第十一章第四节函数展开成幂级数
级数展开
§11.5 函数展开成幂级数一、泰勒级数如果f x ()在x x =0处具有任意阶的导数，我们把级数+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)()(!1)()(00)(200000 (1)称之为函数f x ()在x x =0处的泰勒级数。
它的前n +1项部分和用s x n +1()记之，且s x f x k x x n k kk n+==-∑1000()()!()()这里：0!1000==,()()()f x f x 由上册中介绍的泰勒中值定理，有f x s x R x n n ()()()=++1当然，这里R x n ()是拉格朗日余项，且R x f n x x n n n x x ()()()!()()()=+-++10101ξξ在与之间。
由R x f x s x n n ()()()=-+1有lim ()lim ()()n n n n R x s x f x →∞→∞+=⇔=01。
因此，当lim ()n n R x →∞=0时，函数f x ()的泰勒级数f x f x x x f x x x fx n x x n n ()()!()()!()()!()()0000020012+'-+''-++-+就是它的另一种精确的表达式。
即f x f x f x x x f x x x f x n x x n n ()()()!()()!()()!()()=+'-+''-++-+0000020012这时，我们称函数)(x f 在0x x =处可展开成泰勒级数。
特别地，当00=x 时，+++''+'+=nn x n f x f x f f x f !)0(!2)0(!1)0()0()()(2这时，我们称函数)(x f 可展开成麦克劳林级数。
高等数学无穷级数4
所以 ex2 (1)n x2n ,
n0 n !
x (, ) .
利用变量代换
例5
展开 f (x) 1 为(x 3) 的幂级数 . x
解
1 x
1 3 (x 3)
1 3 1ຫໍສະໝຸດ 1 x33由 (1)n xn
1
,
x (1, 1) , 得
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
o((x x0 )n ) .
马克劳林公式：
f (x) f (0) f (0) x f (0) x2 f (n) (0) xn o(xn ) .
2!
n!
将函数展开为幂级数的问题是否 就是将函数展开为泰勒级数的问题?
问题
一个幂级数在其收敛区间内代
(n 1) !
(
x
x0
)
n1为拉格朗日余项
.
由级数的部分和及收敛性 质看出一点什么没有 ?
定理
设 f (x) 在 U(x0 )内具有任意阶导数, 则 f (x) 在点 x0 处的泰勒级数在U(x0 )内 收敛于 f (x) 的充要条件是
lim
n
Rn
(x)
0
其中, Rn (x) 为 f (x) 在 x0 处泰勒公式的拉
n0
f
(
n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
定义
设 f (x) 在点 x0 有任意阶导数，则称
n0
f
(n) ( x0 n!
)
(x
高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式
n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式 及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为
函数展成幂级数的公式(一)
函数展成幂级数的公式(一)函数展成幂级数的公式1. 泰勒级数公式：泰勒级数是函数展开成幂级数的一种方式，可以表示为：f(x)=∑f(n)(a) n!∞n=0(x−a)n其中 $ f^{(n)}(a) $ 表示函数 $ f(x) $ 在点 $ a $ 处的 $ n $ 阶导数。
举例：考虑函数 $ f(x) = e^x $，假设我们要在点 $ a = 0 $ 处展开泰勒级数。
根据泰勒级数公式，我们可以将 $ e^x $ 展开为：e x=∑e0 n!∞n=0x n=∑x nn!∞n=0这样我们就得到了 $ e^x $ 的幂级数展开形式。
2. 麦克劳林级数公式：麦克劳林级数是泰勒级数在 $ a = 0 $ 处展开的特殊情况，可以表示为：f(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n举例：考虑函数 $ f(x) = (x) $，我们可以使用麦克劳林级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (0) = 0 $，以及$ f’(0) = (0) = 1 $。
然后，利用麦克劳林级数公式，展开 $ f(x) = (x) $：sin(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n=∑x2n+1(−1)n(2n+1)!∞n=0这样我们就得到了 $ (x) $ 的幂级数展开形式。
3. 泊松级数公式：泊松级数是一种特殊的幂级数，用于展开函数 $ f(x) $ 的某些特殊形式，可以表示为：f(x)=∑c n∞n=0(x−a)n其中 $ c_n $ 是级数中的系数。
举例：考虑函数 $ f(x) = (1+x) $，我们可以使用泊松级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (1+0) = 0 $，以及$ f’(x) = $，进而计算$ f’(0) = 1 $。
然后，利用泊松级数公式，展开 $ f(x) = (1+x) $：ln(1+x)=∑c n∞n=0x n为确定系数 $ c_n $，我们对$ f’(x) = = _{n=0}^{}c_n(n+1)x^n $ 进行展开。
第4节 函数展开成幂级数
n1
7/9/2013 1:16 AM
第8章
n 1
无穷级数
n
x x ( x ) 是级数 因e 是有限数， ( n 1) ! n0 n !
