人教版A版高中数学必修4：平面向量数量积的物理背景及其含义
最新人教版高中数学必修4第二章《平面向量数量积》的物理背景及其含义
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．掌握向量a 与b 的数量积公式及投影的定义．3．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题．(1)两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．(2)向量b 在a 上的投影不是向量而是数量，如图所示，即为|b|cos θ，它的符号取决于θ角的范围．(3)a ·b 也等于|b|与a 在b 的方向上的投影的乘积．其中a 在b 的方向上的投影与b 在a的方向上的投影是不同的．【做一做1－1】 若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A.12 B.32 C ．1＋32D ．2 【做一做1－2】 |a |＝2，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )A ．2B ．120°C ．－1D ．由向量b 的长度确定(1)已知实数a ，b ，c (b ≠0)，则ab ＝bc a ＝c .但对于向量的数量积，该推理不正确，即a ·b ＝b ·c D a ＝c .(2)对于实数a ，b ，c 有(ab )c ＝a (bc )；但对于向量a ，b ，c ，(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．【做一做2】 有下列各式：①(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；②a ·b ＝|a |·|b |；③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ；④(a ·b )c ＝a (b ·c )． 其中正确的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．向量数量积的性质(1)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2；(2)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2；(3)a 2－b 2＝(a －b )·(a ＋b )． 【做一做3－1】 在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，则AB →·AC →＝__________.【做一做3－2】 已知|a |＝7，则a ·a ＝__________.【做一做3－3】 已知|a |＝8，|b |＝1，a·b ＝8，则a 与b 的夹角θ＝__________.答案：1．|a||b|cos θ 0 |a |cos θ |b |cos θ【做一做1－1】 A a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12. 【做一做1－2】 C |a |cos 120°＝2cos 120°＝－1.2．b ·a (λb ) a ·c ＋b ·c【做一做2】 C ①③正确．3．a ·b ＝0 |a||b| －|a||b| |a ||b | ⎣⎡⎭⎫0，π2 π2 ⎝⎛⎦⎤π2，π 【做一做3－1】 0 AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos ∠A ＝|AB →|·|AC →|cos 90°＝0.【做一做3－2】 49 a ·a ＝|a |2＝72＝49.【做一做3－3】 0 cos θ＝a·b |a||b|＝1，又θ∈[0，π]，则θ＝0.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算的区别和联系剖析：从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比．(1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号决定；两个实数的积是一个实数，符号由这两个实数的符号决定．(2)从运算的表示方法上看：两个向量a ，b 的数量积称为内积，写成a ·b ；大学里还要学到两个向量的外积a ×b ，而a ·b 是两个向量的数量积，因此书写时要严格区分，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了．(3)从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ；在向量的数乘中，若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0；在实数的乘法中，若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.在向量的数量积中，a ·b ＝b ·c b ＝0或a ＝c 或b ⊥(a －c )；在向量的数乘中，λa ＝λb (λ∈R )a ＝b 或λ＝0；在实数的乘法中，ab ＝bc a ＝c 或b ＝0.在向量的数量积中，(a ·b )c ≠a (b ·c )；在向量的数乘中，(λm )a ＝λ(m a )(λ∈R ，m ∈R )；在实数的乘法中，有(ab )c ＝a (bc )．(4)从几何意义上来看：在向量的数量积中，a ·b 的几何意义是a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积；在向量的数乘中，λa 的几何意义就是把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小到原来的|λ|倍；在实数的乘法中，ab 的几何意义就是数轴上ab 到原点的距离等于a ，b 到原点的距离的积．题型一 求向量的数量积【例1】 已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(3a ＋b )的值为__________． 反思：已知向量a 与b 的夹角为θ，且|a |＝m ，|b |＝n ，求(x a ＋y b )·(s a ＋t b )，其中x ，y ，s ，t ，m ，n ∈R ，且m ＞0，n ＞0，其步骤是：①先求a ·b ；②化简(x a ＋y b )·(s a ＋t b )＝xs |a |2＋(xt ＋ys )a ·b ＋yt |b |2；③将a ·b ，|a |，|b |代入即可．