精品2019年中考数学复习第5章图形的相似与解直角三角形阶段测评(五)图形的相似与解直角三角形
(毕节专版)2019年中考数学复习第5章图形的相似与解直角三角形第19课时图形的相似与位似(精讲)
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(遵义专版)2019年中考数学总复习第1节图形的相似与位似(精练)试题
第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为( B )A.12B．2 C．3 D．4(第1题图)(第2题图)2．(2019泰安中考)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( B )A．18 B.1095C.965D.2533．(2019遵义十九中一模)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( D )A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABCC.APAB＝ABACD.ABBP＝ACCB(第3题图)(第4题图)4．(济南中考)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，DB于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( C )A.22B.32C．1 D.625．(2019滨州中考)在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为__(4，6)或(－4，－6)__．6．(2019随州中考)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝__125或53__时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 7．(汇川升学一模)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D ，G 分别在边AB ，AC 上．若△ABC 的边BC 长为40 cm ，高AH 为30 cm ，则正方形DEFG 的边长为__1207__cm.(第7题图)(第8题图)8．(2019包头中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，OA 与反比例函数y ＝kx 的图象交于点D ，且OD ＝2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD ＝10，则k 的值为__－16__．9．(2019六盘水中考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点F ，若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝__169__． 10．(泰安中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB ＝10，BC ＝12，当PD∥AB 时，求BP 的长． 解：(1)∵AB＝AC ， ∴∠B ＝∠C. ∵∠APD ＝∠B， ∴∠APD ＝∠B＝∠C. ∵∠APC ＝∠BAP＋∠B， ∠APC ＝∠APD＋∠DPC， ∴∠BAP ＝∠DPC， ∴△ABP ∽△PCD ，∴BP CD ＝AB CP， ∴AB ·CD ＝CP·BP. ∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD ＝∠BAP. ∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C. ∵∠B ＝∠B，∴△BAP ∽△BCA ， ∴BA BC ＝BP BA. ∵AB ＝10，BC ＝12， ∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.11．(随州中考)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE∥AC，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( B ) A ．1∶3 B ．1∶4 C ．1∶5 D ．1∶2512．(盘锦中考)如图，四边形ABCD 是矩形，点E 和点F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于点H ，AD ＝3，DC ＝4，DE ＝52，∠EDF ＝90°，则DF 长是( C )A.158 B.113 C.103 D.165(第12题图)(第13题图)13．(2019杭州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于__78__.14.(2019长春中考)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G. (1)求证：BD∥EF；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形， ∴BD ∥EF ；(2)∵四边形BEFD 是平行四边形， ∴DF ＝BE ＝4. ∵DF ∥EC ， ∴△DFG ∽△CEG ， ∴DG CG ＝DF CE， ∴CE＝DF·CG DG ＝4×32＝6.15.(2019杭州中考)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC； (2)若AD ＝3，AB ＝5，求AFAG的值． 解：(1)∵AG⊥BC，AF ⊥DE ， ∴∠AFE ＝∠AGC＝90°.∵∠EAF ＝∠GAC，∴∠AED ＝∠ACB， ∵∠EAD ＝∠BAC，∴△ADE ∽△ABC ； (2)由(1)可知：△ADE∽△ABC， ∴AD AB ＝AE AC ＝35. ∵∠AFE ＝∠AGC＝90°，∠EAF ＝∠GAC， ∴△EAF ∽△CAG ， ∴AF AG ＝AE AC ， ∴AF AG ＝35. 16 .(2019枣庄中考)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，－4)．(1)请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求； (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求， 由图形可知，∠A 2C 2B 2＝∠ACB， 过点A 作AD⊥BC 交BC 的延长线于点D ，由A(2，2)，C(4，－4)，B(4，0)，易得D(4，2)， ∴AD ＝2，CD ＝6，AC ＝22＋62＝210， ∴sin ∠ACB ＝AD AC ＝2210＝1010，即sin ∠A 2C 2B 2＝1010.17．(2019连云港中考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝3，D 为AC 延长线上一点，AC ＝3CD ，过点D 作DH∥AB，交BC 的延长线于点H. (1)求BD·cos ∠HBD 的值； (2)若∠CBD＝∠A，求AB 的长． 解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD ＝∠ABC＝90°，∠A ＝∠HDC， ∴△ABC ∽△DHC ， ∴AC CD ＝BCCH＝3， ∴CH ＝1，BH ＝BC ＋CH ＝4， 在Rt △BHD 中，cos ∠HBD ＝BH BD， ∴BD ·cos ∠HBD ＝BH ＝4；(2)∵∠CBD＝∠A，∠ABC ＝∠BHD， ∴△ABC ∽△BHD ， ∴BC HD ＝AB BH. ∵△ABC ∽△DHC ， ∴AB DH ＝ACCD＝3， ∴AB ＝3DH ， ∴3DH ＝3DH4，解得DH ＝2， ∴AB ＝3DH ＝3×2＝6.18．(2019眉山中考)如图，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC ＝42，点P 为线段BE 延长线上一点，连接CP ，以CP 为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD 相交于点F.(1)求证：PC CD ＝CECB；(2)连接BD ，请你判断AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由； (3)设PE ＝x ，△PBD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式． 解：(1)∵△BCE 和△CDP 均为等腰直角三角形， ∴∠ECB ＝∠PCD＝45°， ∠CEB ＝∠CPD＝90°， ∴△BCE ∽△DCP ， ∴PC DC ＝EC CB； (2)AC∥BD.理由如下：∵∠PCE ＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°， ∴∠PCE ＝∠BCD. 又∵PC DC ＝EC CB ，∴△PCE ∽△DCB ， ∴∠CBD ＝∠CEP＝90°， ∴∠ACB ＝∠CBD， ∴AC ∥BD ；(3)作PM ⊥BD ，交BD 的延长线于点M. ∵AC ＝42，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝4. ∵△PCE ∽△DCB ，∴EC CB ＝PE BD ，即442＝x BD， ∴BD ＝2x.∵∠PBM ＝∠CBD－∠CBP＝45°， BP ＝BE ＋PE ＝4＋x ， ∴PM ＝4＋x 2，∴S △PBD ＝12BD ·PM＝12×2x×4＋x 2, ＝12x 2＋2x.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O．若AB＝AC，∠A＝40°，则∠BOE的度数是（）A.60°B.55°C.50°D.40°2．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是（）A．m＞9 B．m≥9C．m＜﹣9 D．m≤﹣93．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A.①③④B.②④C.①②③D.①②③④4．如图，向正六边形的飞镖游戏盘内随机投掷一枚飞镖则该飞镖落在阴影部分的概率( ).A. B. C. D.5．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是（ ） A.与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人 B.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降C.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万D.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4个百分点6．如果340x y -=，那么代数式23()x y y x y-⋅+的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．使得关于x 的不等式组22141x m x m >-⎧⎨-+≥-⎩有解，且使分式方程1222m xx x --=--有非负整数解的所有的m 的和是（ ） A ．﹣1B ．2C ．﹣7D ．08．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为4，∠B ＝135°，则劣弧AC 的长是（ ）A.4πB.2πC.πD.23π9．如图1，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，点P 从点A 出发，沿A C B →→的路径匀速运动到点B 停止，作PD AB ⊥于点D ，设点P 运动的路程为x ，PD 长为y ，y 与x 之间的函数关系图象如图2所示，当12x =时，y 的值是（ ）A ．6B ．245C ．65D ．210．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD ＝2∠ACB ．若DG ＝5，EC ＝1，则DE 的长为( )A ．2B ．4C ．D ．11．如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，连接AF ，则∠OFA 的度数是（ ）.A.15°B.20°C.25°D.30°12．下列运算正确的是（ ）A.222()x y x y +=+ B.632x x x ÷= 3=D.32361126xy x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭二、填空题13．分解因式(a －b)(a －9b)＋4ab 的结果是____．14．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA ．若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为_____．15．方程3x x -=1xx +的解是_____． 16．使得关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负整数，且使得关于x 的不等式组322144x x x k+≥-⎧⎨-≤⎩有且仅有5个整数解的所有k 的和为_____．17．已知a ，b 是一元二次方程x 2+x ﹣4＝0的两个不相等的实数根，则a 2﹣b ＝_____． 18．书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说的概率是_____． 三、解答题19．一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球，记两次取得乒乓球上的数字依次为a 、b ． （1）求a 、b 之积为偶数的概率；（2）若c ＝5，求长为a 、b 、c 的三条线段能围成三角形的概率．20．在正方形ABCD 中，点M 是射线BC 上一点，点N 是CD 延长线上一点，且BM ＝DN ，直线BD 与MN 交于点E ．（1）如图1．当点M 在BC 上时，为证明“BD﹣2DE BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M 作CD 的平行线交BD 于点P ．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M 在BC 的延长线上时，则BD ，DE ，BM 之间满足的数量关系是 ． （3）在（2）的条件下，连接BN 交AD 于点F ，连接MF 交BD 于点G ，如图3，若1,3AF AD = CM ＝2，则线段DG ＝ ．21．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AC 边上一点，tan ∠DBC=43，且BC=6，AD=4．求cosA 的值．22．计算：（π0﹣3|+（12）﹣123．已知二次函数y ＝﹣x 2+2mx ﹣m 2﹣1（m 为常数）．（1）证明：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；（2）当自变量x 的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y 的最大值为﹣5，求m 的值．24．（1）计算：10124303)cos -︒⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭（2）先化简，再求值：2222121111a a aa a a a+-+⋅---+，其中a＝﹣12．25．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）：七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98整理得到如下统计表根据以上信息，完成下列问题（1）填空：a＝；m＝；n＝；（2）两个年级中，年级成绩更稳定；（3）七年级两名最高分选手分别记为：A1，A2，八年级第一、第二名选手分别记为B1，B2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．(a-3b)214．615．x=﹣3 216．5 17．518．3 10三、解答题19．（1）P（数字之积为偶数）＝56；（2）P（三线段能围成三角形）＝13．【解析】【分析】（1）通过列表法可得a、b所有可能的结果，计算出a、b之积为偶数的次数，然后用a、b之积为偶数的次数除以总次数即可计算a、b之积为偶数的概率；（2）首先列出a、b、c所有可能的结果，根据三角形的性质找到能组成三角形的结果，最后计算能围成三角形的概率.【详解】（1）根据题意列表如下：由以上表格可知：有12种可能结果，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），其积分别为：2，3，4，2，6，8，3，6，12，4，8，12；积为偶数的有2，4，2，6，8，6，12，4，8，12，共10个，则P（数字之积为偶数）＝1012＝56；（2）所有的可能结果有12种，a，b及c的值分别为（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，1，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，1，5），（3，2，5），（3，4，5），（4，1，5），（4，2，5），（4，3，5），能构成三角形的有（2，4，5），（3，4，5），（4，2，5），（4，3，5），共4种，则P（三线段能围成三角形）＝412＝13．