x
的通项， 所以
x lim Rn ( x ) lim e 0 n n ( n 1) !
x n1
故
x 1 2 x 1 x x e 2! n! n 0 n !
x 的一次多项式
特点： p1 ( x0 ) f ( x0 ) , p1 ( x0 ) f ( x0 )
如何提高精度 ? 需要解决的问题 如何估计误差 ?
7/9/2013 1:16 AM
第8章
无穷级数
求 n 次近似多项式 pn ( x ) , 要求：
( pn ( x0 ) f ( x0 ) , pn ( x0 ) f ( x0 ) ,, pnn ) ( x0 ) f ( n ) ( x0 )
称为麦克劳林( Maclaurin )公式
7/9/2013 1:16 AM
第8章
无穷级数
若函数 f ( x ) 在区间 (a , b ) 内各阶导数都存 在， 则对于任意的正整数 n ， 泰勒公式（1） 都成立。 n 时， 如果 Rn ( x ) 0，则得 当
f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x ) lim[ f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) n 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n ] n!
7/9/2013 1:16 AM
df
第8章
无穷级数
(3) 在泰勒公式中取 x0 0 , 记
x (0 1)
第四节函数的幂级数展开简
1.求出f (x)的各阶导数 f (x), f (x),, f (n) (x),,
2.计算 f (x0), f (x0), f (x0),, f (n) (x0),,
3.写出 f (x)在x0 处的泰勒级数
1
n0n!
f
(n)
( x0
)( x
x0
)n
4.求出上述泰勒级数的收敛区间(－R, R)，
解 由 ex 1 x 1 x2 1 xn , x (,)
2!
n!
将x 换成 x2 可得函数的幂级数展开式.
ex2 1 x2 1 x4 (1)n x2n , x (,)
2!
n!
例 求 f (x) ln x 在 x0 3 处的展开式.
泰勒级数展开的唯一性 设f (x)在 x0的某对称区间 (R x0, R x0)内可以 展开成 (x x0)的幂级数 f (x) a0 a1(x x0) a2(x x0)2 an(x x0)n ， 将上式逐阶求导，有
f (x) a1 2a2(x x0) 3a3(x x0)2 nan(x x0)n1 ， f (x) 2!a2 3 2a3(x x0) n(n 1)an(x x0)n2 ， f (x) 3!a3 n(n 1)(n 2)an (x x0)n3 ，
lim
n
Sn
(
x)
f (x)
的充分必要条件是
lim
n
rn
(
x)
0
也即当
lim
n
rn
(
x)
0
时,有
高等数学11-4函数展开成幂级数
1,
R 1,
牛顿二项式展开式
(1 x )
1 x
( 1) 2!
x
2
( 1)( n 1) n!
的取值有关
( 1 ,1 );
x
n
注意:
在 x 1 处收敛性与
1
收敛域为
. x (1,1)
1 1
i
R n ( x ) f ( x ) s n 1 ( x ), lim s n 1 ( x ) f ( x )
n
lim R n ( x ) lim [ f ( x ) s n 1 ( x )] 0 ;
n n
充分性
n
f ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),
条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) 0 .
n
( f (x) =它的泰勒级数 证明
f (x)
f (x) 的泰勒公式中的余项趋于0)
,
必要性 设 f ( x )能展开为泰勒级数
i0
n
f
(i)
( x0 )
i!
