苏教必修-数学-2017年-2.2向量的加减法-讲义
向量的加法运算课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1) ＋ ；
＋ =
(2) ＋ ；
= = =
＋ = + =
本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是
果是零向量，一定要写成0，而不能写成0.
通过本节课，你学会了什么？
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( × )
(4)|a|＋|b|＞|a＋b|.( × )
2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是( C )
A. ＋ ＋
B. ＋ ＋
C. ＋ ＋
D. ＋ ＋
在A中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；
C.
D.
＋ ＋ = ＋ ＋
= ＋
=
3．如图，在平行四边形ABCD中， ＋ ＝________.
4．小船以10 3km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，
同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大
小为________km/h.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
2
+
2
= 8002 + 8002 ＝800 2(km)．
跟踪训练
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行
800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞
20
10 3km/h
《2.2.2 向量的减法运算》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模块一上
《向量的减法运算》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解向量的减法运算概念。
2. 掌握向量的减法运算规则和方法。
3. 能够正确进行向量的减法运算。
二、教学重难点1. 教学重点：理解向量的减法运算概念，掌握规则和方法。
2. 教学难点：正确进行向量的减法运算，特别是遇到复杂情况时的处理。
三、教学准备1. 准备教学用PPT，包括图片、案例等，以帮助学生理解。
2. 准备相关数学工具，如笔、纸以及向量图。
3. 设计一些练习题，供学生实践和巩固。
4. 确定互动的教学方式，如小组讨论、个人练习等。
5. 解释清楚向量的概念和加减法运算的规则，为教学打下基础。
四、教学过程：（一）导入1. 复习向量加法的概念及几何意义。
2. 引入向量减法的概念及几何意义，说明向量的减法可以转化为减法的反向加法。
（二）新课探究探究1：用几何方式进行向量减法运算探究2：用代数方式进行向量减法运算教师举例，让学生感受两种运算方式的优劣，从而选择合适的运算方式。
（三）例题分析通过例题分析，让学生掌握向量减法的具体运算方法，并能够解决相关问题。
（四）课堂练习设计一些与本节课内容相关的练习题，让学生进行练习，以检验学生对本节课内容的掌握情况。
（五）小结对本节课的内容进行总结，强调本节课的重点和难点，并引导学生思考向量的减法在实际问题中的应用。
（六）作业布置布置一些与本节课内容相关的作业，以帮助学生进一步巩固和提高对本节课内容的掌握程度。
（七）教学反思对本节课的教学效果进行反思，总结教学中的优点和不足，为今后的教学提供参考。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 理解向量减法的定义。
2. 掌握向量减法的运算法则，能进行简单的向量减法运算。
3. 培养观察、比较、分析、归纳和解决问题的能力。
二、教学重难点教学重点：掌握向量减法的运算法则，能进行简单的向量减法运算。
教学难点：理解向量减法运算法则。
三、教学准备1. 准备教学用PPT，包含教学图片、视频等素材。
第四单元 小数加法和减法(单元复习讲义)五年级数学上册复习(苏教版)
第四单元小数加法和减法（单元复习讲义）（知识梳理+精讲例题+专项练习）小数加减法的计算方法：相同数位对齐；小数点对齐；和里的小数点要和加数里的小数点对齐；差里的小数点要和被减数、减数的小数点对齐。
从最低位算起：各位满十要进一；不够减时要向前一位退1作10再减。
【例题一】用“四舍五法，取近似值为5.0的最大的两位小数与最小的两位小数的差是（）。
A．0.09B．0.05C．0.06D．0.02【分析】在百分位添上4，是最大的原两位小数；将5.0去掉一个0.1，在百分位添上5，是最小的原两位小数，求差即可。
【详解】5.04－4.95＝0.09故答案为：A关键是掌握四舍五入法和小数减法的计算方法。
【例题二】爸爸的身高比卡尔高0.52米，比妈妈的身高高0.21米。
妈妈的身高比卡尔高多少米？【分析】用爸爸比卡尔高的米数爸爸比妈妈高的米数＝妈妈比卡尔高的米数，据此解答。
【详解】0.52－0.21＝0.31（米）答：妈妈的身高比卡尔高0.31米。
找准数量关系是解题关键，可以借助于画图更容易理解。
2.340.42一共多少吨？【分析】由“收购的玉米比大豆多0.42吨”可知，收购的玉米是（2.34＋0.42）吨。
求收购大豆和玉米一共多少吨，用大豆的吨数＋玉米的吨数即可。
【详解】2.34＋（2.34＋0.42）＝2.34＋2.76＝5.1（吨）答：粮站收购大豆和玉米一共5.1吨。
本题主要考查小数加法应用题，解题的关键是求出玉米的吨数。
一、选择题1．0.79÷0.04，商是19，余数是（）．A．3B．0.03C．3002．甲数与乙数的和比甲数多4.3，比乙数多1.07，甲数比乙数少（）。
3．一根电线长10米，第一次剪去4.8米，第二次剪去3.1米，这根电线和原来相比，短了（）。
A．2.1米B．4.8米C．7.9米4．小马虎在计算一道减法算式时，把减数2.1看成了1.2，算出的差是8.8。
正确的差应该是（）。
A．6.9B．7.9C．8.95．9.6比一个数多2，这个数是（）A．11.6B．7.6C．9.4二、填空题6．妈妈买来三种水果，苹果和梨共重5.4千克，梨和橘子一共重3.28千克，买来的苹果比橘子重( )千克。
苏教版学高中数学必修一指数函数对数函数和幂函数对数函数对数函数的概念图象与性质讲义
学习目标核心素养１．理解对数函数的概念.２．掌握对数函数的图象和性质．（重点）３．能够运用对数函数的图象和性质解题．（重点）４．了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．（难点）通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象数学的核心素养.１．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x（a>0，a≠１）叫做对数函数，它的定义域是（0，＋∞）．２．对数函数的图象与性质a>１0<a<１图象性质定义域：（0，＋∞）值域：R图象过定点（１,0）在（0，＋∞）上是单调增函数在（0，＋∞）上是单调减函数对数函数y＝log a x（a>0且a≠１）和指数函数y＝a x（a>0且a≠１）互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．一般地，如果函数y＝f（x）存在反函数，那么它的反函数记作y＝f —１（x）．１．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）对数函数的定义域为R.（）（２）y＝log２x２与log x３都不是对数函数．（）（３）对数函数的图象一定在y轴右侧．（）（４）函数y＝log２x与y＝x２互为反函数．（）[答案] （１）×（２）√（３）√（４）×２．对数函数f（x）的图象过点（４,２），则f（8）＝________.３[设f（x）＝log a x，则log a４＝２，∴a２＝４，∴a＝２，∴f（8）＝log２8＝３．]３．（１）函数f（x）＝错误!的定义域是________．（２）若对数函数y＝log（１—２a）x，x∈（0，＋∞）是增函数，则a的取值范围为________．（３）若g（x）与f（x）＝２x互为反函数，则g（２）＝________.（１）{x|x>—１且x≠１} （２）（—∞，0）（３）１[（１）错误!⇒x>—１且x≠１．（２）由题意得１—２a＞１，所以a＜0．（３）f（x）＝２x的反函数为y＝g（x）＝log２x，∴g（２）＝log２２＝１．]对数函数的概念【例１】判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．１y＝log a x２（a＞0，且a≠１）；２y＝log２x—１；３y＝２log8x；４y＝log x a（x＞0，且x≠１）．思路点拨：依据对数函数的定义来判断．[解] １中真数不是自变量x，∴不是对数函数；２中对数式后减１，∴不是对数函数；３中log8x前的系数是２，而不是１，∴不是对数函数；４中底数是自变量x，而不是常数a，∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y＝log a x（a＞0且a≠１）的形式，即必须满足以下条件：（１）系数为１；（２）底数为大于0且不等于１的常数；（３）对数的真数仅有自变量x.１．对数函数f（x）满足f（２）＝２，则f 错误!＝________.—２[设f（x）＝log a x（a>0且a≠１），由题知f（２）＝log a２＝２，故a２＝２，∴a＝错误!或—错误!（舍）．∴f 错误!＝log错误!错误!＝—２．]对数函数的定义域问题（１）f（x）＝log x—１（x＋２）；（２）f（x）＝错误!；（３）f（x）＝错误!；（４）f（x）＝错误!（a>0且a≠１）．思路点拨：根据对数式中底数、真数的范围，列不等式（组）求解．[解] （１）由题知错误!解得x>１且x≠２，∴f（x）的定义域为{x|x>１且x≠２}．（２）由错误!得错误!⇒错误!⇒0≤x<１．∴函数的定义域为[0,１）．（３）由题知错误!⇒错误!∴x>１且x≠２．故f（x）的定义域为{x|x>１且x≠２}．（４）错误!⇒错误!错误!当a>１时，—a<—１．由１得x＋a<a.∴x<0．∴f（x）的定义域为{x|—a<x<0}．当0<a<１时，—１<—a<0．由１得x＋a>a.∴x>0．∴f（x）的定义域为{x|x>0}．故所求f（x）的定义域是：当0<a<１时，x∈（0，＋∞）；当a>１时，x∈（—a,0）．求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.２．（１）函数y＝错误!ln （１—２x）的定义域为________．（２）函数y＝错误!的定义域为________．（１）错误!（２）错误![（１）由题知错误!解得0≤x<错误!，∴定义域为错误!.（２）由题知错误!解得x>错误!，∴定义域为{x|x>错误!}.]比较对数式的大小１．在同一坐标系中作出y＝log２x，y＝log错误!x，y＝lg x，y＝log0．１x的图象．观察图象，从底数的大小及相对位置方面来看，可以得出什么结论．[提示] 图象如图．结论：对于底数a>１的对数函数，在（１，＋∞）区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<１的对数函数，在（１，＋∞）区间内，底数越小越靠近x轴．２．函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x的图象如图所示，那么a，b，c的大小关系如何？[提示] 由图象可知a>１，b，c都大于0且小于１，由于y＝log b x的图象在（１，＋∞）上比y＝log c x的图象靠近x轴，所以b<c，因此a，b，c的大小关系为0<b<c<１<a.３．从以上两个探究，我们能否得出对数函数在第一象限的图象的位置与底数大小的关系．[提示] 在第一象限内的对数函数的图象按从左到右的顺序底数依次变大．【例３】（１）比较下列各组数的大小：１log３错误!与log５错误!；２log１．１0．7与log１．２0．7．（２）已知log错误!b<log错误!a<log错误!c，比较２b,２a,２c的大小关系．思路点拨：（１）中两小题可以借助对数函数的图象判断大小关系．（２）中可先比较a，b，c的大小关系，再借助指数函数的单调性．[解] （１）１∵log３错误!<log３１＝0，而log５错误!>log５１＝0，∴log３错误!<log５错误!.２法一：∵0<0．7<１,１．１<１．２，∴0>log0．7１．１>log0．7１．２．∴错误!<错误!，由换底公式可得log１．１0．7<log１．２0．7．法二：作出y＝log１．１x与y＝log１．２x的图象，如图所示，两图象与x＝0．7相交可知log１．１0．7<log１．２0．7．（２）∵y＝log错误!x为减函数，且log错误!b<log错误!a<log错误!c，∴b>a>c.而y＝２x是增函数，∴２b>２a>２c.比较两个（或多个）对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值（如１或0等）来比较．３．比较下列各组数的大小．（１）log３３．４，log３8．５；（２）log0．１３与log0．