高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 . 平面向量的应用练习 理讲解

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 平面向量的应用练习 理[A 组²基础达标练]1．[2015²贵阳期末]对于非零向量a 、b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意可得，a ＋b ＝0⇒b ＝－a ⇒a ∥b ，反之不能作出推导，∴“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．2．[2016²山西质监]已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( )A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →答案 C解析 因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.3．[2016²皖南八校联考]已知D 是△ABC 所在平面内一点，且满足(BC →－CA →)²(BD →－AD →)＝0，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案 A解析 (BC →－CA →)²(BD →－AD →)＝(BC →－CA →)²BA →＝0，所以BC →²BA →＝CA →²BA →，所以a cos B ＝b cos A ，利用余弦定理化简得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以△ABC 是等腰三角形．4．已知O 是锐角△ABC 的外心，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则( )A ．x ＋y ≤－2B ．－2≤x ＋y <－1C ．x ＋y <－1D ．－1<x ＋y <0答案 C解析 依题意，作OD →＝xOA →，OE →＝yOB →，则有OC →＝OD →＋OE →.由平行四边形法则知OC 为平行四边形ODCE 的对角线，于是有|OD →|＋|OE →|>|OC →|，－(x ＋y )r >r (其中r 为△ABC 的外接圆半径)，即x ＋y <－1，选C.5．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则△AOC 的面积为( )A.25B.12C.310D.65答案 A解析 依题意得，(3OA →＋5OC →)2＝(－4OB →)2,9OA →2＋25OC →2＋30OA →²OC →＝16OB →2，即34＋30cos ∠AOC ＝16，cos ∠AOC ＝－35，sin ∠AOC ＝1－cos 2∠AOC ＝45，△AOC 的面积为12|OA →||OC →|²sin∠AOC ＝25，选A.6．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )答案 B解析 由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ²b ＋(2a ²b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ²b )2－4(2a ²b －1)≤0，即(a ²b －1)2≤0，得a ²b －1＝0，故a ²b －b 2＝b ²(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )，故选B.7．[2015²洛阳期末]在平面直角坐标系xOy 中，点A 与点B 关于y 轴对称，若向量a＝(1，k )，则满足不等式OA →2＋a ²AB →≤0的点A (x ，y )的集合为( )A ．{(x ，y )|(x ＋1)2＋y 2≤1} B ．{(x ，y )|x 2＋y 2≤k 2} C ．{(x ，y )|(x －1)2＋y 2≤1} D ．{(x ，y )|(x ＋1)2＋y 2≤k 2} 答案 C解析 由条件得B (－x ，y )，所以OA →＝(x ，y )，OB →＝(－x ，y )，所以AB →＝(－2x,0)，所以OA →2＋a ²AB →＝x 2＋y 2－2x ≤0，即(x －1)2＋y 2≤1，故选C.8．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且|BO →|＝3|CO →|，当AO →＝xAB →＋yAC →时，则x－y ＝________.答案 －2解析 AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋32BC →＝AB →＋32(AC →－AB →)＝－12AB →＋32AC →，∴x －y ＝－2.9．[2016²温州十校联考]在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．答案 12解析 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，容易得到∠ACB ＝120°.∵CO →＝xCA→＋yCB →且x ＋y ＝1，∴O 在边AB 上，∴当CO ⊥AB 时，|CO →|最小，|CO →|min ＝12.10．[2016²河北五校联考]设点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0y ≤2x ＋2，点Q (a ，b )(a ≤0，b ≥0)满足OP →²OQ →≤1恒成立，其中O 是坐标原点，则Q 点的轨迹所围成图形的面积是________．答案 12解析 不等式组在平面直角坐标系中所表示的区域如图阴影部分所示．因为OP →²OQ →＝ax ＋by ，所以由OP →²OQ →≤1得：ax ＋by ≤1.设目标函数为：z ＝ax ＋by ，要使ax ＋by ≤1恒成立，一定有：⎩⎪⎨⎪⎧－1 ³a ＋0³b ≤10³a ＋2³b ≤1a ≤0b ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1b ≤12a ≤0b ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤00≤b ≤12，此不等式组在坐标平面内所表示的区域是长为1，宽为12的矩形，面积为12.11．