( x x 0 ) R n ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),
n0
f
(n)
( x0 )
n!
f
(n)
( x x 0 ) 称为 f ( x ) 在点 x 0 的泰勒级数.
n
n0
(0)
x 称为 f ( x ) 的麦克劳林级数.
n
n!
问题
f ( x)
第四节 函数展开成幂级数
201第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其收敛域并确定其和函数的性质，并在可能时求出和函数的表达式。
这节我们讨论该问题的反问题：给定函数()x f ，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，即是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()x f 。
（如果能够找到这样的幂级数，就说()x f 在该区间内可展开成幂级数。
）解决这个问题有很重要的应用价值，因为它给出了函数()x f 的一种新的表达方式，并使我们可以用简单函数——多项式来逼近一般函数()x f 。
在第三章中我们已经学过泰勒公式：若函数()x f 在点0x 的某一邻域内具有直到()1+n 阶的导数，则在该邻域内()x f 的n 阶泰勒公式：()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()x R x x n x f n n n +-+00!(1)成立，其中()x R n 为拉格朗日型余项。
()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ（之间与在x x 0ξ）如果令00=x ，就得到马克劳林公式：()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002（2）202此时，()()()()11!1+++=n n n x n x f x R θ（10<<θ）公式说明，任一函数只要有直到()1+n 阶的导数，就可等于某个n 次多项式与一个余项的和。
下列幂级数()()()()() +++''+'+nn x n f x f x f f !0!20002（3）我们称为马克劳林级数。
那么它是否以函数()x f 为和函数呢？ 若令马克劳林级数（3）的前1+n 项和为()x s n 1+，即()()()()()()nn n x n f x f x f f x s !0!200021++''+'+=+那么，级数（3）收敛于函数()x f 的条件为()()x f x s n n =+∞→1lim由马克劳林公式与马克劳林级数的关系，可知()()()x R x s x f n n +=+1于是，当()0lim =∞→x R n n 时，有()()x f x s n n =+∞→1lim 。
考研数学指导将函数展开为幂级数的方法
考研数学指导将函数展开为幂级数的方
法
2015年考研复习已经开始，现在正值考研初期复习，数学作为考研必考的重要科目，针对考生需求，太奇考研小编为即将考研的朋友编辑整理了“2015考研数学初期复习指导：将函数展开为幂级数的方法”，希望对广大考友有所帮助!
将函数展开成幂级数的方法主要有两种：直接展开法和间接展开法。
直接展开法指的是：利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间直接展开成指定点的泰勒级数的方法。
间接展开法指的是：通过一定运算将函数转化为其他函数，进而利用新函数的幂级数展开式将原来函数展开为幂级数的方法。
所用运算主要是加法运算，数乘运算，(逐项)积分运算和(逐项)求导运算。
常见函数的麦克劳林级数展开式为：
下面举例帮大家巩固以上知识点：。
函数的幂级数展开
函数的幂级数展开函数的幂级数展开是解析学中的重要内容之一，通常也被称为泰勒级数或者麦克劳林级数。
它是一个无穷级数，可以将某些函数表示为一个多项式的和，从而方便了数学分析和计算机数值分析。
函数的幂级数展开由于其普适性和可求解性，被广泛地应用于数学、物理、工程、计算机等学科领域。
函数的幂级数展开是指把某些函数用一个无穷级数表示为：$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$其中，$f(z)$是一个函数，$a_n$是实数或复数，$z$和$z_0$是复数。
$z_0$通常被称为展开点，$a_n$称为函数在展开点$z_0$处的$n$阶导数，级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$称为函数$f(z)$在$z_0$处的幂级数展开。