6３；（３）log４５与log6５；（４）（lg m）１．9与（lg m）２．１（m>１）．[解] （１）∵底数３>１，∴y＝log３x在（0，＋∞）上是增函数，于是log３３．４<log３8．５．（２）在同一坐标系内作出y＝log0．１x与y＝log0．6x的图象，如图，可知在（１，＋∞）上，函数y＝log0．１x的图象在函数y＝log0．6x图象的上方，故log0．１３>log0．6３．（３）∵log４５>log４４＝１，log6５<log6 6＝１，∴log４５>log6５．（４）１当0<lg m<１，即１<m<１0时，y＝（lg m）x在R上是减函数，∴（lg m）１．9>（lg m）２．１；２当lg m＝１，即m＝１0时，（lg m）１．9＝（lg m）２．１；３当lg m>１，即m>１0时，y＝（lg m）x在R上是增函数，∴（lg m）１．9<（lg m）２．１.１．判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝log a x（a>0，且a≠１）这种形式．２．在对数函数y＝log a x中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．３．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝log a（２x）Ｂ．y＝log２２xＣ．y＝log２x＋１Ｄ．y＝lg x.D[根据对数函数的定义，只有D是对数函数．]２．函数y＝ln x的单调增区间是________________，反函数是____________．（0，＋∞）y＝e x[y＝ln x的底为e>１，故y＝ln x在（0，＋∞）上单调递增，其反函数为y ＝e x.]３．函数y＝log a（２x—３）＋１的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．（２,１）[函数可化为y—１＝log a（２x—３），可令错误!解得错误!即P（２,１）．]４．求下列函数的定义域：（１）y＝错误!；（２）y＝log（２x—１）（—４x＋8）；（３）y＝错误!.[解] （１）由题知错误!即错误!⇒x>—错误!且x≠—错误!.所以定义域为错误!.（２）由题意得错误!解得错误!所以y＝log（２x—１）（—４x＋8）的定义域为{x|错误!<x<２，且x≠１}.（３）由题知错误!即0<x—２≤１，所以２<x≤３，故定义域为{x|２<x≤３}．。
高一数学-6.2.1-2向量加减法运算及其几何意义
B
a b BA
B OA
一般地 a
O A
b
b
三、几何意义
ab
B
a b 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a 的终点的向量
注意：（1）起点必须相同。（2）指向被减向量的终点。
练习：
(1) AB AD DB (2) BA BC CA
(3) BC BA AC (4) OD OA AD (5) OA OB AB (6) AO BO AB
(2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)
0 ＝(A→C＋B→A)－(O→C－O→B)＝B→C－B→C＝0.
例4 在 ABCD 中， AB a, AD b,
D
C
你能用 a, b表示 AC, DB 吗？ b
AC a b DB a b
A
aB
变式一 本例中当 a,满b足什么条件时，
2 怎样表示向量？
用有向线段表示向量 A
B 记作 AB
有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向 表示向量的方向
3 什么是相等向量？
大小相等且方向相同的向量叫做相等向量
同向且等长的有向线段表示 相等的向量
高一数学
引入
问题：
向量具有大小和方向两个要素， 两个向量相加是不是等于它们的 大小相加？
向量的加法怎么定义？
二、向量的减法：a b a (b)
高一数学
你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a (b) 吗？
设 AB b, AC a
B ab
AE a (b) a b
又 b BC a 所以 BC a b
bAa
C
ab
b
D
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？
高中数学必修二 专题6 2 平面向量的加法、减法、数乘运算-同步培优专练
专题6.2 平面向量的加法、减法、数乘运算知识储备一．向量加法的法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则有什么关系？【答案】(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.二．向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝BA，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【思考】若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？【答案】如图所示，设OA ＝a ，OB ＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC |，|a －b |＝|BA |，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.三 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎪⎩⎪⎨⎧<>.00的方向相反时，与当的方向相同；时，与当a a λλ 特别地，当λ＝0时，λa ＝0.当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .四 向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【思考】向量共线定理中为什么规定a ≠0?【答案】若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线.(1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa .(2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·江西高一期末（理））下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．MB AD BM +- B ．()()AD MB BC CM +++C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+【答案】A 【解析】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确； 对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；故选：A.2．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（ ）A ．2BOB ．2DOC ．BD D ．AC【答案】B 【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=，故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==，故选B.3．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形ABCDE中（如图），AB BC DC+-=（）A．AC B．AD C．BD D．BE【答案】B【解析】AB BC DC AB BC CD AD+-=++=.故选B4．（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则AB＋12BC＋12BD等于（）A．AD B．GA C．AG D．MG 【答案】C【解析】∵四面体A-BCD中，M、G为BC、CD中点，∵12BC BM=，12BD MG=，∵1122AB BC BD AB BM MG AM MG AG ===+++++.故选C 5．（2021·江苏高一）八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中1OA =，则给出下列结论：①0BF HF HD -+=；①2OA OC OF +=-；①AE FC GE AB +-=．其中正确的结论为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】对于∵：因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=，故∵错误； 对于∵：因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒，则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形， 又因为OB 平分AOC ∠，所以22OA OC OB OF +==-，故∵正确；对于∵：因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+，且FC GB =，所以AE FC GE AG GB AB +-=+=，故∵正确，故选：C.6．（2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）如图，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，则DC =（ ）A ．a b c -++B ．a b c -+-C ．a b c ++D ．a b c -+【答案】D 【解析】由题意，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，根据向量的运算法则，可得DC DA AB BC b a c a b c =++=-++=-+.故选D.7．（2020·陕西宝鸡市·高三二模（文））点P 是ABC ∆所在平面内一点且PB PC AP +=，在ABC ∆内任取一点，则此点取自PBC ∆内的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】设D 是BC 中点，因为PB PC AP +=，所以2PD AP =，所以A 、P 、D 三点共线且点P 是线段AD 的三等分点， 故13PBC ABC S S ∆∆=，所以此点取自PBC ∆内的概率是13．故选B. 8．（2020·自贡市田家炳中学高二开学考试）P 是ABC 所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在（ ）A ．ABC 内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【答案】B【解析】根据题意，CB PA PB CB PB PA CP PA λλλ=+⇔-=⇔=，∴点P 在AC 边所在直线上，故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
6.2.2向量的减法运算教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
- 交换律：a-b = b-a
- 结合律：(a-b)-c = a-(b-c)
- 分配律：(a+b)-c = a-c+b-c
3. 向量的减法几何意义：
- 从一点到另一点的位移向量的相反向量
4. 向量的减法运算的应用：
- 解决实际问题，如物理学中的速度变化、几何中的向量差等。
板书设计应条理清楚、重点突出、简洁明了，以便于学生理解和记忆。同时，板书设计应具有艺术性和趣味性，以激发学生的学习兴趣和主动性。例如，可以使用不同颜色或符号来区分不同的知识点，或者使用图形来表示向量的减法运算。通过这样的设计，学生可以更容易地理解和记住向量减法的基本概念和运算性质，并能够将它们应用于解决实际问题。
6.2.2 向量的减法运算教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容
本节课的教学内容来自于2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册，第6.2.2节“向量的减法运算”。本节课主要讲解向量的减法运算概念、法则及其几何意义。内容包括：
这些知识点是本节课的核心内容，也是学生需要重点理解和掌握的。通过对比加法运算，学生可以更好地理解减法运算的性质和应用。同时，通过大量的练习题，学生可以加深对向量减法运算的理解，并能够熟练地运用它来解决实际问题。
七、板书设计
1. 向量的减法定义：
- 三角形法则：a-b = c
- 平行四边形法则：a-b = d
我也意识到，课堂上的互动和讨论不够充分。学生们在课堂上大多时候是被动接受的，缺乏主动思考和交流的机会。这对于他们的数学思维能力和创新能力的培养是不利的。我需要在未来的教学中，更多地设计一些小组讨论和互动环节，激发他们的思考，培养他们的合作交流能力。
向量的减法运算课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
D.不确定
Ԧ|的取值范围.
