高中数学 第一章 集合与函数概念 1_2-1_2.1 函数的概念练习 新人教版必修1
人教新课标高中数学教材章节目录
必修1→4→5→2→3普通高中课程标准实验教科书数学必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用普通高中课程标准实验教科书数学必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系普通高中课程标准实验教科书数学必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型阅读与思考概率与密码普通高中课程标准实验教科书数学必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换普通高中课程标准实验教科书数学必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3 实习作业第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4 基本不等式普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分普通高中课程标准实验教科书数学选修1-2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4．1 流程图4．2结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图选修2 系列2由3个模块组成选修2-1常用逻辑用语圆锥曲线空间中的向量与立体几何选修2-2导数及其应用推理与证明数系的扩充与复数的引入选修2-3计数原理统计案例概率选修3 系列3由6个模块组成选修3-1 数学史选讲选修3-2 信息安全与密码选修3-3球面上的几何选修3-4对称与群选修3-5欧拉公式与闭曲面分类选修3-6三等分角与数域扩充选修4 系列4由10专题组成选修4-1几何证明选讲选修4-2矩阵与变换选修4-3数列与差分选修4-4坐标系与参数方程选修4-5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法第一节不等式的基本性质和一元二次不等式的解法第二节基本不等式第三节绝对值不等式的解法第四节绝对值的三角不等式第五节不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用第一节柯西不等式第二节排序不等式第三节平均值不等式（选学）第四节最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式第一节数学归纳法原理第二节用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式选修4-6初等数论初步选修4-7优选法与试验设计初步选修4-8统筹法与图论初步选修4-9风险与决策选修4-10开关电路与布尔代数。
高中数学第一章集合与函数概念121函数的概念课件新人教A版必修1
A．11
B．12
C．13
D．10
【答案】C
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1 和 y＝xx2＋－11
B．y＝x0 和 y＝1
C．f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝
xx2和 g(x)＝
x x2
【答案】D
【答案】B 【解析】根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不 正确.
2.函数 f(x)＝ xx－－21的定义域为(
)
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1，＋∞)
【答案】A 【解析】由题意可知，要使函数有意义，需满足xx－－21≠≥00，，
即 x≥1 且 x≠2.
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( )
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
2.(1)y＝x＋x＋120； (2)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x. 【解析】(1)由于 00 无意义，故 x＋1≠0，即 x≠－1. 又 x＋2>0，x>－2，所以 x>－2 且 x≠－1. 所以函数 y＝x＋x＋120的定义域为{x|x>－2 且 x≠－1}.
求函数的定义域
【例 2】求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝x＋1 1； (3)y＝ x－1＋ 1－x；(4)y＝xx2＋－11. 【解题探究】求函数的定义域，即是求使函数有意义的那 些自变量 x 的取值集合.
【解析】(1)函数 y＝2x＋3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义，即分式有意义，则 x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}. (3)要使函数有意义，则1x－－1x≥≥00，， 即xx≥≤11，， 所以 x＝1， 从而函数的定义域为{x|x＝1}. (4)因为当 x2－1≠0，即 x≠±1 时，xx2＋－11有意义，所以原函 数的定义域是{x|x≠±1}.
高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.2集合间的基本关系练习新人教A版必修1
高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.2集合间的基本关系练习新人教A版必修1课时过关·能力提升基础巩固1.已知集合P={1},Q={0,1,4},下列式子不正确的是()A.P⫋QB.P⊆QC.1∈PD.1⊆Q解析:∵P={1},Q={0,1,4},∴P⊆Q,P⫋Q,1∈P均正确.答案:D2.如果集合A={x|x>-1},那么()A.0⊆AB.{0}∈AC.⌀∈AD.{0}⊆A解析:“∈”表示元素与集合的关系,“⊆”表示集合与集合的关系,从而可知D正确.答案:D3.集合A={0,1,2}的子集的个数是()A.16B.8C.7D.4解析:由于A中含有3个元素,则它有23=8个子集.答案:B4.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a等于()A.1B.-1C.2D.-2答案:C5.已知集合A=,B=,则()A.A⊇BB.A⫌BC.A=BD.A⫋B解析:x=∈B,但∈B,∉A,故A⫋B.答案:D6.若集合A={-1,0},B={0,1,x+2},集合A,B的关系如图所示,则实数x的值为.解析:由题图知A⫋B,故-1=x+2,解得x=-3.答案:-37.已知集合A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合A有个.解析:∵A⫋{1,2,3},∴A中至多含有2个元素.又A中至少有一个奇数,∴A可能为{1},{1,2},{1,3},{3},{2,3},共5个.答案:58.已知集合A={2,-1},B={m2-m,-1},且A=B,记由实数m的值构成的集合为C,则集合C的真子集个数为.解析:∵A=B,∴m2-m=2,解得m=-1或m=2.∴C={-1,2},∴集合C的真子集为⌀,{-1},{2},共3个.答案:39.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a}.(1)若A是B的真子集,求a的取值范围;(2)若B是A的子集,求a的取值范围;(3)若A=B,求a的取值范围.解:(1)若A是B的真子集,即A⫋B,则a>2.(2)若B是A的子集,即B⊆A,则a≤2.(3)若A=B,则必有a=2.10.如图所示的Venn图中表示的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系,问集合A,B,C,D,E分别是哪种图形的集合?解:观察Venn图,得B,C,D,E均是A的子集,且有E⊆D,D⊆C.梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故A={四边形};梯形不是平行四边形,而菱形、正方形是平行四边形,故B={梯形},C={平行四边形};又正方形是菱形,故D={菱形},E={正方形}.能力提升1.已知集合A⊆{1,2,3},且A中至少有两个元素,则满足条件的集合A共有()A.3个B.4个C.5个D.8个解析:满足条件的集合A有{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共4个.答案:B2.已知集合A={x|x≤-1,或x≥1},B={x|a<x<a+1},且B⊆A,则实数a的取值范围是()A.a≤-2B.a≥1C.-2≤a≤1D.a≤-2或a≥1解析:由题意知,B≠⌀.作出如图所示的数轴,由B⊆A可得a+1≤-1或a≥1,即实数a的取值范围是a≤-2或a≥1.答案:D3.已知集合A=,B={a2,a+b,0},若A=B,则a2 016+b2 017的值为()A.0B.2C.1D.-1解析:由题意知a≠0,否则无意义,故=0,b=0.此时集合A={a,0,1},B={a2,a,0}.由A=B,得a2=1,则a=±1(舍去正值).∴a2016+b2017=1.答案:C★4.已知集合M=,N=,则集合M,N的关系是() A.M=N B.M⫋NC.N⊆MD.N⫋M解析:明确集合M,N中的元素,依据有关概念来判断.(方法1)用列举法分别表示集合M,N.集合M=,集合N=,-,-,则有M⫋N.(方法2)设n=2m或2m+1,m∈Z,则有N==,故M⫋N.答案:B5.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是()解析:∵N={x|x2+x=0},∴N={-1,0}.又M={-1,0,1},∴N⫋M.故选B.答案:B6.已知集合A={x|x2-2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的值是.解析:因为集合A有且仅有2个子集,所以A仅含有一个元素,即关于x的方程x2-2x+a=0有两个相等的实数根.所以Δ=4-4a=0,解得a=1.答案:17.若集合A={x∈R|x2-5x+m=0},B={x∈R|x-3=0},且B⊆A,则实数m=,集合A=.解析:易得B={3}.∵B⊆A,∴3∈A,即9-15+m=0.∴m=6.解方程x2-5x+6=0,得x1=2,x2=3,∴A={2,3}.答案:6{2,3}★8.已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},是否存在集合C,使C中每一个元素都加上2变成A 的一个子集,且C中每个元素都减去2就变成了B的一个子集?若存在,求出集合C;若不存在,请说明理由.解:假设存在满足条件的集合C.A中元素都减去2,得集合E={0,2,4,6,7}.B中元素都加上2,得集合F={3,4,5,7,10}.则集合C中的元素均在E,F中,因此满足条件的C为{4}或{7}或{4,7}.。
高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 第一课时 函数的概念 新人教A
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.………………9 分
(4)y= x 12 - 1 x .
