“定义”新运算
奥数第四讲定义新运算
奥数第四讲定义新运算定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。
它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+ -、x、卞、>、V”等。
表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如b=3a-3b,新运算使用的符号是☆, 而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。
如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。
值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。
、例题与方法指导例1、设ab都表示数，规定a^ b表示a的4倍减去b的3倍，即a A b=4X a-3 >b, 试计算5A6，6A5。
解5A6=5X4-6 X=20-18=26A 5=6X4-5 X=24-15=9说明例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。
例2、对于两个数a、b,规定a^b表示3X a+2X b,试计算(5^6)^7,5^( 6^7)。
思路导航：先做括号内的运算。
解：(5^6) ☆ 7= (5X3+6X2) ☆ 7=27^ 7=27X3+7X2=955^ (6^7) =5^ (6X3+7X2) =5^32=5X3+32X2=79说明本题定义的运算不满足结合律。
这是与常规的运算有区别的。
例3、已知2A3=2X3X4，4A2=4X5, 一般地，对自然数a、b，a A b表示a X (a+1) X (a+b-1).计算(6A3) - (5A2)。
思路导航:原式=6X7--5 6=336-30规定：a A =a+(a+1)+(a+2)+ …+ (a+b-1),其中a,b表示自然数。
例4、已知3=1+2+3=6，求100 的值。
已知x△ 10=75，求x.思路导航：(1)原式=1+2+3+…+100= (1+100) 600吃=5050(2)原式即x+(x+1)+(x+2)+ •••+(X+9) =75,所以：10X+(1+2+3■…+9)=7510x+45=7510x=30x=3例5、定义运算：a© b=3a+5ab+kb,其中a, b为任意两个数，k为常数。
定义新运算
定义新运算新运算是一种数学运算方式，通过对数字进行特定的计算规则和操作，得到一个新的数字结果。
下面将介绍新运算以及它的特点和应用。
新运算的定义：新运算是一种基于数字的运算方式，其计算规则和操作不同于传统的四则运算。
它通过对数字的排列、组合和变换，产生出一个全新的数字结果。
新运算的特点：1. 创新性：新运算采用了全新的计算规则和操作方式，与传统的四则运算不同，具有很高的创新性和独特性。
2. 多样性：新运算具有多种不同的运算规则和操作方式，可以根据需要进行选择和应用，适用于各种不同的计算问题。
3. 灵活性：新运算的计算规则和操作可以根据具体需求进行调整和扩展，具有很高的灵活性和可定制性。
4. 应用广泛：新运算可以在各个领域和行业中应用，如科学研究、工程设计、数据分析等，能够解决各种复杂的计算问题。
新运算的应用：1. 科学研究：新运算可以应用于物理学、化学、生物学等领域的科学研究中，可以处理大量的实验数据，分析数据间的关联和规律。
2. 工程设计：新运算可以用于工程设计中的优化问题，通过对不同参数的组合和变换，找到最优解决方案。
3. 数据分析：新运算可以应用于大数据分析中，通过对庞大的数据集进行排列和组合，发现数据中的隐藏规律和趋势。
4. 金融领域：新运算可以应用于金融领域中的风险管理和投资决策，通过对市场数据的分析和计算，提供决策支持和风险评估。
总之，新运算是一种具有创新性和独特性的数学运算方式，通过对数字的排列、组合和变换，产生出一个全新的数字结果。
它具有多样性、灵活性和广泛的应用领域，在科学研究、工程设计、数据分析和金融领域等方面都具有重要的应用价值。
定义新运算
定义新运算知识要点基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
例题讲解模块一、直接运算型1、若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
2、“△”是一种新运算，规定：a △b ＝a ×c ＋b ×d (其中c ，d 为常数)，如5△7＝5×c ＋7×d 。
如果1△2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO 的计算结果是________。
3、对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=2x y x y x y⨯⨯∆+,求2△9。
4、对于非零自然数a 和b ，规定符号⊗的含义是：a ⊗b ＝m a b 2a b⨯⨯⨯＋（m 是一个确定的整数）。
如果1⊗4＝2⊗3，那么3⊗4等于________。
5、[A ]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:([18][22])[7]+÷= .6、如果规定a ※b =13×a -b ÷8，那么17※24的最后结果是______。
7、“*”表示一种运算符号，它的含义是：()()111x y xy x y A *=+++ ，已知()()11221212113A *=+=⨯++，求19981999*。
8、一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗 规定：警察小偷=警察，警察小偷=小偷． 那么：（猎人小兔）（山羊白菜）= ．模块二、反解未知数型9、如果a△b表示(2)a b-⨯,例如3△4(32)44=-⨯=,那么,当a△5=30时, a= .10、规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= .11、如果a⊙b表示32a b-,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x=12、对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。
定义新运算
（1）5☆6 （2）6☆5 （3）2☆（3☆5） （4）（2☆3）☆5
3、规定3*5=3+4+5+6+7，5*4=5+6+7+8，…按此规定计算：11*5
4、如果1=1！，1×2=2！，1×2×3=3！，…1×2×3×4×…×99×100=100！那么1！+2！+3！+4！+…+100！的个位数字是几？
【易错点总结】
新定义运算注意的问题:
(1)新定义运算一般不满足运算定律
如:a△b≠b△a a△(b△c) ≠(a△b) △c
(a*b) △c≠(a△c)*(b△c)
(2)“+”“-”“×”“÷”仍然是通常的运算符号，完全符合四则运算顺序.
