【大学资料】线性代数期末习题库及答案
线性代数期末复习题及参考答案
线性代数期末复习题及参考答案复习题之判断题(√)1. 若行列式的每一行元素之和全为零，则行列式的值等于零. ( )2. 设A ，B 为n 阶矩阵，则22))((B A B A B A −=−+. (√)3. 方阵A 可逆的充要条件是A E ~.( )4. 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵，则A 必有n 个互不相同的特征值. (√)5. 二次型222123123(,,)4f x x x x x x =++是正定二次型. (√ )6. 若B A 、为n 阶方阵，则AB BA =. ( )7. 设A 为任意n 阶矩阵，则A —A T 为对称阵. ( )8. 若n 阶矩阵A 能对角化, 则A 必有n 个不同的特征值. (√)9. 实对称矩阵A 对应不同特征值的特征向量必正交. (√)10. 设AB=0，若A 为列满秩矩阵，则B=0.( )11. 对于任何矩阵Amxn ，不能经过有限次初等列变换把它变为列阶梯形矩阵和列最简形矩阵.( )12. 奇排列变成标准排列的对换次数为偶数.( )13. 在秩是r 的矩阵中，存在等于0的r-1阶子式，但是不存在等于0的r+1阶子式.复习题之填空题1．设向量()1,0,3,Tαλ=−，()4,2,0,1Tβ=−−，若α与β正交，则λ= - 4 ． 2. 当A 为任意的n 阶矩阵时，下列矩阵A A T +;T A A −;T AA ;A A T 中, 对称矩阵是T T T A A AA A A +，，，反对称矩阵是T A A −. 3. 设00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，B ，C 均为可逆矩阵，则1A −=1100C B−−⎛⎫⎪⎝⎭.4．设A 是n 阶矩阵（2n ≥），且A 的行列式det 2A =, 则它的伴随矩阵*A 的行列式*det A =12n −5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−=466353331A 的所有特征值之和等于0.6. 设,A B 为n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件AB=BA.7．设向量11,,0,132Tα⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，()3,2,1,1T β=−−，则α与β的内积为 1 ．8．设方阵A 满足2240A A E −+=，且A E +可逆，则1()A E −+＝37A E−−. 9. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，若0A =，则*A =0.10．设向量()1,2,0,1T α=−，()3,1,1,2Tβ=−−，则α与β的内积为 -1 ． 11．设方阵A 满足220A A E −−=，且A 可逆，则1A −＝2A E−.12．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=269643932A 的所有特征值之和等于0 ．13.2103111113423122−−−−的代数余子式之和31323334-2A A A A ++= -33 ___ .14. 设n 阶矩阵A 满足0322=+−E A A ，则()12−−E A=3A −15. 若4阶方阵A 的行列式A =3, *A 是A 的伴随矩阵，则*A = 27 ___ . 16 向量α=()1,1,1,5T−−−与()4,2,1,Tβλ=−−正交，则λ=-1.17. 二次型2221231231223(,,)4324f x x x x x x x x x x =−+−+−对应的对称矩阵是110142023A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭_________________．18.3023111110560122−−−−−的代数余子式之和31323334A A A A +++= 0 .19. 设n 阶矩阵A 满足02A 2=−−E A ，则1)3(A −−E =2A E +−.20. 设A 是4阶方阵，4A =−，则*A =-64.21. 向量(2,2,3),(3,3,)T T t αβ=−=−−与正交，则t = 0 .22. 二次型22123131223(,,)224f x x x x x x x x x =++−对应的对称矩阵是110102022A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．复习题之计算题1a ．设3111131111311113A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 122212221B ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．（1）计算矩阵A 的行列式．（2）求矩阵B 的逆． 1a.(1)解：=D 31111311113111136111631161316113=11111311611311113=11110200600200002==48.(2).解：()122100************A E ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭122100036210063201⎛⎫⎪→−−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭122100036210009221⎛⎫ ⎪→−−− ⎪ ⎪−⎝⎭12211021012033221001999⎛⎫ ⎪⎪→− ⎪⎪ ⎪−⎝⎭122100999212010999221001999⎛⎫⎪ ⎪→− ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭ 从而有112212129221A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭。
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
线性代数期末考试试卷+答案.