特别地，当$z_0=0$时，展开点称为原点，函数在原点处的幂级数展开也称为泰勒级数或麦克劳林级数。
二、泰勒级数和麦克劳林级数如果$f(z)$在$z_0$处有$n$阶导数，则可以将其展开为$n$阶泰勒级数：其中，$f^{(n)}(z_0)$表示$f(z)$在$z_0$处的$n$阶导数，$o$表示小量，$N$表示级数展开的阶数。
特别地，当$z_0=0$时，展开点称为原点，此时泰勒级数化为麦克劳林级数：三、幂级数收敛条件幂级数的收敛半径$\rho$可以通过以下公式得到：$\rho = \dfrac{1}{\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$当幂级数的收敛半径$\rho = 0$时，级数在$z=z_0$处不一定收敛；当$\rho=+\infty$时，级数在任何复数$z$处都收敛；当$0 < \rho < +\infty$时，级数在展开点$z_0$的半径为$\rho$的圆盘内收敛，在其外部则不一定收敛。
本文部分内容参考自百度百科。
函数展开成幂级数
提示: f ′(x)=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+ ⋅ ⋅ ⋅ , f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n−1)⋅⋅⋅2an+1x + ⋅ ⋅ ⋅ ,
Jlin Institute of Chemical Technology
f ′(0)=a1 . f (n)(0)= n!an.
1+ mx + m(m −1) 2 m(m −1) ⋅ ⋅ ⋅ (m − n +1) n x + ⋅⋅⋅ + x + ⋅⋅⋅ . 2! n!
2 + ⋅ ⋅ ⋅ + m(m −1) ⋅ ⋅ ⋅ (m − n +1) x
⋅⋅⋅ ,
f (n)(x)=m(m−1)(m−2)⋅ ⋅ ⋅(m−n+1)(1+x)m−n, ⋅ ⋅ ⋅ ,
展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它 一定与f(x)的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f(x)在点x0=0的某邻域(−R, R)内能展开成x 的幂级数, 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ ⋅ ⋅ ⋅ +anxn + ⋅ ⋅ ⋅ ,
f (n) (0) f ′′(0) ⋅ ⋅ ⋅, 那么有 a0=f(0), a1=f ′(0), a2 = an = , ⋅ ⋅ ⋅. , n! 2!
x ′dx = ∫ 1 dx = ∫0 [ln(1+ x)] 0 1+ x x
= ∫0 [ ∑
x ∞
n =0
(−1)n x n ]dx =
n =0
∑
∞
函数展开成幂级数
1. 直接展开法
把函数 f (x) 展开成 x 的幂级数的步骤:
第一步 求出 f (x) , f (x) , , f (n) (x) , ,
第二步 求出 f (0) , f (0) , f (0) , , f (n) (0) , ,
第三步 写出幂级数
f (n) (0) xn ,并求出收敛半径 R .
n2 n 1
x (1)n1(2n 1) xn (1 x 1) .
n2 n(n 1)
例
将函数
sin
x
展开成
x
π 4
的幂级数.
解
sin x
sin
π 4
x
π 4
sin
π 4
cos
x
π 4
1 2(1
x)
1 2(3
x)
1
1
,
4 1
x 1 2
8 1
x
1 4
将 1 (1)n xn 中的 x分别换成 x 1 和 x 1 ,
1 x n0
24
可得
1
4
1
x
1 2
1 4
n0
(1)n 2n
n1 n
例 把函数 f (x) (1 x) ln(1 x) 展开成 x 的幂级数.
解
f (x) (1 x)
(1)n1 xn
n1 n
(1)n1 xn
函数展开成幂级数(课堂PPT)
无穷级数
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8
证明
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0
)n1
M x x0 n1 , (n 1)!
x
x0
n1
在(,)收敛,
n0 (n 1)!
x ( x0 R, x0 R)
lim n
x x0 n1 (n 1)!
0,
故
lim
n
Rn
(
x
)
x
0,
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除s 0外, f ( x)的麦氏级数处处不收敛于 f ( x).
