中值公式的证明
关于高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理首先我们来看看几大定理：1、介值定理：设函数fx在闭区间a,b上连续,且在该区间的端点取不同的函数值fa=A及fb=B,那么对于A与B之间的任意一个数C,在开区间a,b内至少有一点ξ使得fξ=Ca<ξ<b.Ps:c是介于A、B之间的,结论中的ξ取开区间;介值定理的推论：设函数fx在闭区间a,b上连续,则fx在a,b上有最大值M,最小值m,若m≤C≤M,则必存在ξ∈a,b, 使得fξ=C;闭区间上的连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值;此条推论运用较多Ps：当题目中提到某个函数fx,或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续,那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值,那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值,必存在一个变量使得该值等于变量处函数值;2、零点定理：设函数fx在闭区间a,b上连续,且fa与fb异号,即fa.fb<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得fξ=0.Ps:注意条件是闭区间连续,端点函数值异号,结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数fx满足：1、在闭区间a,b上连续；2、在开区间a,b内可导;3、在区间端点处函数值相等,即fa=fb.那么在a,b内至少有一点ξ<aξ<b,使得f`x=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数fx 满足：1、在闭区间a,b 上连续；2、在开区间a,b 内可导;那么在a,b 内至少有一点ξ<a ξ<b,使得fb-fa=f`ξ.b-a.5、 柯西中值定理：如果函数fx 及gx 满足1、在闭区间a,b 上连续；2、在开区间a,b 内可导;3、对任一xa<x<b,g`x ≠0,那么在a,b 内至少存在一点ξ,使得Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值;6、 积分中值定理：若函数fx 在a,b 上连续,则至少存在一点],[b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξPs ：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立;但是在开区间上也是满足的,下面我们来证明下其在开区间内也成立,即定理变为：若函数fx 在a,b 上连续,则至少存在一点),(b a ∈ξ使得)()()(a b f dx x f b a -=⎰ξ证明：设⎰=x a dx x f x F )()(,],[b a x ∈因为)(x f 在闭区间上连续,则)(x F 在闭区间上连续且在开区间上可导导函数即为)(x f ;则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：),(b a ∈∃ξ使得a b dxx f a b a F b F F b a -=--=⎰)()()()`(ξ而)()`(ξξf F =所以),(b a ∈∃ξ使得)()()(a b f dx x f ba -=⎰ξ;在每次使用积分中值定理的时候,如果想在开区间内使用,我们便构造该函数,运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可;千万不可直接运用,因为课本给的定理是闭区间;定理运用：1、设)(x f 在0,3上连续,在0,3内存在二阶导函数,且⎰+==20)3()2()()0(2f f dx x f f . 证明：1)2,0(∈∃η使)0()(f f =η2)3,0(∈∃ξ使0)``(=ξf证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了,但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的;有的人明知这样还硬是这样做,最后只能是0分;具体证明方法在上面已经说到,如果要在开区间内用积分中指定理,必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合;1、令]2,0[),()(0∈=⎰x x F dt t f x则由题意可知)2,0(]2,0[)(上连续，在x F 内可导. 则对)(x F 由拉格朗日中值定理有：2、对于证明题而言,特别是真题第一问证明出来的结论,往往在第二问中都会有运用,在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西,我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用：第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0,这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题,如果有三个函数值相等,运用两次罗尔定理那不就解决问题啦,并且第一问证明出来了一个等式,如果有fa=fb=fc,那么问题就解决了;第一问中已经在0,2内找到一点,那么能否在2,3内也找一点满足结论一的形式呢,有了这样想法,就得往下寻找了,)3()2()0(2f f f +=,看到这个很多人会觉得熟悉的,和介值定理很像,下面就来证明：]3,0[)(在x f 上连续,则在]3,2[上也连续,由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值,分别设为M,m;则.)3(,)2(M f m M f m ≤≤≤≤从而,M f f m ≤+≤2)3()2(,那么由介值定理就有： 则有罗尔定理可知：0)`(),,0(11=∈∃ξηξf ,0)`(),,(22=∈∃ξηξf cPs ：本题记得好像是数三一道真题,考察的知识点蛮多,涉及到积分中值定理,介值定理,最值定理,罗而定理,思路清楚就会很容易做出来;2、设fx 在0,1上连续,在0,1内可导,且f0=0,f1=1.