×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 分，共 分）若022150131=---x ，则=χ 。
．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题 分，共 分） 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ） 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
三、单项选择题 每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题 分，共 分设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n 2② 12-n③ 12+n④n 维向量组 s ααα，，， 21（ ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 下列命题中正确的是 。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关设A ，B 均为 阶方阵，下面结论正确的是 。
线性代数期末测试题及其答案
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、选择题 （每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t 7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-AC.n A r =)(D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x 10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ 三、解答题 （每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式E X B C T =-)(， 求X 。
线性代数期末试卷及详细答案
线性代数期末试卷及详细答案⼀、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每⼩题2分，共10分）1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12D D OO =_____________。
2、四阶⽅阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶⽅阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶⽅阵A 满⾜关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
⼆、单项选择题（每⼩题仅有⼀个正确答案，将正确答案的番号填⼊下表内，每⼩题2分，共20分）1、若⽅程13213602214x x x x -+-=---成⽴，则x 是（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶⽅阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶⽅阵，则()**A=（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪⼀个是初等矩阵（A ）100002?? ???；（B ）100010011??；（C ）011101001-?? ?- ? ?；（D ）010002100??- ；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，，m α线性⽆关；（B ）向量组1,α2α，，m α若其中有⼀个向量可由向量组线性表⽰，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α的⼀个部分组线性相关，则原向量组本⾝线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每⼀个向量都可由其余向量线性表⽰。
大学线代期末试题及答案
大学线代期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于多少？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B2. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是：A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是唯一的答案：B3. 向量组α1, α2, α3线性无关，则下列说法正确的是：A. 这三个向量可以构成一个平面B. 这三个向量可以构成一个空间C. 这三个向量可以构成一个直线D. 这三个向量可以构成一个点答案：B4. 设A是n阶方阵，如果A的特征值为λ，则下列说法正确的是：A. λ是A的最小特征值B. λ是A的最大特征值C. λ是A的特征值D. λ不是A的特征值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行列式|A|等于______。
答案：02. 设向量组α1, α2, α3线性相关，则至少存在不全为零的实数k1, k2, k3使得k1α1 + k2α2 + k3α3 = ______。
答案：03. 若A是3阶方阵，且A的迹等于6，则A的特征值之和等于______。
答案：64. 设向量空间V中有两个子空间U和W，若U与W的交集只包含零向量，则称U和W为______。
答案：互补子空间三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的逆矩阵。
答案：首先计算A的行列式，|A| = 1*4 - 2*3 = -2。
然后计算A的伴随矩阵，即\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1\end{pmatrix}\]。
最后，A的逆矩阵为\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\] / (-2) = \[\begin{pmatrix} -2 & 1 \\1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\]。
线性代数期末考试试卷+答案
×××大学线性代数期末考试题、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 2分，共10分）1 -3 1P X IX 2 X 3 =02 .若齐次线性方程组 J x 1+χx 2+x 3=0只有零解，则 扎应满足X 1亠 X 2亠 X 3= 05. n 阶方阵 A 满足 A 2-3A-E = 0 ,贝U A J = _____________________ 。