【四、课堂练习】
1、规定a*b=4a-3b，计算：（1.5*0.8）*0.5
【例3】设A⊕B=2×（A+B）-2×（A÷B），计算：（1）（12⊕4）⊕13； （2）70⊕（18⊕4）。
【练ห้องสมุดไป่ตู้】
1、规定a⊙b=(a+b)÷(a-b)，按此规定计算:(1)21⊙5 (2)(18⊙9) ⊙2
2、设a#b=5a-2b，计算：（12.5#8）#19.72
【例4】小辉用电脑设计了A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后，会输出另一个数.装置A:将输入的数加上5；装置B:将输入的数除以2；装置C:将输入的数减去4；装置D:将输入的数乘3.这些装置可以连接，如果装置A后面连接装置B，就写成A·B，输入1后，经过A·B输出了3.那么，输入9，经过A·B·C·D输出几?
例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。
小学思维数学：定义新运算-带答案解析
定义新运算定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
定义新运算
定义新运算新运算是一种数学运算，旨在拓展数学领域的计算方法，以应用于更广泛的场景。
本文将探讨新运算的定义及其应用领域，包括数值运算、集合运算和符号运算等方面。
首先，我们从数值运算方面来定义新运算。
传统数学运算包括加法、减法、乘法和除法等，而新运算将进一步扩展这些运算符号，并引入更多的数学概念。
例如，我们可以定义一种新的运算符号，表示取余数。
在传统运算中，我们使用“%”表示取余数，而在新运算中，我们可以引入符号“|”来表示取余数。
这将使得我们在处理实际问题时更加灵活和方便。
在集合运算方面，新运算也有着独特的定义和应用。
传统的集合运算包括并集、交集和差集等，而新运算将引入更多的集合操作符号。
例如，我们可以定义一种新的符号，表示集合的对称差。
在传统集合运算中，对称差需要通过交集和差集来计算，而在新运算中，我们可以引入符号“△”来直接表示集合的对称差。
这将大大简化集合运算的复杂度。
除了数值运算和集合运算，新运算还可以应用于符号运算。
传统的符号运算包括代数运算和逻辑运算等，而新运算将引入更多的符号概念和运算规则。
例如，我们可以定义一种新的符号，表示求导操作。
在传统的符号运算中，求导需要通过极限的概念来进行计算，而在新运算中，我们可以引入符号“′”来直接表示求导操作。
这将极大地简化符号运算的复杂性，并提高计算效率。
另外，新运算还可以应用于图论、代数几何和数论等多个数学分支。
例如，在图论中，我们可以定义一种新的运算符号，表示图的连通。
在传统的图论中，判断图的连通性需要通过图的遍历算法来计算，而在新运算中，我们可以引入符号“∼”来表示图的连通性。
这将使得图论的研究更加简洁和高效。
综上所述，新运算是一种通过引入新的运算符号和运算规则来拓展数学领域的计算方法。
它可以应用于数值运算、集合运算和符号运算等多个方面，并在计算效率和简洁性上提供更好的解决方案。
虽然新运算还处于初级阶段，但随着数学的发展和需求的增加，它有望得到更广泛的应用。
每日十分钟定义新运算
每日十分钟“定义新运算”1、定义新运算：规定运算：1++-=*b a ab b a ，则4*)3(-=举一反三：（1）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 、b ，都有a ☆b=ab+ a 2, 则（－3）☆2 =（2）规定一种新运算：a * b =22a b b ab--，则5 *（-2）= （3）、现规定一种新运算“*”：a *b =b a ，如3*2=23=9，则（21）*3= 2、定义计算“∆”，对于两个有理数a ,b ，有a ∆b=a +b-a b ，例如：-3∆2=5，则(-2∆3) ∆0= 举一反三：（1）定义一种新运算：x*y=，如2*1==2，则（4*2）*（﹣1）= ．（2）定义新运算“※”：对于任意有理数a 、b ，都有a ※b=2a 2＋b.例如3※4=2×32＋4=22，那么当m 为有理数时，m ※（m ※2）=（3）用“⌦”定义新运算: 对于任意的有理数a 、b , 都有 a ⌦b = b 2 +1.如7⌦4 = 42 +1 = 17. 那么 5⌦3 = ，当m 为有理数时, 则m ⌦(m ⌦2) =（4）、如果规定符号“﹡”的意义是a ﹡b =aba b +，求2﹡（-3）﹡4的值 3、设一种运算程序是x ⊗y =a (a 为常数)，如果（x +1）⊗y =a +1；x ⊗（y +1）=a -2.