【点睛】本题考查了用列举法计算概率的知识，正确理解题意是解题的关键.20．（1）见解析；（2）BD+2DE BM；（3.【解析】【分析】（1）过点M作MP∥CD，交BD于点P，推出PM=DN，证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（2）过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，推出BM＝PM＝DN，根据AAS证明△EPM≌△EDN，推出EP ＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（3）证明△ABF∽△DNF，得出比例式，得到AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，根据BM ＝DN ，列出方程求出AB 的长度，根据DF ∥BM ，得到413,43DF DG BM BG ===即可求解. 【详解】解：（1）如图1，过点M 作MP ∥CD ，交BD 于点P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C ＝90°，∠CBD ＝∠CDB ＝45°， ∵PM ∥CD ，∴∠NDE ＝∠MPE ，∠BPM ＝∠CDB ＝45°， ∴△BPM 是等腰直角三角形， ∴PM ＝BM，PB =，∵BM ＝DN ， ∴PM ＝DN ，在△EPM 和△EDN 中，,MPE NDE PEM DEN PM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPM ≌△EDN （AAS ）， ∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ，根据勾股定理得：BP =，即2BD DE -=；（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，∴∠PMB＝∠BCD＝90°，∵∠CBD＝45°，∴△BMP是等腰直角三角形，∴BM＝PM＝DN，与（1）证法类似：△EPM≌△EDN（AAS），∴EP＝ED，∴PB＝BD+PD＝BD+2DE，根据勾股定理得：BP BM，即BD+2DE＝BP BM，故答案为：BD+2DE BM；（3）如图3，∵AB∥CD，∴AB∥DN，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD＝AB：ND，∵AF：FD＝1：2，∴AB：ND＝1：2，设AB ＝x ，则DN ＝2x ， ∵BM ＝DN ， ∴x+2＝2x ，x ＝2， ∴AB ＝AD ＝2，DF ＝43，∴BD = ∵DF ∥BM ，∴413,43DF DG BM BG ===∴142DG =⨯=故答案为：2【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．用的数学思想是类比推理的思想．21．5【解析】 【分析】先在Rt △BDC 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由AC=AD+DC 求出AC 的长，然后在Rt △ABC 中，根据勾股定理求出AB 的长，从而求出 cosA 的值． 【详解】解：在Rt △BDC 中， tan ∠DBC=43， 且BC=6 ， ∴ tan ∠DBC=DC BC =6DC =43， ∴CD=8， ∴AC=AD+DC=12，在Rt △ABC 中，，∴ cosA =ACAB =.【点睛】本题主要考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．22【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】原式＝1﹣（3+2【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23．（1）见解析；（2）m的值为﹣5或1．【解析】【分析】（1）根据判别式的值得到△＝﹣4＜0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣m）2﹣1，则抛物线的对称轴为直线x＝m，讨论：当m＜﹣3时，根据二次函数性质得到x＝﹣3时，y＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m）2﹣1＝﹣5；当﹣3≤m≤﹣1时，x＝m，y的最大值为﹣1，不合题意；当m＞﹣1时，利用二次函数的性质得到x＝﹣1时，y＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，然后分别解关于m的方程即可得到满足条件的m的值．【详解】（1）证明：△＝4m2﹣4×（﹣1）×（﹣m2﹣1）＝﹣4＜0，所以﹣x2+2mx﹣m2﹣1＝0没有实数解，所以不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）解：y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1＝﹣（x﹣m）2﹣1，抛物线的对称轴为直线x＝m，当m＜﹣3时，﹣3≤x≤﹣1，y随x的增大而减下，则x＝﹣3时，y＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m）2﹣1＝﹣5，解得m1＝﹣5，m2＝﹣1（舍去）；当﹣3≤m≤﹣1时，x＝m，y的最大值为﹣1，不合题意；当m＞﹣1时，﹣3≤x≤﹣1，y随x的增大而增大，则x＝﹣1时，y＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，解得m1＝1，m2＝﹣3（舍去）；综上所述，m的值为﹣5或1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．24．（1）4；（2）1a，-2. 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算； （2）将原式的分子、分母因式分解，约分后计算减法，再代值计算即可． 【详解】（1） ）0+（13）﹣1+4cos30°﹣﹣＝＝4； （2）2222121111a a a a a a a+-+-+-- ＝22111(1)(1(1)1a a a a a a a +--+--+（））＝21(1)(1)a aa a a a +-++＝1(1)a a a ++＝1a， 当a ＝﹣12 时，原式＝11-2＝﹣2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值．解答（1）题的关键是根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算；解答（2）题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．25．（1）94；（2）94，92，94；八；（3）23【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解； （2）根据方差的意义进行判断；（3）画树状图展示所有12等可能的结果数，再找出这两人分别来自不同年级的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】（1）n＝110（88+93+93+93+94+94+95+95+97+98）＝94（分）；把七年级的10名学生的成绩从小到大排列，最中间的两个数的平均数是：93+952=94（分），则中位数a=94；七年级的10名学生的成绩中92分出现次数最多，故众数为92分；（2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小，所以八年级的成绩稳定；（3）列表得：共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，∴P（这两人分别来自不同年级的概率）＝82= 123．【点睛】题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB≠AD，对角线AC 、BD 相交于点O ．以下结论不正确的是（ ）A.梯形ABCD 是轴对称图形B.∠DAC ＝∠DCAC.△AOB ≌△DOCD.△AOD ∽△COB2．下列说法正确的是( )A.打开电视，它正在播天气预报是不可能事件B.要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查C.在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确D.甲、乙两人射中环数的方差分别为22S =甲，21S =乙，说明甲的射击成绩比乙稳定3．12019的倒数是（ ） A.12019 B.﹣12019C.2019D.﹣20194．在四边形ABCD 中，//,AB CD AB AD =，添加下列条件不能推得四边形ABCD 为菱形的是（ ） A ．AB CD =B ．//AD BCC ．BC CD =D ．AB BC =5．下列各式变形中，正确的是（ ）A ．2=x B ．2(1)(1)1x x x ---=-C ．x xx y x y=--++D ．22131=x+-24x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭6．如图，在数轴上，点A 表示的数是2，△OAB 是Rt △，∠OAB ＝90°，AB ＝1，现以点O 为圆心，线段OB 长为半径画弧，交数轴负半轴于点C ，则点C 表示的实数是( )A B C．﹣3 D．﹣7．如图，边长为4个单位长度的正方形ABCD的边AB与等腰直角三角形EFG的斜边FG重合，△EFG以每秒1个单位长度的速度沿BC向右匀速运动（保持FG⊥BC），当点E运动到CD边上时△EFG停止运动，设△EFG的运动时间为t秒，△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为S，则S关于t的函数大致图象为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝6，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．39．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（）A B．C D10．我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深______尺，葭长_____尺．解：根据题意，设水深OB＝x尺，则葭长OA'＝（x+1）尺．可列方程正确的是（）A.x 2+52 ＝（x+1）2B.x 2+52 ＝（x ﹣1）2C.x 2+（x+1）2 ＝102D.x 2+（x ﹣1）2＝52 11．下列计算正确的是（ ）A ．3a ﹣a ＝3B ．（a 2）3＝a 6C ．3a+2a ＝2a 2D ．a 2﹣a 2＝a 412．2018年国庆小长假，泰安市旅游再次交出漂亮“成绩单”，全市纳入重点监测的21个旅游景区、旅游大项目、乡村旅游点实现旅游收入近132000000元，将132000000用科学记数法表示为（ ）A ．1.32×109B ．1.32×108C ．1.32×107D ．1.32×106二、填空题13．已知：如图，△ABC 中，过AB 的中点F 作DE ⊥BC ，垂足为E ，交CA 的延长线于点D ．若EF ＝3，BE ＝4，∠C ＝45°，则DF ：FE 的值为_____．14．如图，OC 是O 的半径，弦AB OC ⊥于点D ，点E 在O 上，EB 恰好经过圆心O ，连接EC .若B E ∠=∠，32OD =，则劣弧AB 的长为__________.15．分解因式：228ax a -=_______．16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为< x >，即已知n 为正整数，如果n －12≤x＜n ＋12，那么< x >＝n ．例如：< 0 >＝< 0.48 >＝0，< 0.64 >＝< 1.493 >＝1，< 2 >＝2，< 3.5 >＝< 4.12 >＝4，…则满足方程< x >＝1x 1.62+的非负实数x 的值为____. 17．在不透明的袋子中有2个白球，3个红球，除颜色外完全相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率18．截至2019年4月份，全国参加汉语考试的人数约为3500万，将3500万用科学记数法表示为_____．三、解答题19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作ED⊥AE，垂足为E，交AB的延长线于F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若AD＝，AB＝6，求FD的长．20．如图，在数轴上点A、B、C分别表示－1、－2x＋3、x＋1，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧.（1）求x的取值范围；（2）当AB＝2BC时，x的值为_____.21．化简分式：2222334424x x xx x x x⎛⎫---÷⎪-+--⎝⎭，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．22．2018年4月，无锡外卖市场竞争激烈，美团、滴滴、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，每月工资：底薪1000元，另加外卖送单补贴(送一次外卖称为一单)，具体方案如下：(1)若某“外卖小哥”4月份送餐600单，求他这个月的工资总额；(2)设这个月“外卖小哥”送餐x单，所得工资为y元，求y与x的函数关系式；(3)若“外卖小哥”本月送餐800单，所得工资6400≤y≤6500，求m的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，∠OAB＝90°且OA＝AB，OB＝8，（1）求点A的坐标；（2）点P是从O点出发，沿X轴正半轴方向以每秒1单位长度的速度运动至点B的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，交四边形ABCD的边AO或AB于点Q，交OC或BC于点R．设运动时间为t（s），已知t＝3时，直线l恰好经过点 C．求①点P出发时同时点E也从点B出发，以每秒1个单位的速度向点O运动，点P停止时点E也停止．设△QRE的面积为S，求当0＜t＜3时S与t的函数关系式；并直接写出S的最大值．②是否存在某一时刻t，使得△ORE为直角三角形？若存在，请求出相应t的值；若不存在，请说明理由．24．在一条笔直的公路上有A、B两地．甲、乙两人同时出发，甲骑电动车从A地到B地，中途出现故障后停车维修，修好车后以原速继续行驶到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原原速返回，结果两人同时到B地．如图是甲、乙两人与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数图象．（1）A、B两地间的距离为km；（2）求乙与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数关系式；（3）求甲、乙第一次相遇的时间；（4）若两人之间的距离不超过10km时，能够用无线对讲机保持联系，请求出乙在行进中能用无线对讲机与甲保持联系的x取值范围．25．如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点D，交BC于点E；分别以点D，E为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 的内部相交于点F ；画射线BF ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，作FH ⊥BC 于点H求证：BG ＝BH ．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．7：314．2π15．2(2)(2)a x x +-16．817．3518．5×107三、解答题19．（1）证明见解析；（2）7. 【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质可求得∠1＝∠3，再由“内错角相等，两直线平行”可得AE ∥OD ，然后再由垂线的定义和切线的判定即可证明；（2）连接BD ，由切线的性质及勾股定理可求出BD 的长，然后再根据三角形相似的判定和性质求得BFDF ，然后再在Rt △ODF 中，求DF 即可. 【详解】（1）证明：连接OD ，如图，∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3，∵AD 平分∠EAB ，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE ∥OD ，∵ED ⊥CA ，∴OD ⊥ED ，∵OD 是⊙O 的半径，∴ED 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，如图，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°．∴BD =2，∵EF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EF ，∴∠4+∠5＝90°，∵∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠3＝∠2，∵∠F ＝∠F ，∴△FBD ∽△FDA ， ∴BF BD DF AD ==∴BF ＝4DF ， 在Rt △ODF 中，∵（3+BF ）2＝32+DF 2，∴（3+4DF ）2＝32+DF 2，∴DF ＝7．