、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“X” 。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则D 0。
（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）3. 向量组a 1, a 2,…,a m中，如果a 1与a m对应的分量成比例，则向量组 a 1, a 2,…，a s线性相关。
■为可逆矩阵A 的特征值，贝U A J 的特征值为’。
（）若三、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题1.设A 为n 阶矩阵，且A = 2 ,则I AA T =（ ）。
①2n②2n'③2n1④42. n 维向量组:∙1,:-2, , ：■ S （ 3 < S < n ）线性无关的充要条件是（）。
-0 11 0 0 0 0 04. A =0 0 0 10 1 0①：'1, ：'2 ,'：'S 中任意两个向量都线性无关②＞1,-：：S 中存在一个向量不能用其余向量线性表示③：'1, -'2 ,-■ S中任一个向量都不能用其余向量线性表示1.若0 5 -12x =0,则= —23•已知矩阵A ,B ,C = (C ij )s n ,满足AC =CB ,则A 与B 分别是 _____________ 阶矩阵。
a124 .矩阵 A= a21a 22的行向量组线性31a32丿2分，共10分）11,贝U A A =A 。
线性代数期末试题
线性代数试题（附答案）一、填空题（每题2分，共20分）1.行列式0005002304324321= 。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为 。
3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。
4.A 为n n ⨯阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。
5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。
7.设=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。
8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--⨯A A 。
9.二次型x x x x x x f 23222132123),,(--=的正惯性指数为 。
10.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是 。
二、单项选择（每小题2分，共12分）1.矩阵()==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。
A 、1B 、2C 、3D 、4 2. 齐次线性方程组⎩⎨⎧=--=++-02023214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、43.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ）A 、-1B 、-2C 、0D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（ ）A 、B=EB 、A=EC 、A=BD 、AB=BA5.已知=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（ ） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或26.下列矩阵中与矩阵合同的是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5000210002（ ） A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200020001 B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500020003 C 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020002三、计算题（每小题9分，共63分）1．计算行列式),2,1,0(0000002211210n i a a c a c a c b b b a i nnnΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中2．当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++=+++=+++ax x x x x x x x x x x x x x x x a 4321432143214321710535105363132,线性方程组取何值时有解？在方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的通解。
线性代数期末考试题及答案
《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。
线性代数期末试卷及答案1
2 线性代数（必修） A 卷（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分） 1. .已知行列式12121a a b b =，12123a a c c =，则121122a abc b c --=______.2. 设A 为2阶矩阵，且3=A ,则13--A =______.3. 齐次线性方程组123230x x x ++=的基础解系所含解向量的个数为______.4. 设3阶矩阵A 的特征值为－1，0，2，则|A |=______．5. 设向量α=(3，－4)T ，则α的长度||α||=______． 二、选择题（每小题3分，共15分）1. 设a ,b 为实数，且000101abb a -=--，则必有( )（A ）a =0,b =0 (B) a =1,b =0 (C) a =0,b =1 (D) a =1,b =1 2. 设4阶矩阵A 的元素均为3，则r(A )= ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）.4 3. 设A 为m ×n 矩阵，A 的秩为r ，则（ ）A. r =m 时，Ax =0必有非零解B. r =n 时，Ax =0必有非零解C. r <m 时，Ax =0必有非零解D. r <n 时，Ax =0必有非零解 4. 下列命题中错误．．的是（ ） （A ）只含一个零向量的向量组线性相关；（B ）由3个2维向量组成的向量组线性相关； （C ）由一个非零向量组成的向量组线性相关； （D ）两个成比例的向量组成的向量组线性相关5. 若向量α=（1，1，t ）与β=(1，1，1)正交，则t =（ ） A. 0 B. -1 C. -2 D. 1 三、 计算题（本题60分）1.（10分）计算4阶行列式1234234134124123D =。