无穷级数
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6
三、函数展开成泰勒级数的条件
定理 2 f ( x)在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
敛于
f
(
x)
在U
(
x0
) 内lim n
Rn
(
x)
0
.
证明 必要性 设f ( x)能展开为泰勒级数,
( x0
R,
x0
R)
可展成点x0的泰勒级数.
无穷级数
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9
三、函数展开成泰勒级数的方法
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
无穷级数
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函数展开成幂级数11-4
§ 11.4 函数展开成幂级数一、泰勒级数1． 函数)(x f 展开成幂级数的概念给定)(x f 能否在某区间内展开成幂级数，即是否找到一幂级数，它在某区间内收敛且和等于)(x f ．若能，就称)(x f 在该区间内能展开成幂级数。
泰勒公式()()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ (1)()()()()()1100(1)!n n n f R x x x x x n ξξ++=-+在与之间()()()()()()()()()200000002!!n nn f x f x p x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-(2)如果()f x 在点0x 的某邻域内具有各阶导数,设想(2)的项数趋向无穷而成为幂级数()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-+(3)称为)(x f 的泰勒级数定理 设函数)(x f 在点0x 的某一邻域()0U x 内具有各阶导数, 则)(x f 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是)(x f 的泰勒公式中的余项()n R x 当n →∞时的极限为零.即 ()()()0lim 0n x R x x U x →∞=∈.证略。
2. )(x f 的马克劳林级数()()()()()()200002!!n n f f f x f f x n '''=+++++注（1）若)(x f 能展开成x 的幂级数，则该展开式是唯一的，它与)(x f 的麦克劳林级数一致。
（2）反之，若)(x f 的麦克劳林级数在点0x =0的某邻域内收敛，却不一定收敛于)(x f .因此，若)(x f 在0x =0处具有各阶导数，则)(x f 的麦克劳林级数虽能作出来，但该级数是否能在某个区间内收敛、是否收敛于)(x f 需进一步考察。
D11-4-函数展开成幂级数市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
n
0
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x
2n1
x ( , )
泰勒多项式逼近 sin x 旳几何表达
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
1 7!
x7
1 9!
x9
(1)n1 (2n1)!
x2n1
o(x2n )
y
x
x3 3!
x5 5!
x7 7!
y x
x3 3!
4
2
yx
y
x0
)n
,
x (x0 )
令
S n 1 ( x)
n k 0
f
(k) (x0 )(x k!
x0
)k
f (x) Sn1(x) Rn (x)
lim
n
Rn (x)
lim
n
f
(x)
Sn1(x)
0
,
x (x0 )
定理2. 若 f (x) 能展成 x 旳幂级数, 则这种展开式是
唯一旳 , 且与它旳麦克劳林级数相同.
解:
x2
1 4x
3
(x
1 1)( x
3)
11 2(1 x) 2(3 x)
4 1
1
x1 2
8
1
1
x1 4
( x 1 2)
1 4
1
x 1 2
(x 1)2 22
(1)n
(x 1)n 2n
1 8
1
x 1 4
(x 1)2 42
(1)n
(x 1)n 4n
同济-高等数学-第三版(10.4) 第四节 函数展开为幂级数
n0
内的和函数为 f( x )，即
f x lim S n x lim
n n n k 0
n0
k a k x x 0 , I U x 0, .
记: Rn( x )= f( x )- S n( x )，I = U( x 0 , )，则有
将函数展开为幂级数就是求收敛于该函数的泰勒级 数。求函数的泰勒展开式通常有两种方法： 一种是直接根据泰勒级数的收敛定理展开，通常称
这种方法为直接法。
另一种是利用已知函数的泰勒展开式 写出给定函数的泰勒展开式，通常称这 种方法为间接法。
例：将函数 f( x )= sin 2x 展开成 x 的幂级数。 用直接法求 f( x )的马克劳林展开式
考虑选择幂函数数列{( x - x 0 )n }作 为基础函数列去表示一般函数。 于是函数幂级数展开式的一般 形式为 f x a n x x 0 n.