证明:ξξξ-=∈∃1)()1,0()1(f 使得、本题第一问较简单,用零点定理证明即可;1、首先构造函数：]1,0[,1)()(∈-+=x x x f x F由零点定理知：ξξξξ-==∈∃1)(,0)()1,0(f F 即使得2、初看本问貌似无从下手,但是我们始终要注意,对于真题这么严谨的题目,他的设问是一问紧接一问,第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用;在想想高数定理中的就这么些定理,第一问用到的零点定理,从第二问的结论来看,也更本不涉及什么积分问题,证明此问题也只可能从三大中值定理出发,具体是哪个定理,得看自己的情况,做题有时候就是慢慢试,一种方法行不通,就换令一种方法,有想法才是最重要的,对于一道题,你没想法,便无从下手;另外在说一点,在历年证明题中,柯西中值定理考的最少;本题结论都涉及一阶倒数,乘积之后为常数,很可能是消去了变为1你题目做多了,肯定就知道事实就是这样.并且第一问中0与1之间夹了个ξ,如果我们在0与ξ,ξ与1上对)(x f 运用拉格朗日中值定理似乎有些线索;写一些简单步骤,具体详细步骤就不多写了：将第一问中)(ξf 代入即可;Ps ：本题是05年数一的一道真题,第一问是基本问题,送分的,第二问有一定区分度,对定理熟练的会容易想到拉格朗日定理,不熟练的可能难以想到方法;做任何题,最重要的不是你一下子就能把题目搞出来,而是你得有想法,有想法才是最重要的,有了想法你才能一步步的去做,如果行不通了,在改变思路,寻求新的解法,如果你没想法,你就根本无从下手;3、设函数fx 在闭区间0,1上连续,在开区间0,1内可导,且f0=0,f1=1/3.对于这道题的结论比较有意思,比较对称,另外一个就是结论的条件,为何要把ηξ、放在两个范围内,不像上一题中直接来个)1,0(∈ξη、,这个分界点1/2 的作用是干吗的;很可能也是把1 /2当做某一个点就像上一题中的ξ,是否要用到拉格朗日中值定理呢,这是我们的一个想法;那具体的函数如何来构造呢,这个得从结论出发,22)`()`(ηξηξ+=+f f我们把等式变一下：0)`()`(22=-+-ηηξξf f ,2)`(ξξ-f 这个不就是331)(ξξ-f 关于ξ的导数而且题目中f1=1/3,貌似这样有点想法了,本题会不会也像上一题那样,运用拉格朗日中值定理后相互消掉变为0呢,有了这些 想法我们就要开始往下走了：先来构造一个函数：0)`()`(=+ξηF F 刚好证明出来;Ps ：本题是近几年数二的一道真题,只有一问,有比较大区分度的,得从条件结论互相出发,如何构造出函数是关键;做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了,如果只给)1,0(∈ξη、,那就更难了 得自己找这个点,既然题中给了这个点,并且把两个变量分开在两个区间内,我们就对这两个变量在对应区间用相应定理;说明真题出的还是很有技巧的;一般设计难一点的中值定理证明,往往得用拉格朗日定理来证明,两个变量,都涉及到导数问题,这是因为拉格朗日中值定理条件要少些,只需连续,可导即可,不像罗尔定理得有式子相等才可进一步运用;4.设fx 在区间-a,aa>0上具有二阶连续导数,f0=01、写出fx 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式2、证明在-a,a 上至少存在一点η使得⎰-=aa dx x f f a )(3)``(3η第一问课本上记住了写出来就行,考的很基础1、22!2)``()0`(!2)``(!1)0`()0()(x f x f x f x f f x f ξξ+⋅=++=2、第二问先将第一问的式子fx 代入看看有什么结果出来⎰⎰--⋅=a a aa dx x f dx x f 22)``()(ξ,)``(ξf 此处不能直接拿到积分号外面,因为他不是与x 无关的数;做到这儿,我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来,有了这样想法就得寻求办法;题目中说道fx 有二阶连续导数,为何要这样说呢,我们知道连续函数有最大值,最小值,往往会接着和介值定理一起运用;所以有：因为fx 有二阶连续导数,所以存在最大值和最小值,设为M,m 则对于区间-a,a,222)``(,)``(Mx x f mx M x f m ≤⋅≤≤≤ξ所以由介值定理有结论成立;Ps ：本题是以前的一道真题,具体哪年也记不得了,主要就是考到介值定理的运用;题目中说的很明白的,有二阶连续导数,往往当题目中提及到什么连续啊,特别是对于导函数连续的,我们总得注意下他有最大值,最小值,进而与介值定理联合运用;5、设fx 在],0[π上连续,且0cos )(,0)(00=⋅=⎰⎰ππxdx x f dx x f .证明：在),0(π内至少存在两个不同点0)()(2121==ξξξξf f 使得、本题看似很简洁,但做起来去不容易;结论是证明等式成立且为0,很容易让我们想到罗尔定理,我们如果能找到三个点处函数值相等,那么是不是就能有些思路了呢;令：],0[,)()(0π∈=⎰x dt t f x F x ,0)()0(==πF F似乎只需在找出一点Fc=0即可;,如果一切如我们所想,证明也就完成了;0)(sin )(cos )(cos cos )(0000=⋅+⋅==⋅⎰⎰⎰ππππdx x F x x F x x xdF xdx x f 似乎已经找到这个点了;但是积分中值定理中,是取闭区间,如果要用的话得先构造函数用拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立;构造函数],0[,)(sin )(0π∈⋅=⎰x dt t F t x G x 具体的证明步骤和上面涉及到的一样,自己去证;证完后就得到所以有：),0(,0)()()0(ππ∈===c F c F F接下来的证明就和第一题中第二小问一样了,具体就不去证明了,自己证,关键掌握方法,思路;Ps ：本题是02年左右的数一一道证明题,看看题目很简洁,但具体来做,如果对定理的运用不熟练,还是不好弄出来;本题中涉及到积分,而且又要证明等式成立且为0,容易想到积分中值定理,以及罗尔定理;但是积分中值定理是对于闭区间而言,而我们要用到开区间,只能自己构造函数来证明其在开区间内成立,如果在实际做题的时候你不证明直接用,估计一半的分都没了;本题关键的就是寻找这个点C,找出来了其他的都不是问题,既然是关键点,那得分点也肯定最多了,你不证明这个点,直接套用课本中定理如果用的话,得分类讨论了,硬是说C 