课程考试试题学期 学年拟题人:校对人:拟题学院（系）: 适 用 专 业:2.（10分）已知矩阵112012435A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，112210B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （1）求1A -；（2）解矩阵方程XA B =。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，满足以下哪两个条件？A. 线性无关B. 可以表示空间中的任何向量C. 可以线性组合出空间中的任何向量D. 以上都是2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大数目B. 矩阵中非零列的最大数目C. 矩阵的行向量组的秩D. 矩阵的列向量组的秩3. 线性变换的核是指：A. 变换后为零的向量集合B. 变换后为单位向量的向量集合C. 变换后保持不变的向量集合D. 变换后向量长度为1的向量集合4. 特征值和特征向量是线性变换中的基本概念，特征向量满足以下条件：A. 变换后保持不变B. 变换后与原向量成比例C. 变换后与原向量垂直D. 变换后与原向量正交5. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的逆矩阵？B. A的伴随矩阵C. A的行列式D. 与A相乘结果为单位矩阵的矩阵6. 行列式的性质不包括：A. 行列式与矩阵的转置相等B. 行列式与矩阵的伴随矩阵无关C. 行列式与矩阵的行（列）交换有关D. 行列式与矩阵的行（列）乘以常数有关7. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 方程组的系数矩阵是可逆的B. 方程组的系数矩阵是方阵C. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩D. 方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数8. 矩阵的迹是指：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行向量长度之和C. 矩阵的列向量长度之和D. 矩阵的行列式9. 线性无关的向量组可以作为向量空间的基，其必要条件是：A. 向量组中的向量数量等于向量空间的维数B. 向量组中的向量数量大于向量空间的维数C. 向量组中的向量数量小于向量空间的维数D. 向量组中的向量数量可以任意10. 对于矩阵A，下列哪个矩阵是A的共轭转置？A. A的转置矩阵C. A的伴随矩阵D. A的复共轭矩阵的转置答案：1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. A 9. A 10. D二、填空题（每空2分，共20分）1. 设向量空间V的基为{v1, v2, ..., vn}，则向量v可以表示为______ 。
线性代数期末习题库及答案.docx
一、计算下列行列式: 1、 3、 5、 7、 《线性代数》补充练习 练习一 行列式2、1 -1 1力- -2 1 0 0 01 -1Z + 1 -1 ?4、-211 Z-1 1 -1 —°10 =二？ z + l -11 -10 0 0 -2 11O 10 0-22-1 -1 -1 -12 0-1 -1 A-1 -1 -1 -?6、 0-z A- 1 --1 -1 2-1-1-12-1 -1 -1 2-1k0 1 1 1 1 1 1 =?1 — a a 0 0 00 1 1 … 1 1 -11 — Q a1 0 1 … 1 10 -1 1 — Q a 0 =? 8、D … =11… 1 1-1 1 — Cla1 1 1 … 0 1 0 0 0-1 1 — a111 … 1 0babD 51 0 0 … 0 11 1 0 …0 0 D” =0 1 1 … 0 00 …1 19、 -?10、、若下面的齐次线性方程组有非零解，求2的取值。
兀1 +加3=0 2x l _无 =0 加1 + x 2 =0 x 3 + 2X 4 = 0 三、用克莱姆法则解线性方程组:兀]+ x2+兀 3 =a+b+cax x+ bx2+ cx3=a2 +b2 +c2其中a、b、c为互不相等的常数。
bcx、+ acx2+ abx3=3abc练习二线性方程组一、选择题：(1)设n阶方阵A的秩r<n,则在A的n个行向量中( )(A)必有r个行向量线性无关；(B)任意r个行向量均可构成极大无关组；(C)任意r个行向量均线性无关；(D)任一个行向量均可由其他r个行向量线性表示(2)若向量组a, p, 丫线性无关；a, p, 6线性相关，贝)(A)a必可由B, y, 6线性表示；(B) B必不可由a, y, 6线性表示；(C) 6必可由a, B, 丫线性表示；(D) 6必不可由a, B, 丫线性表示；(3)设有向量组a ]= (1, -1, 2, 4) ,a2= (0, 3, 1, 2) a 3= (3, 0, 7, 14),a 4= (1, -2, 2, 0) ,a 5= (2, 1, 5, 10)则该向量组的极大线性无关组是( )(A) a a 2, a 3(B) a” a 2, a 4(C) a” a 2, a 5 (D) a 1； a 2, a 4, a 5(4)设A为mXn矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是：( )(A)A的列向量线性无关；(B) A的列向量线性相关；(C) A的行向量线性无关；(D) A的行向量线性相关。
大学线性代数期末试卷及答案
大学线性代数期末试题一、填空题（每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3、n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
《线性代数》期末考试试卷附答案B卷
《线性代数》期末考试试卷附答案B 卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.设行列式=m ，=n ，则行列式等于（ ）A. m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2. 设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ ）A. A =0B. B C 时A =0C. A 0时B =CD. |A |0时B =C 3.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 5.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为06.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.η1+η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b 的一个解 7.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解8.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关9.