抽象函数问题的解题策略(学生版+教师版)
抽象函数问题的解题策略
抽象函数问题的解题策略固镇二中陈学军2012-5-15抽象函数问题的解题策略抽象函数问题是高考中的热点、难点问题，处理这类问题往往需要深厚的数学知识的积淀。
同时掌握必要的解题技巧，对解决这类问题也有很大帮助。
下面通过实例来分析一下。
一、合理赋值对于求值问题，要善于通过对已知条件和结论的观察、比较，大胆尝试。
通过对变量合理赋值，使问题得到解决。
例1.已知定义在R上的函数f（x）满足对任意x,y∈R， f(x＋y)=f(x)+f(y)-1,则f(0)=______解：令x=y=0，得f(0)=1二、合理变形通过合理变形，使条件和结论更接近。
常见的变形有：和差互化、积商互化等。
例 2.对于任意x,y∈R ,f(x＋y)=f(x)+f(y),且对任意x>0有f(x)>0,求证:f(x)是R上的增函数。
分析：根据函数单调性的定义，要证f(x)在R上是增函数，即证对任意x1,x2∈R且x1<x2,都有f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0，也就是说，结论中出现的是函数值的差。
而条件中出现的是函数值的和，两者不“融合”，这就需要对条件进行“和差”互换，以使条件能和结论“融合”。
证：∵对任意x,y∈R ,f(x＋y)=f(x)+f(y)∴f(x)=f(x+y)-f(y)而x=x+y-y即f(x+y-y)=f(x+y)-f(y),设x>0,则f(x)= f(x+y-y)=f(x+y)-f(y)>0,令x+y= x2y= x1则x+y>y,即x2> x1 ,f(x2)>f( x1),由于x,y的任意性，∴x1,x2也是任意的。
由函数单调性的定义知f(x)是R上的增函数。
例3.已知f(x)是定义域为R的函数，且对任意x∈R,f(x)>0,对任意x,y∈R，f(x＋y)=f(x)〃f(y)，x>0时，f(x)>1.(1)求f(0)的值；（2）求证：f(x)是R上的增函数解：（1）通过合理赋值，令x=y=0,则由f(x＋y)=f(x)〃f(y)得f(0)=f2(0),又∵f(x)>0,∴f(0)=1.(2)分析：证明f(x)在R上单调递增，常用以下两种方法：一、证任意x1, x2∈R，且x1 <x2,证明f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0.二、当f(x)>0时，证明对任意x1, x2∈R且x1 <x2 ，f(x2)/ f(x1)>1.从本题的条件来看，可以看出它和方法二所需结果较为接近，而要把已知条件转化为所需结论，就需要实现两个转化：1.和差转化。
高三数学抽象函数问题的解题策略
高三数学抽象函数问题的解题策略一、利用专门模型有些抽象函数咨询题,用常规解法专门难解决,但与具体函数〝对号入座〞后,咨询题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一样不能用此法.例1 假设函数f(x)与g(x)在R 上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), f(-2)=f(1)≠0,那么g(1)+g(-1)= .解 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型,又f(-2)=f(1)≠0,那么可取x x f 32sin )(π=因此 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) 例2 设函数f(x)是定义在R 上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y),f(-3)=8,那么不等式f(x)f(x-2)< 的解集为 . 解 因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型,又 f(-3)=8, 那么可取 ∵f(x)f(x-2)< ∴2)21()21(-x x ＜2561, 即22)21(-x ＜8)21(，∴ 2x-2 >8, 解不等式,得 x >5,∴ 不等式的解集为 {x|x >5}.二、利用函数性质函数的特点是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所讲明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数咨询题才能峰回路转、化难为易.1. 利用单调性例3 设f(x)是定义在〔0,+∞〕上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2.解 ∵ 函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,32sin )1()1()32sin()34sin(πππ---=-⇒g g .1)1()1()1(23)1(2323-=-+⇒---=⇒g g g g 2561 2561 ,)21()(x x f =∴ 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9),∵ 函数f(x)是定义在〔0,+∞〕上的增函数,那么 ∴ 不等式解集为 {x|8<x ≤9}. 2. 利用奇偶性 例4 函数f(x)=ax 5+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值.分析 f(x)的解析式含有两个参数a 、b,却只有一个条件f(-3)=7,无法确定a 、b 的值,因此f(x)仍是抽象函数,但我们注意到g(x)=ax 5+bsinx 是奇函数,有g(-3)=-g(3).解 设g(x)=ax 5+bsinx,明显g(x)是奇函数,∵ f(-3)=7,∴ f(-3)=g(-3)+3=-g(3)+3=7 g(3)=-4,∴ f(3)=g(3)+3=-4+3=-1.3. 利用周期性例5 设函数f(x)在R 上是奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当0<x ≤1时,f(x)=x,那么f(7.5)= .解 由f(x+2)=-f(x) ,得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),那么f(x)是以4为周期的周期函数,且是奇函数,因此 f(7.5)=f(2×4-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.例6 函数f(x)满足f(1)=2,f(x+1)=)(1)(1x f x f -+,那么 f(2007)= . 解 ∵ ∴ f(x)是以4为周期的周期函数, 4. 利用对称性例7 f(x)是奇函数,定义域为{x|x ∈R,x ≠0},又f(x)在区间〔0,+∞〕上是增函数,且f(-1)=0,那么满足f(x)>0的x 的取值区间是 .解 依条件作出f(x)的大致图象,如图1所示,从图象中可看出,当f(x)>0时,x 的取值区间是〔-1,0〕∪〔1,+∞〕.x >0, x-8>0, x(x-8)≤9, ⇒ 8<x ≤9, ,)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)2(x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=+ ),()2(1)4(x f x f x f =+-=+从而 .21)1(1)3()2007(-=-==∴f f f ⇒例8 定义在〔-∞,+∞〕上的函数y=f(x)在〔-∞,2〕上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,那么f(-1),f(4),f(6)的大小关系为 . 