点就成立,那估计一半的分都没了;对于中值定理这章,就先给出上面一些经典的题目,大家好好体会下,多做些题,多思考;下面来讲讲对于证明题中的,函数如何来构造：基本上都是从结论出发,运用求导或是积分,或是求微分方程,解出来也可;本人自己总结了一些东西,与大家交流下：首先我们来看看一些构造函数基本方法：一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系：一般都会构造出为任意常数或者或者n x e e XXX x g n x x ,)(-⋅=1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系,想想构造带有x x e e -或者)()`(x f x f = 可以构造x e x f x g -⋅=)()(0)()`(=+x f x f 可构造x e x f x g ⋅=)()(λ=+)()`(x f x f 可构造x x e e x f x g ⋅-⋅=λ)()()()(x f dt t f xa =⎰这个也是原函数与一阶导函数问题,构造函数⎰⋅=-x a x dt t f e x g )()( 先将其变形下：x x f x f λλ-=-1)()`(左边是导函数与原函数关系可构造：x e x f λ-⋅)(右边可以看成是x x λ-`也成了导函数和原函数之间关系,如是可以构造：x e x λ-⋅从而要构造的函数就是：x e x x f x g λ--=))(()(2、如果还涉及到变量X,想想构造n x0)()`(=+x f x xf 可构造x x f x g ⋅=)()(xx f x f )(2)(-=可构造2)()(x x f x g ⋅= 0)()`(=+x nf x xf 可构造n x x f x g ⋅=)()(3、另外还可以解微分方程来构造函数：如0)`()(=+x f x xf二、二阶导数与原函数之间关系构造带有x x e e -或者如何构造如下：)()`()`()``(x f x f x f x f +=+对于此式子,你会不会有所想法呢,在上面讲到一阶导函数与原函数之间的构造方法,等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数只不过原函数是)`(x f 之间关系,从而等式左边可以构造x e x f ⋅)`(等式右边可以构造x e x f ⋅)(总的构造出来函数为：x e x f x f x g ⋅-=))()`(()(另：如果这样变形：构造函数如下：x e x f x f x g -⋅+=))()`(()(,可以看上面原函数与导函数之间关系如何构造的;从而对于此函数构造有两种方法,具体用哪一种构造得看题目给的条件了;如果题目给了)()`(x f x f -为什么值可以考虑第一中构造函数,如果题目给了)()`(x f x f +,则可以考虑第二种构造方法;先变形：变成一阶导函数和原函数之间关系这个函数确实不好构造,如果用微分方程来求会遇到复数根;实际做的时候还得看题目是否给了)`(x f 的一些条件,如果在某个开区间内不为0,而构造出来的函数在闭区间端点取值相等,便可用罗而定理来证明;具体来看看题目：1、 设)(x f 在0,1上连续,在0,1内可导,且f0=f1=0,f1/2=1证明：2、存在1)()`(),,0(+-=∈ηηηξηf f 使得1、对一问直接构造函数用零点定理：x x f x F -=)()(具体详细步骤就不写了;2、该问主要问题是如何构造函数：如果熟练的话用上面所讲方法来构造： 1)()`(+-=ηηηf f 先变形 另：用微分方程求解法来求出要构造的函数把常数退换掉之后就是要构造的函数函数构造出来了,具体步骤自己去做;2、设)`(x f 在a,b 上连续,fx 在a,b 内二阶可导,fa=fb=0,0)(=⎰b a dx x f证明：1存在)`()(),`()(),(,221121ξξξξξξf f f f b a ==∈使得2存在)()``(,),,(21ηηξξηηf f b a =≠∈使得1、第一问中的函数构造：2、第二问中函数构造有两种构造方法,上面讲解中说道了我们在这用第一种原因在于第一问中)()`(x f x f -=0符合此题构造; 具体详细步骤自己去写写;3、设奇函数]1,1[)(-在x f 上具有二阶导数,且f1=1,证明：(1) 存在1)`(),1,0(=∈ξξf 使得(2) 存在1)`()``(),1,1(=+-∈ηηηf f 使得第一问中证明等式,要么用罗尔定理,要么介值定理,要么零点本题很容易想到用罗尔定理构造函数来求,因为涉及到了导函数1、x x f x F -=)()(,题目中提到奇函数,f0=0有F0=F1=0从而用罗尔定理就出来了;2、第二问中的结论出发来构造函数,从上面讲的方法来看,直接就可以写出要构造的函数先变形下：x xx e x f x G e e x f f f ⋅-==⋅=+)1)`(()()`(1)`()``(ηη函数构造出来,并且可以用到第一问的结论,我们只需要在-1,0之间在找一个点也满足1的结论即可;也即1)`(),0,1(=-∈ζζf从而可以对)1,1(),(-⊆∈ξζη运用罗尔定理即可;Ps ：本题为13年数一真题,第一问基础题,但要看清题目为奇函数,在0点处函数值为0.第二问关键是构造函数,函数构造出来了就一步步往下做,缺什么条件就去找什么条件或者证明出来,13年考研前我给我的几个考研小伙伴们讲过构造函数的一些方法,考场上都很快就搞出来了;以上是关于中值定理这章的一些小小的讲解,由于科研实践很忙,这些都是今天抽出时间写出来的,Word 上写,真心费时间,如果大家还有什么问题,可以来讨论下;。
高等数学 第3章 第一节 中值定理
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
中值定理
( x) f ( x)e x f ( x)e x , 因此, 在 (a,b) 内至少存在一点 (a,b), 使
( ) 0,
例 5 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导,
且 f (a) f (b) 0.
证明: 存在 (a,b), 使 f ( ) f ( ) 成立.
f ( 2 ) 0,
即 2 是 f ( x) 的一个零点；
又因为 f ( x)为二次多项式，最多只能有两个零点， 故 f ( x) 恰好有两个零点，分别在区间 (1, 2) 和 (2, 3) 内.
例 对函数 f ( x) sin2 x 在区间 [0, ] 上 验证
罗尔定理的正确性.