题型二 求向量的长度【例2】 若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则|a ＋b |等于( )A ．3B ．2 2C ．10 D.10反思：已知不共线的向量a 与b ，求|x a ＋y b |(x ，y ∈R )时，其步骤是：①求a ·b ；②求|x a ＋y b |2＝x 2|a |2＋2xy a ·b ＋y 2|b |2；③求|x a ＋y b |.题型三 求两向量的夹角【例3】 已知|a |＝1，|b |＝4，(a －b )·(a ＋2b )＝－29，求a 与b 的夹角θ.分析：求出a ，b 的数量积a ·b ，代入夹角公式求得cos θ，从而确定θ的值．反思：求向量a 与b 的夹角θ的步骤：(1)计算a ·b ，|a |，|b |；(2)利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b |计算cos θ； (3)根据θ∈[0，π]确定夹角θ的大小．题型四 证明两向量垂直【例4】 已知向量a ，b 不共线，且|2a ＋b |＝|a ＋2b |，求证：(a ＋b )⊥(a －b )．分析：证明a ＋b 与a －b 垂直，转化为证明a ＋b 与a －b 的数量积为零．反思：证明a ⊥b ，通常转化为证明a ·b ＝0.题型五 判断平面图形的形状【例5】 在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状．分析：易知a ＋b ＋c ＝0，分别将a ，b ，c 移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得a ·b ，b ·c ，c ·a ，选取两个等式相减即可得到a ，b ，c 中两个向量的长度之间的关系．反思：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．答案：【例1】 －8 b ·(3a ＋b )＝3a ·b ＋|b |2＝3|a ||b |cos 120°＋16＝－8.【例2】 D 由于(a －b )⊥a ，则(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0，所以a ·b ＝2.所以|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝10，则|a ＋b |＝10.【例3】 解：∵(a －b )·(a ＋2b )＝|a |2＋a ·b －2|b |2＝1＋a ·b －32＝－31＋a ·b ，∴－31＋a ·b ＝－29，∴a ·b ＝2，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12. 又0≤θ≤π，∴θ＝π3.【例4】 证明：∵|2a ＋b |＝|a ＋2b |，∴(2a ＋b )2＝(a ＋2b )2.∴4a 2＋4a ·b ＋b 2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2.∴a 2＝b 2.∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.又a 与b 不共线，a ＋b ≠0，a －b ≠0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．【例5】 解：在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c .从而⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2，(a ＋c )2＝(－b )2， 两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2，则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2.因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形．1．△ABC 中，AB ·AC ＜0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形2．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 与a －2b 互相垂直，则||||a b 等于( ) A.14 B ．4 C.12 D ．23．设向量a ，b 均为单位向量，且(a ＋b )2＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π44．(2011·山东青岛高三质检)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝3，则|2a －b |＝__________.5．已知|a |＝10，|b |＝12，a 与b 的夹角为120°，求：(1)a ·b ；(2)(3a )·1()5b ；(3)(3b －2a )·(4a ＋b )．答案：1．C ∵AB ·AC ＝||||cos AB AC A ＜0，∴cos A ＜0.∴A 是钝角．∴△ABC 是钝角三角形．2．D 因为a ＋2b 与a －2b 垂直，所以(a ＋2b )·(a －2b )＝0，所以|a |2－4|b |2＝0，即|a |2＝4|b |2，所以|a |＝2|b |.3．C (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2a ·b ＝1，则a ·b ＝12-. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝||||⋅a b a b ＝12-，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3，则|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝13，所以|2a －b |.5．解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝10×12×cos 120°＝－60.(2)(3a )·15⎛⎫⎪⎝⎭b ＝3()5⋅a b ＝35×(－60)＝－36. (3)(3b －2a )·(4a ＋b )＝12b ·a ＋3b 2－8a 2－2a ·b ＝10a ·b ＋3|b |2－8|a |2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.。