n0
函数展开为幂级数应解决三个方面的问题：
• 函数 f( x )满足什么条件方可展开为幂级数；
• 如何确定函数幂级数展开式的系数 a n； • 所得幂级数展开式的收敛性，即所得幂级数展开式是 否收敛于原先的函数 f( x ). (1) 分析函数展开为幂级数的条件
由归纳法可求得
f ( 2k- 1 )( x )= 2 2k -2 sin[ 2 x +( 2k - 2 ) /2 ]
= 2 2k -2 sin[ 2 x +( k - 1 ) ]=( -1 )( k-1 ) 2 2k -2 sin 2 x， f ( 2k )( x )= 2 2k -1 sin[ 2 x +( 2k - 1 ) /2 ] = 2 2k -1 sin[ 2 x + k - /2 ] =( - 1 ) =( - 1 )
函数展开成幂级数的条件
函数展开成幂级数的条件
函数展开成幂级数是一种将一个函数表示为无限幂级数的方法。
这种展开可以在数学和物理等领域中有广泛的应用。
然而，并不是所有的函数都可以展开成幂级数，需要满足一定的条件。
首先，函数必须在某个区间内具有无穷个可导性。
这意味着函数在这个区间内可以进行无限次的导数运算。
如果函数在某些点上不可导或者导数不连续，那么它就不能展开成幂级数。
其次，函数必须在展开点的邻域内收敛。
展开点是指在该点附近进行幂级数展开的点。
如果函数在展开点的邻域内是发散的或者收敛半径为零，那么它就不能展开成幂级数。
最后，函数必须在展开点的邻域内具有唯一的展开式。
这意味着在展开点的邻域内，函数的展开式是唯一确定的，不存在多种可能性。
如果函数在展开点的邻域内存在多个展开式，那么它就不能展开成幂级数。
需要注意的是，即使函数满足上述条件，它的幂级数展开也不一定能够收敛到原函数本身。
幂级数的收敛性需要根据函数在展开点附近的性质来判断。
总结起来，函数能够展开成幂级数的条件包括：在某个区间内具有无穷个可导性、在展开点的邻域内收敛以及在展开点的邻域内具有唯一的展开式。
这些条件是幂级数展开的基础，通过幂级数展开，可以将复杂的函数表示为简单的无限级数形式，从而方便了对函数的研究和计算。
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1 f ( n ) ( 0) an n !
显然结论成立 .
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二、函数展开成幂级数
展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式
间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数 f ( x ) 展开成幂级数的步 骤如下 : 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim Rn ( x )是否为0.
a 0 f ( 0) a1 f (0)
f ( x ) a1 2a2 x nan x n 1 ;
1 f (0) f ( x) 2!a2 n( n 1) an x n 2 ; a 2 2 !
f
(n)
( x) n !an ;
展开成 x 的幂级数.
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x ) 在 x 1 有 定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 域为
利用此题可得
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例7. 将
展成 x－1 的幂级数.
1 1 解: 2 x 4 x 3 ( x 1)( x 3)
( k 0 , 1, 2 , )
n 1 1 2 n 1 3 1 5 1 x 3! x 5! x (1) ( 2 n 1) ! x 得级数:
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin( ( n 1) π ) 2
(n 1) !
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2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例4. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: 因为 1 2 n n 1 x x ( 1) x ( 1 x 1 ) 1 x 把 x 换成 x 2 , 得 1 2 4 n 2n 1 x x ( 1 ) x 2 1 x
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例8. 将
解(续): x 1 x2 5 x 6
展成 x+ 2 的幂级数.
2 1 5 ( x + 2) 4 ( x 2 )
x2 4 5
x2 42 x
1 1
1
2 1 1 1 x2 2 5 (1 5 ) 4 (1 x 4 )
1 5!
x
n 1
n 1 1 (2 n 1)!
n
sin x x
1 3!
x
3
x
5
( 1)
x
2 n 1
结束
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1 3 1 5 sin x x x x 3! 5!