x 1
规范解答:(4)要 使函数有意义,
自变量
x
的取值必须 满足
x 1 1 x
0, 0,
………………10
分
解得 x≤1 且 x≠-1,……………………………… 11 分
即函数定义域为{x|x≤1 且 x≠-1}.………………12 分
③M={三角形},N={x|x>0},对应关系f:“对M中的三角形求面积与N中元素对
应.”
是集合M到集合N上的函数的有( A )
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)0个
2.(函数判断)下列表示的是y关于x的函数的是( A) (A)y=x2 (B)y2=x
(C)|y|=x (D)|y|=|x|
3.(定义域)函数y=
方法技巧 判断某一对应关系是否为函数的步骤: (1)A,B为非空数集. (2)A中任一元素在B中有元素与之对应. (3)B中与A中元素对应的元素唯一. (4)满足上述三条,则对应关系是函数关系.
即时训练1-1:已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系:
①y=x2,②y=x+1,③y=x-1,④y=|x|,其中能构成从M到N的函数是( )
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 第一课时 函数的概念
课标要求:1.通过实例理解函数的概念,能用集合语言描述具体的函数.2.体 会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.会求一些简单函数的定义域.
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】 导入一 初中是用运动变化的观点对函数进行定义的,虽然这种定义较为直 观,但并未完全揭示出函数概念的本质.对于y=1(x∈R)是不是函数,如果用运 动变化的观点去看它,就不好解释,显得牵强.但如果用集合与对应的观点来 解释,就十分自然.因此,用集合与对应的思想来理解函数,对函数概念的再认 识,就很有必要.
人教版高中数学A版必修1课后习题及答案(全)
高中数学必修1课后习题答案第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}； （3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．解：{|}AB x x =是等腰直角三角形， {|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形． 4．解：显然{2,4,6}U B =，{1,3,6,7}U A =， 则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数； （3）Q π∉π是个无理数，不是有理数； （42R 2是实数； （59Z 93=是个整数； （6）25)N ∈ 2(5)5=是个自然数．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-； （2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形． 等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =， 而{1,2,3,4,5,6}BC =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}BC x x =是正方形， 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形， {|}S A x x =是梯形．10．解：{|210}AB x x =<<，{|37}A B x x =≤<， {|3,7}R A x x x =<≥或，{|2,10}R B x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或， (){|3,7}R A B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合， 即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},AB A B ==∅； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =， 得U B A ⊆，即()U U A B B =，而(){1,3,5,7}U A B =， 得{1,3,5,7}U B =，而()U U B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-； （2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页） 1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示． 3．解：4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32； 因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页） 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠， 得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x =+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得0)l d ===>，即(0)l d =>．9．解：依题意，有2()2dx vt π=，即24v x t dπ=， 显然0x h ≤≤，即240v t h dπ≤≤，得204h d t v π≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，得2221235x xt +-=+，(012)x ≤≤， 即241235x xt +-=+，(012)x ≤≤． （2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-， 所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-， 因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ． 3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的 垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =； 当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1． 5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y AB x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭； 则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞； （2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3．解：由(){1,3}UA B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x 31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-.练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623b a ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m •••=4165413121mm m m m ••=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rt s -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y 21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=-2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =； （2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z =-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-. 4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x= (5) 100.3x = (6) 3xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg 6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=- 5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)b x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4. 