(10)刚体习题课

⋅
13 ⇒ L = mRv − mRu 8
9
Ro
m 4
dL 根据角动量定理： 根据角动量定理： M= dt
1 M = Rmg 2
13 L = mRv − mRu 8
v
m
1 d 13 ⇒ mgR = mRv − mRu 2 dt 8
m 2
du Q =0 dt
dv 4 ∴a = = g dt 13
的圆盘绕竖直轴O作以角速度 例8、质量为 、半径为 的圆盘绕竖直轴 作以角速度 、质量为M、半径为R的圆盘绕竖直轴 的匀速转动。人的质量m=¼M。现有四个质量相同的 。 ω0的匀速转动。人的质量 人其中两人沿圆盘边缘顺着转盘的转向、 人其中两人沿圆盘边缘顺着转盘的转向、相对于转盘以 速度v奔跑而另外两人在距轴心为 奔跑而另外两人在距轴心为R/2处逆着转盘的转向、 处逆着转盘的转向、 速度 奔跑而另外两人在距轴心为 处逆着转盘的转向 相对于转盘以速度2v奔跑 奔跑。 相对于转盘以速度 奔跑。设原来四人的相对位置如图 四人相对静止，轴摩擦可略， 示，四人相对静止，轴摩擦可略，求： 1、当四人相对于盘奔跑时，转盘的转速ω' 、当四人相对于盘奔跑时，转盘的转速ω 2、如四人均顺着转盘的转向奔跑，转盘的转速ω" 、如四人均顺着转盘的转向奔跑，转盘的转速ω
Fy o RA Rc
v v1
球打在A点 轴间仍没有 方向轴力 球打在 点，轴间仍没有x方向轴力 球和棒系统， 球和棒系统，水平方向动量守恒
mv 1 = mv 2 + MVc
系统角动量守恒
c A
1 2 Vc RA ⋅ mv1 = RA ⋅ mv2 + Jω = RAmv2 + ML ⋅ 3 L2 2 m=M RA = L 6 3 Vc = v 弹性球碰撞， 弹性球碰撞，机械能守恒 7 2 Fy 1 1 1 2 1 2 Vc 2 mv 1 = mv 2 + ⋅ ML ⋅ L 2 = Mg + MV 2 / R 2 2 3 2 c c 16
3
11
dM = 2rf × (2πrdr ) = −4πkvr dr
2
o
质量为M长为 长为L的均质细棒静止平放在滑动摩 例5. 质量为 长为 的均质细棒静止平放在滑动摩 的水平桌面上。它可绕O点垂直于桌面 擦系数为 µ 的水平桌面上。它可绕 点垂直于桌面 的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m的 的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为 的 小滑块，从侧面垂直于棒方向与棒发生碰撞， r 小滑块，从侧面垂直于棒方向与棒发生碰撞，设碰 r 撞时间极短。 撞时间极短。已知碰撞前后小滑块速度分别为1 和 v v2 求细棒碰撞后直到静止所需的时间是多少？ 。求细棒碰撞后直到静止所需的时间是多少？
rA
由转动定律： A f A = JAαA r 由题意： 由题意：
fB
fA
a t A = a tB
( 1) rB fB = JBαB ( 2) rAαA =rBαB ( 3)
8
则：FA : FB = 1 : 2
的滑轮。 例3、一轻绳绕过一半径为 ，质量为 、一轻绳绕过一半径为R，质量为m/4的滑轮。质量 的滑轮 的人抓住了绳的一端， 为m的人抓住了绳的一端，在绳的另一端系一个质量为 的人抓住了绳的一端 m/2的重物，如图所示。求当人相对于绳匀速上爬时， 的重物， 的重物 如图所示。求当人相对于绳匀速上爬时， 重物上升的加速度是多少？ 重物上升的加速度是多少？ 选人、 解：选人、滑轮与重物为系统 外力矩为 对O轴，系统所受的外力矩为： 轴 系统所受的外力矩 o m R 4 m 1 M = Rmg − R g = Rmg 2 2 v 为人相对绳的匀速度， 设u为人相对绳的匀速度，v 为重物上升 为人相对绳的匀速度 m 的速度, 则系统对o轴的角动量为 轴的角动量为: 的速度 则系统对 轴的角动量为 m 1 m 2 2 L = R m v − Rm u − v + Jω J = R ( ) 2 2 4
r r 运动定律 F = m a
动量 r r r 角动量 L = r × p
t2 动量定理 ∫t1 Fdt
r v p = mv
∆θ 角位移 dθ θ ω= 角速度 dt dω d 2θ 角加速度 α = = dt dt2 2 转动惯量 J = ∫ r dm r r r 力矩 M = r ×F r r 转动定律 M = J αr v p = m v质心 动量 角动量 ∑ Li = Jω
动能定理
1 2 转动动能 E k = Jω 2 1 2 （平动动能 E k = mv 质心） 2
转动动能定理
1 2 1 2 A外 = mv2 − mv1 2 2
重力势能
mgh
1 2 1 2 A外 = Jω 2 − Jω1 2 2 重力势能 mgh质心
机械能守恒定律
机械能守恒定律
A外 + A非保内 = 0 时 E k + E p = 恒量
A、 轮的质量分别为 A = 10kg和 B = 20kg, B m m
例. 如 ， 轮、 可 2 图 转 A B 分别 立 绕 轴 动 独 地 o 转 。
r r f f 半径分别为A和 B。现用力 A和 B分别拉系在轮上 滑动。 A 的细绳且使绳与轮间无 滑动。为使 、B两轮边缘处