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则a a a a 11122122a a a a 13112321a a a a a a 111213212223++≠≠≠1212必有（ ） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3D. k>3 10.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 B.|A |必为1C.A -1=A TD.A 的行（列）向量组是正交单位向量组二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. .2.设A =，B =.则A +2B = .3.设A =(a ij )3×3，|A |=2，A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= .4.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= .5.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为 .6.设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .7.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 8.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . 9.设矩阵A =，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 . 10.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .三、计算题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、.设A =，B =.求（1）AB T ；（2）|4A |.11135692536=111111--⎛⎝⎫⎭⎪112234--⎛⎝ ⎫⎭⎪010********---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪2、给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
线性代数期末试题及答案
8.设A 为三阶方阵, 且3=A , 则 12-=A .一、填空题（每小题2分，共20分）1.行列式=-203297302233241.2.设014111112--=D ，则=++333231A A A .3.设 , 231102 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A , 102324171⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B 则= )( TAB . 4.设052=-+I A A ，则=+-1)2(I A .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100120121A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A .6.A 、A 分别为线性方程组b AX =的系数矩阵与增广矩阵，则线性方程组b AX =有解的充分必要条件是 .7.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30511132a A ，且秩(A )=2，则=a .9.向量组1(1,2,1,1),T α=-,)0,3,0,2(2T=αT )1,4,2,1(3--=α的秩等于 . 10.设21,αα是)3(≥n n 元齐次线性方程组OAX =的基础解系，则=)(A r .二、选择题（每小题2分，共20分）1.已知101yxy x aA =，则A 中元素a 的代数余子式11A 等于（ ）.A.1- B .1 C .a - D .a2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）.A .3B .3-C .5D .5-3.B A ,均为n 阶矩阵，且2222)(BAB AB A ++=+，则必有（ ）.A.B A = B .I A = C .I B = D .BA AB =4.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）.A.0=+B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B5.设33⨯阶矩阵),,(1γβα=A ，),,(2γβα=B ，其中γβαα,,,21均为3维列向量，若2=A ，1-=B ，则=+B A （ ）.A.4 B .4- C .2 D .16.设B AX =为n 个未知数m 个方程的线性方程组，,)(r A r =下列命题中正确的是（ ）.A .当n m =时，B AX =有唯一解 B .当n r =时，B AX =有唯一解C .当m r =时，B AX =有解D .当n r <时，B AX =有无穷多解7.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）.A .1或2B .1或－2C .－1或2D .－1或－28.n 阶矩阵A 的秩r n =的充分必要条件是A 中（ ）.A.所有的r 阶子式都不等于零 B .所有的1r +阶子式都不等于零 C.有一个r 阶子式不等于零 D .有一个r 阶子式不等于零, 且所有1r +阶子式都等于零9.设向量组,),,1(21T a a =α,),,1(22T b b =αT c c ),,1(23=α，则321,,ααα线性无关的充分必要条件是 （ ）.A.c b a ,,全不为0 B .c b a ,,不全为0 C .c b a ,,互不相等 D .c b a ,,不全相等10.已知21,ββ为b AX =的两个不同的解，21,αα为其齐次方程组0A X =基础解系，21,k k 为任意常数，则方程组b AX =的通解可表成（ ）.A.2)(2121211ββααα-+++k kB .2)(2121211ββααα++-+k k线性代数期末试题答案一、填空题（每小题2分，共20分）1.52.03. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1031314170 4. )(31I A - 5.1/211/2011/2001/2-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.)()(A r A r =7.6=a8. 