＞0，所以数列{a n }是递增数列．[答案] 递增【性质2】等差数列{a n }满足a n ＝a m ＋(n －m )·d (m ，n ∈N *)，等比数列{b n }满足b n ＝b m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(当m ＝1时，上述式子为通项公式)[例2] 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，则{a n }的通项公式为________． [解析] ∵a 6＝a 3＋3d ，则0＝－6＋3d ，得d ＝2， ∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋(n －3)×2＝2n －12. [答案] a n ＝2n －12【性质3】若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，等差数列{a n }满足a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，若数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i ＋1＋a n －i ＝…(n ∈N *)．等比数列{b n }满足b m b n ＝b p b q ，特别地，数列{b n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即b 1·b n ＝b 2·b n －1＝b 3·b n －2＝…＝b m ·b n －m ＋1.[例3] (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．105(2)在等比数列{a n }中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比q 值的个数可能为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] (1)S 19＝19a 1＋a 192＝19a 3＋a 172＝19×102＝95.(2)∵a 2·a 8＝a 3·a 7，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 7＝36，a 3＋a 7＝15，解得a 3＝3，a 7＝12，或a 3＝12，a 7＝3. 若a 3＝3，a 7＝12，则有12＝3×q 4， ∴q 4＝4，∴q 2＝2，q ＝± 2.若a 3＝12，a 7＝3，则有3＝12×q 4， ∴q 4＝14，q 2＝12，q ＝±22.∴q 的值可能有4个．答案：(1)B (2)D【性质4】在等差(比)数列中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差(比)数列，公差为(k ＋1)d (公比为q k ＋1)，若两个数列分别成等差(比)数列，则两数列对应项和(积)构成等差(比)数列．[例4] 在1和16之间插入三个正数a ，b ，c 使1，a ，b ，c,16成等比数列，求a ＋b ＋c 的值．[解] ∵1，a ，b ，c,16成等比数列， ∴1，b,16为等比数列．∴b ＝4.∴1，a ，b 也成等比数列，b ，c,16也成等比数列． ∴a ＝2，c ＝8.∴a ＋b ＋c ＝2＋4＋8＝14.[随堂即时演练]1．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列( )A ．是公比为q 的等比数列B ．是公比为q 2的等比数列 C ．是公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列解析：选B 由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1·a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N *， ∴{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B.2．若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为( ) A ．－12B.12 C ．±12D.14解析：选A ∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0， ∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. 3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝________. 解析：∵a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3，∴q 3＝a 891a 888＝813＝27. ∴q ＝3. 答案：34．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________. 解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41，又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49. ∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：75．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . 解：(1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72，∴q 4＝4，∴q ＝± 2.[课时达标检测]一、选择题1．(重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A ．35 B ．63 C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }是等比数列， ∴a 4，a 6，a 8成等比数列， ∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( ) A ．81 B ．27327 C ．3D ．243解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)·(a 3a 8)·(a 4a 7)·(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81.故选A. 4．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列： ①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}； ④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选D ①∵a 3n ＋1a 3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 3＝q 3，∴{a 3n}是等比数列；②∵pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n＝q ，∴{pa n }是等比数列；③∵a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，∴{a n ·a n ＋1}是等比数列；④∵a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q a n －1＋a na n －1＋a n＝q ，∴{a n ＋a n ＋1}是等比数列．5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.二、填空题6．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0， ∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 答案：167．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048(平方厘米)．答案：2 0488．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 解析：∵{a n }是等比数列， ∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝23或q 10＝32. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或a 20a 10＝32. 答案：23或32三、解答题9．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．解：法一：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272＝a 1q 4＝83q 4， ∴q 4＝8116，q 2＝94. ∴a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 31·q 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝63＝216. 法二：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83， a 5＝272，由题意知a 1，a 3，a 5也成等比数列且a 3>0，∴a 23＝83×272＝36，∴a 3＝6， ∴a 2·a 3·a 4＝a 23·a 3＝a 33＝216.10．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解：设每月平均下降的百分比为x ，则每月的价格构成了等比数列{a n }，记a 1＝147(7月份价格)，则8月份价格a 2＝a 1(1－x )＝147(1－x )，9月份价格a 3＝a 2(1－x )＝147(1－x )2.∴147(1－x )2＝97，解得x ≈18.8%.设a n ＝34，则34＝147·(1－18.8%)n －1，解得n ＝8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．11．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？当a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a 1＝1－1a .设操作n 次后溶液的浓度为a n ，则操作(n ＋1)次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a . ∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，q ＝1－1a为公比的等比数列， ∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ，即第n 次操作后酒精的浓度是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n . 当a ＝2时，由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110(n ∈N *)，解得n ≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.12．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．解：法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，a q，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝13，a ＝3.所以当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法三：设这四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝x ＋12－y ，12－y 2＝y 16－x . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2016-2017学年高中数学第二章数列 2.4 等比数列第1课时等比数列高效测评新人教A版必修
5
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知{a n}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于( )
A．7 B．5
C．－5 D．－7
解析：　方法一：由题意得
∴或
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
方法二：由解得或
∴或
∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.故选D.