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行线的判定、切线的性质及判定、勾股定理等知识点，综合性比较强，熟练掌握基础知识是解题的关键.20．(1) 223x<<;(2)1【解析】【分析】(1)根据A、B、C三点在数轴上的位置列不等式组即可得出x的取值范围；（2）分别求出AB、BC的距离，根据AB=2BC列方程即可得出x的值.【详解】（1）由题意得：231123xx x-+>-⎧⎨+>-+⎩①②解不等式①得：x＜2；解不等式②得：x＞23．∴不等式组的解集为：23＜x＜2．（2）∵AB=2BC，∴-2x+3-(-1)=2[x+1-(-2x+3)]-2x+4=2x+2+4x-68x=8解得x=1.故答案为：1【点睛】本题考查数轴的性质、解一元一次不等式组及解一元一次方程，不等式解集遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．21．x+2，3.【解析】【分析】利用分式的运算，先对分式化简单，再选择使分式有意义的数代入求值即可．【详解】2222334424x x x x x x x ⎛⎫---÷ ⎪-+--⎝⎭ ＝22(2)33(224x x x x x x ⎡⎤---÷⎢⎥---⎣⎦） ＝233()224x x x x x --÷--- ＝(-2)(2)323x x x x x -⋅--+ ＝x+2，∵x 2﹣4≠0，x ﹣3≠0，∴x≠2且x≠﹣2且x≠3，∴可取x ＝1代入，原式＝3．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟悉掌握分式的运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件．22．(1)若某“外卖小哥”4月份送餐600单，他这个月的工资总额是4800元；(2)见解析；(3)750≤m≤900．【解析】【分析】:(1)根据题意,直接按照第一个标准,由底薪每单补贴,求解即可(2)按照x ＞m,0＜x≤500和0＜x≤500三种情况,分别求解即可;(3)根据(2)中的关系式,分别代入求解,注意要符合工资要求【详解】(1)由题意可得，1000+500×6+(600﹣500)×8＝1000+3000+800＝4800(元)，答：若某“外卖小哥”4月份送餐600单，他这个月的工资总额是4800元；(2)由题意可得，当0＜x≤500时，y ＝1000+6x ，当500＜x≤m 时，y ＝1000+500×6+(x﹣500)×8＝8x ，当x ＞m 时，y ＝1000+500×6+(m﹣500)×8+(x﹣m)×10＝10x ﹣2m ，由上可得，y ＝10006(05008(500102(x x x x m x m x m +⎧⎪⎨⎪-⎩＜≤）＜≤）＞） ；(3)若800＜m≤900，y ＝8×800＝6400，符合题意，若700≤m≤800，6400≤﹣2m+10×800≤6500，解得，750≤m≤800，综上所述：750≤m≤900．【点睛】此题考查不等式组的应用，解题关键在于列出方程23．（1）A （4，4）；（2）①2728.S (t 2)33=-+，S 有最大值为283；②t 的值为4或3614. 【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）①首先求出直线OA 、OB 、OC 、BC 的解析式．①求出P 、Q 的坐标即可解决问题；即可表示出QR 和PE 的长，即可得到三角形面积解析式利用配方法求出最值即可；②分三种情况讨论，即∠REO ＝90°或∠ORE ＝90°或∠ROE ＝90°分别求解即可．【详解】解：（1）由题意△OAB 是等腰直角三角形，∵OB ＝8，即B （8，0）∴A （4，4），（2）∵A （4，4），B （8，0），∴直线OA 的解析式为y ＝x ，直线AB 的解析式y ＝﹣x+6，∵t ＝3时，直线l 恰好过点C ，即OP ＝3，OC ＝5，∴PR ＝4，C （3，﹣4），∴直线OC 的解析式为y ＝-43x ，直线BC 的解析式为y ＝43255x -， ①当0＜t ＜3时，Q （t ，t ），R （t ，-43t ）， ∴QR=t-(-43t)=73t ．PE ＝8﹣2t ． ∴S ＝2117728(82)(2)22333PE QR t t t =-=--+． ∴t ＝2时，S 有最大值为283． ②要使△ORE 为直角三角形，则有三种情况：Ⅰ．若∠REO＝90°，如图1，则点P与E点重合，∴8﹣2t＝0，解得t＝4，Ⅱ．若∠ORE＝90°，如图2．△ORP∽△REP，∴OP RPRP PE=，即RP2＝OP•PE，∴24(82) 3tt t⎛⎫=-⎪⎝⎭，解之得：t＝36 17，Ⅲ．当t＞4时，△ORE不可能为直角三角形．故使得△ORE为直角三角形时，t的值为：4或36 17，【点睛】本题考查四边形综合题、一次函数的应用、二次函数的应用、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数或二次函数解决实际问题，属于中考压轴题．24．（1）30；（2）y＝﹣30x+60；（3）甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时；（4）25≤x≤56或76≤x≤2．【解析】【分析】（1）观察图形即可求得A 、B 两地间的距离；（2）乙前往A 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙1=k 1x ，设乙返回B 地距离B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙2=k 2x+b 2，由待定系数法可求乙与B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的函数关系式；（3）由相遇问题的数量关系直接求出结论；（4）设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1=kx+b ，甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2=k 3x+b 3，由待定系数法求出解析式建立不等式组求出其解即可．【详解】解：（1）由题意，得A 、B 两地间的距离为30km ．故答案为：30；（2）设乙前往A 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙1＝k 1x ，由题意，得 30＝k 1，∴y 乙1＝30x ；设乙返回B 地距离B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙2＝k 2x+b 2，由题意，得 22223002k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：223060k b =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝-30x+60．（3）由函数图象，得（30+20）x ＝30，解得x ＝0.6．故甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时；（4）设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1＝kx+b ，由题意，得30150.75b k b =⎧⎨=+⎩， 解得：k 20b 30=-⎧⎨=⎩， y 甲1＝﹣20x+30，设甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2＝k 3x+b 3，由题意，得333315 1.25k b 02k b =+⎧⎨=+⎩，解得：332040k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 甲2＝﹣20x+40，当20303010301510x x x -+-≤⎧⎨-⎩…时， ∴25≤x≤56； 306015102x x -+-⎧⎨⎩……， 解得：76≤x≤2． ∴25≤x≤56或76≤x≤2．【点睛】本题考查了行程问题的数量关系路程÷时间=速度的运用，运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，不等式组的解法的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．25．详见解析【解析】【分析】由作法可知BF 是∠ABC 的角平分线，再证明△GBF ≌△HBF 即可得到结论.【详解】证明：由作法可知BF 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABF ＝∠CBF ，∵FG ⊥AB ，FH ⊥BC ．∴∠FGB ＝∠FHB ，在△GBF 和△HBF 中，FGB FHB GBF HBF BF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GBF ≌△HBF （AAS ），∴BG ＝BH ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．。
中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第五章图形的相似与解直角三角形阶段测评五图形的相似与解直角三角形试
阶段测评(五) 图形的相似与解直角三角形(时间：45分钟 总分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．(2016遵义一中二模)如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的格点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B ′的值为( B )A .12B .13C .14D .24(第1题图)(第2题图)2．(2015嘉兴中考)如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F.AC 与DF 相交于点H ，且AH ＝2，HB ＝1，BC ＝5，则DEEF的值为( D )A ．1B ．2C .25D .353．(2015恩施中考)如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为( B )A ．4B ．7C ．3D ．12,(第3题图)) ,(第4题图))4．(2015南京中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝12，则下列结论中正确的是( C )A .AE AC ＝12B .DE BC ＝12C .△ADE 的周长△ABC的周长＝13 D .△ADE 的面积△ABC的面积＝135．(2015永州中考)如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC 的是( D )A ．∠ABD ＝∠ACB B ．∠ADB ＝∠ABC C ．AB 2＝AD·ACD .AD AB ＝AB BC6．(2015十堰中考)在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)，B(－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应A′的坐标是( D ) A ．(－2，1) B ．(－8，4)C ．(－8，4)或(8，－4)D ．(－2，1)或(2，－1)7．(2016遵义十二中一模)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S四边形BCED的值为( C )A ．1∶ 3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4(第7题图)(第8题图)8．(2016新疆中考)轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是________海里( D )A ．25 3B ．25 2C ．50D ．25二、填空题(每小题4分，共24分)9．(2016汇川一模)若x∶y＝5∶2，则(x ＋y)∶y 的值是__72__．10．(2016遵义六中一模)△ABC 中，AB ＝4， BC ＝3，∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为__23±5__． 11．(2015重庆中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为2∶3，则△ABC 与△DEF 对应边上中线的比为__2∶3__．12．(2016新疆中考)如图，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C 点测得∠ACB＝30°，D 点测得∠AD B ＝60°，又CD ＝60 m ，则河宽AB 为__303__m ．(结果保留根号)(第12题图)(第13题图)13．(2016十堰中考)在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30 m ，到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD ＝10 m ．请根据这些数据求出河的宽度为__(30＋103)__m ．(结果保留根号)14．(2016原创)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，有一个锐角为60°，BC ＝6.若点P 在直线AC 上(不与点A ，C 重合)，且∠ABP＝30°，则CP 的长为__23或43或6__．三、解答题(共44分)15．(10分)(2016上海中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，连接CE ，求：(1)线段BE 的长； (2)∠ECB 的余切值．解：(1)∵AD＝2CD ，AC ＝3，∴AD ＝2，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，∴∠A ＝∠B＝45°，AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋32＝32，∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°，∠ADE ＝∠A＝45°，∴AE ＝AD·cos 45°＝2×22＝2，∴BE ＝AB －AE ＝32－2＝22，即线段BE 的长为22；(2)过点E 作EH⊥BC，垂足为H.∵在Rt △BEH 中，∠EHB ＝90°，∠B ＝45°，∴EH ＝BH ＝BE·cos 45°＝22×22＝2，∵BC ＝3，∴CH ＝1，在Rt △CHE 中，cot ∠ECB ＝CH EH ＝12，即∠ECB 的余切值为12.16．(10分)(2016内江中考)禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A 、B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行，我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度．(结果保留根号)解：过点C 作CD⊥AB，垂足为点D ，设BD ＝x 海里，则AD ＝(200－x)海里，∵∠ABC ＝45°，∴BD ＝CD ＝x ，∵∠BAC ＝30°，∴tan 30°＝CD AD ，在Rt △ACD 中，则CD ＝AD·tan 30°＝33(200－x)，则x ＝33(200－x)，解得x ＝1003－100，即BD ＝1003－100，在Rt △BCD 中，cos 45°＝BDBC，解得BC ＝1006－1002，则(1006－1002)÷4＝25(6－2)(海里/时)，则该可疑船只的航行速度约为25(6－2)海里/时．17．(12分)(2016贺州中考)如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10 m ，坡面10 m 处有一建筑物HQ ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3 m 宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除．(计算最后结果保留一位小数，参考数据：2＝1.414，3＝1.732)解：由题意得，AH ＝10 m ，BC ＝10 m ，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，∴AB ＝BC ＝10，在Rt △DBC 中，∠CDB ＝30°，∴DB ＝BCtan ∠CDB＝103，∴DH ＝AH －AD ＝AH －(DB －AB)＝10－103＋10＝20－103≈2.7(m )，∵2.7m <3 m ，∴该建筑物需要拆除．18．(12分)(2016宜昌中考)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，D 是△ABC 内部或BC 边上的一个动点(与点B ，C 不重合)，以D 为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k>1)，EF ∥BC.(1)求∠D 的度数；(2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH.①如图(1)，连接GH 、AD ，当GH⊥AD 时，请判断四边形AGDH 的形状，并证明； ②当四边形AGDH 的面积最大时，过A 作AP⊥EF 于P ，且AP ＝AD ，求k 的值．解：(1)∵AB 2＋AC 2＝100＝BC 2，∴∠BAC ＝90°，∵△DEF ∽△ABC ，∴∠D ＝∠BAC ＝90°；图①(2)①四边形AGDH 为正方形，理由：如图①，延长ED 交BC 于点M ，延长FD 交BC 于点N ，∵△DEF ∽△ABC ，∴∠E ＝∠B，∵EF ∥BC ，∴∠E ＝∠EMC ，∴∠B ＝∠EMC，∴AB ∥DE ，同理：DF∥AC，∴四边形AGDH 为平行四边形，∵∠D ＝90°，∴四边形AGDH 为矩形，∵GH ⊥AD ，∴四边形AGDH 为正方形；②当点D 在△ABC 内部时，四边形AGDH 的面积不可能最大，理由：图②如图②，点D 在内部时(N 在△ABC 内部或BC 边上)，延长GD 至N ，过N 作NM⊥AC 于M ，∴矩形GNMA 面积大于矩形AGDH ，∴点D 在△AB C 内部时，四边形AGDH 的面积不可能最大，只有点D 在BC 边上时，面积才有可能最大，如图③，点D 在BC 上，∵DG ∥AC ，∴△BGD ∽△BAC ，∴BG AB ＝GD AC ，又∵GD＝AH ，∴AB －AG AB ＝AH AC ，∴6－AG 6＝AH 8，∴AH ＝8－43GA ，S 矩形AGDH ＝AG×AH＝AG×⎝ ⎛⎭⎪⎫8－43AG ＝－43AG 2＋8AG ，图③当AG ＝－82×－43＝3时，S 矩形AGDH 最大，此时，DG ＝AH ＝4，即：当AG ＝3，AH ＝4时，S 矩形AGDH 最大，在Rt △BGD中，BD ＝5，∴DC ＝BC －BD ＝5，即：点D 为BC 的中点，∵AD ＝12BC ＝5，又∵PA＝AD ，∴PA ＝AD ＝5，延长PA 交BC 于点Q ，∵EF ∥BC ，QP ⊥EF ，∴QP⊥BC，∴PQ 是EF ，BC 之间的距离，∴D 到EF 的距离为PQ 的长，在△ABC中，12AB ×AC ＝12BC ×AQ ，∴AQ ＝4.8，∵△DEF ∽△ABC ，PA ＝5，∴k ＝PQ AQ ＝PA ＋AQ AQ ＝4924.。