解 显然 f ( x) 在 [0, ] 上连续, 在 0, 内可
f ( x) x, x [0,1]
函数 f ( x) 虽然满足在闭区间[0,1]上连续, 在开区
间(0,1)内可导的条件, 但
f (0) f (1),
显然也没有水平切线. 如图 (c) 所示.
例 1 不求导数，判断函数
f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)
的导数有几个零点及这些零点所在的范围.
导致矛盾, 故 x0 为唯一实根.
例 5 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且 f (a) f (b) 0.
证明: 存在 (a,b), 使 f ( ) f ( ) 成立.
证 从结论倒推分析知, 可引进辅助函数
( x) f ( x)e x , 由于 (a) (b) 0, 易知 ( x) 在 [a,b] 上满足
f ( x) C (常数)，x I;
(2) 若 f ( x) g( x)
11中值定理
2
3
n
第五章 中值定理的证明技巧
例3 求函数 f ( x) = x ln x 在点 x = 1 处 的 n 阶泰勒展开式
2
解：x = ( x −1) + 1 = ( x −1)2 + 2( x −1) + 1
2 2
1 2 ln x = ln 1 + ( x − 1) = ( x − 1) − ( x − 1) 2 1 3 n n n−1 1 + ( x −1) −L+ (−1) ( x −1) + o ( x −1) 3 n
= 1 + x − 2 x + o( x )
2 2
第五章 中值定理的证明技巧
第五章 中值定理的证明技巧
x x 4 cos x = 1 − + + o( x ) 2! 4! x2 2 2 − x 1 x 2 4 2 e = 1 − + ( − ) + o( x ) 2 2! 2 1 1 4 4 ( − ) x + o( x ) 4! 8 原极限＝ x→0 故 原极限＝ lim 4 x 1 =− 12
第五章 中值定理的证明技巧
于是
f ( x) = x ln x
2
2
1 2 = ( x − 1) + 2 ( x − 1) + 1 ⋅ [( x − 1) − ( x − 1) 2 1 3 n n n−1 1 + ( x −1) −L+ (−1) ( x −1) + o ( x −1) ] 3 n 3 1 1 2 3 4 = ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) + ( x − 1) 2 3 12 n 2( x − 1) n −1 n +L + (−1) + o ( x − 1) n(n − 1)(n − 2)
拉格朗日中值定理
一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。
拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。
在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。
拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。
拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。
发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。
用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则′。
著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。
在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。
最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点和，并且函数在此闭区间内是连续的，′的最大值为A，′最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。
这是拉格朗日定理最初的证明。
下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。
如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得′ξ.拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。
例1：函数，即′。
当在开区间∞时，有′，在开区间∞单调递增；当在开区间∞时，有′，f(x)在开区间∞单调递减。
在，有′，。
由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导数来求得判断单调区间。
微积分 第四章 第一节 中值定理
在(2, 3)内至少存在一点 2，使f (2)0，2也是f (x)
的一个零点. f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间
(1, 2)及(2, 3)内.
思考：f (x)的零点呢？
11
二、将拉罗格尔朗定日理(条La件gra中ng去e)掉中值f (定a) 理 f (b), 得到
如果函数f (x)满足：(1)在闭区间[a, b]上连续，
f
(b)
f
(a)
(x a)，
ba
或
F(x) f (x)(b a) [ f (b) f (a)]x
容易验证, F( x) 满足罗尔定理的条件,
于是 (a,b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
13
例8 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件, f ( x) 1 ， x
f (e) f (1) 1 ， e1 e1
e 1 (1,e)， 使 f ( ) f (e) f (1) .
e1
14
f ( ) f (b) f (a)
拉格朗日中值公式另外的表达方式：
ba
f (b) f (a) f ( )(b a)， 介于a和b之间
或 f (b) f (a) f [a (b a)](b a) ,0 1 ,
(
x)
sin
1 x
,
x0
0 , x 0
（B）
g(
x)
x
sin
1 x
,
x
0
0 , x 0
（
C
）
h(
中值的定理
中值的定理中值定理是微积分中的一个重要定理，用于描述函数的平均变化率与函数的增减情况之间的关系。
它是由数学家罗尔斯提出的，也被称为罗尔定理。
中值定理是微积分中的一个基本概念和理论工具，常用于证明其他的定理和推导其他的公式。
它的核心思想是在一个区间上存在某个点，使得函数在这个点的瞬时变化率等于平均变化率。
具体而言，中值定理分为洛必达中值定理和拉格朗日中值定理两种形式。
洛必达中值定理是指，如果一个函数在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，并且在(a,b)内取得两个不同的值f(a)和f(b)，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]。
这个定理说明了一个函数有两个不同的值，那么它在这个区间内一定存在一个切线。
拉格朗日中值定理是指，如果一个函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]。
这个定理说明了一个函数在某个区间内的平均变化率等于这个区间内某一点的瞬时变化率。
中值定理的几何意义是，如果一个函数在某个区间内具有连续性和可导性，那么必然存在一条导数对应着该函数在该区间上的切线。
也就是说，函数在某个区间上的平均变化率和瞬时变化率之间存在着一个等价关系。
中值定理在实际问题中有着广泛的应用。
比如，我们可以利用中值定理来证明函数的单调性，寻找函数的最大值和最小值，判断函数的凹凸性，研究函数的增长趋势等。
这些应用都是基于中值定理所提供的函数变化率的信息。
总而言之，中值定理是微积分中重要的概念和定理，它通过平均变化率和瞬时变化率之间的关系，描述了函数在一个区间内存在切线的性质。
它不仅在理论推导中具有重要的作用，也在实际问题的分析和求解中发挥着关键的作用。
因此，中值定理是微积分学习的基础，对于理解函数的变化规律和解决实际问题有着重要的意义。
中值定理是微积分中的基本定理之一，它可以将函数的平均变化率与瞬时变化率联系起来，从而帮助我们更好地理解函数的性质和求解实际问题。
中值定理
分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 对数学的影
响广泛而深远 . 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展.
f (b) f (a ) . ba
b x
显然,
在 [a,b] 上连续, 在 (a,b) 内可导, 且
b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 (a) ba
即定理结论成立 . 证毕 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 几何意义?