8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >.9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s. 10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43xx-==，于是11044333x x -+=+= 2. ①当1a >时，3log 14a<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB .4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()log (1)log (1)()()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+ ∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3xy =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79） 1.函数y =21x是幂函数.2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x ≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4； （2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =43400＝81400,即v =81400r 4；（3）把r =5代入v =81400r 4,得v =81400×54≈3 086（cm 3/s ）, 即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .第二章 复习参考题A 组（P82）1.（1）11； （2）87； （3）10001； （4）259. 2.（1）原式=))(()()(212121212212122121b a b a b a b a -+++-=b a b b a a b b a a -++++-2121212122=ba b a -+)(2;（2）原式=))(()(1121----+-a a a a a a =aa a a 11+-=1122+-a a .3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =32lg 210lg2•=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=ba a +-21. （2）因为2log 3a =，3log 7b =37147log 27log 56log 27⨯=⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b ab a ÷++÷111)1(3=13++ab ab . 4.（1）（-∞,21）∪（21,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（32,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76. （2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8.7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）.（2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y . 又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.8.证明:因为f （x ）=lgxx+-11,a 、b ∈（-1,1）, 所以f （a ）+f （b ）=lgbb a a +-++-11lg11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--, f （ab b a ++1）=lg （abb a ab ba +++++-1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--. 所以f （a ）+f （b ）=f （abba ++1）. 9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以022192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≈==.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,即所求函数解析式为y =192×0.93x . （2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,22）, 所以22=2α,即221-=2α.所以α=21-.所以f （x ）=x 21-（x >0）.图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B 组1.A2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以a 1+b 1=10log 12+10log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1. 3.（1）f （x ）=a 122+-x 在x ∈（-∞,+∞）上是增函数. 证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -1221+x =)12)(12()22(21221++-x x x x .因为x 1,x 2∈（-∞,+∞）,所以.012.01212>+>+x x 又因为x 1<x 2, 所以2122x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.所以函数f （x ）=a 122+-x 在（-∞,+∞）上是增函数. （2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,即a 121+--x +a 122+-x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +121+x=1, 即存在实数a =1使f （x ）=121+--x 为奇函数.4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］=)22)(22(xx x x x x x x e e e e e e e e -----++++ =e x ·e -x =e x -x =e 0=1, 即原式得证.（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2x x e e -+=222xx e e --.所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以g （2x ）=222x x e e -+,［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2x x ee -+）2+（2xx e e --）2=4222222x x x x e e e e --+-+++=222xx e e -+.所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃. 6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,解得k =51-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51(.所以,当t =10时,P=P 0e 9.01051n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.答:10小时后还剩81%的污染物. (2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0et )9.0ln 51(,解得t =9.0ln 515.0ln ≈33.答:污染减少50%需要花大约33h . (3)其图象大致如下:图2-3新课程标准数学必修1第三章课后习题解答第三章 函数的应用 3．1函数与方程 练习（P88）1.(1)令f (x )=-x 2+3x +5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(1))，它与x 轴有两个交点，所以方程-x 2+3x +5=0有两个不相等的实数根.(2)2x (x -2)=-3可化为2x 2-4x +3=0，令f (x )=2x 2-4x +3,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(2))，它与x 轴没有交点，所以方程2x (x -2)=-3无实数根. (3)x 2=4x -4可化为x 2-4x +4=0,令f (x )=x 2-4x +4,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(3))， 它与x 轴只有一个交点(相切)，所以方程x 2=4x -4有两个相等的实数根. (4)5x 2+2x =3x 2+5可化为2x 2+2x -5=0,令f (x )=2x 2+2x -5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(4))， 它与x 轴有两个交点，所以方程5x 2+2x =3x 2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点. (3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8练习（P91）1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.习题3.1 A组（P92）1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.937 5.4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.。