Ԧ|,则四边形
(1)答案 B
解析 ∵ Ԧ =
∵| Ԧ −
Ԧ ,∴四边形 ABCD 为平行四边形,
Ԧ|=| Ԧ −
Ԧ |,∴|
Ԧ|=| Ԧ|.
∴四边形 ABCD 为矩形.故选 B.
(2)解 ∵|| Ԧ |-| Ԧ||≤| Ԧ −
∴3≤| Ԧ −
Ԧ|≤| Ԧ|+| Ԧ|,且| Ԧ|=9,| Ԧ|=6,
本节课重点
向量减法的定义、向量减法的三角形法则
本 课 结 束
A
O
A
B
B
|a − b| = |a| + |b|
a b
||a| − |b|| < |a − b| < |a| + |b|
|||
Ԧ − ||| ≤ |Ԧ − | ≤ ||
Ԧ + ||
|a − b| = |a| + |b|成立的充要条件是与反向或
Ԧ
与中至少有一个为零向量；
Ԧ
|a − b| = ||a| − |b||成立的充要条件是与同向或
Ԧ − ≥ Ԧ − ，当且仅当 Ԧ 与同向时取等号，或至少有一个为零向量.
二、课堂练习
探究一
向量减法的几何意义
例 1.
(1)如图所示,四边形 ABCD 中,若 Ԧ=a, Ԧ=b, Ԧ =c,则 Ԧ=(
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
(2)如图所示,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
(2)起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
返回
题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
2024新人教A版高中数学第02讲 平面向量的加、减法运算(教师版)-高一数学同步精品讲义
第02讲平面向量的加、减法运算目标导航课程标准课标解读1．理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和．2．掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．3．掌握向量减法的概念．理解两个向量的减法就是转化为向量加法来进行的．4．掌握相反向量．5.掌握向量加、减法的几何意义．通过本节课的学习，要求掌握现面向量的加法与减法的运算法则及相关的运算定律，掌握两种运算的几何意义，会进行平面向量的相关运算，注意两种运算的条件.知识精讲知识点1．向量的加法（1）向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法．（2）向量加法的三角形法则如图，已知向量a ，b ，在平面上任取一点A ，作AB = a ，BC = b ，则向量AC叫做a 与的b 和，记作+a b ，即AB BC AC +=+=a b ，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则．【微点拨】当两个向量共线时，三角形法则同样适用，下图分别表示两个同向共线向量和的情形，及两个异向共线向量和的情形．（3）向量加法的平行四边形法则如图，已知两个不共线的向量a 和b ，作OA = a ，OB =b ，则O 、A 、B 三点不共线，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则对角线上的向量OC OA OB =+，此种作法称为向量加法的平行四边形法则．【微点拨】若n 个向量顺次首尾相接，则由起始向量的起点指向末向量的终点的向量就是它们的和，即1112233411n n n n n A A A A A A A A A A A A +-+=+++⋅⋅⋅+，如图．（4）和向量的模与原向量之间的关系一般地，我们有+≤+a b a b ．当a 与b 共线且同向时，+=+a b a b ；当a 与b 共线且异向时，+=-a b a b ；当a 与b 不共线时，+<+a b a b ．（5）向量加法的运算律交换律：+=+a b b a ；结合律：()()++=++a b c a b c ．注意：①当a 、b 至少有一个为零向量时，交换律和结合律仍成立；②当a 、b 共线时，交换律和结合律也成立．（6）向量求和的多边形法则由两个向加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相加，现以四个向量为例，如图，已知向量a ，b ，c ，d ，在平面上任选一点O ，作OA = a ，AB = b ，BC = c ，CD = d ，则OD OA AB BC CD =+++=+++a b c d ．已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点、第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．（7）向量加法的实际应用向量的加法在三角形、四边形等平面几何知识，物理知识中都有着广泛的应用，在解决向量与平面几何知识相结合的题目时，要注意数形结合，这也体现了向量作为一种工具在几何学、物理学等知识领域的应用．2．向量的减法（1）相反向量我们把与向量a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作-a ．规定零向量的相反向量仍为零向量，且①()--=a a ；②()()0+-=-+=a a a a ；若a ，b 互为相反向量，则=-a b ，=-b a ，0+=a b ．（2）向量减法的定义向量a 加上向量b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即()-=+-a b a b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法．3．向量减法的几何意义（1）非零共线向量a ，b 的差-a b ；①若a ，b 反向，则-a b 与a 同向，且-=+a b a b ．②若a ，b 同向，（ⅰ）若>a b ，则-a b 与a 同向，且-=-a b a b ；（ⅱ）若<a b ，则-a b 与a 反向，且-=-a b b a ；（ⅲ）若=a b ，则0-=a b ．其几何意义分别如图（1）（2）（3）（4）．（2）非零不共线向量a ，b 的差-a b ：①如图，在平面内任取一点O ，作OA = a ，OB = b ，则向量BA为所求，即BA OA OB =-=-a b ．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量．②如图，在平面内任取一点O ，作OA = a ，OB =b ，分别以OA ，OB 为边作平行四边形OACB ，连接BA ，则BA BC CA =+=-a b ，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义．4．向量减法的三角形法则和平行四边形法则-a b 从“相反向量”这个角度有两种作法：三角形法则和平行四边形法则．减法的三角形法则的作法：在平面内取一点O ，作OA = a ，OB = b ，则BA =-a b ，即-a b 可以表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量（注意：差向量的“箭头”指向被减向量）．具体作法如图（1）（a ，b 不共线）和图（2）、（3）（a ，b 共线）所示．减法的平行四边形法则的作法：当a ，b 不共线时．如图（1），在平面内任取一点O ，作OA = a ，OB =-b ，则由向量加法的平行四边形法则可得()OC =+-=- a b a b ，这是向量减法的平行四边形法则．若a ，b 同向共线，如图（2）所示；若a ，b 异向共线．如图（3）所示．5．向量的加法和减法的运算问题关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“−”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“AB - ”改为“BA +”．解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．【微点拨】向量减法运算是加法的逆运算．在理解相反向量的基础上，结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．【即学即练1】在△ABC 中，BC = a ，CA = b ，则AB等于（）A ．+a bB ．--a bC ．-a bD ．-b a【答案】B【解析】AB CB CA =- =–BC CA -=--a b ，故选B ．【即学即练2】如图，在矩形ABCD 中，AO OB AD ++=（）A ．ABB ．ACC ．ADD ．BD【答案】B【解析】在矩形ABCD 中，AD BC = ，则AO OB AD AO ++= +OB +BC AC =，故选B ．【名师点睛】（1）向量加法的多边形法则：n 个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成组向量折线，这n 个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角形法则的连续应用．（2）|a +b |≤|a |+|b |．【即学即练3】向量()()AB MB BO BC OM ++++ 化简后等于（）A ．BCB ．ABC ．ACD ．AM【答案】C【解析】()()AB MB BO BC OM AB ++++= +BO +OM +MB +BC AO = +OM +MB +BC =AM+MB +BC AB = +BC AC =．故选C ．【名师点睛】（1）首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组合，利用向量加法法则求解．（2）此类问题应根据三角形法则或平行四边形形法则，观察是否具备应用法则的条件，若不具备，应改变条件，以便使用法则求解．【即学即练4】在△ABC 中，BC = a ，CA = b ，则AB等于（）A ．+a bB ．--a bC ．-a bD ．-b a【答案】B【解析】AB CB CA =- =–BC CA -=--a b ，故选B ．【即学即练5】下列四式不能化简为PQ的是（）A ．()AB PA BQ ++B．()()AB PC BA QC ++- C ．QC CQ QP+- D ．PA AB BQ+- 【答案】D 【分析】由向量加减法法则计算各选项，即可得结论．【详解A 项中，()()AB PA BQ AB BQ AP AQ AP PQ ++=+-=-=；B 项中，()()()()AB PC BA QC AB AB PC CQ PQ ++-=-++= ；C 项中，QC CQ QP QP PQ +-=-=；D 项中，PA AB BQ PB BQ PQ +-=-≠.故选：D.【即学即练6】已知非零向量a 与b方向相反，则下列等式中成立的是（）A ．a b a b -=-B ．a b a b+=- C ．a b a b+=- D ．a b a b+=+ 【答案】C 【分析】根据方向相反的两个向量的和或差的运算逐一判断.【详解】A.a b -可能等于零，大于零，小于零，0a b a b -=+> ，A 不成立B.a b a b +=-r r r r ，a b a b -=+，B 不成立C.a b a b -=+，C 成立D.a b a b a b +=-≠+，D 不成立.故选：C.【即学即练7】在平行四边形ABCD 中，BC CD BA -+等于（）A ．BCB ．DAC ．ABD ．AC【答案】A【解析】∵在平行四边形ABCD 中，DC 与BA 是一对相反向量，∴DC BA =-，∴–BC CD BA BC -+= BA +BA BC =，故选A ．【名师点睛】注意向量几何意义的应用，利用数形结合的思想解题．能力拓展考法011．向量加法运算及其几何意义（1）平行四边形法则的应用前提：两个向量是从同一点出发的不共线向量．三角形法则应用的前提：两个向量“首尾相接”．