( 1)
n 1
1 x 2 n 1 (2n 1)!
对上式两边求导可推出:
n
lim Rn ( x ) lim f ( x ) S n 1 ( x ) 0 ,
n
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x U ( x0 )
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定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是
唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
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三、近似计算
例11. 计算
5
240 的近似值, 精确到 10 .
5
1 34
1
4
3 243
5
解:
5
240 243 3 3 (1 ) 5 1 1 1 4 1 1 4 9 1 3 1 4 2 8 3 12 5 3! 3 5 3 5 2! 3
n
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例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f ( n ) ( x ) e x , f ( n ) (0) 1 ( n 0 ,1, ), 故得级数 1 n 1 2 1 3 1 x x 3! x x n! 2! 1 1 R lim 其收敛半径为 n n ! ( n 1) ! 对任何有限数 x , 其余项满足
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例10. 将 解：
而
展成 x 的幂级数.
1 [ln(1 x ) ln(1 x )] 2
ln(1 x ) ( 1)
n 1
n 1
xn , n
( 1 x 1), ( 1 x 1),
故得
xn ln(1 x ) , n 1 n
e x n 1 e x (n 1) ! ( 在0与x 之间) 1 2 1 3 1 n x 故 e 1 x x x x 2! 3! n!
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n
,
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例2. 将
解: f
(n)
展开成 x 的幂级数.
( x)
f
(n)
n 2k 0, ( 0) ( 1) k , n 2 k 1
x 1 2 x 1 4
(
2 n ( x 1 ) ( x 1 ) x 1 n ( 1) 1 2 n 2 2 2
x 1 1 2 x 1 2 ) x 1 1 4
1 8
n
n 0
(1)
1 2
n2
1 2
2n 3
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( 1 x 1 )
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例5. 将 解: 因为
在
处展开成泰勒级数.
所以由 1 xn 1 x x2 xn 1 x n 0
得到
1 1 1 1 ( x 1) 2 1 2 ( x 1) 3 x 2
( 1 x 1)
第四节 函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求和 展开
第十一章
和函数
本节内容:
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
二、函数展开成幂级数
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一、泰勒 ( Taylor ) 级数
复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式
若函数
该邻域内有 :
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
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定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim Rn ( x ) 0 .
f ( n ) ( x0 ) n f ( x ) ( x x ) , x U ( x0 ) 证明: n! 0 n0
令 S n 1 ( x )
k 0
n
n
f
(k )
( x0 ) ( x x0 ) k k!
f ( x ) S n 1 ( x ) Rn ( x )
π cos( x π ) sin( x ) 4 4
例 9. 将
展成
的幂级数.
1 2
1 π 3 1 π 5 π ( x ) ( x ) ( x ) 3! 4 5! 4 4
1 π 1 π 2 1 π 3 1 ( x ) ( x ) ( x ) 2 4 2! 4 3! 4
1 1 x 1 3 x 2 n 0 2 n 0
n
x 1n
2 n1
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例6. 将函数
1 解 : f ( x ) ( 1)n x n ( 1 x 1 ) 1 x n 0 从 0 到 x 积分, 得 n x ( 1) 1 x n1 , 1 x ln( 1 x ) ( 1) n x n d x 0 n 0 n 1 n0
1 4 1 1 4 9 1 1 4 9 14 1 r2 3 2 8 3 12 4 16 5 3! 3 5 4! 3 5 2! 3 2 1 4 1 1 1 6 1 41 3 2 8 1 10 0 . 5 8 1 81 81 25 1 5 2 ! 3 3 m( m 1) 2 m( m 1) ( m n 1) n 81 m x x (1 x ) 1 mx n! 21 ! 1 5 240 3 (1 4 ) 3 0.00741 2.9926 ( 1 x 1) 5 3
f ( x ) 0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x ) n!
( ) ( x x0 ) n 1 ( 在 x 与 x0 之间) 其中 Rn ( x ) (n 1) ! 称为拉格朗日余项 . f
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例12. 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 10 4.
解: 已知