已知1⊗1=2，那么2012⊗2012=解：由x ⊕y=a ，（x+1）⊕y=a+1，x ⊕（y+1）=a-2，及1⊕1=2，得2⊕1=2+1=3，2⊕2=3-2=1，3⊕2=2，3⊕3=0，4⊕3=1，4⊕4=-1，5⊕4=0，5⊕5=-2，6⊕5=-1，6⊕6=-3，…∴2012⊕2012=-2009．故答案为-20094、用“«”“»”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a «b =a ，和a »b =b ，例如：3«2=3，3»2=2，则（2012 »2011）«（2010»2009）=5、,,,a b c d 为有理数，现规定一种运算：a c b d =ad bc -，那么当2(1)x - 45=18时， x 的值是多少？6、 “！”是一种数学运算符号，1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，4！=1×2×3×4=24， 5！= ……则!98!100=继续巩固：1、把(－12)－(－13)+(－14)－(+15)+(+16)统一成加法的形式是,写成省略加号的形式是 ,读作．2、已知有理数a，b，c在数轴上的位置如下图所示，(1) 用 < ，>，= 填空： a+c 0， c-b 0, b+a 0 abc 0(2) 化简：a c c b b a++--+。
定义新运算完整版
定义新运算知识要点：定义新运算就是以加减乘除四则运算为基础，用某种新的符号来表示新运算。
见到这种新的运算符号所定义的运算后，就按照它所规定的“运算程序”进行运算，直到得出最后的结果。
运算时要严格按照新运算的定义要求进行计算，不得随意改变运算顺序，这是最关键的一点。
运算时，有括号的先算出括号里的值，再算出括号外的值，在没有确定新定义运算具有交换律，结合律之前，不能运用运算定律解题。
运算的符号可以是※，也可以是○，□。
§。
等，符号的种类是次要的，符号定义的运算运算程序才是主要的。
例1：设a、b是两个自然数，定义a*b=2a+4b，计算4*5是多少？开心一练：1设a、b是两个自然数，定义a*b=3a+5b，计算6*3是多少？2 对于自然数，定义a*b=3a+2b，求（1）10*11（2）11*10例2：定义新运算“*”对任何数a和b,有a*b=a×b-a+b,计算（1）8*10（2）（3*4）*5开心一练：1 定义新运算“*”对任何数a和b,有a*b=a×b+a-b,计算（1）4*6 （2）（4*6）*52对于整数a、b，设a*b=3a+b-1，求（1）4*（3*5）（2）（4*3）*53规定a△b=3a-b,求10△（2△5）。
例3：设a*b=4a-3b，求（1）5*（3*2）（2）x*（2*x）=15,求x。
开心一练：1已知a*b=a×b+a，如果（3*x）*2=18求x。
2设a*b=5a+4b，求（1）4*（3*2）（2）已知x*（4*x）=122,求x。
例4：对整数a*b,规定a*b=ax+b,如果4*5=23，求3*2的值。
开心一练：1 对整数a*b,规定a*b=a÷b×2+ab+x,如果6*3=28，求5*2的值。
2 对于整数a、b，设a*b=3a-bx，已知5*4=7，求x。
例5：设a、b都表示数，规定a♦b=3×a-2×b (1)求3♦2，2♦3。
定义新运算
定义新运算【知识概括】定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
【典型例题】例1、假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b等于a和b两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
例2、设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△”是新的运算符号。
3△(4△6)＝3△【4×6－（4+6）÷2】＝3△19＝4×19－（3+19）÷2＝76－11＝65练习2：1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。
求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。
例3、如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
1第一讲 定义新运算
第一讲定义新运算一、知识梳理定义新运算是用某些特殊的符号表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。
在定义新运算中的※，〇，△……与+、-、×、÷是有严格区别的。