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法(2)课后训练1新人教A版必修1
1.2.2 函数的表示法课后训练1．已知映射f：P→Q是P到Q的函数，则P，Q的元素 ( )．A．可以是点 B．必须是实数C．可以是方程 D．可以是三角形2．设函数f(x)＝221,1,2,1,x xx x x⎧-≤⎪⎨+->⎪⎩则f1(2)f⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值为( )．A.1516B．－2716C.89D．183．给出下列四个对应，其中是映射的是( )．4．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是( )．5．客车从甲地以60 km/h的速度匀速行驶1 h到达乙地，在乙地停留了0.5 h，然后以80 km/h的速度匀速行驶1 h到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s(km)与时间t(h)之间关系的图象中，正确的`是( )．6．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程x (千米)之间的函数关系式是________．7．(2010·全国卷Ⅰ)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．8．判断下列从A 到B 的对应是否是映射．(1)A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8；(2)A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1，n 为偶数时，f (n )＝1；(3)A ＝B ＝{1,2,3}，f (x )＝2x －1；(4)A ＝B ＝{x |x ≥－1}，f (x )＝2x ＋1.9．已知函数f (x )＝1＋2x x (－2＜x ≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出函数的图象；(3)写出函数的值域．参考答案1. 答案：B 当且仅当P ，Q 均是非空数集时，映射f ：P →Q 才是P 到Q 的函数．2. 答案：A ∵f (2)＝22＋2－2＝4， ∴2111151(2)4416f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 3. 答案：A 选项A 符合映射的定义，是映射；选项B ，集合M 中的元素2和4在N 中无与之对应的元素，故不是映射；选项C ，集合M 中的元素在N 中均有两个元素与之对应，故不是映射，选项D 也不是映射．4. 答案：D 函数y ＝x |x |＝22,0,,0,x x x x ⎧≥⎪⎨-<⎪⎩故选D. 5. 答案：C 从甲地到达乙地以60 km/h 匀速行驶1 h ，行驶路程为60 km ，此时图象为过(0,0)，(1,60)的线段；在乙地停留0.5 h ，此时图象为过(1,60)，(1.5,60)的线段；然后从乙地以80 km/h 匀速行驶1 h 到达丙地，行驶路程为80 km ，此时的图象为过(1.5,60)，(2.5,140)的线段．6. 答案：y ＝0.5,0100,100.4,100x x x x ≤≤⎧⎨+>⎩根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x ＞100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .7. 答案：51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭y ＝x 2－|x |＋a ＝2211,0,2411,0.24x a x x a x ⎧⎛⎫-+-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 画出直线y ＝1和曲线y ＝x 2－|x |＋a 的图象如图所示．由图知1,11,4a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩解得1＜a ＜54. 8. 答案：解：对于(1)，集合A 中的元素在集合B 中都有唯一的对应元素，因而是映射；对于(2)，集合A 中的任一元素x 在对应关系f 作用下，在B 中都有唯一元素与之对应，因而是映射；对于(3)，由于当x ＝3时，f (3)＝2×3－1＝5，在集合B 中无对应元素，因而不满足映射的定义，不是映射；对于(4)，满足映射的定义，是映射．9. 答案：解：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋2x x -＝1，当－2＜x ＜0时，f (x )＝1＋2x x --＝1－x.故f(x)＝1,02,1,20.xx x≤≤⎧⎨--<<⎩(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知，f(x)的值域为[1,3)．。
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念优化练习新人教A版必修1(202
2017-2018学年高中数学第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念优化练习新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念优化练习新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2.1 函数的概念[课时作业］［A组基础巩固]1．函数y＝f（x)的图象与直线x＝1的公共点有（)A．0个B．1个C．0或1个D．无数个解析：当x＝1在函数f(x)的定义域内时，函数y＝f(x）的图象与直线x＝1有一个公共点(1，f(1)）；当x＝1不在定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1没有公共点．答案:C2．已知四组函数：①f(x）＝x，g(x)＝(错误!)2;②f（x）＝x，g（x）＝错误!;③f（n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f（x)＝x2－2x－1，g（t）＝t2－2t－1。
其中是同一函数的为（）A．没有B．仅有②C．②④D．②③④解析：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应法则不同;对于第二、四组，定义域与对应法则都相同．故选C。
答案：C3．y＝x2（－1≤x≤2）的值域是( )A．[1,4] B．[0,1］C．[0，4] D．［0,2]解析：由图可知f（x）＝x2（－1≤x≤2）的值域是［0，4]．答案:C4．函数y＝错误!的定义域为（）A．（－∞,2］B．（－∞，2）C．（－∞，1)∪（1,2）D．(－∞，1）∪(1,2]解析:要使函数y＝错误!有意义，则错误!解得x≤2且x≠1，所以所求函数的定义域为(－∞,1)∪（1,2］．答案：D5．图中可以表示以M＝｛x|0≤x≤1｝为定义域，以N＝｛y|0≤y≤1｝为值域的函数的图象的是（)解析：根据函数的定义,在定义域［0,1]内任意一个元素都有唯一的函数值与它对应,同样，对于值域［0,1]中的任意一个函数值,在定义域内也一定有自变量和它对应．A中函数值域不是[0,1］，B中函数定义域不是［0,1］，故可排除A,B；再结合函数的定义,可知对于集合M中的任意一个x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D。
秋高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.2集合间的基本关系练习新人教A版必修1(2021年
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1.2 集合间的基本关系A级基础巩固一、选择题1．集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数是( ）A．16 B．8 C．7 D．4解析：易知集合A＝{0，1，2}，所以A的真子集为∅，｛0｝，｛1}，{2}，{0，1｝，｛0,2}，{1，2｝，共有7个．答案:C2．已知集合A⊆{0，1,2｝，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为（）A．6 B．5 C．4 D．3解析：集合｛0，1，2}的非空子集为：｛0},｛1｝,{2},{0，1｝，{0，2}，｛1，2}，{0，1,2}，其中含有偶数的集合有6个．答案:A3．若｛1,2｝＝｛x｜x2＋bx＋c＝0}，则（）A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2C．b＝－2,c＝3 D．b＝2,c＝－3解析：由题意知1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两个根，所以错误!解得b＝－3,c＝2。