人教版-高中数学必修4-第二章-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义-课件
真
3、 已知 a 2, b 3, a与b的夹角为 120 (1)a b =-3 (5) a b
(2) a b =-5
2 2
0
(3)(2a b) (a 3b) =-34 (4) a b 7
19
5 133 (6)(a b)与(a b)夹角的余弦值为 133
结论： 前提： a与b是非零向量
(1) a b 0 a b
(2) 当a与b同向时， a b | a || b | ； 当a与b反向时， a b | a || b |
(3) a a | a | 或 | a | a a
2
(4) a b | a || b |
a b | a | | b | cos
的几何意义？
练一练：
若 | a | 4 , | b | 8 , a与b夹角为 （1）当 30 时a在b上的投影为 2 3
0
（2）当 90 时a在b上的投影为
0 0
0
（3）当 120 时a在b上的投影为 2 （4）当 120 时b在a上的投影为 4
a b | a | | b | cos
二、向量 a 与 b 的数量积的概念
已知两个非零向量 a 与 b ，它们
的夹角为θ，则我们把数量
| a | | b | cos 叫做 a 与 b 的数量积(或
内积)，记作：
a b | a | | b | cos
规定：零向量和任一向量的数量积为0
B
三. 向量的投影的概念
b
O
b
A1
B
a
B1
A
O
a
数学必修Ⅳ人教新课标A版2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义课件(30张)
[活学活用]
1．(大纲卷)已知 a，b 为单位向量，其夹角为 60°，则(2a－b)·b
＝
()
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案：B
2．已知正方形 ABCD 的边长为 2，分别求：
(1) AB·CD；Leabharlann 2) AB·AD；(3)DA·AC .
答案：(1)－4 (2)0 (3)－4
[例 2] (1)已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b| ＝ 10，则|b|＝________.
[导入新知] 1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：
已知条件 定义 记法
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ a与b的数量积(或内积)是数量 |a||b|cos θ
a·b＝ a||b|cos θ
(2)零向量与任一向量的数量积： 规定：零向量与任一向量的数量积均为 0 .
2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念： ①向量 b 在 a 的方向上的投影为 |b|cos θ . ②向量 a 在 b 的方向上的投影为 |a|cos θ . (2)数量积的几何意义： 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
2．4
平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
[提出问题] 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，如图． 问题 1：如何计算这个力所做的功？ 提示：W＝|s||F|cos θ.
问题 2：力 F 在位移方向上的分力是多少？
提示：|F|cos θ. 问题 3：力做功的大小与哪些量有关？ 提示：与力 F 的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
[提出问题]
高一下学期数学人教A版必修4第二章2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义
平面向量的数量积的物理背景及含义【学习目标】1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式.预习案【教材助读】问题1： 如右图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功 ，其中θ是F 与s 的夹角.1.平面向量数量积的定义已知两个______向量a b 与，我们把______________叫a b 与的数量积。
（或________） 记作_________即a b ⋅＝___________________其中θ是a b 与的夹角。
规定：零向量与任意向量的数量积为____.2.平面向量数量积的性质问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？①a b ⊥⇔___________②当a b 与同向时，a b ⋅＝________ 当a b 与反向时，a b ⋅＝_______ _， 特别地，→→⋅a a __________或a =___________。
③ cos =θ_______ ____ ④a b ⋅_____→→b a 3.向量的数量积的几何意义 （1）“投影”的概念：(动手做一做)___________,,,,111===→→→→OB B OA BB B b OB a OA 则垂足为垂直于作过 叫做向量→b 在→a 方向上的投影， 叫做→a 在→b 方向上的投影。
（2）数量积的几何意义：a b ⋅的几何意义是→a 长度→a 与→b 在→a 方向上的投影__________的乘积.（或→b 长度→b 与→a 在→b 方向上的投影__________的乘积）4.平面向量数量积的运算律问题3：运律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅吗？已知向量a b c ，，与实数λ。
人教版A版高中数学必修4：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
ab
42
| b | = | a | cos = 4 cos 450 =2
4 典例分析
×
×
×
×
√
√
×
×
6 归纳小结
知 1. 向量数量积的物理背景，定义及几何意义. 识 2. 向量数量积公式的应用及重要性质.