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分别在区间 [1,2] 和 [2,3] 上 由定理1,可知 1 (1,2), 2 , 2,3), ( f (1 ) 0, f ( 2 ) 0, 使得 又 f (x) 为二次函数, f ( x) 0 最多有两个实根, 且分别位于 (1,2) 故 f ( x) 0 有且仅有两个根，
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或: 若函数 在 I 上必为常数.
在区间 I 上满足
则
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
0
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
推论2 若对x (a, b)有 f ( x) g ( x)，则
f ( x) g ( x) C，C const，x (a, b).
上面两式相比即得结论.
两个 不 一定相同
错!
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也可作辅助函数
f (b) f (a) ( x) f ( x) f (a ) [ F ( x) F (a )]. F (b) F (a) ( x) f ( x) F (b) F (a) F ( x) f (b) f (a) .
f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a)
高等数学常见中值定理证明及应用
中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。
（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。
此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
中值定理证明方法总结
在( a, b) 内至少存在一点 ξ, 使 f′(ξ) = 0.
f(a+ ), x= a
证明提示: 设 F(x) =
f(x), f(b− ),
a< x< b x= b
证 F(x) 在 [a, b] 上满足罗尔定理 .
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二、拉格朗日中值定理
y
y= f(x)
证毕
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
三、柯西(Cauchy)中值定理
f(x) 及 F(x) 满足 :
(1) 在闭区间 [ a, b] 上连续
(2) 在开区间 ( a, b) 内可导
(3)在开区间 ( a, b) 内F′(x) ≠ 0 至少存在一点 ξ∈(a,b) , 使
f(b) F(b)
− −
f(a) = F(a)
• g(b) − g(a)
•
原函数法
F(x) = f(x)
−
f(b)
−
f(a)
g(
x)
g(b) − g(a)
* 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 因此
可适当减弱.
例如, 设 f(x) 在(a,b) 内可导,且 f(a+ 0) = f(b− 0), 则至少存在一点 ξ∈(a,b), 使 f′(ξ) = 0 .
方程两边同时积分
f(b)))) −−−− ff((((aaaa)))) xxxx++++ CCCC ==== ff((((xxxx)))) b− a
解出积分常数 ，则
令辅助 直接积分消不去导数，故变形为 方程两边同时积分
解出积分常数 ，则 令辅助函数
安徽专升本数学定积分中值定理公式
一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对在一定区间内函数取值的总和的极限形式的数学运算。
通常用符号∫表示。
在数学中，定积分有广泛的应用，尤其在物理、经济学和工程学等领域中具有重要的意义。
二、中值定理的概念中值定理是定积分中的一个重要定理，它描述了一个连续函数在某一区间上的平均值与它在该区间上的某一点处的函数值之间的关系。
中值定理在微积分中有着重要的应用，可以被用来证明一些定积分的性质以及计算一些特殊的定积分。
三、中值定理的表述中值定理通常有两种不同的表述形式，分别是费马中值定理和拉格朗日中值定理。
费马中值定理描述了在一定条件下，一个函数在某一区间上的平均值与它在该区间上的某一点处的函数值之间的关系。
拉格朗日中值定理则描述了在一定条件下，一个函数在某一区间上的平均值与它在该区间上的某一点处的导数值乘以区间长度之间的关系。
四、中值定理的应用中值定理可以被应用在求解定积分的问题中。
通过中值定理，我们可以将一个定积分转化为一个导数和函数值的关系式，从而简化定积分的计算过程。
中值定理也可以被用来证明一些函数的性质和定理，具有重要的理论意义。
五、安徽专升本数学定积分中值定理公式在安徽专升本数学考试中，定积分中值定理的公式是必须掌握的重要内容。
根据中值定理的表述和应用，安徽专升本数学定积分中值定理公式可以被总结为以下几个方面：1. 费马中值定理公式：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导且f(x)在区间[a,b]上不恒为常数，则存在一点ξ∈(a,b)，使得∫[a,b]f(x)dx=(b-a)f(ξ)。
2. 拉格朗日中值定理公式：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则存在一点ξ∈(a,b)，使得∫[a,b]f(x)dx=(b-a)f(ξ)。
3. 中值定理的解析应用：利用中值定理，可以进行一些特殊定积分的计算，如计算一些特殊函数的定积分，或者证明一些函数的性质。
拉格朗日中值定理的证明作用探析
拉格朗日中值定理的证明作用探析拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足条件：在[a，b]上连续；在（a，b）内可导，则在a与b之间至存在一点，使得上述等式是拉格朗日中值定理准确的增量形式，将该增量形式与的范围结合就可以用于不等式的证明中。
拉格朗日中值公式还有其他三种形式，这些形式从不同角度反映了它的作用。
（1）曲线上某点切线的斜率。
（2）函数的改变量与函数在某点的导数与自变量之积相等。
（3）函数与其导数之间的关系。
拉格朗日中值定理也称中值公式或拉格朗日公式，它是微分学中的一个基本定理，在理论和实际应用中具有极高的价值。