解 设F(x)=f(x+2),∵ F(x)为偶函数,∴ F(-x)=F(x), 即f(2+x)=f(2-x),∴ 函数f(x)的图象关于直线x=2对称,∴ f(-1)=f(5),∵ f(x)在〔-∞,2〕上是增函数,∴ f(x)在〔2,+∞〕上是减函数,∴ f(6)<f(5)<f(4), 即f(6)<f(-1)<f(4).三、利用专门方法有些抽象函数咨询题,用常规方法来解决往往难于奏效,但用一些专门规方法来求解,常收到意想不到的成效.1. 利用赋值法例9 函数f(x)的定义域为R,对任意x 、y ∈R,都有f(x+y)+f(x-y)= 2f(x)f(y),且f(0)≠0.〔1〕求证:f(0)=1;〔2〕求证:f(x)是偶函数; 〔3〕 ① 求证:对任意x ∈R,有f(x+c)= -f(x)成 立;② 求证:f(x)是周期函数.解〔1〕令x=y=0,那么有2f(0)=2f 2(0), ∵ f(0)≠0,∴ f(0)=1.〔2〕令x=0,那么有f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y),∵ f(0)=1,∴ f(-y)=f(y),∴ f(x)是偶函数. 〔3〕① 分不用22c 、c x + (c ≠0)替换x 、y, 有f(x+c)+f(x)=2f(2c x +)f(2c ). ∵ f(2c )=0, ∴ f(x+c)= -f(x) .② 由①知 f(x+c)=-f(x),用x+c 替换x,有f(x+2c)=-f(x+c)=f(x),∴ f(x)是以2c 为周期的周期函数.2. 利用递推法例10 设函数f(x)的定义域为R ,且对任意实数x,都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),求证：f(x)是周期函数.解 ∵ f(x)=f(x+1)-f(x+2),∴ f(x+1)=f(x+2)-f(x+3),将以上两式相加,得 f(x+3)=-f(x),.0)2()0(=≠c f ，c c 使若存在常数∴ f(x+6)=-f(x +3)=f(x),∴ f(x)是周期函数,6是它的一个周期.例11 f(x)是定义在正整数集的函数,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy (x,y ∈N +),f(1)=1,求函数f(x)的解析式.解 令y=1,∵ f(1)=1,∴ f(x+1)=f(x)+f(1)+x, 即f(x+1)-f(x)=x+1,那么 f 〔2)-f(1)=2,f 〔3)-f(2)=3,……f(x)-f(x-1)=x.将以上各式相加,得 f(x)-f(1)=2+3+4+ (x)∴ f(x)=1+2+3+4+…+x=21x(x+1) (x ∈N +). 3. 利用反证法例12 函数f(x)在区间(-∞,+∞〕上是增函数,a,b ∈R,假设f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).求证:a+b ≥0.证明 假设a+b <0,那么a <-b,b <-a,∵ 函数f(x)在区间(-∞,+∞〕上是增函数,∴ f(a) <f(-b),f(b) <f(-a),∴ f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与矛盾,∴ a+b <0不成立,即a+b ≥0.例13 设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x) ≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立,求证:对定义域内任意x,都有f(x) >0.证明 假设在定义域内存在x 0,使f(x 0)≤ 0, ∵ ∴ f(x 0) >0,这与假设的f(x 0)≤ 0矛盾, 因此假设不成立,故对定义域内任意x,都有f(x) >0. 以上我们利用抽象函数的专门模型、函数性质、专门方法等途径举例讲明了求解抽象函数咨询题的一些策略.事实上处理这类咨询题时,常将几种解题策略综合使用,〝多管齐下〞方能游刃有余.,0)2(),2()2()2()22()(00200000≠==+=x f x f x f x f x x f x f。
抽象函数题的几种解题策略
抽象函数题的几种解题策略徐雅晶策略之一：定义法凡涉及函数的定义、函数的奇偶性、单调性等有关概念的抽象函数问题，其求解的一般思路是：紧扣有关概念，充分利用定义来解决问题。
例1： 已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，又当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值范围．变式：设f(x)对任意x,y R ∈，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，f(x)<0，f(1)=－2．（1）求证：f(x)是奇函数；（2）试问在33≤≤-x 时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由.策略之二：特殊化思想根据抽象函数f(x)的性质和特征，从满足题设条件的特殊函数（或特殊值）入手分析、研究，寻求问题的解题思路或结论。
例2、定义在区间（-∞，+∞）的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间（0，+∞）的图象与f(x)的图象重合。
设a>b>0，给出下列不等式：①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中成立的是（ ） A 、①与④B 、②与③C 、①与③D 、②与④策略之三：整体思想运用整体思想进行求解，即先化整体为局部，再由各局部的解决使问题获解。
例3、已知f(x)、g(x)为奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+3（a,b 为常数），若F(4)=-4，则F(-4)=。
策略之四：巧用性质合理利用抽象函数的性质及性质间的内在联系，经过推理或计算来解决问题。
例4、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是（ ）A 、增函数且最小值为-5B 、增函数且最大值为-5C 、减函数且最小值为-5D 、减函数且最大值为-5策略之五：数形结合充分挖掘抽象函数的图象信息，运用数形结合思想方法来解决问题。
抽象函数问题的解题策略.doc
抽象函数问题的解题策略鄂尔多斯市 东联现代中学抽象函数是指没有给出具体的解析式，只给出了其他的一些条件（如函数 的定义域、经过的点，解析递推式，部分图象特征等）的函数问题，它是高中 数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的一个衔接点，因为抽象函数没有具体的解析式，所以理解研究起来往往困难重重，但是着类问题对于培养 学生的创新精神和实践能力，增强运用数学的意识，有着十分重要的作用，近 几年的高考都设置了有关抽象函数问题试题，分量一年比一年重，为此，本文 根据近几年的教学经验，从利用特殊模型、函数性质，特殊方法等方面谈谈求 解抽象函数问题的策略。
一、 利用特殊模型中学阶段，抽象函数对应具体模型有:例1、若函数/（兀）具有性质：1. 为偶函数；2、对任意都有足条件的f ⑴的一个解析式即可） 分析：看到已知条件中有关于龙的不等式，所以联想到三角函数，结合 几兀）为偶函数，得满足条件的函数几兀）的解析式是f （x ）= cos4^或/(x) = |sin 2x| o例 2、 若函数/（x ）和g （x ）在 R 上有定义，且f(^-y) = f(^)g(y)-f(^)g(y)9f(-2) = f(i)^o 9 则 g(i) g(i)+g(_i) = _。