答案：A4．以下说法中正确的个数是（）①M＝{(1，2)｝与N＝｛(2，1）}表示同一个集合；②M＝{1,2}与N＝｛2，1}表示同一个集合；③空集是唯一的；④若M＝｛y|y＝x2＋1，x∈R｝与N＝{x|x＝t2＋1，t∈R｝，则集合M＝N。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.1 第2课时 集合的表示课后习题 新人教A版必修1-新人教
第2课时集合的表示一、A组1.已知集合A={x|x(x+4)=0},则下列结论正确的是()A.0∈AB.-4∉AC.4∈AD.0∉A解析:∵A={x|x(x+4)=0}={0,-4},∴0∈A.答案:A2.(2016·某某某某高一期中)设集合M={a2-a,0}.若a∈M,则实数a的值为()A.0B.2C.2或0D.2或-2解析:因为集合M={a2-a,0},a∈M,所以a=a2-a或a=0(舍去),所以a=2.故选B.答案:B3.(2016·某某双鸭山高一月考)已知集合A={-2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},则集合B等于()A.{-4,4}B.{-4,0,4}C.{-4,0}D.{0}解析:∵集合A={-2,2},B={m|m=x+y,x∈A,y∈A},∴集合B={-4,0,4},故选B.答案:B4.已知集合M={y|y=x2},用自然语言描述M应为()A.满足y=x2的所有函数值y组成的集合B.满足y=x2的所有自变量x的取值组成的集合C.函数y=x2图象上的所有点组成的集合D.满足y=x的所有函数值y组成的集合解析:由于集合M={y|y=x2}的代表元素是y,而y为函数y=x2的函数值,故选A.答案:A5.(2016·某某文登高一月考)已知集合M=错误！未找到引用源。
,则M等于()A.{2,3}B.{1,2,3,4}C.{1,2,3,6}D.{-1,2,3,4}解析:因为集合M=错误！未找到引用源。
,所以5-a可能为1,2,3,6,即a可能为4,3,2,-1.所以M={-1,2,3,4},故选D.答案:D6.若集合A={1,2,3,4},集合B={y|y=x-1,x∈A},将集合B用列举法表示为.解析:当x=1时,y=0;当x=2时,y=1;当x=3时,y=2;当x=4时,y=3.故B={0,1,2,3}.答案:{0,1,2,3}7.设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则集合A用列举法表示为.解析:∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.答案:{-1,4}8.一次函数y=2x与y=3x-2的图象的交点组成的集合用列举法表示为.解析:={(2,4)}.答案:{(2,4)}9.选择适当的方法表示下列集合:(1)被5除余1的正整数组成的集合;(2)24的所有正因数组成的集合;(3)在平面直角坐标系中,两坐标轴上的点组成的集合;(4)三角形的全体组成的集合.解:(1){x|x=5k+1,k∈N};(2{1,2,3,4,6,8,12,24};(3){(x,y)|xy=0};(4){x|x是三角形}或{三角形}.10.导学号29900007用描述法表示如图所示的阴影(含边界)中的点组成的集合.解:题图阴影中的点P(x,y)的横坐标x的取值X围为-1≤x≤3,纵坐标y的取值X围为0≤y≤3.故阴影(含边界)中的点组成的集合为{(x,y)|-1≤x≤3,0≤y≤3}.二、B组1.集合A={(x,y)|x+y≤1,x∈N,y∈N}中元素的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:∵x∈N,y∈N,且x+y≤1,∴当x=0时,y=0或y=1;当x=1时,y=0.故A={(0,0),(0,1),(1,0)}.答案:C2.已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},R={x|x=4k+1,k∈Z},a∈P,b∈Q,则有()A.a+b∈PB.a+b∈QC.a+b∈RD.a+b不属于P,Q,R中的任意一个解析:设a=2m(m∈Z),b=2n+1(n∈Z),所以a+b=2m+2n+1=2(m+n)+1.又m+n∈Z,与集合Q中的元素特征x=2k+1(k∈Z)相符合,所以a+b∈Q,故选B.答案:B3.设a,b都是非零实数,则y=错误！未找到引用源。
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念练习新人教A版必修1
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念练习新人教A版必修11.2.1函数的概念课时过关·能力提升基础巩固1.下列说法正确的是()A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域一定是数集D.函数的定义域和值域确定后,函数的对应关系也就确定了答案:C2.下列图象中能表示函数y=f(x)图象的是()答案:B3.下列函数中,与函数y=有相同值域的是()A.y=5xB.y=5x+5C.y=D.y=x2+5解析:函数y=的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).y=5x与y=5x+5的值域是R,y=x2+5的值域是[5,+∞).y=的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).故选C.答案:C4.函数y=的定义域为()A.(-∞,1]B.[0,+∞)C.(-∞,0]∪[1,+∞)D.[0,1]解析:要使函数有意义,需解得0≤x≤1.答案:D5.下列式子中,y不是x的函数的是()A.x=y2+1B.y=2x2+1C.x-2y=6D.x=解析:选项B,C,D都满足一个x对应唯一的y,故y是x的函数.对于选项A,存在一个x对应两个y 的情况,如当x=5时,y=±2.故y不是x的函数.答案:A6.设A=(-6,1],B=(-1,9],则∁R(A∩B)=.解析:由已知得A∩B=(-1,1],故∁R(A∩B)=(-∞,-1]∪(1,+∞).答案:(-∞,-1]∪(1,+∞)7.下表表示y是x的函数,则该函数的值域是.x0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20y 2 3 4 5答案:{2,3,4,5}8.已知函数f(x)=,当m≠0时,f(m+1)=;当m≠1时,f(m)+1=.解析:f(m+1)=,f(m)+1=+1=.答案:9.判断下列各组的两个函数是否相等,并说明理由.(1)y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;(2)y=与y=;(3)y=1+与y=1+.解:(1)前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故两个函数不相等.(2)前者的定义域是R,后者的定义域是{x|x≥0},它们的定义域不同,故两个函数不相等.(3)两个函数的定义域相同(均为非零实数),对应关系一致(都是自变量取倒数后加1),故两个函数相等.10.已知函数f(x)=x2+1,x∈R.(1)分别计算f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值;(2)由(1)你发现了什么结论?并加以证明.解:(1)f(1)-f(-1)=(12+1)-[(-1)2+1]=2-2=0;f(2)-f(-2)=(22+1)-[(-2)2+1]=5-5=0;f(3)-f(-3)=(32+1)-[(-3)2+1]=10-10=0.(2)由(1)可发现结论:对任意x∈R,有f(x)=f(-x).证明如下:由题意,得f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x).故对任意x∈R,总有f(x)=f(-x).能力提升1.下列函数中,与函数y=有相同定义域的是()A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=|x|D.f(x)=解析:函数y=的定义域为{x|x>0};函数f(x)=的定义域为{x|x>0};函数f(x)=的定义域为{x|x≠0,x∈R};函数f(x)=|x|的定义域为R;函数f(x)=的定义域为{x|x≥1}.所以与函数y=有相同定义域的是f(x)=.答案:A2.已知函数f(x)=,则f等于()A. B. C.a D.3a解析:f=3a.答案:D★3.已知集合A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则这样的函数f(x)有()A.4个B.6个C.7个D.8个解析:当f(a)=-1时,f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有2个;当f(a)=0时,f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0,即此时满足条件的函数有3个;当f(a)=1时,f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有2个.综上可得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个).答案:C4.给出下列函数:①y=x2-x+2,x>0;②y=x2-x,x∈R;③y=t2-t+2,t∈R;④y=t2-t+2,t>0;⑤y=m2-m+2,m∈R.其中与函数y=x2-x+2,x∈R相等的是(填序号).解析:①中定义域不同,故不相等;②中定义域相同,解析式不同,即对应关系不一致,故不相等;③⑤中定义域相同,对应关系一致,故相等;④中定义域不同,故不相等.