拉格朗日中值定理中数学中的应用有求极限、证明不等式、证明恒等式、证明等式、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛等。
下面主要讨论拉格朗日中值定理在证明不等式中的应用。
1拉格朗日中值定理证明思想及求证不等式的步骤2.1拉格朗日中值定理的证明思想拉格朗日中值定理的证明思想是利用拉格朗日中值定理证明一切问题的主要依据。
拉格朗日中值定理的证明思想可具体分为如下几步：（1）将结论中的改为x，并通过化简整理使得等式右边为零，即（2）对等式右边关系式进行求导运算，即（3）设置辅助函数，并利用罗尔定理证明其结论成立，即设得到由此可知在[a，b]上满足罗尔定理，故至少存在一点，使得，进而可以推出2.2拉格朗日中值定理证明不等式的步骤（1）观察不等式，看其变形后是否能变成拉格朗日公式的形式。
（2）在满足上述变形要求的前提下，需要根据已知的题设出合理的函数。
（3）验证函数是否满足拉格朗日中值定理。
（4）利用满足的不等式求出要证明的不等式。
2拉格朗日中值定理在不等式中的应用3.1在含有绝对值不等式证明中的应用例1 求证成立。
证明令，则根据拉格朗日中值定理可知，对上式的两边同时取绝对值即同时由于因此可证得原式成立。
含绝对值的不等式可分为在证明过程中对等式两边同时取绝对值，然后利用已知条件中的不等关系证明含绝对值的不等式成立，以及类似的不等式（对于该类不等式的证明，可修改为形式的双边不等式）。
中值公式的证明
f ( ) 2 f (1 ) f ( ) f (1 )
f ( x) 2 f (1 x) f ( x) f (1 x)
f (x) f (1 x) 2 f (x) f (1 x) 0
[ f (x) f 2(1 x)] 0.
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1
例7设f(x)在[0,1]上可导,且满足 f (1) 2 2 xf ( x)dx. 0
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拉格朗日定理：若函数f(x)满足: (1)在[a,b]上连续; (2)在开区间(a,b)内可导; 则至少存在一点(a,b)使
f ( ) f (b) f (a) .
ba
．
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注1如果函数f (x)在(a,b)内可导,则对任意x,y(a,b), 存在(在x与y之间)使
1
1).
2
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由罗尔定理，存在 (,1) (0,1) 使
F( ) 0, 即 f ( ) f ( ) 0, 亦即
f ( ) f ( ) .
注：用x代替,结论为
f ( ) f ( ) f ( x) f ( x) f ( x) 1
x
f (x) x
c
f(1/2)=1,试证:至少存在一点(0,1)使 f ( ) 1.
证：令F(x)=f(x)-x,则F(0)=0,F(1)=f(1)-1=0-1=-1<0,
F (1 ) f (1) 1 1 0. 由连续函数的介值定理,存在
2
2 22
( 1 ,1), 使F() 0.由罗尔定理,至少存在一点
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情形4: a=-, b=+, f(a+0),f(b-0)是有限实数.令
罗尔中值定理
注1. 几何意义: 如图
若连续曲线y = f (x) y
除端点外处处有不垂直
M
于x轴的切线. 且两端点
A
的纵坐标相等. 则在曲
线上至少存在一点M. 在M点的切线平行于x
0 a x0
轴. 也就是平行于弦AB.
y = f (x) MB
从而
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f (x0 )
设f (x0)为f (x)在开区间(a, b)内的最大值, 即, x(a, b), 有 f (x) f (x0). 因x0(a, b), 故当|x|充分小时, 有x0+x (a, b),
) )
.
但1,
2不一定相同,
故
不能用这一方法.
要证
f (b) g (b)
f (a) g(a)
f ( g(
) )
,
只须证
f (
)
f (b) f (a) g(b) g(a)
g(
)
0
即
f
(
x
)
f (b) g (b)
f (a) g(a)
g(
x
)
0.
x
证:
记 ( x)
f
(x)
f (b) g(b)
即
f ( )
f
(b) b
f a
(a)
.
注1. 若f (a)= f (b),
则f ( )
f
(b) f (a) ba
二元函数中值定理公式
二元函数中值定理公式二元函数中值定理公式相关公式及解释1. 二元函数二元函数是指具有两个自变量的函数。
记作f(x, y)。
2. 中值定理公式中值定理是微分学中的一个重要定理，可以用来描述函数在一定条件下的性质。
拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是最基本的中值定理形式，描述的是函数在一个区间内的性质。
公式：如果函数f(x, y)在闭区间[a, b]×[c, d]上连续且在开区间(a, b)×(c, d)上可微分，那么对于这个函数，存在一个点(x0, y0) ∈ (a, b)×(c, d)，使得在这个点上有：f(b,d)−f(a,d)∂f(x0,y0)/∂x=f(b,c)−f(a,c)∂f(x0,y0)/∂y解释：拉格朗日中值定理表明，对于一个具有两个自变量的函数f(x, y)，如果在一个闭区间内连续并在开区间内可微分，那么在这个闭区间内存在一个点(x0, y0)，使得在这个点上函数在x和y方向的偏导数与整个区间的变化率相等。
柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广形式，适用于一定条件下函数在两个点上的性质。
公式：如果函数f(x, y)和g(x, y)在闭区间[a, b]×[c, d]上连续且在开区间(a, b)×(c, d)上可微分，且g(x, y)在这个闭区间上不恒为0，那么对于这两个函数，存在两个点(x0, y0) 和(x1, y1) ∈ (a,b)×(c, d)，使得在这两个点上有：[f(b,d)−f(a,d)]∂g(x0,y0)/∂x−[g(b,d)−g(a,d)]∂f(x0,y0)/∂x=[f (b,c)−f(a,c)]∂g(x1,y1)/∂y−[g(b,c)−g(a,c)]∂f(x1,y1)/∂y解释：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一种推广形式，它描述的是两个函数在一个闭区间内的性质。
