第04章 气体动理论

2.伽尔顿板实验
统计物理关心两件事：
1. 分布 2. 平均值
1．气体分子速率分布
离散：
f
vi : N i
N i
N
f (vi )
O f v 1 v 2 v 3 v4 v5 v
N i －－分布函数 f (vi ) N
连续：
dN v v ~ v dv : dN v f (v )dv N
而系统以外的部分则称为外界。 热力学系统是一个由大量的 微观粒子（分子、原子）组 成的宏观系统。 热力学系统与外界之间通过 做功，热传递和粒子交换而 相互联系。
外界
热力学系统
2.平衡态
在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不 随时间改变的状态，称为平衡态。
2.1 力学平衡： 系统各部分受力平衡。在无外场条件下， 力学平衡的条件为系统内部压强处处相等，系统内外的压 强在分界处保持相等。
解： （1） pV RT
(0.10 / 32 10 3 ) 8.31 (47 273.15) V p 10 1.013 105 8.3110 3 (m 3 )
m' RT ' （2） p 'V RT ' M Mp'V 32 10 3 (5 / 8) 10 1.013 105 8.31 10 3 m' RT ' 8.31 (27 273.15)
§4-1 平衡态 状态方程 §4-2 分子热运动及其统计规律 §4-3 麦克斯韦速率分布 §4-4 玻尔兹曼分布 §4-5 理想气体的压强与温度 §4-6 能量均分定理 理想气体的内能 §4-7 真实气体 §4-8 平均碰撞频率与平均自由程 §4-9 输运现象
1.热力学系统
把研究的对象视为一个系统，称为热力学系统，
f(v)的性质： 1）存在最可几速率vp
2）T增大，速率大的分子数增多，vp增大
3）f(v)满足归一化条件： f (v )dv 1
0


f
T1
T1 T2
T2
O
vp1 vp2
v
3. 三个统计速率
1.最概然速率 vp：
df 2kT 2 RT 0 vp dv m M 2.平均速率 v ：
1．热学的研究对象
研究一个与温度有关的各种宏观现象——热现象，
以及这些现象的微观机制。
热学研究的范围很广，任何与热（微观粒子热运动）相关 的现象都是热学的研究范围。 热学所研究的系统是一个由大量的微观粒子（分子、原子） 组成的宏观系统。
2.宏观与微观
2.1 宏观现象与宏观量： 宏观现象即一个系统所表现出来 的各种物理性质以及这些性质的变化规律。描述一个系统 宏观性质的物理量称为宏观量。例：P、V、T、E、C等。
p /T C
－－查理定律
V /T C
pV C
－－盖.吕萨克定律
－－玻意耳定律
4.3 范德瓦耳斯方程
a ( p 2 )(Vm b) RT Vm
其中 V m
Vm

为摩尔体积，a、b 由实验确定。
例 4-1 一容器内贮有氧气 0.10kg， 压强为 10atm， 温度为 470C。因容器漏气，过一段时间后，压强 减到原来的 5/8，温度降到 270C。问： （1）容器体积为多大？ （2）漏去了多少氧气？
23
10
2）每个分子都在作不停的运动──热运动。由于分 子之间频繁的碰撞，分子的运动是杂乱无章的。
2
v ~ 10 米 / 秒
Z ~ 10 次 / 秒
3 ）气体分子之间的相互作用
力很小（一般可忽略）。
9
2．分子热运动的统计规律
个别分子的运动是杂1. 掷骰子
270C ，海平面上的气压 p0=1.0atm ，今测得某山顶
上的大气压p=0.8atm。 （1）分别求出海平面和山顶上空气的分子密度； （ 2 ）山的高度约为多少？（设空气的平均分子量 为29）
m m pM RT 解： （1） pV M V RT
p0 M 0 0.94kg/m 3 RT
RT
6.67 10 2 (kg )
m m m' 0.10 6.67 10 2 3.33 10 2 ( kg )
1.气体分子热运动的微观模型
1）气体系统由大量的分子组成。
26 m ~ 10 千克 N A 6.02 10 个 / 摩尔 d ~ 10 米
pM 1.18kg/m 3 RT
（2） p ( z ) p0 e
mgz kT
p0 e

Mgz RT

p0 RT z ln 1.96 103 (m) Mg p
1.理想气体的微观模型及混沌性假设
1.1 理想气体的微观模型
① 分子本身的线度比起分子间的间距小得多而可 忽略不计。 ② 除了碰撞的瞬间外，分子之间以及分子与容器壁 之间的相互作用力可忽略不计。
x 2
2