（2）当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．（3）向量加法的三角形法则和平行四边形法则是向量加法的几何意义．【典例1】如图，在正六边形ABCDEF 中，BA CD FB ++等于（）A ．0B ．BEC ．AD D ．CF【答案】A 【分析】根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.【详解】CD AF = ，∴0BA CD FB BA AF FB ++==++ .故选：A.考法022．向量加法的运算律（1）向量的加法与实数加法类似，都满足交换律和结合律．（2）由于向量的加法满足交换律与结合律，因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意组合来进行．例如，（a +b ）+（c +d ）=（b +d ）+（a +c ），a +b +c +d +e =[d +（a +c ）]+（b +e ）．【典例2】化简下列各式：①AB BC CA ++ ；②()AB MB BO OM +++uu u r uuu r uu u r uuu r ；③OA OC BO CO +++；④AB CA BD DC +++．其中结果为0 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】对于①：0AB BC CA AC CA ++=+=，对于②：()AB MB BO OM AB BO OM MB AM MB AB +++=+++=+=uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r，对于③：()()0OA OC BO CO BO OA CO OC BA BA +++=+++=+=，对于④：()()0AB CA BD DC AB BD DC CA AD DA +++=+++=+= ，所以结果为0的个数是2，故选：B考法033．向量的減法运算及其几何意义（1）向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量的终点，箭头指向被减向量”即可．（2）以向量AB =a ，A 6=b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC =a +b ，BD =b –a ，DB =a –b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该牢记并加强理解．【典例3】已知85AB AC == ，，则BC的取值范围是__________．【答案】[3，13]【解析】∵–BC AC AB = ，∴BC =|–AC AB|，∴AB AC - ≤BC ≤AB AC + ，即3≤BC≤13．故答案为：[3，13]．【名师点睛】本题考查的知识点是两向量的和或差的模的最值，两向量反向，差的模有最大值，两向量反向，差的模有最小值是解答本题的关键．|a –b |、|a |–|b |、|a |+|b |三者的大小关系（1）当向量a 与b 共线时，当两非零向量a 与b 同向时，|a –b |=|a |–|b |<|a |+|b |；当两非零向量a 与b 反向时，|a –b |=|a |+|b |>|a |–|b |；当a 与b 中至少有一个为零向量时，|a –b |=|a |–|b |=|a |+|b |．（2）当两非零向量a 与b 不共线时，如在△ABC 中，AC =a ，AB =b ，则BC =AC –AB =a –b ，根据三角形中任意两边之差总小于第三边，任意两边之和总大于第三边，可得||a |–|b ||<|a –b |<|a |+|b |．综合可知，对任意的向量a 与b 都有||a |–|b ||≤|a –b |≤|a |+|b |．只当a 与b 同向或a 与b 中至少有一个为零向量时||a |–|b ||≤|a –b |中的等号成立；当a 与b 反向或a 与b 中至少有一个为零向量时|a –b |≤|a |+|b |中的等号成立．考法044．向量加、减法的综合应用向量的几何意义及加、减法运算常用来解决平面几何问题，解题时要将所给向量式中各向量进行移项或重新组合，并灵活运用相反向量，把向量相等、平行、模的关系进行转化．【典例4】化简（1）()()AB CD AC BD --- （2）OA OD AD -+ ；（3）AB DA + ＋BD BC CA --．【答案】（1）0 ；（2）0 ；（3）AB.【分析】（1）方法一：将CD - 转化为DC，将AC - 转化为CA ，利用向量的加法法则，即可求得答案.方法二：利用向量的减法法则，化简整理，即可得答案.（2）利用向量的减法法则，化简整理，即可得答案.（3）根据向量的线性运算法则，即可求得答案.【详解】（1）方法一(统一成加法)：()()AB CD AC BD AB AC CD BD ---=--+AB BD DC CA AD DA =+++=+= 方法二(利用OA OB BA -=uu r uu u r uu r)：()()AB CD AC BD AB CD AC BD ---=--+ 0AB AC CD BD CB CD BD DB BD =--+=-+=+= （2）0OA OD AD DA AD -+=+=uu r uuu r uuu r uu u r uuu r r ．（3）AB DA BD BC CA AB DA AC BD BC ++--=+++- AB DC CD AB=++= 【典例5】如图，M 、N 在线段BC 上，且BM CN =，试探求AB AC + 与AM AN +的关系，并证明之.【答案】相等，证明见解析【分析】求AB AC + 与AM AN +的关系为相等，利用向量加法的三角形法则即可证明.【详解】A A M C ANB A =++ 证明：由向量加法三角形法则知：,AB AM MB AC AN NC =+=+，所以AB AC AM MB AN NC +=+++ ，因为BM CN =，所以MB NC =- ，所以AB AC AM MB AN NC AM AN NC NC AM AN +=+++=++-=+ 【点睛】本题主要考查了向量的加法法则，相反向量，属于中档题.【典例6】如图所示，已知在矩形ABCD 中，3AD = ，8AB = .设,,AB a BC b BD c ===，求a b c -- .【答案】87a b c --=r r r【分析】延长直线AB ,使得直线AB 上一点B '满足AB BB '=,同理,延长直线AD ,使得直线AD 上一点D ¢满足AD DD '=,画出图形,则''a b c D B --=,进而求解即可【详解】延长直线AB ,使得直线AB 上一点B '满足AB BB '=,同理,延长直线AD ,使得直线AD 上一点D ¢满足AD DD '=,如图所示,则'b c BD += ,()'''''a b c a b c a BD BB BD D B --=-+=-=-=,则()()22''2432887a b c D B --==⨯+⨯=【点睛】本题考查向量的加法,减法在几何中的应用,考查向量的模.分层提分题组A 基础过关练1．向量AB CB BD BE DC ++++化简后等于（）A ．A EB ．AC C ．ADD ．AB【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】由AB CB BD BE DC AC CB BE AE →→++++=++= ,故选：A2.如图，向量AB a =，AC b = ，CD c = ，则向量BD 可以表示为（）A ．a b c ++B ．a b c-+ C ．b a c-+D ．b a c-- 【答案】C 【分析】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.【详解】AD AB AC CD AB BD b a c=-=-+-=+ 故选：C.3..设D 为∆ABC 中BC 边上的中点，且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则（）A.5166BO AB AC=-+B.1162BO AB AC=-C.5166BO AB AC=- D.1162BO AB AC=-+【答案】A【解析】本题考点是平面向量的加减法运算法则，由题意可知在三角形BAO 中：()11513666BO AO AB AD AB AB AC AB AB AC =-=-=+-=-+，故选A.4.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC +=()．A ．ADB ．12ADC ．BCD ．12BC【答案】A【解析】本题的考点是平面向量的加法、减法法则，线段中点的性质，考查转化能力，用向量法表示三角形中线的性质要引起重视，由题意可知D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点，所以有以下结论：()()1122EB FC BA BC CA CB+=-+-+()()1112222BA CA AB AC AD AD =-+=+==，故选A.5.已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0GA GB GC ++=，则G 点是三角形ABC的（）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D 【分析】由题易得GA GB CG +=，以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，进而可得CG GD =，进而可得13GO CO = ，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，最后得出答案即可.【详解】因为0GA GB GC ++= ，所以GA GB GC CG +=-= ，以GA ､GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，如图所示：则CG GD =，所以13GO CO = ，点O 是AB 边的中点，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，所以G 点是三角形ABC 的重心.故选：D .6.如图，D ，E ，F 分别为ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++= B ．0++= BD CF DF C ．0++= AD CE CF D ．0++= BD BE FC 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算法则计算可得；【详解】解：D Q ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，∴12AD AB = ，12BE BC = ，12CF CA =，则1111()02222AD BE CF CA AB CA CA AB CA ++=++=++=，故A 正确；()1111122222BD CF DF BA CA BA CA BA BC BC ++=++=++=，故B 错误；()1111122222AD CE CF AB CB CA CA AB CB CB ++=++=++=，故C 错误；()1111122222BD BE FC BA BC AC BA AC BC BC ++=++=++=，故D 错误；故选：A ．7.在ABC 中，点P 满足2AP AB AC =-，则（）A ．点P 不在直线BC 上B ．点P 在CB 的延长线上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在BC 的延长线上【答案】B 【分析】由已知条件可得BP CB = ，从而可得BP 与CB共线，进而可得结论【详解】因为2AP AB AC =-，得AP AB AB AC =-- ，所以BP CB = ，所以,,B P C 三点共线，且点P 在CB 的延长线上，故选：B8.