该定理说明，对于两个具有两个自变量的函数f(x, y)和g(x, y)，如果在闭区间内连续并在开区间内可微分，且后者在闭区间上不恒为0，那么在这个闭区间内存在两个点(x0, y0)和(x1, y1)，使得在这两个点上两个函数在x和y方向的偏导数的比值相等。
关于拉格朗日中值定理的证明
关于拉格朗日中值定理的证明
拉格朗日中值定理的定义：
如果函数f（x）满足：
（1）在闭区间[a，b]上连续；
（2）在开区间（a，b）内可导；
那么在开区间（a，b）内至少有一点
使等式
成立。
其实通俗来讲，就是在光滑曲线上，对于任意两点所连成直线的斜率，必存在一点切线处的斜率等于所连直线的斜率。
下面开始四步走：
1.想出证明定理的直观思路：
我这里有两种直观的思路，都可以证明：
第一种：观察图像，想要证明曲线上一点斜率等于AB，其实可以利用Rolle定理（上一篇已证），Rolle定理的图像与图像很相似，只不过角度不一样，我们如果能把图像旋转一下，不就可以直接用Rolle定理证明了！
第二种：只需证明存在一条与AB平行的直线与曲线相切
2.分析直观思路是否可行
第一种：想在数学上旋转曲线，呵呵，太难了。
退一步，用矩阵乘除可以表示曲线旋转，但由于曲线由公式而非节点表示，这个
计算机图形学上的旋转也靠不住，那么，怎么办？我既然提出来了，自然有应对的办法，既然旋转太难，我们就没必要非得旋转，可以找间接旋转的，那怎么找呢？就需要观察图像中的点处的特征（很多数学证明都是从特征处入手），我发现点处红蓝间虚线是极大值，又想到数学证明两个元素相等的常用套路是证明两者相减等于0，考虑到斜率相等即导数值相等，而加减并不影响每一模块的导数值计算，所以可以采用曲线减AB来生成公式，最后证明这个公式的某点的导数值为0即可。
就可得出拉格朗日中值证明的标准辅助公式：，由于这个公式在a、b 两点值相等，故用Rolle定理可证。
3.1中值定理和单调性
3.1 中值定理及函数的单调性
罗尔定理的几何意义:
即连续曲线 y = f ( x)在弧A 上， B 除端点外处处有不垂直于 x 轴的切线， 则在弧 A 上至 B 少存在一点C(ξ, f (ξ)), 在该
y
C 1
A
C 2
B
O
aξ
1
ξ2
b
x
点处曲线的切线平行于 x 轴，从而平行于弦 A . B 导数的零点不一定唯一
例7 求函数 y = (x −1 的单调区间。 )
3 2 2
, (1)函数的定义区间 (−∞+∞)
(2)
′ 2 −1 4x 2 ′ = (x −1 = (x −1 3 ⋅ 2x = ) y ) 3 3 3 x2 −1
2
2 3
[
]
驻点： x = 0
不可导点： x = ±1
, (3)点-1，0，1划分定义区间(−∞+∞) ,列表讨论。
x
y′ y
(−∞,−1) (−10) ,
(0,1)
(1+∞) ,
单减区间 (−∞ 1,[0,1 ] ,− ]
, , ) 单增区间[−10],[1+∞
19
3.1 中值定理及函数的单调性
例8 证明：当 x > 0时， (1+ x) < x. ln 设 f ( x) = x−ln(1+ x), 则 f ( x) 在 [0,+∞) 上连续且 f (0) = 0
1 x ) 在 [0,+∞) 内， ′( x) =1− f = >0, f ( x) 在 [0,+∞ 1+ x 1+ x
当 x > 0时， f ( x) > f (0) = 0
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因此令F(x)=f(x)(1-x),则F(x)在[0,1]上满足洛尔定理的条件
故存在1(0,1),使F(1)=0,但
F ( x ) f ( x )(1 x ) f ( x ), F (1) 0,
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拉格朗日定理：若函数f(x)满足:
(1)在[a,b]上连续; (2)在开区间(a,b)内可导; 则至少存在一点(a,b)使
f (b) f (a ) f ( ) . ba
．
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注1如果函数f (x)在(a,b)内可导,则对任意x,y(a,b), 存在(在x与y之间)使
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定理：若函数f(x)在x=x0的某邻域内有n阶阶导数,则
f ( x)
k 0
n
f ( k ) ( x0 ) ( x x0 )k o(( x x0 )n ). k!
特别地,当x0=0时
f ( x)
k 0
n
f
(k )
(0) k n x o( x ) . k!
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微分中值定理与中值公式的证明 罗尔定理：若函数f(x)满足:
(1)在[a,b]上连续;
(2)在开区间(a,b)内可导; (3)f(a)=f(b). 则至少存在一点(a,b),使
f ( ) 0.
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定理：若函数f(x)满足: (1)在开区间(a,b)内连续且可导;
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例5 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0, f(1/2)=1,试证:至少存在一点(0,1)使 f ( ) 1. 证：令F(x)=f(x)-x,则F(0)=0,F(1)=f(1)-1=0-1=-1<0,
1 1 1 1 F ( ) f ( ) 0. 由连续函数的介值定理,存在 2 2 2 2
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注：用x代替,结论为
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例8设f(x),g(x)在[a,b]上二次可导,且g(x)0,f(a)=f(b)=0,
g(a)=g(b)=0,试证:(1)在(a,b)内g(x)0;(2)在(a,b)内至少存在
一点,使
f ( ) f ( ) . g( ) g( )
f ( x ) 2 f (1 x ) f ( x) f (1 x )
f ( x) f (1 x) 2 f ( x) f (1 x) 0
[ f ( x) f (1 x)] 0.