答案:③⑤5.已知函数f(x)对任意实数x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)成立,则f(0)=,f(1)=.解析:令x1=x2=0,有f(0×0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.答案:006.已知函数f(x)=x+.(1)求f(x)的定义域;(2)求f(-1),f(2)的值;(3)当a≠-1时,求f(a+1)的值.解:(1)要使函数有意义,必须使x≠0,即f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).(2)f(-1)=-1+=-2,f(2)=2+.(3)当a≠-1时,a+1≠0,故f(a+1)=a+1+.★7.下列对应是不是从A到B的函数?①A=R,B={x|x>0},f:x→|x|;②A=Z,B=N,f:A→B,平方;③A=Z,B=Z,f:A→B,求算术平方根;④A=N,B=Z,f:A→B,求平方根;⑤A=[-2,2],B=[-3,3],f:A→B,求立方.解:只有②是从A到B的函数,①③④⑤都不是.对于①,A中的元素0在B中无元素和它对应,故不是函数;对于③,A中的负整数没有算术平方根,故不是函数;对于④,A中的一些元素,如2,3等在B中无元素和它们对应,故不是函数;对于⑤,A中的一些元素在B中无元素和它对应,如,(-2)3=-8,23=8,故不是函数.对于②,满足函数的定义,是函数.★8.下列各组中的两个函数是不是同一函数?(1)y1=,y2=x-5;(2)f1(x)=()2,f2(x)=2x-5;(3)f1(x)=,f2(x)=;(4)f1(x)=(x-1)0,f2(x)=.解:(1)定义域不同,不是同一函数.(2)定义域、对应关系都不同,不是同一函数.(3)定义域不同,不是同一函数.(4)∵f1(x)=1(x≠1),f2(x)=1(x≠1),∴f1(x)与f2(x)是同一函数.。
高中数学第一章集合与函数概念1.2_1.2.1函数的概念练习新人教版必修46
1.2.1 函数的概念A 级 基础巩固一、选择题1．已知函数f (x －1)＝2x 2－1，则f (0)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．3解析：令x －1＝0，则x ＝1，所以f (0)＝2×12－1＝1.答案：C2．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果集合B ＝{1}，则集合A 不可能是( )A ．{1}B ．{－1}C ．{－1，1}D ．{－1，0} 解析：由函数的定义可知，x ＝0时，集合B 中没有元素与之对应，所以，集合A 不可能是{－1，0}．答案：D3．已知函数y ＝f (x )的定义域为[－1，5]，则在同一坐标系中，函数f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或1解析：因为1在定义域[－1，5]上，所以f (1)存在且唯一．答案：B4．下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (s )＝2s ＋1，g (t )＝2t ＋1C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 3x 2 D ．f (x )＝x 2－16x －4，g (x )＝x ＋4 解析：A 、C 、D 的定义域均不同．选项B 的定义域和对应关系分别相同．答案：B5．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}．下列四个图象中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 解析：由函数定义知①不是，因为集合M 中，当1<x ≤2时，在集合N 中无元素与之对应；③中的x ＝2对应的元素y ＝3∉N ，所以③不是；④中的x ＝1时，在集合N 中有两个元素与之对应，所以④不是．故只有②是．答案：B二、填空题6．集合{x |－1≤x <0或2<x ≤5}用区间表示为________．解析：结合区间的定义知，用区间表示为[－1，0)∪(2，5]．答案：[－1，0)∪(2，5]7．设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2，则g (f (2))＝________． 解析：因为f (2)＝2×22＋2＝10，所以g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112. 答案：1128．函数y ＝x ＋2－3x 2－x －6的定义域是___________________． 解析：要使函数有意义，x 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x 2－x －6≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，即x >－2且x ≠3.所以函数的定义域为(－2，3)∪(3，＋∞)．答案：(－2，3)∪(3，＋∞)三、解答题9．已知函数f (x )＝3x 2＋5x －2.(1)求f (3)，f (a ＋1)的值；(2)若f (a )＝－4，求a 的值．解：(1)易知f (3)＝3×32＋5×3－2＝40， f (a ＋1)＝3(a ＋1)2＋5(a ＋1)－2＝3a 2＋11a ＋6.(2)因为f (a )＝3a 2＋5a －2，且f (a )＝－4，所以3a 2＋5a －2＝－4，所以3a 2＋5a ＋2＝0，解得a ＝－1或a ＝－23.10．已知函数f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)．若g (f (x ))＝x 2＋x ＋1，求a 的值． 解：因为f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)， 所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14[(4x 2＋4ax ＋a 2)＋3]＝x 2＋ax ＋14(a 2＋3)． 又g (f (x ))＝x 2＋x ＋1，比较系数有⎩⎪⎨⎪⎧14（a 2＋3）＝1，a ＝1，得a ＝1.B 级 能力提升1．函数y ＝x －1＋3的定义域和值域分别为( )A ．[0，＋∞)、[3，＋∞)B ．[1，＋∞)、[3，＋∞)C ．[0，＋∞)、(3，＋∞)D ．[1，＋∞)、(3，＋∞)解析：由于x －1≥0，得x ≥1，所以函数y ＝x －1＋3的定义域为[1，＋∞)；又因为x －1≥0，所以y ＝x －1＋3≥3，所以值域为[3，＋∞)．答案：B2．若f (x )＝ax 2－2，a 为正实数，且f (f (2))＝－2，则a ＝________． 解析：因为f (2)＝a ·(2)2－2＝2a －2，所以f (f (2))＝a ·(2a －2)2－2＝－2，所以a ·(2a －2)2＝0.又因为a 为正实数，所以2a －2＝0，所以a ＝22. 答案：22 3．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (－2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f (5)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15的值； (2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值． (1)解：因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (－2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝（－2）21＋（－2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝1.f (5)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝521＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1521＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1.。
人教版高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念练习新人教A版必修1