五角星是指有五只尖角､并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是（）A ．0CH ID += B ．AB FE∥ C ．2AF FG HG+= D ．AF AB AJ=+ 【答案】D 【分析】利用相反向量可判断A ；利用向量共线可判断B ，利用向量的加法可判断C 、D.【详解】A ，由图可知CH 与ID 相交，所以CH 与ID不是相反向量，故A 错误；B ，AB 与DE 共线，所以DE 与FE 不共线，所以AB 与FE不共线，故B 错误；C ，2AF FG AG HG +=≠，故C 错误；D ，连接,BF JF ，由五角星的性质可得ABJF 为平行四边形，根据平行四边形法则可得AF AB AJ =+，故D 正确.故选：D9.已知A ，B ，C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若PA PB PC AB +=+，则下列结论正确的是（）A ．点P 在△ABC 内部B ．点P 在△ABC 外部C ．点P 在直线AB 上D ．点P 在直线AC 上【答案】D 【分析】由向量的运算可得CA AP =，进而可得解.【详解】∵PA PB PC AB +=+ ，∴PB PC AB PA -=- ，∴CB AB AP CB AB AP =+-= ，，即CA AP = .故点P 在边AC 所在的直线上.故选：D.10.平面上有三点A ，B ，C ，设m AB BC =+ ，n AB BC =-，若,m n 的长度恰好相等，则有（）A ．A ，B ，C 三点必在同一条直线上B ． ABC 必为等腰三角形，且∠B 为顶角C ． ABC 必为直角三角形，且∠B=90°D ． ABC 必为等腰直角三角形【答案】C【分析】根据,m n 的长度相等，由|AC |=|BD|得到ABCD 是矩形判断.【详解】如图：因为,m n的长度相等，所以|AB BC + |=|AB BC - |，即|AC |=|BD |，所以ABCD 是矩形，故 ABC 是直角三角形，且∠B=90°.故选：C11.在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，AB a = ，AD b = ，则向量NM =（）A ．1132a b+B ．2132a b+C ．1132a b-D ．2132a b-【答案】B【分析】根据题意作出图形，将AM 用a 、b的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.【详解】解：由题意作出图形：在平行四边形ABCD 中， M 为BC 的中点，则12AM AB BM a b =+=+又 N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，则1133AN AB ==11212332NM AM AN a b a a b∴=-=+-=+故选：B12.若O 是平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足()OP OC CB CAλ=++（R λ∈），则P 点的轨迹一定过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C【分析】由()OP OC CB CA λ=++ （R λ∈），得到()CP CB CA λ=+ ，再根据CB CA +经过在ABC 的重心判断.【详解】因为()OP OC CB CA λ=++（R λ∈），所以()CP CB CA λ=+，所以CB CA +在ABC 的边AB 上的中线所在直线上，则()CB CA λ+ 在ABC 的中线所在直线上，所以P 点的轨迹一定过ABC 的重心，故选：C13.下列命题中正确的是（）A ．如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b + 的方向必与a ，b之一的方向相同B ．在ABC 中，必有0AB BC CA ++=C ．若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点D ．若a ，b均为非零向量，则||a b + 与||||a b + 一定相等【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A ：当a 与b 为相反向量时，0a b +=，方向任意，故A 错误；对于B ：在ABC 中，0AB BC CA ++=，故B 正确；对于C ：当A 、B 、C 三点共线时，满足0AB BC CA ++=，但不能构成三角形，故C 错误；对于D ：若a ，b 均为非零向量，则a b a b +≤+ ，当且仅当a 与b同向时等号成立，故D错误.故选：B14.如右图，D ，E ，P 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+=uu u r uu u r uuu r r C ．0AD CE CF +-=uuu r uur uu u r r D ．0BD BE FC --= 【答案】A 【分析】根据向量加法和减法的运算法则结合图像逐一运算即可得出答案.【详解】解：0AD BE CF DB BE ED DE ED ++=++=+=，故A 正确；BD CF DF BD FC DF BC -+=++=，故B 错误；AD CE CF AD FE AD DB AB +-=+=+=，故C 错误；2BD BE FC ED FC ED DE ED --=-=-=，故D 错误.故选：A.15.如图，在ABC 中，3BC BD →→=，23AE AD →→=，则CE →=（）A ．4599AB AC→→+B ．4799AB AC→→-C ．4133AB AC→→-D ．4799AB AC→→-+【答案】B 【分析】利用向量定义，22()33CE AE AC AD AC AB BD AC →→→→→→→→=-=-=+-，最后化简为,AB AC →→来表示向量即可.【详解】22()33CE AE AC AD AC AB BD AC→→→→→→→→=-=-=+-2122()()3339AB BC AC AB AC AB AC →→→→→→→=+-=+--4799AB AC →→=-故选：B题组B 能力提升练1.在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB DC =，E 为BC 的中点，则（）A ．3142AE AB AD→→→=+B ．3122AE AB AD→→→=+C ．1142AE AB AD →→→=+D ．3144AE AB AD →→→=+【答案】A 【分析】作出示意图，利用数形结合，在梯形ABCD 中，利用三角形法则即可求解.【详解】如图所示：在三角形ABE 中，12AE AB BE AB BC→→→→→=+=+12AB BA AD DC →→→→⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1122AB AB AD AB →→→→⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭1122AB AB AD →→→⎛⎫ ⎪=+-+ ⎪⎝⎭3142AB AD →→=+.故选：A.2.已知O 是三角形ABC 内部的一点，230OA OB OC ++=，则OAC 的面积与OAB 的面积之比是（）A ．32B ．23C ．2D ．1【答案】B 【分析】取D 、E 分别是BC 、AC 中点，根据向量的加法运算以及向量共线可得2OE OD =，再由三角形的相似比即可求解.【详解】如下图所示，D 、E 分别是BC 、AC 中点，由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+ 即2OE OD =- ，所以2OE OD =，由COE AOE S S = ，COD BOD S S =△△，设1AOC S S = ，2BOC S S = ，则12COE AOE S S S ==，22COD BOD SS S == ，由三角形相似比可得1212122322AOB S S S S S +=++ ，解得12AOB S S S += ，因为:2:1AOE BOD S S = ，所以12:2:1S S =，即122S S =，所以112AOB S S S += ，所以123AOB S S = ，即OAC 的面积与OAB 的面积之比是23故选：B.3.已知平面向量a ，b ，c满足222a c a b b c ==-=-= ，则b 的取值范围为（）A ．[]1,3B ．7⎡⎣C ．[]2,3D ．7⎡⎣【答案】C 【分析】由复数的几何意义画出简图，数形结合可得结果.【详解】令a OA =，由2a = 知点A 在以O 为圆心，2为半径的圆上；令2a OD =，由2a = 知点D 在以O 为圆心，4为半径的圆上；令c OC =，由2c = 知点C 在以O 为圆心，2为半径的圆上；令b OB =，由22a b -= 知点B 在以D 为圆心，2为半径的圆上，由1b c -= 知点B 也在以C为圆心，1为半径的圆上，所以点B 在以O 为圆心，内径为2，外径为3的圆环上，如图阴影部分，从而[]2,3b ∈.故选：C.4.在平行四边形ABCD 中，设CB a = ，CD b =，E 为AD 的靠近D 的三等分点，CE 与BD交于F ，则AF =（）A ．3144a b--B ．3144a b-+C ．1344a b--D ．1344a b-【答案】A 【分析】找到AD 、BC 上的三等分点，则////AK GH EC ，结合图形易得4DBDF =，由AF AD DF =+ 即可知正确选项.【详解】如图，在AD 上取G 点，使得AG GE ED ==，在BC 上由左到右取K ，H ，使得BK KH HC ==，连接AK ，GH ，则////AK GH EC ，∵//DE BC 且13DE BC =，∴由相似比可知：4DBDF =，∴()131444AF AD DF a a b a b =+=-+-=-- .故选：A5.在ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，AD 、BE 、CF 交于点G ，则：①1122EF CA BC =- ；②1122BE AB BC =-+ ；③AD BE FC += ；④0GA GB GC ++= ．上述结论中，正确的是（）A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④【答案】C 【分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误.【详解】如下图所示：对于①，F 、E 分别为AB 、AC 的中点，111222FE BC CA BC ∴=≠-，①错误；对于②，以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCO ，由平面向量加法的平行四边形法则可得2BE BO BA BC AB BC ==+=-+，1122BE AB BC ∴=-+，②正确；对于③，由②同理可得2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，1122AD AB AC ∴=+ ，同理可得1122CF CA CB =+ ，()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++=，AD BE CF FC ∴+=-=，③正确；对于④，易知点G 为ABC 的重心，所以，23GA AD =- ，23GB BE =- ，23GC CF =-，因此，()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=，④正确.