(用数字作答)。
分析与解：v/(x-y) = /(x)g (y)-/(x)g(y),则函数的解析式可以是 （只须写出满・•・联想到三角公式，可取/(x) = sin%,则/(兀)是奇函数，于是有：sin(-2)= sin(-1-1) = sin(-l)cc?c(l)-cos(-l)sin(l) = sinl cos 1 +cos(-1) =sinlcosl + cos(-l) =-1,即g(l) + g(-l) = _l例3、设函数/(x)的定义域为R,对于任意实数m,n,总有/(n + m) = /(/??)/(/?)且x>0,时0</(x)<l,⑴证明:/(0) = 1,且当xvO时,/(兀)>1(2)证明:/(兀)在R上单调第减.⑶设 A = /{(x,y)|/(x2)/(/)>/(l)},B = {(x,y)|/(ax-y + 2) = l,ae/?} … 若4门3 = 0,确定。
抽象函数的解题策略
抽象函数是数学中一个重要的概念，它用于表达抽象问题。
抽象函数可以帮助我们解决各种复杂问题，但如何正确地使用它们来解题是一个棘手的问题。
在本文中，我们将探讨抽象函数的解题策略，以帮助读者正确地解决抽象函数问题。
首先要明白，抽象函数是一种推理。
它们帮助我们找出一个函数的一组可能的值，这些值可以满足给定约束条件。
因此，使用抽象函数解决问题的关键是，要确定函数的可能值范围，只有这样，你才能选择一个最优解。
具体来说，要解决一个抽象函数问题，可以按以下步骤：
1. 首先，对函数的参数进行推断：它们是何种参数，可以取的范围是多大？比如说，整数型参数是否有范围限制？
2. 确定函数的参数大致范围，以限定函数的范围。
3. 测试函数取值。
试着进行一些取值测试，观察函数的输出，以期找到函数的最优解。
4. 通过观察函数的取值，识别它的模式。
5. 作出结论，确定函数的最优解。
此外，在解决抽象函数问题时，你还可以使用一些数学工具，比如图像、积分、极限、微分等。
只有理解了这些工具，你才能更好地探索和解决抽象函数问题。
总之，抽象函数是一种有力的推理工具，可以用来描述问题的解决过程。
解决抽象函数问题的核心是确定函数的可能值范围，这可以使用一些数学工具，比如图像、积分、极限、微分等。
当你掌握了这些技能，就可以更好地研究并解决抽象函数问题。
抽象函数的解题策略
抽象函数的解题策略摘要:抽象函数问题可以以函数的性质为出发点去思考,有时也可利用赋值法、特殊模型法去加以解决。
关键词:抽象函数定义域值域周期对称性单调性赋值法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式或图像,仅仅给出函数的符号和一些性质,要求解决相关问题的一类函数。
这类函数属于初等数学和高等数学的衔接点,具有一定的抽象性,构思新颖,在理解及解题上有一定的难度,是考查学生思维能力的一个很好的工具,在历年的高考中是一个热点问题,同时也是一个难点问题。
抽象函数虽然没有没有给出函数的具体解析式或图像,但抽象函数的考查还是在考查函数的定义域、值域、周期、对称性、单调性等性质,所以我们解抽象函数问题时,可以以函数的性质为出发点去思考问题。
本文将结合以上五个函数性质及赋值法、特殊模型法来阐述抽象函数的解题策略。
1抽象函数的定义域例1、(2008高考江西文科)若函数的定义域是,则函数的定[0,2],则函数g(x)=的定义域是()A、[0,1]B、[0,1)C、[0,1)∪(1,4]D、(0,1)分析:对于函数y=f(x),因为定义域是[0,2],所以0≤x≤2。
对于函数g(x)=,则0≤2x≤2且x-1≠0,所以0≤x0,即f(x)≤f(x)+1≤3f(x),可知≤x≤,所以值域为,。
规律技巧总结:抽象函数的值域问题须明确值域就是函数值的取值范围,同时还须注意对于函数y=f(x)及y=f(g(x))而言,f(x)和f(g(x))的取值范围是一致的。
如下题:例3、若函数y=f(x+1)的值域为[-1,1],则函数y=f(3x+2)的值域是。
分析:函数y=f(3x+2)中定义域和对应法则与函数y=f(x+1)的定义域和对应法则完全相同,故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1,1]。
3抽象函数的周期性函数周期性的定义:函数y=f(x),如果对定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x)(T 为不为零的常数),则称y=f(x)为周期函数,T为它的一个周期。
抽象函数题的十种解题策略
抽象函数题的十种解题策略湖南省冷水江市第六中学（417500）邓赞武我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。
由于它既能考查函数的概念与性质，又能考查学生的思维能力及对函数思想的理解程度，因而在高考中备受青睐。
本文结合实例，介绍求解抽象函数题的十种常用策略。
策略一：活用定义与性质以函数“三性”为突破口，紧扣其定义及性质间的相互联系，经推理或计算求解问题。
例1：己知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x+32)=-f(x)且y=f(x-34)是奇函数，给出以下四个命题：（1）函数f(x)是周期函数，（2）函数f(x)的图象关于点（-34，0）对称，（3）函数f(x)是偶函数，（4）函数f(x)是R上的单调函数，以上四个命题中，真命题序号是。
解析：∵f(x+32)=-f(x) ∴f(x)=-f(x-32)两式相减得：f(x+32)= f(x-32)即f(x+3)=f(x)故（1）正确∵y=f(x-34)是奇函数所以f(-x- 34)= -f(x-34)即f(-x- 34)+f(x-34)=0 即f(x)的图象关于点（-34，0）对称。
故（2）正确；又由f(-x- 34)= -f(x-34)用x-34代替x得：f(-x)=-f(x+32) 而f(x+32)=-f(x) ∴f(-x)=f(x) 故（3）正确，从而（4）错误∴真命题是（1）、（2）、（3）策略二：巧妙赋值抽象函数常以函数方程的形式出现，求解这类问题常赋予变量恰当的数值或代数式，经运算与推理，得出结论：例2、己知定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2，满足关系f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2，（1）证明f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称，（2）若x>0，则有f(x)>-2，求证：f(x)是R 上的增函数。
证明：（1）令x1=x2=0,则f(0)=-2,对任意实数x,令x1=x，x2=-x，则有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2即f(x)+f(-x)=-4，故f(x)的图象关于点（0，-2）成中心对称。
例析抽象函数问题的求解策略
例析抽象函数问题的求解策略上海市吴淞中学贺明荣（２０09４0）近年来，经常在高考、高考模拟以及竞赛中出现与抽象函数有关的试题。
一般地,抽象函数是指：没有给出具体的函数解析式，只是给出函数所具有的某些性质的函数。
这类试题往往概念抽象、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高，因此，学生常常感到难以掌握，教师也常为如何适时处理它等问题而苦恼。
现本文主要介绍求解抽象函数问题的常见方法，供参考。