38 9.2 10.2-n二、选择题（每小题2分，共20分）1.B2.C3.D4.D5.A6.C7.B8.D9.C 10.B 三、（8分)解：3211324-824823592373(1)373125212412411131D -===-----18361836(1)1313241=-=-=-四、（10分）解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14191269629303212114321011324TAA （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=--461351341)2(1E A (3) 由XA AX2+=，得A XE A =-)2(A E A X 1)2(--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=9122692683321011324461351341五、（12分）解：将方程组的增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵：22112411411242110228018211240134(1)(4)00(4)2k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-⎢⎥-⎣⎦A所以，⑴ 当1k≠-且4k ≠时，()()3r r ==A A ，此时线性方程组有唯一解．⑵ 当1k =-时，()2=A r ，()3=A r ，此时线性方程组无解．⑶ 当4k=时，()()2==A A r r ，此时线性方程组有无穷多组解．此时，原线性方程组化为132334x x x x =-⎧⎨=-⎩ 因此，原线性方程组的通解为13233334x x x x x x=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或者写为123034101x x C x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x (C R)∈六、（10分）解：记向量组4321,,,αααα对应矩阵为A 并化为行阶梯形矩阵为12341223122324130212(,,,)12030013062300002634000A αααα--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪==→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以向量组4321,,,αααα的秩为3且它的一个最大无关组为：123,,ααα或124,,ααα1004101020013000000A -⎛⎫⎪ ⎪- ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭41231432αααα=--+ 七、（12分）解：（1）.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=61826239131039131024511810957245113322311312A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→0000000039131015801为自由未知量。
线性代数期末试卷及详细答案
（A ）A=E
（B ） A 相似于 E （ C） A2 E
（ D） A 合同于 E
8、若 1, 2, 3 , 4 是线性方程组 AX O 的基础解系，则 1 + 2 + 3 + 4 是 AX O 的
（A ）解向量
（ B）基础解系
（ C ）通解；
（ D） A 的行向量；
9、 1 , 2 都是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 2 ，且 X 1 和 X 2 分别是对应于 1 和 2 的特征
准型，并求出正交变换。 四、证明题（ 7 分）
设 A 为 m× n 矩阵， B 为 n 阶矩阵，已知 R(A) n
证明：若 AB=O ，则 B=O
《线性代数》期末考试题 A 题参考答案与评分标准
填空题
1、 -10；
2、 81；
3、
4，
6，
12；
1
4、
A
3E ；
2
5、 5；
二、单项选择题 ( 每小题 2 分，共 20 分)
填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题 2 分，共 10 分）
345
1、设 D1 = 3 1
5 ， D2= 5
2
2
1 0
0 ，则 D = D1 O
0
O
= _____________。
D2
2、四阶方阵
A、B ，已知
1 A=
，且 B= 2A -1
16
1
2A ，则 B =_____________ 。
1b1
002
求 a,b 6、齐次线性方程组
2 x1 x2 3x3 0 x1 3x2 4 x3 0
x1 2 x2 ax 0
线性代数期末附答案 (1)
《线性代数》模拟试题（一）一、单项选择题（每小题3分，共27分）1. 对于n 阶可逆矩阵A ，B ，则下列等式中（ ）不成立. (A) ()111---⋅=B A AB (B) ())/1()/1(111---⋅=B A AB (C) ()111---⋅=B AAB (D) ()AB AB /11=-2. 若A 为n 阶矩阵，且0A =3，则矩阵=--1)(A E （ ）.（A ）2A A E +- （B ）2A A E ++ （C ）2A A E -+ （D ）2A A E -- 3. 设A 是上（下）三角矩阵，那么A 可逆的充分必要条件是A 的主对角线元素为（ ）. (A) 全都非负 （B ） 不全为零 （C ）全不为零 （D ）没有限制4. 设 33)(⨯=ij a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a aa a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，那么（ ）.（A ）B P AP =21 （B ）B P AP =12 （C ）B A P P =21 （D ）B A P P =12 5. 若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示.（A ）至少有一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至多有一个向量 （D ）任何一个向量6. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210253143212A ，其秩=)(A R （ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 (D) 47. 若方程组b AX =中方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）.（A ）b AX =必有无穷多解 （B ）0AX =必有非零解 （C ）0AX =仅有零解 （D ）0AX =一定无解 8. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）.（A ）1-A （B ）A 2 （C ）4A （D ）TA 9. 若满足条件（ ），则n 阶方阵A 与B 相似.（A ）B A = （B ）)()(B A R R = （C ）A 与B 有相同特征多项式 （D ）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同 二、填空题（每空格3分，共21分）1. 