故选：C.【点睛】本题考查平面向量加法运算的相关判断，考查平面向量加法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.6.八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则给出下列结论：①0BF HF HD -+= ；②2OA OC OF +=- ；③AE FC GE AB +-=．其中正确的结论为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算逐项进行化简计算，由此确定出正确选项.【详解】对于①：因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=，故①错误；对于②：因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒，则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形，又因为OB 平分AOC ∠，所以22OA OC +=-，故②正确；对于③：因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+ ，且FC GB =，所以AE FC GE AG GB AB +-=+=，故③正确，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键利用合适的转化对向量的减法运算进行化简，由此验证关于向量的等式是否正确.7.ABC 中，AD DC =，点M 在BD 上，且满足37AM AB t AC =+ ，则实数t 的值为（）A ．67B ．47C ．27D ．59【答案】C 【分析】由题意，可设DM k DB =，结合条件整理可得11(1)22AM AC DM k AC k AB =+=-+ ，得到关于k 与t 的方程组，解出t 即可．【详解】如图，因为AD DC =，所以12AD AC= 则12AM AD DM AC DM =+=+ ，因为M 在BD 上，不妨设1()()2DM k DB k AB AD k AB AC ==-=- ，则1111()(1)2222AM AC DM AC k AB AC k AC k AB =+=+-=-+ ，因为37AM AB t AC =+，所以371(1)2⎧⎪⎪⎨⎪⎩=-=⎪k k t ，解得27t =，故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8.（多选题）下列各式结果为零向量的有（）A ．AB CA BC→→→++B ．AB AC BD CD+++ C ．OA OD AD-+ D ．NQ QP MN MP++- 【答案】ACD 【分析】根据平面向量的线性运算逐个求解即可【详解】对A ，0AB CA BC CA AB BC CB BC ++=++=+=，故A 正确；对B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，故B 错误；对C ，0OA OD AD DA AD -+=+=，故C 正确；对D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，故D 正确；故选：ACD 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算9.（多选题）在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC 和DC 的中点，P 是DE 与BF 的交点，则有（）A ．12AE AB AD=+uu u r uu u r uuu rB ．1122AF AB AD=+ C ．2233AP AB AD=+ D ．1122CP CD CB=+【答案】AC 【分析】对A ，B ，由向量的加法法则即可判断；对C ，D ，由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可判断.【详解】解：如图所示：对A ，12AE AB BE AB BC =+=+，又BC AD = ，即12AE AB AD =+uu u r uu u r uuu r，故A 正确；对B ，1122AF AD DC AB AD =+=+，故B 错误；对C ，设O 为AC 与BD 的交点，由题意可得：P 是CBD 的重心，故2CP PO = ，222333AP AO OP AC AB AD =+==+，故C 正确；对D ，221111332233CP CO CB CD CB CD ⎛⎫==⨯+=+ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC.10.（多选题）设P 是OAB 内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（）A ．2155OP OA OB =+B ．2455OP OA OB =+C ．2155OP OA AB=+ D ．2455OP OA AB=+【答案】AC 【分析】作出图示，根据向量的平行四边形法则逐项进行判断即可.【详解】对于A ：如下图所示，可知P 在OAB 内部，故成立；对于B ：如下图所示，可知P 在OAB 外部，故不成立；对于C ：因为21211115555555OP OA AB OA AO OB OA OB =+=++=+，如下图所示，可知P 在OAB 内部，故成立；对于D ：因为24244245555555OP OA AB OA AO OB OA OB =+=++=-+ ，如下图所示，可知P 在OAB 外部，故不成立；故选：AC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用图示结合向量的平行四边形法则进行说明，其中CD 选项中的向量关系式要根据AB AO OB =+进行化简.11.（多选题）设点D 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的有（）A ．若()12AD AB AC =+，则点D 是边BC 的中点B ．若()13AD AB AC =+，则点D 是ABC 的重心C ．若2AD AB AC =-，则点D 在边BC 的延长线上D ．若AD xAB y AC =+ ，且12x y +=，则BCD △是ABC 面积的一半【答案】ABD 【分析】对A ，根据中点的性质即可判断；对B ，根据重心的性质即可判断；对C ，根据向量的运算得到BD CB =，即可判断；对D ，根据三点共线的性质即可求解.【详解】解：对A ，()12AD AB AC =+，即11112222AD AB AC AD -=-，即BD DC = ，即点D 是边BC 的中点，故A 正确；对B ，设BC 的中点为M ，()1122333AD AB AC AM AM =+=⨯= ，即点D 是ABC 的重心，故B 正确；对C ，2AD AB AC =-，即AD AB AB AC -=- ，即BD CB = ，即点D 在边CB 的延长线上，故C 错误；对D ，AD xAB y AC =+，且12x y +=，故222AD xAB y AC =+，且221x y +=，设2AM AD =，则22AM xAB y AC =+，且221x y +=，故,,M B C 三点共线，且2AM AD =，即BCD △是ABC 面积的一半，故D 正确.故选：ABD.12.对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（）A ．AB BC =B ．AB BC = C ．AB CD AD BC-=+D ．AD CD CD CB+=- 【答案】BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量AB 与BC的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；因为2AB CD AB DC AB -=+= ，2AD BC BC +=，且AB BC = ，所以AB CD AD BC -=+ ，即C 结论正确；因为AD CD BC CD BD +=+= ，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.13.．四边形ABCD 中，若BD BC BA =+，则四边形ABCD 的形状为_____.【答案】平行四边形【分析】由平面向量的加法法则直接可得答案【详解】解：因为四边形ABCD 中，BD BC BA =+，所以BC CD BC BA +=+ ，所以CD BA = ，所以CD BA = ，且CD ‖BA ，所以四边形ABCD 为平行四边形，故答案为：平行四边形。
《向量的减法运算》教学设计、导学案、同步练习
《6.2.2 向量的减法运算》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第3课时。
向量的减法运算是平面向量线性运算的一种。
在学完向量的加法运算及几何意义后,本节课是对上节课内容的一个转换。
学生在上节课已经学习了平面向量的加法运算及几何意义,会运用三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和向量,具备了一定的作图能力。
这为学习向量的减法运算打下了很好的基础。
类比数的减法运算时,应让学生注意对“被减数”的理解。
本节主要学习相反向量，向量的减法的三角形法则。
通过类比数的减法,得到向量的减法及几何意义,培养了学生的化归思想和数形结合思想。
这样,不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意义的理解,也为后面学习向量的数乘运算及几何意义提供了指导性的思想。
【教学目标与核心素养】A.掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用；B.掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义；C.会求两个向量的差；D.培养学生的类比思想、数形结合思想及划归思想。
【教学重点】：向量减法的运算和几何意义；【教学难点】：减法运算时差向量方向的确定。
【教学过程】注意：各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.2.向量加法的平行四边形法则？注意：起点相同.共线向量不适用。
二、探索新知思考1：你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？【答案】实数a 的相反数记作-a .思考2.两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？如何定义向量的减法呢？【答案】如。
1.相反向量的定义：设向量，我们把与长度相同，方向相反的向量叫做的相反向量。
记作：。
规定：的相反向量仍是。
练习：（1） ；（2） ； ； （3）设与互为相反向量，那么 ，= ，= 。
【答案】（1） （2） （3）2. 向量减法的定义：AC BC AB b a =+=+OC OB OA b a =+=+)(,,y x y x R y x -+=-∈设a a a a -00=--)(a =-+)(a a =+-a a )(a b =a b b a +a 00b -a -0向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即。
6.1.3+向量的减法课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
提示:c=b-a.(或a+c=b)
2.(1)一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,则称
x为向量a与b的 差 ,并记作x= a-b .