技 1. 灵活应用数量积公式解决求值问题. 能 2. 解决判断题时，考虑问题要全面.
思 想 方 法
高一数学 必修4 第二章 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 莆田华侨中学 林芸
1 预习内容
F θ O
位移S
F2
F
θ F1 S
A
1 预习内容
1 预习内容
向
向
F S | F || S | cos
| F | cos
数
F与S的夹角
1 预习内容
1 预习内容
ab
b在a方向的投影
1. 转化化归（将物理知识转化为数学知识） 2. 数形结合（灵活应用数量积的投影） 3. 分类讨论（讨论投影、数量积的正负等）
5 巩固训练
下节课： 平面向量数量积的运算律
| a || b | cos a b | a || b | cos
0
1 预习内容
1 预习内容
b在a方向的投影 | b | cos 乘积
Hale Waihona Puke 1 预习内容两个向量的夹角
两个非零向量 a和 b ，作OA a, OB b，
则 AOB 叫做向量 a和 b 的夹角．(0 180 )
a
b
a
O
B
A
0
a与b同向
B
b
b
高中人教A版数学必修4：第24课时 平面向量数量积的物理背景及其含义 Word版含解析
平面向量数量积的物理背景及其含义一、选择题1．已知向量ab 满足|a |＝1a ⊥b 则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为( )A ．1B 77C ．－1D 277答案：A解析：设θ为向量a －2b 与向量a 的夹角则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为|a －2b |cos θ又cos θ＝(a －2b )·a |a －2b |·|a |＝a 2－2a ·b |a －2b |·|a |＝1|a －2b |故|a －2b |cos θ＝|a －2b |·1|a －2b |＝1 2．设向量ab 满足|a |＝1|b |＝2a ·(a ＋b )＝0则a 与b 的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案：D解析：设向量a 与b 的夹角为θ则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a |·|b |·cos θ＝1＋1×2×cos θ＝1＋2cos θ＝0∴cos θ＝－12又0°≤θ≤180°∴θ＝120°选D 3．若|a |＝|b |＝1a ⊥b 且(2a ＋3b )⊥(k a －4b )则k ＝( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3答案：B解析：由题意得(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0由于a ⊥b 故a ·b ＝0又|a |＝|b |＝1于是2k －12＝0解得k ＝64．在Rt △ABC 中∠C ＝90°AC ＝4则AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16答案：D解析：AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝|AC →|2＝16二、填空题7．一物体在力F 的作用下沿水平方向由A 运动至B 已知AB ＝10米F 与水平方向的夹角为60°|F |＝5牛顿物体从A 至B 力F 所做的功W ＝__________答案：25焦耳解析：由物理知识知W ＝F·s ＝|F|·|s|cos θ＝5×10×cos60°＝25(焦耳)．8．如果aba －b 的模分别为237则a 与b 的夹角为________．答案：π3解析：设a 与b 的夹角为θ由|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2得7＝13－12cos θ即cos θ＝12又0≤θ≤π故θ＝π39．已知在△ABC 中AB ＝AC ＝4AB →·AC →＝8则△ABC 的形状是________．答案：等边三角形解析：AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC 即8＝4×4cos ∠BAC 于是cos ∠BAC ＝12所以∠BAC ＝60°又AB ＝AC 故△ABC 是等边三角形．三、解答题10．已知e 1与e 2是两个夹角为60°的单位向量a ＝2e 1＋e 2b ＝2e 2－3e 1求a 与b 的夹角．解：因为|e 1|＝|e 2|＝1所以e 1·e 2＝1×1×cos60°＝12 |a |2＝(2e 1＋e 2)2＝4＋1＋4e 1·e 2＝7故|a |＝7|b |2＝(2e 2－3e 1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e 1·e 2＝7故|b |＝7且a ·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72所以cos 〈ab 〉＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12 所以a 与b 的夹角为120°11．已知向量ab 满足|a |＝1|b |＝4且ab 的夹角为60°(1)若(2a －b )·(a ＋b )；(2)若(a ＋b )⊥(λa －2b )求实数λ的值．解：(1)由题意得a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝1×4×12＝2 ∴(2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝2＋2－16＝－12(2)∵(a ＋b )⊥(λa －2b )∴(a ＋b )·(λa －2b )＝0∴λa 2＋(λ－2)a ·b －2b 2＝0∴λ＋2(λ－2)－32＝0∴λ＝12能力提升12．