2019年5月初三九年级初中数学复习资料相似知识点及练习题及详细解析
8. 下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是（ ）。 A. 都含有一个 的内角 B. 都含有一个 的内角 C. 都含有一个 的内角 D. 都含有一个 的内角
9. 已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中 ������������ 、 ������������ 交于 ������ 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）。
相似三角形的判定方法 根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等） 1.（基本定理）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角
形与原三角形相似。 2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相
A. 20m B. 40m C. 60m D. 80m 7. 如图，在矩形 ������������������������ 中， ������������ = 6 ， ������������ = 8 ，点 ����� 是边 ������������ 上的任意一点，当 △ ������������������ 的周长最小时，则 ������������ 的长为（ ）。
相似
概念：
相似图形 形状相同的图形叫做相似图形，全等图形时一种特殊的相似图形。
相似多边形 各边对应成比例,各角对应相等的多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应角相等，
对应边的比相等。 相似比
相似多边形对应边的比称为相似比。
相似三角形：
相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，互为相似形的三角形叫做相似 三角形。
2019年中考数学复习第5章图形的相似与解直角三角形第20课时锐角三角函数与解直角三角形精讲试题word版本
第20课时锐角三角函数与解直角三角形题号,30三角形一般与圆综合考查毕节中考真题试做30°,45°,60°角的三角函数值1.(2018·毕节中考)计算：⎝⎛⎭⎪⎫－13－1－12＋3 tan 30°－(π－3)0＋||1－3.解：原式＝(－3)－23＋3×33－1＋(3－1)＝－3－23＋3－1＋3－1＝－5.解直角三角形2.(2017·毕节中考)如图,在▱ABCD中,过点A作AE⊥DC,垂足为点E,连接BE,F为BE上一点,且∠AFE＝∠D.(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5,AB＝8,sin D＝45,求AF的长.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB ∥CD,AD ∥BC,AD ＝BC. ∴∠D ＋∠C ＝180°,∠ABF ＝∠BEC. ∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°,∠AFE ＝∠D, ∴∠C ＝∠AFB. ∴△ABF ∽△BEC ； (2)解：∵AE ⊥DC,AB ∥DC, ∴∠AED ＝∠BAE ＝90°.在Rt △ADE 中,AE ＝AD·sin D ＝5×45＝4.在Rt △ABE 中,根据勾股定理,得 BE ＝AE2＋AB2＝42＋82＝4 5. ∵△ABF ∽△BEC, ∴AF BC ＝AB BE , 即AF 5＝845,∴AF ＝2 5.毕节中考考点梳理锐角三角函数的概念特殊角的三角函数值\ 锐角α α解直角三角形1.(2018·柳州中考)如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,BC ＝4,AC ＝3,则sin B ＝ACAB ＝( A )A .35B .45C .37D .34(第1题图)(第3题图)2.若∠A＋∠B ＝90°,则下列各式成立的是( D )A .sin A ＝cos AB .tan A ＋tan B ＝1C .sin A ＝sin BD .sin A ＝cos B3.(2018·广州中考)如图,旗杆高AB ＝8 m ,某一时刻,旗杆影子长BC ＝16 m ,则tan C ＝__12__.4.(2018·滨州中考)在△ABC 中,∠C ＝90°,若tan A ＝12,则sin B ＝55.(2018·贵阳中考)如图①,在Rt △ABC 中,以下是小亮探究a sin A 与bsin B之间关系的方法：∵sin A ＝a c ,sin B ＝bc,∴c ＝a sin A ,c ＝bsin B ,∴a sin A ＝b sin B. 根据你掌握的三角函数知识.在图②的锐角△ABC 中,探究a sin A ,b sin B ,c sin C之间的关系,并写出探究过程.解：a sin A ＝b sin B ＝c sin C .证明如下：过A 作AD ⊥BC 于点D,过B 作BE ⊥AC 于点E.在Rt △ABD 中,sin B ＝ADc ,即AD ＝c si n B.在Rt △ADC 中,sin C ＝ADb ,即AD ＝b sin C.∴c sin B ＝b sin C,即b sin B ＝csin C .同理可得a sin A ＝csin C ,则a sin A ＝b sin B ＝csin C.6.(2018·遵义中考)如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳BC 与地面保持垂直,吊臂AB 与水平线的夹角为64°,吊臂底部A 距地面1.5 m .(计算结果精确到0.1 m ,参考数据sin 64°≈0.90,cos 64°≈0.44,tan 64°≈2.05)(1)当吊臂底部A 与货物的水平距离AC 为5 m 时,吊臂AB 的长为______m ； (2)如果该吊车吊臂的最大长度AD 为20 m ,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)解：(1)在Rt △ABC 中,∠BAC ＝64°,AC ＝5, ∴AB ＝ACcos 64°≈5÷0.44≈11.4.∴吊臂AB 的长为11.4 m .故应填：11.4； (2)过点D 作DH ⊥地面于点H,交水平线于点E.在Rt △ADE 中,AD ＝20,∠DAE ＝64°,EH ＝1.5,∴DE ＝sin 64°×AD ≈20×0.90＝18.0,即DH ＝DE ＋EH ≈18.0＋1.5＝19.5.答：从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m .中考典题精讲精练30°,45°,60°角的三角函数值例1 (2018·广安中考)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＋|3－2|－12＋6 cos 30°＋(π－3.14)0.【解析】对照30°,45°,60°角的三角函数值表,然后按照实数的运算方法计算出结果.【答案】解：原式＝9＋2－3－23＋6×32＋1＝12.解直角三角形例2 (2018·潍坊中考)如图,点M 是正方形ABCD 边CD 上一点,连接AM,作DE ⊥AM 于点E,BF ⊥AM 于点F,连接BE.(1)求证：AE ＝BF ；(2)已知AF ＝2,四边形ABED 的面积为24,求∠EBF 的正弦值.【解析】(1)由正方形的性质,可得BA ＝AD,∠BAD ＝90°.由DE ⊥AM,BF ⊥AM,可得∠ABF ＝∠DAE.对于△ABF 和△DAE,可由AAS 得到△ABF ≌△DAE,结论可证；(2)设AE ＝x,由(1)中结论可得BF ＝x,DE ＝AF ＝2.利用S 四边形ABED＝S △ABE ＋S △ADE 可列方程求出x 得到EF 的长.在Rt △BFE 中利用勾股定理可求出BE 的长.最后利用正弦的定义可求结果.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形, ∴BA ＝AD,∠BAD ＝90°. ∵DE ⊥AM 于点E,BF ⊥AM 于点F, ∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°,∴∠ABF ＋∠BAF ＝90°,∠DAE ＋∠BAF ＝90°, ∴∠ABF ＝∠DAE. 在△ABF 和△DAE 中, ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB＝∠DEA，∠ABF＝∠DAE，AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(AAS ),∴BF ＝AE ； (2)解：设AE ＝x,则BF ＝x,DE ＝AF ＝2. ∵四边形ABED 的面积为24, ∴12·x·x ＋12·x·2＝24, 解得x 1＝6,x 2＝－8(舍去),∴EF ＝x －2＝4. 在Rt △BEF 中,BE ＝42＋62＝213, ∴sin ∠EBF ＝EF BE ＝4213＝21313.解直角三角形的应用例3 (2018·烟台中考)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速.如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40 km /h .数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A,B 两点,并在AB 路段进行区间测速.在l 外取一点P,作PC ⊥l,垂足为点C.测得PC ＝30 m ,∠APC ＝71°,∠BPC ＝35°.上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6 s ,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据：sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70,sin 71°≈0.95,cos 71°≈0.33,tan 71°≈2.90)【解析】先根据角的正切分别得出AC ＝PC tan ∠APC,BC ＝PC tan ∠BPC,再根据线段的和与差得出AB 的长,继而根据速度＝路程时间,求得该车通过AB 路段的车速.若该车通过AB 路段的车速超过40 km /h ,则该车超速；否则,该车没有超速.【答案】解：在Rt △APC 中,AC ＝PC tan ∠APC ＝30 tan 71°≈30×2.90＝87. 在Rt △BPC 中,BC ＝PC tan ∠BPC ＝30 tan 35°≈30×0.70＝21, 则AB ＝AC －BC ＝87－21＝66, ∴该汽车的实际速度为666＝11(m /s ).又∵40 km /h ≈11.1 m /s ,11<11.1, ∴该车没有超速.1.计算：|－2|－(2 019＋2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋2 cos 30°－27.解：原式＝2－1＋2＋2×32－33＝3＋3－3 3 ＝3－2 3.2.如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC,点D 为边AC 的中点,DE ⊥BC 于点E,连接BD,则tan ∠DBC 的值为( A )A .13B .2－1C .2－ 3D .143.(2018·扬州中考)如图,在平行四边形ABCD 中,DB ＝DA,点F 是AB 的中点,连接DF 并延长,交CB 的延长线于点E,连接AE.(1)求证：四边形AEBD 是菱形；(2)若DC ＝10,tan ∠DCB ＝3,求菱形AEBD 的面积. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥CE,∴∠DAF ＝∠EBF. ∵∠AFD ＝∠BFE,AF ＝FB, ∴△AFD ≌△BFE,∴AD ＝BE.∵AD ∥EB,∴四边形AEBD 是平行四边形. 又∵DB ＝DA,∴四边形AEBD 是菱形； (2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CD ＝AB ＝10,AB ∥CD, ∴∠ABE ＝∠DCB,∴tan ∠ABE ＝tan ∠DCB ＝3. ∵四边形AEBD 是菱形, ∴AB ⊥DE,AF ＝FB,EF ＝DF, ∴tan ∠ABE ＝EFBF ＝3.∵BF ＝102,∴EF ＝3102,∴DE ＝310. ∴S 菱形AEBD ＝12AB·D E ＝1210×310＝15.4.如图,一块三角形空地上种植草皮绿化,已知AB ＝20 m ,AC ＝30 m ,∠A ＝150°,草皮的售价为a 元/m 2,则购买草皮至少需要( C )A .450a 元B .225a 元C .150a 元D .300a 元(第4题图)(第5题图)5.一个公共房门前的台阶高出地面 1.2 m ,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是( B )A .斜坡AB 的坡度是10° B .斜坡AB 的坡度是tan 10°C .AC ＝1.2 tan 10° mD.AB＝1.2cos 10°m6.(2018·重庆中考A卷)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7 m,升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75,坡长CD＝2 m,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1 m,则旗杆AB的高度约为(参考数据：sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.6)( B )A.12.6 mB.13.1 mC.14.7 mD.16.3 m。
中考数学复习第5章图形的相似与解直角三角形第19课时图形的相似与位似(精练)试题(2021年整理)
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第19课时图形的相似与位似（时间:45分钟）1．如图,l1∥l2∥l3，直线a，b与l1,l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若错误!＝错误!,DE＝4，则EF的长是( C)A.错误!B.错误!C．6 D．102．（2018·临安中考)如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( B）A B C D3．(2018·重庆中考A卷）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm,另一个三角形的最短边长为2。
5 cm，则它的最长边为( C ) A．3 cm B．4 cm C．4。
5 cm D．5 cm4．(2018·内江中考）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为( D）A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶95．(2018·自贡中考）如图,在△ABC中,点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为( D)A．8 B．12 C．14 D．16（第5题图）) (第6题图）)6．(2018·荆门中考)如图，四边形ABCD为平行四边形,E,F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG＝（C）A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶17．(原创题）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为__1∶3__．8．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3。