1、合理递推例1：函数f具有下列性质:f(x）+f（x-1) =x２如果f(19)=94,那么f(９４)除以1000的余数是多少?解: 由f(ｘ)+ f（x－1）＝x2得f(x）=x2- f(ｘ－1)又f(１９)＝9４，∴ｆ（2０)=２０2–f（１9) ，f(21)=２12–f（2０)= ２12 - 202 ＋ｆ（1９)，依次类推，可得f（9４）=９４２–932＋９2２–912+…＋222-２12+２02–f(19)=９４＋93+9２+91+ …+22＋21+202-ｆ(19)= 错误!×７4+40０–９4=4561，所以，余数为561．评注：当f(x)是定义在自然数集N上的函数时，可根据题中所给函数方程,通过取特殊值得到关于f(n)的递推关系,然后根据递推关系进一步求解.2、适当赋值例2、设函数y=f(ｘ)（x∈R且x ≠0）,对任意实数x1 、x2满足f(x1)+ f（ｘ2）= f(ｘ１·ｘ２)．(１）求证:f(１)=f(－1)＝0；(２) 求证:y=f(x）为偶函数;（3) 已知y=f（x)在（0，+∞)上为增函数，解不等式ｆ(ｘ）＋f( x－１2)＜0.证明:(１）令ｘ1 =ｘ２=1, 得f(１）+f(1)=f(1·1)∴f(1）=0 ;令x1 =x２= -１,得ｆ（-１)+f（-１)＝f〔(-1)·(-1)〕= ｆ(1)=0 , ∴f(－1)＝0 ．(2) 令x1＝ｘ2 = x ,得2f(x)=f(x２);令ｘ1 =x2 = -x ，得２f（-x)=ｆ(x2)；∴ｆ（-x)=ｆ(x) ，即y=ｆ(x)为偶函数．(3）f(x)+f( x -＼f(1,2）)<０, 即f〔x ·(x -错误!)〕＜f（1）, 或f〔x·(x -错误!)〕＜f(-1) ,由(2)和y=f(x)在（0,＋∞)上为增函数，可得0＜x·(x -错误!）<1 或-１＜x·(ｘ－１2)<０解得错误!<x＜错误!且x≠０, 错误!.评注: 对于抽象函数，根据函数的概念和性质,通过观察与分析，将一般量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的.３、巧妙换元例3、 设f(ｘ）的定义域为{x ∣ｘ≠0,且ｘ≠1}，满足f(x)＋f （＼f(x-1,x ))＝1+x , (１） 求ｆ（x) ．解： 令x =y-1y(y≠0,y≠1),并将y 换成ｘ， 得ｆ(错误!）+f （错误!)=１+错误! , (２） 再令(1)中x =＼f(1,1-y ) (y≠0,y≠1),将y 换成ｘ,得 ｆ(错误!)＋ｆ(x)＝１+错误! ，(3) 由(1)+(3)-（2) , 得2ｆ（x)=(1+x ）＋（1+错误!)-(1+错误!）, 即ｆ（x)＝错误!,易验证 f(x)＝ 1+x 2-x 32ｘ(1-x)满足方程(1） .评注: 根据题目结构特点及欲证的结论,将题中的某些量替换成所需要的量（注意：应使函数的定义域不发生改变，有时还需要作几次相应的替换）,得到一个或几个方程,然后设法从中求其解．4、利用函数性质例４、已知定义在R 上的函数f(x)满足（1）对于任意x ，y∈Ｒ都有f(ｘ+y)=f （ｘ)+f(y) ；（2）当ｘ＞0时,f(x)<0，且f(1）＝ － ２ ,求f(x)在〔-3 , 3〕上的最大值和最小值.解：任取－３≤x 1<x 2≤３ ,由条件（1)得f （ｘ２)＝f 〔(x ２-x 1)＋x 1〕= ｆ(ｘ2-ｘ１)+f(x 1),∴ ｆ(x 2)- ｆ(x 1) ＝ f(x 2-x 1) , ∵ ｘ2 - ｘ1 >0 ,由条件(2）得 ｆ(ｘ2-ｘ１) ＜0 ， ∴ f （x 2) ＜f(x 1) ， ∴ ｆ(ｘ)在〔－3 , ３〕上 单调递减.在（1)中令x ＝y ＝0，得f(0+０）=ｆ(０）+f(0) , ∴ f(0)=０再令x ＝-y ， 得f(x －x)=f （x)+f （-x) , ∴ f(-ｘ)= －f(x) , 从而f(x)为奇函数，因此，ｆ（x)在〔－３ , 3〕上的最大值为f(-3）＝--f(3)=-ｆ(1+2)=-f(1)-f(2）= -ｆ(1) -f （1) -f(1)= -3f(1)=6最小值为 f （3)= －f （－３)＝ -6 .评注： 根据题目所给的条件，往往需要探求函数是否还具有哪些特殊的性质,比如，函数的单调性、奇偶性、周期性等等，本题是运用函数的性质得到解答的一个典型，它将奇偶性和单调性有机地结合起来,而函数的单调性是解决最值问题和有关不等式问题的常用性质。
“抽象函数”常见题型解题策略
变传 统 的 、 一 的“ 单 传授——接 受 ” 的教
学 模 式 ，在 课 堂 教 学 中 ，首 先 要 营 造 平
就 需要教师本 身要善于 发现 问题 、综合
运 用 知 识 解 决 新 问 题 的 能 力 。 此 外 教 师
的一 数。 试题 性较强， 类函 这类 抽象 需要
较 强 的 理 性 思 维 ，特 别 是 在 数 学 高 考 强 调考查“ 理性思维 ” 的今天 更应引 起我们 的重视 。
重视运用“ 赋值法’ ’ 例 １ 定 义在 实 数集 Ｒ 上 的 函数
一
、
点 拨 ： 题 无法 直接 求 出厂 ， 本 （ 若 ） 将 已知等式左边 看成两个 函数 ，利 用换
（） Ｉ 分别用 争 ， ｃ ０替 ３（ ） ＋ 争（ ＞ ）
． ） ． ）Ｉ ）【 ） ． 望 ； ＋ 丝 。 ． 触 触 ， ，
例５ 已知 ） 是定义在Ｒ上的奇
偶函数
・
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… ． ．
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又 、 … Ｉ Ｘ ．， ，时 Ｓ ｌ Ｇ
思维价 值 ， 为创新做 出示范 。其次 ， 并 教
要掌握一点常用的探索、 探究的方法 和
技巧才行 。 ・ 要改变教育观 念 ， 意接受继 续教育 ， 注 比 如学 习现 代教 学理 论 ， 构 主义 的认 知 建
理 论 ， 元 智 力 理 论 等 ， 解 我 国 一 级 多 了
厂 ｙ ）广 （ ） Ｏ （ ｔ ＝ 。 己的思维过程 ，敏 锐捕捉 学生 的思维 闪 光点 ， 给予 支持 、 并 鼓励 ： 并在 解题 后不
抽象函数的定义域和求值(教师版)
抽象函数的定义域和求值1、抽象函数的定义域：记住两句话：地位相同范围相同，定义域是关于x 的。
所谓抽象函数就是指没有给出具体解析式的函数。
此类题目的关键是注意对应法则，在同一对应法则作用下，不管接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。
该类型题目中最常见的是求复合函数的定义域，其有三种情况：（1）已知()f x 的定义域是[],a b ，求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
该类题目实质上是由不等式()a g x b ≤≤所求x 的取值范围就是()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
例 2：已知函数()f x 的定义域是[]0,9，求函数()2f x 的定义域解：由题意知：209x ≤≤ 解得：33x -≤≤ 即函数()2f x 的定义域为[]3,3-。
（2）已知函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域是[],a b ，求函数()f x 的定义域。
该类型题目的实质是由x 的取值范围所求得的()g x 的取值范围就是函数()f x 的定义域。
例 3：已知函数()32f x +的定义域是(],3-∞，求函数()f x 的定义域。
解：∵3x ≤ ∴39x ≤ ∴3211x +≤ 即函数()f x 的定义域为(],11-∞。