已知|a |＝2|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根则a 与b 的夹角的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤π3，π解析：由于|a |＝2|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根则|a |2－4a ·b ≥0设向量a与b 的夹角为θ则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12 ∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π13．设两向量e 1e 2满足|e 1|＝2|e 2|＝1e 1e 2的夹角为60°若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角求实数t 的取值范围．解：由已知得e 21＝4e 22＝1e 1·e 2＝2×1×cos60°＝1 ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7欲使夹角为钝角需2t 2＋15t ＋7<0得－7<t <－12设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝tλ，∴2t 2＝7∴t ＝－142此时λ＝－14 即t ＝－142时向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π ∴当两向量夹角为钝角时t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12。
第二章 平面向量数量积的物理背景及其含义
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知识预览
1．定义 (1)已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a|·|b|cosθ(θ 为 a 与 b 的夹角)． (2)|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上) 的投影(其中 θ 为 a 与 b 的夹角)． (3)零向量与任一向量的数量积为 0. (4)a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积．
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(a＋3b)·(7a－5b)＝0 解：由已知条件得 (a－4b)·(7a－2b)＝0 7a2＋16a·b－15b2＝0 即 2 7a －30a·b＋8b2＝0
，
① ② ②－①得 23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2， 代入①得 a2＝b2， 1 2 b a·b 2 1 π ∴|a|＝|b|，∴cosθ＝ ＝ ＝ .∵θ∈[0，π]，∴θ＝ . 3 |a||b| |b|2 2
解：设向量 a 与向量 b 的夹角为 θ， ∵(2a)·(3b)＝24，∴a·b＝4. π a·b 4 1 ∴cosθ＝ ＝ ＝ .又 θ∈[0，π]，∴θ＝ ， 3 |a||b| 2×4 2 π 即向量 a 与向量 b 的夹角为 . 3
人教A版必修四·新课标·数学
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数学人教版必修4(A)平面向量的数量积的物理背景及其含义
平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b ≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（λλλλ++++1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比. 8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点.②当λ＜０(1-≠λ)时，P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得=b a b a λλλλλ+++=++1111. 10．力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅ca =c 如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α =|b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θC2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b .例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a -3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______.7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求此时b 与a +tb 的夹角.五、小结（略）六、课后作业（略）七、教学后记：。
人教版高中数学必修4A版平面向量数量积的物理背景及其含义
本节作业
P 108习题2.4 A组2.5.6
1.投影,如右图
a
A
b cos
a
A
o
a cos b
B
o
a cos ( b cosθ)叫做a在b方向上(b在a方向上)
b
B
2.数量积的几何意义 数量积a b 等于a的长度a 与b 在a的方向上的 投影b cos的乘积
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的投影.
随堂练习
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课堂小结
①本节知识要点: 数量积的定义,几何意义,重要性质. ②本节学习的数学方法: 归纳类比,定义法,数形结合等.
