2019中考数学专题复习 中考压轴题类型解题方法与技巧专题

中考压轴题类型解题方法与技巧专题【解题思想】主要是数形结合思想、分类讨论思想、特殊到一般的思想。

【解题方法】1、画图法：（从形到数）一般先画出图形，充分挖掘和运用坐标系中几何图形的特性，选取合适的相等关系列出方程或通过平移、旋转、全等、相似等几何变换求解。

画图分类时易漏掉情形，要全面仔细考虑。

2、解析法：（从数到形）一般先求出点所在线（直线或抛物线）的函数关系式，再根据需要列出方程、不等式或函数关系式分析求解。

不会掉各种情况，但解答过程有时较繁。

【解题关键】1、从数到形：根据点的坐标特征，发现运用特殊角或线段比2、从形到数：找出特殊位置，分段分类讨论【实例分析】一、 关于三角形（或多边形）面积的最大值研究例1、(2018·菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 25交y 轴于点A ，交x 轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A 作AD ∥x 轴交抛物线于点D. (1)求此抛物线的表达式；(2)点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 面积；(3)若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当点P 积最大，求出此时点P 的坐标和△ABP 的最大面积．解：(3)作PM 丄x 轴交AB 于M,设点P 的坐标为(p ，p 2＋4p －5)， 设直线AB 的函数解析式为y ＝mx ＋n ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－5，－5m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－5. 即直线AB 的函数解析式为y ＝－x －5.当x ＝p 时，y ＝－p －5., ∴M(p ，-p-5) ∴PM=-p-5-(p 2+4p-5)=-p 2-5p∴S △ABP ＝()12A B PM x x ∙-=（－p －5）－（p 2＋4p －5）2·5＝52[－(p ＋52)2＋254]．∵点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点， ∴－5＜p ＜0.∴当p ＝－52时，S 取得最大值，此时S ＝1258，点P 的坐标是(－52，－354)．即点P 的坐标是(－52，－354)时，△ABP 的面积最大，此时△ABP 的面积是1258.【解题方法与技巧】 求三角形的面积的最值时，往往过动点作平行于y 轴的直线，将所求的三角形的面积转化为如本题中△ABC 的面积的求法：S △ABP=()12A B PM x x ∙-建立函数关系求解。

二、 关于角度问题的研究例2（2018扬州）如图1，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为(3,0)，点c 的坐标为(0,6).点P 从点O 出发，沿OA 以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，当点P 与点A 重合时运动停止.设运动时间为t 秒.图1 图2 图3（1）当2t =时，线段PQ 的中点坐标为________； （2）当CBQ ∆与PAQ ∆相似时，求t 的值；（3）当1t =时，抛物线2y x bx c =++经过P 、Q 两点，与y 轴交于点M ，抛物线的顶点为K ，如图2所示.问该抛物线上是否存在点D ，使12M Q D M KQ ∠=∠，若存在，求出所有满足条件的D 点坐标；若不存在，说明理由.解：(3)当t ＝1时，P(1，0)，Q(3，2)，代入抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 中， 得 ： ⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线解析式y ＝x 2－3x ＋2＝(x －32)2－14. ∴顶点K(32，－14)．∵Q(3，2)，M(0，2)，∴MQ∥x 轴．作抛物线对称轴，交MQ 于点E ， ∴KM＝KQ ，KE⊥MQ . ∴∠MKE＝∠QKE＝12∠MKQ.如图2，∠MQD＝12∠MKQ＝∠QKE.设DQ 交y 轴于点H.∵∠HMQ＝∠QEK＝90°，∴△KEQ∽△QMH. ∴KE EQ ＝QMMH .∴2＋1432＝3MH. ∴MH＝2. ∴H(0，4)． 易得HQ 的解析式为y ＝－23x ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－23x ＋4，y ＝x 2－3x ＋2，解得x 1＝3(舍)，x 2＝－23. ∴D(－23，409)．同理，在M 的下方，y 轴上存在点H ，如图3，使∠HQM＝12∠MKQ＝∠QKE，由对称性得，H(0，0)，易得OQ 的解析式为y ＝23x.则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ，y ＝x 2－3x ＋2，解得x 1＝3(舍)，x 2＝23. ∴D(23，49)．综上所述，点D 的坐标为(－23，409)或(23，49)．【解题方法与技巧】 涉及到角度相等或角度的数量关系时，通常构造全等三角形、相似三角形或利用锐角三角函数来解决，同时往往还要根据点的位置不同进行分类讨论。