（3）已知函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域是[],a b ，求函数()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
该类题目的解决方法是：先由函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域求出函数()f x 的定义域，再由函数()f x 的定义域取得函数()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
例 4：已知函数()12f x -的定义域是1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求函数()2f x -的定义域。
解：∵152x ≤≤ ∴1021x -≤-≤- ∴9120x -≤-≤ 即函数()f x 的定义域为[]4,9 ∴290x -≤-≤ 解得：解得：33x -≤≤ 即函数()2f x -的定义域为[]3,3-。
求解抽象函数问题的思路
探索探索与与研研究究抽象函数是函数中的重要知识.这类函数通常没有具体的解析式，因而抽象函数问题具有较强的抽象性.那么如何求解抽象函数问题呢？下面重点谈一谈三类抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值由于抽象函数没有具体的解析式，所以在求抽象函数的值时，通常需根据函数的关系式、某个点的坐标，以及抽象函数的性质：单调性、周期性、奇偶性来求函数的值.同时要关注一些特殊点，如零点、原点、对称点等的值，以找到更多的条件，顺利获得相应的函数值.例1.已知f(x)的定义域为R，f(x+2)=1-f(x)1+f(x)，f(-2)=1-3，则f(2006)=().A.2-3B.1-3C.2+3D.1+3解：∵f(x+4)=f()()x+2+2=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f（x），且f(x+8)=f()()x+4+4=1-11f(x)=f(x)，∴函数f(x)为周期函数，且周期为8，∴f(2006)=f(8×250+6)=f(6)=f(-2+8)=f(-2)=1-3.∴本题的答案为B项.解答此题，需从已知的函数关系式入手，通过恒等变换，求得函数的周期.然后根据已知点的坐标和函数的周期性求函数的值.二、求抽象函数的定义域函数的定义域往往受函数的对应法则、自变量影响，要求抽象函数的定义域，需先明确函数的对应法则以及自变量.通常可通过变换函数的自变量，利用函数的单调性、周期性、奇偶性来进行等量代换，从而求得抽象函数的定义域.例2.已知函数f(x)的定义域为[0，3]，求函数f(3x+2)的定义域.解：因为函数f(x)的定义域为[0，3]，所以0≤x≤3，则0≤3x+2≤3，解得-23≤x≤13，故函数f(3x+2)的定义域为[-23,13].解答本题，关键要明确f(x)中的x与f(3x+2)的3x+2的意义相同，那么二者的取值范围一致，据此建立不等式，解该不等式即可求出函数的定义域.三、抽象函数的奇偶性问题对抽象函数的奇偶性问题，通常要先根据已知的函数关系式，函数的单调性、周期性来选择合适的值进行赋值、代换；再根据奇函数、偶函数的定义判断出函数的奇偶性.一般地，若f(-x)=-f(x)成立，则该函数为奇函数；若f(-x)=f(x)成立，则该函数为偶函数.赋值法是解答抽象函数问题的基本方法之一.例3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上是单调递增的.如果实数t满足f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，那么t的取值范围是______.解：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)=fæèöøln1t，由f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调递增的，所以|ln t|≤1，即-1≤ln t≤1，故1e≤t≤e.由于已知函数为偶函数，所以可以先根据偶函数的定义判断出f(ln t)与fæèöøln1t的关系；然后根据已知关系式判断出f(ln t)与f(1)的大小关系，进而根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，建立关于t的不等式，求得问题的答案.例4.若定义域为R的函数f(x)在(4，+∞)上为减函数，且函数y=f(x+4)为偶函数，则().A.f(2)>f(3)B.f(2)=f(6)C.f(3)=f(5)D.f(3)>f(6)解：∵y=f(x+4)为偶函数，∴f(-x+4)=f(x+4)，∴y=f(x)的图象关于直线x=4对称，∴f(2)=f(6)，f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数，∴f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6).故本题的答案为BCD.解答本题，需灵活运用抽象函数的单调性、奇偶性、对称性，并根据选项中的数值对函数进行赋值，才能顺利得到正确的答案.由此可见，解答抽象函数问题，关键在于研究已知关系式和函数的性质，必要时需对函数进行赋值，以得到更多的条件，为解题提供更多的依据.(作者单位：江苏省滨海中学)王颖53Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
抽象函数解题大招教案初中
教案：抽象函数解题大招教学目标：1. 理解抽象函数的概念，能够从实际问题中抽象出函数关系式。
2. 掌握抽象函数的解题方法，能够运用代数方法解决抽象函数问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 抽象函数的概念及其实际应用。
2. 抽象函数的解题方法及技巧。
教学难点：1. 抽象函数的解析式的求解。
2. 抽象函数的图像的绘制。
教学准备：1. PPT课件。
2. 教学实例和习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念，让学生回顾函数的定义和性质。
2. 提问：什么是抽象函数？抽象函数与普通函数有什么区别？二、讲解抽象函数的概念（10分钟）1. 讲解抽象函数的定义：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2. 讲解抽象函数的实际应用，如：一次函数、二次函数、指数函数等。
三、讲解抽象函数的解题方法（15分钟）1. 讲解求解抽象函数解析式的方法：观察实际问题，找出变量之间的对应关系，列出函数关系式。
2. 讲解求解抽象函数值的方法：将自变量的值代入函数关系式，计算出函数值。
3. 讲解解决抽象函数问题的技巧：利用函数的性质、图像和解析式之间的关系，进行问题转化和分析。
四、实例讲解和练习（10分钟）1. 给出一个抽象函数实例，让学生观察并找出变量之间的对应关系，列出函数关系式。
2. 让学生根据函数关系式，求解特定自变量下的函数值。
3. 引导学生运用函数的性质、图像和解析式之间的关系，解决实际问题。
五、总结和布置作业（5分钟）1. 总结本节课的内容，让学生明确抽象函数的概念和解题方法。
2. 布置课后作业，巩固所学内容。
教学反思：本节课通过讲解抽象函数的概念和解题方法，让学生掌握了如何从实际问题中抽象出函数关系式，并能够运用代数方法解决抽象函数问题。
在实例讲解和练习环节，学生通过动手操作和思考，培养了逻辑思维能力和解决问题的能力。
抽象函数的解题策略
） ＞， ｏ＝， ０ ）． ＝ ０ ） 当＞时 ＞ ≠ １ １