(2)在平面内任取一点 O,作=a,=b,作出向量,向量就是向量 a 与 b
的差(也称为向量 a 与 b 的差向量),即 − = .这种求两向量差的作
【典例】 化简: − + − .
审题策略 求和时,两向量首尾相接;作差时,两向量有共同始点.
规范展示 − + −
=( + )-( + )
= −
=0.
答题模板 第1步:所有求和的向量首尾相接,两个求差的向量有共同始点;
第2步:根据向量的加减运算法则求值;
(2)相反向量的性质:
①a+(-a)=(-a)+a=0;
②-(-a)=a;
③零向量的相反向量仍是0,即0=-0.
(3)向量减法的理解:
向量的减法也可以看成向量的加法的逆运算,即a-b=a+(-b),也就是:一个向
量减去另一个向量,等于第一个向量加上第二个向量的 相反向量 .
3. + 的相反向量是.
答案:=a+c-b
5.已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|
=
.
解析:由向量减法的三角形法则知,|a-b|=| − |=||=√52 + 122 =13.
答案:13
6.在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四边形,且=a,C.
D.
)
解析:由向量减法的三角形法则易知 − = .
6.1.1 空间向量的线性运算 (教学课件)-高二数学苏教版选择性必修第二册
①A→1D1－A→1A－A→B；
②B→C＋B→B1－D→1C1；
③A→D－A→B－D→D1；
④B→1D1－A→1A＋D→D1.
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①④
【解析】 ①A→1D1－A→1A－A→B＝A→D1－A→B＝B→D1；②B→C＋B→B1－D→1C1＝B→C1＋C→1D1＝ B→D1；③A→D－A→B－D→D1＝B→D－D→D1＝B→D－B→B1＝B→1D≠B→D1；④B→1D1－A→1A＋D→D1＝B→D＋ A→A1＋D→D1＝B→D1＋A→A1≠B→D1.
几何定义 λ＜0 λa 与向量 a 的方向相反 λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍
λ(a＋b)＝λa＋λb λ(μa)＝(λμ)a
6. 共线向量： 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么
这些向量叫作共线向量或平行向量．向量 a 与 b 平行，记作 a∥b. 当我们说向量 a，b 共线(或 a∥b)时，表示 a，b 的有向线段所在的直线可能是同一
5. 如图，已知四边形 ABCD 是空间四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，
G 分别是边 CB，CD 上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝23C→D. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
【解析】 因为 E，H 分别是 AB，AD 的中点，
所以A→E＝12A→B，A→H＝12A→D，
则E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B＝12B→D＝12(C→D－C→B)
回顾平面向量的相关内容
1. 基本概念：
(1) 向量的定义： 【解析】 我们把既有大小又有方向的量称为向量．
(2) 向量的模： 【解析】 向量的大小称为向量的长度(或称为模)． (3) 零向量、单位向量、平行向量： 【解析】 长度为 0 的向量称为零向量．
向量的加法运算 课件 -一下学期数学人教A版(2019)必修二
a
首首
C
尾尾
ab
b
相连
b
连
A
a
B
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则
向量加法的平行四边形法则
以 同 一 点O为 起 点 的 两 个 已 知 向 量a、b为 邻 边 作 平 行 四 边 形OACB，
则 以O为 起 点 的 对 角 线OC就 是a与b的 和 则 向 量AC叫 做a与b的 和
a b，即a b OA OB OC
P
C
B
5、河水自西向东流动的速度为10km/h，小船自南岸沿正北方向航 行，小船在静水中的速度为 10 3km / h，求小船的实际航行速度.
解：设 a，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作
OA a，OB b
以OA，OB为邻边作矩形OACB ，连接OC，如图 则OC a b，并且OC即为小船的实际航行速度， | OC | | a b |2 | a |2 | b |2 20km / h tan AOC 10 3 3， AOC 60
a b. b
a
b
b
b
a
a
a
(1)
(2)
(3)
(4)
2、如图所示，求作向量 a b c
解：方法一：(三角形法则)如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作OA a，AB b 则得向量OB a b，然后作向量BC c
则得向量OC (a b) c a b c，即为所求
方法二：(平行四边形法则)如图⑤所示，
例2、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如 图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸 的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹角来表示)。
向量的基本运算 教学设计-苏教版高中数学必修第二册
第九章平面向量第9.2.1节向量的基本运算向量作为代数对象，可以如同数和字母一样进行运算．运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索．数的运算，字母运算，向量运算，函数运算等都是数学中的基本运算．从数的运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充到多元，对于进一步理解其它数学运算具有基础作用．本章要求学生掌握向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积的运算，有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现数学结论，以及建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力，提高学生的数学素养．课程目标学科素养1.掌握平面向量的加法、减法、数乘运算法则.2.理解向量加法、减法、数乘的几何意义.3.理解两个平面向量共线的含义.a数学抽象:通过物理模型的研究，体会向量加法、减法、数乘运算的形成过程.b数学运算:平面向量的加法、减法、数乘运算.1.教学重点：掌握平面向量的加法、减法、数乘运算法则.2.教学难点：理解向量加法、减法、数乘的几何意义.多媒体调试、讲义分发。
2019年6月17日四川宜宾长宁县发生6.0级地震，地震发生后一架救援直升机从甲地飞往乙地，再从乙地飞往丙地视察灾情.问题我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？提示从甲地经乙地到丙地两次位移与从甲地直接到丙地的位移相同，但距离不相同.1.向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算. (2)运算法则：向量求和的法则 图示几何意义三角形法则 使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b ，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的向量OC →(OC 是▱OACB 的对角线)就是向量a 与b 的和2.相反向量 利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法，向量的减法是向量加法的一种逆运算。
2021-2022学年新教材高中数学 全书要点速记学案(含解析)苏教版必修第二册
全书要点速记(教师用书独具)第9章平面向量要点1 向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，记作0．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：零向量与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．要点2 向量的运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：a ＋b＝b＋a；结合律：(a ＋b)＋c＝a ＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算几何意义a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；λ(μa)＝(λμ)a；当λ<0时，λa与a 的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(λ＋μ)a ＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb数量积设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b向量a与向量b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积a·b＝b·a；(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(a＋b)·c＝a·c＋b·c要点3 两个重要定理(1)向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa．(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底．要点4 平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12．(2)平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．(3)平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0．要点5 平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ．结论符号表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22第10章三角恒等变换要点1 两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；(2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；(3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；(4)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；(5)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))；(6)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β))．要点2 二倍角公式(1)基本公式：①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan 2α＝2tan α1－tan 2α．(2)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2．第11章 解三角形要点1 正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2Ra 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC ；②sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C ＝c2R；③a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin Ccos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab要点2 三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．第12章 复数要点1 复数的有关概念 (1)复数的概念及分类：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)模：向量OZ →的模叫作复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，则|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．要点2 复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系．要点3 复数的运算(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ．(2)z ·z －＝|z |2＝|z －|2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n ．要点4 复数的乘方与i n (n ∈N *)的周期性 (1)复数范围内正整数指数幂的运算性质 设对任何z ，z 1，z 2∈C 及m ，n ∈N *，则z m z n ＝z m ＋n ，(z m )n ＝z nm ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2．(2)虚数单位i n (n ∈N *)的周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ． *要点5 复数的三角形式 (1)复数的三角形式：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模为r ，辐角为θ，则z ＝r (cos θ＋isin θ)，其中r ＝a 2＋b 2，cos θ＝a r ，sin θ＝br．则r (cos θ＋isin θ)称为复数z 的三角形式．(2)复数的三角形式的运算设复数z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)． ①z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]；②z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](其中z 2≠0)． 