空间曲线方程式7-6精品

例2: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.
解: 先找出该平面的法向量n.
由于n与向量M1M2, M1M3都垂直. 而M1M2={3, 4, 6} M1M3={2, 3, 1} n
可取n = M1M2 M1M3
i jk
G (x, y, z) = 0
(3)
由方程组(3)消去z后得方程
H (x, y) = 0
(4)
方程(4)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线C 一定在曲面上.
以曲线C为准线, 母线平行于z 轴(即垂直xOy面) 的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱 面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影 曲线, 或简称投影.
h t O M
A x
M y
(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以 经过时间t, AOM = t. 从而
x = |OM | ·cosAOM = acos t
y = |OM | ·sinAOM = asin t
(2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而 z
例2: 已知平面过点M0(1, 2, 3), 且平行于 平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.
解: 所求平面与已知平面有相同的法向量 n ={2 3, 4}
2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0
即:
2x 3y + 4z 4 = 0
2. 平面方程的几种特殊情形
z
解: 半球面与锥面的交线为
C
:

z

z
4x2 y2 3( x 2 y 2 )
由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1
O
y
x x2 + y2 1
这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C 在xoy面上的投影曲线为
x2 + y2 = 1 z=0
这是xoy面上的一个圆.

| A1 A2 B1 B 2 C1C 2 |
A12

B12

C
2 1
所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1
四、二次曲面 1. 定义: 由x, y, z的二次方程: ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0 所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, …, i, j 为 常数.
空间曲线的参数方程.
例3: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以
角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿
平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数),
那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其
参数方程.
z
解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A 运动到M(x, y, z), M在xOy面 上的投影为M (x, y, 0).
M1
M3
3 4 6 = 14i + 9j k
M2
2 3 1
所以, 所求平面的方程为:
14(x 2) + 9(y + 3) (z 4) = 0
即: 14x + 9y z 15 = 0
二、平面的一般方程
1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0 都表示平面,且此平面的一个法向量是: n = {A, B, C}
y 0
特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示 球心在原点o, 半径为a的球面.
(2) 椭圆抛物面:
x2
y2
z
a2 b2
z
1 平面 z = k ,(k 0)截割, 截线 是平面 z = k上的椭圆.

x
2
y2
k
a2 b2
z k
z = MM = vt 得螺旋线的参数方程
x = acos t y = asin t
z = vt
注: 还可以用其它变量作参数.
OM
t
A x
M y
z
例如: 令 = t. 为参数; 螺旋
线的参数方程为:
x = acos
y = asin
z = b 这里b v .

h
OM
n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0 于是:
平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.
特别: D = 0时, 平面过坐标轴.
(3) 平行于坐标面的平面方程
第六节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
z
设有两块曲面S1, S2, 它们的 方程依次为:
S1 S2
S1: F (x, y, z) = 0
oC
y
S2: G (x, y, z) = 0
x
S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程, 而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.
因此
F ( x, y,z) 0
法向量 n2 = {A2, B2, C2}
2 1
平面Π 1与Π 2的夹角 应是



( n1 , n 2 ) 和( n1 , n 2 ) ( n1 , n 2 ) 两者中的锐角,

所以 cos cos( n1 , n 2 )
| n1 n2 | | n1 || n2 |
a2 b2
x k
当k 0时, 为 z y 2 . b2
第七节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 1. 法向量:
若一非零向量n垂直于一平面. 则称向量n 为平面 的法向量. 注: 1 对平面, 法向量n不唯一;
2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.
2. 平面的点法式方程
o
y
x
k = 0时, 为一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大.
2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线
x2

a
2
k2 b2
z ,
y k
当k 0时, 为 z x 2 . a2
3 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.

k
2
y2
z
所以方程 H (x, y) = 0 所表示的曲线必定包含 z=0
了空间曲线C在xOy面上的投影.
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线 方程.
例4: 已知两个球面的方程分别为: x2 + y2 + z2 = 1
和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.
平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0; 平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0.
例3: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.
解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0.
设所求平面的方程是 By + Cz = 0
证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为
A

x

(
D A
)


B
(
y

0
)

C
(
z

0
)

0
它表示过定点
M
0
(

D A
,0,0)
,
且法向量为
n = {A, B, C}的平面.
注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2)
称为平面的一般方程.
n M
y
(1)
称方程(1) 为平面的点法式方程.
例1: 求过点(2, 3, 0)且以 n = {1, 2, 3}为法向量 的平面的方程.
解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为: 1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0
即:
x 2y + 3z 8 = 0
研究方法是采用平面截痕法.
2. 几种常见二次曲面.
z
(1) 椭球面 x 2 y 2 z 2 1
a2 b2 C2
1 用平面z = 0去截割, 得椭圆
O o

x
2

y2
1
a2 b2
x
y
z 0
2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆

x
2

y2
即:
x y z 1
(3)
abc
三、两平面的夹角
1. 定义: 两平面的法向量的夹角(通常指锐角) 称为两平面的夹角.
若已知两平面方程是:
1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
n2 n1
法向量 n1 = {A1, B1, C1}
2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0