综上所述对任意 ∈Ｒ， 恒有 ）０ ＞．
（ ） ｚ ２则ｘ＿ １ ３ 设 ｌ ， ２ ＞ ０，
（ ） ＝ ，ｘ ｂ代人八 ＋ ） ｎ ｂ ２令ｘａ－＝ ， ｎ６ ）
一
０ ）
）所 ，
（） ￣ Ｚ ＋ ） ２已知ｌ （ １的定义域为［，］求函斐 ） ｘ １２ ， 的定义域．
解 ：１因为 函数 ） （） 的定义域为［ ，］ 以ｌ ｌ ， １２ ， 所 ≤ ＋ ≤２所
定义域．
：１ ．
）的定义域（ ） 已知 ｇ ｘ ） （ ）的定
（ ） 证对 任意 ∈Ｒ， ２求 恒有，ｒ＞ ； 【 ）０
义域求 ） 的定义域 ）解决此问题的关键 是在于理解复合函数 ，
（） ｉ ） 上的增函数． ３求ｉ ￣ 是Ｒ Ａｘ 证明：１令ａｂ ０ （ ） ＝＝ ， ０ ０厂 ）又 ） （ ， ０ ≠ｏ所 ０ １ｏ ） ， ）
一
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Ｉ
Ｉ， ）又知当ｘ １１， ＞１ ￣ ，
ｌ ｌ ／
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一 ＼Ｘｌ ／
ｆ）
函数 ） 以４ ｌ 是 １为最小正周期的周期函数． ａ
（） ４若函数 ） 满 ２ １ －（）则函数 ） 帆） ＋ ） ， ｆ 是以６
为最小正周期的周期 函数． 例６ （０ ９ ２ ０ 山东卷理 ） 已知定义在Ｒ上的奇 函数 ）满足 ，
证 明： 因为对于定义域 内的任意实数 ｙ 、都满足 ） ） ＋
（若 数（满 ＋＝（（ 或 ）≠） １ 函 厂） ） 。－ 一 ‘ ０ ） ｆ 。 ，
抽象函数的解题策略
抽象函数的解题策略1．理解抽象函数：首先，应该了解抽象函数的定义，它是指一个函数不涉及具体的参数值，而是做出一般性的抽象，表达一般行为的形式。
2．掌握函数的概念：除了理解抽象函数的定义外，还需要掌握函数的概念，它被定义为一个参数变量到另一个输出值的关系，一般分为变量和参数，参数是可以改变的。
3．熟悉函数的几种类型：熟悉函数的几种类型，有一元函数、双元函数、多元函数以及化简函数，以及还有抽象函数等，仔细分析各种函数，理解抽象函数的特点，并利用这些特点解决问题。
4．理解函数运算：函数运算是关于函数关系的常见解决方案，其中包括函数的求值、常见函数的图像因素、单调及其他运算，要想解决抽象函数的问题，需要理解这些函数的运算，充分利用数学知识找出最佳的解决方案。
5．利用特殊工具解决特殊问题：特殊工具包括特定编程语言，如C 语言或Matlab，还有函数图像分析等，然后利用这些特殊工具来解决抽象函数的问题。
6．通过图像因素处理：利用图像因素处理的方法，可以解决抽象函数的复杂性及其他问题，因此，当需要解决抽象函数问题时，可采用图像因素处理的方法进行解决。
7．建立抽象模型：抽象模型是指通过不涉及具体数字的方法来描述函数，可以利用单位跳变模型、皮克定理以及关于解析函数分析的常见方法，结合抽象模型，可以很好的解决抽象函数问题。
8．利用算法工具：在解决抽象函数的问题时，可以采取算法的方式来解决，在算法方面，包括基本的数学归纳法、分式法、牛顿迭代法、区间分割法、差值拟合法等，可以利用算法工具求解抽象函数的问题。
9．结合实际：最后，解决抽象函数的问题时，还可以结合实际情况，借鉴或者组合已有方法，根据实际情况及需求来抽象通用解决方案，使得解决问题更加简单、高效。
第六讲：抽象函数问题的题型与解题策略(讲义)
第六讲：抽象函数问题的题型与解题策略所谓抽象函数，是指没有给出具体的函数解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数。
解决这类问题，需要我们由条件去判断或推出该函数的性质（单调性，奇偶性，周期性），从而达到解题的目的。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
解答这类题目，要求学生思维灵活，深刻，善于联想。
面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题。
解答抽象函数题目有两招：“找模型”，“分类型”。
一、“找模型”.在中学数学教材中，大多都能找到所涉及到的抽象函数的具体函数模型。
虽不能用它来代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的若干性质的证明途径，特别是不需解题过程或证明过程的填空题、选择题，直接用具体函数求解，得出答案即可。
常见的抽象函数模型有：(1)、线性函数模型。
若f(x)定义域为D,对任意的a,b ∈D,有f(a+b)=f(a)+f(b),则其模型为：f(x)=kx.(2)、指数函数模型。
若f(x)定义域为D,对任意的a,b ∈D,有f(a+b)=f(a)×f(b),则其模型为：f(x)=a x.(3)、对数函数模型。
若f(x)定义域为D,对任意a,b ∈D,有f(ab)=f(a)×f(b)，则其模型为f(x)=log a x.(4)、三角函数模型。
若f(x)定义域为D,对任意的a,b ∈D,有f(a+b)=2)2()2(b a f b a f -+，则其模型为：f(x)=cosx.（模型还很多，这里不再一一赘述）。
二、分类型。
常见的有以下的类型：（一）、f[g(x)]≥(≤)f[h(x)]型，（其中g(x)与h(x) 都是关于x 的确定解析式）。
(二)、f[g(x)]≥(≤)a 型，（其中g(x)是关于x 的确定解析式，a 为常数）。
[范例与方法]一、求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体，相当于f x ()中的x 这一特性，问题就会迎刃而解。
抽象型函数问题的解题策略高三数学总复习教案 新课标 人教版 教案
抽象型函数问题的解题策略高三数学总复习教案抽象型函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。
这类问题对发展学生的思维能力，进行数学思维方法的渗透，有较好的作用，但因其比较抽象，学生往往难以入手。
本文就这类问题的解题策略谈点看法。
一、通过类比，探索思路方法例1．已知f(x)是定义在实数集R上的函数，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x), f(0)=2-, 求f(1996)的值。
分析：由条件知f(x+2)=,利用此式和f(0)=2-，逐步递推求出f(1996)，显然较繁琐，若将此式与进行类比，则结构形式类似，而tanx的周期为，于是便产生一个念头，f(x)也是周期函数，周期为4×2=8。
我们不妨来证明这一猜想。
，。
于是猜想成立，从而有二、运用特殊化，推测问题结论。
例2．若对于任意正数x, y，总有f(xy)=f(x)+f(y)，那么下列各式错误的是：A、f(1)=0B、C、D、f(x n)=nf(x) (n∈N)分析：考察满足条件的一个函数y=log a x(a>0, a≠1)，显然，A，C，D均成立，B不成立。
故选择B。
例3．已知函数f(x)满足：（1）是偶函数；（2）图象关于直线x=a(a>0)对称；（3）在闭区间[0,a]上单调递减。
则f(x)是否为周期函数？若是，求出最小正周期；若不是，请说明理由。
分析：由于问题结论的开放性，学生首先感到困难的是没有明确的解题目标。
但是，如果我们利用特殊化，注意到cosx符合条件（1）是偶函数，（2）图象关于直线x=π对称；（3）在[0，π]上单调递减，而cosx是周期函数，最小正周期是2π，于是我们推测f(x)是周期函数，最小正周期是2a。
下面只要证明这一结论即可。
首先证明2a是f(x)的一个周期。
由题设条件，知f(-x)=f(x), f(a+x)=f(a-x)，这里x为定义域中任意一个值，于是从而2a是f(x)的一个周期。