函数的观点A 级基础稳固一、选择题1．以下四个等式中，能表示y 是x 的函数的是( ) ① x－2y＝2；②2x2－3y＝1；③ x－ y2＝1；④2x2－ y2＝4. A．①②B．①③C．②③D．①④分析：①可化为1y＝ 2x－1，表示y 是x 的一次函数；②可化为2 2 1y＝ 3x － 3，表示y 是x 的二次函数；③当x＝5时， y＝2，或y＝－2，不切合独一性，故y 不是x 的函数；④当 x＝2时， y＝±2，故 y 不是 x 的函数．答案： A2．会合＝ {x |0 ≤≤4} ，＝{y|0 ≤≤ 2} ，以下不表示从A到B的函数是 ()A xB y1 1A．f：x→y＝2x B．f：x→y＝3x2C．f：x→y＝3x D．f：x→y＝x8分析：对选项 C，当x＝ 4 时，y＝＞ 2 不合题意，应选 C.3答案： C3．已知函数y＝f ( x) 的定义域为 [ － 1， 5] ，则在同一坐标系中，函数 f ( x)的图象与直线 x＝1的交点个数为( )A．0B．1C．2D．0或1分析：由于 1 在定义域 [ －1， 5] 上，因此 f (1)存在且独一．答案： B4．以下四组函数中相等的是()A．f ( x) ＝x，g( x) ＝ (x)2B．f ( x) ＝x2，g( x) ＝ ( x＋ 1) 2C．f ( x) ＝x2，g( x)＝| x|D．f ( x) ＝ 0，g( x) ＝x－1＋1－x分析： A 项，由于f ( x) ＝x( x∈R)与g( x) ＝ (2两个函数的定义域不一致，x) ( x≥0)因此两个函数不相等；B项，由于 f ( x)＝ x2，g( x)＝( x＋1)2两个函数的对应关系不一致，因此两个函数不相等；易知 C 正确； D 项，f ( x) ＝0，g( x) ＝x－ 1＋1－x两个函数的定义域不一致，所以两个函数不相等．应选 C.答案： C5．以下图形中能够表示以M＝{ x|0≤ x≤1}为定义域，以N＝{ y|0≤ y≤1}为值域的函数的图象是 ()分析： A 中值域不是N，B 中当x＝ 1 时，N中无元素与之对应，易知 C 知足题意， D 不知足独一性．答案： C二、填空题6．用区间表示数集 { x| x≤2 或x＞ 3} 为 ________．分析： { x| x≤ 2 或x＞ 3} 用区间表示为 ( －∞， 2] ∪ (3 ，＋∞ ) ．答案： ( －∞， 2] ∪ (3 ，＋∞ )7．设f ( x) ＝ 2x2＋ 2，g( x) ＝ 1 ，则 g( f (2))＝________．x＋22分析：由于 f (2)＝2×2＋2＝10，1 1因此 g( f (2))＝ g(10)＝10＋2＝12.1答案：1238．函数y＝x＋2－x2－x－6的定义域是 ___________________ ．x＋ 2≥ 0，x≥－2，即 x>－2且分析：要使函数存心义，x 一定知足即x2－ x－6≠0， x≠－ 2且x≠3，x≠3.因此函数的定义域为( －2，3) ∪(3，＋∞ ) ．答案： ( － 2， 3) ∪(3 ，＋∞ )三、解答题9． (1) 函数f ( x) 的定义域为 [2 ， 3] ，求函数 f ( x－1)的定义域；(2) 函数f ( x－ 1) 的定义域为 [2 ， 3] ，求函数 f ( x)的定义域．解：(1) 函数 f ( x)的定义域为[2 ，3] ，则函数 f ( x－1)中，2≤ x－1≤3，解得3≤x≤4，即函数 f ( x－1)的定义域为[3 ，4] ．(2) 函数 f ( x－1)的定义域为[2 ，3] ，即2≤x≤ 3，则1≤x－ 1≤ 2，因此函数 f ( x)的定义域为[1 ，2] ．10．求以下函数的值域．(1) y＝x－1；(2) y＝x2－2x＋ 3，x∈ [0 ， 3) ；2x＋1(3)y＝x－3；(4)y＝2x－ x－1.解： (1) 由于x≥0，因此x－1≥－1.因此 y＝x－1的值域为[－1，＋∞)．(2) y＝x2－2x＋ 3＝ ( x－ 1) 2＋2，由x∈ [0 ，3) ，再联合函数的图象( 如图① ) ，可得函数的值域为 [2 ， 6) ．图①2x＋1 2（x－3）＋7 7 7(3) y＝x－3＝x－3 ＝ 2＋x－3，明显x－3≠ 0，因此y≠2. 故函数的值域为( －∞， 2) ∪(2 ，＋∞ ) ．(4) 设t ＝，则t≥ 0 且x＝t2 ＋ 1，因此y＝ 2(t2 ＋ 1) －＝ 2 t －1 2 15＋，由x－1 t 4 8t ≥0，再联合函数的图象15( 如图② ) ，可得原函数的值域为8，＋∞ .图②B 级能力提高1．若函数y＝f ( x) 的定义域是 [0 ， 2] ，则函数g( x) ＝f （2x）x－1的定义域是 ()A．[0 ，1] B． [0 ，1)C．[0 ，1) ∪(1 ，4] D． (0 ，1)分析：由于 f ( x)的定义域为[0 ， 2] ，因此对g( x) ，0≤ 2x≤ 2，且x≠ 1，故x∈ [0 ，1)．答案： B2．若f ( x) ＝ax2－2， a 为正实数，且 f ( f ( 2))＝－2，则 a＝________．分析：由于f ( ) ＝·(2) 2－＝ 2a－，2 a 2 2因此 f ( f ( 2))＝ a·(2 a－ 2)2－ 2＝－ 2，因此 a·(2 a－ 2)2＝0.2 又由于 a 为正实数，因此2a－2＝0，因此 a＝2.2答案： 2x2，－ 1≤ x≤ 1，3．已知f ( x) ＝1， x<－1或 x>1.(1)求 f ( x)的定义域；(2)求 f ( x)的值域．解： (1) 由条件知，函数 f ( x)的定义域为R(2)利用描点法，作出 f ( x)的图象，如下图．由图象知，当－1≤x≤ 1 时，f ( x)＝ x2的值域为[0，1]，当 x＞1或 x＜－1时， f ( x)＝1，因此 f ( x)的值域为[0，1]．。
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念(2)课后训练1 新人
函数的概念课后训练基础巩固1．如图所示，不可能表示函数的是( )2．下列对应是集合M 上的函数的有( )①M ＝R ，N ＝N *，对应关系f ：对集合M 中的元素，取绝对值与N 中的元素对应； ②M ＝{1，－1,2，－2}，N ＝{1,4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ；③M ＝{三角形}，N ＝{x |x ＞0}，对应关系f ：对M 中的三角形求面积与N 中元素的对应． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个3．下列四组中，函数f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )44x g (x )＝4x 4B ．f (x )＝x ，g (x )33xC ．f (x )＝1，g (x )＝1010x x >⎧⎨<⎩，，D ．f (x )＝242x x -+，g (x )＝x －24．函数2621x y x +=--的定义域是__________．5．下表表示y 是x 的函数，则当x ＝6时，对应的函数值是__________．x 0＜x ≤1 1＜x ≤5 5＜x ≤10 x ＞10 y12346．已知函数f (7．函数y ＝x 2－1(x 2)的值域是__________．8．求下列函数的定义域： (1)f (x )213x x --(2)f (x )＝1x + 9．已知函数f (x )＝x 2＋1，x ∈R ．(1)分别计算：f (1)－f (－1)，f (2)－f (－2)，f (3)－f (－3)的值； (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明． 能力提升10．函数f (x )32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域为( )A ．32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(－2，＋∞)C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．332,,22⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．若函数12y x =-的定义域是A ，函数y =的值域是B ，则A B ＝__________．12．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出；当g (f (x ))＝2时，x ＝__________． 13．若函数f (x)的定义域为[1,4]，求函数f (x ＋2)的定义域． 14．求下列函数的值域： (1)f (x )＝x 2－2x ＋2； (2)f (x )＝541x x +-； (3)f (x )＝x 15．已知f (x )＝11x+，求[f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)]＋11(1)22013f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦…的值． 错题记录参考答案1．D 点拨：D 项中，在(0，＋∞)内取一个x ，对应两个y ，不符合函数的定义． 2．A 点拨：①的M 中有的元素在N 中无对应元素；③的M 中的元素不是数集． 3．B 点拨：A 中函数f (x )的定义域为R ，函数g (x )的定义域为[0，＋∞)，定义域不同；C 中函数f (x )的定义域为R ，函数g (x )的定义域为(0，＋∞)(－∞，0)，定义域不同；D中函数f (x )的定义域为{x |x ≠－2}，函数g (x )的定义域为R ，故不是同一函数．4．5|232x x x ⎧⎫-≤≤≠⎨⎬⎩⎭且点拨：要使函数有意义，则需20620621x x x +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≠⎩，，，解之得－2≤x≤3且x ≠52． 5．3点拨：∵5＜6≤10，∴当x ＝6时，对应的函数值是3． 6．－1或5点拨：∵f (a )＝a 2－4a ＋5＝10， ∴a 2－4a －5＝0，解得a ＝－1或5． 7．[1，＋∞)8．解：(1)∵由21030x x -≥⎧⎨-≥⎩，，得1,23,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩∴12≤x ≤3．∴函数f (x )的定义域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(2)∵由4010x x -≥⎧⎨+≠⎩，，得41x x ≤⎧⎨≠-⎩，，∴x ≤4且x ≠－1．∴函数f (x ){x |x ≤4，且x ≠－1}． 9．