切向加速度相同， 的拉力 A、 B之比为多少？ f f 之比为多少？ 切向加速度相同，相应 解：A、B滑轮视为两个刚体 、 rB 将不再相同。 它们的 ω和 α将不再相同。 o
碰撞过程， 解： m与M碰撞过程， 与 碰撞过程 系统（ 系统（m,M）对O轴角动量守恒 r r ） 轴
o
mv 1 L = − mv 2 L + Jω
1 2 J = ML 3
（1） ） （2） ）
v 2 v1
碰后细棒转动直至停止， 碰后细棒转动直至停止，受摩擦阻力矩作用
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mv 1 L = − mv 2 L + Jω
当只有保守力矩作功 ⇒ E k + E p = 恒量
2
说明： 说明： 粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体， （1）粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，要把它们看 成一个刚体，不要分开考虑。 成一个刚体，不要分开考虑。
它们的ω和α均相同，但不同半径处的υ和a不同。
如图， r 如图，在 处：
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的圆盘， 例4、质量为 ，半径为 的圆盘，可绕过盘中心且垂直 、质量为m，半径为R的圆盘 于盘面的轴转动， 于盘面的轴转动，在转动过程中单位面积所受空气的阻 力为 f = − kv ， = 0 时，圆盘的角速度为 ω 0 ，求盘在任 t 意时刻的速度 ω = ω (t ) 。 先求阻力力矩, 宽为dr的圆带 解:先求阻力力矩 取半径为 宽为 的圆带 先求阻力力矩 取半径为r宽为
FRA = Jα
质心运动定理 F = Macτ 联立可得： 联立可得： R = 2 L A
1 2 = ML α 3
L acτ = rcα = α 2
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3
（2）如果用质量为m=M，速度为v1的弹性球 如果用质量为m 速度为v 沿水平方向击中A 碰撞后轴o 沿水平方向击中A点，碰撞后轴o对细杆的作用 力将如何？ 力将如何？
= −4πkωr dr r R 4 3 dr M = − ∫ 4πkωr dr = −πkR ω 0 dω 1 2 dω 4 由转动定理： 由转动定理：J = M ⇒ mR = −πkR ω dt 2πkR2 2 dt 2 2 − t ω dω t dω 2πkR 2πkR ω = ω0e m =− dt ⇒ ∫ =− ∫0 dt ω0 ω m m ω

J
F
l 2 Ry −mg= m ω 2 2 2 2 3y 9F y (∆t) 于是得到： 于是得到： x = −(1− )F R = mg + R y 3 2l 2l m
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2 dt
例7、如图所示，以水平力F打击悬 如图所示，以水平力F Fy 挂着的质量为M 长度为L的均匀细杆。 挂着的质量为M、长度为L的均匀细杆。 如果打击点A选择得合适， 如果打击点A选择得合适，在打击的过 o 程中，支撑轴o对细杆的水平切向力F 程中，支撑轴o对细杆的水平切向力Fx 为零，称该点为打击中心 试求： 打击中心。 为零，称该点为打击中心。试求： Fx 打击中心A与支撑轴o之间的距离R （1）打击中心A与支撑轴o之间的距离RA。 RA R c c 如果用质量为m 速度为v （2）如果用质量为m=M，速度为v的弹 性球沿水平方向击中A 碰撞后轴o 性球沿水平方向击中A点，碰撞后轴o对 A 细杆的作用力将如何？ 细杆的作用力将如何？ F 解(1)由转动定律 由转动定律
J铁
1 2 2 = mR铁 J 木 = 1 mR木 Q R铁 < R木 2 2
∴ J铁 < J木
由角动量定理得： M = ∆L = J∆ω 由角动量定理得： ∆t ∆t
M相同， ∆ω也相同, 所以： 相同， 所以：
J木 J铁 = ∆t 铁 ∆t 木
J木 ∆t木 = ∆t铁 > ∆t铁 J铁
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因此， 因此，铁圆板先停
有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等 （2）跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等； ）跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等； 角速度和 不相等。 （3）两个圆盘的角速度和角加速度不相等。 ）两个圆盘的角速度 角加速度不相等
TA ≠ TB ≠ TD 但 TB = T（忽略绳子的质量） C
ω1 ≠ ω2
0 ω
= − xdf
Mdt = Jdω
有： ∫ M f dt = J ∫ dω
t
（3） ） （4） ）
由以上四式解出： 由以上四式解出：
2m(v1 + v 2 ) t= µMg