解答定义新运算问题，必须先理解定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的+、-、×、÷运算问题。
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
二、方法归纳基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
三、课堂精讲【规律方法】理解新运算符号的含义是解答问题的关键。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 A1．规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5 ？2.定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。
例如：4△6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。
根据上面定义的运算，18△12等于几？例2．如果3*2=3+33=36 ；2*3=2+22+222=246 ；1*4=1+11+111+1111=1234，则4*5的值为多少？【规律方法】观察规律，得出运算的规则。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 B3.如果1＃5=5，2＃4=4+44，3＃3=3+33+333，……计算4＃3的值.4.已知： 23=2×3×4，45=4×5×6×7×8，……求（44）÷（33）的值。
例3．x、y是自然数，规定x▽y=4x—3y，如果5▽a=8，那么a是几？【规律方法】根据新运算列出方程，解方程。
【搭配课堂训练题】【难度分级】 B5．如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12时， a等于几？6.规定a⊕3=a+(a+1)+(a+2)，若x⊕5=45，求x的值。
定义新运算
3.已知
MN
M N
N M
,
求10 20。
4.设
a
b
1 3
a
1 2
b
，已知
x
Байду номын сангаас
2
2
，求x。
81 34
47
例4 设 a b 3a b ，已知 x 1 4，
求x。
解： x 1 3x 1 4
3x 1 4 3x 3 x 1
设a b 4a 1 b，已知 5 x 21，
求x。
2
解： 5 x 45 1 x 21
2
4 5 1 x 21
2
1 x 1 2
x2
设 p q 3p 2q ，已知 x (4 1) 7，
求x。
解：① 4 1 3 4 21
12 2 10
②x 10 7
3x 210 7
3x 20 7
x9
做一做
1.已知A※B＝A－B,求(10－1)※6。
2.已知 p q p2 ( p q) 2 ,
变式训练
1.“△”表示的是一种新的运算， 已知 a△b＝ a × b －（a＋b）， 求5△（6△2）。
解：5△（6△2） ＝5 △ [ 6×2 －（6＋2）] ＝5 △4 ＝5×4－（5＋4） ＝11
2.“☆”表示的是一种新的运算， 已知 a ☆ b＝（ a ＋ b） ×（a－b）， 求9 ☆ 7。
解：9 ☆ 7 ＝ （9＋7）×（9－7） ＝16 ×2 ＝32
例3 设 a b b2 2a ， 那么求 610和 1 (3 2) 。
新定义运算
新定义运算我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外，还会有什么别的运算吗？这节课我们就来研究这个问题。
新定义运算的定义：所谓新定义运算，就是根据问题制定一种新的运算规则。
因为新运算规则不同于常用的四则运算，所以常用一些特殊符号表示，如“*、⊙、△、◎、☆”等，在解题中只需严格按照定义中的规则运算即可。
这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
【例1】对于任意数a ，b ，定义运算“*”：a*b=a ×b-a-b 。
求12*4的值。
分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。
【变式1】已知a △b 表示a 的3倍减去b 的21，例如：1△2=1×3-2×21=2，根据以上的规定，求10△6的值。
【例2】对于数a ，b ，c ，d,规定<a ，b ，c ，d>=2ab-cd .已知<1,2,3,x>=2,求x 的值。
分析与解：按照定义的运算，<1，2，3，x>=2，2×1×2-3x =2 4-3x =2 x=6。
由上面2例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。