解：(1)f (1)－f (－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0，f (2)－f (－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0， f (3)－f (－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0．(2)由(1)可发现结论：对任意x ∈R ，有f (x )－f (－x )＝0， 即f (x )＝f (－x )，证明如下：∵由题意可得f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )， ∴对任意x ∈R ，总有f (x )＝f (－x )． ∴f (x )－f (－x )＝0．10．D 点拨：由20,30,2x x +>⎧⎪⎨-≠⎪⎩得x ＞－2且x ≠32，因此所求函数定义域为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 11．[0,2)(2，＋∞)点拨：由题意知A ＝{x |x ≠2}，B ＝{y |y ≥0}，则AB ＝[0,2)(2，＋∞)．12．11点拨：f (g (1))＝f (3)＝1； 由g (2)＝2知f (x )＝2，此时x ＝1． 13．解：∵函数f (x )的定义域为[1,4]，∴使函数f (x ＋2)有意义的条件是1≤x ＋2≤4，即－1≤x ≤2．故函数f (x ＋2)的定义域为[－1,2]．14．解：(1)由题意知函数f (x )的定义域为R ， ∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1， ∴所求函数的值域为{y |y ≥1}． (2)∵f (x )＝545(1)995111x x x x x +-+==+---， ∴所求函数的值域为{y |y ≠5}．(3)设tx ＝t 2－1(t ≥0)，于是y＝t2－1－t＝21524t⎛⎫--⎪⎝⎭．又∵t≥0，∴y≥54 -．∴所求函数的值域为54y y⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．15．解：∵f(x)＝11x+，∴f(x)＋111111111xfx x x xx⎛⎫=+=+⎪+++⎝⎭+＝1．∴f(1)＋11f⎛⎫⎪⎝⎭＝f(2)＋12f⎛⎫⎪⎝⎭＝…＝f( 2 013)＋12013f⎛⎫⎪⎝⎭＝1．∴[f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)]＋11(1)22013f f f⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦…＝2 013．。
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1.2.1 函数的概念
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数f (x －1)＝2x 2
－1，则f (0)＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．3
解析：令x －1＝0，则x ＝1，所以f (0)＝2×12－1＝1.
答案：C
2．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果集合B ＝{1}，则集合A 不可能是( )
A ．{1}
B ．{－1}
C ．{－1，1}
D ．{－1，0} 解析：由函数的定义可知，x ＝0时，集合B 中没有元素与之对应，所以，集合A 不可能是{－1，0}．
答案：D
3．已知函数y ＝f (x )的定义域为[－1，5]，则在同一坐标系中，函数f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或1
解析：因为1在定义域[－1，5]上，所以f (1)存在且唯一．
答案：B
4．下列函数完全相同的是( )
A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2
B ．f (s )＝2s ＋1，g (t )＝2t ＋1
C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 3
x 2 D ．f (x )＝x 2－16x －4
，g (x )＝x ＋4 解析：A 、C 、D 的定义域均不同．选项B 的定义域和对应关系分别相同．
答案：B
5．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}．下列四个图象中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 解析：由函数定义知①不是，因为集合M 中，当1<x ≤2时，在集合N 中无元素与之对应；③中的x ＝2对应的元素y ＝3∉N ，所以③不是；④中的x ＝1时，在集合N 中有两个元素与之对应，所以④不是．故只有②是．
答案：B
二、填空题
6．集合{x |－1≤x <0或2<x ≤5}用区间表示为________．
解析：结合区间的定义知，用区间表示为[－1，0)∪(2，5]．
答案：[－1，0)∪(2，5]
7．设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝
1x ＋2，则g (f (2))＝________． 解析：因为f (2)＝2×22＋2＝10，
所以g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112. 答案：112
8．函数y ＝x ＋2－3x 2－x －6
的定义域是___________________． 解析：要使函数有意义，x 必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x 2－x －6≠0，即⎩
⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，即x >－2且x ≠3.所以函数的定义域为(－2，3)∪(3，＋∞)．
答案：(－2，3)∪(3，＋∞)
三、解答题
9．已知函数f (x )＝3x 2
＋5x －2.
(1)求f (3)，f (a ＋1)的值；
(2)若f (a )＝－4，求a 的值．
解：(1)易知f (3)＝3×32＋5×3－2＝40， f (a ＋1)＝3(a ＋1)2＋5(a ＋1)－2＝3a 2＋11a ＋6.
(2)因为f (a )＝3a 2
＋5a －2，且f (a )＝－4，
所以3a 2＋5a －2＝－4，所以3a 2＋5a ＋2＝0，
解得a ＝－1或a ＝－23
. 10．已知函数f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14
(x 2＋3)．若g (f (x ))＝x 2＋x ＋1，求a 的值． 解：因为f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，
所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14[(4x 2＋4ax ＋a 2)＋3]＝x 2＋ax ＋14
(a 2＋3)． 又g (f (x ))＝x 2＋x ＋1，比较系数有⎩⎪⎨⎪⎧14（a 2＋3）＝1，a ＝1，
得a ＝1.
B 级 能力提升
1．函数y ＝x －1＋3的定义域和值域分别为( )
A ．[0，＋∞)、[3，＋∞)
B ．[1，＋∞)、[3，＋∞)
C ．[0，＋∞)、(3，＋∞)
D ．[1，＋∞)、(3，＋∞)
解析：由于x －1≥0，得x ≥1，所以函数y ＝x －1＋3的定义域为[1，＋∞)；又因为x －1≥0，
所以y ＝x －1＋3≥3，所以值域为[3，＋∞)．
答案：B
2．若f (x )＝ax 2－2，a 为正实数，且f (f (2))＝－2，则a ＝________． 解析：因为f (2)＝a ·(2)2－2＝2a －2，
所以f (f (2))＝a ·(2a －2)2－2＝－2，
所以a ·(2a －2)2＝0.
又因为a 为正实数，所以2a －2＝0，所以a ＝
22. 答案：22 3．已知函数f (x )＝x 2
1＋x 2.
(1)求f (－2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f (5)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫15的值； (2)求证f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 是定值． (1)解：因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (－2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝（－2）21＋（－2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1221＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122＝1. f (5)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝521＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1521＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫152＝1.
(2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1.。