二次函数复习课件

设二次函数解析式的形式一般遵循以下方法：若已知二次 函数上三个点的坐标，则选择一般式；若已知二次函数的
顶点坐标，则选择顶点式；若已知二次函数与x轴的交点坐
标，则选择交点式．需要注意的是，作为解答题，最后结 果要化为一般式．
5．若抛物线经过(0，1），(－1，0），(1，0)三点，则此 抛物线的解析式为( A．y＝x2 ＋1 C．y＝－x2＋1
第四节 二次函数
知识点一 二次函数的概念及解析式 1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的
函数，叫做二次函数．
2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点
C
) B．y＝x2 －1 D．y＝－x2－1
6．(2017·天津)已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点 A，B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移 后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴
上，则平移后的抛物线解析式为(
A．y＝x2＋2x＋1 C．y＝x2－2x＋1
对称轴为直线 x ＝－
＝ 1 ，∴2a ＋ b ＝ 0 ，①正确．∵抛物
b 线开口向下，∴a＜0，∴b＝－ 2a＞0；∵抛物线与y轴的交 2a
点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，②错误．∵抛物线的顶 点坐标为A(1，3)，∴x＝1时，二次函数有最大值，∴方程 ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，③正确．∵抛物线与x
2．保持y＝ax2的形状不变，将其顶点平移到(h，k)处，具
体平移方法如下：
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，
可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二
次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的 平移求出变化后的解析式．
知识点四 二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
)
A 2x－1 B．y＝x2 ＋ D．y＝x2－2x－1
考点三 二次函数与方程、不等式的关系
(5年1考)
例4 (2015·日照)如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图 象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个
交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B
7．(2016·宿迁)若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点
(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为( A．x1＝－3，x2＝－1 B．x1 ＝1，x2 ＝3 C．x1＝－1，x2＝3 C )
D．x1＝－3，x2＝1
8．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点 A(1，0)和B(3，2)，不等式x2＋bx＋c＞x＋m 的解集为 _____________. x＜1或x ＞3
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10．(2014·日照)如图，为了绿化小区，某物业公司要在 形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH.已知： PH∥AE，PK∥BC，DE＝100 m，EA＝60 m，BC＝70 m，CD＝
80 m．以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面
2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标．
3．(1)b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有_____个交点； 两 (2)b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有
且只有_____个交点； 一 ⇔方程没有实数根，抛物线与x轴______交点． (3)b2－4ac<0
①abc＞0；②4a－2b＋c＜0；③4a＋b＝0；
④抛物线与x轴的另一个交点是(5，0)； ⑤点(－3，y1) (6，y2)都在抛物线上，则有y1＜y2.
其中正确的是( C )
A．①②③ C．①③④
B．②④⑤ D．③④⑤
考点二 确定二次函数的解析式
(5年5考)
例3 一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一 点(0，－4)，则这个二次函数的解析式为( )
坐标是(h，k)．
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是二次函数与 x轴的交点的横坐标，a≠0.
知识点二 二次函数的图象与性质 1．二次函数的图象与性质
b 4ac b ( , ) 2a 4 a
2
பைடு நூலகம்
减小
增大
增大
减小
2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系
知识点三 抛物线的平移 1．将抛物线解析式化成顶点式y＝a(x－h)2＋k，顶点坐标 为(h，k)．
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0， ∴abc＜0，①错误． ∵b＝－2a，∴2a＋b＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点为(－1，0)， 对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，
∴当x＝2时，y＞0，
即4a＋2b＋c＞0，③错误； ∵点(－ ，y1)到对称轴的距离比点( ，y2)到对称轴的
＝－ 1 x2＋162x－21 000
50 ＝－ 1 (x－4 050)2＋307 050， 50 故当每辆车的月租金为 4 050元时，公司获得最大月收益
307 050元．
9．(2016·日照)如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的 距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1 m后，水 面的宽度为______m.
A．y＝－2(x＋2)2＋4
C．y＝2(x＋2)2－4
B．y＝－2(x－2)2＋4
D．y＝2(x－2)2－4
【分析】 已知抛物线的顶点和抛物线上任一点坐标，可设 顶点式，利用待定系数法求解． 【自主解答】 ∵二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)，
∴设这个二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋4.
把(0，－4)代入得a＝－2，∴这个二次函数的解析式为y＝ －2(x－2)2＋4.故选B.
3 y1＜y2，④正确．故选C. 10 距离远，∴ 2
3
讲：
利用二次函数的图象判断系数的关系
利用图象判定字母系数的关系时，要先通过图象的开
口方向确定出a的符号，根据对称轴的位置，确定b的符号 或a与b的关系式，根据图象与y轴的交点确定出c的符号； 然后通过a，b，c的符号确定有关a，b，c乘积式的符号，
考点一 二次函数的图象与性质 命题角度❶
(5年4考)
二次函数的图象与性质
例1 (2016·临沂)二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数
y的对应值如表：
下列说法正确的是( A．抛物线的开口向下
)
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是x＝－
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【分析】 根据表格，利用二次函数的对称性，画出二次函 数的草图，结合图象对各个选项进行判断． 【自主解答】 在平面直角坐标系中，描出点(－4，0),
考点四 二次函数的实际应用
(5年3考)
例5 (2013·日照)一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100 辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的
车辆数(y)有如下关系：
(1)观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函 数的有关知识求出每月租出的车辆数y(辆)与每辆车的月租
金x(元)之间的关系式；
益．
【自主解答】 (1)由表格数据可知y与x是一次函数关系， 设其解析式为y＝kx＋b.
由题意得 ∴y与x之间的函数关系式是 (2) (3)设租赁公司获得的月收益为W元，依题意得 W＝(－ x＋160)(x－150)－(x－3 000)
1 2 ＝(－ x ＋163x－24 000)－(x－3 000) 50 1 50
对称性画出二次函数的大致图象，然后根据二次函数的图
象进行具体问题的分析，这是解答此类问题的一个简便方 法．
1．(2017·陕西)已知抛物线y＝x2－2mx－4(m＞0)的顶点M 关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上， 则点M的坐标为( )
A．(1，－5)
C．(2，－8)
C
B．(3，－13)
(－3，－2),(－2，－2),(－1，0)，画出抛物线的大致
图象如下：
由图象可知，抛物线开口向上，A错误；当－3<x<－ 5 时， y随x的增大而减小，B错误；二次函数的最小值小于－2，C 错误；根据表格，结合二次函数的对称性，可知二次函数
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的对称轴为
D正确．故选D.
当题目中给出二次函数的对应值时，可以利用二次函数的
轴的一个交点为(4，0)，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴
抛物线与x轴的另一个交点为(－2，0)，④错误；∵抛物线 与直线交于A(1，3)，B(4，0)，∴由图象可知，当1＜x＜4 时，y2＜y1，⑤正确．故选C.
一元二次方程ax2＋bx＋c＝d⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c在 函数值y＝d时对应的x的值；一元二次方程ax2＋bx＋c>d⇔ 二次函数y＝ax2＋bx＋c在直线y＝d上方对应的x的取值范 围；一元二次方程ax2＋bx＋c<d⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c 在直线y＝d下方对应的x的取值范围．
两点．下列结论： ①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等 的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；
⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1.其中正确的是( A．①②③ B．①③④ C．①③⑤
)
D．②④⑤
【分析】 根据抛物线对称轴对①进行判断；先判断a，b，
c的正负，再对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断； 根据抛物线的对称性对④进行判断；根据当1＜x＜4时，直 线与抛物线的位置关系对⑤进行判断． 【自主解答】 ∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，∴抛物线的