新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。
如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。
分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。
四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。
第1讲 定义新运算(含解析)
第1讲定义新运算教学目标：①熟系定义新运算的意义；掌握新旧运算的转化方法；熟系定义新运算的类型。
②会用代换法解题，培养学生对数和字母应用的理解，从而拓展学生的视野。
教学重点：对新旧运算的转化理解。
教学难点：对代换法解题的掌握。
知识要点：加、减、乘、除这四种运算的意义和计算法则我们都很熟悉，除了这四种运算，我们还可以定义一些其它运算。
而这种定义，就是按照某种约定，再按照这种约定进行计算。
给这种新运算一个明确的含义，叫做定义新运算。
解题时，需注意以下几点：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
规定a※b＝a×（b＋2），则5※2＝5×（2＋2）＝20，同理可得：3※8＝（）A．24B．30C．26D．40【分析】把a＝3，b＝8，代入a※b＝a×（b＋2），然后按照先算小括号里面的，再算括号外的顺序进行计算即可．【解答】因为a※b＝a×（b＋2）所以3※8＝3×（8＋2）＝3×10＝30故选：B．对于两个数A、B，规定A*B＝A×B÷2，求5*6（）A．15B．30C．25D．10如果定义a△b＝2ab﹣b2，那么7△9＝（）A．56B．45C．77D．14规定一种运算：a※b＝（b＋a）×b，则（3※2）※4＝（）A．56B．40C．9D．24【分析】按规定的计算方法：两个数的积等于两个数的和与后一个数的积，据其先求出3※2的结果，进一步计算即可．【解答】a※b＝（b＋a）×b3※2＝（3＋2）×2＝1010※4＝（10＋4）×4＝56所以（3※2）※4＝56故选：A“定义运算“*”：a*b＝a×b＋b，如2*3＝2×3＋3＝9，则（4*5）*2＝（）A．48B．50C．51D．52如果A☆B＝4×A＋3×B，则2☆（3☆4）的值是．如果1*4＝1234，2*3＝234，7*2＝78，那么4*5＝（）A．4B．20C．45678【分析】由题意得：1*4＝1234，2*3＝234，7*2＝78，里面*后面的数表示从*前面的数开始，要写出的连续的自然数的个数，所以4*5表示从4开始写，连续写出5个自然数，据此解答。
第一讲 定义新运算
第一讲定义新运算加、减、乘、除这4种运算的意义和运算法则我们都很熟悉。
除了这四种运算之外，我们还可以人为地规定一些其他运算，也就是按照某种规定，给这种新的运算以明确的定义。
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，严格按照规定的计算法则代入运算，其余的计算按我们熟悉的四则运算进行。
例题与方法例1.如果2*3=2+3+4=9 ，5*4=5+6+7+8=26。
那么（1）9*5的值是多少？（2）解方程X*3=15。
思路点拨丁丁：四年级我们学过了一种与常规运算不同的运算，运算起来要按要求进行特殊的运算。
机灵猴：对！这种运算称作定义新运算。
这里的“*”表示什么呢？小麦斯：“*”表示求连续自然数的和，“*”前的数表示第一个数（首项），“*”后的数表示连续自然数的个数。
解：按照定义，有9*5=9+10+11+12+13=55x*3=x+（x+1）+（x+2）=3x+3原方程可改写成为3x+3=15解方程，得x=4例2定义两种运算“⊕”、“⊙”，对于任意两个整数a、b，都有：a⊕b=a+b-1，a⊙b=a×b-1，若x⊕（x⊙4）=33。
求x的值。
思路点拔丁丁：在有括号时，要先算括号内再算括号外的同时，还要注意有两种运算状态下的运算。
小麦斯：是的，题中有两个“x”，定义了两种运算，这两种运算在运算时不分前后，但运算顺序还是按照四则运算的顺序进行。
有括号时，先算小括号里的，后算括号外的。
机灵猴：我知道了，此题的运算方法是：先根据符号“⊙”所表示的意义，将小括号里的式子改写成x×4-1，再根据符号“⊕”所表示的意义将x⊕（x×4-1）改写成x+（x×4-1）－1，即原式可变为：x×5-2=33，然后再求出未知数x。
解：因为x⊙4=4x-1而x⊕（4⊙x-1）=x+（4×x-1）-1=5x-2所以5x-2=335x=35x=7答：x的值是7。