抽象函数与解题策略
课 题 抽象函数与解题策略育诚高级中学——黄 勇一、教学目标1、理解抽象函数并掌握抽象函数的一般解题策略；2、通过对抽象函数的研究，进一步加深对函数概念和性质的理解；3、渗透特殊值法，化抽象为具体、转化等数学思想方法。
二、教学重点通过对抽象函数有关性质的研究来解决求函数值、求解方程和不等式等问题。
三、课 型：拓展研究课四、教学过程（一）对近年高考试题分析1、 设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-，若当[0,5]x ∈时，()f x ()0f x <的解。
（2004年高考）2、()f x 是定义在区间[,]c c -上的奇函数，其图像如图所示。
令()g x的叙述正确的是（ ）（2003年高考）（A ）若0a <，则函数()g x 的图像关于原点对称；（B ）若1,20a b =--<<，则方程()0g x =有大于2的实根；（C ）若0,2a b ≠=，则方程()0g x =有两个实根；（D ）若1,2a b ≥<，则方程()0g x =有三个实根。
（二）例题选讲例1 已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且对任意(0,)x y ∈+∞、都有(()()x f f x f y y =-。
（1）求(1)f 的值； （2）若(6)1f =，求解不等式：1(3)()2f x f x +-<。
求函数值练习：1、定义在R 上的函数()y f x =同时满足：（a ）对任意33,()[()]x R f x f x ∈=；(b) 对任意1212x x R x x ∈≠、、均有12()()f x f x ≠。
求(0)(1)(1)f f f ++-的值。
2、()f x 是定义在R 上的函数，且1()(1)(()01)1()f x f x f x f x ++=≠-和，若(1)2f =，求(2005)f 的值。
例2 定义在R 上单调函数()f x 满足2(3)log 3f =且对任意x y R ∈、都有：()f x y +=()()f x f y +。
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抽象函数问题的解题策略（学生版）资料整理：邓军民（数学驿站 ）一、利用特殊模型有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法.例1 设函数f(x)是定义在R 上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y), f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)< 的解集为 .例1 若函数f(x)与g(x)在R 上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)= .二、利用函数性质函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路转、化难为易.1. 利用单调性例3 设f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2.25612. 利用奇偶性例4 已知函数f(x)=ax 5+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值.3. 利用周期性例5 设函数f(x)在R 上是奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当0<x ≤1时,f(x)=x,则f(7.5)= .例6 已知函数f(x)满足f(1)=2,f(x+1)=)(1)(1x f x f −+,则 f(2007)= .4. 利用对称性例7 已知f(x)是奇函数,定义域为{x|x ∈R,x ≠0},又f(x)在区间（0,+∞）上是增函数,且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 的取值区间是 .例8 定义在（-∞,+∞）上的函数y=f(x)在（-∞,2）上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f(6)的大小关系为 .三、利用特殊方法有些抽象函数问题,用常规方法来解决往往难于奏效,但用一些非常规方法来求解,常收到意想不到的效果.1. 利用赋值法例9 函数f(x)的定义域为R,对任意x、y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0.（1）求证:f(0)=1;（2）求证:f(x)是偶函数; （3） ① 求证:对任意x∈R,有f(x+c)= -f(x)成 立;② 求证:f(x)是周期函数..0)2()0(=≠c f 丆c c 使若存在常数2. 利用递推法例10设函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),求证：f(x)是周期函数.例11 f(x)是定义在正整数集的函数,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy (x,y∈N),f(1)=1,求函数f(x)的解析式.+3. 利用反证法例12 已知函数f(x)在区间(-∞,+∞）上是增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).求证:a+b≥0.例13 设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x) ≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立,求证:对定义域内任意x,都有f(x) >0.以上我们利用抽象函数的特殊模型、函数性质、特殊方法等途径举例说明了求解抽象函数问题的一些策略.事实上处理这类问题时,常将几种解题策略综合使用,“多管齐下”方能游刃有余.抽象函数问题的解题策略（教师版）资料整理：邓军民（数学驿站 ）一、利用特殊模型有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法.例1 设函数f(x)是定义在R 上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y),f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)< 的解集为 . 解 因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型,又 f(-3)=8, 则可取 ∵f(x)f(x-2)< ∴221()21(−x x ＜2561, 即22)21(−x ＜8)21(， ∴ 2x-2 >8, 解不等式,得 x >5, ∴ 不等式的解集为 {x|x >5}.例2 若函数f(x)与g(x)在R 上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)= .解 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型,又f(-2)=f(1)≠0, 则可取x x f 32sin )(π= 于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) 二、利用函数性质函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路转、化难为易.1. 