若向量组321,,ααα线性无关，则向量组321211,,αααααα+++是线性 .2. 设A 为4阶方阵，且3)(=A R ，*A 是A 的伴随阵，则0=*X A 的基础解系所含的解向量的个数是 . 3. 设()2,1,11-=α，()5,,22k =α，()1,6,13-=α线性相关，则=k .4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300050004A ，则=--1)2(E A .5. 设三阶方阵A 有特征值4，5，6，则=A ，TA 的特征值为 ，1-A 的特征值为 .三、计算题（共42分） 1. （6分）计算行列式ba b b b b b a b b bb b a b b b b b a ----+----+2. （8分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=200012021A ，求10A .3. （10分）设三阶方阵A 满足i i i αA α= )3,2,1(=i ，其中T )2,2,1(1=α，T )1,2,2(2-=α，T )2,1,2(3--=α，求A .4．（6分）在向量空间3R 中，取两组基：（I ）,110,011,101321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα （II ）,411,222,301321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βββ设α在基I 下的坐标为()T3,1,1，求α在基α在基II 下的坐标.5. （12分）λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+1610522321321321x x x x x x x x x λλ （1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题（每小题5分，共10分）1. 设A 为n 阶可逆阵，E A A =2. 证明A 的伴随阵A A =*.2. 若A ，B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =. 证明A 和B 都是不可逆的.《线性代数》模拟试题（一）参考答案一、单项选择题（每题3分，共27分）1. B2. B3. C4. C5. A6. B7. B8. B9. D 二、填空题（每空3分，共21分）1. 无关；2. 3 ；3. 3 ；4. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10000003121； 6. 120； 4，5，6； 615141,, 三、计算题（7+10+10+12=39分）1. 解：b a b b b b b a b b b b b a b b b b b a ----+----+a aa a a ab b bba 000000-+=4000000000a aa ab b b a ==. 2. 解：先求A 的特征值，λλλλ---=-20012021E A =)1)(3)(2(λλλ+--- 1,3,2321-===λλλ ，当21=λ时，由0X E A =-)2(得，A 的对应于2的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001ξ，当32=λ时，由0X E A =-)3(得，A 的对应于3的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112ξ，当12-=λ时，由0X E A =+)(得，A 的对应于1-的特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ，取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001η⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,0112132ηη.令()321,,ηηηP = ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-1321AP P AP P T，所以 T P P A 1010132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=1010211021102110212000)13()13(0)13()13(.3. 解：因为)3,2,1(==i i i i αA α，所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001),,(),,(321321ααααααA ，因此 1321321),,(300020001),,(-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααααααA .又),,(321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212122221，所以1321),,(-ααα⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=21212222191，故 =A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212122221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212222191⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=62225020731. 4．解：()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=311211112,,,,321321αααβββ,(),311,,321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα所以 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-311311211112,,1321βββα ()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=323532321939192939591939295321,,311,,ββββββ， α在基II 下的坐标为()T 323532,,-.5. 解：)3)(5(61011211-+=---=λλλλD ， （1）当0≠D ，即5-≠λ且3≠λ时，方程组有惟一解.（2）当5-=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==1610155122151)(βA,B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100013902151 此时3)(,2)(==B A R R ，方程组无解，（3）当3=λ时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==1610153122131)(βA,B −→−r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00001001717571778， 此时2)()(==B A R R ，方程组有无限多个解.，并且通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10757871717321c x x x )(R c ∈. 四、证明题（5+5=10分） 1. 证：根据伴随矩阵的性质有E A AA =*又E A A =2，所以2A AA =*，再由于A 可逆，便有A A =*.2. 证：假设A 可逆，即1-A 存在，以1-Α左乘0AB =的两边得0B =，这与B 是n 阶非零矩阵矛盾；类似的，若B 可逆，即1-B 存在，以1-B 右乘0AB =的两边得0A =，这与A 是n 阶非零矩阵矛盾，因此，A 和B 都是不可逆的.。