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巩固练习
(1)若 m 4, n 6, m与n的夹角是 135, 则m n等于(
C)
( A)12( B)12 2 (C ) 12 2 ( D) 12 1 (2)已知 a 10, b 12, 且(3a) ( b) 36, 则a与b的 5 夹角是( ) ( A)60( B)120(C )135( D)150 (3)当a b 0时, 有下列结论: (1)a 0(2)b 0(3)a b(4)a // b(5)a 与b反向, 其中可能正确的是 (
2 2
3 a b a b
4 cos
a b ab
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随堂练习
1.判断下列命题是否正确,并说明为什么?
(1)若a b 0, 则a b.(× ) ( 2) a a
2
a.( ×)
(3)在C中, 若 AB BC 0, 则C为 钝角三角形 .( ×) ( 4)在C中, 若 AB BC 0, 则C为 钝角三角形 .( )
数学必修四人教A版 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(教、学案)
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.二．教学目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、教学重点难点重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。
有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。
人教版(A版)高中数学必修四 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学课件 (共21张PPT)
平面向量数量积的物理背景及其含义
学习目标:
(1)理解和掌握向量数量积的定义; (2)掌握向量数量积的重要性质; (3)理解向量数量积的几何意义; (4)掌握向量数量积的运算律
探求新知
平面向量数量积的物理背景及其含义
F
S
探求新知
平面向量数量积的物理背景及其含义
F
S
探求新知
平面向量数量积的物理背景及其含义
ab| a||b| cos
问题3．决定向量数量积的大小的量有哪几个？ 数量积的正、负、零由谁决定？
0 0
2
22
a b 0
巩固定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
口答
1．已知| a | 5 ,| b | 4 , a 与 b 的夹角 120o , a b 10 .
分配律 (ab)cacbc (ab)cacbc
再探定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的运算律
交换律 结合律
abba
(a ) b a (b ) a b
分配律
(ab)cacbc
平面向量数量积的物理背景及其含义
证明分配律：
b
向量a、b、a + b在c
a
a+b
上的射影的数量分别
平面向量数量积的几何意义
数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 上的投
影 | b | cos 的乘积．
再探定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
探究：数量积作为一种运算，有怎样的运算律呢？
运算律 实数乘法
向量的数量积
交换律
abba
abba
(ab)ca(bc)
数学人教A版必修4 2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义 课件(29张)
3 C． 1＋ 2
栏目 导引
第一章
三角函数
3．已知 |a|＝ 3，|b|＝2 3，a· b＝－3，则 a 与 b 的夹角是 ( B ) A．150° C．60° B．120° D．30°
栏目 导引
第一章
三角函数
5 4.单位向量i，j相互垂直，向量a＝3i－4j，则|a|＝________ ．
栏目 导引
第二章 第一章 平面向量 三角函数
2．4
平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
栏目 导引
第二章 第一章 平面向量 三角函数
学习导航 1.知道平面向量数量积的物理意义，记住其含 义． 学习 2．掌握向量数量积的定义形式．(重点) 目标 3．掌握向量数量积的重要性质及运算律，并能 进行相关计算．(重点、难点) 1.向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性 运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结 果是数量，而不是向量．学习时必须透彻理解数 学法 量积概念的内涵． 指导 2．向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联 系，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中 已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄.
栏目 导引
第一章
三角函数
3．向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角． a· b＝0 (1)a⊥b⇔ ________． |a||b| (2)当 a 与 b 同向时， a· b＝________，
－|a||b| ． 当 a 与 b 反向时，a· b＝________ |a|2 (3)a· a＝________或 |a|＝ a· a＝ a2. a· b |a||b| ． (4)cos θ＝ ________ ≤ (5)|a· b|________| a||b|.
2020-2021学年人教A版高中数学必修4课件：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
思路点拨：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解 答．
3 (1) 2
[设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投影为|a|cos
θ＝
a·e1 |e1|
＝
a·e1＝(2e1－e2)·e1＝2e21－e1·e2
＝2－1×1×cosπ3＝32.]