2019-2020年中考数学总复习 第五章 图形的相似与解直角三角形 第一节 图形的相似与位似试题
2019-2020年中考数学总复习第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似试题1．(2016兰州中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，若ADDB ＝23，则AEEC＝( C)A.13B.25C.23D.35(第1题图)(第2题图)2．(2016哈尔滨中考)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是( A)A.ADAB＝AEACB.DFFC＝AEECC.ADDB＝DEBCD.DFBF＝EFFC3．(2016湘西中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为( D)A．3 B．5 C．6 D．8(第3题图)(第4题图)4．(2016遵义十九中一模)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件不正确的是( D)A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABCC .AP AB ＝AB ACD .AB BP ＝AC CB5．(2015济南中考)如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的角平分线分别交AB 、DB 于M 、N 两点．若AM ＝2，则线段ON 的长为( C )A .22 B .32 C ．1 D .62(第5题图)(第6题图)6．(2016十堰中考)如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，已知OB ＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为( D )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶97．(2016新疆中考)如图所示，△ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且满足AE EB ＝AF FC ＝12，则△AEF 与△ABC 的面积比是__1∶9__．(第7题图)(第8题图)8．(2016汇川升学一模)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．若△ABC 的边BC 长为40 cm ，高AH 为30 cm ，则正方形DEFG 的边长为__1207__cm .9．(2016遵义一中二模)如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF＝4∶25，则DE∶EC＝__2∶3__.(第9题图)(第10题图)10．(2015包头中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，OA 与反比例函数y ＝kx 的图象交于点D ，且OD ＝2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD ＝10，则k 的值为__－16__．11．(2015连云港中考)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间距离是1，l 2与l 3之间距离是2，且l 1，l 2，l 3分别经过点A ，B ，C ，则边AC 的长为3．12．(2015泰安中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD＝∠B. (1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB ＝10，BC ＝12，当PD∥AB 时，求BP 的长．解：(1)∵AB＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD ＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC ＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP ＝∠DPC，∴△ABP ∽△PCD ，∴BP CD ＝ABCP，∴AB ·CD ＝CP·BP，∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD ＝∠BAP，∵∠APD ＝∠C，∴∠BAP ＝∠C，∵∠B ＝∠B，∴△BAP ∽△BCA ，∴BA BC ＝BPBA ，∵AB＝10，BC ＝12，∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.13．(2016随州中考)如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE∥AC，AE 、CD 相交于点O ，若S △DOE∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( B )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2514．(2016盘锦中考)如图，四边形ABCD 是矩形，点E 和点F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于点H ，AD ＝3，DC ＝4，DE ＝52，∠EDF ＝90°，则DF 长是( C )A .158B .113C .103D .165,(第14题图)) ,(第15题图))15．(2016滨州中考)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则AD AB ＝216．(2016长春中考)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G.(1)求证：BD∥EF；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形，∴BD ∥EF ；(2)∵四边形BEFD 是平行四边形，∴DF ＝BE ＝4.∵DF∥EC，∴△DFG ∽△CEG ，∴DG CG ＝DF CE ，∴CE ＝DF ·CG DG ＝4×32＝6.17．(2016汇川升学二模)某中学为新生设计的学生板凳的正面视图如图所示．其中BA ＝CD ，BC ＝20 cm ，BC 、EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40 cm 、8 cm ，为使板凳两腿底端A 、D 之间的距离为50 cm ，那么横梁EF 应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)解：过点C 作CM∥AB，交EF 、AD 于N 、M ，作CP⊥AD，交EF 、AD 于Q 、P ，由题意，得四边形ABCM 是平行四边形，∴EN ＝AM ＝BC ＝20(cm )．∴MD＝AD －AM ＝50－20＝30(cm )．由题意知CP ＝40 cm ，PQ ＝8 cm ，∴CQ ＝32 cm .∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD ，∴NF MD ＝CQ CP ，即NF 30＝3240.解得NF ＝24 cm .∴EF ＝EN ＋NF ＝20＋24＝44 cm .答：横梁EF 应为44 cm .18.(2016眉山中考)已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为A(0，－3)、B(3，－2)、C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC 向上平移6个单位长度得到的△A 1B 1C 1；(2)以点C 为位似中心，在网格中画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且△A 2B 2C 2与△ABC 的位似比为2∶1，并直接写出点A 2的坐标．解：(1)如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；(2)如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，A 2坐标(－2，－2)．19．(2015连云港中考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝3，D 为AC 延长线上一点，AC ＝3CD ，过点D 作DH∥AB，交BC 的延长线于点H.(1)求BD·cos ∠HBD 的值； (2)若∠CBD＝∠A，求AB 的长．解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD ＝∠ABC ＝90°，∠A ＝∠HDC，∴△ABC ∽△DHC ，∴AC CD ＝BCCH ＝3，∴CH ＝1，BH ＝BC＋CH ＝4，在Rt △BHD 中，cos ∠HBD ＝BHBD ，∴BD ·cos ∠HBD ＝BH ＝4；(2)∵∠CBD＝∠A，∠ABC ＝∠BHD，∴△ABC∽△BHD ，∴BC HD ＝AB BH ，∵△ABC ∽△DHC ，∴AB DH ＝AC CD ＝3，∴AB ＝3DH ，∴3DH ＝3DH4，解得DH ＝2，∴AB ＝3DH ＝3×2＝6，即AB 的长是6.20．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10 cm ，BC ＝20 cm ，两只小虫P 和Q 同时分别从A 、B 出发沿AB 、BC 向终点B 、C 方向前进．小虫P 每秒走1 cm ，小虫Q 每秒走2 cm .请问：它们同时出发多少秒时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与以A ，B ，C 为顶点的三角形相似？解：设它们同时出发了t s 时△PBQ 与△ABC 相似，BP ＝10－t ，BQ ＝2t.(1)∵∠B＝∠B，∴当BP BA ＝BQBC 时，△PBQ ∽△ABC ，∴10－t 10＝2t 20，t ＝5；(2)∵∠B＝∠B，∴当BP BC ＝BQ BA 时，△PBQ ∽△CBA ，∴10－t 20＝2t10，t ＝2.综上，它们同时出发了2 s 或5 s 时，△PBQ 与△ABC 相似．21．(2016眉山中考)如图，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC ＝42，点P 为线段BE 延长线上一点，连接CP 以CP 为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD 相交于点F.(1)求证：PC CD ＝CECB；(2)连接BD ，请你判断AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由； (3)设PE ＝x ，△PBD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．解：(1)∵△BCE 和△CDP 均为等腰直角三角形，∴∠ECB ＝∠PCD＝45°，∠CEB ＝∠CPD＝90°，∴△BCE ∽△DCP ，∴PC DC ＝EC CB ；(2)AC∥BD ，理由：∵∠PCE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°，∴∠PCE ＝∠BCD，又∵PC DC ＝ECCB，∴△PCE ∽△DCB ，∴∠CBD ＝∠CEP＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠CBD，∴AC ∥BD ；(3)如图所示，作PM⊥BD 于M ，∵AC ＝42，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，∴BE ＝CE ＝4，∵△PCE ∽△DCB ，∴EC CB ＝PE BD ，即442＝x BD ，∴BD ＝2x ，∵∠PBM ＝∠CBD －∠CBP＝45°，BP ＝BE ＋PE ＝4＋x ，∴PM ＝4＋x 2，∴△PBD 的面积S ＝12BD ·PM ＝12×2x ×4＋x 2＝12x 2＋2x.2019-2020年中考数学总复习 第八章 统计与概率 第一节 数据的收集、整理与描述试题1．(2016遵义一中一模)下列调查中，最适宜采用全面调查方式(普查)的是( C )A ．对重庆市中学生每天学习所用时间的调查B ．对全国中学生心理健康现状的调查C ．对某班学生进行6月5日是“世界环境日”知晓情况的调查D ．对重庆市初中学生课外阅读量的调查2．(2016遵义航中二模)电视剧《铁血将军》在我市拍摄，该剧展示了抗日民族英雄范筑先的光辉形象．某校为了了解学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况，从全校2 400名学生中随机抽取了100名学生进行调查．在这次调查中，样本是( C )A ．2 400名学生B ．100名学生C ．所抽取的100名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况D．每一名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况3．(2016遵义红花岗一模)小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：则通话时间不超过15 min的频率为( D)A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.94．(2016成都中考)第十二届全国人大四次会议审议通过的《中华人民共和国慈善法》将于今年9月1日正式实施，为了了解居民对慈善法的知晓情况，某街道办从辖区居民中随机选取了部分居民进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形图．若该辖区约有居民9 000人，则可以估计其中对慈善法“非常清楚”的居民约有__2__700__人．5．(2016呼和浩特中考)如图是某市电视台记者为了解市民获取新闻的主要途径，通过抽样调查绘制的一个条形统计图．若该市约有230万人，则可估计其中将报纸和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数大约为__151.8__万人．6．(2016遵义六中一模)以下是某手机店1～4月份的两个统计图，分析统计图，对3、4月份三星手机的销售情况，四个同学得出的以下四个结论，其中正确的是( B)A．4月份三星手机销售额为65万元B．4月份三星手机销售额比3月份有所上升C．4月份三星手机销售额比3月份有所下降D．3月份与4月份的三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额7．(2016遵义升学样卷)如图所示为某市2010－2014年全市生产总值及其增长速度的统计图，请根据图中已有信息，解答下列问题：(1)这5年中，哪一年至哪一年的生产总值增长速度持续下降？(2)按2013年到2014年的增长率稳定增长，请你预计2015年全市的生产总值是多少亿元．(结果精确到亿元)解：(1)2011～2013年；(2)设2013到2014年的增长率为x，则1 585(1＋x)＝1 874，x≈0.182，∴2015年全市生产总值为1 874×(1＋0.182)≈2 215(亿元)．8．(2016毕节中考)为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为x(分)，且50≤x<100，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：请根据表格提供的信息，解答以下问题： (1)本次决赛共有__50__名学生参加； (2)直接写出表中a ＝__16__，b ＝__0.28__； (3)请补全下面相应的频数分布直方图；略(4)若决定成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为__48%__．9．(2016汇川中考模拟五)为了解中考体育科目训练情况，某地从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次考前体育科目测试，把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：(1)请将两幅不完整的统计图补充完整；(2)如果该地参加中考的学生将有4 500名，请你根据测试情况估计不及格的人数有多少； (3)从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是D 级的概率是多少？ 解：(1)总人数为：12÷30%＝40(人)，A 级占：640×100%＝15%，D 级占：1－35%－30%－15%＝20%；C 级人数：40×35%＝14(人)，D 级人数：40×20%＝8(人)，补全统计图如图；(2)估计不及格的人数有：4 500×20%＝900(人)；(3)从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是D 级的概率是20%.。
2019秋人教版九年级数学习题课件：《图形的相似、相似三角形》自测 (共15张PPT)
9．在同一时刻，身高 1.6 m 的小强的影长是 1.2 m，旗杆的影 长是 15 m，则旗杆高为 20 m . 10．如图，D，E 分别是△ABC 的边 AC，AB 上的点，当
∠ADE＝∠B(答案不唯一时) ，△ADE∽△ABC，其中
D，E 分别对应 B，C.(填一个条件即可)
三、解答题(每题 15 分，共 30 分) 11．如图，AD·AC＝AB·AE，求证：△ADE∽△ABC.