例3：定义运算“*”，它的意义是a*b=a+aa+aaa+…+（a，b都是自然数）。
定义新运算的解题诀窍
定义新运算的解题诀窍摘要：一、引言二、新运算的定义及特点1.新运算的定义2.新运算的特点三、解题诀窍1.分析题目，理解新运算规则2.确定运算顺序3.举例说明新运算的计算过程4.总结解题步骤四、新运算在实际问题中的应用1.实际问题中的新运算案例2.新运算在解决问题中的优势五、结论正文：新运算在数学领域中是一个比较新的概念，很多同学在接触到新运算题目时可能会感到困惑。
其实，只要掌握了解题的诀窍，新运算题目并不难解决。
本文将为大家介绍新运算的定义以及解题诀窍。
首先，我们需要了解新运算的定义和特点。
新运算是指在原有四则运算的基础上，通过特定的符号、规则或方法进行拓展，形成的一种新的运算方式。
新运算的特点包括运算规则的复杂性、运算过程的特殊性等。
在解决新运算题目时，有三个诀窍可以帮助我们迅速找到解题思路。
第一，分析题目，理解新运算规则。
在解决新运算题目时，首先要认真阅读题目，理解题目所给出的新运算规则，明确运算的顺序和法则。
第二，确定运算顺序。
根据题目所给的新运算规则，确定各个运算步骤的顺序，遵循先乘除后加减的原则进行计算。
第三，举例说明新运算的计算过程。
通过具体的计算例子，加深对新运算过程的理解，总结出解题的一般步骤。
在实际问题中，新运算也有着广泛的应用。
例如，在计算机科学、密码学、经济学等领域，新运算被用来解决一些复杂数学问题。
通过新运算，我们可以更方便地解决实际问题，提高解决问题的效率。
总之，新运算是一种具有挑战性的数学概念，但只要掌握了解题的诀窍，新运算题目并不难解决。
新运算定义
新运算定义新运算定义定义一：数学中的新运算•什么是新运算？新运算是对传统数学运算进行扩展和补充，引入新的运算规则和符号，使得数学在某些领域或问题上更加完备和精确。
•为什么需要新运算？传统数学中的基本运算已经能够解决大多数实际问题，但在某些特殊场景下存在一些限制。
通过引入新运算，可以更好地描述和解决这些问题。
•新运算的示例：1.矩阵乘法：传统数学中，乘法通常是两个数的乘积，但在线性代数中，矩阵乘法是非常重要的运算，能够描述线性变换等复杂关系。
2.向量积：传统数学中，乘法是两个数的乘积，但在向量运算中，存在向量积，用于求取两个向量之间的夹角和叉积。
3.复数除法：传统数学中，除法通常是两个数的商，但在复数运算中，除法的定义不同，包括共轭复数的乘法等。
定义二：计算机科学中的新运算•什么是新运算？新运算是计算机科学中引入的一种新的计算方法，用于解决传统运算无法解决的问题，或提供更高效的解决方案。
•为什么需要新运算？随着计算机科学的发展，出现了许多新的问题和需求，传统运算已经无法满足这些需求。
新运算的引入使得计算机科学能够更好地应对这些问题。
•新运算的示例：1.并行计算：传统计算只能在一个处理器上进行，但在大规模计算和分布式系统中，引入并行计算可以极大地提高计算速度和效率。
2.量子计算：传统计算是基于二进制系统的，但在某些特定场景下，引入量子计算可以有效地解决某些问题，如因子分解、模拟量子物理等。
3.模糊逻辑：传统逻辑运算是基于真和假的二元系统，但在模糊逻辑中，引入了模糊集合和模糊推理，使得计算机能够处理不确定性和模糊性问题。
相关书籍简介1.《数学新运算引论》–作者：张三–出版日期：2022年–简介：本书介绍了数学中的新运算概念和定义，包括矩阵乘法、向量积、复数除法等。
通过详细的数学推导和实例分析，读者可以了解新运算的原理、应用和意义，进一步拓宽数学思维。
2.《计算机科学中的新运算探索》–作者：李四–出版日期：2023年–简介：本书介绍了计算机科学中的新运算方法和技术，包括并行计算、量子计算、模糊逻辑等。
第13讲 定义新运算
第13讲定义新运算【一】有a、b两个数，规定a◎b=a＋（b－2）。
那么5◎2=？练习1、有a、b两个数，规定a※b=a＋2－b。
那么2※3=？2、有a、b两个数，规定a#b=a＋2－b＋9。
那么6#8=？【二】如果规定a◎b=a－b×2，那么a=8、b=3时，求8◎3=？练习1、如果规定a△b=a×3＋b，那么a=3、b=10时，求3△10=？2、如果规定a△b=（a＋b）÷4，那么a=1、b=7时，求1△7=？【三】设a、b都表示数，规定a△b表示a的3倍减去b的2倍。
试计算：①4△5，②6△7。
练习1、设a、b都表示数，规定a○b=6×a－2×b。
试计算3○4。
2、设a、b都表示数，规定a﹡b=3×a＋2×b。
试计算：①（5﹡6）﹡7；②5﹡（6﹡7）。
【四】对于两个数a与b，规定a※b=a×b＋a＋b。
试计算：6※2。
练习1、对于两个数a与b，规定a※b= a×b－（a＋b）。
试计算：3※5。