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� 则 �r 为秩的 A 阵矩数系 �m 为数个程方 �n 为数个量知未中 B=XA 组程方性线次齐非 �7� 。解零非有 0=XA 则�解个多穷无有 B=XA 若�D� �解零有仅 0=XA 则�解个多穷无有 B=XA 若�C� �解多穷无有 B=XA 则�解零非有 0=XA 若�B� �解一唯有 B=XA 则�解零有仅 0=XA 若�A� � � �是的确正论结
L L L L L
0 L 1 0 0
0 L 1 1 0
0 L 0 = nD 1 1
、9
1 0 L 1 1 1
L L L L L L
1 1 L 0 1 1
1 1 L 1 0 1
1 1 L 1 1 0
=
n
a −1 1− a a −1
D 、8 � =
0 1−
0 0
0 0
0 1 L ?= 1 1 1
0 0 0
能不 2β量向而�示表性线 3α�2α�1α由可 1β量向�关无性线 3α�2α�1α组量向设�11�
T T
�6�5�4�3�c+T�4�3�2�1� �D�T�5�4�3�2�c+T�4�3�2�1� �C� �A� �3�2�1�0�c+T�4�3�2�1� �B�T�1�1�1�1�c+T�4�3�2�1� � �=X 解通的
0 λ− L 0 0 L L L L L 0 0 0 0 L L 1 λ− 0 1
01 01 1− 1 1− 1+ χ 0 1− 1 1− χ 1 L = 01D � = = 4D 、3 、4 1− 1 + χ 1− 1 0 1− χ 1 1− 1
λ−
k 1 1 1 �= 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 1 k = 4D 、2
a 0 0
1− λ
a −1 1− 0 = 5D 、7 a a −1 1− 0 a a −1
1− 1− 1− 1− = 4D 、5 1− 1− λ
�=
�=
1− 1− 1−
1− λ 1− 1 − 1− λ 1− 1−
0 1− λ = 3D 、6 y − 1− λ χ − λ 1− 0
λ− 1 �= L 0 0
� �是的关无性线中组量向列下则�关无性线 3α�2α�1α组量向设�21� 。关相性线 2βk+1β�3α�2α�1α�D� �关无性线 2βk+1β�3α�2α�1α�C� �关相性线 2β+1βk�3α�2α�1α�B� �关无性线 2β+1βk�3α�2α�1α�A� � �有必�k 数常意任于对则�示表性线 3α�2α�1α由
。数常的等相不互为 c、b、 a 中其
2
3
xb a +
3
2
xc a +
2
c+ b+ a =
2 2
xc +
3
xb +
2
c+b+ a =
x+
x+
1xcb� � 1x a� � x� 1
。系解础基个一的组程方此求�时解零非有在�解零非有组程方�2� �解零有仅组程方�1� �时系关种何足满 b 和 n a , L, 2 a , 1a 论讨试。 0 ≠ i a
�组程方性线解则法姆莱克用、三
4
x2 + x−
3
3
x
2
0= 0= 0= 0=
a a O a b N b N b b a O a a =
n2
x+
4
xλ +
� � 1xλ� � 1x 2� � x�
1
。值取的 λ 求�解零非有组程方性线次齐的面下若、二
b b
=
D
、01
1 L �= 0 0 1
1 L 0 0 0
示表性线量向行个 r 他其由可均量向行个一任�D� �关无性线均量向行个 r 意任�C� �组关无大极成构可均量向行个 r 意任�B� �关无性线量向行个 r 有必�A� � �中量向行个 n 的 A 在则�n<r 秩的 A 阵方阶 n 设�1� �题择选、一
组 程方 性 线 二 习 练
cb a3 =
2 2
1
1 1 � � x a � L� 1x 1 a� � 1x 1 a� � x )b + 1a (�
组程方性线次齐知已、二
3α5-2α5+1α3�3α22+2α3-1α2�3α+2α+1α�D�1α+3α3�3α3+2α2�2α2+1α�C� 3α+2α2+1α�3α+2α�2α+1α�B� 1α-3α�3α+2α�2α+1α�A�
∑ 中其
1= i n
0 = nx )b + n a ( + L 0 = nx n a + 0 = nx n a + 0 = nx n a +
L+ L L+ L+ L+
3
3 3
x a+ L
2 2
x a+ L x a+ x a+
x )b + 3 a ( +
3 33;
x )b + 2 a ( +
5α�4α�2α�1α�D�5α�2α�1α�C�4α�2α�1α�B�3α�2α�1α�A�
�
�是组关无性线大极的组量向该则
�01�5�1�2�=5α,�0�2�2-�1�=4α ,�41�7�0�3�=3α�2�1�3�0�=2α,�4�2�1-�1�=1α组量向有设�3� �示表性线γ�β�α由可不必δ�D� �示表性线γ�β�α由可必δ�C� �示表性线δ�γ�α由可不必β�B� �示表性线δ�γ�β由可必α�A� � �则�关相性线δ�β�α�关无性线γ�β�α组量向若�2�
1 1 1 0 1 1 0 1 4 �= = D 、1 1 0 1 1 0 1 1 1
�式列行列下算计、一
式列行
一习练
习练充补》数代性线《
�Ⅰ�组量向设�8� 则�示表性线 Sβ�…�2β�1β� �Ⅱ�组量向由可 rα�…�2α�1α� 。解多穷无有 B=XA 组程方�时 n<r�D� �解一唯有 B=XA 组程方�时 n=m�C� �解一唯有 B=XA 组程方�时 n=r�B� � �解有 B=XA 组程方�时 m=r�A�
列下则�组程方性线次齐的应对所 B=XA 组程方性线次齐非是 0=XA�阵矩 n×m 是 A 设�6� n>r�D� n<r�C� n≥r�B� n≤r�A( � � �是
件条要必分充的解零非有 0=XA 则�r 为秩的 A 阵矩数系的 0=XA 组程方性线次齐元 n 设�5� 。关相性线量向行的 A�D� �关无性线量向行的 A�C� �关相性线量向列的 A�B� �关无性线量向列的 A�A� � � �是件条要必分充的解零有仅 0=XA 组程方性线次齐�阵矩 n×m 为 A 设�4