(1)证明：∵EF⊥BE，∴∠FEB＝90°， ∴∠DEF＋∠AEB＝90°. ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°， ∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF.
(2)解：∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，∴DE＝4. ∵△ABE∽△DEF，∴DAEF＝DABE，∴DF＝136， ∴CF＝CD－DF＝6－136＝23.
3．若将一个正方形的各边长扩大为原来的 4 倍，则这个正方
形的面积扩大为原来的( A )
A．16 倍
B．8 倍
C．4 倍
D．2 倍
4．如图，以 A，B，C 为顶点的三角形与以 D，E，F 为顶点 的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( A )
A．2∶1 C．4∶3
B．3∶1 D．3∶2
5．如图所示的三个矩形中，是相似的是( B )
《图形的相似、相似三角形 》自测
(时间：30分钟，满分：100 分)
一、选择题(每题 7 分，共 42 分)
1．若ba＝32，则a＋b b的值等于( C )
1 A.2
B．52
C．35
D．45
2．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别为边 AB，AC 上的点， 且 DE∥BC，若 AD＝5，BD＝10，AE＝3，则 CE 的长为( B ) A．3 B．6 C．9 D．12
2019年中考数学《图形的相似》专题复习试卷(含答案)
2018-2019学年初三数学专题复习图形的相似一、单选题1.如图，在△ABC中E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为（）A. 4B. 6C. 16D. 182. 已知△ABC∽△A′B′C′且=，则S△ABC：S△A'B'C′为（）A. 1：2B. 2：1C. 1：4D. 4：13.如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD ，CD⊥BD ．且测得AB=1.4米，P=2.1米，PD=12米．那么该古城墙CD的高度是（）.A. 6米B. 8米C. 10米D. 12米4.若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最大边的比是（）A. 1:2 ；B. 1:4 ；C. 1:5 ；D. 1:16 ;5.如图，在△ABC中，若DE∥BC，，BC = 12 cm，则DE的长为（）A. 12cmB. 6 cmC. 4cmD. 3 cm6.下列各组图形中，两个图形形状不一定相同的是（）A. 两个等边三角形B. 有一个角是35°的两个等腰三角形C. 两个正方形D. 两个圆7.如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m ，CA=0.8m，则树的高度为（）A. 4.8mB. 6.4mC. 8mD. 10m8.如图，已知是坐标原点，与是以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为，如果内部一点的坐标为，则在中的对应点的坐标为（）A. (-x， -y)B. (-2x， -2y)C. (-2x， 2y)D. (2x， -2y)9.如果线段a、b、c、d满足ad=bc，则下列各式中不成立的是（）A. B. C. D.10.顶角为20°的等腰三角形放大2倍后所得的三角形是（）A. 其顶角为40°B. 其底角为80°C. 周长不变D. 面积为原来的2倍11.如果a＝3，b＝2，且b是a和c的比例中项，那么c＝（）A. B. C. D.12.如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（）A. B.C. D.13.如图，若果∠1=∠2，那么添加下列任何一个条件：（1）= ，（2）= ，（3）∠B=∠D，（4）∠C=∠AED，其中能判定△ABC∽△ADE的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 414.中午1点，身高为165cm的小雪的影长为55cm，同学小冰此时在同一地点的影长为60cm，那么小冰的身高为（）A. 180cmB. 175cmC. 170cmD. 160cm15.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若= ，则的值等于（）A. B. 3 C. D.16.如图，AD∥BC，AD⊥AB，点A，B在y轴上，CD与x轴交于点E（2，0），且AD=DE，BC=2CE，则BD 与x轴交点F的横坐标为（）A. B. C. D.17.下列说法中正确的是（）A. 两个直角三角形相似B. 两个等腰三角形相似C. 两个等边三角形相似D. 两个锐角三角形相似二、填空题18.为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为________米．19.如图，DC∥AB，OA=2OC，则△OCD与△OAB的位似比是________ ．20.已知，则=________．21.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC，且AB2=AP•PD，则图中有________ 对相似三角形．22.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于的中点，南门位于的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点在直线上）？请你计算的长为________步．三、解答题23.（1）计算：|﹣2|﹣+（﹣）﹣1；（2）如图，直线AD∥BE∥CF，=，DE=6，求EF的长．24.如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C 同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？25.如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标．26.如图所示，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知边x的长度和α的大小．四、作图题27.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．①画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；②以原点O为位似中心，在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2，并写出A2、B2、C2的坐标．五、综合题28.如图，△ABC中，AD、BE是高．（1）求证：；（2）连接DE，那么△CDE与△CAB是位似图形吗？29.已知在△ABC中，∠BAC=90°，过点C的直线EF∥AB，D是BC上一点，连接AD，过点D分别作GD⊥AD，HD⊥BC，交EF和AC于点G，H，连接AG．（1）当∠ACB=30°时，如图1所示．①求证：△GCD∽△AHD；②试判断AD与DG之间的数量关系，并说明理由；（2）当tan∠ACB= 时，如图2所示，请你直接写出AD与DG之间的数量关系．答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】B11.【答案】C12.【答案】D13.【答案】C14.【答案】A15.【答案】D16.【答案】A17.【答案】C二、填空题18.【答案】5.619.【答案】1：220.【答案】821.【答案】322.【答案】三、解答题23.【答案】解：（1）原式=2﹣3+（﹣2）=﹣3；（2）∵AD∥BE∥CF，=，DE=6∴==，即= ，∴DF=9，∴EF=DF﹣DE=9﹣6=3．24.【答案】解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t= ；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．25.【答案】解：过点B、B'分别作BD⊥x轴于D，B'E⊥x轴于E，∴∠BDC=∠B'EC=90°．∵△ABC的位似图形是△A'B'C，∴点B、C、B'在一条直线上，∴∠BCD=∠B'CE，∴△BCD∽△B'CE．∴，又∵，∴，又∵点B'的横坐标是2，点C的坐标是（﹣1，0），∴CE=3，∴．∴，∴点B的横坐标为-．26.【答案】解：由题意得：，∴x=18，∵∠C′=360°﹣（63°+129°+78°）=90°，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠C=∠C′=90°，即α=90°．四、作图题27.【答案】解：①如图，△A1B1C1为所求；②如图，△A2B2C2为所作，点A2、B2、C2的坐标分别为（﹣2，4），B（2，8），C（6，6）．五、综合题28.【答案】（1）证明：∵AD、BE是高，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BEC，∴；（2）解：如图，△CDE与△CAB不是位似图形．因为DE、AB的交点不为点A．29.【答案】（1）①证明：∵∠BAC=90°，EF∥AB，∴∠GCM=∠BAC=90°，∵GD⊥AD，∴∠ADM=90°，∴∠GCA=∠ADM，∵∠AND=∠GMC，∴DAH=∠∠CGD，∵∠ADH=∠CDG=90°﹣∠HDG∴△GCD∽△AHD；②解：由①知：△GCD∽△AHD，∴，在Rt△DHC中，∵∠ACB=30°，=tan30°= ，∴= ；（2）5AD=4DG，解：由①知△GCD∽△AHD，在Rt△DHC中，∵tan∠ACB= ，∴= ．。
河北省2019年中考数学总复习第5章第1节图形的相似与位似精讲试题
第五章 图形的相似与解直角三角形第一节 图形的相似与位似河北五年中考真题及模拟图形相似的判定及性质1．(2019河北中考)如图，△ABC 中，∠A＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C ),A) ,B) ,C) ,D)2．(2019河北中考)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.图①图②乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( A )A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对图形的位似3．(2019保定中考模拟)图中两个四边形是位似图形，它的位似中心是( D )A．点M B．点N C．点O D．点P4．(2019保定中考模拟)若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( A )A．87° B．60° C．75° D．120°5．(2019唐山中考模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的个数是( D )①∠B和∠A互为补角；②∠A和∠ADE互为余角；③△ABC∽△ADE；④如果AB＝2AD，则S△ADE∶S△ABC＝1∶4；⑤△ABC与△ADE位似．A．4 B．2 C．1 D．36．(2019沧州八中一模)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( A )A．5∶8 B．3∶8C．3∶5 D．2∶5(第6题图)(第7题图)7．(2019石家庄二十八中一模)如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝42，则△EFC的周长为( D )A．11 B．10 C．9 D．88．(2019保定中考模拟)在直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x 轴于D，使以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作( C ) A．2条 B．3条C ．4条D ．6条9．(2019邯郸一模)如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG ＝1，BF ＝2，∠GEF＝90°，则GF 的长为( D )A ．4B ．2C ．5D ．310．(2019保定十七中一模)下列四组图形中，一定相似的是( D ) A ．正方形与矩形 B ．正方形与菱形 C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形11．(2019石家庄二十八中一模)如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD ＝BC.(1)求证：AC ＝AD ＋CE ；(2)若AD ＝3，CE ＝5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ⊥DP，交直线BE 于点Q.若点P 与A ，B 两点不重合，求DPPQ的值．解：(1)∵∠A＝∠C＝90°，DB⊥BE，∴∠ADB ＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠EBC＝90°. ∴∠ADB＝∠EBC.又AD ＝BC ，∴△ADB≌△CBE(ASA)， ∴AB＝CE.∴AC＝BC ＋AB ＝AD ＋CE ； (2)过点Q 作QH⊥BC 于点H.则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE， ∴AD HP ＝AP HQ ，BH BC ＝QH EC. 设AP ＝x ，QH ＝y ，则有BH 3＝y5，∴BH＝3y 5，PH ＝3y5＋5－x ，∴33y 5＋5－x ＝x y ，即(x －5)·(3y－5x)＝0. 又点P 不与A ，B 重合， ∴x≠5，即x －5≠0. ∴3y－5x ＝0，即3y ＝5x. ∴DP PQ ＝x y ＝35.12．(2019河北中考)如图①，E 是线段BC 的中点，分别以B ，C 为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．(1)AE 和ED 的数量关系为________；AE 和ED 的位置关系为________；(2)在图①中，以点E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，H 是B C 所在直线上的一点，连接GH ，HD ，分别得到图②和图③.①在图②中，点F 在BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比是1∶2，H 是EC 的中点，求证：GH ＝HD ，GH⊥HD.②在图③中，点F 在BE 的延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是k∶1，若BC ＝2，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH ＝HD 且GH⊥HD.(用含k 的代数式表示)解：(1)AE ＝ED ；AE⊥ED；(2)①由题意，得∠B＝∠C＝90°， AB ＝BE ＝EC ＝DC.∵△EGF 与△EAB 的相似比为1∶2，∴∠GFE＝∠B＝90°，GF ＝12AB ，EF ＝12EB ，∴∠GFE＝∠C. ∵H 是EC 的中点，∴EH＝HC ＝12EC ，∴GF＝HC ，FH ＝FE ＋EH ＝12EB ＋12EC ＝12BC ＝EC ＝CD ，∴△HGF≌△DHC.∴GH＝HD ，∠GHF＝∠HDC. ∵∠HDC＋∠DHC＝90°， ∴∠GHF＋∠DHC＝90°.∴∠GHD＝90°，∴GH⊥HD； ②∵GH＝HD ，GH⊥HD， ∴∠FHG＋∠DHC＝90°.∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠DHC. 在△FGH 和△CHD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FGH＝∠CHD，∠GFH＝∠HCD，GH ＝HD ，∴△GFH≌△HCD.∴FG＝CH. ∵EF＝FG ，∴EF＝CH.∵△EGF 与△EAB 的相似比是k∶1，BC ＝2， ∴BE＝EC ＝1，∴EF＝k ，∴CH 的长为k.,中考考点清单)比例的相关概念及性质1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．2．比例中项：如果a b ＝b c，即b 2＝__ac__，我们就把b 叫做a ，c 的比例中项．3．比例的性质4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使AB ＝__BCAC__，那么点C叫做线段AC的__黄金分割点__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__．相似三角形的判定及性质5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．6．性质：(1)相似三角形的__对应角__相等；(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__．7．判定：(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似；(3)三边__对应成比例__，两三角形相似；(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似．【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．如：ABBC＝DEEF，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．相似多边形8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．9．性质：(1)相似多边形的对应边__成比例__；(2)相似多边形的对应角__相等__；(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．位似图形10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．11．性质：(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k或－k__；(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．13．画位似图形的步骤：(1)确定__位似中心__；(2)确定原图形的关键点；(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数；(4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．,中考重难点突破)比例的性质 【例1】已知a 5＝b 4＝c3，且3a －2b ＋c ＝20，则2a －4b ＋c 的值为________．【解析】比例的性质中常见题型，把a ，b ，c 用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可．【答案】－61．(2019沧州十三中一模)若x∶y＝1∶3，2y ＝3z ，则2x ＋yz －y的值是( A )A ．－5B ．－103 C.103D ．5相似三角形的判定与性质【例2】(茂名中考)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒3 cm 的速度向点A 运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒2 cm 的速度向点B 运动，运动时间为t s ⎝⎛⎭⎪⎫0<t<103，连接MN. (1)如图①，若△BMN 与△ABC 相似，求t 的值； (2)如图②，连接AN ，CM ，若AN⊥CM，求t 的值．【解析】(1)△BMN 与△ABC 相似，分两种情况：△BMN∽△BAC 和△BMN∽△BCA，得对应线段成比例，求得t 的值；(2)过点M 作MD⊥BC 于点D ，把BM ，DM ，BD ，CN 用t 表示后，CD 就可用t 表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t 的方程，求出t 的值．【答案】解：(1)由题意知BA ＝62＋82＝10(cm)，BM ＝3t cm ，CN ＝2t cm ， ∴BN＝(8－2t)cm.①当△BMN∽△BAC 时，有BM BA ＝BNBC，∴3t 10＝8－2t 8，解得t ＝2011； ②当△BMN∽△BCA 时，有BM BC ＝BNBA，∴3t 8＝8－2t 10，解得t ＝3223. ∴当△B MN 与△ABC 相似时，t 的值为2011或3223；(2)如图②，过点M 作MD⊥CB 于点D. 由题意得BM ＝3t cm ，CN ＝2t cm ，DM ＝BM·s inB ＝3t·610＝95t(cm)，BD ＝BM·cosB＝3t·810＝125t(cm)，∴CD＝⎝⎛⎭⎪⎫8－125t cm.∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°， ∴∠CAN＝∠MCD.∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，∴△CAN∽△DCM.∴AC CD ＝CN DM， ∴68－125t ＝2t 95t，解得t ＝1312.2．如图，不等长的两对角线AC ，BD 相交于点O ，且将四边形ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA ∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是( B )A ．甲、丙相似，乙、丁相似B ．甲、丙相似，乙、丁不相似C ．甲、丙不相似，乙、丁相似D ．甲、丙不相似，乙、丁不相似3．(自贡中考)如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边的中点，求证：DE 綊12BC.证明：∵D 是AB 的中点，E 是AC 的中点， ∴AD AB ＝12，AE AC ＝12， ∴AD AB ＝AE AC. 又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC ＝12，∠ADE＝∠B， ∴BC＝2DE ，BC∥DE，即DE 綊12BC.位似图形【例3】(2019承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B′的坐标是( D )A ．(－2，3)B ．(2，－3)C ．(3，－2)或(－2，3)D ．(－2，3)或(2，－3)【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′. 【答案】D4．(2019沧州八中二模)如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO ＝CD.若B(1，0)，则点C 的坐标为( B )A．(1，2) B．(1，1) C．(2，2)D．(2，1)2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在－2，3.14，，5π，这6个数中，无理数共有( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则四边形AB 1OD 的面积是（ ）A ．34B ．12C 1D ．13．如图，在△ABC 中，点D 为AB 上一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，过点E 作AB 的平行线交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点K ，则下列说法正确的是( )A ．DE ADBC EF = B ．FK BFKE FC = C ．DE AEFC EC= D ．BD BFAD FC= 4．如图，某工厂加工一批无底帐篷，设计者给出了帐篷的三视图（图中尺寸单位：m ）．根据三视图可以得出每顶帐篷的表面积为（ ）A.6πm 2B.9πm 2C.12πm 2D.18πm 25．下列运算正确的是（ ） A.a 2×a 3＝a 6B.a 2+a 2＝2a 4C.a 8÷a 4＝a 4D.（a 2）3＝a 56．将一副三角板按如图所示摆放，DE ∥BC ，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 上，则∠AGF 的度数为（ ）A ．60B ．70C ．75D ．807．如图，在正六边形ABCDEF 中，若△ACD 的面积为12cm 2，则该正六边形的面积为（ ）A ．24cm 2B ．36cm 2C ．48cm 2D ．72cm 28．找出以如图形变化的规律，则第2019个图形中黑色正方形的数量是( )A ．2019B ．3027C ．3028D ．30299．在数轴上点M 表示的数为2-，与点M 距离等于3个单位长度的点表示的数为( ) A.1B.5-C.5-或1D.1-或510．下列各数中，最小的实数是（ ）A.﹣5B.3C.011．如图，AB 是半圆O 的直径，且AB=12，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π12．如果关于x 的不等式﹣3x+2a≥0的解能中仅含有两个正整数解，且关于x 的分式方程212x ax -=-有非负数解，则整数a 的值( ) A ．2或3或4 B ．3C ．3或4D ．2或3二、填空题13．如图，直线a ∥b ，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB 的度数是______．14．放学后，小明骑车回家，他经过的路程s （千米）与所用时间t （分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是_________________________千米/分钟．15．如图，四边形ABCD 中，已知AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°，若四边形ABCD 的面积为4，则AC ＝_____．16．若2236x ax ++是完全平方式，则a =_________.17．已知关于x 的二次函数y=ax 2+2ax+a-3在-2≤x≤2时的函数值始终是负的,则常数a 的取值范围是____.18．下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为_____个．三、解答题19．先化简，再求值：21()111x x x x -÷---，其中x+1． 20．(1)计算：(4cos301+-(2) 解不等式组：()21571023x x x x ⎧+>-⎪⎨+>⎪⎩21．五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征，某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆AB 高度的活动．如图，他们在地面D 处竖直放置标杆CD ，并在地面上水平放置一个平面镜E 使得B ，E ，D 在同一水平线上．该小组在标杆的F 处通过平面镜E 恰好观测到旗杆顶A （此时∠AEB ＝∠FED ）．在F 处分别测得旗杆顶点A 的仰角为40°、平面镜E 的俯角为45°，FD ＝1.5米，问旗杆AB 的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan85°≈11.4）22．2018年4月，无锡外卖市场竞争激烈，美团、滴滴、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，每月工资：底薪1000元，另加外卖送单补贴(送一次外卖称为一单)，具体方案如下：(1)若某“外卖小哥”4月份送餐600单，求他这个月的工资总额；(2)设这个月“外卖小哥”送餐x 单，所得工资为y 元，求y 与x 的函数关系式； (3)若“外卖小哥”本月送餐800单，所得工资6400≤y≤6500，求m 的取值范围． 23．如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点．（1）请用尺规作图法作出边AC 的中点E ，并连接DE （保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）条件下，若S △ADE =2，求△ABC 的面积．24．如图，在平面直角坐标系xOy 第一象限中有正方形OABC ，(40)A ，，点(0)P m ，是x 轴上一动点(04)m ＜＜，将ABP △沿直线BP 翻折后，点A 落在点E 处。
2019年中考数学专题《图形的相似》复习试卷含答案解析
2019年中考数学专题复习卷: 图形的相似一、选择题1.已知，下列变形错误的是（）A. B.C.D.【答案】B【解析】由得，3a=2b，A. 由得，所以变形正确，故不符合题意；B. 由得3a=2b，所以变形错误，故符合题意；C. 由可得，所以变形正确，故不符合题意；D.3a=2b变形正确，故不符合题意.故答案为：B.【分析】根据已知比例式可得出3a=2b，再根据比例的基本性质对各选项逐一判断即可。
2.如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A,B,C，直线n分别交直线a、b、c于点D,E,F,若, ,则的值应该（）A. 等于B. 大于C. 小于D. 不能确定【答案】B【解析】：如图，过点A作AN∥DF，交BE于点M，交CF于点N∵a∥b∥c∴AD=ME=NF=4（平行线中的平行线段相等）∵AC=AB+BC=2+4=6∴设MB=x，CN=3x∴BE=x+4，CF=3x+4∵∵x＞0∴故答案为：B【分析】过点A作AN∥DF，交BE于点M，交CF于点N，根据已知及平行线中的平行线段相等，可得出AD=ME=NF=4，再根据平行线分线段成比例得出BM和CN的关系，设MB=x，CN=3x，分别表示出BE、CF，再求出它们的比，利用求差法比较大小，即可求解。
3.在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A. （5，1）B. （4，3） C. （3，4） D. （1，5）【答案】C【解析】：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，又∵A（6，8），∴端点C的坐标为（3，4）．故答案为：C．【分析】根据位似图形的性质，位似图形上一个点的坐标等于原图形上对应点的横纵坐标分别乘以位似比，或位似比的相反数。
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BC＝ 5 m，迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3( 坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度
A． 5 3 m B． 10 m
C． 15 m
D．10 3 m
9． ( 2018· 哈尔滨中考 ) 如图，在△ ABC中，点 D 在 BC边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上， GE∥ BD，且交 AB
于点 E， GF∥ AC，且交 CD于点 F，则下列结论一定正确的是 ( D )
AM AT
∴△
DNT∽△
AMT，∴
DN＝
. DT
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∵ AT＝ 4AD，∴ DT＝ 3，∴ DN＝ 3.