第13章 立体几何初步要点1 多面体的结构特征 名称棱柱棱锥棱台图形含义一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分侧棱 平行且相等相交于一点但不一定相等 延长线交于一点侧面 形状平行四边形 三角形梯形要点2 旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球图形母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三全等的等腰梯圆角形形侧面展开图矩形扇形扇环要点3 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l要点4 柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝1 3 Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3要点5 用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图的规则(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz ＝90°，且∠yOz＝90°．(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于点O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．(4)已知图形中平行于x 轴或z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．要点6 四个基本事实基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 要点7 直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线的判定定理定理文字语言符号表示 图形语言异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线若l ⊂α，A ∉α，B ∈α，B ∉l ，则直线AB 与l 是异面直线(3)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a 与b 所成的角或夹角．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．(4)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 要点8 线面平行的判定定理和性质定理判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b要点9 面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b要点10 线面垂直的判定定理与性质定理判定 定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥al ⊥b⇒l ⊥α性质 定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b要点11 直线和平面所成的角 (1)定义平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°角．(2)范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．要点12 平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α第14章统计要点1 简单随机抽样(1)简单随机抽样的概念：一般地，从个体数为N的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本(n<N)，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．(2)分层抽样的概念：当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这样的抽样方法叫作分层抽样．要点2 频率直方图(1)频率直方图的定义把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为组距，然后以此线段为底作矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率直方图．(2)频率折线图：如果将频率直方图中各个矩形的上底边的中点顺次连接起来，并将两端点向外延伸半个组距，就得到频率折线图，简称折线图．(3)频率直方图的相关计算：①频率组距×组距＝频率．②频数样本容量＝频率． ③平均数：在频率直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．④中位数：在频率直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． ⑤众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 要点3 用样本估计总体的集中趋势参数 名称优点缺点平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响对极端值不敏感众数体现了样本数据的最大集中点众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感要点4 用样本估计总体的离散程度参数(1)极差：一组数据的最大值与最小值的差称为极差．极差刻画了一组数据的离散程度，一组数据的极差越小，说明这组数据相对集中． (2)方差和标准差：设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，则称s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2为这个样本的方差，其算术平方根s ＝1n∑i ＝1nx i －x －2为样本的标准差，分别简称为样本方差、样本标准差．样本方差(标准差)越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小．(3)样本方差的其它计算公式①s 2＝1n(∑i ＝1n x 2i －n x －2)；②若取值为x 1，x 2，…，x n 的频率分别为p 1，p 2，…，p n ．则其方差为s 2＝∑i ＝1np i (x i－x －)2＝p 1(x 1－x －)2＋p 2(x 2－x －)2＋…＋p n (x n －x －)2．(4)分层抽样的方差如果总体分为k 层，第j 层抽取的样本为x j 1，x j 2，…，jjn j ，第j 层的样本量为n j ，样本平均数为x －j ，样本方差为s 2j ，j ＝1，2，3…，k ，记∑j ＝1kn j ＝n ，那么所有数据的样本方差为．要点5 百分位数(1)一组数据的k 百分位数的含义一般地，一组数据的k 百分位数是这样一个值p k ，它使得这些数据至少有k %的数据小于或等于p k ．(2)计算有n 个数据的大样本的k 百分位数的步骤 第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列． 第2步，计算k ·n100；第3步，如果结果为整数，那么k 百分位数位于第k ·n100位和下一位数之间，通常取两个位置上数值的平均数为k 百分位数；第4步，如果k ·n100不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值为k 百分位数．(3)四分位数：我们把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数．第15章 概率要点1 样本空间、随机事件等概念(1)试验：对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验． (2)样本点、样本空间、随机事件、基本事件等概念 ①把随机试验的每一个可能的结果称为样本点； ②所有样本点组成的集合称为样本空间，记为Ω； ③样本空间的子集称为随机事件，简称事件．④当一个事件仅包含一个样本点时，该事件为基本事件．Ω(全集)是必然事件，∅(空集)为不可能事件．要点2 事件的构成、事件的并与交①事件A 、B 的并(和)：对于事件A 、B 、C 之间的关系为C ＝A ∪B ，因此“事件A 与B 至少有一个发生即为事件C 发生”．我们称C 是A 与B 的并，也称C 是A 与B 的和，记作C ＝A ＋B ．②事件A 、B 的交(积)：对于事件A 、B 、C 之间的关系为C ＝A ∩B ，因此“事件A 与B 同时发生即为事件C 发生”．我们称C 是A 与B 的交，也称C 是A 与B 的积，记作C ＝AB ．要点3 随机事件的概率 (1)频数与频率在一定条件下，重复进行了n 次试验，如果某一随机事件A 出现了m 次，则事件A出现的频数是m ，称事件A 出现的次数与试验总次数的比mn为随机事件A 出现的频率．(2)概率的统计定义一般地，对于给定的随机事件A ，在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们把这个常数作为随机事件A 发生的概率，记作P (A )．因此，若随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，可以用事件A 发生的频率m n 来估计随机事件的概率，即P (A )≈mn．(3)必然事件和不可能事件的概率把必然事件Ω和不可能事件∅当成随机事件的两种特殊情况来考虑，则P (Ω)＝1，P (∅)＝0．所以对任何一个事件A ，都有0≤P (A )≤1． 要点4 古典概型(1)在样本空间为Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn }的一次试验中，每个基本事件{ωk }(k ＝1，2，3，…，n )发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．(2)具有以下两个特点：①样本空间Ω只含有有限个样本点； ②每个基本事件的发生都是等可能的．将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(3)在古典概型中，如果样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn }(其中，n 为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk }(k ＝1，2，…，n )发生的概率都是1n．如果事件A 由其中m 个等可能基本事件组合而成，即A 中包含m 个样本点，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n．要点5 互斥事件 (1)互斥事件的定义一次试验中，样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn }，随机事件A ，B ⊆Ω，满足AB ＝∅，即事件A 、B 不可能同时发生，称A ，B 为互斥事件，如果事件A 和事件B 互斥，是指事件A 和事件B 在一次试验中不能同时发生，也就是说，事件A 和事件B 同时发生的交(和)概率为0，即P (AB )＝0．(2)对立事件的定义一次试验中，样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn }，随机事件A ，C ⊆Ω，满足AC＝∅且A＋C＝Ω，即互斥事件A，C中必有一个发生，称A，C为对立事件，记作C＝A－或A＝C－．(3)概率加法公式①如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这就是概率满足的第三个基本性质．②一般地，如果事件A1，A2，…，A n中任意两个事件都是互斥事件，那么称事件A1，A2，…，A n两两互斥．那么P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)，即彼此互斥事件和的概率等于每个事件概率的和．(4)对立事件的一个重要公式对立事件A与A－必有一个发生，故A＋A－是必然事件，从而P(A)＋P(A－)＝P(A＋A－)＝1．由此，我们可以得到一个重要公式：P(A－)＝1－P(A)．要点6 相互独立事件(1)相互独立事件的概念一般地，如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，那么称A、B为相互独立事件．(2)相互独立事件的概率计算①两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．②若事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．(3)相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也相互独立．。
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已知向量 a ，b ．
①在平面内任取一点O； AB＝b ， ②作 OA＝a ， 则 OB 叫做 a 与 b 的和，记作 a＋b ． B
C
A B C
A
向量加法的三角形ห้องสมุดไป่ตู้则：
向量加法的平行四边形法则：
a＋0＝0＋a＝a ， a＋(－ a )＝( －a )＋a ＝ 0 ． 向量的加法满足交换律、结合律：
a－b ＝a＋(－ b ) 作图：①两向量 a ，b 起点相同； ②连接两终点；
③差向量方向指向被减向量．
练习．
1．若b＝AB，c＝AC，则BC＝( B ) A．b－c B．c－b C．b＋c
2．化简： ① AB－AC＋BD－CD＋AD； ② AB＋MB＋BO＋OM； ③ AB＋DA＋BD－BC－CA．
D．－b－c
练习． 3．在正六边形ABCDEF中， 设AB＝a，AE＝b.
表示下列向量：
DE；AD；BC；EF；
F
E
D C
CD；AC；CE；FA．
A
B
练习．
4．如图，在□ABCD中，已知OA＝a，
OB＝b，OC＝c． 试用a，b，c表示向量OD．
练习．
5．已知：P、Q为△ABC的边BC上两点，
a＋b＝b＋a ， ( a＋b )＋c ＝ a＋( b＋c ) ．
练习．
化简下列各式：
① ；
②
③
；
．
例 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，
设BA＝a，BC＝b．
试用a，b表示向量OE，BF，BD．
§3 向量的减法 —— 差仍为向量
向量的减法是向量加法的逆运算．
若 b＋x＝a ，
则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a－b ．
且BP＝QC． 求证：AB＋AC＝AP＋AQ．