三、关于特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形的存在问题例3.（2018达州）如图，抛物线经过原点)0,0(O ，点)1,1(A ，点)0,27(B . （1）求抛物线解析式；（2）连接OA ，过点A 作OA AC ⊥交抛物线于C ，连接OC ，求AOC ∆的面积；（3）点M 是y 轴右侧抛物线上一动点，连接OM ，过点M 作OM MN ⊥交x 轴于点N .问：是否存在点M ，使以点N M O ,,为顶点的三角形与（2）中的AOC 相似，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.解：（3）存在．如图2，作MH ⊥x 轴于H ，AC==4，OA=，设M （x ，﹣x 2+x ）（x ＞0）， ∵∠OHM=∠OAC ，∴当=时，△OHM ∽△OAC ，即=，解方程﹣x 2+x=4x 得x 1=0（舍去），x 2=﹣（舍去）， 解方程﹣x 2+x=﹣4x 得x 1=0（舍去），x 2=，此时M 点坐标为（，﹣54）；当=时，△OHM ∽△CAO ，即=，解方程﹣x 2+x=x 得x 1=0（舍去），x 2=，此时M 点的坐标为（，），解方程﹣x 2+x=﹣x 得x 1=0（舍去），x 2=﹣，此时M 点坐标为（，﹣）；∵MN ⊥OM ，∴∠OMN=90°， ∴∠MON=∠HOM ， ∴△OMH ∽△ONM ， ∴当M 点的坐标为（，﹣54）或（，）或（，﹣）时，以点O ，M ，N 为顶点的三角形与（2）中的△AOC 相似．【解题方法与技巧】这类题目往往会根据点的坐标、线段的数量关系和位置关系、特殊的角的关系，再结合全等三角形、相似三角形、特殊三角形、特殊四图1边形的判定和性质来解题，这类题目往往还需分类讨论，不要漏解。

四、关于线段的问题例4、（2018孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 和点B 的坐标分别为(2,0)A -，(0,6)B -，将Rt AOB ∆绕点O 按顺时针分别旋转90，180得到1Rt AOC ∆，Rt EOF ∆，抛物线1C 经过点C ，A ，B ；抛物线2C 经过点C ，E ，F .（1）点C 的坐标为________，点E 的坐标为________；抛物线1C 的解析式为________，抛物线2C 的解析式为________；（2）如果点(,)P x y 是直线BC 上方抛物线1C 上的一个动点. ①若PCA ABO ∠=∠，求P 点的坐标；②如图2，过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点M ，交抛物线2C 于点N ，记h PM NM =+，求h 与x 的函数关系式.当52x -≤≤-时，求h 的取值范围.解（2）② 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b.∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－6k ＋b ，－6＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－6.∴设直线BC 的解析式为y ＝－x －6. 过点B 作BD⊥MN 于点D ，则BM ＝2BD. ∴2BM ＝2BD ＝2|x|＝－2x.h ＝PM ＋NM ＋2BM ＝(y P －y M )＋(y N －y M )＋2|x|＝y P －y M ＋y N －y M －2x ＝[－12x 2－4x －6－(－x －6)]＋[－12x 2－2x ＋6－(－x －6)]＋(－2x)＝－x 2－6x ＋12.∴h＝－(x ＋3)2＋21.当x ＝－3时，h 的最大值为21. ∵－5≤x≤－2，∴当x＝－5时，h＝－(－5＋3)2＋21＝17.当x＝－2时，h＝－(－2＋3)2＋21＝20.∴h的取值范围是17≤h≤21.【解题方法和技巧】对于线段的问题，一定要看线段的位置及坐标，再看线段位于那些特殊图形中，来寻找线段之间的数量关系和位置关系，从而得出行的函数关系，同时在自变量的取值范围中求函数值时，一定用函数的增减性和最值共同确定函数值的取值范围。

【练习】1、在平面直角坐标系xOy中规定：抛物线y=a（x﹣h）2+k的伴随直线为y=a（x﹣h）+k．例如：抛物线y=2（x+1）2﹣3的伴随直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．（1）在上面规定下，抛物线y=（x+1）2﹣4的顶点坐标为，伴随直线为，抛物线y=（x+1）2﹣4与其伴随直线的交点坐标为和；（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m（x﹣1）2﹣4m与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的右侧），与x轴交于点C，D．①若∠CAB=90°，求m的值；②如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值．2、如图1，抛物线y＝ax2+bx+4过A（2，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线上的另一个交点为D，连接AC、BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）．（1）求该抛物线的表达式和∠ACB的正切值；（2）如图2，若∠ACP＝45°，求m的值；（3）如图3，过点A、P的直线与y轴于点N，过点P作PM⊥CD，垂足为M，直线MN与x轴交于点Q，试判断四边形ADMQ的形状，并说明理由．【练习答案】1、（1）顶点坐标为（﹣1，﹣4），伴随直线为y=x﹣3，其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），（2）①当∠CAB=90°时，m的值为﹣；②m=﹣2．2、（1）该抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+4．tan∠ACB＝．（2）m＝（3）四边形ADMQ是平行四边形．。