AM AM 1 在 Rt△ ABM中， tan ∠ ABM＝ BM＝ DN＝ 3.
18． (10 分 )( 2018· 滨州中考 ) 如图， AB 为⊙Ｏ 的直径，点 C 在⊙Ｏ 上， AD⊥CD 于点 D，且 AC平分∠ DAB.求 证：
AB AG A. AE＝ AD
DF DG B. CF＝ AD
FG EG C. AC＝ BD
AE CF D. BE＝DF
( 第 9 题图 ))
( 第 11 题图 ))
10． ( 2018·绥化中考 ) 两个相似三角形的最短边分别为 5 cm和 3 cm，它们的周长之差为 12 cm，那么大三角
形的周长为 ( D )
※精品试卷※
阶段测评 ( 五) 图形的相似与解直角三角形
( 时间： 60 分钟 总分： 100 分 ) 一、选择题 ( 本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)
2x ＋ y 1．若 x∶y＝1∶3， 2y＝ 3z，则 z－ y 的值是 ( A )
A．－ 5
10 B．－ 3
10 C. 3
D． 5
长为 ( B )
A． 2
B． 4
C．6
D． 8
( 第 3 题图 ))
( 第 4 题图 ))
4． ( 2018 ·金华中考 ) 如图，两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE上，量得∠ ABC＝ α ，∠ ADC＝ β ，则竹竿 AB 与 AD的长度之比为 ( B )
tan α
A. tan
β
sin β
14．如图，∠ 1＝∠ 2，请补充一个条件： __如∠ C＝∠ E，∠ B＝∠ ADE等 __，使△ ABC∽△ ADE.
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( 第 14 题图 ))
( 第 15 题图 ))
※精品试卷※
15． ( 2018· 包头中考 ) 如图，在 ?ABCD中， AC是一条对角线， EF∥ BC，且 EF 与 AB相交于点 E，与 AC相交于 5
CD ∵ tan 45 °＝ AD， CD＝ 40， ∴ AD＝CD＝ 40， ∴ AB＝AD＋ BD＝40＋ 40 3≈109.2 ， ∴ AC＋BC－AB≈136.4 － 109.2 ＝ 27.2. 答：开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走 27.2 km.
※精品试卷※
20． (12 分 )( 2018· 嘉兴中考 ) 如图 1，滑动调节式遮阳伞的立柱 AC 垂直于地面 AB，P 为立柱上的滑动调节 点，伞体的截面示意图为△ PDE， F 为 PD的中点， AC＝ 2.8 m， PD＝2 m， CF＝1 m，∠ DPE＝ 20°. 当点 P 位于初始 位置 P0 时，点 D 与 C 重合 ( 图 2) ．根据生活经验，当太阳光线与 PE垂直时，遮阳效果最佳．
解：过点 C作 CH⊥AB 于点 H. 在 Rt△ BCH中， BC＝ 12，∠ B＝ 30°，
1 ∴ CH＝ 2BC＝ 6， BH＝
BC2－ CH2＝ 6
3.
3 CH 在 Rt△ ACH中， tan A ＝4＝ AH，∴ AH＝ 8. ∴ AC＝ AH2＋ CH2＝ 10， AB＝ AH＋BH＝ 8＋6 3.
B. sin
α
sin α
C. sin
β
cos β
D. cos
α
5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点 E 在 BC 上，并且点 A， E， D 在同一条直线上．若测得
A，在近岸取点 B， C， D，使得 AB⊥BC， CD⊥ BC，点 BE＝ 20 m， CE＝ 10 m， CD＝ 20 m，则河的宽度 AB 等于
(1 ) 上午 10： 00 时，太阳光线与地面的夹角为 65° ( 图 3) ，为使遮阳效果最佳，点 P 需从 P0 上调多少距离？ ( 结果精确到 0.1 m)
(2) 中午 12： 00 时，太阳光线与地面垂直 ( 图 4) ，为使遮阳效果最佳，点 P 在(1) 的基础上还需上调多少距 离？ ( 结果精确到 0.1 m)
17． (10 分 )( 2018· 株洲中考 ) 如图， Rt△ ABM和 Rt△ ADN的斜边分别为正方形的边 AB和 AD，其中 AM＝ AN.
(1) 求证： Rt△ ABM≌ Rt△AND；
1 (2) 线段 MN与线段 AD相交于 T，若 AT＝ 4AD，求 tan ∠ A BM的值．
解： (1) ∵AD＝ AB， AM＝ AN，∠ AMB＝∠ AND＝ 90°， ∴ Rt△ ABM≌ Rt△AND(HL) ； (2) ∵ Rt△ ABM≌Rt△ AND， ∴∠ DAN＝∠ BAM， DN＝ BM. ∵∠ BAM＋∠ DAM＝ 90°， ∠ DAN＋∠ ADN＝ 90°， ∴∠ DAM＝∠ ADN，∴ ND∥AM，
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(1) 开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米？ (2) 开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米？ ( 结果精确到 0.1 km)( 参考数据： 2≈ 1.41 ， 3≈1.73) 解： (1) 过点 C作 AB的垂线 CD，垂足为 D.
∵ AB⊥CD， BC＝80， ∠ A＝ 45°，∠ B＝ 30°，
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( 参考数据： sin 70 °≈ 0.94 ， cos 70 °≈ 0.34 ， tan 70 °≈ 2.75 ， 2≈1.41 ， 3≈1.73)
※精品试卷※
解： (1) 图②中，当 P 位于初始位置时， CP0＝2. 如图①，上午 10： 00 时，太阳光线与地面的夹角为 65°，上调的距离为 P0P1. ∵∠ P1EB＝ 90°，∠ CAB＝ 90°，∠ ABE＝ 65°， ∴∠ AP1E＝ 115°，∴∠ CP1E＝ 65° . ∵∠ DP1E＝ 20°，∴∠ CP1F＝45° . ∵ CF＝P1F＝ 1，∴∠ C＝∠ CP1F＝ 45°， ∴△ CP1F 是等腰直角三角形， ∴ CP1＝ 2， ∴ P0P1＝ CP0－ CP1＝ 2－ 2≈0.6. 答：为使遮阳效果最佳，点 P 需从 P0 上调 0.6 m；
( B) A． 60 m
B． 40 m
C． 30 m
D． 20 m
( 第 5 题图 ))
( 第 6 题图 ))
6．如图，点 D， E， F 分别是△ ABC(AB＞ AC)各边的中点，下列说法错误的是 A． AD平分∠ BAC B．△ AEF∽△ ABC C． EF 与 AD互相平分 D．△ DFE是△ ABC的位似图形
(2) 连接 BC. ∵ AB为⊙Ｏ 的直径， ∴ AB＝ 2AO，∠ ACB＝ 90° . ∵ AD⊥DC， ∴∠ ADC＝∠ ACB＝ 90° . 又∵∠ DAC＝∠ CAB，∴△ DAC∽△ CAB，
AC AD ∴ AB＝ AC，即
AC2＝AB·AD.
∵ AB＝2AO，∴ AC2＝2AD·AO.
19． (10 分 )( 2018· 长沙中考 ) 为加快 城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对
A， B 两地间的公路进行改
建．如图， A， B 两地之间有一座山．汽车原来从 A 地到 B 地需途径 C地沿折线 ACB行驶，现开通隧道后，汽车可
直接沿直线 AB 行驶．已知 BC＝ 80 km，∠ A＝ 45°，∠ B＝30° .
( A)
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※精品试卷※
BD 7． ( 2018· 随州中考 ) 如图，平行于 BC的直线 DE把△ ABC分成面积相等的两部分，则 AD的值为 ( C )
A． 1
2 B. 2
C. 2－1
D. 2＋ 1
( 第 7 题图 ))
( 第 8 题图 ))
8．河堤横断面如图所示，堤高 AC之比 ) ，则 AC的长是 ( A )
12． ( 2018· 北京中考 ) 如图，在矩形 ABCD中， E 是边 AB的中点，连接 DE交对角线 AC于点 F，若 AB＝ 4， AD
10 ＝ 3，则 CF的长为 __ 3 __.
( 第 12 题图 ))
( 第 13 题图 ))
13． ( 2018· 北京中考 ) 如图所示的网格是正方形网格，∠ BAC__＞ __∠DAE(选填“＞”“＝”或“＜” ) ．
A． 14 cm
B． 16 cm
C． 18 cm
D． 30 cm
二、填空题 ( 本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
11．如图，在 Rt△ABC中，∠ C＝ 90°，∠ B＝37°， BC＝32，则 AC＝ __24__．
( 参考数据： sin 37 °≈ 0.60 ， cos 37 °≈ 0.80 ， tan 37 °≈ 0.75)
(2) 如图②，中午 12： 00 时，太阳光线与 PE，地面都垂直，点 P 上调到 P2 处， ∴ P2E∥ AB， ∴∠ CP2E＝∠ CAB＝ 90° . ∵∠ DP2E＝ 20°，∴∠ CP2F＝70 ° . 过点 F 作 FG⊥CP2 于点 G. 由 CF＝ P2F＝ 1，得 CP2＝ 2GP2＝2×1× cos 70 °≈ 0.68 ， ∴ P1P2＝ CP1－ CP2＝ 2－0.68 ≈0.7. 答：点 P 在(1) 的基础上还需上调 0.7 m.