(2)[解] ①(a－b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91. ②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°， 所以a·b＝10×3×cos 120°＝－15， 所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2 ＝200＋15－9＝206.
1．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝( )
1
3
A.2
B. 2
C．1
D．－12
A [a·b＝1×1×cos 60°＝12.]
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角
θ为( )
π
π
A.6
B.4
π
π
C.3
D.2
C [由条件可知，cos θ＝|aa|·|bb|＝1×2 4＝12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝
求平面向量数量积的步骤 1求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；2分别求|a|和|b|；3求数量 积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·” 连接，而不能用“×”连接，也不能省去.
求投影的两种方法： 1b在a方向上的投影为|b|cos θθ为a，b的夹角，a在b方向上的 投影为|a|cos θ. 2b在a方向上的投影为 ，a在b方向上的投影为
思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不 同？
[提示] 数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向 量．
人教A版高中数学必修平面向量数量积物理背景及其含义课件
B b
O(B1 ) a A
b cos 0
a
Ob B
A
b
a
B
O
A
b cos b
b cos b
思考3：根据投影的概念，数量积 a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，
思考8：对于非零向量a，b，c，若 a·b＝a·c，那么 b＝c吗？
思考9：对于向量a，b，等式(a＋b)2 ＝ a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2 是否成立？为什么？
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的
夹角为120°，求a·b.
－10
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a与b的
❖
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
❖
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
❖
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
a0 0
注意： (1) 两个向量的数量积是一个实数，
不是向量．
(2)两个向量的数量积称为内积，写 成 ab．
即 ab
ab
a b
注意： (3) 向量的数量积和实数与向量的积
(数乘)不是一回事．
数量积 ab |a||b|cos的结果是一个
数量(实数)；
人教A版高中数学必修四教案平面向量的数量积的物理背景及其含义
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念： 已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒（2）两向量共线的判定（3）练习1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a ∥b ，则y=（ C ）A.6B.5C.7D.82.若A(x ，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x 的值为（ B ）A.-3B.-1C.1D.3（4）力做的功：W = |F|⋅|s|cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ， 则数量|a||b|cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a||b|cos θ，（０≤θ≤π）. 并规定0向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b=0，不能推出b=0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c(b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c.但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a||b|cos β = |b||OA|，b ⋅c = |b||c|cos α =|b||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a⋅b)c = a(b⋅c)，但是(a⋅b)c ≠ a(b⋅c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2．“投影”的概念：作图定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为|b|；当θ = 180︒时投影为-|b|.3．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、a⊥b ⇔ a⋅b = 02、当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = -|a||b|.特别的a⋅a = |a|2或aaa⋅=|||a⋅b| ≤ |a||b| cosθ =||||baba⋅探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a，b夹角为θ，则a ⋅ b = |a||b|cosθ，b ⋅ a = |b||a|cosθ∴a ⋅ b = b ⋅ a 2．数乘结合律：(λa)⋅b =λ(a⋅b) = a⋅(λb)证：若λ> 0，(λa)⋅b =λ|a||b|cosθ，λ(a⋅b) =λ|a||b|cosθ，a⋅(λb) =λ|a||b|cosθ，若λ< 0，(λa)⋅b =|λa||b|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cosθ) =λ|a||b|cosθ，λ(a⋅b)=λ|a||b|cosθ，a⋅(λb) =|a||λb|cos(π-θ) = -λ|a||b|(-cosθ) =λ|a||b|cosθ.3．分配律：(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c在平面内取一点O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b （即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a + b| cosθ = |a| cosθ1 + |b| cosθ2 ∴| c | |a + b| cosθ =|c| |a| cosθ1 + |c| |b| cosθ2，∴c⋅(a + b) = c⋅a + c⋅b 即：(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解范例：例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２例2．已知|a|=12， |b|=9，254-=∙b a ，求a 与b的夹角。