[2015²洛阳二练]在△ABC 中，已知sin(A ＋B )＝sin B ＋sin(A －B )． (1)求角A ；(2)若AB →²AC →＝20，求|BC →|的最小值． 解 (1)∵sin(A ＋B )＝sin B ＋sin(A －B )，∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B －cos A sin B ， ∴2cos A sin B ＝sin B . ∵sin B >0，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)|BC →|2＝|AB →－AC →|2＝AB →2＋AC →2－2AB →²AC →＝|AB →|2＋|AC →|2－2AB →²AC →≥2|AB →|²|AC →|－40，(当且仅当|AB →|＝|AC →|时取等号)∵AB →²AC →＝|AB →|²|AC →|²cos A ＝12|AB →||AC →|＝20，∴|AB →|²|AC →|＝40， ∴|BC →|2≥40，|BC →|≥210， ∴|BC →|的最小值为210.12．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4.(1)求a ²b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ²b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)a ²b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2²sin x2＝cos2x .∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x2＋cos x 2，sin 3x 2－sin x 2，∴|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos2x ＝2|cos x |.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.[B 组²能力提升练]1．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →²PC→≥P 0B →²P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC答案 D解析 设AB ＝4，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，则P 0(1,0)，设C (a ，b )，P (x,0)，∴PB →＝(2－x,0)，PC →＝(a －x ，b )．∴P 0B →＝(1,0)，P 0C →＝(a －1，b )．则由PB →²PC →≥P 0B →²P 0C →⇒(2－x )²(a －x )≥a －1恒成立， 即x 2－(2＋a )x ＋a ＋1≥0恒成立．∴Δ＝(2＋a )2－4(a ＋1)＝a 2≤0恒成立．∴a ＝0. 即点C 在线段AB 的中垂线上，∴AC ＝BC .选D.2．[2015²南昌模拟]已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－sin x 2，－cos x 2，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.令函数f (x )＝a ²b ，若c >f (x )恒成立，则实数c 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 A解析 因为f (x )＝a ²b ＝－cos 3x 2sin x 2－sin 3x 2cos x2＝－sin2x ，又π≤2x ≤2π，所以－1≤sin2x ≤0，所以f (x )max ＝1.又c >f (x )恒成立，所以c >f (x )max ，即c >1.所以实数c 的取值范围为(1，＋∞)．故选A.3．[2016²河北五校联考]已知A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，动点P (a ，b )满足0≤OP →²OA→≤2且0≤OP →²OB →≤2，其中O 为坐标原点，则点P 到点C 的距离大于14的概率为________．答案 1－5π64解析 由0≤OP →²OA →≤2得：0≤2a ＋b ≤2，由0≤OP →²OB →≤2得：0≤a －2b ≤2. 不等式组在直角坐标平面内所表示的区域如图正方形OABD ，其边长为25，令圆C 的半径为14，由几何概型的概率计算公式可知P 到点C 的距离大于14的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫252－π16⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45－π16³54＝1－5π64. 4．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8.P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →²PF →的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由⎝⎛⎭⎪⎫PC →＋12PQ →²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC →－12PQ →＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)PE →²PF →＝(NE →－NP →)²(NF →－NP →)＝(－NF →－NP →)²(NF →－NP →)＝(－NP →)2－NF →2＝NP →2－1. P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 2＝16－4y 23，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20.因为y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20(此时x 0＝±2)， 故PE →²PF →的最大值为19；当y 0＝23时，NP →2取得最小值为13－43(此时x 0＝0)，故PE →²PF →的最小值为13－4 3.。