答案：　D
2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3·a11＝16，则a5等于( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：　∵a3·a11＝16，
∴a＝16，
又∵a n>0，
∴a7＝4.
∵a7＝4＝a5·22，
∴a5＝1.故选A.
答案：　A
3．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为( )
A． B．
C． D．1
解析：　＝＝＝，故选A.
答案：　A
4．已知正项等比数列{a n}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两
项a m，a n，使得＝4a1，则m＋n的值为( )
A．10 B．6
C．4 D．不存在
解析：　∵a7＝a6＋2a5，
∴a5q2＝a5q＋2a5，
又a5≠0，∴q2＝q＋2，
∴q＝2或q＝－1，
又a n>0，∴q＝2.
又＝4a1，∴a m a n＝16a，
∴aq m－1·q n－1＝16a，
∴q m＋n－2＝16，即2m＋n－2＝24，
∴m＋n－2＝4，∴m＋n＝6.故选B.
答案：　B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若等比数列{a n}满足a2a4＝，则a1aa5＝________.
解析：　∵a2a4＝a＝，∴a1aa5＝a＝.
答案：　
6．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a2，a5成等比数列，则a2等于________．
解析：　∵a1，a2，a5成等比数列，
∴a＝a1·a5.
即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，
即d2＝2a1d，
∴d＝2a1＝2，∴a1＝1，
∴a2＝a1＋d＝3.
答案：　3
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．各项均为正数的等比数列{a n}中，a4＝1，a2＋a6＝，求数列{a n}的通项公式．
解析：　由a2＋a6＝，
得＋a4q2＝，
又a4＝1，
∴9q4－82q2＋9＝0，得q2＝9或，
∴q＝3或，
∴a n＝a4q n－4＝3n－4或a n＝n－4.
8．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n＋1＝4a n＋2.设b n＝a n －2a n，证明：数列{b n}是等比数列．
＋1
证明：　由a1＝1及S n＋1＝4a n＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，
∴b1＝a2－2a1＝3.
由S n＋1＝4a n＋2 ①
则当n≥2时，有S n＝4a n－1＋2 ②
①－②得a n＋1＝4a n－4a n－1，
∴a n＋1－2a n＝2(a n－2a n－1)．
又b n＝a n＋1－2a n，∴b n＝2b n－1，
∴{b n}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
☆☆☆
9.(10分)设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，
且a5，a3，a4成等差数列．
(1)求数列{a n}的公比；
(2)证明：对任意k∈N*，S k＋2，S k，S k＋1成等差数列．解析：　(1)设数列{a n}的公比为q(q≠0，q≠1)，
由a5，a3，a4成等差数列，
得2a3＝a5＋a4，
即2a1q2＝a1q4＋a1q3.
由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，
解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，
所以q＝－2.
(2)证明：对任意k∈N*，
S k＋2＋S k＋1－2S k＝(S k＋2－S k)＋(S k＋1－S k)
＝a k＋1＋a k＋2＋a k＋1
＝2a k＋1＋a k＋1·(－2)
＝0，
所以对任意k∈N*，S k＋2，S k，S k＋1成等差数列．。