0
x e
4
x 2
dx
3 8
2

……
麦克斯韦 Maxwell，James Clerk (1831～1879)
英国物理学家。经典电动力学的创始人，统计物理学 的奠基人之一。 1831 年 6 月 13 日生于爱丁堡， 1879 年 11 月 5 日 卒 于 剑 桥 。 1847 ～ 1850 年 在 爱 丁 堡 大 学 学 习 ， 1850 ～1854年入剑桥三一学院攻读数学。1856～1860年担 任阿伯丁郡的马里查尔学院教授。 1860 ～ 1865 年在伦敦皇 家学院执教，并从事气体运动理论的研究 。 1860 年为英 国皇家学会会员。 1871 年任剑桥大学教授，创建并领导了 英国第一个专门的物理实验室 卡文迪什实验室 。麦克斯 韦的主要贡献是创立了经典电动力学。他发展了 M. 法拉第 关于电、磁相互作用必须通过中间媒质的思想，并把这种 中间媒质称为以太 ( 后来研究表明，不存在所谓的以太， 这种中间媒质实际上是电磁场 )，并在此基础上提出了位移 电流的概念 。
③ 气体分子分子的运动满足经典力学，分子之间以
n( z ) n 0 e
mgz kT
2.2 等温气压公式
mgz n( z ) n e kT 0 p nkT
p( z ) p 0 e
mgz kT
其中 p 0 n0 kT 为 z 0 处的压强。
例 4-3 设地球大气可近似看成是等温的，温度为
2.2 微观运动与微观量： 微观运动即系统内部的微观粒子 的热运动。描述微观粒子热运动的物理量称为微观量。例： m、v、 等。 2.3 宏观与微观的关系：微观粒子的热运动与系统的各种宏
观热现象之间存在着内在的联系。宏观量等于微观量的统计 平均值。
3．热学的两种研究方法
3.1 宏观方法：通过对热现象进行观察和实验测量，总结出 热力学基本定律；从基本的热力学定律出发，通过严密的逻 辑推理和演绎，研究物质的宏观性质以及宏观物理过程的运 行规律——热力学。 优点：可靠性，普遍性。 缺点：只研究宏观现象，未能揭示产生这些现象的原因（微 观机制）。 3.2 微观方法： 依据微观粒子热运动所满足的力学定律， 通过统计的方法求出各微观量的统计平均值，导出宏观量 与微观量的关系，从而揭示各种热现象的本质——统计物 理学。 优点：从更深层次（微观层次）揭示各种热现象的本质。 缺点： 数学上较复杂，为克服数学的困难而假设的各种微 观模型均有一定的局限性。
麦克斯韦研究了法拉第的电磁场设想，于 1864 年发表 了《电磁场动力学理论》，提出包括偏微分方程的麦克斯 韦方程组，概括了当时已知的关于电磁现象的一切实验结 果，从而创立了经典电动力学。他根据这一理论得出结论： 存在着电磁波；电磁波在真空中传播的速度等于光速；光 的本质是电磁波；电磁波会产生压力等 。 麦克斯韦在这 一 期 间 的 著 作 还 有 1855 ～ 1856 年 发 表 的 《 论 法 拉 第 力 线 》、 1861 ～ 1862 年发表的《论物理力线》、 1873 年发 表的《电学和磁学论》等。 1868 年继 W. 韦伯等之后，他以 更高的精确度测定了电荷的静电单位对电磁单位的比值， 并证实了它就等于光速。麦克斯韦在气体运动理论、光学、 热力学和弹性理论方面也作出了重要贡献 ，1860年得出了 理想气体分子按速度的统计分布律，计算了分子的自由程。 他在 1861 年提出，彩色是由红、绿、蓝三基色组成的，他 还是第一批彩色照片的制作者之一。 1873 ～ 1874 年他发现 了双折光现象。

k p
n 0 为势能为零处的分子数密度。
2．玻尔兹曼分布的应用
2.1 有力场时分子数密度的分布

dN r n0e
p
kT
m d r ( ) e 2 kT
p
mv 2 3/ 2 2 kT
d v n0e

p
kT
d r
kT n( r ) n 0 e
特别地，重力场中粒子数密度的分布：
解：（1）

0
6 f (v)dv 1 C 3 v0
v0 / 4
5 （2） N N f (v)dv N 0 32 v0 df (v) 0 vp （3） dv v v 2
p
（4） v
2

0
v0 vf (v)dv 2
2 1/ 2 0
v [ v f (v)dv]
v

0
8kT 8RT f (v)vdv v m M
1/ 2
3.方均根速率 v 2 ：
2 v f (v)v dv 0 2
3kT 3RT v m M