利用单调性例3 设f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2.解 ∵ 函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,∴ 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9), 由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9),∵ 函数f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数, 则 ∴ 不等式解集为 {x|8<x ≤9}. 2561 2561 ,21()(x x f =x >0, x-8>0, x(x-8)≤9,⇒ 8<x≤9, 32sin )1()1()32sin()34sin(πππ−−−=−⇒g g.1)1()1()1(23)1(2323−=−+⇒−−−=⇒g g g g2. 利用奇偶性例4 已知函数f(x)=ax 5+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值.分析 f(x)的解析式含有两个参数a、b,却只有一个条件f(-3)=7,无法确定a、b 的值,因此f(x)仍是抽象函数,但我们注意到g(x)=ax 5+bsinx 是奇函数,有g(-3)=-g(3).解 设g(x)=ax 5+bsinx,显然g(x)是奇函数,∵ f(-3)=7,∴ f(-3)=g(-3)+3=-g(3)+3=7 g(3)=-4,∴ f(3)=g(3)+3=-4+3=-1.3. 利用周期性例5 设函数f(x)在R 上是奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当0<x ≤1时,f(x)=x,则f(7.5)= .解 由f(x+2)=-f(x) ,得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数,且是奇函数,于是 f(7.5)=f(2×4-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.例6 已知函数f(x)满足f(1)=2,f(x+1)=)(1)(1x f x f −+,则 f(2011)= . 解 ∵ ∴ f(x)是以4为周期的周期函数,4. 利用对称性例7 已知f(x)是奇函数,定义域为{x|x ∈R,x ≠0},又f(x)在区间（0,+∞）上是增函数,且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 的取值区间是 . 解 依已知条件作出f(x)的大致图象,如图1所示,从图象中可看出,当f(x)>0时,x 的取值区间是（-1,0）∪（1,+∞）.,)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)2(x f x f x f x f x f x f x f −=−−−++=+−++=+ ),()2(1)4(x f x f x f =+−=+从而所以f(2011)=f(3)=f(1+2)= -1/f(1)= -1/2. 图1 ⇒例8 定义在（-∞,+∞）上的函数y=f(x)在（-∞,2）上是增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则f(-1),f(4),f(6)的大小关系为 .解 设F(x)=f(x+2),∵ F(x)为偶函数,∴ F(-x)=F(x), 即f(2+x)=f(2-x),∴ 函数f(x)的图象关于直线x=2对称,∴ f(-1)=f(5),∵ f(x)在（-∞,2）上是增函数,∴ f(x)在（2,+∞）上是减函数,∴ f(6)<f(5)<f(4), 即f(6)<f(-1)<f(4).三、利用特殊方法有些抽象函数问题,用常规方法来解决往往难于奏效,但用一些非常规方法来求解,常收到意想不到的效果.1. 利用赋值法例9 函数f(x)的定义域为R,对任意x、y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)= 2f(x)f(y),且f(0)≠0.（1）求证:f(0)=1;（2）求证:f(x)是偶函数; （3） ① 求证:对任意x∈R,有f(x+c)= -f(x)成 立;② 求证:f(x)是周期函数. 解 （1）令x=y=0,则有2f(0)=2f 2(0),∵ f(0)≠0,∴ f(0)=1.（2）令x=0,则有f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y),∵ f(0)=1, ∴ f(-y)=f(y), ∴ f(x)是偶函数. （3）① 分别用22c 丄c x + (c≠0)替换x、y, 有f(x+c)+f(x)=2f(2c x +)f(2c ). ∵ f(2c )=0, ∴ f(x+c)= -f(x) . ② 由①知 f(x+c)=-f(x),用x+c 替换x,有f(x+2c)=-f(x+c)=f(x),∴ f(x)是以2c 为周期的周期函数.2. 利用递推法例10 设函数f(x)的定义域为R ,且对任意实数x,都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),求证：f(x)是周期函数.解 ∵ f(x)=f(x+1)-f(x+2), ∴ f(x+1)=f(x+2)-f(x+3),将以上两式相加,得 f(x+3)=-f(x), ∴ f(x+6)=-f(x +3)=f(x),∴ f(x)是周期函数,6是它的一个周期.例11 f(x)是定义在正整数集的函数,且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy (x,y∈N +),f(1)=1,求函数f(x)的解析式.解 令y=1, ∵ f(1)=1,∴ f(x+1)=f(x)+f(1)+x, 即f(x+1)-f(x)=x+1, .0)2()0(=≠c f 丆c c 使若存在常数则 f（2)-f(1)=2,f（3)-f(2)=3,……f(x)-f(x-1)=x.将以上各式相加,得 f(x)-f(1)=2+3+4+ …+x, ∴ f(x)=1+2+3+4+…+x=21x(x+1) (x∈N +). 3. 利用反证法例12 已知函数f(x)在区间(-∞,+∞）上是增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).求证:a+b ≥0.证明 假设a+b <0,则a <-b,b <-a,∵ 函数f(x)在区间(-∞,+∞）上是增函数,∴ f(a) <f(-b),f(b) <f(-a),∴ f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与已知矛盾,∴ a+b <0不成立,即a+b ≥0.例13 设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x) ≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立,求证:对定义域内任意x,都有f(x) >0.证明 假设在定义域内存在x 0,使f(x 0)≤ 0, ∵ ∴ f(x 0) >0,这与假设的f(x 0)≤ 0矛盾, 所以假设不成立,故对定义域内任意x,都有f(x) >0.以上我们利用抽象函数的特殊模型、函数性质、特殊方法等途径举例说明了求解抽象函数问题的一些策略.事实上处理这类问题时,常将几种解题策略综合使用,“多管齐下”方能游刃有余.,0)2(),2()2()2()22()(00200000≠==+=x f x f x f x f x x f x f。