2
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例7设f(x)在[0,1]上可导,且满足 f (1) 2
f ( x ) f ( y ) f ( )( x y ).
注2 对x, x+x(a,b),存在(0<<1),使
f ( x x ) f ( x ) f ( x x )x.
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注3 拉格朗日定理有明显的几何意义. 如果函数f (x)在(a,b)内可导,则对任意x, x(a,b),存在
1 2 0
xf ( x )dx .
.
证明：至少存在一点(0,1),使得 f ( )
1 2 0
f ( )
证：令F(x)=xf(x),则F(x) 在[0,1]上可导,由
f (1) 2 xf ( x )dx . 1 及积分中值定理,存在 (0, 2 ) 使
于是有
f (1) 2 xf ( x )dx f ( ),
即在f (x)的任意两个零点x1, x2之间有
f ( x ) g( x ) f ( x )
的零点. 注1 取定g(x)可以得到许多类似的命题.如f (x)的任意 两个零点之间必有函数 的零点.
kf ( x ) f ( x )
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例2 设f(x)在[0,1]上可导,f(0)=f(1)=0,试证存在(0,1)
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2. 中值公式的证明 (1)与洛尔定理有关的问题
例1 假设f(x)和g(x)都是可导函数,试证:在f(x)的任意两个
零点之间必定有函数f(x)g (x)+ f(x)的零点. 证：作辅助函数F ( x) f ( x)e g ( x ) , 并设x1, x2是f (x)的 任意两个零点,且x1<x2则易知 F ( x) f ( x)e
证: 设 F ( x ) x
f ( x ), 则F(x)在[a,b]上可导,且
F(a)= F(b)=0,洛尔定理,存在(a,b),使得F()=0.而
f ( x ) x f ( x ) F ( x ) , a 1 x
故由F()=0,推出 f ( ) f ( ) 0.
F ( ) f ( ) f 2 (1 ) 2 f ( ) f (1 ) 0.
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亦即
f ( ) 2 f (1 ) . f ( ) f (1 )
注1 构造辅助函数的思考方法是由
f ( ) 2 f (1 ) f ( ) f (1 )
令 F ( x ) tan f ( x ), 则F(x)满足情形1的所有条件,因此
f ( ) 0, 即 f ( ) 0. 存在(a,b),使 F ( ) 2 1 f ( )
情形3: a是有限实数, b=+, f(a+0),f(b-0)是有限实数.令
F (t ) f (tan t ),
x y C . 那么就作辅助函数 F ( x) x f ( x),
这是中值公式证明过程构造辅助函数的常用方法.
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例3 设f(x)在[a,b]上可导,f(a)=f(b)=0,(0<a<b),试证存在
(a,b),使得 f ( ) f ( ) 0. 其中>1为常数.
f ( ) 2 f (1 ) . f ( ) f (1 )
证明:令 F ( x) f ( x) f 2 (1 x), 则F(x)在[0,1]上连续,
在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=0,由罗尔定理至少存在一点
(0,1)使 F ( ) 0. 即
g( x )
, 在[x1, x2]上
满足罗尔定理的条件,故至少存在一点(a,b),使 F ( ) 0. 但
数学分析选讲
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F ( ) e g ( ) ( f ( ) g( ) f ( )) 0.
而 e g ( ) 0, 所以 ( f ( ) g( ) f ( )) 0.
则F(x)在[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导;F(a)=F(b), 由洛尔定理,至少存在一点(a,b),使 F ( ) 0. 但 (a,b),时,
F ( ) f ( ) 0.
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情形2: a,b都是有限实数,但
f (a 0) f (b 0) ().
证:(1)(用反证明法)若存在一点c(a,b)使g(c)=0,则在
[a,c]和[c,b]上用洛尔定理,存在1(a,c), 2(c,b),使
g(1 ) 0, g(2 ) 0,
再在 [1,2]上对g(x)用洛尔定理,存在3 (1,2),使
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f (b) f (a ) f ( ) . g(b) g(a ) g( )
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泰勒定理：若函数f(x)在x=x0的某邻域内有n+1阶导数
则
f ( x)
k 0
n
f ( k ) ( x0 ) ( x x0 )k Rn ( x ). k!
f ( n1) ( ) 其中 Rn ( x ) ( x x0 )n1 , 在x与x0中间. ( n 1)!
1 ( ,1), 使F ( ) 0.由罗尔定理,至少存在一点 2 (0, ) (0,1),
使 f ( ) 1.
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例6设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,当x(0,1) 时,f(x)>0,试证存在一点(0,1)使
.
．
f ( x) f ( x ) 1 f ( ) f ( x ) x f ( x) x c ln f ( x ) ln x ln c f ( x ) xf ( x ) c x
f ( )
从而得辅助函数F ( x ) xf ( x ).
可以证明.
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情形4: a=-, b=+, f(a+0),f(b-0)是有限实数.令
F (t ) f (tan t ),
可以证明. 情形5: a是有限实数, b=+, f(a+0),f(b-0) =+时,f(x)有 最小值. f(a+0),f(b-0) =-时,f(x)有最大值. 情形6: a=-, b=+, f(a+0),f(b-0) =+ (-)类似于情形5.
1 2 0
1 F (1) f (1) f ( ), F ( ) f ( ),( 1). 2
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由罗尔定理，存在
( ,1) (0,1)