2、对于两个数A与B，规定A※B=A×B÷2.试计算：6※4。
【五】如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算：3△5。
练习1、如果5◎2=5×6，2◎3=2×3×4，按此规律计算：3◎4=？2、如果2◎4=24÷（2＋4），3◎6=36÷（3＋6），按此规律计算：8◎4=？【六】有一个数学运算符号“◎”，使下列算式成立：2◎4=8，5◎3=13，3◎5=11，9◎7=25。
按此规律计算：7◎3。
练习1、有一个数学运算符号“◎”，使下列算式成立：6◎2=12，4◎3=13，3◎4=15，5◎1=8。
按此规律计算：8◎4。
2、有一个数学运算符号※，使下列算式成立：2※3=9，7※2=15，3※5=25。
按此规律计算：16※4。
(完整版)定义新运算
第一讲定义新运算一、教学目标：1、知识与技能：理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作。
2、过程与方法：经历新定义运算算式转化成一般的+、-、×、÷数学式子的过程，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力。
3、情意目标：通过将新定义运算转化成一般运算的过程，使学生感受数学中转化的思想方法；体验学习与运用数学法则、规定解决数学问题的成功．二、教学重难点：1、教学重点：理解新定义，按照新定义的式子代入数值。
2、教学难点：把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
三、教学方法：引导发现法四、教学过程：（一）导入：1、看图大比拼（准备几张生活中常见标志的图片）。
2、我做指挥官（用手势代替语言指挥）。
3、在下面的括号内填入适当的运算符号，使得等式成立。
5（）2=7 6（）3=3 100（）2=50 13（ )3=394、趣味引导：生活中我们都知道羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以当狼和羊在一起时，我们用△符号表示狼战胜羊：狼△羊= 羊△狼= 羊△羊= 狼△狼=在动画片《喜洋洋与灰太狼》中，羊群总是能化险为夷战胜狼，因此我们用☆符号表示羊战胜狼：羊☆狼= 狼☆羊= 羊☆羊= 狼☆狼=5、已知符号“#”表示a#b=a+b，求：3#5、5#9、88#13的值？（体现对应思想和解题的三个步骤）加强认识：已知符号“*”表示：a*b=b-a，求：3*9、60*72的值？小结：定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式；它是人们整合旧的运算规则，利用新的符合表示出的一种运算方式；解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，能够将新定义的运算方法转化为旧的运算规则。
一般新运算问题的解题三个步骤：（1）弄清新符号的算式意义；（2）找准问题中数字与定义算式中字母的对应；（3）将对应数字代入算式计算（二）例题引导：第一类：（直接运算型）例题引导：①表示求两个平均数的运算，则a①b=(a+b)÷2，当 a=5,b=15时，求a①b？例1：已知符号“△”表示：a△b=（a+b）×6，求：10△3, 6△9的值？练习：（1）对定义运算※为a※b=（a+b）×2。
定义新运算
【知识梳理】定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一、定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二、定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合【分类型例题分析】一、直接运算型例 1若表示，求的值例 2 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。
6△（3△4）例 3 已知a，b是任意自然数，我们规定：a⊕b= a+b-1，，那么例 4 规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a<b，则a ☆b=a×b。
那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）= 。
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定义新运算配套习题
1. 【难度：☆】设a △2b a a b =⨯-⨯，那么，5△6=______，(5△2)△3=_____.
2. 【难度：☆】如果a △b 表示(2)a b -⨯,例如3△4(32)44=-⨯=,那么,当a △5=30时, a =.
3. 【难度：☆】如果
1※2＝1＋11
2※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋3333
计算（3※2）×5。
4. 【难度：☆】对于数,,,a b c d ，规定,,,2a b c d ab c d <>=-+．已知1,3,5,x <>=7，求x ．
5. 【难度：☆☆】我们规定：符号Θ表示选择两数中较大数的运算，例如：5Θ3=3Θ5=5，
符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：(0.60.61)(0.100.101)(0.320.32)∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
Θ+∆-Θ的结果是多少？
6. 【难度：☆☆】有A ，B ，C ，D 四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。
装置A ∶将输入的数加上5；装置B ∶将输入的数除以2；装置C ∶将输入的数减去4；装置D ∶将输入的数乘以3。
这些装置可以连接，如装置A 后面连接装置B 就写成A·B ，输入1后，经过A·B ，输出3。
(1)输入9，经过A·B·C·D ，输出几？
(2)经过B·D·A·C ，输出的是100，输入的是几？
7. 【难度：☆☆】（2007年走美杯）一个数n 的数字中为奇数的那些数字的和记为()S n ，
为偶数的那些数字的和记为()E n ，例如()134134S =+=，()1344E =．
那么()()12(100)S S S +++= ______；()(1)(2)100E E E +++ ＝______．
8. 【难度：☆☆】定义a b *为a 与b 之间（包含a 、b ）所有与a 奇偶性相同的自然数的
平均数，例如：714=(7+9+11+13)4=10*÷，1810=(18+16+14+12+10)5=14*÷．在算术(1999)=80**的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数
是多少？
9. 【难度：☆☆☆】如有a # b 新运算， a # b 表示a 、b 中较大的数除以较小数后的
余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#x ））=5，则x 可以是
________（x 小于50）.
答案及详解
1. 56552613=⨯-⨯=△
52552221=⨯-⨯=△,1321216435=⨯-=△
2. 依题意,得(2)530a -⨯=,解得8a =.
3. 通过观察发现：a ※b 中的b 表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a 组成，都由一个数位，依次增加到b 个数位。
（5※3）×5 ＝（5＋55＋555）×5＝3075
4. 根据定义，有21357x ⨯⨯-+=，解得6x =．
5. 这道题把定义新运算和我们上一讲学过的循环小数结合在一起，先根据新运算的含义比 较大小，在运用循环小数的计算得出结果,
(0.60.61)(0.100.101)(0.320.32)0.60.100.320.4∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
Θ+∆-Θ=+-=
6. (1)9＋5＝14,14÷2＝7,7－4＝3,3×3＝9
(2)逆推，100＋4＝104,104－5＝99,99÷3＝33,33×2＝66
7. 可以换个方向考虑。
数字1在个位出现10次，在十位出现10次，在百位出现1次，共 21次。
数字2到9中的每一个在个位出现10次，在十位也出现10次，共20次。
所以，1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501；
所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
8. 1999=(19+99)2=59*÷，所以方格中填的数一定大于80．如果填的是个奇数，那么只能是80259101⨯-=；如果填的是个偶数，那么这个数与60的平均数应该是80，所以只能是80260100⨯-=．因此所填的数可能是100和101．
9. 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚 举与筛选的方法.
第一步先把（21#x ）看成一个整体y .对于21#y =5，这个式子，一方面可把21作被除数，则y 等于（21-5）=16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，
这样满足要求的数为26，47…，即形如21N +5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由y 所代表的式子（21#x ）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些y 的值都得舍去.现在只剩下8，与16.
第二步求：（21#x ）=8与（21#x ）=16.对于（21#x ）=8可分别解得，把21作被除数时：x =13， 把21作除数时为：x =29，50，…形如21N +8的整数（N 是正整数）. 对于（21#x ）=16 ，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：x =37，58……所有形如21N +16这样的整数.（N 是正整数）. 所以符合条件的答案是13,29,37．。